probabilidad
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UNIDAD DIDCTICA 14
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE: lo que tienes que dominar.
1. Experimentos ALEATORIOS. 2. SUCESOS en un experimento aleatorio.3. Operaciones con sucesos: SUCESOS INCOMPATIBLES.4. CONCEPTO DE PROBABILIDAD: axiomas y teoremas.
5. PROBABILIDAD CONDICIONADA: sucesos independientes.6. Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes.
7. ACTIVIDADES.
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/azar.htm
1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS
1.1 Experimento: MODELIZACINLos experimentos son cadenas de sucesos que pueden repetirse en las mismas condiciones cuantas veces de desee. Es decir, son reproducibles (en las mismas condiciones) a voluntad.
Para estudiar los fenmenos observables hay que modelizar. Modelizar un experimento es construir unmodelo matemtico del mismo. Necesariamente, este modelo debe simplificar las cosas y permitir la omisin de ciertos detalles. El xito del modelo depende de si los detalles omitidos tienen o no importancia en el fenmeno estudiado. Una de las formas de analizar la validez de un modelo es deducir un cierto nmero de consecuencias del mismo y luego contrastarlas con las observaciones del fenmeno.1.2 Modelo DETERMINISTA/Experimento DETERMINISTA
Se llama modelo determinista aquel que asocia a un experimento una nica cadena de sucesos que conduce a un resultado final que es predecible con certeza.
Ejemplos:
Cada de una piedra.
El lanzamiento de un misil.
Movimiento de un planeta.
Un ejemplo clsico demodelo determinsticoes de cada libre h=1/2 g t2. Las condiciones de validez de este modelo de cada: cuerpo puntual (suficientemente pequeo), gravedad constante (cercano a la Tierra), sin aire (en un tubo con vaco). En estas condiciones se podra predecir la altura que se desplaza un cuerpo transcurrido un tiempo "t". En la fsica clsica son muy comunes el uso de modelos determinsticos. Un modelo determinstico que permita predecir si una moneda cae cara o ceca necesariamente es muy complejo, dependera por ejemplo de la forma en que se lanza, del espacio que rodea la moneda, de las caractersticas de la moneda en s. Todo esto implica mucho esfuerzo para general el modelo matemtico y luego para reproducir las condiciones de validez del mismo.1.3 Modelo ALEATORIO/Experimento ALEATORIOOtra forma de abordar el problema es analizar los resultados posibles al lanzar una moneda y luego asignar con algn criterio probabilidad de ocurrencia a dicha asignacin. Unmodelo probabilstico(o estocstico) est representado en esta distribucin de probabilidades entre los resultados posibles. Un modelo del mismo tipo puede generarse para estudiar los resultados al lanzar un dado. Como otros ejemplos, se puede considerar una situacin meteorolgica (cantidad de lluvia que caer en una tormenta y en un lugar especficos), cantidad de bacterias en un litro de leche, cantidad de glbulos blancos en una muestra de sangre, cantidad de das lluviosos en el ao en curso, tiempo de duracin de un artefacto domstico, peso que traslada un ascensor, incerteza en la medicin de la distancia Tierra-Luna, etc.Una de las diferencias fundamentales entre un modelo determinstico y uno probabilstico, es que el primero se utilizan consideraciones especficas para predecir resultados, mientras que en un modelo probabilstico se utilizan las mismas consideraciones para especificar una distribucin de probabilidades.Se llama experimento aleatorio aquel que, aunque se repita en las mismas condiciones, tiene asociados varios resultados posibles sin que podamos determinar con certeza cul va a ocurrir.
Las caractersticas de estos experimentos aleatorios pueden resumirse en: Es posible repetir cada experimento en forma indefinida sin cambiar esencialmente las condiciones. Aunque en general no se pueda indicar cul ser un resultado particular, se puede describir el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. A medida que el experimento se repite, los resultados individualmente parecen ocurrir en forma caprichosa. Sin embargo, en muchos casos, si el experimento se repite un gran nmero de veces, aparece un patrn definido o regularidad.
Algunos ejemplos de experimentos aleatorios son: E1: Se lanza un dado equilibrado y se observa el nmero que aparece en la cara superior.
E2: Se lanza una moneda cuatro veces y se cuenta el nmero total de caras obtenidas. E3: Resultado de un partido de ftbol. E4: Extraer una carta de una baraja. E5: Lanzar una moneda y anotar si sale cara o cruz. E6: Abrir un libro al azar y anotar el nmero de pgina.Se llama ESPACIO MUESTRAL de un experimento aleatorio al conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Se designa por E. E = {R1, R2, R3,, Rn}
Cada uno de los RESULTADOS Rk que forman el espacio muestral se llama caso o punto muestral. El ESPACIO MUESTRAL depende de los resultados en que nos fijemos.Ejemplos para algunos de los experimentos aleatorios mencionados: Para E1corresponde el espacio muestral E1= {1;2;3;4;5;6}
Para E2corresponde el espacio muestral E2= {0;1;2;3;4} Para E3 corresponde el espacio muestral E3= {(0,0), (1,0), (1,1).}
Para E4 corresponde el espacio muestral E4= {1c, 2c, 3c, 4c, Rb} Para E5 corresponde el espacio muestral E5= {C, X}
Para E6 corresponde el espacio muestral E6={1, 2, 3, }
Un espacio muestral no necesariamente es un conjunto con una cantidad finita de elementos. Hay espacios muestrales con un nmero infinito de elementos, incluso no numerable.Ejemplos: Lanzar un dardo a una diana y anotar la posicin del punto donde se clava. Cortar a ciegas un cordel y anotar la longitud del trozo menor.
Elegir al azar un punto del intervalo [0, 1]
Ejercicio: COMPLETAE1:
E2:E3:Extraer un artculo de un lote que contiene artculos defectuosos "D" y no defectuosos "N".
E4:Designar un delegado de un grupo de 50 personas.
E5:Contar el nmero de automviles que cruzan la interseccin de dos calles, hasta que ocurra un accidente.
E6:Fabricar artculos, hasta producir 5 defectuosos y contar el nmero total de artculos fabricados.
E7:Contar el nmero de vehculos que llegan a una estacin de servicios en un da.
E8:Elegir un punto del intervalo cerrado [0, 1].
E9:Observar el tiempo de vida de un artefacto elctrico.
E10:De una urna que contiene fichas blancas y negras se escoge una y se anota su color.
E11:Verificar el estado de un transistor: (0 = Apagado; 1 = Prendido).ExperimentoConjuntos de resultados Posibles: Espacio Muestral
E1:
C = cara S = cruz
E2:
E3:
E4:
Ai representa una persona.
E5:
E6:
E7:
E8:
E9:
E10:
E11:
2. SUCESOS en un experimento aleatorio
Cada experimento aleatorio tiene asociada una familia de sucesos o ESPACIO DE SUCESOS. Un SUCESO est caracterizado por su ocurrencia o no respecto a cualquier resultado observable en la realizacin de un experimento aleatorio.
Ejemplo: En el experimento aleatorio de lanzar un dado de seis caras podemos contemplar los siguientes sucesos o eventos:
S1= {Salir par} = {2, 4, 6} S2= {Salir mltiplo de 3} = {3, 6}
S3= {Sacar ms que 3} = {4, 5, 6}
Diremos que un suceso A se verifica (o se realiza) si al efectuar una prueba del experimento aleatorio obtenemos como resultado uno de los puntos muestrales que VERIFICAN el suceso A.
Ejemplo. Sea el experimento consistente en lanzar una dado, con E={1,2,3,4,5,6} y sea el suceso A={1,3,5} = salir impar Entonces diremos que A se verifica si al lanzar el dado sale 1, 3 5, y diremos que no se verifica si sale 2, 4 6.Como vemos, todo suceso tiene asociado un subconjunto del espacio muestral E, compuesto por todos los resultados que lo VERIFICAN.Ejemplo. En el experimento consistente en lanzar una moneda:
E={C , X } S={,{C},{X },{C , X }}
y E son siempre subconjuntos de E.
Ejercicio. En el experimento que consiste en extraer una carta de una baraja espaola, consideremos los sucesos A = salir figura, B = salir un as. Cundo diremos que se ha realizado el suceso A? Y el suceso B? TIPOS DE SUCESOS Suceso elemental es el suceso formado por un solo punto muestral. Suceso compuesto es el suceso formado por dos o ms puntos muestrales. Suceso cierto (o suceso seguro) es el que siempre se realiza. Est formado por todos los resultados posibles del experimento, es decir, coincide con E. Suceso imposible es el que no se realiza nunca. Se designa por y no tiene ningn elemento del espacio muestral.Ejemplo. En el experimento consistente en lanzar un dado:
Sucesos elementales: {1} {2} {3} {4} {5} {6}
Algunos sucesos compuestos: A={1,2} B={4,3,2} C={1,3,5,6}
Suceso cierto: E={1,2,3,4,5,6}
Suceso imposible: Suceso contrario de A, A: Dado un suceso cualquiera A del espacio de sucesos S, se llama suceso contrario (o complementario) del suceso A al suceso que se realiza cuando no se realiza A, y recprocamente.
El suceso contrario de A se representa por Ac (o tambin A' o no A ).
El suceso Ac est formado por los puntos muestrales de E que no pertenecen a A.
Ejercicio. En el experimento consistente en lanzar un dado, halla los sucesos contrarios de los siguientes sucesos:
A={1,2,5} B={1,3} C={4}
D={1,3,5,6} E={1,2,3,4,5,6} F=3. OPERACIONES con sucesos: sucesos incompatibles.Como hemos visto cada SUCESO de un experimento aleatorio tiene asociado un subconjunto del espacio muestral E. Es decir, el ESPACIO DE SUCESOS es un subconjunto del conjunto de las partes del conjunto muestral. Conviene, pues, repasar un poco la TEORA DE CONJUNTOS.
Cardinal de un conjunto.
Subconjunto de un conjunto. Conjunto de las partes de un conjunto P(E).
Operaciones en P(E).
Llamamos suceso unin de A y B ( AUB ) al suceso que se realiza cuando se realizan A B. El suceso AUB contiene todos los elementos de A y todos los de B.
Llamamos suceso interseccin de A y B (AB ) al suceso que se realiza cuando se realizan simultneamente A y B. El suceso AB est formado por los elementos comunes de A y B.Ejemplo. Sea el experimento consistente en lanzar un dado.Si A={1,2,5} y B={2,3,5} , entonces AUB={1,2,3,5} y AB={2,5}Ejercicio. Calcula la unin y la interseccin de:
a) C={2,4,6} y D={2,5}
b) M={2,5} y N={1,3,6}Propiedad. Se cumple que AUA = A.
c=E AA = A
Ec=Dos sucesos son incompatibles cuando es imposible que se realicen simultneamente.
Si AB= entonces A y B son incompatibles. Si AB entonces A y B son compatibles.
Por tanto, un suceso y su contrario son incompatibles.
