probabilidad

7/17/2019 PROBABILIDAD

http://slidepdf.com/reader/full/probabilidad-568c85f9e97dc 1/186

T e m a 1 .

R e v i s i ó n d e l o s C o n c e

p t o s B á s i c o s d e

P r o b a b i l i d a d

Contenido GeneralContenido General11 Introducción a ProbabilidadIntroducción a Probabilidad

Distribuciones discretasDistribuciones discretasDistribuciones continuasDistribuciones continuas

22 Muestreo y EstimaciónMuestreo y EstimaciónPuntualPuntualEstimación por intervalosEstimación por intervalosPrueba de hipótesisPrueba de hipótesis

33

ReresiónReresiónComponentes principalesComponentes principalesClusters !Conlomerados"Clusters !Conlomerados"

MÉTODOS ESTADÍSTICOS



Revisión de los ConceptosRevisión de los Conceptos#$sicos de Probabilidad#$sicos de Probabilidad

%ema 1 %ema 1



T e m a 1 .




Contenido proram$ticoContenido proram$tico Espacio muestral y a&iomas deEspacio muestral y a&iomas de

probabilidadprobabilidad Probabilidad condicional e independenciaProbabilidad condicional e independencia 'ariables aleatorias discretas y continuas'ariables aleatorias discretas y continuas Medidas de tendencia central y dispersiónMedidas de tendencia central y dispersión Principales distribuciones discretas yPrincipales distribuciones discretas y

continuascontinuas 'ariables aleatorias bidimensionales'ariables aleatorias bidimensionales



T e m a 1 .




%(rminos b$sicos %(rminos b$sicos E&perimentoE

&perimento)) es el proceso dees el proceso deobtener una observaciónobtener una observación

Eventos *implesEventos

*imples)) Cual+uier resultadob$sico de un e&perimento, -n eventosimple no se puede descomponer en

resultados m$s simples,

E.,) /Cu$les son los eventos simples asociadosal lan0amiento de un dado

/Cu$les al lan0amiento de dos dados



T e m a 1 .




%(rminos b$sicos %(rminos b$sicos

Espacio MuestralEs

pacio Muestral)) Es la colección de todoslos eventos simples de un e&perimento,E.,) /Cu$l sera el espacio muestral asociado al lan0amiento de un

dado/Cu$l al lan0amiento de dos dados

EventoEvento) Con.unto de eventos simples,) Con.unto de eventos simples,*ubcon.unto del espacio muestral,*ubcon.unto del espacio muestral,

E.,) -n evento de lan0ar un dado puede ser)E.,) -n evento de lan0ar un dado puede ser)

) 4153567 ) 4153567

Donde sera el evento 8obtener un n9mero impar,:Donde sera el evento 8obtener un n9mero impar,:



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;peraciones elementales;peraciones elementales

UniónUnión El eventoEl evento UniónUnión ((AA B)B) consiste de todosconsiste de todos

los eventos simples que estan contenidos enlos eventos simples que estan contenidos en

A o B y en ambos.A o B y en ambos. AA BB puede ser descrito como que ocurrepuede ser descrito como que ocurre

por lo menos uno de los dos eventos A o B.por lo menos uno de los dos eventos A o B.

AA BB

A B



T e m a 1 .




;peraciones elementales;peraciones elementales IntersecciónIntersección

El evento Intersección !El evento Intersección !A ∩ B)A ∩ B) consiste deconsiste detodos los eventos simples comunes de y #,todos los eventos simples comunes de y #,

A ∩ BA ∩ B puede ser descrito como +ue ocurrenpuede ser descrito como +ue ocurrenambos eventos y #,ambos eventos y #,

A ∩ B



T e m a 1 .

R e v i s i

ó n d e l o s C o n c e



;peraciones elementales;peraciones elementales

ComplementoComplemento El evento <5 llamadoEl evento <5 llamado complementocomplemento de 5de 5

consiste de todos los eventos simples +ue noconsiste de todos los eventos simples +ue noest$n en ,est$n en ,

<< sini=ca +ue el evento no ocurra,sini=ca +ue el evento no ocurra,

A A’



T e m a 1 .




Eventos Dis.untosEventos Dis.untos Eventos dis.untos) Dos eventos son dis.untos si noEventos dis.untos) Dos eventos son dis.untos si no

pueden ocurrir al mismo tiempo5 en otras palabras5pueden ocurrir al mismo tiempo5 en otras palabras5ellos no tienen eventos simples en com9n,ellos no tienen eventos simples en com9n, y # son dis.untos si y # son dis.untos si A ∩ BA ∩ B >> ??

En el siuiente diarama de 'enn y # son dis.untosEn el siuiente diarama de 'enn y # son dis.untospor+ue su intersección es el con.unto vaco, # y C no sonpor+ue su intersección es el con.unto vaco, # y C no sondis.untos,dis.untos,

A B

C



T e m a 1 .




Interpretación @recuentista deInterpretación @recuentista deProbabilidadProbabilidad

Generalmente5 la probabilidad de un evento puedeGeneralmente5 la probabilidad de un evento puedepensarse como la proporción de veces +ue se esperapensarse como la proporción de veces +ue se espera+ue el evento ocurra,+ue el evento ocurra,



T e m a 1 .




&iomas de la probabilidad&iomas de la probabilidadPara cada evento 5 se asina la probabilidad delPara cada evento 5 se asina la probabilidad del

evento tal +ue)evento tal +ue) &ioma 1)&ioma 1) 0 ≤ P(A) ≤ 10 ≤ P(A) ≤ 1

&ioma 2)&ioma 2) P(S ) = 1P(S ) = 1

&ioma 3) *i &ioma 3) *i 115 5 225 5 335 ,,,5 5 ,,,5 nn son dis.untosson dis.untosdos a dosdos a dos))P(AP(A11 AA22 AA33 ...A...Ann) =) = P(AP(A11) + P(A) + P(A22) + P(A) + P(A33) + … P(A) + … P(Ann))



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Eventos complementariosEventos complementarios

*i el evento no ocurre5 decimos +ue su*i el evento no ocurre5 decimos +ue sucomplemento < ha ocurrido y viceversa,complemento < ha ocurrido y viceversa,Aas probabilidades de y < estanAas probabilidades de y < estan

relacionadas por la @órmula)relacionadas por la @órmula)P!<" > 1 B P!"P!<" > 1 B P!"

A A’



T e m a 1 .




Rela eneral de la sumaRela eneral de la suma

Aa probabilidad de la unión de dosAa probabilidad de la unión de doseventos es)eventos es)

P!P! ∪∪ #" > P!" P!#" P! #"#" > P!" P!#" P! #"

Para 3 con.untos)Para 3 con.untos)P!P! ∪∪ ## ∪∪ C" >C" >

P!" P!#"P!" P!#"

P!C" P! #" P! C" P!# C" P!C" P! #" P! C" P!# C"P! # C"P! # C"



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;peraciones elementales;peraciones elementalesE.ercicioE.ercicio

De los voluntarios +ue llean a un banco de sanre5 1de 3 tiene sanre tipo ;F 1 de 165 tipo ;F 1 de 35tipo F y 2 de 165 tipo , *e selecciona al a0ar elnombre de un donante de los reistros del banco,/Cu$l es la probabilidad de +ue la personaseleccionada tena

*anre tipo ;

*anre tipo ;

*anre tipo *anre +ue no es del tipo 5 ni ;



T e m a 1 .




E.ercicioE.ercicio

Aa siuiente tabla muestra un resumen de una encuesta reali0ada aAa siuiente tabla muestra un resumen de una encuesta reali0ada a

6 personas en re@erencia a su posición @rente a la despenali0ación6 personas en re@erencia a su posición @rente a la despenali0acióndel aborto)del aborto)

*i aleatoriamente se selecciona una persona de entre las 65/cu$l es la probabilidad de +ue)

El encuestado est( a @avor de despenali0ar el aborto

El encuestado sea hombre y est( en contra de la

despenali0ación del aborto

A favorA favor En contraEn contra TotalTotal

Mujr!Mujr! 22 11 33

"o#$r!"o#$r! 66 1616 22

TotalTotal 2626 2626 66



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E.ercicioE.ercicioAa siuiente tabla muestra un resumen del an$lisis reali0ado aAa siuiente tabla muestra un resumen del an$lisis reali0ado alas Hechas de un compresor para determinar el rado con +uelas Hechas de un compresor para determinar el rado con +ue(stas satis@acen ciertos re+uerimientos)(stas satis@acen ciertos re+uerimientos)

*i se toma una Hecha al a0ar /cu$l es la probabilidad de +uecumpla con los re+uerimientos de acabado super=cial

/Cu$l es la probabilidad de +ue la Hecha seleccionada cumpla con

los re+uisitos de acabado o con los de curvatura

/Cu$l es la probabilidad de +ue la Hecha cumpla con los re+uisitosde acabado o +ue no cumpla con los de curvatura

/Cu$l es la probabilidad de +ue la Hecha cumpla con los re+uisitosde acabado y curvatura

El acabadosuper=cial cumple

con losre+uerimientos

Aa curvatura cumple con los re+uerimientos

S% S% &o&o

S% S% 3636 66

&o&o 1212 JJ



T e m a 1 .




E.ercicioE.ercicioAa siuiente tabla muestra un resumen del an$lisis reali0ado aAa siuiente tabla muestra un resumen del an$lisis reali0ado alas Hechas de un compresor para determinar el rado con +uelas Hechas de un compresor para determinar el rado con +ue(stas satis@acen ciertos re+uerimientos)(stas satis@acen ciertos re+uerimientos)

*e escoe una Hecha y se observa +ue cumple con los re+uisitosde curvatura, /Cu$l es la probabilidad de +ue la Hecha cumpla conlos re+uisitos de acabado

El acabadosuper=cial cumple

con losre+uerimientos


S% S% &o&o

S% S% 3636 66

&o&o 1212 JJ



T e m a 1 .




Probabilidad CondicionalProbabilidad Condicional *ean y # dos eventos y P!#" K , Aa probabilidad*ean y # dos eventos y P!#" K , Aa probabilidad

condicional de con respecto a # es la probabilidadcondicional de con respecto a # es la probabilidadde +ue ocurra sabiendo +ue ocurre #)de +ue ocurra sabiendo +ue ocurre #)

)(

)()|(

B P

B A P B A P

=



T e m a 1 .




Probabilidad CondicionalProbabilidad Condicional

Probabilidad de +ue un test de embara0o d(Probabilidad de +ue un test de embara0o d(positivo sabiendo +ue la persona est$positivo sabiendo +ue la persona est$

embara0adaembara0ada

Dos mol(culas raras tienden a encontrarseDos mol(culas raras tienden a encontrarsesiempre .untas, Aa probabilidad de +ue unasiempre .untas, Aa probabilidad de +ue una

muestra de aire contena aluna de las dosmuestra de aire contena aluna de las dosmol(culas es pe+ueLa, *in embaro5 comomol(culas es pe+ueLa, *in embaro5 como(stas tienden a aparecer .untas5 el(stas tienden a aparecer .untas5 elconocimiento de +ue una de ellas est$ presenteconocimiento de +ue una de ellas est$ presenteaumenta de manera muy marcada laaumenta de manera muy marcada la

posibilidad de +ue la otra tambi(n est(posibilidad de +ue la otra tambi(n est(resente en la muestra,resente en la muestra,

E.emplo)E.emplo)



T e m a 1 .




E.ercicioE.ercicioAa siuiente tabla muestra un resumen del an$lisis reali0ado a lasAa siuiente tabla muestra un resumen del an$lisis reali0ado a lasHechas de un compresor para determinar el rado con +ue (stasHechas de un compresor para determinar el rado con +ue (stas

satis@acen ciertos re+uerimientos)satis@acen ciertos re+uerimientos)

*e escoe una Hecha y se observa +ue cumple con los re+uisitosde curvatura, /Cu$l es la probabilidad de +ue la Hecha cumpla con

los re+uisitos de acabado

El acabadosuper=cial cumplecon losre+uerimientos


S% S% &o&o

S% S% 3636 66

&o&o 1212 JJ



T e m a 1 .




Probabilidad CondicionalProbabilidad Condicional

)(

)()|(

B P

B A P B A P

=

Axioma 1: Axioma 1: 0 ≤ P(A) ≤ 10 ≤ P(A) ≤ 1

¿Puede violarse este axioma al aplicar esta órmula!¿Puede violarse este axioma al aplicar esta órmula!

"#inda#inda



T e m a 1 .




Eventos independientesEventos independientes

Dos eventos y # sonDos eventos y # son 'nn'nt!'nn'nt! si lasi laprobabilidad de +ue ocurra uno no a@ecta laprobabilidad de +ue ocurra uno no a@ecta laocurrencia del otroocurrencia del otro

)()|( A P B A P =

)()()( B P A P B A P =

"#ue$o:#ue$o:)(

)()()|(

B P

B A P A P B A P

==



T e m a 1 .




