probabilidad 1
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Probabilidad
La mayoría de situaciones vitales y que anticipamos pueden acabar en resultados distintos, sin saber en cuál de ellos concluirá. La incertidumbre es inherente a la vida misma. ¿Subirán los tipos de interés?¿Cuántos toxicómanos abandonarán el programa de rehabilitación?¿Si estudio tres horas cuántas asignaturas aprobaré?.
Sin embargo, sí que podemos medir las opciones de que un resultado concreto sea uno de los posibles. Intuitivamente manejamos un criterio que nos ayuda a predecir el resultado más probable.
El azar tiene que ver con los eventos cuyos resultados desconocemos y por tanto no podemos predecir con certeza. Sin embargo esta incertidumbre puede sistematizarse formalmente para crear modelos predictivos de manejo de la incertidumbre.
Si el único propósito del investigador es describir los resultados de un
experimento concreto, los métodos estudiados hasta ahora pueden
considerarse suficientes.
Pero para extraer conclusiones generales de la población, entonces estos
métodos constituyen sólo el principio del análisis, y debe recurrirse a
métodos de inferencia estadística, los cuales implican el uso de la teoría
de la probabilidad.
Probabilidad
La Teoría de la Probabilidad constituye la base o fundamento de la
Estadística, ya que las inferencias que hagamos sobre la población o
poblaciones en estudio se moverán dentro de unos márgenes de error
controlado, el cual será medido en términos de probabilidad.
Conceptos de Probabilidad
Experimento Aleatorio
Se define como cualquier experiencia, que tiene como mínimo dos resultados posibles, y del cual no se puede predecir con certeza cual de ellos se producirá. (Lanzar una moneda al aire, tirar un dado, ejecutar una prueba)
Ensayo
Llamamos ensayo a cada una de las repeticiones de un experimento aleatorio
Suceso elemental y su verificación
Llamamos suceso elemental a cada uno de los resultados posibles de un ensayo en un experimento aleatorio (cara o cruz; 1,2,3,4,5,6 al lanzar un dado). Si no hubiera más que un resultado ya no sería un experimento aleatorio ya que no habría incertidumbre sobre el resultado posible. La verificación de un suceso elemental es que el experimento aleatorio produzca ese suceso elemental.
Conceptos de Probabilidad
Espacio Muestral
Constituyen el espacio muestral (E) todos y cada uno de los resultados posibles o sucesos elementales de un experimento aleatorio. Pudiendo ser continuos o discretos, finitos o infinitos.
Suceso complementario
Si a un determinado suceso lo denominamos A, A’ (no-A) será la ausencia de A. Lo cual implica que la no aparición de A conduce obligatoriamente a la aparición de su complementario A’ y viceversa. Por ello se deduce que los suceso A y A’ son complementarios.
E espacio muestral
E espacio muestral
A
A’
Suceso
Todo subconjunto del espacio muestral.
A: sacar un número par al lanzar un dado.A: Ser mujer y tener más de 10 años de experiencia profesional.
Conceptos de Probabilidad
Sucesos mutuamente excluyentes
Dos sucesos son mutuamente excluyentes cuando la aparición de uno implica la no aparición del otro (v.g. ser hombre o mujer). Dos sucesos complementarios son siempre mutuamente excluyentes, pero la inversa no es necesariamente cierta. (p.e. sacar un 2 de copas es mutuamente excluyente del suceso sacar un 3 de espada en la baraja española. Pero la no obtención del 3 de espadas no implica obtener el 2 de copas)
Suceso seguro y Suceso imposible ø
Un suceso seguro es aquel que define a todos los subconjuntos posibles de E
(espacio muestral). Suceso imposible aquel que define un subconjunto vacío de E.
