Probabilidad5° SEC

Probabilidad¿De cuál de las siguientes bolsas es más probable sacar la bola roja?

I2P3

II4P7

III3P5

Por tanto, es más probable sacar una bola roja de la bolsa Ihttp://www.youtube.com/watch?v=_mbO-ndr740

ProbabilidadLas probabilidades y el sentido común

¿Existen leyes del azar? Nuestro sentido común pareciera decirnos que el azar y las leyes

son conceptos contradictorios. Si algo sucede al azar, es porque no hay leyes que lo determinan. Como puede hablarse entonces de leyes del azar? Sin embargo, existe una rama de la Matemática que trata sobre las leyes del azar y es la Teoría de Probabilidades. El calculo de probabilidades nos permite prever algunas eventualidades de origen aleatorio. Cuando hablamos de prever, debemos hacerlo con mucho cuidado, pues no se trata de enunciar una profecía, sino de una cuantificación o medida con respecto a la ocurrencia de un evento.

ProbabilidadLas probabilidades y el sentido comúnEl objetivo de la Teoría de Probabilidades es interpretar y calcular las probabilidades de fenómenos complejos en función de las probabilidades mas sencillas de fenómenos conocidos. Esto último podemos hacerlo intuyendo los eventos por simetría, por ejemplo, el clásico lanzamiento de una moneda.Cuando lanzamos una moneda, suponemos a priori la cualidad simétrica de que ambos lados (cara y sello) tienen igual posibilidad de ocurrir o, para decirlocuantitativamente, tienen igual probabilidad de ocurrir. Como hay solodos casos posibles (cara o sello), decimos que hay un caso de dos de queresulte cara y, por supuesto, también un caso de dos de que resulte sello. Esto se puede cuantificar mejor si empleamos esta relación como razón geométrica y decimos: probabilidad de cara es uno entre dos igual a un medio, y probabilidad de sello es uno entre dos igual a un medio, y lo escribimos como:

ProbabilidadLas probabilidades y el sentido común

En virtud de nuestra experiencia, y tomando el termino suceso en la acepción del lenguaje corriente, podemos enunciar lo siguiente: “La probabilidad de un suceso es la razón entre el número de casos esperados y el número de casos posibles”.Así, por ejemplo, lanzamos un dado y esperamos obtener un numero impar.Sabemos que un dado tiene tres números impares: 1; 3 y 5, estos son los casos esperados, y sabemos también que tiene seis números: 1; 2; 3; 4; 5 y 6, estos son los casos posibles. Luego, calculamos:

cara sello1 1P ; P2 2

impar impar3 1P P6 2

ProbabilidadDefiniciones formales y probabilidadRecordando los ejemplos ya descritos sobre lanzamiento de monedas odados, hechos con resultados al azar, y teniendo en cuenta que son actos que se pueden realizar todas las veces que se desee, definiremos:

Experimento aleatorio (E): es todo proceso que se puede repetir indefinidamente con resultados imprevisibles. Así, son experimentos aleatorios el lanzamiento de una moneda, de un dado, la extracción de una bola de bingo, ciertos procesos productivos de la naturaleza o de la industria como los nacimientos (macho o hembra) o artículos (buenos o defectuosos), etc.

ProbabilidadDefiniciones formales y probabilidad

Espacio muestral: dado un experimento aleatorio E, se llama espaciomuestral Ω de E al conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento.Por ejemplo, en el caso del lanzamiento de una moneda tenemos el espacio muestral: Ω1={c; s}Si lanzamos un dado, el espacio muestral es: Ω2={1; 2; 3; 4; 5; 6}

Evento o suceso: se llama evento o suceso de un experimento aleatorio Ea cualquier subconjunto A del espacio muestral Ω de este experimento.

ProbabilidadDefiniciones formales y probabilidad

Hay sucesos que siempre van unidos a todo experimento aleatorio:

• Suceso seguro: está formado por todos los resultados posibles del experimento. Es el suceso que ocurre siempre y coincide con el espacio muestral.

• Suceso imposible: es el suceso que no se produce nunca; es decir, no aparece al realizar un experimento aleatorio.

ProbabilidadEjemplo 1:De la urna de la derecha sacamos una bola al azar y anotamos su número. I. Describe su espacio muestral, ¿cuántos casos tiene?Resolución:

Tiene 10 casos

ProbabilidadEjemplo 1:II. Describe los siguientes sucesos:

• Bola roja (A):

• Bola verde (B):

• Bola azul (C):

• Bola roja con número impar (D):

• Bola con número par (F):

ProbabilidadEjemplo 1:III. Calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos anteriores

• Bola roja (A):

• Bola verde (B):

• Bola azul (C):

• Bola roja con número impar (D):

• Bola con número par (F):