En un rupo de estudiantes de bachillerato +ueEn un rupo de estudiantes de bachillerato +ueconsta de mu.eres y varones5 se observaconsta de mu.eres y varones5 se observa+ue 2 chicas y 1 muchachos usan lentes,+ue 2 chicas y 1 muchachos usan lentes,dem$s5 se sabe +ue si un estudiante es eleidodem$s5 se sabe +ue si un estudiante es eleidoaleatoriamente la probabilidad de +ue elaleatoriamente la probabilidad de +ue el

estudiante use lentes es N>,estudiante use lentes es N>,Considerando esto5Considerando esto5Calcule la probabilidad de +ue un estudianteCalcule la probabilidad de +ue un estudianteeleido aleatoriamente use lentes dado +ue es uneleido aleatoriamente use lentes dado +ue es unestudiante varónestudiante varón

/Puede usted a=rmar +ue ambos eventos son/Puede usted a=rmar +ue ambos eventos sonindependientes en este rupoindependientes en este rupo




T e m a 1 .


p t o s B á s i c o s d e P r o b a b i l i d a d


/Oue los eventos sean/Oue los eventos seanindependientes sini=ca +ueindependientes sini=ca +uelos eventos son e&cluyenteslos eventos son e&cluyentes



T e m a 1 .


p t o s B á s i c o s d e P r o b a b i l i d a d

Encuesta encubiertaEncuesta encubierta *e desea determinar el porcenta.e de homose&uales en el ulia,*e desea determinar el porcenta.e de homose&uales en el ulia,

Dado +ue el ser homose&ual no es ampliamente aceptado en laDado +ue el ser homose&ual no es ampliamente aceptado en lasociedad no podemos hacer preuntas directas5 para ellosociedad no podemos hacer preuntas directas5 para elloutili0amos tems del tipo) Es homose&ual o es @umador5 deutili0amos tems del tipo) Es homose&ual o es @umador5 demanera +ue la persona conteste con honestidad, Por e.emplo)manera +ue la persona conteste con honestidad, Por e.emplo)

Si Ud. fuma o es homosexual responda la siguiente pregunta …Si Ud. fuma o es homosexual responda la siguiente pregunta …

Es importante +ue el evento de inter(s5 en este caso serEs importante +ue el evento de inter(s5 en este caso serhomose&ual5 sea relacionado con eventos independientes de (l5homose&ual5 sea relacionado con eventos independientes de (l5tales como ser @umador5 hacer deporte5 etc,tales como ser @umador5 hacer deporte5 etc,



T e m a 1 .

R e v i s i ó n d e l o s C o n c e p t o s B á s i c o s d e P r o b a b i l i d a d

)(1

)()()(

F P

F P H F P H P

−−

=

Encuesta encubiertaEncuesta encubierta

P!Q"P!Q" Probabilidad de ser @umador !Conocida"Probabilidad de ser @umador !Conocida" P!"P!" Probabilidad de ser homose&ual !#uscada"Probabilidad de ser homose&ual !#uscada" Q y son eventos independientesQ y son eventos independientes

P!QP!Q ∪∪ " > P!Q" P!" B P!Q" > P!Q" P!" B P!Q "" S-niónTS-niónT

P!QP!Q ∪∪ " > P!Q" P!" B P!Q"UP!"" > P!Q" P!" B P!Q"UP!" SQ y IndependientesTSQ y IndependientesT

Despe.amos P!" y resulta)Despe.amos P!" y resulta)



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&*#ro &*#ro

'jo!'jo! ,a!aa!,a!aa! Soltra!Soltra! Total!Total!

,3,3 ,1,1 ,,

11 ,16,16 ,6,6 ,2,2

22 ,1,1 ,6,6 ,16,16

33 ,, ,, ,1,1 ,, ,1,1 ,6,6

6 ó m$s6 ó m$s ,V,V ,3,3 ,1,1

%otal %otal ,V2,V2 ,2J,2J 1,1,

Aa siuiente tabla muestra porcenta.e de mu.eres adultas deslosadaspor estado civil y n9mero de hi.os en el pueblo de Macondo )

*upona +ue de este con.unto se toma al a0ar una mu.er, *ean ) elevento la mu.er tiene cuatro o m$s hi.os y #) el evento estar casada,allar)

a, P!" b, P!#W" c, P!#" d, P!W#"

e, P! - #"

d % d P b bilid d% d P b bilid d



T e m a 1 .


Aa probabilidad de in@arto para hipertensosAa probabilidad de in@arto para hipertensoses del 53 y para no hipertensos del 51, *ies del 53 y para no hipertensos del 51, *ila probabilidad de hipertensión en unala probabilidad de hipertensión en unacierta población es del 26N /Cu$l es lacierta población es del 26N /Cu$l es la

probabilidad del in@arto en esa poblaciónprobabilidad del in@arto en esa población

%eorema de Probabilidad %eorema de Probabilidad %otal %otal

22

11

)( 1 A B)( 2 A B

A1 % &ser 'ipertenso( A) % &no serlo((estos sucesos constituyen una partición)

B % &padecer inarto(P(B) = ?P(B) = ?BB

)(*)|()( A P A B P A B P =Recordemos *ue:

d



T e m a 1 .


%eorema de Probabilidad %eorema de Probabilidad

%otal %otal 115 5 225X5 5X5 5 @orman5 @ormanuna partición deluna partición delespacio muestral,espacio muestral,

11

33

66

22

##

ji A A ji ≠∀=φ

∑=i

ii A P A B P B P )()|()(

d



T e m a 1 .


Cuando los artculos llean al =nal de una lnea deCuando los artculos llean al =nal de una lnea deproducción5 un supervisor escoe los +ue debenproducción5 un supervisor escoe los +ue debenpasar por una inspección completaF 1N de todos lospasar por una inspección completaF 1N de todos losartculos producidos son de@ectuososF N de todosartculos producidos son de@ectuososF N de todos

los artculos de@ectuosos y 2N de todos los artculoslos artculos de@ectuosos y 2N de todos los artculosbuenos pasan por una inspección completa, /Cu$l esbuenos pasan por una inspección completa, /Cu$l esla probabilidad de +ue un artculo sea de@ectuoso5la probabilidad de +ue un artculo sea de@ectuoso5dado +ue pasó por una inspección completadado +ue pasó por una inspección completa

%eorema de #ayes, E.ercicio %eorema de #ayes, E.ercicio

d



T e m a 1 .


%eorema de #ayes %eorema de #ayes

Por de=nición de probabilidad condicional se tiene)Por de=nición de probabilidad condicional se tiene)

)()|()()|()( B P B A P A P A B P B A P ==

)(

)()|(

)|( B P

A P A B P

B A P =

d



T e m a 1 .


%eorema de #ayes %eorema de #ayes

∑=

i

ii A P A B P A P A B P B A P

)()|()()|()|( 11

1

11

33

66

22

##

d



T e m a 1 .

R e v i s

i ó n d e l o s C o n c e p t o s B á s i c o s d e P r o b a b i l i d a d

%eorema de #ayes %eorema de #ayes Para el caso de una partición en dosPara el caso de una partición en dos

con.untos y con.untos y CC))

)()|()()|(

)()|()|(

C C A P A B P A P A B P

A P A B P B A P

+=

d



T e m a 1 .

R e v i s


El departamento de meteoroloa ha anunciado tresEl departamento de meteoroloa ha anunciado tresposibilidades para el =n de semana)posibilidades para el =n de semana)a"a" Oue llueva) probabilidad del 6NOue llueva) probabilidad del 6Nb"b" Oue nieve) probabilidad del 3NOue nieve) probabilidad del 3Nc"c" Oue haya niebla) probabilidad del 2NOue haya niebla) probabilidad del 2N

*e9n estos posibles estados meteorolóicos5 la*e9n estos posibles estados meteorolóicos5 laposibilidad de +ue ocurra al9n accidente es laposibilidad de +ue ocurra al9n accidente es lasiuiente)siuiente)

a"a" *i llueve) 2N*i llueve) 2N

b"b"

*i nieva) 1N*i nieva) 1N

c"c" *i hay niebla) 6N*i hay niebla) 6NResulta +ue -d5 +ue estaba de via.e5Resulta +ue -d5 +ue estaba de via.e5escuchó en la radio +ue ocurrió un accidenteescuchó en la radio +ue ocurrió un accidenteel =n de semana /cu$l es la probabilidadel =n de semana /cu$l es la probabilidad

de +ue estuviera nevandode +ue estuviera nevando


d



T e m a 1 .

R e v i s


Aos clientes se encaran de evaluar los diseLos preliminaresAos clientes se encaran de evaluar los diseLos preliminares

de varios productos, En el pasado5 el Y6N de los productosde varios productos, En el pasado5 el Y6N de los productoscon mayor (&ito en el mercado recibieron buenascon mayor (&ito en el mercado recibieron buenasevaluaciones5 el N de los productos con (&ito moderadoevaluaciones5 el N de los productos con (&ito moderadorecibieron buenas evaluaciones5 y el 1N de productos derecibieron buenas evaluaciones5 y el 1N de productos deescaso (&ito recibieron buenas evaluaciones, dem$s5 elescaso (&ito recibieron buenas evaluaciones, dem$s5 el

N de los productos ha tenido mucho (&ito5 el 36N unN de los productos ha tenido mucho (&ito5 el 36N un(&ito moderado y el 26N una ba.a aceptación,(&ito moderado y el 26N una ba.a aceptación,a, /Cu$l es la probabilidad de +ue un productoobtena una buena evaluación

b, *i un nuevo diseLo recibe una buenaevaluación5 /cu$l es la probabilidad de +ue se

convierta en un producto de ran (&itoc, *i un producto no obtiene una buenaevaluación5 /cu$l es la probabilidad de +ue seconvierta en un producto de ran (&ito


d



T e m a 1 .

R e v i s


un sospechoso se le aplica un suero de la verdad un sospechoso se le aplica un suero de la verdad

+ue se sabe +ue es con=able en un YN cuando la+ue se sabe +ue es con=able en un YN cuando lapersona es culpable y en un YYN si la persona espersona es culpable y en un YYN si la persona esinocente, Es decir5 un 1N de los culpables soninocente, Es decir5 un 1N de los culpables sondetectados como inocentes y un 1N de los inocentesdetectados como inocentes y un 1N de los inocentes

son .u0ados culpables, *i se administra el suero ason .u0ados culpables, *i se administra el suero aun sospechoso escoido de un rupo donde solo elun sospechoso escoido de un rupo donde solo el6N han cometido un crimen y el suero indica +ue es6N han cometido un crimen y el suero indica +ue esculpable5 /Cu$l es laculpable5 /Cu$l es la

probabilidad de +ue sea inocenteprobabilidad de +ue sea inocente


d

' i bl l t i' i bl l t i



T e m a 1 .

R e v i s


+xperimento: lan,ar tres monedas+xperimento: lan,ar tres monedas

- % &cccccxcxcxcccxxxcxxxcxxx(- % &cccccxcxcxcccxxxcxxxcxxx(

xxx

ccc

ccxcxcxcc

cxxxcxxxc

0

3

2

1

- R

Variab! a!a"#riaVariab! a!a"#ria:

/unción del espaciomuestral - en elcon0unto de los reales R

'ariables leatorias'ariables leatorias

23mero de caras4

d



T e m a 1 .

R e v i s


-na-na var'a$l alator'avar'a$l alator'a es una @unción +ue asinaes una @unción +ue asina

un n9mero real a cada resultado en el espacioun n9mero real a cada resultado en el espaciomuestral de un e&perimento aleatorio,muestral de un e&perimento aleatorio,

-n'c'/n-n'c'/n


E.emplos de variables aleatorias son)E.emplos de variables aleatorias son) Z9mero de aLos +ue un reci(n nacido va a vivirZ9mero de aLos +ue un reci(n nacido va a vivir Z9mero de hembras en @amilias de 3 hi.osZ9mero de hembras en @amilias de 3 hi.os

d



T e m a 1 .

R e v i s

i ó n d e l o s C o n c e p t o s B á s i c o s d e P r o b a b i l i d a

Aas variables aleatorias se denotan con unaletra may9scula !por e.emplo [" y con una

letra min9scula !&" el valor posible de lavariable,


Aas variables aleatorias tienen asociada unaAas variables aleatorias tienen asociada unaestructura de probabilidad +ue se caracteri0a porestructura de probabilidad +ue se caracteri0a porla distribución de probabilidadla distribución de probabilidad

d



T e m a 1 .

R e v i s


556%6% x” x” representa elrepresenta el eventoevento 7la variable aleatoria 6 toma el7la variable aleatoria 6 toma el

valorvalor x x 7 87 8

p6%p6% x x 4 representa la4 representa la probabilidadprobabilidad de dic'o suceso.de dic'o suceso.

556969 x x representa el representa el eventoevento 7la variable aleatoria 6 toma un7la variable aleatoria 6 toma unvalor menor avalor menor a x x 7 87 8

p69p69 x x 4 representa la4 representa la probabilidadprobabilidad de *ue la v.a. 6 tome unde *ue la v.a. 6 tome un

valor menor avalor menor a x x ..


a d



T e m a 1 .

