probabilidad 3

Variables Aleatorias Continuas

Una variable aleatoria continua es aquella que se definen sobre espacios muestrales infinitos no numerables.

1

2

3

En el círculo (A) la variable sólo puede asumir valores discretos, mientras que en (B) no hay parcelación de puntos, y por tanto el número de ellos sobre los que puede detenerse es infinito y no numerable, de donde se deduce la imposibilidad de calcular la función de probabilidad de un valor concreto de una variable aleatoria continua. Sin embargo la función de distribución de probabilidad, si conserva todo su sentido.

A B

Comparemos las representaciones gráficas de una v.a. Discreta y una v.a. Continua


0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

0 1 2 3

En las v.a. Discretas los valores de xi aparecen como un número de barras concretas, mientras que en las v.a. Continuas aparecen como una curva que abarca cierto rango de los valores del eje de abcisas y cubren un área igual a 1

Variables Aleatorias Continuas: Función de Densidad

Las variables continuas poseen un número infinito de valores. Por tanto no hablamos de función de probabilidad, sino de Función de Densidad de Probabilidad (FDP) entorno a un valor (ejemplo de la edad).

Una función de densidad asocia valores de la variable X con ordenadas o alturas de la curva en cada punto f(x).

Se llama función de densidad de probabilidad de una v.a. continua X, a aquella que cumple las siguientes condiciones:

a) La función sólo genera valores positivos

b) El área o superficie total es la unidad

0)( ≥xf

1 )( =∫+∞

∞−dxxf

Variables Aleatorias Continuas: Función de Densidad

26x - 3xf(x)= para 0 x 2 4

0 en cualquier otro caso

≤ ≤

Veamos un ejemplo de la gráfica obtenida mediante la función de densidad de probabilidad:

Variables Aleatorias Continuas: Función de Distribución

La interpretación de la Función de Distribución de Probabilidad para v.a. Continuas es la misma que para las v.a. Discretas.

( ) ( )i iF x P X x= ≥

Ahora bien, puesto que se trata de una variable continua, el sumatorio de la función de probabilidad de los valores de X iguales o menores que xi queda como la integral entre - ∞ y xi de la función de densidad de probabilidad:

x

-

F(x)= P(X x)= f(x)dx ∞

≤ ∫

Dado que la Función de Densidad de Probabilidad define una gráfica continua, su

integral definirá el área comprendida entre dicha función y el eje de abcisas.

Debido a esto, se suele identificar la función de distribución de un valor xi

dado como el área bajo la curva que queda a la izquierda de dicho punto,

considerando, lógicamente, que el área comprendida entre - ∞ y + ∞ es la unidad.

Vemos representada el área bajo la curva que queda a la izquierda del punto xi (1,3). Teniendo en cuenta que el área total bajo la curva es 1, xi (1,3) vale:

1,3 2

0

6x - 3xF(1,3)= dx = 0,71834

⋅∫


Si deseásemos calcular la probabilidad de obtener un valor entre 1 y 1,3, equivaldría, según la analogía que hemos explicado, a calcular el área señalada en la figura, que, calculada de forma análoga a como lo hacíamos en el caso de las variables aleatorias discretas, será:

P(1 x 1,3)= F(1,3)- F(1)= 0,7183 -0,5 = 0,2183≤ ≤


En la práctica el trabajo con v.a. continuas en las ciencias sociales consiste en hallar probabilidades, para alguno de estos tres casos:


a) Calcular la probabilidad de que la observación sea como mucho igual a un determinado valor, o probabilidad acumulada de ese valor.

b) Calcular la probabilidad de que la observación sea igual o superior a un determinado valor. Que no es más que el complementario de la probabilidad acumulada.

c) Calcular la probabilidad de que la observación hecha esté comprendida entre dos valores cualesquiera. Integrando del valor menor al mayor o restando la probabilidad acumulada del menor de la probabilidad acumulada del mayor.