Ejercicio n 1.-
En una urna hay 15 bolas numeradas de 2 al 16. Extraemos una bola al azar y observamos el nmero que tiene.
a) Describe los sucesos:
A = "Obtener par" B = "Obtener impar"
C = "Obtener primo" D = "Obtener impar menor que 9"
escribiendo todos sus elementos.
b) Qu relacin hay entre A y B? Y entre C y D?
c) Cul es el suceso A U B? y C D?Solucin:
a) A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
B = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
C = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
D = {3, 5, 7}
b) B = A'; D c C
c) A U B = E = Espacio muestral; C D = D
4. PROBABILIDAD de un suceso.
Si repetimos un experimento aleatorio un nmero muy grande de veces, y calculamos la frecuencia relativa de un suceso A, fr(A), la LEY DE LOS GRANDES NMEROS asegura que dicha frecuencia converge hacia un determinado valor que llamaremos probabilidad de A, P(A).
La probabilidad de un suceso A, P(A), mide la esperanza que tenemos de que ese suceso ocurra al realizar un determinado experimento aleatorio. As pues, sea E el espacio muestral de un experimento aleatorio. A cada suceso A se le asocia un nmero, designado P(A) y llamado probabilidad de A, el cual satisface las siguientes AXIOMAS:
1) 0 P(A) 1
Es decir la probabilidad es un nmero entre "0" [imposible] y "1" [seguro].Ejemplo: La probabilidad de sacar par en un dado equilibrado es 0,5.p(A)=0,5, que indica que esperamos que la mitad de las veces salga par.
2) P(E) = 1
Es decir la probabilidad de que ocurra el espacio muestral (suceso seguro) es "1".Ejemplo: La probabilidad de sacar un nmero del 1 al 6 en un dado equilibrado es "1".
3) SiA y B son sucesos mutuamente excluyentes o incompatibles(sin elementos en comn, interseccin vaca),P(AUB) = P(A) + P(B)
Es decir la probabilidad de que ocurra la unin de dos sucesos disjuntos entre s es la suma de las probabilidades individuales.
Ejemplo: La probabilidad de sacar en un dado {"as" o sacar "nmero par"} es la suma de las probabilidades individuales de dichos sucesos.
Consecuencia de los axiomas (Teoremas)
1) P(A) = 1 - P(A) Es decir la probabilidad del complemento de un suceso A es "1 - P(A)".
Ejemplo1: La probabilidad de sacar un nmero impar en un dado equilibrado es "1 menos la probabilidad de sacar par".
2) Si es el conjunto vaco, entonces P() = 0 Es decir la probabilidad de un suceso imposible o conjunto vaco es "0".
Ejemplo: La probabilidad de sacar "7" en un dado equilibrado es 0.
3)SiA1, A2, .........., Ai son "i" sucesos disjuntos(incompatibles)P(A1UA2UA3U......UAi) = P(A1) + P(A2)+ P(A3)+.............+ P(Ai)Es decir la probabilidad de que ocurra la unin de "i" sucesos incompatibles es la suma de las probabilidades individuales. Si la unin de estos conjuntos Aj forman el espacio muestral entonces la suma de las probabilidades es "1"Ejemplo: La probabilidad de sacar en un dado "par" o sacar "nmero par" es la suma de las probabilidades individuales de dichos sucesos. APLICACIN PRCTICA
Si un suceso A tiene asociado el siguiente subconjunto de E, {R1, R2, R3, , RK}, entonces, como los resultados de un experimento aleatorio son incompatibles entre s, para calcular la p(A) basta sumar la probabilidad de los resultados que lo VERIFICAN:p(A) = p (R1UR2UR3UURK) = p(R1) + p(R2) + p(R3) + + p(RK)
REGLA DE LAPLACE
Si los n resultados de un experimento aleatorio son equiprobables (todos tienen la misma probabilidad p(Rk) = 1/n )entonces lo anterior se puede traducir as:p(A) = p(R1) + p(R2) + p(R3) + + p(RK) = k p(RK) = k/n = casos favorables/casos posibles
que es la Regla de Laplace: la probabilidad de un suceso de un experimento aleatorio con resultados equiprobables se puede calcular como el cociente entre los casos o resultados favorables a A entre los casos o resultados posibles del experimento aleatorio.
4)SiA y B son sucesoscualesquiera
P(AUB) = P(A) + P(B) -P(AB)Es decir la probabilidad de que ocurra la unin de dos sucesos es la suma de las probabilidades individuales menos la probabilidad de la interseccin.Ejemplo:P(AUB) = P(A) + P(B) -P(AB)Ejemplo:
A: el estudiante es mujer
B: el estudiante fuma
AUB: el estudiante es mujer o fumaAB: el estudiante es mujer y fuma
Unin de conjuntos disjuntos (otra forma de expresar la unin)E= (AB) U (AB) U (AB) U (AB)P(E)= P(AB)+P(AB)+P(AB)+P(AB) = 1Ejemplo:
AB: el estudiante es mujer y no fuma
AB: el estudiante es mujer y fuma
AB: el estudiante no es mujer y fuma
AB: el estudiante no es mujer y no fuma
5) Si A y B son eventos tales que entonces
6) Si A, B y C son tres eventos cualesquiera en entonces
ACTIVIDADES
1. Forma el espacio muestral del los siguientes experimentos aleatorios:
a) Lanzamiento de una moneda al aire.
b) Lanzamiento de un dado de seis caras.
c) Extracin de una bola de una urna con doce bolas numeradas del 1 al 12.
d) Extracin de una bola de una urna que contiene 5 bolas rojas, 4 amarillas y 3 verdes.2. En una caja hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Consideramos el experimento
aleatorio extraer una bola de la caja.
a) Escribe el espacio muestral.
b) Sean los sucesos A={2, 3, 6}; B={1, 5, 9, 10}; C={2, 5}. Seala dos sucesos
que sean compatibles y otros dos que sean incompatibles.
c) Escribe los sucesos contrarios de A, B y C.3. Se considera el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado de seis
caras numeradas del 1 al 6 y anotar el valor de la cara superior.
a) Determina el espacio muestral.
b) Escribe los sucesos obtener mltiplo de 2 y obtener mltiplo de 3.
c) Son compatibles o incompatibles los sucesos del apartado anterior?
d) Escribe el suceso contrario de obtener menor que 5.4. Se dispone de un dado con forma de octaedro y caras numeradas de 1 a 8. Se
lanza y se anota el resultado de la cara oculta.
a) Escribe el espacio muestral.
b) Escribe los sucesos obtener par y obtener impar.
c) Determina si los sucesos del apartado anterior son compatibles,
incompatibles o contrarios.
d) Escribe el suceso obtener mltiplo de 5.
e) Escribe un suceso compatible y otro incompatible con el anterior. Escribe
tambin su suceso contrario.5. Se considera el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado de 6 caras y
anotar el resultado. Sean los sucesos: A={obtener mltiplo de 3}; B={obtener un
nmero primo}; C={obtener un nmero par}. Son compatibles los sucesos A y B,
A y C, B y C?. Son contrarios alguno de los sucesos anteriores?.
6. Una bolsa contiene 5 bolas rojas, 3 azules y 1 amarilla. Se extrae una bola sin
mirar. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos: obtener bola roja, no
obtener bola roja, obtener bola azul, no obtener bola azul, obtener bola amarilla,
no obtener bola amarilla.7. En un baraja espaola de 40 cartas, se extrae una carta al azar. Calcula la
probabilidad de los siguientes sucesos: sacar una copa, sacar una sota, sacar la
sota de copas.
8. En una caja hay 9 bolas numeradas de 1 a 9. Se extrae una bola al azar. Calcula
la probabilidad de: sacar la bola 5, sacar una bola inferior a 4, sacar una bola
mayor que 6, sacar una bola mayor que 2 y menor que 6.9. Se lanza un dado con las caras numeradas de 1 a 6
a) Cul es la probabilidad de obtener 3?.
b) Cul es la probabilidad de obtener un nmero mayor que 4?.
c) Cul es la probabilidad de obtener un nmero menor que 3?.
d) Son compatibles o incompatibles los sucesos anteriores?.
e) Algunos de los sucesos de a), b), c) son contrarios?.10. Una urna tiene 10 bolas rojas y 4 bolas azules. Se extrae una bola al azar. Halla la
probabilidad de los siguientes sucesos: sacar una bola verde, sacar una bola roja,
sacar una bola azul. De entre los sucesos anteriores, hay algunos que sean
contrarios?.11. Se extrae al azar una carta de una baraja espaola. Halla la probabilidad de los
siguientes sucesos: que sea oro, que sea figura, que sea la sota de oros, que sea
oro o figura.12. Tenemos una ruleta dividida en 12 sectores de igual tamao. Hacemos girar la
ruleta y anotamos el nmero del sector que queda en la parte superior. Calcula la
probabilidad de los siguientes sucesos: salir par, salir mltiplo de 6, salir mltiplo
de 5, salir mltiplo de 4, salir impar, salir mltiplo de 3. Clasifica los sucesos
anteriores en compatibles e incompatibles.13. Se extare un carta al azar de una baraja espaola. Di si son o no equiprobables
los sucesos: salir oro, salir copa, salir espada, salir figura, salir rey, salir as.14. Una mquina tragaperras ha dado a la largo de un da los siguientes premiospremio
0 1 5 10
n de veces
840 60 13 1
Halla la probabilidad de los siguientes sucesos
a) Que no entregue ningn premio.
b) Que entregue un premio de 10.
c) que entregue un premio menor que 10.
15. Se tiene una ruleta dividida en 8 sectores de igual tamao numeradas de 1 a 8.
Los sectores 1, 2, 5, 6 y 7 estn adems coloreados de verde. Los sectores 3, 4 y
8 estn coloreados de rojo. Calcula los siguientes probabilidades: obtener 3,
obtener color rojo, obtener un mltiplo de 2, obtener color verde. Cules de los
sucesos anteriores son contrarios?.16. En un armario de cocina hay 6 refrescos de cola, 12 de naranja y 5 de limn.
Cuando Ana iba a coger un refresco se fue la luz y, por tanto, lo tom al azar.
Halla las siguientes probabilidades: que sea de cola, que sea de limn, que sea de
naranja, que sea de cola o limn, que no sea de limn.17. Una ruleta como la de los casinos tiene 37 agujeros numerados de 0 a 36. Halla la
probabilidad de los siguientes sucesos: que salga 15, que salga mltiplo de 7, que
salga un nmero acabado en 4, que salga un nmero de una cifra, que salga un
nmero que empiece por 3.18. La probabilidad de que un alumno llegue tarde a clase es de 1/15, cul es la
probabilidad de que llegue puntualmente?.19. Se sabe que para una persona que prueba el tabaco la probabilidad de hacerse
adicto a la nicotina es 4/5. Calcula la probabilidad de que una persona que pruebe
el tabaco no se haga adicto a la nicotina.
A la vista de los resultados, qu es ms probable, hacerse adicto o no?. Justifica
tu respuesta.20. Ests jugando con un dado cargado en el que no todas las caras tienen la misma
probabilidad de salir. Para este dado, la probabilidad de que salga una
determinada cara es proporcional su nmero.