R e v i s



DiscretasDiscretas -na-na Variable Aleatoria X es DiscretaVariable Aleatoria X es Discreta si elsi el

con.unto de valores +ue toma es =nito o5 sicon.unto de valores +ue toma es =nito o5 sies in=nito5 puede ordenarse en unaes in=nito5 puede ordenarse en unasecuencia +ue se corresponda con lossecuencia +ue se corresponda con losn9meros naturales,n9meros naturales, E.emplo)E.emplo)

El n9mero de artculos de@ectuosos en unaEl n9mero de artculos de@ectuosos en unaselección de artculos de entre 2selección de artculos de entre 2 El n9mero de traba.os recibidos por un centroEl n9mero de traba.os recibidos por un centro

de cómputo en un dade cómputo en un da

a d



T e m a 1 .

R e v i s



DiscretasDiscretas E.emplo) -na pare.a decide tener hi.os hastaE.emplo) -na pare.a decide tener hi.os hasta

+ue na0ca un varón o 6 hembras, *ea la+ue na0ca un varón o 6 hembras, *ea la

variable aleatoria n9mero de hembrasvariable aleatoria n9mero de hembras

a d 'ariable aleatoria n9mero de'ariable aleatoria n9mero de



T e m a 1 .

R e v i s

i ó n d e l o s C o n c e p t o s B á s i c o s d e P r o b a b i l i d a 'ariable aleatoria n9mero de'ariable aleatoria n9mero de

hembrashembras

EventoEvento probabilidad probabilidad Variable Variablealeatorialeatori

aa

vv

hvhv

hhvhhv

hhhvhhhv

hhhhvhhhhv

hhhhhhhhhhPara cada valor +ue toma la variable es necesario conocer su prob

a d 'ariable aleatoria n9mero de'ariable aleatoria n9mero de



T e m a 1 .

R e v i s

i ó n d e l o s C o n c e p t o s B á s i c o s d e P r o b a b i l i d a 'ariable aleatoria n9mero de'ariable aleatoria n9mero de

hembrashembras

EventoEvento probabilidad probabilidad Variable Variablealeatorialeatori

aa

vv 1/21/2 00

hvhv 1/41/4 11

hhvhhv 1/81/8 22

hhhvhhhv 1/161/16 33

hhhhvhhhhv 1/321/32 44

hhhhhhhhhh 1/321/32 55Para cada valor +ue toma la variable es necesario conocer su prob

a d



T e m a 1 .

R e v i s


AaAa '!tr'$uc'/n ro$a$'l'a'!tr'$uc'/n ro$a$'l'a para unapara unavariable aleatoria discretavariable aleatoria discreta y, y, se representa porse representa poruna tabla 5 r$=ca o @órmula5 +ue da launa tabla 5 r$=ca o @órmula5 +ue da la

probabilidadprobabilidad p(y p(y asociada a cada posible valorasociada a cada posible valordede y y ,,

∑ =ytoda1 p(y)

,aractr%!t'ca!,aractr%!t'ca!

a d



T e m a 1 .

R e v i s


*e lan0a dos veces una moneda balanceada*e lan0a dos veces una moneda balanceada

y se observa el n9mero [ de caras, Calcule lay se observa el n9mero [ de caras, Calcule la

distribución de probabilidad para [,distribución de probabilidad para [,

E.emplo)E.emplo)

a d



T e m a 1 .

R e v i s


El espacio muestral de un e&perimento aleatorio es 4a5 b5 c5 d5 e5El espacio muestral de un e&perimento aleatorio es 4a5 b5 c5 d5 e5@7 y cada resultado es iualmente probable, *e de=ne una@7 y cada resultado es iualmente probable, *e de=ne unavariable aleatoria de la siuiente manera)variable aleatoria de la siuiente manera)

resultadoresultado aa $$ cc f f

x x 156156 156156 22 33

Determine la @unción de probabilidad de [,Determine la @unción de probabilidad de [,

Determine las siuientes probabilidades)Determine las siuientes probabilidades)

P![ > 156"P![ > 156"

P!56 \ [ \ 25V"P!56 \ [ \ 25V"P! \> [ \ 2"P! \> [ \ 2"

P![> o [>2"P![> o [>2"

a d



T e m a 1 .

R e v i s

i ó n d e l o s C o n c e p t o s B á s i c o s d

e P r o b a b i l i d a

#a representación $ráica más usual de la unción de#a representación $ráica más usual de la unción de

probabilidad es un dia$rama de barrasprobabilidad es un dia$rama de barras no acumulativono acumulativo..

a d $%&ci'& ! Di"rib%ci'&* Ac%+%aa



T e m a 1 .

R e v i s

i ó n d e l o s C o n c e p t o s B á s i c o s d

e P r o b a b i l i d a $%&ci'& ! Di"rib%ci'&* Ac%+%aa

a d $%&ci'& ! Di"rib%ci'& Ac%+%aa



T e m a 1 .

R e v i s

i ó n d e l o s C o n c

e p t o s B á s i c o s d


-u representación $ráica tiene orma escalonada siendo los-u representación $ráica tiene orma escalonada siendo lossaltos coincidentes con las probabilidades psaltos coincidentes con las probabilidades p ii correspondientes acorrespondientes a

los valores xlos valores xii de la variable 6.de la variable 6.

$%&ci'& ! Di"rib%ci'& Ac%+%aa

a d



T e m a 1 .

R e v i s




*upónase +ue la @unción de distribución acumulada de la*upónase +ue la @unción de distribución acumulada de lavariable aleatoria [ es)variable aleatoria [ es)

Determine la distribución de probabilidadDetermine la distribución de probabilidadde [,de [,

Determine el valor de @ Determine el valor de @ [[!"!"

&\2&\2,2,2 2 \> & \ 2 \> & \ ,V,V \> & \ 2 \> & \ 211 2 \> &2 \> &

QQ&&!&"!&"

1

;.<

;.)

=) =1 ; 1 )

a d



T e m a 1 .

R e v i s




ProbabilidadesProbabilidades

*i la 'ariable [ es discreta)*i la 'ariable [ es discreta)

Prob! [Prob! [ ]] ^ " > Q!^"^ " > Q!^"

Prob! hProb! h ]] [[ ]] ^ "> Q!^" Q!h1"^ "> Q!^" Q!h1"Prob! [ K ^ " > 1 Q!^"Prob! [ K ^ " > 1 Q!^"

Prob! [ > ^ "> Q!^" Q!^1"Prob! [ > ^ "> Q!^" Q!^1"

Prob! [ \ ^ " > Q!^1"Prob! [ \ ^ " > Q!^1"

a d



T e m a 1 .

R e v i s





ContinuasContinuas -na 'ariable aleatoria [ es-na 'ariable aleatoria [ es cont'nuacont'nua si elsi el

con.unto de valores +ue toma es uno ocon.unto de valores +ue toma es uno o

m$s intervalos de la recta real,m$s intervalos de la recta real, *u distribución de probabilidad est$*u distribución de probabilidad est$caracteri0ada por lacaracteri0ada por la func'/n n!'afunc'/n n!'a @ @ ))

a b

Aa probabilidad es el $rea ba.o laAa probabilidad es el $rea ba.o lacurvacurva

∫ =≤≤

b

a dx x f b X a prob )()(

a d



T e m a 1 .

R e v i s



e P r o b a b i l i d

+0emplos:+0emplos:

-upon$amos el experimento *ue consiste en ele$ir al a,ar-upon$amos el experimento *ue consiste en ele$ir al a,ar>;; personas 8 medir su estatura. #a unción *ue asocia a>;; personas 8 medir su estatura. #a unción *ue asocia a

cada persona su estatura es una variable aleatoriacada persona su estatura es una variable aleatoria

continua.continua.

Consideremos el experimento *ue consiste en ele$ir alConsideremos el experimento *ue consiste en ele$ir ala,ar 1;; patillas de una plantación 8 pesarlas. #a uncióna,ar 1;; patillas de una plantación 8 pesarlas. #a unción*ue asocia a cada patilla su peso es una variable*ue asocia a cada patilla su peso es una variablealeatoria continua.aleatoria continua.

Pero ¿serán esas las variables asociadas a esos experimentos!

a d



T e m a 1 .

R e v i s




Distribución de ProbabilidadDistribución de Probabilidad

Con el propósito de calcular probabilidades5 seCon el propósito de calcular probabilidades5 setabula esta Qunción de Distribución cumulada,tabula esta Qunción de Distribución cumulada,

Qunción dedistribuciónacumulada

Densidad de

Probabilidad

@

Q

a d



T e m a 1 .

R e v i s




Pro'a! una func'/n n!'a

∫ ∫

=<<=

>=∞

∞

b

ababa

f

constantessonydondef(x)dx,)xP(.3

1f(x)dx.2

0(x).1

-

d a d



T e m a 1 .

R e v i s




)x(x)x(x

)x(x)x(x

2121

2121

<<=<≤

=≤<=≤≤ X P X P

X P X P

Para cual*uier x1 8 x)

P6%x4%;P6%x4%;

-i 6 es una variable aleatoria continua entonces

d a d



T e m a 1 .

R e v i s




Qunción de DistribuciónQunción de Distribución

cumuladacumulada

*i @!&" es la @unción de densidad su*i @!&" es la @unción de densidad sudistribución acumulada est$ dada por)distribución acumulada est$ dada por)

Por ser una probabilidad siempre sePor ser una probabilidad siempre secumple +ue)cumple +ue) 0 ≤0 ≤ F F (( x x) ≤ 1) ≤ 1,,

∫ ∞−=≤= x

dx x f x X prob x F )()()(

d a d



T e m a 1 .

R e v i s




cyy si \> y \> 1si \> y \> 1 en cual+uier otro puntoen cual+uier otro punto

@!y"@!y"

Calcule el valor deCalcule el valor de c

Calcule P!,2 \ y \,6"Calcule P!,2 \ y \,6"

;btena la @unción de distribución acumulada para la variable;btena la @unción de distribución acumulada para la variablealeatoriaaleatoria

Calcule Q!,2" y Q!,V"Calcule Q!,2" y Q!,V"

*ea*ea c una constante y consideremos la @unción de densidaduna constante y consideremos la @unción de densidad

E.emplo)E.emplo)

d a d



T e m a 1 .

R e v i s




P(0,2 - . - 0,/)

d a d



T e m a 1 .

R e v i s




$(0,)

d a d



T e m a 1 .

R e v i s




ProbabilidadesProbabilidades

*i la 'ariable es [ continua)*i la 'ariable es [ continua)

Prob! [Prob! [ ]] a " > Q!a"a " > Q!a"

Prob! aProb! a \\ [[ ]] b "> Q!b" Q!a"b "> Q!b" Q!a"

Prob! [ K a " > 1 Q!a"Prob! [ K a " > 1 Q!a"

d a d



T e m a 1 .

R e v i s




Medidas de %endenciaMedidas de %endencia

CentralCentral Para una 'ariable leatoria [ esPara una 'ariable leatoria [ es

necesario establecer su valor medio5necesario establecer su valor medio5

!!Valor !speradoValor !sperado"5 y cómo se dispersa"5 y cómo se dispersa

respecto de su valor mediorespecto de su valor medio

!!Varian"aVarian"a",",

d a d



T e m a 1 .

R e v i s




'alor esperado'alor esperado *i [ es discreta se de=ne el*i [ es discreta se de=ne el ValorValor

!sperado!sperado E![")E![")

*i [ es continua se de=ne el*i [ es continua se de=ne el ValorValor!sperado!sperado E![")E![")

∑ ∗== )()( x P x X E µ

∫ ∞

∞−== dx x xf X E )()( µ

d a d



T e m a 1 .

R e v i s i ó n d e l o s C o n c



*upona la siuiente distribución para una variable aleatoria [ y*upona la siuiente distribución para una variable aleatoria [ ypara una variable _)para una variable _)

Determine el valor esperado de [ y de _Determine el valor esperado de [ y de _

x x 11 2020 2222

f(x)f(x) ,2,2 ,, ,2,2

y y 00 11 22 00

f(y)f(y) ,2,2 ,3,3 ,3,3 ,2,2

∑ ∗== )()( x P x X E µ

d a d



T e m a 1 .




&&22`3`3 si 1\> & \> 2si 1\> & \> 2 en cual+uier otro puntoen cual+uier otro punto

@!&"@!&"

Calcule la media o valor esperado de &Calcule la media o valor esperado de &

*ea [ una variable aleatoria continua cuya @unción de*ea [ una variable aleatoria continua cuya @unción de

densidad de probabilidad est$ dada por)densidad de probabilidad est$ dada por)

E.emplo)E.emplo)

∫ ∞

∞−== dx x xf X E )()( µ

d a d



T e m a 1 .




MedianaMediana

AaAa medianamediana es el n9mero donde laes el n9mero donde la

distribución acumulada vale ,distribución acumulada vale ,

Q!mediana">1`2Q!mediana">1`2

*i la distribución es sim(trica la media y la*i la distribución es sim(trica la media y la

mediana coinciden,mediana coinciden,

d a d



T e m a 1 .