( ) ( ) ( )ix

i iP X x F x f x dx−∞

≤ = = ∫

( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )ix

i i iP X x P X x F x f x dx−∞

≥ = − ≤ = − = − ∫

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

i

j

i j

x

j i x

x x

j i i j

P x X x f x dx

P x X x F x F x f x dx f x dx−∞ −∞

≤ ≤ =

≤ ≤ = − = −

∫

∫ ∫

Funciones de Probabilidad o de Densidad Importantes en Psicología

En Psicología en la mayoría de los casos nos encontramos variables cuyas

funciones de probabilidad o de densidad de probabilidad se ajustan a una

fórmula concreta.

Por ejemplo para v.a. discretas vimos dos tipos de funciones: binomial y

poisson.

Para el caso de v.a. continuas veremos que las distribuciones de

probabilidad de mayor importancia son:

Distribución Normal, χ2, t de Student y F de Snedecor.

Sin embargo haremos especial énfasis a la distribución normal.

La Distribución Normal

La Distribución Normal es muy importante en Estadística debido a dos

razones principales:

1) Es la función de distribución de probabilidad que sirve como modelo

a más variables de la Naturaleza. En el ámbito de la psicología, una

gran cantidad de variables objeto de la disciplina sigue esta distribución

cuando el número de observaciones es suficientemente elevado: la

inteligencia, la estatura, la motivación de logro, la autoestima, etc.

2) Las medias de una serie de muestras de n observaciones extraídas

al azar de una población, tienden a distribuirse normalmente a medida

que n aumenta. Esta propiedad, muy importante, se denomina

"Teorema del límite central".


En la gráfica podemos observar el porqué de su universalidad. En la mayor

parte de las variables existe un valor central (la media) en torno al cual se

concentran la mayor parte de las observaciones, y a medida que nos vamos

alejando de este valor central, observamos que los valores observados son

menos frecuentes.

μ–σ μ μ+σ

Una variable aleatoria, se distribuye según el modelo normal, con parámetros μ y σ, N(μ,σ) si su función de densidad de probabilidad para todo valor de X viene dado por:

22

2

1( )22

2 2

1 1( ) ( )

2 2

XX

f x e f x eµµ

σσ

πσ πσ

−− −− = = =

En el exponente de la función podemos reconocer la fórmula de la tipificación y

por tanto si definimos f(x) para variables tipificadas μ = 0 y σ = 1 la función de densidad de

esta nueva variable sería N(0,1):

σµ−= x

z

2

2

2

1)(

z

exf−

=π

π = 3.1416; e = 2.718


Esta propiedad es muy importante y nos permite generar las tablas de probabilidad de la curva

normal. En efecto, puesto que la media de las puntuaciones típicas es 0 y su desviación típica

1, la función de densidad de probabilidad normal (que ahora se denomina "función de

densidad de probabilidad normal estandarizada“ queda:

Las variables cuya distribución se ajusta al modelo normal adoptan una representación

gráfica, cuyas características fundamentales son:

1.- Es simétrica con respecto a un valor central μ, y en ese valor coinciden la media, la

mediana y la moda.

2.- Es asintótica con respecto al eje de abscisas; es decir por mucho que se extienda, nunca

llega a tocar los ejes, y sólo en la altura de la curva llegaría a ser igual a 0.

3.- Hay toda una familia de curvas normales, dependiendo de los valores de μ y σ. De entre

ellas, la más importante es aquella con μ = 0 y σ = 1 para la que se ha propuesto el

nombre de distribución normal unitaria.

4.- Los puntos de inflexión se encuentran en los puntos correspondientes a la media ± una

desviación típica (μ ± σ)

5.- Cualquier combinación lineal de variables aleatorias normales se ajusta también al modelo

normal.

Las variables que se ajustan a la distribución normal


IIIIII σ<σµ=µ

IIIIII σ=σµ<µ

IIIIII σ<σµ<µ

Distribución normal unitaria N(0,1)

El trabajo práctico fundamental con variables aleatorias normales, consiste en determinar probabilidades asociadas a valores, lo cual nos conduce a la integración de la función de densidad normal entre los valores de interés.

Calculo de Probabilidades en la Distribución Normal

1.22 1.22

Superficie acumulada hasta el valor zi de la variable aleatoria normal Z.