Considera los sucesos: A salir nmero par, B salir nmero impar y C salir nmero
primo. Calcula la probabilidad de los sucesos A, B, C, , y AUC, AC y BC.21. En una habitacin se encuentran 210 personas de las cuales la mitad son mayores de edad y la tercera parte del total son mujeres, mientras los varones menores de edad representan el 40% del total. Calcula las siguientes probabilidades: a) Cul es la probabilidad de que una persona de esa habitacin sea menor de edad?b) Cul es la probabilidad de que una persona de esa habitacin sea mujer?c) Cul es la probabilidad de que una persona de esa habitacin sea menor de edad o mayor de edad?d) Cul es la probabilidad de que una persona de esa habitacin sea menor de edad y varn?e) Cul es la probabilidad de que una persona de esa habitacin sea mayor de edad y mujer?f) Cul es la probabilidad de que una persona de esa habitacin sea menor de edad o varn?Autoevaluacin
1. Indica cul de los siguientes experimentos es aleatorio.
a) Lanzar tres monedas y apuntar el nmero de caras.
b) Dejar caer una piedra desde 5 metros y decir con qu velocidad llegar al suelo.
c) El da de la semana en que caer el 12 de julio del ao 2020.
d) El resultado del prximo partido MadridBarsa.
2. Se gira la aguja de la ruleta y se observa el nmero del sector dnde se para.
a) Describe el espacio muestral asociado.
b) Cuntos sucesos elementales forman cada uno de los sucesos:
B = blanco, G = gris y N = negro?
c) Describe los sucesos contrarios de los sucesos B, G y N.
d) Cul es el suceso seguro? Indica un suceso imposible.
3. Para la misma ruleta, indica los sucesos elementales que forman los sucesos:
a) A = El nmero obtenido es par.
b) B = El nmero obtenido es mltiplo de 3.
c) A U B y A B.
d) Suceso contrario de cada uno de los sucesos anteriores.
4. Si la ruleta del ejercicio 2 est bien construida, cada uno de los nmeros tiene la misma probabilidad de salir. Con esto, calcula la probabilidad de que la aguja se pare en cada uno de los colores blanco, gris o negro; y la probabilidad de sus respectivos contrarios.
5. Se lanzan tres monedas al aire y se observa el nmero de caras y cruces que salen.
a) Forma el espacio muestral de los resultados.
b) Por cuntos resultados elementales est formado el suceso dos caras y una cruz?
c) Cuntos resultados elementales hay en total?
d) Son equiprobables los sucesos sacar tres caras y sacar dos caras y una cruz?
Cunto vale la probabilidad de cada uno de esos dos sucesos?
6. Una urna contiene bolas del mismo tamao pintadas de distintos colores: 3 amarillas, 5 rojas y 6 verdes. Si se extrae una bola al azar:
a) Determina el espacio muestral.
b) Son equiprobables los sucesos bola amarilla, bola roja o bola verde.
c) Halla la probabilidad de cada uno de los sucesos anteriores.
7. Los alumnos de 3 y 4 de ESO de un IES se distribuyen por curso y sexo como se indica en la tabla, auque hay nmeros borrados:
Curso
Chicos Chicas Total
3 ESO 65
135
4 ES0
62
Total
120
252a) Completa los nmeros que faltan.
b) Si se elige un alumno al azar, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
A = sea una chica
B = sea de 4 de ESOC = sea una chica de 4 de ESO
D = sea un chico de 3 de ESOSoluciones:
1. Aleatorios: a) y d). Deterministas: b) y c)
2. a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. b) B = {2, 5, 8}; G = {1, 3, 7, 9}; N = {4, 6}
c) B = {1, 3, 4, 6, 7, 9}; G = {2, 4, 5, 6, 8}; N = {1, 2, 3, 5, 7, 8, 9}
d) Seguro: Se para en un nmero entre el 1 y el 9. Imposible: Se para en el nmero 0
3. a) A = {2, 4, 6, 8}. b) B = {3, 6, 9}. c) A B = {2, 3, 4, 6, 8, 9}; A B = {6}.
d) AC = {1, 3, 5, 7, 9}; BC = {1, 2, 4, 5, 7, 8}; (A U B)C = {1, 5, 7};
(A B)C = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}.
4. P(blanco) = 3/9; P(gris) = 4/9; P(negro) = 2/9;
P(no blanco) = 1- 3/9 = 6/9; P(no gris) = 1-4/9 = 5/9; P(no negro) = 1 2/9 = 7/95. a) E = {3 caras, 2 caras y 1 cruz, 1 cara y 2 cruces, 3 cruces}.
b) dos caras y una cruz = {CCX, CXC, XCC}.
c) {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX}. d) No. El suceso 3 caras est
formado por 1 solo suceso elemental; el suceso dos caras y una cruz lo forman 3 sucesos elementales. P(3 caras) = 1/8; P(2 caras y 1 cruz) = 3/8.6. a) E = {amarilla, roja, verde}
b) No son equiprobables pues cada suceso est compuesto por un nmero distinto de sucesos elementales. c) P(amarilla) = 3/14; P(roja) = 5/14; P(verde) = 6/14.7. a) Como en 3 hay un total de 135 alumnos, el nmero de chicas es: 135 65 = 70.
Como el total de alumnos de 3 y 4 es de 252, en 4 habr: 252 135 = 117.
Los chicos de 4 deben ser: 117 62 = 55.
Y el total de chicos entre 3 y 4: 65 + 55 = 120. Con esto, la tabla completa es:Curso Chicos Chicas Total
3 ESO 65
70
135
4 ES0 55
62
117
Total
120
132
252
b) P(Chica) = 132/252; P(de 4 de ESO) =117/252; P(Chica de 4) = 62/252
P(Chico de 3) = 65/252Simulacin de experimentos
En muchas ocasiones realizar un experimento aleatorio un nmero elevado de veces no resulta fcil, entonces recurrimos a la simulacin.Simular un experimento aleatorio consiste en sustituirlo por otro ms sencillo y capaz de reproducir los mismos resultados.Las calculadoras cientficas disponen de la teclaRAND, RAN# RANDOM que al activarla, genera un nmero al azar comprendido entre 0 y 1, llamadonmero aleatorio. Estos nmeros resultan de gran utilidad en la simulacin de experimentos.
1.-Imagina que en una clase hay 12 chicos y 9 chicas. Queremos simular muchas veces la eleccin al azar de un estudiante para estudiar la probabilidad de ocurrencia del resultado obtener chica.
Indica cul de los siguientes procedimientos es vlido y cul no, para hacer la simulacin anterior y asegurar la aleatoriedad del proceso. Justifica tu respuesta.
-En una bolsa no transparente meto 12 monedas luxemburguesas y 9 monedas espaolas de 1 Euro. A continuacin extraigo una de ellas.
-En una bolsa no transparente meto doce monedas de 50 cntimos y nueve de 10. A continuacin extraigo una de ellas.
-En una bolsa no transparente meto 4 monedas espaolas de un euro y 3 monedas luxemburguesas. A continuacin extraigo una de ellas.
-En una bolsa no transparente meto 14 palillos de los cuales 6 son ms cortos y 8 ms largos. A continuacin extraigo uno.
-En una bolsa no transparente meto 14 palillos de los cuales 6 son rojos y 8 azules. A continuacin extraigo uno.
-Con 7 cartas , tres de las cuales son reyes y cuatro ases. Extraigo una tras barajarlas.
-Tirando un dado y asociando la puntuacin 1, 2, 3, 4 a ser chico y la puntuacin 5 y 6 a ser chica.
-Tirando dos monedas y asignando el resultado chico a obtener al menos una cara y el resultado chica a obtener dos cruces.
2.- Indica procedimientos para simular un experimento aleatorio con:
- cuatro posibles resultados, todos equiprobables.
- tres posibles resultados, todos equiprobables.
- cinco posibles resultados, todos equiprobables.
- 8 resultados, todos equiprobables.
- 3 resultados de los cuales uno tiene doble probabilidad que el otro.5. PROBABILIDAD CONDICIONADA.
En muchos problemas de probabilidad hay que calcula la probabilidad de un suceso B sabiendo que ha ocurrido el suceso A. Esta informacin adicional restringe el espacio muestral E, a un nuevo espacio muestral A, con lo que podemos definir la probabilidad de B condicionada a A, P(B/A) de la siguiente manera:
Donde:P (B/A) es la probabilidad de que se de el suceso B condicionada a que se haya dado el suceso A.P (B A) es la probabilidad del suceso simultneo de A y de BP (A) es la probabilidad a priori del suceso AEjemplo 1: se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es 1/6 (probabilidad a priori). Si incorporamos nueva informacin (por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un nmero par) entonces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6.P (B/A) es la probabilidad de que salga el nmero 2 (suceso B) condicionada a que haya salido un nmero par (suceso A).P (B A) es la probabilidad de que salga el dos y nmero par.P (A) es la probabilidad a priori de que salga un nmero par.Por lo tanto: P (B A) = 1/6, P (A) = , P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3Luego, la probabilidad de que salga el nmero 2, si ya sabemos que ha salido un nmero par, es de 1/3 (mayor que su probabilidad a priori de 1/6).Ejemplo 2: En un estudio sanitario se ha llegado a la conclusin de que la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios (suceso B) es el 0,10 (probabilidad a priori). Adems, la probabilidad de que una persona sufra problemas de obesidad (suceso A) es el 0,25 y la probabilidad de que una persona sufra a la vez problemas de obesidad y coronarios (suceso interseccin de A y B) es del 0,05.Calcular la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios si est obesa (probabilidad condicionada P(B/A)).