Medidas de DispersiónMedidas de Dispersión

)()(2

- X E = X V µ

Varia&a*

d a d



T e m a 1 .



e P r o b a b i l i


*i*i X X es discreta se de=ne laes discreta se de=ne la #arian"a#arian"a V V (( X X ):):

∑ −= )()()( 2 x P x X V µ

d a d



T e m a 1 .



e P r o b a b i l i


*i*i X X es continua se de=ne laes continua se de=ne la #arian"a#arian"a V V (( X X ))))

( )22)()( µ −= ∫

∞

∞−dx x f x X V

i d a d



T e m a 1 .



e P r o b a b i l i


) X V( =σ

y lay la Des#iaci$n !st%ndar Des#iaci$n !st%ndar ))

i d a d

Di ib i i d



T e m a 1 .



e P r o b a b i l i

Distribuciones continuas deDistribuciones continuas dedistinta 'arian0adistinta 'arian0a

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 600

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

> J

> 3

i d a d

' i Di t ib ió' i Di t ib ió



T e m a 1 .



e P r o b a b i l

'arian0a Distribución'arian0a Distribución

ZormalZormal *i dos poblaciones tienen una altura*i dos poblaciones tienen una alturapromedio de 15V m,5 pero la primerapromedio de 15V m,5 pero la primerapresenta una desviación est$ndar de 56 ypresenta una desviación est$ndar de 56 yla seunda de 156,la seunda de 156,

/Ou( di@erencia se observara entre una y/Ou( di@erencia se observara entre una yotra poblaciónotra población

/En cu$l esperaramos encontrar un mayor/En cu$l esperaramos encontrar un mayorporcenta.e de personas de menos de 15porcenta.e de personas de menos de 15mm

i d a d



T e m a 1 .



e P r o b a b i l

*upona la siuiente distribución para una variable aleatoria [ y*upona la siuiente distribución para una variable aleatoria [ ypara una variable _)para una variable _)

Determine la varian0a de [ y de _Determine la varian0a de [ y de _

x x 11 2020 2222

f(x)f(x) ,2,2 ,, ,2,2

y y 00 11 22 00

f(y)f(y) ,2,2 ,3,3 ,3,3 ,2,2

∑∑ −=−= 222 )()()()( µ µ x P x x P x X V

i d a d



T e m a 1 .



e P r o b a b i l

&&22`3`3 si 1 \> & \> 2si 1 \> & \> 2 en cual+uier otro puntoen cual+uier otro punto

@!&"@!&"

Calcule la varian0a de &Calcule la varian0a de &

*ea [ una variable aleatoria continua cuya @unción de*ea [ una variable aleatoria continua cuya @unción de

densidad de probabilidad est$ dada por)densidad de probabilidad est$ dada por)

E.emplo)E.emplo)

( )22)()( µ −= ∫

∞

∞−dx x f x X V

i d a d

!a E+45rica



T e m a 1 .



e P r o b a b i l

"-i un con0unto de datos tiene una distribución sim?trica con orma-i un con0unto de datos tiene una distribución sim?trica con orma

aproximada de 50oroba pueden utili,ar las si$uientes re$lasaproximada de 50oroba pueden utili,ar las si$uientes re$lasprácticas para describir el con0unto de datos:prácticas para describir el con0unto de datos:" Aproximadamente el @ de las observaciones *uedan a 1 Aproximadamente el @ de las observaciones *uedan a 1desviación estándar de su media esto es dentro del intervalodesviación estándar de su media esto es dentro del intervalo DD EE para poblaciones4para poblaciones4" Aproximadamente el F> *uedan a ) desviaciones estándar de su Aproximadamente el F> *uedan a ) desviaciones estándar de su

media esto es dentro del intervalomedia esto es dentro del intervalo DD ))EE para poblaciones4para poblaciones4" Casi todas *uedan a menos de G desviaciones estándar de suCasi todas *uedan a menos de G desviaciones estándar de sumedia esto es dentro del intervalomedia esto es dentro del intervalo DD GGEE para poblaciones4para poblaciones4

4

l i d a d

E.emplo de DistribucionesE.emplo de Distribuciones



T e m a 1 .



e P r o b a b i l E.emplo de DistribucionesE.emplo de Distribuciones

DiscretasDiscretas -na pare.a decide tener hi.os hasta-na pare.a decide tener hi.os hasta

+ue na0ca un varón o 6 hembras, *i+ue na0ca un varón o 6 hembras, *iesta conducta es adoptada por todosesta conducta es adoptada por todos

los marabinos5los marabinos5 /se altera el orden/se altera el ordennatural acerca del e+uilibrio entrenatural acerca del e+uilibrio entrehombres mu.ereshombres mu.eres /Cu$l sera el n9mero promedio !valor/Cu$l sera el n9mero promedio !valor

esperado" de hembras y varones deesperado" de hembras y varones decada pare.acada pare.a

l i d a d



T e m a 1 .



e P r o b a b i l

*olución del E.emplo*olución del E.emplo

31/3231/3211totaltotal

5/325/32551/321/32hhhhhhhhhh

1/81/8441/321/32hhhhvhhhhv

3/163/16331/161/16hhhvhhhv

1/41/4221/81/8hhvhhv

1/41/4111/41/4hvhv

00001/21/2vv

x P(x)x P(x)HembraHembraP(x)P(x)EventoEvento

'alor esperado de hembras > 31`32

l i d a d



T e m a 1 .



e P r o b a b i

11totaltotal

001/321/32hhhhhhhhhh

111/321/32hhhhvhhhhv

111/161/16hhhvhhhv

111/81/8hhvhhv

111/41/4hvhv

111/21/2vv

x P(x)x P(x) Varone VaroneP(x)P(x)EventoEvento

31/3231/32

00

1/321/32

1/161/16

1/81/8

1/41/4

1/21/2

'alor esperado de varones > 31`32

*olución del E.emplo*olución del E.emplo

l i d a d

lunos resultados sobrelunos resultados sobre



T e m a 1 .



e P r o b a b i

-i 6 e H son variable aleatorias 8 I es una constante-i 6 e H son variable aleatorias 8 I es una constante

entonces:entonces:

+I4 % I+I4 % I +I 64% I +64+I 64% I +64

+6JH4% +64 J +H4+6JH4% +64 J +H4

K64 % +L6 =K64 % +L6 = MM44))N % +6N % +6))4 =4 = MM))

lunos resultados sobrelunos resultados sobrevalores esperados y varian0asvalores esperados y varian0as

l i d a d



T e m a 1 .



e P r o b a b i

'alor Esperado'alor Esperado

Decisiones)Decisiones) InversionesInversiones

Rieso y GananciaRieso y Ganancia AoteraAotera *euro*euro

l i d a d



T e m a 1 .

R e v i s i ó n d e l o s C o n c e p t o s B á s i c o s d

e P r o b a b i

DistribucionesDistribuciones

DiscretasDiscretas

i l i d a d



T e m a 1 .


e P r o b a b i

E > PositivoE > PositivoE Q E E E

[ >

n > 6

6 pruebas de embara0o6 pruebas de embara0o

*i estando embara0ada la probabilidad de*i estando embara0ada la probabilidad de+ue el test d( positivo es ,Y /Cu$l es la+ue el test d( positivo es ,Y /Cu$l es laprobabilidad de obtener o m$s positivosprobabilidad de obtener o m$s positivosen 6 ensayosen 6 ensayos !estando la mu.erembara0ada"

i l i d a d



T e m a 1 .


e P r o b a b i

Distribución #inomialDistribución #inomial

Caractersticas)Caractersticas) ay n ensayos independientes,ay n ensayos independientes,

El resultado de cada ensayo es (&ito !E"El resultado de cada ensayo es (&ito !E"o @racaso !Q",o @racaso !Q", Aa probabilidad p de (&ito es constanteAa probabilidad p de (&ito es constante

en los ensayos,en los ensayos,

Distribución asociada al muestreo conDistribución asociada al muestreo conreempla0o,reempla0o,

i l i d a d



T e m a 1 .


e P r o b a b


Par$metros)Par$metros)

n5 p,n5 p,

'ariable aleatoria)'ariable aleatoria)

Z9mero & de (&itosZ9mero & de (&itos

en los n ensayos,en los n ensayos,

'alor esperado) /'alor esperado) /

'arian0a)'arian0a)

¿Cuál es la probabilidad de¿Cuál es la probabilidad deobtener x ?xitos!obtener x ?xitos!

xn x p p x

n x P −−

= )1()(

i l i d a d



T e m a 1 .

R e v i s i ó n d e l o s C o n c e p t o s B á s i c o s d e P r o b a b


Par$metros)Par$metros)

n5 p,n5 p,

'ariable aleatoria)'ariable aleatoria)Z9mero & de (&itos en losZ9mero & de (&itos en los

n ensayos,n ensayos,

'alor esperado)'alor esperado)E!["> n pE!["> n p

'arian0a)'arian0a)

'!["> n p !1p"'!["> n p !1p"

xn x p p x

n x P

−−

= )1()(

i l i d a d

Gr$=ca de DistribuciónGr$=ca de Distribución



T e m a 1 .

R e v i s i ó n d e l o s C o n c e p t o s B á s i c o s d e P r o b a b Gr$=ca de DistribuciónGr$=ca de Distribución

#inomial#inomial

0 2 4 6 8 10 120

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Acotada Acotada

b i l i d a d

E.emplo de DistribuciónE.emplo de Distribución



T e m a 1 .


E > PositivoE > Positivo

1-binocdf(3, 5,1-binocdf(3, 5,

E Q E E E

[ >

n > 6

. p. p#inomial#inomial

6 pruebas de embara0o6 pruebas de embara0o *i estando embara0ada la probabilidad de*i estando embara0ada la probabilidad de

+ue el test d( positivo es ,Y /Cu$l es la+ue el test d( positivo es ,Y /Cu$l es laprobabilidad de obtener o m$s positivosprobabilidad de obtener o m$s positivos

en 6 ensayosen 6 ensayos

6 ,Y6 ,Y & ,1 6 ,Y& ,1 6 ,Y66 & ,1& ,1 > ,32J6 ,6Y6 > > ,32J6 ,6Y6 > 6 6

b i l i d a d

Distribución #inomial E.ercicioDistribución #inomial E.ercicio



T e m a 1 .

R e v i

s i ó n d e l o s C o n c e p t o s B á s i c o s d e P r o b a b Distribución #inomial, E.ercicioDistribución #inomial, E.ercicio

De acuerdo a un estudio reali0ado5 el 2N deDe acuerdo a un estudio reali0ado5 el 2N delas personas adultas de #arinas tienelas personas adultas de #arinas tienesobrepeso, *i se e&trae una muestrasobrepeso, *i se e&trae una muestraaleatoria simple de 1 adultos5 encuentre laaleatoria simple de 1 adultos5 encuentre la

probabilidad de +ue el n9mero de personasprobabilidad de +ue el n9mero de personascon sobrepeso5 dentro de la muestra5 sea)con sobrepeso5 dentro de la muestra5 sea)

a"a" E&actamente tres personasE&actamente tres personas

b"b"Menos de 2Menos de 2c"c" Dos o m$s personasDos o m$s personas

b i l i d a d




T e m a 1 .

R e v i s i ó n d e l o s C o n c e p t o s B á s i c o s d e P r o b a b Distribución #inomial, E.ercicioDistribución #inomial, E.ercicio

Aa probabilidad de +ue una persona +ue su@reAa probabilidad de +ue una persona +ue su@rede miraLa tena alivio con una @$rmacode miraLa tena alivio con una @$rmacoespec=co es de ,Y, *e seleccionanespec=co es de ,Y, *e seleccionanaleatoriamente a tres personas con miraLa aaleatoriamente a tres personas con miraLa alas +ue se les administra el @$rmaco,las +ue se les administra el @$rmaco,

Encuentre la probabilidad de +ue el n9meroEncuentre la probabilidad de +ue el n9merode personas +ue loran alivio sea)de personas +ue loran alivio sea)

a"a" E&actamente E&actamente

b"b"E&actamente unoE&actamente unoc"c" Dos o menosDos o menos

d"d"Dos o tresDos o tres

b i l i d a d




T e m a 1 .

R e v i s i ó n d e l o s C o n c e p t o s B á s i c o s d e P r o b a b Distribución #inomial, E.ercicioDistribución #inomial, E.ercicio

En un estudio se encontró un ran n9mero de casos deEn un estudio se encontró un ran n9mero de casos decontaminación en peces en supermercados de las ciudadescontaminación en peces en supermercados de las ciudadesde Zueva _or^ y Chicao, El estudio reveló +ue el N de losde Zueva _or^ y Chicao, El estudio reveló +ue el N de lostro0os de pe0 espada disponibles para la venta tena un niveltro0os de pe0 espada disponibles para la venta tena un nivelde mercurio superior al limite establecido por lade mercurio superior al limite establecido por ladministración de limentos y Medicinas de Estados -nidosdministración de limentos y Medicinas de Estados -nidos!QD", Para una muestra aleatoria de tres tro0os de pe0!QD", Para una muestra aleatoria de tres tro0os de pe0espada5 calcule la probabilidad de +ue)espada5 calcule la probabilidad de +ue)

Aos tres tro0os tenan niveles de mercurio por encima delAos tres tro0os tenan niveles de mercurio por encima dellmite establecido por la QD,lmite establecido por la QD,

E&actamente un tro0o de pe0 espada tena un nivel deE&actamente un tro0o de pe0 espada tena un nivel demercurio por encima del lmitemercurio por encima del lmite

Cuando m$s5 un tro0o de pe0 espada tena un nivel deCuando m$s5 un tro0o de pe0 espada tena un nivel demercurio por encima lmite establecido por la QD,mercurio por encima lmite establecido por la QD,

b i l i d a d



T e m a 1 .