Superficie o densidad por encima de un valor zi de la variable aleatoria Z

0,2 1,22

Superficie entre dos valores zi de la variable aleatoria normal Z.


Para evitar el tener que integrar cada vez que deseemos conocer las distintas

áreas calculadas anteriormente, se han construido tablas con dichas

probabilidades ya halladas.

La Distribución Normal: tablas

Distribución normal unitaria

Área bajo la curva Normal

¿Qué valor zi deja por debajo de sí al 84.13% de la distribución?

Hablamos de un valor superior a la media dado que el porcentaje solicitado supera al 50%. Buscamos en la tabla zi > 0 el valor z que más se acerque al % acumulado.

,8621,8599,8577,8554,8531,8508,8485,8461,8438,84131,0

...........

...........

,5359,5319,5279,5239,5199,5160,5120,5080,5040,5000 0,0

9876543210z

Este valor es z = 1

¿Qué porcentaje de la distribución normal unitaria, se encuentra entre z = -1 y z =1.

c. El porcentaje buscado será el resultado de restar al acumulado hasta 1: 84.13% el acumulado hasta -1.

e. En la tabla z < 0 dado que el valor de z solicitado es negativo (inferior a la media) buscamos el porcentaje acumulado hasta z = -1 (0.1587)

g. Restamos del acumulado hasta 1 el acumulado hasta -1: 0.8413 - 0.1587 = 0.682.

,1379,1401,1423,1446,1469,1492,1515,1539,1562,1587-1,0

...........

9876543210z

Área bajo la curva Normal

,8621,8599,8577,8554,8531,8508,8485,8461,8438,84131,0

...........

...........

,5359,5319,5279,5239,5199,5160,5120,5080,5040,5000 0,0

9876543210z

Regla de tipificación

Según esta regla, la función de distribución de probabilidad asociada a un valor de

una variable normal X, con media μ y varianza σ2 es igual a la de la tipificada de ese

valor en la distribución normal unitaria. Es decir:

y ),( σµNX →

σµ)( −= ii Xz

)()( ii zFXF =

)1,0(Nz →donde

entonces

formamos la variable

Si

Z0,67= 0,44: Indica que en la distribución normal unitaria el valor 0,44 tiene una

probabilidad acumulada, o área izquierda, igual a 0,67. Cualquier valor con subíndice

menor de 0,50 será negativo, mientras que el valor 0 tendría un subíndice de 0,50,

puesto que el valor 0 es tanto la media como la mediana de la distribución.

Para un valor o valores de X definir F(X) o la probabilidad de encontrar ese valor.

Una variable X se distribuye N(50,8) y deseamos obtener las siguientes probabilidades:

c) La de observar un valor como mucho igual a 56.

e) La de observar un valor como mínimo de 52

g) La de observar un valor comprendido entre 40 y 48.

773.0)75.0(

85056

)56(

=≤

−≤=≤

zP

zPXP

40.05987.01

40.0)25.0(1

85052

1

)52(1)52(

=−=≤−

−≤−

≤−=≥

zP

zP

XPXP

296.01056.04013.0

)25.1()25.0(

)25.025.1(

85048

85040

)4840(

=−=−−−=−≤≤−

=

−≤≤−

=≤≤

FF

zP

zP

XP

50 56 50 52 40 48

Para una probabilidad o probabilidades acumuladas dadas, encontrar el valor de la variable X.

Una variable X se distribuye N(50,8) y deseamos obtener los valores de esta variable para los cuales se cumplen las siguientes condiciones:

a) Aquel para el que la probabilidad de observar un valor como máximo igual a él es 0.1736.

Se trata de obtener el valor que deja un área a su izquierda igual a 0.1736. Por la regla de la tipificación y acudiendo a la tabla, comprobamos que se trata del valor cuya típica sea igual a -0.94. Basta con tipificar ese valor con respecto a la media y la desviación típica de la distribución

0.1736

500,94

80,94 8 50 42, 48

Xz

X

−= − =

= − ⋅ + =

42,48

Para una probabilidad o probabilidades acumuladas dadas, encontrar el valor de la variable X.

b) Aquel para el que la probabilidad de observar un valor como mínimo igual a él sea 0.9207.Se trata de obtener el valor que deja un área a su derecha igual a 0.9207. Como la tabla asocia a cada valor su área izquierda (acumulada), la probabilidad buscada será 0.0793 (1 – 0.9207).