5 1P A10 2

2 1P B10 5

3P C10

2 1P D10 5

5 1P F10 2

ProbabilidadEjemplo 2:Lanzamos al aire una moneda tres veces. Determina el espacio muestral y los elementos que conforman los sucesos A: obtener dos caras y un sello, y B: obtener por lo menos un sello. Resolución:

Determinamos el espacio muestral: Determinamos el suceso A (obtener dos caras y un sello): Determinamos el suceso B (obtener por lo menos un sello):

Ω ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss

A ccs, csc, scc

B ccs, csc, css, scc, ssc, sss

ProbabilidadProbabilidad de un suceso

Ley de LaplaceSi los sucesos elementales del espacio muestral son equiprobables, la probabilidad de un suceso A, denotado P(A), es el cociente entre el número de casos favorables de que ocurra el suceso A y el número de casos posibles:

n Anúmero de casos favorablesP A

número de casos posibles n Ω

Ejemplo 3:En una urna, colocamos diez canicas, cuatro rojas y seis azules. Determinemos la probabilidad de sacar una canica roja.El número de casos favorables es 4, porque hay 4 canicas de color rojo en la urna y el número de casos posibles es 10, porque hay 10 bolas en la urna. Luego,

Probabilidad

Número de casos favorablesP R

Número de casos posibles

4 2P R P R10 5

De igual manera, la probabilidad de sacar una canica azul es:

6 3P A P R10 5

ProbabilidadProbabilidad de un suceso

Propiedades de la probabilidadPara cada suceso A, la probabilidad P(A) está comprendida desde 0 hasta 1, es decir,

• La probabilidad del suceso seguro (Ω) es 1, es decir • La probabilidad del suceso imposible Ø es 0, es decir • Si Ā es el suceso contrario o complementario de A, • Si A y B son dos sucesos compatibles, • Si A y B son dos sucesos incompatibles,

0 P A 1

P Ω 1

P Ø 0

P A 1 P A

P A B P A P B P A B

P A B P A P B

ProbabilidadEjemplo 4:Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado, salga un número par o primo.

Resolución:Determinamos el espacio muestral y los sucesos A, salir número par, y B, salir número primo:

Aplicamos la propiedad de sucesos compatibles, ya que existe un número par que también es primo (el número 2)

Ω 1, 2,3, 4,5,6 ; A 2, 4,6 ; B 2,3,5

3 3 1 5P A B P A P B P A B P A B6 6 6 6

ProbabilidadProbabilidad de sucesos independientes y dependientes

Sucesos independientes

Dos sucesos son independientes cuando el resultado del primero no influye en la probabilidad del segundo. La probabilidad de un suceso ligado a dos sucesos independientes se calcula multiplicando la probabilidad de cada suceso.|

P A B P A .P B

ProbabilidadProbabilidad de sucesos independientes y dependientesEjemplo 5:Se extraen dos cartas de una baraja de 52, en forma sucesiva y con reposición. Calcula la probabilidad de que ambas cartas sean de corazones.Resolución:Al reponer la carta extraída en el primer suceso, la probabilidad del segundo suceso no queda afectada, ya que la baraja mantiene las 52 cartas. Calculamos la probabilidad de cada suceso:P(A): obtener corazón en la primera extracción. P(A) = 13/52P(B): obtener corazón en la segunda extracción. P(B) = 13/52Calculamos la probabilidad del experimento aleatorio: 13 13P A B P A .P B .

52 521

16

ProbabilidadProbabilidad de sucesos independientes y dependientes

Sucesos dependientes

Dos sucesos son dependientes cuando el resultado del primero influye en la probabilidad del segundo. La probabilidad de un suceso ligado a dos sucesos dependientes se calcula multiplicando la probabilidad del primer suceso por la probabilidad del segundo suceso, habiendo ocurrido el primero.

BP A B P A .P A

ProbabilidadProbabilidad de sucesos independientes y dependientesEjemplo 6:Se extraen dos cartas de una baraja de 52, en forma sucesiva y sin reposición. Calcula la probabilidad de que ambas cartas sean de corazones.Resolución:Al no reponer la carta extraída en el primer suceso, la probabilidad del segundo suceso queda afectada, ya que la baraja se reduce a 51 cartas.Calculamos la probabilidad de cada suceso:P(A): obtener corazón en la primera extracción: P(A) = 13/52P(B): obtener corazón en la segunda extracción, habiendo salido corazón en la primera extracción: P(B) = 12/51Calculamos la probabilidad del experimento aleatorio:

13 12BP A B P A .P .A 52 51

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ProbabilidadEjercicios

01. Se extrae al azar una carta de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es laprobabilidad de que sea una carta roja o un As?

02. Se lanza un dado dos veces en forma sucesiva, ¿cuál es la probabilidad de que ambos resultados sean 3?

03. En una caja hay 20 tarjetas numeradas del 1 al 20. Se extrae unacarta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor que 12 o múltiplo de5?