S !uon u l 4 la! nfr#ra! u !S !uon u l 4 la! nfr#ra! u !

r!ntan n l "o!'tal 5nral l Surr!ntan n l "o!'tal 5nral l Sura!'rano al car6o a!'!tnt c'ru6%a7a!'rano al car6o a!'!tnt c'ru6%a7t'nn ntrna#'nto n 8n!tru#ntac'/nt'nn ntrna#'nto n 8n!tru#ntac'/n9u'r*r6'ca.9u'r*r6'ca.

-tr#'n la ro$a$'l'a u ! ncuntr-tr#'n la ro$a$'l'a u ! ncuntrla r'#ra nfr#ra con ntrna#'nto nla r'#ra nfr#ra con ntrna#'nto n'n!tru#ntac'/n u'r*r6'ca n la u'nta'n!tru#ntac'/n u'r*r6'ca n la u'ntantrv'!ta.ntrv'!ta.

:,u;l ! l n*#ro !rao a!'rant!:,u;l ! l n*#ro !rao a!'rant!u a< u ntrv'!tar ara ncontraru a< u ntrv'!tar ara ncontrarla r'#ra nfr#ra con ntrna#'ntola r'#ra nfr#ra con ntrna#'nton 'n!tru#ntac'/n u'r*r6'can 'n!tru#ntac'/n u'r*r6'ca

b i l i d a d



T e m a 1 .


Distribución eom(tricaDistribución eom(trica

Caractersticas)Caractersticas) Pruebas id(nticas e independientes, Dos posibles resultados) (&ito o @racaso Probabilidad de (&ito p !constante para

cada prueba" >ar'a$l alator'a 6o#?tr'ca @ !>ar'a$l alator'a 6o#?tr'ca @ !

l n*#ro la ru$a n la cuall n*#ro la ru$a n la cualocurr l r'#r ?'toocurr l r'#r ?'to

en lugar del n&mero de 'xitos ue ocurren en n pruebas

b i l i d a d




T e m a 1 .


Q Q E &ito en la tercera prueb

P!&" > P!Q Q Q X Q E"P!&" > P!Q Q Q X Q E"

[ 1[ 1

!1p"!1p"& B 1& B 1

pp


"2ótese *ue a*uO el espacio2ótese *ue a*uO el espaciomuestral es ininito 8 lamuestral es ininito 8 la

variable puede tomar variable puede tomar ininitos valoresininitos valores

"¿u? tiene *ue pasar¿u? tiene *ue pasarpara cumplir con el re*uisitopara cumplir con el re*uisito

de *uede *ue QQPx4 % 1!Px4 % 1!

"¿u? pasa con P-4!¿u? pasa con P-4!P!&" >P!&" >

b i l i d a d




T e m a 1 .


2

2 )1()(

1)(

p

p X V

p X E

−==

==

σ

µ


b i l i d a d




T e m a 1 .


S !uon u l 4 la! nfr#ra! u !S !uon u l 4 la! nfr#ra! u !

r!ntan n l "o!'tal 5nral l Surr!ntan n l "o!'tal 5nral l Sura!'rano al car6o a!'!tnt c'ru6%a7a!'rano al car6o a!'!tnt c'ru6%a7t'nn ntrna#'nto n 8n!tru#ntac'/nt'nn ntrna#'nto n 8n!tru#ntac'/n9u'r*r6'ca.9u'r*r6'ca.

-tr#'n la ro$a$'l'a u ! ncuntr-tr#'n la ro$a$'l'a u ! ncuntrla r'#ra nfr#ra con ntrna#'nto nla r'#ra nfr#ra con ntrna#'nto n'n!tru#ntac'/n u'r*r6'ca n la u'nta'n!tru#ntac'/n u'r*r6'ca n la u'ntantrv'!ta.ntrv'!ta.

:,u;l ! l n*#ro !rao a!'rant!:,u;l ! l n*#ro !rao a!'rant!u a< u ntrv'!tar ara ncontraru a< u ntrv'!tar ara ncontrarla r'#ra nfr#ra con ntrna#'ntola r'#ra nfr#ra con ntrna#'nton 'n!tru#ntac'/n u'r*r6'can 'n!tru#ntac'/n u'r*r6'ca

Distribución eom(tricas buc ó eo ( ca

b i l i d a d

E.emplo de ipereom(tricaE.emplo de ipereom(trica



T e m a 1 .

R e v i s i ó n d e l o s C o n c e p t o s B á s i c o s d e P r o b a b E.emplo de ipereom(tricaE.emplo de ipereom(trica

El IZ;fEl IZ;f ZP > 26ZP > 26 Qavorables > > 16Qavorables > > 16

*e elie una muestra*e elie una muestrade 16de 16

/Cu$l es la/Cu$l es la

probabilidad de +ueprobabilidad de +ue& sea 125 135 15 16& sea 125 135 15 16

<

[ n

ZP

b i l i d a d

DistribuciónDistribución



T e m a 1 .

R e v i s i ó n d e l o s C o n c e p t o s B á s i c o s d e P r o b a b DistribuciónDistribución

ipereom(tricaipereom(trica Caractersticas)Caractersticas)

Población de tamaLo ZP5 de ellos sonPoblación de tamaLo ZP5 de ellos son

:especiales:,:especiales:, *i se selecciona una muestra aleatoria*i se selecciona una muestra aleatoria

dede nn elementos /elementos / cu$l es la probabilidadcu$l es la probabilidadde +ue en (sta se hallende +ue en (sta se hallen elementoselementos

:especiales::especiales: Muestreo sin reempla0o,Muestreo sin reempla0o,

b i l i d a d




T e m a 1 .


ipereom(tricaipereom(trica

−−

=

n

NP

xn

K NP

x

K

x P )(

2P % n3mero total de elementos2P % n3mero total de elementos

S % n3mero de elementos *ue 'a8 deS % n3mero de elementos *ue 'a8 de

un determinado tipo 5especiales4un determinado tipo 5especiales4

n % n3mero total de elementos *ue sen % n3mero total de elementos *ue se

seleccionarán tamaTo de la muestra4seleccionarán tamaTo de la muestra4

6 % n3mero de elementos 5especiales6 % n3mero de elementos 5especiales

en la muestraen la muestra

Par6+!"r#* 2P S n2P S n

b i l i d a d




T e m a 1 .

R e v i s i ó n d e l o s C o n c e p t o s B á s i c o s d e P r o b a DistribuciónDistribución

ipereom(tricaipereom(trica *ea p> `ZP la proporción de elementos*ea p> `ZP la proporción de elementos fa#orablesfa#orables en laen la

población)población)

'alor esperado)'alor esperado)E![" > E![" >

'arian0a)'arian0a)

b i l i d a d




T e m a 1 .

R e v i s i ó n d e l o s C o n c e p t o s B á s i c o s d e P r o b a DistribuciónDistribución

ipereom(tricaipereom(trica *ea p> `ZP la proporción de elementos del tipo en la*ea p> `ZP la proporción de elementos del tipo en la

población)población)

'alor esperado)'alor esperado)

E!["> n pE!["> n p

'arian0a)'arian0a)

Cuando la @racción de muestreoCuando la @racción de muestreo n&Pn&P es 8pe+ueLa:5 laes 8pe+ueLa:5 lahipereom(trica se puede apro&imar por la binomial conhipereom(trica se puede apro&imar por la binomial conpar$metros p y n,par$metros p y n,

)1(

))(1(

−−−

NP

n NP pnp

a b i l i d a d



T e m a 1 .

R e v i s i ó n d e l o s C o n c e p t o s B á s i c o s d e P r o b a

P(12) = 0,017

P(13) = 0,0018

P(18) = 0,000087

P(1/)= 0,0000003

a b i l i d a d




T e m a 1 .

R e v i s i ó n d e l o s C o n c e p t o s B á s i c o s d e P r o b a E.emplo de ipereom(tricaE.emplo de ipereom(trica

Para evitar +ue lo descubran en la aduana5 unPara evitar +ue lo descubran en la aduana5 unvia.ero ha colocado tabletas de narcótico envia.ero ha colocado tabletas de narcótico enuna botella +ue contiene Y pldoras de vitaminauna botella +ue contiene Y pldoras de vitamina+ue son similares en apariencia, *i el o=cial de la+ue son similares en apariencia, *i el o=cial de la

aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente paraaduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente paraanali0arlas5 a" /Cu$l es la probabilidad de +ue elanali0arlas5 a" /Cu$l es la probabilidad de +ue elvia.ero sea arrestado por posesión de narcóticos5via.ero sea arrestado por posesión de narcóticos5b" /Cu$l es la probabilidad de +ue no seab" /Cu$l es la probabilidad de +ue no sea

arrestado por posesión de narcóticos,arrestado por posesión de narcóticos,

a b i l i d a d




T e m a 1 .

R e v i s i ó n d e l o s C o n c e p t o s B á s i c o s d e P r o b a E.emplo de ipereom(tricaE.emplo de ipereom(trica

:,u;l ! la ro$a$'l'a u una:,u;l ! la ro$a$'l'a u una#!ra ! r*! a !rv'r $$'a!#!ra ! r*! a !rv'r $$'a!alco/l'ca! *n'ca#nt a o! #nor!alco/l'ca! *n'ca#nt a o! #nor!

a !' vr'ca alator'a#nt !olo a !' vr'ca alator'a#nt !olo 'nt'cac'on! ntr C 'nt'cac'on! ntr C!tu'ant!7 lo! cual! no t'n la!tu'ant!7 lo! cual! no t'n laa !uc'nt :,u;l ! laa !uc'nt :,u;l ! laro$a$'l'a u co#o #;'#o 2 ro$a$'l'a u co#o #;'#o 2

la! 'nt'cac'on! rtnDcan ala! 'nt'cac'on! rtnDcan a#nor! a.#nor! a.

a b i l i d a d

Distribución de PoissonDistribución de Poisson



T e m a 1 .

R e v i s i ó n d e l o s C o n c e p t o s B á s i c o s d e P r o b a

Eventos +ue ocurren con cierta velocidad en elEventos +ue ocurren con cierta velocidad en eltiempo !n9mero de casos semanales de Denuetiempo !n9mero de casos semanales de Denueen el hospital del sur"5 o en el espacio !n9meroen el hospital del sur"5 o en el espacio !n9merode camarones por mde camarones por m33 en el Aao de Maracaibo",en el Aao de Maracaibo",

,aractr%!t'ca!,aractr%!t'ca!

El n9mero de eventos +ue ocurre en una unidadde tiempo5 lonitud5 $rea o volumen esindependiente del n9mero de los +ue ocurren en

otras unidadesEl n9mero medio !o esperado" de eventos en

cada unidad se denota por la letra riea lambda g

a b i l i d a d

i ib ió d iDi ib ió d P i



T e m a 1 .

R e v i s i ó n d e l o s C o n

c e p t o s B á s i c o s d e P r o b a


Par$metros)Par$metros) g promedio deg promedio de

ocurrencias del sucesoocurrencias del sucesopor unidad de tiempo opor unidad de tiempo o

espacio,espacio,

'ariable aleatoria)'ariable aleatoria) Z9mero & de ocurrenciasZ9mero & de ocurrenciasdel suceso en la unidaddel suceso en la unidadde tiempo o espacio !& >de tiempo o espacio !& >

5 15 25 ,,,",5 15 25 ,,,", 'alor esperado'alor esperado))

E!["> E![">

'arian0a'arian0a))'![">'![">

!)(

x

e x P

xλ λ −=

a b i l i d a d

i ib ió d iDi t ib ió d P i



T e m a 1 .




Par$metros)Par$metros) g promedio deg promedio de

ocurrencias del sucesoocurrencias del sucesopor unidad de tiempo opor unidad de tiempo o

espacio,espacio, 'ariable aleatoria)'ariable aleatoria)

Z9mero & de ocurrenciasZ9mero & de ocurrenciasdel suceso por unidaddel suceso por unidadde tiempo o espacio !&de tiempo o espacio !&

> 5 15 25 ,,,",> 5 15 25 ,,,",

'alor esperado'alor esperado))E!["> gE!["> g

'arian0a'arian0a))'!["> g'!["> g

!)(

x

e x P

xλ λ −=

a b i l i d a d



T e m a 1 .



menudo5 el n9mero de llamadas tele@ónicas menudo5 el n9mero de llamadas tele@ónicas

+ue llean a un conmutador se modela como+ue llean a un conmutador se modela comouna variable aleatoria de Poisson, *uponauna variable aleatoria de Poisson, *upona+ue5 en promedio5 se reciben 1 llamadas por+ue5 en promedio5 se reciben 1 llamadas porhora,hora,

/Cu$l es la probabilidad de +ue lleuen/Cu$l es la probabilidad de +ue lleuene&actamente cinco llamadas en una horae&actamente cinco llamadas en una hora/Cu$l es la probabilidad de +ue se reciban/Cu$l es la probabilidad de +ue se recibane&actamente 16 llamadas en dos horase&actamente 16 llamadas en dos horas

/Cu$l es la probabilidad de +ue lleuen/Cu$l es la probabilidad de +ue lleuene&actamente cinco llamadas en 3 minutose&actamente cinco llamadas en 3 minutos

a b i l i d a d

Di ib ió d P iDi t ib ió d P i



T e m a 1 .