0.0793

501,41

81,41 8 50 38,72

Xz

X

−= − =

= − ⋅ + =

38,72


c) Aquellos dos valores que acoten el 50% central del área.

Se trata de obtener aquellas dos puntuaciones que, tal y como aparece en la figura, dejen a su izquierda y derecha, respectivamente áreas iguales a 0.25 (0.50/2). Según la tabla Z, esas puntuaciones tendrán como típicas los valores -0.67 y 0.67.

44,64 55,36

0,25

0.75

500,67

80,67 8 50 44,64

500,67

80,67 8 50 55,36

Xz

X

Xz

X

−= − =

= − ⋅ + =−= =

= ⋅ + =

Problema

h) Tenga una p. diferencial mayor o igual de 18

g) Probabilidad de que una observación se separe de la media en más de una desv. típica

f) Comprendida entre 112 y 130

e) Comprendida entre 85 y 89

d) Mayor de 63c) Mayor de 130

b) Menor de 125a) Menor o igual a 90

Sabiendo que la variable X se distribuye N(100,20), y extrayendo una observación al azar, determina las probabilidades de que esa observación sea:

Distribución Normal ejercicios¿Qué porcentaje de observaciones queda por debajo de la puntuación directa X=23, teniendo una distribución N(30, 4)?

¿Qué porcentaje de observaciones queda por encima de la puntuación directa X=54, teniendo una distribución N(48, 5)?

¿Qué porcentaje de observaciones queda por encima de la puntuación directa X= 9, y simultáneamente, por debajo de la puntuación directa X= 31, teniendo una distribución N(25, 8)?

¿Qué puntuación directa deja por debajo de sí el 64% de las observaciones teniendo una distribución N(30, 5)?

¿Qué puntuación directa deja por encima de sí el 61% de las observaciones teniendo una distribución N(40, 6)?

Calculemos dos puntuaciones directas X1 y X2 tales que la primera deje por debajo de sí un 10% de las observaciones y la otra deje por encima el otro 10% teniendo una distribución N(40, 7)?

La población de tallados en el servicio militar se distribuye en altura N(1,69; 0,01) y en peso

N(68,2; 1,80). Suponiendo que ambas variables son independientes en dicha población. Si

seleccionamos un sujeto al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su altura y su peso sean

superiores a 1,71 y 70 respectivamente?

Distribución Normal ejercicios

En un examen valorado sobre 10 puntos las calificaciones de un grupo de 250

estudiantes se distribuyen aproximadamente normal con media 5,6 y varianza 2,25.

a) ¿cuántos sujetos no pasan del 6? b) ¿cuántos aprueban?

Tras administrar la escala de locus de control de James a una muestra de personas

depresivas y a otra de sanas, encontramos que las puntuaciones de los primeros se

distribuyen aproximadamente normal con media 90 y dt. 12, mientras que las de los

segundos se distribuyen también aproximadamente normal, pero con media 100 y

dt. 14:

1. Calcula el porcentaje de depresivos, que supera la media de los normales.

2. Calcula la probabilidad de que un sujeto normal supere al 90% de los depresivos.

3. Calcula la puntuación que en la muestra de depresivos deja por debajo la misma proporción de observaciones que la puntuación 80 deja en los normales.

1.- Calcula el porcentaje de depresivos, que supera la media de los normales

2.- Calcula la probabilidad de que un sujeto normal supere al 90% de los depresivos

3.- Calcula la puntuación que en la muestra de depresivos deja por debajo la misma proporción de observaciones que la puntuación 80 deja en los normales

Depresivos N(90,12); Normales N(100,14),

Distribución Muestral de un Estadístico

La estadística inferencial intenta extraer conclusiones de lo particular a lo

general, de la muestra a la población, de los estadísticos a los parámetros.

Esto se basa en la variabilidad mostrada por un estadístico de una

muestra a otra. Es decir en cómo se comporta un estadístico de una

muestra a otra.

