Procesos Industriales Área manufactura

Temas:

Métodos de conteo, diagramas de árbol, combinaciones, permutaciones, Principio multiplicativo y aditivo.

Oscar Rolando de Santiago Gaytán 2 “A”

IntroducciónEn esta ocasión hablaremos sobre el tema de la probabilidad y la estadística, veremos en que nos puede servir y como podemos aplicarlo ya sea en la vida diaria o en el trabajo de la industria.

Concepto de probabilidad: Teoría matemática que modela los fenómenos aleatorios. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinanticos, en los cuales el resultado de un experimento realizado bajo condiciones determinadas, produce un resultado único, previsible. (Por ejemplo, el agua calentada a 100 grados centígrados, a presión normal, se transforma en vapor.)

Un fenómeno aleatorio es aquel en el que, a pesar del experimento realizarse

bajo las mismas condiciones determinadas, tiene como resultados posibles un

conjunto de alternativas. (Por ejemplo, arrojar una moneda o un dado). CONCEPTO DE ESTADISTICA: La estadística es una rama de la matemática que se refiere a la recolección, análisis e interpretación de los datos obtenidos en un estudio. Es aplicable  una   amp l i a   va r i edad   de   d i sc i p l i nas ,   desde   l a   f í s i ca   has ta   l as   c i enc ias sociales, ciencias de la salud como la Psicología y la Medicina, y usada en la toma de decisiones en áreas de negocios e instituciones gubernamentales

Métodos de conteo¿Que son los métodos de conteo?

Los métodos de conteo son estrategias utilizadas para determinar el número de posibilidades diferentes que existen al realizar un experimento.

Por ejemplo: al lanzar un dado veremos cuantas probabilidades hay de que salga un número a favor, si tienen 6 caras los dados cual seria la probabilidad de que saliera un cierto número. Entonces sirve para contar el número de casos favorables o posibles y así podemos ver cuantas combinaciones diferentes se pueden tener.

Como saber cuantas combinaciones se pueden lograr en un dado, para esto se hace un diagrama de árbol en el cual del uno al seis se enumeran de manera consecutiva, ahora de cada número del uno al seis se le sacan cinco líneas y por cada número que se tiene se le agregan cinco líneas, por ejemplo si tenemos el 1 se le agregan cinco líneas viendo cuantas combinaciones se pueden tener y al momento de hacerlo se tendrá cinco combinaciones, por que no hay que olvidar

en el momento que se escogió el numero uno solo se pondrá cinco líneas poniendo dos, tres, cuatro, cinco y seis. Sin embargo si se pasa al número dos será de esta forma: uno, tres, cuatro, cinco y seis. Y así sucesivamente por cada numero consecutivo, es decir no se repetirá el numero ya que al momento de lanzarlo buscamos las diferentes combinaciones con otros números con el mismo numero.

NUMEROS COMBINACIONES

1 2,3,4,5,6

2 1,3,4,5,6

3 1,2,4,5,6

4 1,2,3,5,6

5 1,2,3,4,6

6 1,2,3,4,5

SE SUMAN TODAS LAS COMBINACIONES POSIBLES.

TOTAL DE COMBINACIONES 30

Entre los métodos de conteo están los más conocidos: permutación, combinación y ordenación

Permutación: Las permutaciones solo es multiplicar en todo

momento cada dato que te pueda dar, esto se llama el principio de la multiplicación y permiten hallar formulas generales que permitan calcular el numero de permutaciones con y sin repetición

Hay dos tipos de permutaciones: Se permite repetir y sin repetición.

Ejemplo sin repetición: ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra IMPUREZA?

Solución: Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en diferentes formas, tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para nuestro arreglo, una vez usada una, nos quedan 7 posibilidades de escoger una segunda letra, y una vez que hayamos usado dos, nos quedan 6, así sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos:

8 x 7   x 6   x 5   x 4   x 3   x 2   x 1   = 40320

Ó

8! Permutación es igual a 40320

Solo se puede hacer con calculadora

Combinaciones: una combinación, es un arreglo de elementos en

donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del

arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los

mismos.

En el caso de las combinaciones, lo importante es el número de agrupaciones

diferentes de objetos que pueden incurrir sin importar su orden.