0 5 10 15 20 250

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

a b i l i d a d

E.emplo de Distribución deE.emplo de Distribución deP iPoisson



T e m a 1 .


c e p t o s B á s i c o s

d e P r o b a PoissonPoisson

*i la media del n9mero de casos semanales de*i la media del n9mero de casos semanales deDenue en un hospital es 1,35 /Cu$l es laDenue en un hospital es 1,35 /Cu$l es laprobabilidad de +ue en una semana seprobabilidad de +ue en una semana sepresenten 6 o m$s casos de Denuepresenten 6 o m$s casos de Denue

g > 1,3 & > > 61g > 1,3 & > > 61

1 - poisscdf(4, 1.3);1 - poisscdf(4, 1.3);

a b i l i d a d

E.emplo de Distribución deE.emplo de Distribución dePoissonPoisson



T e m a 1 .



d e P r o b a PoissonPoisson

*i la media del n9mero de casos semanales de*i la media del n9mero de casos semanales deDenue en un hospital es 1,35 /Cu$l es laDenue en un hospital es 1,35 /Cu$l es laprobabilidad de +ue en una semana seprobabilidad de +ue en una semana sepresenten 6 o m$s casos de Denuepresenten 6 o m$s casos de Denue

g > 1,3g > 1,3

1 B Q!" > 1 B1 B Q!" > 1 B !P!" P!1" P!2" P!3" P!""!P!" P!1" P!2" P!3" P!""

1 - poisscdf(4, 1.3);1 - poisscdf(4, 1.3);

a b i l i d a d

Di t ib ió d P iDi t ib ió d P i



T e m a 1 .



d e P r o b a

Distribución de PoissonDistribución de Poisson Caractersticas)Caractersticas)

*e utili0a como apro&imación al modelo*e utili0a como apro&imación al modelobinomial cuandobinomial cuando nn es rande yes rande y p p

pe+ueLope+ueLo !ley de los sucesos raros", p \, p \,1 np \ 65 tomando como par$metro,1 np \ 65 tomando como par$metro ) )* np* np

%ambi(n se conoce como 8la distribuciónde los sucesos raros:

a b i l i d a d



T e m a 1 .



d e P r o b a

DistribucionesDistribuciones

ContinuasContinuas

a b i l i d a d

Di t ib ió Z lDi t ib ió Z l



T e m a 1 .

R e v

i s i ó n d e l o s C o n


d e P r o b a

Distribución ZormalDistribución Zormal

ImportanciaImportancia Aa distribución Zormal es indudablemente laAa distribución Zormal es indudablemente la

distribución continua @undamental5 tanto por susdistribución continua @undamental5 tanto por susaplicaciones como por el rol +ue .uea dentro de laaplicaciones como por el rol +ue .uea dentro de la

%eora Estadstica, %eora Estadstica,

Es la piedra anular de la In@erencia ya +ue muchasEs la piedra anular de la In@erencia ya +ue muchasestadsticas muestrales tienden hacia la distribuciónestadsticas muestrales tienden hacia la distribuciónZormal cuando el tamaLo de la muestra crece,Zormal cuando el tamaLo de la muestra crece,

En@o+ue oriinal)En@o+ue oriinal) Moivre5 ca, 1V3J1V6Moivre5 ca, 1V3J1V6 Posteriormente)Posteriormente) arl Gauss5 1J66arl Gauss5 1J66 %ambi(n es conocida como %ambi(n es conocida como distribución Gaussianadistribución Gaussiana

a b i l i d a d

Distribución ZormalDistribución Zormal



T e m a 1 .

R e v



d e P r o b

CaractersticasCaractersticas %iene @orma de campana %iene @orma de campana Es sim(trica con respecto a la mediaEs sim(trica con respecto a la media Es ContinuaEs Continua Aas dos colas !e&tremos" de una distribuciónAas dos colas !e&tremos" de una distribución

normal de probabilidad se e&tienden de maneranormal de probabilidad se e&tienden de manerainde=nida y nunca tocan el e.e hori0ontal,inde=nida y nunca tocan el e.e hori0ontal,

a b i l i d a d

Di t ib ió Z lDistribución Zormal



T e m a 1 .

R e v



d e P r o b Distribución ZormalDistribución Zormal

Qunción de DensidadQunción de Densidad *e a=rma +ue una variable aleatoria [ es*e a=rma +ue una variable aleatoria [ es +ormal+ormal

Z!5Z!522" si su @unción de densidad est$ dada por)" si su @unción de densidad est$ dada por)

Par$metrosPar$metros yyFF

'alor Esperado'alor Esperado

'arian0a'arian0a22

∞<<∞−=

−−

xe x f

x

,2

1)(

2

2

1

σ

µ

π σ

b a b i l i d a d

Zormal Est$ndarZormal Est$ndar



T e m a 1 .

R e v



d e P r o b

b a b i l i d a d

Gr$=ca de DistribuciónGr$=ca de Distribución



T e m a 1 .

R e v



d e P r o b

ZormalZormal

b a b i l i d a d Gr$=ca de Distribuciones ZormalesGr$=ca de Distribuciones Zormales

con di@erentes medias e iualcon di@erentes medias e iual



T e m a 1 .

R e v



d e P r o b con di@erentes medias e iualcon di@erentes medias e iual

dispersióndispersión

b a b i l i d a d




T e m a 1 .

R e v



d e P r o b Zormal Est$ndarZormal Est$ndar

*i [ es Z!5*i [ es Z!522" entonces)" entonces)

> !["` es Z!51" > !["` es Z!51"

se desina como Zormal Est$ndar,se desina como Zormal Est$ndar,

Esta propiedad permite relacionar la @unción deEsta propiedad permite relacionar la @unción de

distribución acumulada de [ con la de 5 ya +ue)distribución acumulada de [ con la de 5 ya +ue)

Prob! [ ] " > Prob ! ] !Prob! [ ] " > Prob ! ] !"`"` ",",

b a b i l i d a d



T e m a 1 .

R e v



d e P r o b

b a b i l i d a d



T e m a 1 .

R e v



d e P r o b Zormal Est$ndarZormal Est$ndar

P! \ " > P! \ " >

P! K " > P! K " >

b a b i l i d a d




T e m a 1 .

R e v



d e P r o b

Est$ndarEst$ndar

0 1.25

1056.0

0.8-1

)25.1(1)25.1(

==

<−=≥ z p z p

3.05000.08.0

)0()25.1()25.10(

=−=<−≤=≤≤ z p z p z p

0 1.25


b a b i l i d a d

Consideremos +ue el peso de los niLos varones en el momentoConsideremos +ue el peso de los niLos varones en el momentodel nacimiento se distribuye normalmente, *i sabemos +ue eldel nacimiento se distribuye normalmente, *i sabemos +ue el



T e m a 1 .

R e v



d e P r o b

peso medio en el momento de nacer espeso medio en el momento de nacer es ,- /gs,- /gs y lay ladesviación tpica es dedesviación tpica es de 0,1- /gs0,1- /gs5 /cu$l es la probabilidad de5 /cu$l es la probabilidad de

+ue el peso de un niLo varón al nacer sea superior a ^s+ue el peso de un niLo varón al nacer sea superior a ^s

Estandari0amos la variable aleatoriaEstandari0amos la variable aleatoria X X 5 peso de los niLos al5 peso de los niLos alnacer, En el proceso de estandari0ación5 al valor denacer, En el proceso de estandari0ación5 al valor de X*2 X*25 le5 lecorresponde el valor5corresponde el valor5 t*0,3425t*0,3425 ))



b a b i l i d a d

El tiempo de incapacidad por en@ermedad de losEl tiempo de incapacidad por en@ermedad de los



T e m a 1 .

R e v



d e P r o b p p pp p p

empleados de una compaLa en un mes tieneempleados de una compaLa en un mes tieneuna distribución normal con media de 1 horasuna distribución normal con media de 1 horasy desviación est$ndar de 2 horas,y desviación est$ndar de 2 horas,

/Cu$l es la probabilidad de +ue el tiempo por/Cu$l es la probabilidad de +ue el tiempo porincapacidad del siuiente mes se encuentreincapacidad del siuiente mes se encuentre

entre 6 y J horasentre 6 y J horas /Cu$nto tiempo de incapacidad deber$/Cu$nto tiempo de incapacidad deber$

planearse para +ue la probabilidad de e&cederloplanearse para +ue la probabilidad de e&cederlosea solo del 1Nsea solo del 1N

b a b i l i d a d *e supone +ue el ancho de una herramienta*e supone +ue el ancho de una herramienta

utili0ada en la @abricación de semiconductoresutili0ada en la @abricación de semiconductorestiene una distribución normal con media de 6tiene una distribución normal con media de 6



T e m a 1 .

R e v



d e P r o b tiene una distribución normal con media de ,6tiene una distribución normal con media de ,6

micrómetros y desviación est$ndar de ,6micrómetros y desviación est$ndar de ,6

micrómetros,micrómetros,a, /Cu$l es la probabilidad de +ue el ancho de laa, /Cu$l es la probabilidad de +ue el ancho de laherramienta sea mayor +ue ,2 micrómetrosherramienta sea mayor +ue ,2 micrómetros

b, /Cu$l es la probabilidad de +ue el ancho de lab, /Cu$l es la probabilidad de +ue el ancho de laherramienta se encuentre entre ,V y ,3herramienta se encuentre entre ,V y ,3micrómetrosmicrómetros

c, /Deba.o de +u( valor est$ el ancho de lac, /Deba.o de +u( valor est$ el ancho de la

herramienta en el YN de las muestrasherramienta en el YN de las muestras

b a b i l i d a d

Distribución GammaDistribución Gamma



T e m a 1 .

R e v



d e P r o Distribución GammaDistribución Gamma

CaractersticasCaractersticas 'alores positivos'alores positivos simetra hacia la derechasimetra hacia la derecha Muy vers$til5 dependiendo del valor de losMuy vers$til5 dependiendo del valor de los

par$metros adopta @ormas muy distintaspar$metros adopta @ormas muy distintas Dos distribuciones @undamentales sonDos distribuciones @undamentales son

casos particulares de ella)casos particulares de ella) E&ponencial y Chicuadrado,E&ponencial y Chicuadrado,

b a b i l i d a d




T e m a 1 .

R e v



d e P r o Distribución GammaDistribución Gamma

Par$metrosPar$metros jj) Par$metro de escala) Par$metro de escala

kk) Par$metro de @orma) Par$metro de @orma Qunción de DensidadQunción de DensidadGG

θ α α

θ α

)( x = x f

) x

-( 1-

Γexp)(

!nteros 67!nteros 67 !!kk1"f1"f

'alor'aloresperadoesperado

jj UU kk 'arian0a'arian0a

jj22 UU kk

o b a b i l i d a d




T e m a 1 .

R e v



d e P r o

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

k > 1

k > 3

k > 6

j > 1

o b a b i l i d a d




T e m a 1 .

R e v



d e P r o

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

k > 1

j > 6

j > 1

j > 3

o b a b i l i d a d

Distribución E&ponencialDistribución E&ponencial



T e m a 1 .

R e v



d e P r o

+stá relacionada con la distribución de Poisson.

Di9!r!&cia* a la distribución de Poisson le interesa eln3mero de ocurrencias mientras *ue a la exponencial le

interesa el tiempo transcurrido entre las ocurrencias.E:!+4#*

Poisson: el n3mero de personas en la cola del banco

+xponencial: el tiempo entre lle$adas a la ta*uilla


o b a b i l i d a d




T e m a 1 .

R e v



d e P r o Distribución E&ponencialDistribución E&ponencial

Par$metroPar$metro

Qunción de Densidad)Qunción de Densidad)

θ

θ

= x)( f )

x-(

e

'alor'aloresperadoesperado

'arian0a'arian0a22

#a distribución#a distribución exponencialexponencial es una UAVVA cones una UAVVA con WW % 1.% 1.

o b a b i l i d a d




T e m a 1 .

R e v



d e P r o Distribución E&ponencialDistribución E&ponencial

Par$metro gPar$metro g

Qunción de Densidad)Qunción de Densidad)

'alor'aloresperadoesperado1`g

'arian0a'arian0a1`g22

#a distribución#a distribución exponencialexponencial es una UAVVA cones una UAVVA con WW % 1.% 1.

xe= x f λ λ −)(

o b a b i l i d a d




T e m a 1 .