ProbabilidadEjercicios

04. De una baraja de 52 cartas se extraen dos de ellas, una tras otra.Calcula la probabilidad de obtener:

A. Dos asesB. “As” en la primera y una carta

distinta en la segunda extracción.

C. Ningún “as”D. Algún “as”

05. Se lanza una moneda tres veces. Calcula la probabilidad de obtener:

A. Cara en la primera, sello en la segunda y cara en la tercera.

B. Dos carasC. Ninguna caraD. Al menos un selloE. Dos caras o dos sellos

ProbabilidadEjercicios

06. Se lanza una moneda. Si sale cara, se extrae una bola de una bolsa en laque hay 3 rojas y 2 blancas. Si sale sello, se extrae una bola de otra bolsaen la que hay 6 rojas y 2 blancas. Calcula la probabilidad de que la bolaextraída de la bolsa sea blanca.

07. Se lanza un dado. Si sale un número mayor que 4, se extrae una bola de una caja que contiene 3 blancas y 5 negras. En caso contrario, se extrae una bola de otra caja en la que hay 2 blancas y 6 negras. ¿Cuál es la probabilidad de obtener finalmente una bola negra?

ProbabilidadEjercicios

08. Una urna contiene 5 bolas rojas y2 bolas blancas; otra urna contiene 8bolas rojas y 4 blancas. Se extrae unabola de la primera urna y sin ver sucolor se introduce en la segunda urna;luego se extrae una bola de lasegunda urna. Calcula las siguientesprobabilidades:

A. Que la bola extraída de ambas urnas sea roja.

B. Que la bola extraída de la primera sea roja y de la segunda sea blanca.

C. Que la bola extraída de la primera sea blanca y de la segunda sea roja.

D. Que la bola extraída de ambas sea blanca.

E. Que la bola extraída de la segunda sea roja.

F. Que la bola extraída de la segunda sea blanca.

ProbabilidadEsperanza MatemáticaEn todo fenómeno probabilístico existen dos posibilidades: acertar o no acertar la posibilidad de que ocurra un suceso. Así, por ejemplo: El meteorólogo, después de estudiar las variables que intervienen en el clima, predice cuál será el comportamiento de este (con el ánimo de acertar). El comerciante compra diferentes productos para vender y calcula (a veces, considerando las variables que intervienen en el precio) cuánto deberá vender para estimar la cantidad a comprar. Un jugador de casino tira los dados con cierta fuerza esperando que salga determinada cara para ganar el premio. En estos ejemplos y en muchos otros, todos los que participan tienen la esperanza de ganar (o acertar y cuánto más veces, mejor), pero esto no es fácil.

ProbabilidadEsperanza MatemáticaLa esperanza matemática (o valor esperado o, simplemente esperanza) de una variable aleatoria es la suma de las probabilidades de cada suceso multiplicado por su valor. Esto es: 

Entonces, la esperanza matemática de x o valor esperado de x, E(x) es:

n

i ii 1

E x x .p

1 1 2 2 3 3 n nE x x .p x .p x .p ........... x .p

ProbabilidadEsperanza MatemáticaEjemplo 7: Una lotería electrónica realiza su sorteo los domingos al mediodía. El premio principal lo pueden ganar 0, 1, 2, 3, 4 personas y sus respectivas probabilidades son 0,80, 0,07, 0,06, 0,04, 0,03. ¿Cuál es el número esperado de ganadores en dicho sorteo? Resolución:Para responder a la pregunta debemos calcular la esperanza matemática:

 

El número esperado de ganadores es 0,43 y se interpreta como: “El número esperado de ganadores en 100 sorteos es 43”

E x 0. 0,80 1. 0, 07 2. 0, 06 3. 0, 04 4. 0, 03E x 0, 43

ProbabilidadEsperanza MatemáticaEjemplo 8:Elvira le dice a Juan: Esta urna contiene 70 bolas rojas y 30 bolas blancas. Te doy S/.5 si la bola que extraes es roja y si la bola que extraes es blanca, tú me das S/.15. Si Juan acepta el reto, ¿qué puede esperar si juega muchas veces? Resolución:Analizamos ambas situaciones:La probabilidad de extraer bola roja y ganar S/.5 es

La probabilidad de extraer bola blanca y perder S/.15 es

Calculamos la esperanza matemática E(x)

70 7P R100 10

30 3P B100 10

170 3E x 5. ( 15).10 10

ProbabilidadEjercicios

09. Al invertir en ciertas acciones, una persona puede tener una ganancia en un año de S/.1 800 con probabilidad de 0,3 o tener una pérdida de S/.500 con probabilidad de 0,7. ¿Cuál es la ganancia esperada de esta persona? S/.190

10. Para disuadir a sus compañeros de trabajo de participar en apuestas, Pedro analiza un juego con dados: cada vez que se juega, la casa hace una apuesta de S/.100. Si el participante lanza dos dados y la suma es 7, gana el doble, ¿es equitativo este juego?

Análisis Combinatorio5° SEC