P (B A) = 0,05, P (A) = 0,25, P (B/A) = 0,05 / 0,25 = 0,20Por lo tanto, la probabilidad condicionada es superior a la probabilidad a priori. No siempre esto es as, a veces la probabilidad condicionada es igual a la probabilidad a priori o menor.Por ejemplo: probabilidad de que al tirar un dado salga el nmero 2, condicionada a que haya salido un nmero impar. La probabilidad condicionada es en este caso cero, frente a una probabilidad a priori de 1/6. Ejemplo 3: Estudiamos el suceso A (porcentaje de varones mayores de 40 aos casados) y el suceso B (varones mayores de 40 aos con ms de 2 hijos) y obtenemos la siguiente informacin:Un 35% de los varones mayores de 40 aos estn casados. De los varones mayores de 40 aos y casados, un 30% tienen ms de 2 hijos (suceso B condicionado al suceso A).Calcular la probabilidad de que un varn mayor de 40 aos est casado y tenga ms de 2 hijos (suceso interseccin de A y B).Por lo tanto:P (A) = 0,35P (B/A) = 0,30P (A B) = 0,35 * 0,30 = 0,105Es decir, un 10,5% de los varones mayores de 40 aos estn casados y tienen ms de 2 hijos.Ejemplo 4: Estudiamos el suceso A (alumnos que hablan ingls) y el suceso B (alumnos que hablan alemn) y obtenemos la siguiente informacin:Un 50% de los alumnos hablan ingls. De los alumnos que hablan ingls, un 20% hablan tambin alemn (suceso B condicionado al suceso A).Calcular la probabilidad de que un alumno hable ingls y alemn (suceso interseccin de A y B).Por lo tanto:P (A) = 0,50P (B/A) = 0,20P (A B) = 0,50 * 0,20 = 0,10Es decir, un 10% de los alumnos hablan ingls y alemn.SUCESOS INDEPENDIENTESDos sucesos son independientes entre s, si la ocurrencia de uno de ellos no afecta para nada a la ocurrencia del otro:Ejemplo: el suceso estatura de los alumnos de una clase y el color del pelo son independientes: el que un alumno sea ms o menos alto no va a influir en el color de su cabello, ni viceversa.Para que dos sucesos sean independientes tienen que verificar al menos una de las siguientes condiciones:P (B/A) = P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso B, condicionada a que previamente se haya dado el suceso A, es exactamente igual a la probabilidad de B.Ejemplo: la probabilidad de que al tirar una moneda salga cara (suceso B), condicionada a que haga buen tiempo (suceso A), es igual a la propia probabilidad del suceso B.P (A/B) = P (A) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso A, condicionada a que previamente se haya dado el suceso B, es exactamente igual a la probabilidad de A.Ejemplo: la probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A), condicionada a que al tirar una moneda salga cara (suceso B), es igual a la propia probabilidad del suceso A.Si el suceso A es independiente del suceso B, entonces el suceso B tambin es independiente del suceso A.De donde se deduce que si dos sucesos son independientes tenemos que:
REGLA DEL PRODUCTOP (A B) = P (A) * P (B) es decir, la probabilidad de que se de el suceso conjunto A y B es exactamente igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B.Ejemplo: la probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A) y salga cara al tirar una moneda (suceso B), es igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso BEjemplo 1: Analicemos dos sucesos:Suceso A: la probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4Suceso B: la probabilidad de tener un accidente es del 0,1Suceso interseccin: la probabilidad de que haga buen tiempo y tener un accidente es del 0,08Veamos si se cumple alguna de las condiciones sealadas:P (B/A) = P (A B) / P (A) = 0,08 / 0,4 = 0,2 (que no es igual a P (B))P (A/B) = P (A B) / P (B) = 0,08 / 0,6 = 0,133 (que no es igual a P (A))P (A B) = 0,08 (que no es igual a P (A) multiplicado por P (B))Por lo tanto, no se cumple ninguna de las tres condiciones sealadas por lo que estos dos sucesos no son independientes, sino que existe algn grado de dependencia entre ellos.Ejemplo 2: Analicemos dos sucesos:Suceso A: la probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4Suceso B: la probabilidad de salir cara al lanzar una moneda es del 0,5Suceso interseccin: la probabilidad de que haga buen tiempo y que salga cara es 0,2Veamos si se cumple alguna de las condiciones sealadas:P (B/A) = P (A B) / P (A) = 0,2 / 0,4 = 0,5 (igual que P (B))P (A/B) = P (A B) / P (B) = 0,2 / 0,6 = 0,4 (igual que P (A))P (A B) = 0,2 (igual a P (A) multiplicado por P (B))Por lo tanto, estos dos sucesos s son independientes.EXPERIMENTO COMPUESTO
Unexperimento compuestoes aquel que consta de dos o ms experimentos aleatorios simples.Cuando un experimento o suceso aleatorio sigue un modelo dinmico, es decir, cuando se puede a su vez dividir en subexperimentos, que se realizan consecutivamente en el tiempo, se puede estudiar como modelo aleatorio multidimensional, o bien, como un modelo de aleatorio de experimentos simples, estudiando segn el resultado que ocurra tras cada experimento simple, y los posibles resultados del siguiente experimento.Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos aleatorios simples, pero si realizamos el experimento de tirar un dado y posteriormente una moneda, estamos realizando unexperimento compuesto.En losexperimentos compuestoses conveniente usar el llamadodiagrama en rbolpara encontrar el espacio muestral del mismo.
La probabilidad de un suceso en un experimento compuesto se calcula a partir de las probabilidades de los experimentos simples que lo forman.
Por ejemplo el experimento de lanzar tres monedas puede considerarse compuesto del experimento simple de lanzar una moneda tres veces seguidas.
Podemos construir el espacio muestral mediante un diagrama de rbol, como se vio anteriormente, y consta de 8 elementos:
E = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX}
As la probabilidad de obtener tres caras es:
P(CCC) = 1/8
Pero se llega al mismo resultado si se multiplica la probabilidad de obtener cara en cada uno de los tres lanzamientos:
P(C1)P(C2)P(C3) = (1/2)(1/2)(1/2) = 1/8
Observa en el diagrama que cada rama del camino lleva a un resultado, la probabilidad de cada resultado es la de cada camino, y en cada uno se calcula multiplicando las probabilidades de las ramas que lo componen.
Como veremos a continuacin, la probabilidad de un "camino" en un diagrama de rbol, es igual alproductode las probabilidades de las ramas de dicho camino.PROBABILIDAD COMPUESTA
Regla de la MultiplicacinDel concepto de probabilidad condicional, obtenemos una frmula para hallar la probabilidad de la interseccin (o producto) de los eventos A y B.
y tambin
Este resultado en probabilidades se denomina REGLA DE LA MULTIPLICACION o probabilidad de la interseccin, (o probabilidad conjunta); expresa la probabilidad de que ocurran los eventos A y B.
Ejemplo 1 : Una caja contiene 5 bolas blancas y 6 negras; se extrae 2 bolas, cul es la probabilidad que las dos resulten blancas
PRIMERA FORMA. Se extraen las bolas una a una, sin reposicin.
Sean los eventos:
A1 : "La primera bola resulta blanca"
A2: "La segunda bola resulta blanca"
E: "Las dos bolas resulten blancas"
La probabilidad pedida es del evento E = A1 ( A2 = A1 A2E, es la interseccin de los dos eventos y la ocurrencia de A1 influye en la de A2, o sea
En la urna hay 11 bolas de las cuales 5 son blancas, entonces
Despus de la ocurrencia del evento A1, queda 10 bolas de las cuales 4 son blancas, luego
por lo tanto
DIAGRAMA DE RBOL
Teorema de las Probabilidades Totales: P(a) = P[(Aa)U(Ba)] = P(Aa) + P(Bb) = P(A).P(a/A) + P(B).P(a/B)Si un SUCESO se verifica en varias ramas del rbol, la probabilidad de ese suceso es la suma de las probabilidades de cada una de estas ramas. EJEMPLOTenemos dos urnas: la primera tiene 3 bolas rojas, 3 blancas y 4 negras; la segunda tiene 4 bolas rojas, 3 blancas y 1 negra. Elegimos una urna al azar y extraemos una bola.
a Cul es la probabilidad de que la bola extrada sea blanca?
b Sabiendo que la bola extrada fue blanca, cul es la probabilidad de que fuera de la primera urna?Solucin: Hacemos un diagrama en rbol:
TABLA DE CONTINGENCIA
AB
aP(Aa)P(Ba)P(a)
bP(Ab)P(Bb)P(b)
P(A)P(B)1
Las PROBABILIDADES CONDICIONADAS se calculan por la definicin:
P(A/a) = P(Aa) / P(a)
EJEMPLOEn un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar ingls, 36 saben hablar francs, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.
Escogemos uno de los viajeros al azar.
a Cul es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?
b Cul es la probabilidad de que hable francs, sabiendo que habla ingls?
c Cul es la probabilidad de que solo hable francs?Solucin: Vamos a organizar los datos en una tabla, completando los que faltan:
Llamamos I "Habla ingles", F "Habla francs".
a Tenemos que hallar P[I F]:
EJERCICIOS
En una urna hay cuatro bolas numeradas con los dgitos 1, 3, 4 y 6. Se extraen dos bolas a la vez:a) Escribe el Espacio muestralb) Cul es la Probabilidad de que las dos sean impares?c) Cul es la Probabilidad de que la suma sea Par?En una urna hay dos bolas blancas y una negra. Se extrae una bola, se mira el color y se devuelve a la urna. Se extrae, de nuevo, otra bola:a) Escribe el Espacio muestralb) Cul es la Probabilidad de que las dos sean Blancas?c) Cul es la Probabilidad de que al menos una sea blanca?En un grupo de 3 de Educacin Secundaria Obligatoria hay 27 estudiantes, 10 son chicas. Sabemos que 7 chicos tienen suspensas las Matemticas y hay un total de 17 chicos y chicas que las han aprobado.a) Calcula la Probabilidad de que al elegir al azar un estudiante sea una chica que ha aprobado Matemticas.b) Calcula la Probabilidad de que al elegir al azar un estudiante sea un chico con las Matemticas suspensas.c) Calcula la Probabilidad de que al elegir al azar un estudiante con las Matemticas suspensas sea una chica.De una baraja espaola (40 cartas) se extrae una carta. Si sale un Oro o una Copa se lanzan dos monedas, si sale una espada se lanza una moneda y si sale bastos no se lanza ninguna.a) Cul es la Probabilidad de que salga alguna cara?b) Cul es la Probabilidad de que salga un Oro y adems no salga ninguna cara?c) Cul es la Probabilidad de que salgan dos caras?Se lanza un dado. Si sale un nmero par se lanzan dos monedas, si sale impar se lanza una moneda.a) Cul es la Probabilidad de que salga alguna cara?b) Cul es la Probabilidad de que salga un nmero impar y ademas no salga ninguna cara?c) Cul es la Probabilidad de que salgan tres caras?
En un invernadero hay flores de dos especies (tulipanes y rosas) y de dos colores (rojos y blancos). Se sabe que hay un 60 % de tulipanes, de los cuales la mitad son rojos, y un 40 % de rosas, de las cuales una cuarta parte son blancas.a) Calcular la probabilidad de que al escoger al azar una flor sea un tulipn blanco.b) Calcular la probabilidad de que al escoger al azar un tulipn este sea blanco.c) Calcular la probabilidad de que al escoger al azar una flor blanca sea un tulipn.d) Calcular la probabilidad de que al escoger al azar una flor sea blanca.En una urna (A) hay tres bolas blancas y dos negras y en otra urna (C) hay tres bolas negras y dos blancas. Se saca una carta de una baraja espaola de cuarenta cartas y si sale una figura se extrae una bola de la urna A, si no sale figura se extrae una bola de la urna C.a) Calcular la Probabilidad de sacar una bola blanca.b) Son independientes los sucesos:
B = {sacar una bola blanca} y A = {sacar una figura}?