Por lo tanto en las combinaciones se busca el número se subgrupos diferentes

que pueden tomarse a partir de n objetos

Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultado se denomina combinación, por ejemplo: si se requiere formar un equipo de trabajo formado por dos personas seleccionadas de un grupo de 3 (A,B y C); si en el equipo hay dos funciones diferentes entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones, por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones los resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB

Combinaciones: AB, CA, BC

Combinaciones, es el numero de formas de seleccionar “r” objetos de un grupo de “n” objetos sin importar el orden,

La formula de combinaciones es:

= r!(n-r)!

Ejemplo: A una reunión asisten 10 personas y se

intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han

intercambiado?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

Como se saco este resultado, lo que se realizo fue que de

las diez personas que se mencionaron es el dato, ahora si son

diez personas y entre esas diez se compartirán un saludo

cuantos saludos serán, el resultado será 45 ya que si de la

persona numero 1 se cuenta entonces esa persona saludara a

9 y si así le hacemos con la persona dos también saludara a 9

entonces lo que se hará será multiplicar diez por nueve o una

suma de cada uno que da el mismo resultado.

Ejemplo dos: En referencia al anterior, del los 10 miembros, seis son

mujeres y cuatro son hombres, ¿Cuál es la probabilidad de que de una

elección aleatoria de los miembros del comité diera por resultado la

selección de dos mujeres y un hombre?

Número de comités con 2M y 1H = 6 C2 x 4 C1 =

6! x 4! = 6! x 4! = 15 x 4 = 60 2! (6–2)! 1! (4–1)! 2! (4!) 1! (3!)

Número total de combinaciones posibles = 10 C3 = 10! = 10! = (10) (9) (8) = 720 = 120

3! (10 - 3)! 3! (7!) (3)(2)

(1) 6

Probabilidad que sean 2H y 1M =

P (2M y 1H) = 6 C2 x 4 C1 = 60 = 0.50

DIAGRAMA DE ÁRBOL:

¿Qué es un diagrama de árbol?

Un diagrama de árbol es un método gráfico para identificar todas las partes necesarias para alcanzar algún objetivo final. En mejora de la calidad, los diagramas de árbol se utilizan generalmente para identificar todas las tareas necesarias para implantar una solución.

Ejemplo: Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan: tres caras

 

Un experimento compuesto  es aquel que consta de dos o más

experimentos aleatorios simples.

Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos

aleatorios simples, pero si realizamos el experimento de tirar

un dado y posteriormente una moneda, estamos realizando

un experimento compuesto .

En los experimentos compuestos  es conveniente usar el

llamado diagrama en árbol  para hacerse una idea global de

todos ellos.

Principio multiplicativo:Si una operación puede efectuarse de  n  maneras diferentes y realizada una cualquiera de ellas, una segunda operación puede efectuarse de  p  maneras distintas, entonces el número total  (N)  de maneras diferentes, en que pueden realizarse a la vez ambas operaciones es:

N       =       n × p

Ejemplo: Si una persona ha de escoger como vestirse, teniendo 4

camisas, 6 pantalones, 5 pares de calcetines y 2 pares de zapatos, entonces tiene 4 × 6 × 5 ×2 = 240 formas de vestirse, ya que cada elección de la camisa (4 opciones) tiene 6 opciones para el pantalón, lo que da 4 × 6 = 24 opciones para la camisa y pantalón. Para cada una de esas 24 tiene 5 pares de calcetines, totalizando 120 formas, y para cada una de esas tiene dos opciones de los zapatos, de modo que se duplica el total y al final tiene 240 formas de vestirse. El principio de la multiplicación puede visualizarse mediante un diagrama de árbol

Principio aditivo: Si se desea llevar a efecto una actividad, la

cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas

alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa

puede realizarse de N maneras o formas ….. y la última de las alternativas

puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser

llevada a cabo de,

M + N +………+ W maneras o formas

Ejemplo:

Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirlpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solución:

M: Maneras de seleccionar una lavadora Whirlpool

N: Maneras de seleccionar una lavadora Easy

W: Maneras de seleccionar una lavadora General Electric

M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

Bibliografía:

http://www.kalipedia.com/matematicas-estadistica/tema/metodos-conteo.html?x=20070926klpmateyp_49.Kes

http://colposfesz.galeon.com/est501/probabi/teo/cap304/cap304.htm

http://www.mitecnologico.com/Main/CombinacionesYPermutaciones

http://www.vitutor.com/pro/2/a_15.html

http://apuntes-dematematicas.blogspot.com/2009/01/61-principios-bsicos-de-conteo.html