La Estadística Inferencial pretende deducir consecuencias acerca de la

población.

A partir de los datos obtenidos mediante muestras, es decir, dadas las A partir de los datos obtenidos mediante muestras, es decir, dadas las

frecuencias observadas de una variable habrá que inferir el modelo frecuencias observadas de una variable habrá que inferir el modelo

probabilístico que ha generado los datos (Peña, 1986).probabilístico que ha generado los datos (Peña, 1986).

Distribución muestral de un estadístico

Población Muestra

Parámetros: μ, σ, π Estadísticos: 2, ,X S P

1. Valor Muestral2. Calculable a partir de los datos muestrales3. Variable Aleatoria

1. Valor Poblacional2. Desconocido3. Constante

¿Por qué un estadístico es una variable aleatoria?


Población

Muestra 1

Muestra 2

Muestra 3

Muestra n

Si extraigo n muestras

de tamaño n y calculo

un estadístico ¿será el

valor de estadístico el

mismo siempre?

Esperamos que no

sea el mismo valor.

Luego el

estadístico es una

variable, su valor

cambia de una

muestra a otra.

Es una variable aleatoria ya que a la

hora de extraer los elementos de n

desde la población tienen la misma

probabilidad de ser extraídos.

(extracción aleatoria y con reposición)

Distribución Muestral de un Estadístico

… Luego si un estadístico es una variable aleatoria, tendrá como tal

asignada su función de probabilidad o densidad de probabilidad. Pues

bien el término distribución muestral de un estadístico hace referencia a

esta distribución de probabilidad.

Una distribución muestral es una distribución teórica que asigna una

probabilidad concreta a cada uno de los valores que puede tomar un

estadístico en todas las muestras del mismo tamaño que es posible

extraer de una determinada población.

Se puede definir como la función de distribución de probabilidad de un

estadístico calculado a partir de una muestra de tamaño n.


Las distribuciones muestrales son tan importantes que si no existieran no

habría contraste de hipótesis.

Supongamos que tenemos una población N=5 puntuaciones Xi {1, 2, 3, 4,

5}. Si de esta población seleccionamos aleatoriamente y con reposición

muestras de tamaño n=2 tendremos Nn= 52 = 25 muestras posibles todas

equiprobables (1/25). Si ahora calculamos en cada una de esas muestras

el estadístico media llegaremos a este resultado...


0,04 1/2551

0,08 2/254,52

0,12 3/2543

0,16 4/253,54

0,20 5/25 35

0,16 4/252,54

0,12 3/2523

0,08 2/251,52

0,04 1/2511

probabilidadvalor de media

numero muestra

1/2555,005,0025

1/254,54,005,0024

1/2543,005,0023

1/253,52,005,0022

1/2531,005,0021

1/254,55,004,0020

1/2544,004,0019

1/253,53,004,0018

1/2532,004,0017

1/252,51,004,0016

1/2545,003,0015

1/253,54,003,0014

1/2533,003,0013

1/252,52,003,0012

1/2521,003,0011

1/253,55,002,0010

1/2534,002,009

1/252,53,002,008

1/2522,002,007

1/251,51,002,006

1/2535,001,005

1/252,54,001,004

1/2523,001,003

1/251,52,001,002

1/2511,001,001

prob.mediavalorvalorMuestra

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Distribución muestral de medias de (n=2)


Una distribución muestral de un estadístico, en cuanto función de

probabilidad nos proporciona la probabilidad asociada a cada uno de los

valores que ese estadístico puede tomar en las diferentes muestras de

tamaño n que es posible extraer de una población

Con esta distribución de frecuencias podemos Calcular la media y

desviación típica de la distribución.

Si en vez de tener una población N=5 tenemos N=200 y extraemos

muestras no de n=2 sino de n=20 y calculamos la media de cada

muestra, tendremos la función de distribución de probabilidad de las

medias obtenidas a partir de muestras de tamaño 20 de la población

propuesta. A esta función de distribución de las medias se la

denomina “DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA".


De la misma forma que calculamos la media de cada muestra y obtuvimos

en consecuencia la distribución muestral de la media, podríamos haber

calculado cualquier otro estadístico para obtener su distribución muestral.