Tenemos dos urnas A y B. La urna A contiene 2 bolas negras, 3 bolas rojas y 1 bola verde. La urna B contiene 3 bolas negras, 3 bolas rojas y 2 bolas verdes. Lanzamos un dado al aire y si sale un nmero menor que 3 sacamos una bola de la urna A y si sale 3, 4, 5 6 sacamos una bola de la urna B.
a) Cul es la probabilidad de que la bola extrada sea verde?b) Sabiendo que ha salido la urna A Cul es la probabilidad de que la bola extrada sea verde?c) Cul es la probabilidad de que salga la urna A y la bola sea verde?d) Sabiendo que la bola obtenida es verde Cul es la probabilidad de que sea de la urna A?Sabemos que en dos pueblos (que denominaremos A y B) hay la siguiente distribucin de personas segn sexo:
En el pueblo A hay 180 mujeres y 120 hombres.En el pueblo B hay 90 mujeres y 110 hombres.
Para hacer una estadstica, se elige uno de los dos pueblos atendiendo a su poblacin (se sabe que P(A) = 3/5 y que P(B) = 2/5 ) y se escoge una persona que resulta que es una mujer. Calcular la Probabilidad de que sea del pueblo B.Tenemos dos urnas A y B. La urna A contiene 2 bolas negras, 5 bolas rojas y 1 bola blanca. La urna B contiene 3 bolas negras, 3 bolas rojas y 2 bolas blancas. Lanzamos un dado al aire y si sale un nmero menor que 5 sacamos una bola de la urna A y si sale 5 6 sacamos una bola de la urna B.
a) Cul es la probabilidad de que la bola extrada sea blanca?b) Sabiendo que la bola obtenida es blanca Cul es la probabilidad de que sea de la urna A?
6. TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD TOTAL y de BAYES.
SISTEMA COMPLETO DE SUCESOS
Los sucesos A1, ,A2,..., An de un experimento aleatorio constituyen un sistema completo de sucesos si se verifica:
1. A1UA2UA3U...UAn=E
2. A1,A2,..., An son incompatibles dos a dos, es decir, AiAj= Para todo i, j
Ejemplo. Sea el experimento consistente en lanzar un dado. Para este experimento los sucesos A= {Salir par} y B = {Salir impar} forman un sistema completo de sucesos, ya que AUB = E y AB=. Sea el experimento consistente en lanzar un dado. Para este experimento los sucesos A={1,2,6} , B={3,4} y C={5} forman un sistema completo de sucesos, ya que AUBUC=E y AB=AC=BC=Teorema de la Probabilidad Total
Sea B1, B2, ...., Bk una Particin de E , entonces para cualquier evento A en E se cumple:
CONSECUENCIA
Si B es un evento en E tal que 0 < < 1, entonces para cualquier evento A en E
El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas:Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cul es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo.La frmula para calcular esta probabilidad es:
Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A.Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).Ejemplo: al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir cruz" forman un sistema completo, no hay ms alternativas: la suma de sus probabilidades es el 100%Ejemplo: al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un sistema completo, ya que no contempla todas las opciones (podra salir el 5 o el 6). En este caso no se podra aplicar el teorema de la probabilidad total.Ejercicio 1: En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de ser elegidas:a) Amarilla: probabilidad del 50%.b) Verde: probabilidad del 30%c) Roja: probabilidad del 20%.Segn el color de la papeleta elegida, podrs participar en diferentes sorteos. As, si la papeleta elegida es:a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%.b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60%c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%.Con esta informacin, qu probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?:
1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman 100%2.- Aplicamos la frmula:
Luego, P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%.Ejercicio 2: Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos:a) Carlos, con una probabilidad del 60%b) Juan, con una probabilidad del 30%c) Luis, con una probabilidad del 10%En funcin de quien sea tu prximo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo es la siguiente:a) Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%.b) Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%.c) Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%.En definitiva, cual es la probabilidad de que te suban el sueldo?: 1.- Los tres candidatos forman un sistema completo2.- Aplicamos la frmula: P (B) = (0,60 * 0,05) + (0,30 * 0,20) + (0,10 * 0,60) = 0,15Por tanto, la probabilidad de que te suban el sueldo es del 15%. Lo llevas claro amigo...Teorema de Bayes
El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total:Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (estaba lloviendo o haca buen tiempo?).La frmula del Teorema de Bayes es:Tratar de explicar estar frmula con palabras es un galimatas, as que vamos a intentar explicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en el ejercicio, recordar que este teorema tambin exige que el suceso A forme un sistema completo.Ejercicio 1: El parte meteorolgico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:a) Que llueva: probabilidad del 50%.b) Que nieve: probabilidad del 30%c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.Segn estos posibles estados meteorolgicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (nev, llovo o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:
Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).Una vez que incorporamos la informacin de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".
Vamos a aplicar la frmula:a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:
La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el da del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.b) Probabilidad de que estuviera nevando:
La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.c) Probabilidad de que hubiera niebla:
La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%.Problemas de Probabilidad
Ejercicio n 1.-
Sean A y B los sucesos tales que:
P[A] 0,4 P[A' B] 0,4 P[A B] 0,1
Calcula P[A B] y P[B].Solucin: Calculamos en primer lugar P [B]: P[B] P[A' B] P[A B] 0,4 0,1 0,5
P[A B] P[A] P[B] P[A B] 0,4 0,5 0,1 0,8
Ejercicio n 2.-
Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad tales que:
P[A'] 0,6 P[B] 0,3 P[A' B'] 0,9
a Son independientes A y B?
b Calcula P[A' / B].Solucin:
a P[A' B'] P[A B '] 1 P[A B] 0,9 P[A B] 0,1
P[A'] 1 P[A] 0,6 P[A] 0,4
Por tanto, A y B no son independientes.
b Como:
necesitamos calcular P[A' B]:
P[A' B] P[B] P[A B] 0,3 0,1 0,2
Por tanto:
Ejercicio n 3.-
Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un nmero del 0 al 9. Cul es la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo nmero?Solucin: Para calcular la probabilidad, suponemos que el primero ya ha elegido nmero. La pregunta es: cul es la probabilidad de que el segundo elija el mismo nmero?
Por tanto, la probabilidad de que no piensen el mismo nmero ser: Ejercicio n 4.-
En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar ingls, 36 saben hablar francs, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.
Escogemos uno de los viajeros al azar.
a Cul es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?
b Cul es la probabilidad de que hable francs, sabiendo que habla ingls?
c Cul es la probabilidad de que solo hable francs?Solucin: Vamos a organizar los datos en una tabla, completando los que faltan:
Llamamos I "Habla ingles", F "Habla francs".
a Tenemos que hallar P[I F]:
Ejercicio n 5.-
Una urna, A, contiene 7 bolas numeradas del 1 al 7. En otra urna, B, hay 5 bolas numeradas del 1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que, si sale cara, extraemos una bola de la urna A y, si sale cruz, la extraemos de B.
a Cul es la probabilidad de obtener un nmero par?
b Sabiendo que sali un nmero par, cul es la probabilidad de que fuera de la urna A?
Solucin: Hacemos un diagrama en rbol:
Ejercicio n 6.-
De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar.
a Cul es el espacio muestral?
b Describe los sucesos:
A "Mayor que 6" B "No obtener 6" C "Menor que 6"
escribiendo todos sus elementos.
c Halla los sucesos A B, A B y B' A'.Solucin: a E { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
b A { 7, 8, 9 } B { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 } C { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
Ejercicio n 7.-
Sabiendo que: P[A B] 0,2 P[B'] 0,7 P[A B'] 0,5 Calcula P[A B] y P[A].
Solucin: P[A] P[A B'] P[A B] 0,5 0,2 0,7
P[B] 1 P[B'] 1 0,7 0,3
P[A B] P[A] P[B] P[A B] 0,7 0,3 0,2 0,8
Ejercicio n8.-
De dos sucesos A y B sabemos que: P[A'] 0,48 P[A B] 0,82 P[B] 0,42
a Son A y B independientes? b Cunto vale P[A / B]?Solucin: a P[A'] 1 P[A] 0,48 P[A] 0,52
P[A B] P[A] P[B] P[A B] 0,82 0,52 0,42 P[A B] P[A B] 0,12
No son independientes.
Ejercicio n9.-
Extraemos dos cartas de una baraja espaola (de cuarenta cartas). Calcula la probabilidad de que sean:
a)Las dos de oros.b)Una de copas u otra de oros.
c)Al menos una de oros.d)La primera de copas y la segunda de oro.Solucin:
Ejercicio n 10.-
Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisin. Los resultados son: - A 32 personas les gusta leer y ver la tele. - A 92 personas les gusta leer.
- A 47 personas les gusta ver la tele.
Si elegimos al azar una de esas personas: a Cul es la probabilidad de que no le guste ver la tele?
b Cul es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele?
c Cul es la probabilidad de que le guste leer?Solucin: Vamos a organizar la informacin en una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan:
Llamemos L = "Le gusta leer" y T = "Le gusta ver la tele".
Ejercicio n 11.-
El 1% de la poblacin de un determinado lugar padece una enfermedad. Para detectar esta enfermedad se realiza una prueba de diagnstico. Esta prueba da positiva en el 97% de los pacientes que padecen la enfermedad; en el 98% de los individuos que no la padecen da negativa. Si elegimos al azar un individuo de esa poblacin:
a Cul es la probabilidad de que el individuo d positivo y padezca la enfermedad?
b Si sabemos que ha dado positiva, cul es la probabilidad de que padezca la enfermedad?
Solucin: Hacemos un diagrama en rbol:
a P[Enfermo y Positiva] 0,0097
Ejercicio n 12.-
a)Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un nmero del 1 al 5. Cul es la probabilidad de que las dos elijan el mismo nmero?
b)Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, un nmero del 1 al 5, cul es la probabilidad de que las tres elijan el mismo nmero?Solucin:a)Para calcular la probabilidad, suponemos que el primero ya ha elegido nmero. La pregunta es: cul es a probabilidad de que el segundo elija el mismo nmero?
Ejercicio n 13.-
En una clase de 30 alumnos hay 18 que han aprobado matemticas, 16 que han aprobado ingls y 6 que no han aprobado ninguna de las dos.
Elegimos al azar un alumno de esa clase:
a Cul es la probabilidad de que haya aprobado ingls y matemticas?
b Sabiendo que ha aprobado matemticas, cul es la probabilidad de que haya aprobado ingls?
c Son independientes los sucesos "Aprobar matemticas" y "Aprobar ingls"?Solucin: Organizamos los datos en una tabla de doble entrada, completando los que faltan:
Llamamos M "Aprueba matemticas", I Aprueba ingls".