R e v



d e P r o

Qunción de Densidad !alternativa")Qunción de Densidad !alternativa")

0,

)(

>

−

x

e= x f x

λ

λ λ

X: #a media delproceso de Poisson.23mero medio de

sucesos por unidadde medida.

#a variable aleatoria 6 indica el tiempo desde *ue comien,a laobservación experimento4 'asta *ue ocurre un evento.

+0emplo: +l tiempo *ue puede transcurrir en la emer$encia de un'ospital para la lle$ada de un paciente con una determinadaenermedad. +l tiempo transcurrido 'asta la alla de un dispositivo.

o b a b i l i d a d

Distribución E&ponencialDistribución E&ponencial 'alor esperado'alor esperado 'arian0a'arian0a



T e m a 1 .

R e v



d e P r o

Qunción de Probabilidad cumulada)Qunción de Probabilidad cumulada) xe x X P x F

λ −−=≤= 1)()(

'alor esperado'alor esperado

λ 1

'arian0a'arian0a

21λ

#a probabilidad de *ue no ocurra un evento dePoisson en el tiempo x es e*uivalente a la

probabilidad de *ue el tiempo de observaciónre*uerido para *ue suceda el evento sea

ma8or *ue x.

xe x X P λ −=> )(

o b a b i l i d a d

Distribución E&ponencialDistribución E&ponencial 'alor esperado'alor esperado 'arian0a'arian0a



T e m a 1 .

R e v



d e P r o

Qunción de Probabilidad cumulada)Qunción de Probabilidad cumulada) xe x X P x F

λ −−=≤= 1)()(

'alor esperado'alor esperado

λ 1

'arian0a'arian0a

21λ

xe x X P λ −=> )(

¿Cuál es la mediana de una variable exponencial de media 1Y¿Cuál es la mediana de una variable exponencial de media 1YXX!!

o b a b i l i d a d

E&ponencial media > E&ponencial media >



T e m a 1 .

R e v



d e P r o

o b a b i l i d a d

E&ponencial media > E&ponencial media >



T e m a 1 .

R e v



d e P r o

Vediana % )<.<G

>;

o b a b i l i d a d

E.emplo de DistribuciónE.emplo de Distribucióni l



T e m a 1 .

R e v



d e P r o E&ponencialE&ponencial

*i la Esperan0a de vida de un sua0i es*i la Esperan0a de vida de un sua0i es

de aLos /Cu$l es la probabilidad dede aLos /Cu$l es la probabilidad de

vivir m$s de aLosvivir m$s de aLos

o b a b i l i d a d




T e m a 1 .

R e v



d e P r o

#os clientes de un supermercado lle$an en#os clientes de un supermercado lle$an enpromedio de 1 por minuto. Zalle lapromedio de 1 por minuto. Zalle la

probabilidad de *ue transcurran:probabilidad de *ue transcurran:

A lo sumo ) minutos antes de la lle$ada del A lo sumo ) minutos antes de la lle$ada delpróximo clientepróximo cliente

Por lo menos G minutosPor lo menos G minutos

o b a b i l i d a d Distribución E&ponencialDistribución E&ponencial



T e m a 1 .

R e v



d e P r o

#a duración de un cierto tipo de bombillo es una#a duración de un cierto tipo de bombillo es una

variable aleatoria exponencial de media >;;;variable aleatoria exponencial de media >;;;'oras.'oras.

¿Cuál es la probabilidad de *ue dure más de¿Cuál es la probabilidad de *ue dure más de

@;;; 'oras!@;;; 'oras! -i lleva uncionando 1;;; 'oras-i lleva uncionando 1;;; 'oras

¿cuál es la probabilidad de *ue dure=¿cuál es la probabilidad de *ue dure=

@;;; 'oras adicionales a las 1;;;@;;; 'oras adicionales a las 1;;;*ue lleva uncionando!*ue lleva uncionando!

@;;; 'oras en total!@;;; 'oras en total!

o b a b i l i d a d

Pr#4i!a ! car!&cia ! +!+#ria




T e m a 1 .

R e v



d e P r

Para una variable aleatoria exponencial 6

P6 9 t1 J t) [ 6 \ t14 % P6 9 t)4

Pr#4i!a ! car!&cia ! +!+#ria

+n la duración *ue se espera *ue ten$a el ob0eto noinlu8e para nada el tiempo *ue en la actualidad llevauncionando +l dispositivo no se des$asta.

r o b a b i l i d a d

+l ti t ib d l t i+l ti t ib d l t i




T e m a 1 .

R e v

i s i ó n d e l o s C o n c e p t o s B á s i c o s

d e P r +l tiempo entre arribos de los taxis en un cruce mu8+l tiempo entre arribos de los taxis en un cruce mu8

concurrido tiene una distribución exponencial conconcurrido tiene una distribución exponencial conmedia de 1; minutos.media de 1; minutos.

¿Cuál es la probabilidad de *ue una persona *ue¿Cuál es la probabilidad de *ue una persona *ue

est? en el cruce ten$a *ue esperar más de una 'oraest? en el cruce ten$a *ue esperar más de una 'ora

para tomar un taxi!para tomar un taxi!

-upon$a *ue la persona 8a esperó una 'ora ¿cuál-upon$a *ue la persona 8a esperó una 'ora ¿cuál

es la probabilidad de *ue lle$ue uno en los si$uienteses la probabilidad de *ue lle$ue uno en los si$uientes

1; minutos!1; minutos!




T e m a 1 .

R e v i s i ó n d e l o s C o n c e p t o s B á s i c o s

d e P r

+l tiempo de duración de un ensamble mecánico en+l tiempo de duración de un ensamble mecánico en

una prueba de vibración tiene una distribuciónuna prueba de vibración tiene una distribuciónexponencial con media de ];; 'oras.exponencial con media de ];; 'oras.

¿Cuál es la probabilidad de *ue el ensamble alle¿Cuál es la probabilidad de *ue el ensamble alle

durante la prueba en menos de 1;; 'oras!durante la prueba en menos de 1;; 'oras!

¿Cuál es la probabilidad de *ue el ensamble traba0e¿Cuál es la probabilidad de *ue el ensamble traba0edurante más de >;; 'oras antes de *ue alle!durante más de >;; 'oras antes de *ue alle!

-i el ensamble se 'a probado durante ];; 'oras sin-i el ensamble se 'a probado durante ];; 'oras sin

alla al$una ¿cuál es la probabilidad de *ue alle enalla al$una ¿cuál es la probabilidad de *ue alle en

las si$uientes 1;; 'oras!las si$uientes 1;; 'oras!


E "

-'!tr'$uc'/n Eonnc'al. Ejrc'c'o-'!tr'$uc'/n Eonnc'al. Ejrc'c'o



T e m a 1 .


d e P r E& %&a r! ! c#+4%"a#ra ra&!; ! acc!# !E& %&a r! ! c#+4%"a#ra ra&!; ! acc!# !

# %%ari# a i"!+a 4%!! +#!ar! c#+# %&# %%ari# a i"!+a 4%!! +#!ar! c#+# %&4r#c!# ! P#i#& c#& %&a +!ia ! 2/ acc!#4r#c!# ! P#i#& c#& %&a +!ia ! 2/ acc!#

4#r <#ra,4#r <#ra,

C%6 ! a 4r#babiia ! %! &# <a.a acc!# !&C%6 ! a 4r#babiia ! %! &# <a.a acc!# !&%& i&"!r>a# ! 7 +i&%"#?%& i&"!r>a# ! 7 +i&%"#?

C%6 ! a 4r#babiia ! %! ! "i!+4# %!C%6 ! a 4r#babiia ! %! ! "i!+4# %!

"ra&c%rr! <a"a ! i%i!&"! acc!# !" !&"r! 2 . 3"ra&c%rr! <a"a ! i%i!&"! acc!# !" !&"r! 2 . 3+i&%"#+i&%"#


Distribución #etaDistribución #eta



T e m a 1 .


d e P r Distribución #etaDistribución #eta

Caractersticas)Caractersticas) *e la utili0a para representar variables*e la utili0a para representar variables

aleatorias cuyos valores se encuentranaleatorias cuyos valores se encuentranrestrinidos a intervalos de lonitudrestrinidos a intervalos de lonitud=nita,=nita,





T e m a 1 .



Par$metros )Par$metros )kk yy ambos par$metros de @ormaambos par$metros de @orma,,

Qunción de densidad )Qunción de densidad ) Es en todas partes salvo en elEs en todas partes salvo en el

intervalo S51T donde est$ de=nida por)intervalo S51T donde est$ de=nida por)

! ! 1" x"

)( )( x x )#( = ) x $ $( f

1-1-

β α

β α β α β α

β α

ΓΓ −Γ )1(





T e m a 1 .



'alor esperado)'alor esperado)kk`!`!kk " "

'arian0a )'arian0a ) kk `!`!kk " "22!!kk 1" 1"

Qunción de distribución acumulada)Qunción de distribución acumulada)

Es la @unción de distribución acumulada de=nida para todo & enEs la @unción de distribución acumulada de=nida para todo & en!51", M%A#) betacd@!&5!51", M%A#) betacd@!&5 kk5 "5 "


Gr$=ca de Distribución #etaGr$=ca de Distribución #eta



T e m a 1 .


d e P r Gr$=ca de Distribución #etaGr$=ca de Distribución #eta


#os sensores de inrarro0o de un sistema robótico



T e m a 1 .


d e P #os sensores de inrarro0o de un sistema robótico

computari,ado envOan inormación a otrossensores en dierentes ormatos. +l porcenta0e xde las seTales *ue se envOan 8 *ue sondirectamente compatibles para todos lossensores del sistema si$ue una distribución beta

con W%^%).a4 Calcule la probabilidad de *ue más de G; delas seTales de inrarro0o enviadas en el sistemasean directamente compatibles para todos lossensores


Distribución -ni@orme ContinuaDistribución -ni@orme Continua



T e m a 1 .


d e P

Caractersticas)Caractersticas) Aa distribuciónAa distribución uniforme o rectangular uniforme o rectangular tiene densidadtiene densidad

constante en un intervalo Sa5 bT y vale @uera del mismo,constante en un intervalo Sa5 bT y vale @uera del mismo,

a b

x4




Distribución -ni@ormeDistribución -ni@ormeContinuaContinua



T e m a 1 .


d e P

Par$metros)Par$metros)a y ba y b

Qunción de densidad)Qunción de densidad) @!&"> 1`!ba" en Sa5 bT@!&"> 1`!ba" en Sa5 bT en el resto en el resto

'alor esperado)'alor esperado)!a b"`2!a b"`2

'arian0a)'arian0a)!b B a"!b B a"22`12`12


* d t t d i ti ió d* d t t d i ti ió d




T e m a 1 .


d e P *upona +ue un departamento de investiación de*upona +ue un departamento de investiación de

en@ermedades cardiovasculares est$ reali0ando un estudioen@ermedades cardiovasculares est$ reali0ando un estudiosobre la hipertensión arterial5 traba.ando para ello con unasobre la hipertensión arterial5 traba.ando para ello con unamuestra aleatoria de personas y donde la presión arterialmuestra aleatoria de personas y donde la presión arterialdiastólica se distribuye uni@ormemente entre y 1, Estediastólica se distribuye uni@ormemente entre y 1, Esterupo de investiación desea e&cluir a+uellos pacientesrupo de investiación desea e&cluir a+uellos pacientescuya presión arterial est( por deba.o de Y,cuya presión arterial est( por deba.o de Y,

Calcule la media y la desviaciónest$ndar de &5 la presión arterialdiastólica de las personas de lamuestra,

Gra=+ue la distribución deprobabilidad

Calcule la @racción de personas+ue se omitir$n para el estudio,


* l d t t d i ti ió d* l d t t d i ti ió d




T e m a 1 .


d e P *upona +ue el departamento de investiación de un*upona +ue el departamento de investiación de un

@abricante de acero cree +ue una de las m$+uinas de la@abricante de acero cree +ue una de las m$+uinas de lacompaLa est$ produciendo l$minas de metal con espesorescompaLa est$ produciendo l$minas de metal con espesoresvariables, El espesor es un variable aleatoria uni@orme convariables, El espesor es un variable aleatoria uni@orme convalores entre 16 y 2 milmetros, Cual+uier l$mina +uevalores entre 16 y 2 milmetros, Cual+uier l$mina +uetena menos de 1 milmetros de espesor debetena menos de 1 milmetros de espesor debedesecharse5 pues resulta inaceptable para los compradores,desecharse5 pues resulta inaceptable para los compradores,

Gra=+ue la distribución deprobabilidad de las l$minas de aceroproducidas por esta m$+uina

Calcule la @racción de las l$minas de

acero producidas por esta m$+uina+ue se desechan





T e m a 1 .


d e P Investiadores de la -niversidad de los ndes hanInvestiadores de la -niversidad de los ndes han

diseLado5 construido y probado un circuito dediseLado5 construido y probado un circuito decondensador conmutado para enerar seLalescondensador conmutado para enerar seLalesaleatorias, *e demostró +ue la trayectoria delaleatorias, *e demostró +ue la trayectoria delcircuito estaba distribuida uni@ormemente en elcircuito estaba distribuida uni@ormemente en elintervalo !51",intervalo !51",