Podríamos obtener la distribución muestral de la proporción, la distribución

muestral del coeficiente de asimetría, etc. y cada uno de ellos tendría su

propia media y desviación típica teóricas.

A la desviación típica de la distribución muestral se le denomina “Error

Típico". Así, el "error típico de la media" será la desviación típica de la

distribución muestral de la media.

Distribución muestral de la media

Si partimos de una muestra aleatoria distribuída N(μ,σ) y extraemos

muestras aleatorias simples de tamaño n y calculamos en cada muestra la

media de los n valores..

.. Entonces los valores de esas medias constituyen una variable aleatoria que se distribuye

El Teorema Central de Límite permite obviar el supuesto de normalidad si

la muestra es grande. Si la variable de partida no es normal, la distribución

de medias se distribuye N(μ, σ/√n) si n es moderadamente grande ( ≥ 30)

( , / )N nµ σ


Ejemplo:

Supongamos que la estatura de los varones españoles se distribuye

N(172,9). Si extraemos una muestra aleatoria de 20 varones,

calculemos las probabilidades de que su media: a) menor de 168; b)

mayor de 170; c) comprendida entre 173 y 175.

Dadas las condiciones de la media aritmetica de una muestra aleatoria

simple de n=20 se distribuye N(172, 9√20) en consecuencia, la expresion

172

/ 9 / 20

X X

n

µσ

− −= Se distribuye N(0,1)


168 172( 168) ( ) ( 1,99) 0,0233

9 / 20P X P z P z

−≤ = ≤ = ≤ − =

170 172( 170) ( ) 1 ( 0,99) 0,8389

9 / 20P X P z P z

−≥ = ≤ = − ≤ − =

Probabilidad a)

Probabilidad b)

(173 175)

173 172 175 172( )

9 / 20 9 / 20(0,50 1, 49) 0,9319 0,6915 0, 2404

P X

P z

P z

≤ ≤ =− −≤ ≤ =

≤ ≤ = − =

Probabilidad c)


50

82,53

10

81, 46

30

X

X

X

n

n

µ µσσ

σσ

= =

= = =

= = =

48.5 47.0 45.6 50 51.5 53 54.4

La edad media de los operarios de una fábrica siderometalúrgica es de 50 años, con una desviación típica de 8. Sabiendo que esa variable se distribuye normalmente, encuentra la distribución muestral de la media para n=10 y n=30.

47.5 44.9 47.5 50 52.5 55 57.6


Razonamiento:

Aunque no sabemos cómo se distribuye la variable peso de los recién

nacidos, como la muestra es suficientemente grande (n=100), el Teorema

Central del Límite nos permite deducir con bastante aproximación la

distribución muestral de la media.

Si E(X) = 3.5 kg y σ(X) = 0.2 kg.

→≈

100

2.0,5.3NxEntonces…

Teorema Central de Límite

Independientemente de cómo sea la forma de la distribución de partida,

la distribución muestral de la media se parece más y más a la

distribución normal a medida que crece el tamaño de las muestras sobre

las que se calcula, y se aproxima a ella cuando el tamaño de las

muestras tiende a infinito.

Supongamos que los pesos de los recién nacidos de una determinada

población, tienen una media igual a 3.5 kg. y una desv. típica de 200 g

(0.2 kg). Calcula las probabilidades de que en una muestra de 100

recién nacidos tenga un peso medio de:

a) Superior a 3.45 kg.

b) Inferior a 3.48 kg.

c) Comprendido entre 3.5 y 3.525 kg.


Por tanto las probabilidades pedidas son:

994.0)55.2(11002.0

5.345.31)45.3( =−≤−=

−≤−=≥ zPzPxP

3.48 3.5( 3.48) ( 1) 0.1587

0.2 100P x P z P z

−≤ = ≤ = ≤ − =

3944.05.08944.0)25.10(

1002.0

5.3525.3

1002.0

5.35.3)525.35.3(

=−=≤≤

=

−≤≤−=≤≤

zP

zPxP

a)

b)

c)

probabilidad 3

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