Ejercicio n 14.-
Tenemos dos bolsas, A y B. En la bolsa A hay 3 bolas blancas y 7 rojas. En la bolsa B hay 6 bolas blancas y 2 rojas. Sacamos una bola de A y la pasamos a B. Despus extraemos una bola de B.
a Cul es la probabilidad de que la bola extrada de B sea blanca?
b Cul es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas?Solucin:
Hacemos un diagrama en rbol:
Ejercicio n 15.-
En un pueblo hay 100 jvenes; 40 de los chicos y 35 de las chicas juegan al tenis. El total de chicas en el pueblo es de 45. Si elegimos un joven de esa localidad al azar:
a Cul es la probabilidad de que sea chico?
b Si sabemos que juega al tenis, cul es la probabilidad de que sea chica?
c Cul es la probabilidad de que sea un chico que no juegue al tenis?Solucin: Hacemos una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan:
Ejercicio n 16.-
Una bola bolsa, A, contiene 3 bolas rojas y 5 verdes. Otra bolsa, B, contiene 6 bolas rojas y 4 verdes. Lanzamos un dado: si sale un uno, extraemos una bola de la bolsa A; y si no sale un uno, la extraemos de B.
a Cul es la probabilidad de obtener una bola roja?
b Sabiendo que sali roja, cul es la probabilidad de que fuera de A?Solucin: Hacemos un diagrama en rbol:
Ejercicio n 17.-
En unas oposiciones, el temario consta de 85 temas. Se eligen tres temas al azar de entre los 85. Si un opositor sabe 35 de los 85 temas, cul es la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas?Solucin: Tenemos que hallar la probabilidad de que ocurra el siguiente suceso:
A = "el opositor conoce, al menos, uno de los tres temas"
Para calcularla, utilizaremos el complementario. Si sabe 35 temas, hay 85 - 35 = 50 temas que no sabe; entonces:
P [A] = 1 - P [A'] = 1 - P ["no sabe ninguno de los tres"]
Por tanto, la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas es de 0,802.
Ejercicio n 18.-
Tenemos para enviar tres cartas con sus tres sobres correspondientes. Si metemos al zar cada carta en uno de los sobres, cul es la probabilidad de que al menos una de las cartas vaya en el sobre que le corresponde?Solucin: Hacemos un diagrama que refleje la situacin. Llamamos a los sobres A, B y C; y a las cartas correspondientes a, b y c. As, tenemos las siguientes posibilidades:
Vemos que hay seis posibles ordenaciones y que en cuatro de ellas hay al menos una coincidencia. Por tanto, la probabilidad pedida ser:
Ejercicio n 19.-
En una cadena de televisin se hizo una encuesta a 2 500 personas para saber la audiencia de un debate y de una pelcula que se emitieron en horas distintas: 2 100 vieron la pelcula, 1 500 vieron el debate y 350 no vieron ninguno de los dos programas. Si elegimos al azar a uno de los encuestados:
a Cul es la probabilidad de que viera la pelcula y el debate?
b Cul es la probabilidad de que viera la pelcula, sabiendo que no vio el debate?
c Sabiendo que vio la pelcula, cul es la probabilidad de que viera el debate?Solucin: Organizamos la informacin en una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan:
Llamamos D "Vio el debate" y P "Vio la pelcula".
7. ACTIVIDADESACTIVIDAD n 1: EL LENGUAJE DEL AZAR. ESCALA DE PROBABILIDADES.
Vamos a realizar una previsin del tiempo para el prximo 6 de Julio en Pamplona:
(1)Utiliza una de las siguientes expresiones (u otra similar) para describir cada una de las posibilidades que se citan:
Es bastante probable
Lo ms probable es
Es probable
Es imposible
Es muy probable
Es casi seguro
Es seguro
Es difcil
Es casi imposible
Hay muchas posibilidades de
Hay pocas posibilidades de
Es poco probable
que llueva
que nieve
que el da sea clido y soleado
que haga un ligero viento
que el cielo est nublado
que la temperatura oscile entre los 25 y 30 grados
que la temperatura mxima sobrepase los 30
que la mnima est por debajo de los 5
que haga ms calor que en Buenos Aires.
(2) Ordena las frases que has construido segn la confianza que tienes de que ocurran. Compara tu lista con las de otros compaeros.
(3)Asigna a cada uno de los sucesos anteriores un nmero entre 0 y 1 tanto mayor cuanto mayor sea la confianza que tengas de que ocurra. (El 0 sera el valor correspondiente a la palabra imposible, el 1 a seguro y 05 correspondera a es tan probable que ocurra como que no ocurra).
Para asignar un nmero (o probabilidad) a cada suceso, intenta adivinar cuntas veces ha ocurrido en los ltimos 10 aos. Por ejemplo, si piensas que el 6 de julio llueve, por trmino medio, en tres ocasiones cada 10 aos, daremos el valor 3/10 = 03 al suceso citado.
RESUMEN:Una situacin de la vida ordinaria (el pronstico del tiempo) sirve como pretexto para la asignacin de probabilidades (primero cualitativa y luego cuantitativamente) como grado de creencia.
ORGANIZACIN: Trabajo individual (respondiendo a las cuestiones en el cuaderno)
AMPLIACIN:
1. Asigna probabilidades segn el grado de seguridad que tengas de que se produzcan a los siguientes sucesos:
a) Un beb que va a nacer ser nia.
b) La carta extrada de una baraja ser oros.
c) Este ao Osasuna subir a 1 Divisin.
d) Al lanzar un dado saldr 5.
e) Maana saldr el sol por el Este.
f) Al lanzar una moneda dos veces, saldr cara por lo menos una vez.
g) La prxima vez que juegues a la primitiva te tocar premio.
h) El profesor de Matemticas es de tu mismo signo del zodiaco.
i) Alguna vez en tu vida viajars a la Luna.
j) Antes del ao 2000 se inventar la vacuna contra el SIDA.
ACTIVIDAD n 2: PROBABILIDADES IMPREVISIBLES. EXPERIMENTACIN.
LA PRUEBA DE LA BODA:
Antiguamente, en cierta isla del Pacfico, para poder casarse era precisa la aprobacin de los dioses. Para obtenerla, la pareja deba superar la prueba de las cuerdas en presencia del sacerdote:
Este tomaba 6 trozos de cuerda iguales y, juntos, los ataba con un nudo central. Despus, cada novio deba anudar de dos en dos los seis cabos de uno de los lados.
Finalmente, el sacerdote deshaca el nudo central y slo si las 6 cuerdas aparecan unidas (formando un ciclo) conceda el permiso para la boda.
(1) A primera vista, te parece que superar la prueba es fcil, muy difcil, bastante probable, .?. Intenta adivinar aproximadamente qu porcentaje de parejas superaba la prueba.
(2)Para poder medir o asignar un nmero a la confianza que se puede tener en superarla, vamos a experimentar reiteradamente:
Realiza la prueba con tu compaero 10 veces y anotar los resultados. Qu probabilidad le asignaras ahora a recibir el permiso para la boda?.
El profesor recoger en la pizarra los resultados de todas las parejas en una tabla como la siguiente :
Pareja nfrecuencia absolutafrecuencia acumulada(Fa)N experiencias acumuladas (N)frecuencia relativa (Fa/N)%
110
220
..
....
..
15150
Y recordar los conceptos de frecuencia absoluta y frecuencia relativa, ligando a sta ltima la idea de probabilidad.
Resaltar tambin cmo (y por qu) tanto la frecuencia relativa como la probabilidad slo pueden tomar valores entre 0 y 1. Por otro lado, ambas se pueden expresar en forma de fraccin, decimal o porcentual. Habr que aclarar posibles dudas o errores en el paso de una a otra forma.
(3)A la vista de los resultados de toda la clase, qu os parece ms probable, superar la prueba o fracasar en ella?
RESUMEN: Se trata de asignar a un suceso, en principio incierto, una probabilidad a posteriori basndonos exclusivamente en la experimentacin. Por consiguiente, se utiliza la probabilidad en el sentido frecuencial.
ORGANIZACIN: Trabajo por parejas.
MATERIALES:6 trozos iguales de cuerda (o hilos) para cada pareja de alumnos.
AMPLIACIN:2. (RETO) Intenta deducir de una manera lgica la proporcin de intentos que resultarn exitosos en la prueba de las cuerdas.
ACTIVIDAD n 3: COMPORTAMIENTO DEL AZAR. LEY DE LOS GRANDES NMEROS.
LANZAMIENTO DE UN DADO EN EL JUEGO DE LA OCA.
En el transcurso de una partida al juego de la Oca nos encontramos en la siguiente situacin: Le toca tirar a Luis (en la casilla n 57) y Amaia est en la 51. Cuando Luis lance el dado:
A) Si sale un 1, cae en la casilla de la muerte, termina la partida y Luis pierde.
B) Si sale un 2 un 6, Luis gana.
C) En los dems casos, le llega el turno a Amaia.
(1) Asignar a cada uno de los sucesos anteriores una probabilidad en forma porcentual: piensa cuntas veces ocurrir, por trmino medio, cada suceso si se lanza 100 veces el dado.
(2)Haremos un experimento para aproximarnos a los nmeros (o probabilidades) asignados a los tres primeros sucesos anteriores.
Fijaros en la tabla siguiente y tratad de adivinar cuntas veces, aproximadamente ocurrir cada uno de los tres sucesos si lanzamos un dado 30 veces.
ResultadosN de veces esperadoRecuentoFrecuencia absolutaFrecuencia relativa
A: Sale un 2 un 6
B: Sale un 1
C: Sale 3,4 5
Total:30
Lanzar el dado 30 veces y anotar los resultados en la tabla. Recuerda que el nmero de veces que ocurre cada suceso es su frecuencia absoluta. Si dividimos la frecuencia absoluta entre el nmero total de lanzamientos (en este caso, 30) obtenemos la proporcin de veces que ocurre ese suceso, o sea la frecuencia relativa que, como podris observar, siempre vara entre 0 y 1. Completar todas las columnas de la tabla.
El profesor mostrar en la pizarra los resultados de toda la clase. A partir de ellos completar la siguiente tabla:
Suceso observado, A: que salga un 2 un 6
Pareja nfrecuencia absolutafrecuencia acumulada(Fa)N experiencias acumuladas (N)frecuencia relativa (Fa/N)%
130
260
..
....
..
15450
En un diagrama cartesiano como el de la figura adjunta se representarn los puntos (N, Fa/N) , nmero de experiencias acumuladas, frecuencia relativa:
A pesar de que la ley de estabilidad de las frecuencias relativas es vlida slo cuando n crece indefinidamente, es posible que los alumnos aprecien una cierta regularidad o tendencia hacia el valor asignado a priori, aunque el numero de experiencias de clase sea limitado.
Posteriormente, y con la ayuda del ordenador, se mostrar la grfica resultante para una nmero de experiencias muy grande:
En las experiencias de azar se puede observar que cuando el nmero de experiencias es suficientemente elevado, los valores de la frecuencia relativa se estabilizan en torno a un nmero concreto. A ese es al que llamaremos frecuencia relativa esperada o probabilidad del suceso estudiado.(3)Repetir el proceso anterior (completar la tabla de frecuencias acumuladas y dibujar la grfica de frecuencias relativas correspondiente) para los sucesos B: que salga el 1 y C: que salga 3,4 5.
Qu nmero asignaras ahora a P(B) y P(C)?.
RESUMEN:El lanzamiento de un dado es un experimento con probabilidades previsibles de antemano para la mayora de los alumnos. En la actividad se experimenta volviendo a trabajar la probabilidad en el sentido frecuencial y se comprueba el funcionamiento de la 1 Ley de los grandes nmeros. Se trata de comprobar como los fenmenos aleatorios, que son imprevisibles aisladamente, se vuelven tremendamente regulares cuando se repiten muchas veces.MATERIALES: un dado cbico por pareja.