Indi+ue la media y la varian0a de laIndi+ue la media y la varian0a de latrayectoria del circuitotrayectoria del circuito

Calcule la probabilidad de +ue laCalcule la probabilidad de +ue latrayectoria est( entre ,2 y ,trayectoria est( entre ,2 y ,

/Esperara usted observar una/Esperara usted observar unatrayectoria +ue e&cediera ,YY6trayectoria +ue e&cediera ,YY6




T e m a 1 .


d e P

Distribuciones deDistribuciones de

Probabilidad Con.untasProbabilidad Con.untas


Distribución de probabilidadDistribución de probabilidadcon.untacon.unta



T e m a 1 .


d e P

*i [ y _ son variables aleatorias discretas5 la distribución*i [ y _ son variables aleatorias discretas5 la distribución

de probabilidad con.unta de [ y _5 es una descripción delde probabilidad con.unta de [ y _5 es una descripción delcon.unto de puntos !&5y" en el rano de ![5_" .unto con lacon.unto de puntos !&5y" en el rano de ![5_" .unto con laprobabilidad asociada con cada uno de ellos,probabilidad asociada con cada uno de ellos,

Es conocida como distribución bivariada o distribuciónEs conocida como distribución bivariada o distribuciónbivariablebivariable

*atis@ace las siuientes condiciones)*atis@ace las siuientes condiciones)

),(),(

1),(

1),(0

%& x X P % x f

% x p

% x p

x%

x %

===

=

≤≤

∑∑

para todos los valores de x y y (1)

(2)

(3)





T e m a 1 .


d e P

DISTRIBUCIÓNDISTRIBUCIÓNCONJUNTACONJUNTA

YY

11 22 33

XX00 .1.1 .2.2 .3.3

11 .2.2 .2.2 00

Distribución #idimensional DiscretaDistribución #idimensional Discreta

*upona dos variables aleatorias)*upona dos variables aleatorias)

6:6: Posición rente a la le$ali,ación del aborto ;: en contra 1: a avor4Posición rente a la le$ali,ación del aborto ;: en contra 1: a avor4 _) _) Zivel de educación de la persona !1) primaria5 2) bachiller5Zivel de educación de la persona !1) primaria5 2) bachiller53) universitaria"3) universitaria"





T e m a 1 .


d e P


"" MarginalMarginalde Xde X

11 22 33

##

00

.1.1

.2.2

.3.3

.6.6

11 .2.2 .2.2 00 .!.!

Marginal de YMarginal de Y .3.3 .!.! .3.3 11

∑=

x

% x p % p ),()(1

∑=

%

% x p x p ),()(2

Distribuciones de probabilidad marinales !incondicionales"Distribuciones de probabilidad marinales !incondicionales"



ÓÓ



T e m a 1 .


d e P

;btena la distribución de probabilidad;btena la distribución de probabilidadcondicional de & dado y>1condicional de & dado y>1

DISTRIBUCIÓNDISTRIBUCIÓN

CONJUNTACONJUNTA

"" MarginalMarginal

de Xde X11 22 33

## 00 .1.1 .2.2 .3.3 .6.6

11 .2.2 .2.2 00 .!.!


)(

),()|(

% p

% x p % x p =



>alor !rao>alor !rao



T e m a 1 .


d e P

∑∑= % x

% x x%p X& E ),()(

>alor !rao>alor !rao

En el e.emplo5En el e.emplo5

/Cu$l sera el valor esperado de [ /y el de _ /el de [_/Cu$l sera el valor esperado de [ /y el de _ /el de [_

DISTRIBUCIÓNDISTRIBUCIÓNCONJUNTACONJUNTA YY MarginalMarginalde Xde X11 22 33

XX 00 .1.1 .2.2 .3.3 .6.6

11 .2.2 .2.2 00 .!.!






T e m a 1 .


d e P

Tor#a

*i & y y son variables aleatoriasindependientes5 entonces

E!&y" > E!&"E!y"

Atención: +ste es un teorema no una deinición. Atención: +ste es un teorema no una deinición.


Covarian0aCovarian0a



T e m a 1 .


d e P

#a covarian,a6H4 es una medida de#a covarian,a6H4 es una medida deasociación lineal entre las variables 6 e Hasociación lineal entre las variables 6 e H

Producto cru,ado de las desviaciones x=Producto cru,ado de las desviaciones x=xx448=8=884 para cada punto de datos4 para cada punto de datos


S'6no! lo! roucto! cruDao! (HS'6no! lo! roucto! cruDao! (H)(<H)(<H<<))



T e m a 1 .


d e P

(x,y

(y68 y

(8 x , 8 y

(x68 x


S'6no! lo! roucto! cruDao! (HS'6no! lo! roucto! cruDao! (H)(<H)(<H<<))



T e m a 1 .


d e P

Relaciónlineal d(bil

!covarian0acercana a "


Covarian0aCovarian0a



T e m a 1 .

R e v i s i ó n d e l o s C o

n c e p t o s B á s i c o s

d e

*i*i

( ) ( )

[ ]

.-)$(%)&'(

))(($),&'(

$ $

" µ µ

µ µ

µ µ

x

& X

& X

X& X$&

& X & X

& X

−−=

==

De=niciónDe=nición

%eorema %eorema


Aa covarian0a![5_" es una medida deAa covarian0a![5_" es una medida de

asociaciónasociación lineallineal entre las variables [ e _entre las variables [ e _



T e m a 1 .

R e

v i s i ó n d e l o s C o


d e

Covarian,a: ;

-i la relación entre las variables aleatorias no es lineal puede *ue la-i la relación entre las variables aleatorias no es lineal puede *ue la

covarian,a no sea sensible a dic'a relación.covarian,a no sea sensible a dic'a relación.

+0emplo:+0emplo:





T e m a 1 .

R e



d e

DISTRIBUCIÓNDISTRIBUCIÓN

CONJUNTACONJUNTA YY

MarginalMarginal

de Xde X11 22 33

XX 00 .1.1 .2.2 .3.3 .6.6

11 .2.2 .2.2 00 .!.!


E!&" > ,E!y" > 2E!&y" > ,

Calcule la covarian,a de las variables aleatorias


Tor#a



T e m a 1 .

R e



d e

*i [ y _ son dos variables aleatoriasindependientes5 entonces)

Cov![5_">

:Sr; lo contrar'o c'rto ta#$'?n E!

c'rG:!' la covar'anDa ! cro ntonc! uconclu'r! u la! var'a$l! !on

'nn'nt!


*uponamos _*uponamos _1 y _y _2 dos variablesdos variablesaleatorias discretas con la siuientealeatorias discretas con la siuiente



T e m a 1 .

R e



d e

distribución de probabilidad con.unta)distribución de probabilidad con.unta)

-8STI8BJ,8K-8STI8BJ,8K&&

,L&J&TA,L&J&TA

@ @ 11

H1H1 00 11

@ @ 22H1H1 1`11`1 3`13`1 1`11`1

00 3`13`1 3`13`1

11 1`11`1 3`13`1 1`11`1¿Cuál es su covarian,a!¿Cuál es su covarian,a!¿-on independientes!¿-on independientes!


'alor esperado y varian0a de'alor esperado y varian0a de@unciones lineales de variables@unciones lineales de variables

aleatoriasaleatorias



T e m a 1 .

R e


n c e p t o s B á s i c o s d e

+a6 J bH4 % a+64 J b+H4

Kar a6 J b4 % a)

Kar64Kara6JbH4 % a)Kar64 J b)KarH4 J )abCov6H4

-ean 6 8 H dos variables aleatorias continuas 8 a 8 bdos constantes:

aleatoriasaleatorias

-i 6 8 H son independientes entonces:

Kara6JbH4 % a)Kar64 J b)KarH4


-n vendedor obtiene sus inresos mediante la venta-n vendedor obtiene sus inresos mediante la venta



T e m a 1 .

R e


n c e p t o s B á s i c o s d e de dos productos distintos, Por e&periencia sabe +uede dos productos distintos, Por e&periencia sabe +ue

el volumen de ventas de no tiene inHuencia alunael volumen de ventas de no tiene inHuencia alunasobre el de #, *u inreso mensual es el 1N delsobre el de #, *u inreso mensual es el 1N delvolumen5 en dólares5 del producto y el 16N delvolumen5 en dólares5 del producto y el 16N delvolumen de #,volumen de #,

-i en promedio las ventas del producto A-i en promedio las ventas del producto Aascienden a _1;.;;; con una desviaciónascienden a _1;.;;; con una desviación

estándar de _).;;; 8 las de B a _.;;; con unaestándar de _).;;; 8 las de B a _.;;; con unadesviación estándar de _1.;;; obt?n$ase eldesviación estándar de _1.;;; obt?n$ase el

valor esperado 8 la desviación estándar delvalor esperado 8 la desviación estándar del

in$reso mensual del vendedor.in$reso mensual del vendedor.


CorrelaciónCorrelación



T e m a 1 .

R e



Aa correlación entre dos variables !&5 y" esAa correlación entre dos variables !&5 y" esuna medida de asociación +ue e&presa eluna medida de asociación +ue e&presa elrado de dependencia lineal entre ambas5rado de dependencia lineal entre ambas5@ormalmente)@ormalmente)

*i las variables aleatorias son independientes*i las variables aleatorias son independientes

entonces la correlación entre ambas es entonces la correlación entre ambas es

1 ] ] 1 % x

& X & X σ σ ρ ),co*(),( =





T e m a 1 .

R e




YY MarginalMarginalde Xde X11 22 33

XX 00 .1.1 .2.2 .3.3 .6.6

11 .2.2 .2.2 00 .!.!


E!&" > ,E!y" > 2Cov!&y" > , ,U2 > ,2

Calcule el coeiciente de correlación ` para x 8 y


Correlación PositivaCorrelación Positiva *i la correlación es 1 todas las observaciones se*i la correlación es 1 todas las observaciones se



T e m a 1 .

R e


n c e p t o s B á s i c o s d e *i la correlación es 15 todas las observaciones se*i la correlación es 15 todas las observaciones se

encuentran alineadas en una recta,encuentran alineadas en una recta,

1 ] ] 1 *i > [5 _ independientes


X

Coe=ciente de CorrelaciónCoe=ciente de Correlaciónrr



T e m a 1 .

R e



X 1

X 2

X 2

X 2

r = 0.9

r = 0.5

r = 0

r = -0.5

r = -0.9 Distintos rados deDistintos rados deasociación lineal entreasociación lineal entredos variablesdos variables

Zótese la orientaciónZótese la orientaciónde la nube en @unciónde la nube en @uncióndel sino de ladel sino de lacorrelacióncorrelación

ndependencia

e P r o b a b i l i d a d

lunos resultados sobrelunos resultados sobrevalores esperados yvalores esperados y



T e m a 1 .

R e



varian0asvarian0as *i [ e _ son variable aleatorias y ^ es una*i [ e _ son variable aleatorias y ^ es una

constante entonces)constante entonces) E!^ ["> ^ E!["E!^ ["> ^ E!["

'!^ ["> ^'!^ ["> ^22 '!["'!["

E![_"> E![" E!_"E![_"> E![" E!_"

dem$s si [ e _ son independientes)dem$s si [ e _ son independientes)

'![ _" > '![ _" > '![" '!_" '![ _" > '![ _" > '![" '!_"


Cuidado con la conusiónentre correlación 8 causalidad



T e m a 1 .

R e


n c e p t o s B á s i c o s d e entre correlación 8 causalidad

ue dos enómenos est?n correlacionados no implica *ue unoue dos enómenos est?n correlacionados no implica *ue unosea causa del otro. +s recuente *ue una correlación uertesea causa del otro. +s recuente *ue una correlación uerte

indi*ue *ue las dos variables dependen de una tercera *ue noindi*ue *ue las dos variables dependen de una tercera *ue no'a sido considerada. +ste tercer elemento se llama 5actor de'a sido considerada. +ste tercer elemento se llama 5actor deconusión. Por e0emplo puede ser *ue una uerte correlaciónconusión. Por e0emplo puede ser *ue una uerte correlaciónexprese una verdadera causalidad como en el n3mero deexprese una verdadera causalidad como en el n3mero deci$arrillos *ue se uma al dOa 8 la aparición de cáncer deci$arrillos *ue se uma al dOa 8 la aparición de cáncer de

pulmón. Pero no es la estadOstica la *ue demuestra lapulmón. Pero no es la estadOstica la *ue demuestra lacausalidad ella solo permite detectarla.causalidad ella solo permite detectarla.


Ca&"ia ! 4r#"i"%"a . ca:a ! c<ic!c#&%+ia !& Maracaib#

P!ri##* 1@@0 2008



T e m a 1 .

R e






T e m a 1 .

R e




d



T e m a 1 .

R e




d

Correlación y CausalidadCorrelación y Causalidad



T e m a 1 .

R e



'ttp:YYxIcd.comY>>)Y


d



Re



QIZ DE PR;##IAIDDQIZ DE PR;##IAIDD

probabilidad

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