ORGANIZACIN: Trabajo por parejas, recogiendo los resultados en el cuaderno individual.
AMPLIACIN:
3. Cul de las tres afirmaciones siguientes es falsa?
a) La frecuencia relativa de un suceso tiene que ser menor que 1.b) La frecuencia relativa de un suceso no puede ser menor que 0.c) La frecuencia relativa del suceso imposible es 0.
ACTIVIDAD n 4: DISTINTOS TIPOS DE SUCESOS.
SEGUIMOS CON EL JUEGO DE LA OCA:(1)Lanzar un dado es un ejemplo de experimento aleatorio (es decir, un experimento cuyo resultado no se puede predecir: depende del azar). Cuntos resultados distintos se pueden obtener al lanzar un dado?. Representa estos resultados formando un conjunto: E =( , , (.
Cuntos elementos tiene E ?.
Al conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio lo llamamos espacio muestral y lo representamos con la letra E.
Como el espacio muestral es un conjunto, podemos formar subconjuntos suyos , por ejemplo:
A = que Luis gane en la 1 tirada =(2, 6(.
Escribir los elementos de los subconjuntos de E siguientes:
B = que Luis caiga en la casilla de la muerte =( (C = que le llegue el turno a Amaia =
D = que salga impar
F = que salga mayor que 4
E = que salga entre 0 y 7
G = que salga el 5.
H = que salga el 7
El profesor aprovechar los ejemplos para definir suceso elemental, suceso compuesto, suceso seguro y suceso imposible.
(2)Si el dado no est trucado, qu os parece ms probable, que salga el 4 o que salga el 6?. Cuando en un experimento aleatorio todos los resultados posibles son igual de probables, se habla de sucesos elementales equiprobables .
Observar las siguientes cantidades:
P(A) =
; n de elementos de A =
; n de elementos de E =.
P(B) =
; n de elementos de B =
; n de elementos de E =.
P(C) =
; n de elementos de C =
Existe alguna relacin entre ellas?. Tenindola en cuenta, calcular las probabilidades de los sucesos:
D = que salga impar
G = que salga el 5
I = que salga el 4
H = que salga el 7.
J = que salga un nmero primo
F = que salga mayor que 4
K = que no salga el 5
L = que salga menor que 10
RESUMEN:Es continuacin de la actividad anterior. Se introduce alguna terminologa como espacio muestral, suceso elemental, suceso seguro, etc. y la notacin P(A) y al final se pone al alumno en situacin de intuir la Regla de Laplace.ORGANIZACIN: Trabajo individual con la ayuda del profesor.
El profesor, al final de la actividad, puede aprovechar el ejemplo para explicar y enunciar la citada regla de Laplace:
En el lanzamiento de un dado, E=(1,2,3,4,5,6( y se cumple que P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6) = 1.
Si el dado es correcto P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6) = pues y si A=(2,6(, P(A) = P(2)+P(6)= .
En general:
La probabilidad de un suceso es la suma de las probabilidades de sus sucesos elementales.
Cuando los N sucesos elementales del espacio muestral son equiprobables, la probabilidad de cada uno es
Si un suceso consta de n sucesos elementales, su probabilidad es
Es decir:
(Ley de Laplace).
Adems de llegar al enunciado de la Regla, conviene matizar su utilidad para deducir la probabilidad a priori de sucesos sin necesidad de realizar los experimentos. Por contra, en muchos experimentos con resultados no equiprobables, la probabilidad se estima a posteriori despus de repetir muchas pruebas u observaciones (por ejemplo, la probabilidad de curacin con un determinado medicamento, la de que llueva en agosto en un lugar sealado, etc.)AMPLIACIN:4. Se extrae una bola de una bolsa que contiene 4 bolas blancas, 5 rojas y 3 azules. Cul es la probabilidad de que sea roja? Y la probabilidad de que no sea blanca?
5. Expresa con un porcentaje la probabilidad de que en una jugada de la ruleta (nmeros del 0 al 36) el resultado sea impar.
6. Se extrae una carta de la baraja de 40. Probabilidad de que sea a) de oros b) un rey c) oros o rey d) ni oros ni rey. Qu es ms probable que salga un oro o una figura?
7. Cul es la probabilidad de que el nmero del gordo de Navidad termine en 3?
8. Gorka va a comprar un dcimo de Lotera de Navidad y le ofrecen los nmeros 00015, 12345, 88288 y 36726. Rechaza el primero porque le parece difcil que salga un nmero tan bajo; el segundo porque le parece muy raro que salgan las cinco cifras consecutivas; el tercero porque los capicas casi nunca salen y elige el cuarto porque le parece el ms normal y, por tanto, el que tendr mayor probabilidad de salir. Te parece correcto su razonamiento?. Justifica tu respuesta.
9. (RETO) Cul es la probabilidad de que el nmero de la matrcula de un coche sea capica?. Y el del gordo de Navidad?.
ACTIVIDAD n 5: REGLA DE LAPLACE
JUGANDO A LOS DADOS:Dos hermanos deciden jugarse a los dados quin fregar la vajilla de la cena: lanzarn dos dados y si la diferencia entre ellos es de 0, 1 2 friega uno. Si la diferencia es de 3, 4 5 friega el otro.
(1)Crees que se trata de un sorteo equitativo?. Si tuvieras que participar en l, qu opcin preferiras?
Diferencia de puntosRecuentoFaFr
0
gana uno1
2
3
gana el otro4
5
Total de lanzamientos:25
(2)Practica con tu pareja el sorteo y anota los resultados en una tabla como la que se adjunta:
Comprueba que todas las frecuencias relativas suman 1.
A la vista de los resultados, confirmas tus primeras opiniones del apartado (1)?
El profesor anotar en la pizarra los resultados de todas las parejas.
(3)Completar la siguiente tabla:
SucesoFa para n = 25Fr para n = 25Fa para n = 375Fr para n = 375Probabilidad estimada
dif. = 0
dif. = 1
dif. = 2
dif. = 3
dif. = 4
dif. = 5
gana el 1
gana el 2
(3) Considerando el experimento aleatorio de lanzar dos dados y anotar la diferencia, el espacio muestral ser E = (0,1,2,3,4,5(. Comprueba si las probabilidades que has estimado cumplen que P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5) =1.
Las probabilidades de los sucesos A: que gane el 1 =(0,1,2( y B: que gane el 2 =(3,4,5( cumplen la Ley de Laplace segn la cual ?
A qu te parece que es debido? Son equiprobables los resultados 0 y 5?. De cuntas formas distintas pueden caer los dos dados para que su diferencia sea 0?. Y para que sea 5?. Encuentras alguna relacin entre los nmeros anteriores y las probabilidades estimadas anteriormente?.
012345
101234
210123
321012
432101
543210
(5)Se pueden representar todas las formas posibles de obtener cada diferencia mediante una tabla de doble entrada:
Observa que, si los dados no estn trucados, la probabilidad de cada una de las 36 parejas de resultados es la misma.
Si se lanzan los dos dados 1000 veces, alrededor de cuntas veces cabe esperar que salga el seis doble? Y que la diferencia de los dados sea 5?.
(6)A la vista de la tabla, calcula de nuevo las probabilidades anteriores: P(0), P(1), P(2), P(3), P(4), P(5), P(que gane el 1) y P(que gane el 2).
El profesor, con la ayuda del ordenador podr mostrar de nuevo tablas y grficas en las que se observe la 1 Ley de los grandes nmeros para las frecuencias relativas de alguno de los sucesos anteriores:
EMBED Word.Picture.8
Ser conveniente recalcar y explicar la necesidad de que los sucesos elementales sean equiprobables para poder aplicar la Regla de Laplace.
Tambin es interesante comentar las diferencias entre las probabilidades o frecuencias relativas esperadas y los resultados reales o frecuencias relativas obtenidas con la prctica. Hay que aprovechar estas diferencias para que los alumnos tomen conciencia del carcter no determinista del azar y de la imposibilidad de predecir los resultados.
Por ltimo, se puede aprovechar el ejemplo para hablar de suceso contrario y recalcar la propiedad que cumple su probabilidad:
RESUMEN: Se propone a los alumnos las reglas de un juego sencillo para dos personas (basado en el lanzamiento de dos dados) en el que deben elegir ser uno de los dos jugadores. Se trata de que descubran si las reglas dan ventaja a alguno de los jugadores teniendo que asignar probabilidades a sucesos no equiprobables. Tras la experimentacin se cuestiona la validez de la Regla de Laplace segn el tipo de planteamiento terico.
ORGANIZACIN: Apartado (2) por parejas, el resto individualmente (respondiendo en el cuaderno a las cuestiones).MATERIALES: dos dados (preferiblemente de distinto color) por pareja..
AMPLIACIN:
10. Marta y Jorge han inventado un juego con las siguientes reglas: lanzan dos monedas simultneamente; si las dos son caras, Marta gana un punto; en caso contrario, gana un punto Jorge. Se repite 20 veces el lanzamiento y gana el que consiga ms puntos. Crees que es un juego equitativo? Qu jugador preferiras ser, Jorge o Marta?. Propn alguna pequea modificacin en las reglas para que el juego sea justo. 11La probabilidad de obtener suma 8 al lanzar dos dados es ... a) 1/11b) 1/36c) 1/12 = 3/36d) 5/36. Por qu?
ACTIVIDAD n 6: DIAGRAMAS DE RBOL. DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD.
LA TRAVESA DEL RO.
ORGANIZACIN: Juego para dos personas.
MATERIALES: Para cada pareja: dos dados, 12 fichas (o papelitos) de un color y 12 de otro color y un tablero (o folio) como este:
REGLAS:
Cada jugador dispone de 12 fichas. Uno de ellos las sita en un lado del ro y el otro en el lado opuesto. Las fichas se distribuyen en las casillas de la manera que se desee, pudindose optar por poner ms de una ficha en una casilla y dejar otras en blanco.
Los jugadores van lanzando los dados por turno. Si la suma de los nmeros obtenidos coincide con el nmero de una casilla en la que hay fichas, una de estas pasa al otro lado del ro.
Gana el primero que pasa al otro lado todas sus fichas.
(1) Propn una primera estrategia o disposicin de las doce fichas que pienses puede ser la mejor para ganar el juego. Despus realiza el juego con tu pareja. Cada pareja anotar el nmero de veces que aparece cada suma en una tabla como la siguiente:
SUMAS123456789101112
Recuento
Fa
Fr = Fa/N
Nmero de lanzamientos (N) =
Despus de esta primera partida es conveniente una puesta en comn en la que se comenten las distintas estrategias propuestas y se recojan las distintas conclusiones obtenidas por la clase. Es interesante aprovechar este tipo de situaciones para promover en los alumnos un vocabulario preciso y con sentido.
(2) Representar las frecuencias relativas de tu tabla en un diagrama de barras: has de dibujar sobre cada uno de los resultados posibles (representados en el eje horizontal) un rectngulo cuya altura mida tanto como su frecuencia relativa (escala en el eje vertical).
(3)Construye una tabla de doble entrada (similar a la de la actividad anterior) para representar las distintas formas de obtener cada suma.
El profesor representar en la pizarra el mismo espacio muestral utilizando un diagrama de rbol:
(4)Utiliza la informacin anterior para calcular las probabilidades de las distintas sumas: P(1), P(2), ...., P(12).
(5)A partir de ellas dibuja el diagrama de barras correspondiente.
(6) Si se realizan 1000 lanzamientos de los dos dados, alrededor de cuntas veces cabe esperar que la suma sea 2?, y 3?, y 7?, y 11?.
El profesor, de nuevo con la ayuda del ordenador, podr mostrar los histogramas correspondientes a distintos nmeros de lanzamientos y aprovechar para explicar la idea de distribucin de probabilidad:
RESUMEN: El juego sirve de excusa para seguir trabajando en clase con situaciones aleatorias. Se recurre por primera vez a los diagramas de rbol para representar los distintos sucesos elementales y calcular probabilidades. Finalmente, se introduce grficamente la idea de distribucin de probabilidad.
AMPLIACIN:
12. Representa grficamente las distribuciones de probabilidad correspondientes al lanzamiento de un dado y a la diferencia de dos dados lanzados a la vez.13. Jugando al Monopoly, caeremos en un hotel del rival si en la prxima tirada nuestros dos dados suman 7,8 o 10. Calcula la probabilidad de que as ocurra.14. (RETO) Un observador expres a Galileo su sorpresa al observar que, al jugar con tres dados, la suma 10 aparece con ms frecuencia que la suma 9. Por qu ocurre esto?.
ACTIVIDAD n 7: EXPERIENCIAS COMPUESTAS. SIMULACIN.
HIJOS E HIJAS:
Una pareja desea tener dos hijos y especula con las posibilidades de que estos sean chicos o chicas.
(1)Teniendo en cuenta que aproximadamente la mitad de los recin nacidos son varones y la mitad hembras, de 1000 familias de dos hermanos, aproximadamente cuntas cabe esperar que sean de dos chicos? y de dos chicas? y de un chico y una chica?.
Volviendo a la pareja inicial, cuando tengan los dos hijos, estima las siguientes probabilidades:
P(que las dos sean chicas), P(que los dos sean chicos), P(que sean chico y chica). Asegrate de que las tres probabilidades sumen 1.
(2)Simularemos lo que ocurre con muchas parejas: lanzaremos dos monedas que representarn los dos hijos de la pareja. Las caras se interpretarn como chicas y las cruces como chicos. Repetir el lanzamiento 30 veces anotando los resultados y pedir los de otras parejas hasta completar la siguiente tabla:
Suceso RecuentoFa para
n = 30Fr para
n = 30Fa para
n = 60Fr para
n = 60Fa para
n = 120Fr para
n = 120 %
los dos chicos
las dos chicas
chico y chica
Sigues pensando que las probabilidades asignadas en el punto (1) son las frecuencias relativas esperadas?
El profesor puede aprovechar la ocasin para insistir en los riesgos de utilizar incorrectamente la regla de Laplace y volver a recurrir a los diagramas de rbol para aclarar al planteamiento:
Considerando E = (VV,VH,HH( , Laplace no sirve.
Considerando E = (VV,VH,HV,HH( , s funciona:
RESUMEN: Se introduce la simulacin como un nuevo recurso para cuando la experimentacin directa es complicada. Se siguen utilizando tablas para recoger los resultados, diagramas de rbol y la regla de Laplace (advirtiendo sobre su posible mal uso).
ORGANIZACIN: Apartado (1) individualmente, a partir del (2) por parejas.MATERIALES: Dos monedas por pareja.AMPLIACIN: Actividad siguiente.
ACTIVIDAD n 8: RELACIONES ENTRE SUCESOS.
SIMULACIN CON NMEROS ALEATORIOS:
Haremos un estudio similar al de la actividad anterior para familias con tres hermanos:
(1)De 1000 parejas con tres hijos, intenta adivinar aproximadamente cuntas tendrn:
- 3 chicos:
- 2 chicos y una chica:
- 1 chico y 2 chicas:
- 3 chicas:
(2)Haremos una nueva simulacin, utilizando esta vez los nmeros aleatorios de la calculadora: Localizar en la calculadora la tecla de la funcin RAN. Al utilizarla aparecer en pantalla un nmero comprendido entre 0 y 1 de tres cifras decimales. Comprobarlo haciendo varias pulsaciones.
(El profesor deber explicar qu son los nmeros aleatorios y los generadores de los mismos).
Se trata de identificar cada nmero obtenido mediante la funcin RAN (sus tres cifras decimales) con la composicin de una familia de tres hermanos: las cifras pares se interpretarn como chicas y las impares como chicos. Por ejemplo, si aparece en pantalla el nmero 0.385, la familia estar compuesta por una chica y dos chicos.
Realiza la experiencia 25 veces anotando los resultados en la tabla (pedir los resultados de otros compaeros para completarla):
SucesoRecuentoFa para n = 25Fr para n = 25Fa para n = 50Fr para n = 50Fa para n = 100Fr para n = 100
los tres chicos
2 chicos y 1 chica
1 chico y 2 chicas
las tres chicas
(3) Dibujar un rbol para representar los distintos casos posibles (teniendo en cuenta el orden).
(4)Si una pareja va a tener 3 hijos, utilizar la regla de Laplace y el diagrama de rbol para obtener las probabilidades de los sucesos siguientes:
A: que los tres sean chicos.
B: que sean 2 chicos y unas chica.
C: que sean 1 chico y dos chicas.
D: que sean las tres chicas.
F: que los tres sean del mismo sexo.
G: que los tres no sean del mismo sexo.
H: que el primer hijo sea varn:
I: que no todos sean varones pero s el mayor.
J: que el segundo hijo sea varn
(5)a) El suceso G se dice que es el suceso contrario de F pues ocurre cuando y slo cuando no ocurre F. Se escribe: G = .
Encontris alguna relacin entre las probabilidades de F y de ?.
b) El suceso F se dice que es el suceso unin de A y D pues ocurre cuando ocurre A, o D, o ambos. Se escribe: F = A(D.
Encontris alguna relacin entre las probabilidades de A, D y A(D ?.
Citar algn otro ejemplo de unin de sucesos entre los anteriores.
c) El suceso I se dice que es el suceso interseccin de G y H pues ocurre cuando G y H ocurren simultneamente. Se escribe: I = G(H.
Cul sera el suceso G(H?. Y su probabilidad?. Encuentras alguna relacin entre las probabilidades de G, H, G(H y G(H ?.
Cmo describirais el suceso H(J?. Aplica la regla de Laplace para hallar su probabilidad. Encontris alguna relacin entre las probabilidades de los sucesos H, J y H(J?
d) Los sucesos A y D se dicen sucesos incompatibles pues no pueden ocurrir simultneamente.
Cul ser el suceso A(D?. Y su probabilidad?. Citar algn par de sucesos de entre los anteriores que sean incompatibles.
En este apartado de la actividad, el papel del profesor como orientador y ayuda puede ser imprescindible para muchos de los alumnos. En cualquier caso, al final ser precisa una explicacin ms detenida, con ms ejemplos y otros recursos como pueden ser los diagramas de Venn.
RESUMEN: En esta ocasin se aprovecha la calculadora (su generador de nmeros aleatorios) para simular nacimientos de tres hermanos. Los alumnos tienen que utilizar diagramas de rbol y la regla de Laplace para calcular probabilidades. Finalmente, se aprovecha la situacin para introducir, con ejemplos, las distintas relaciones entre sucesos.
ORGANIZACIN: Apartado (1) individualmente, a partir del (2) por parejas.MATERIALES: Una calculadora cientfica por pareja.AMPLIACIN:
15. Al lanzar tres monedas, cul es el suceso contrario de sacar por lo menos una cara?. Su probabilidad ser: a) 7/8 b) 1/8 c) 3/8 d) 3/4 .
16. (RETO) Lanzamos dos dados. Llamamos A, B y C a los siguientes sucesos: A, la suma de puntos es 6; B, en al menos uno de los dados ha salido el 1; C, En los dos dados el resultado es el mismo.
a) Calcula sus probabilidades.
b) En qu consisten los sucesos A(B, A(B, A(C, B y A(B
c) Calcula las probabilidades de cada uno de los sucesos del apartado anterior.
HOMBRESMUJERES
HACEN DEPORTE56127
NO HACEN DEPORTE144173
17. En un grupo de 500 personas unos hacen deporte y otros no. Se tiene:
Se elige al azar uno de ellos. Calcula, en forma porcentual, la probabilidad de que a) sea hombre;b) sea mujer;c) haga deporte;
d) sea mujer y haga deporte;e) sea mujer o haga deporte;f) sabiendo que hace deporte, sea mujer.
18. En un pueblo de Navarra el 60 % de los vecinos leen el Noticias , el 90 % el Noticias o el Diario y el 50 % leen los dos. Calcula la probabilidad de que al elegir una persona de ese pueblo lea el Diario .
ACTIVIDAD n 9: REGLA DEL PRODUCTO.
JUGANDO AL BALONCESTO:
Un jugador de baloncesto, que suele encestar el 70 por 100 de sus tiros libres, tiene que lanzar una personal uno ms uno. Esto implica que slo si acierta el primer tiro, dispondr de un segundo lanzamiento. Por tanto, es posible que consiga en la jugada 0 puntos (fallando el primer lanzamiento), 1 (encestando el primero y fallando el segundo) o 2 (acertando los dos intentos).
(1)Qu es ms probable que suceda?.
(2)Simularemos el lanzamiento utilizando de nuevo la funcin RAN de la calculadora:
Nos fijaremos en los dos primeros decimales del nmero obtenido en pantalla. Si el primer decimal est comprendido entre el 1 y el 7, interpretaremos que ha encestado el primer tiro y si es un 8, 9 o 0, que ha fallado. Anlogamente asociaremos el resultado del posible segundo intento al segundo decimal del nmero. Por ejemplo 0.283 lo interpretaremos como que encesta el primer tiro y falla el segundo.
Repetir 30 veces la simulacin, anotar los resultados y representarlos en un diagrama de barras.
El profesor anotar en la pizarra los de toda la clase para que completis la siguiente tabla:
SucesoRecuentoFa para n = 30Fr para n = 30Fa para
n = 450Fr para
n = 450%
logra los 2 puntos
logra 1 punto
0 puntos
(3)Contesta a las siguientes cuestiones:
a) Es ms probable obtener 0 que 2 puntos?.
b) Es ms probable obtener 0 que 1 punto?.
c) Cul es la probabilidad de fallar el primer lanzamiento?
d) Y la de acertarlo?.
e) Cul es la probabilidad de conseguir los 2 puntos si ya se ha logrado el primero?.
(4)Vamos a intentar calcular las probabilidades o frecuencias relativas esperadas de cada una de las tres posibilidades: imaginando que el lanzador va a repetir la jugada en 100 ocasiones y d