Conceptos de Probabilidad
126M10
228H9
230M8
546H7
637M6
128M5
1247M4
2856M3
636H2
1443H1
Años ExperienciaEdadSexoProfesores
SUCESO A: “Tener más de diez años de experiencia docente”
SUCESO B: “Ser mujer”
SUCESO C: “Tener más de 40 años de edad”
A = [1, 3, 4]
B = [3, 4, 5, 6, 8, 10]
C = [1, 3, 4, 7]
Operaciones básicas sobre sucesos
Se llama unión de sucesos de A y B, AUB, al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos). Por ejemplo AUC en el cuadro anterior sería AUC: [1,3,4,7]
Se llama intersección de sucesos de A y B, A∩B o simplemente AB, al formado por los resultados experimentales que están simultáneamente en A y B. Por ejemplo A∩C en el cuadro anterior sería A∩C: [1,3,4]
E espacio muestral
A
B
E espacio muestral
A
B
UNIÓN
E espacio muestral
A
B
INTERSEC.
Axiomas de Probabilidad
Axioma 1.
La probabilidad del suceso seguro (E) es igual a P(E) =1
Axioma 3.
La probabilidad de la unión de dos sucesos mutuamente excluyentes es la suma de sus probabilidades P(AUB)= P(A)+P(B) A∩B=Ø
Axioma 2.
La probabilidad de todo suceso S es mayor o igual a cero, es decir, no existen probabilidades negativas 0 ≤P(S) ≤1.
Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada suceso S un valor numérico P(S), verificando las siguientes reglas (axiomas).
Leyes o teoremas de la Probabilidad
Teorema 1:
La probabilidad del suceso imposible es nula ( ) 0P Φ =
Teorema 2:
La probabilidad del complementario de un suceso S (S’) es igual a 1 menos la probabilidad de S. ( ') 1 ( )P S P S= −
Teorema 3:
La probabilidad de un suceso S cualquiera siempre es igual o menor que 1.
Teorema 4:
Si A y B son dos sucesos no mutuamente excluyentes, entonces..
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩
Definición de Probabilidad
Hay dos maneras principales de entender la probabilidad:
La probabilidad de un suceso A es un número entre 0 y 1 que cuantifica en términos relativos las opciones de verificación de ese suceso y se representa como P(A)
La probabilidad es un concepto ideal, se refiere a las frecuencias con las que ocurrirían los sucesos en el caso hipotético de que los ensayos se repitiesen un número infinitamente grande de veces y en las mismas condiciones.
Enfoque clásico
a priori
Enfoque frecuencialista
a posteriori
Definición de Probabilidad
Enfoque clásico a priori
Requiere el principio de indiferencia todos los elementos del espacio
muestral son equiprobables (poseen la misma oportunidad de ser
verificados). Así pues, se define la probabilidad de un suceso como la
frecuencia relativa de ese suceso en el espacio muestral representado por
todos los casos posibles.
Probabilidad del suceso A =posibles casos de Número
favorables casos de Número
Suceso B: “Ser mujer” B = [3, 4, 5, 6, 8, 10] 60.010
6)( ==BP
Suceso D: “Obtener un número par en un lanzamiento de dados”.
3 1( ) 0.50
6 2P D = = =
Definición de Probabilidad
De este enfoque se deducen algunas consecuencias y propiedades:
• La probabilidad de un suceso es un valor entre 0 y 1.
• La probabilidad de un suceso imposible es nula P(ø) = 0.
• La probabilidad de un suceso que contiene todos los sucesos
elementales del espacio muestral es 1.
• La suma de las probabilidades de un suceso más su complementario es 1.
Luego:
1)( ===n
n
n
nAP A
)(1)'( APAP −=
Definición de Probabilidad
Enfoque frecuencialista a posteriori
Cuando no se puede asumir el principio de indiferencia o se desconoce el
número total de sucesos elementales del espacio muestral, la probabilidad
se determina mediante la repetición sistemática y masiva del experimento
aleatorio, con un recuento de veces que verifica los sucesos.
n
nLímAP A
n ∞→=)(
La probabilidad de un suceso A P(A) se define como el límite al que tiende la frecuencia relativa de verificaciones del suceso cuando el número de repeticiones del experimento aleatorio tiende a infinito.
El criterio de infinitos ensayos es por definición irrealizable, sin embargo la convergencia entre nA/n y P(A) se consigue de forma relativamente rápida. En esta idea se basa el teorema de Bernouilli.
Definición de Probabilidad
TEOREMA DE BERNOUILLI: Si la probabilidad de un suceso A es P(A) y se
hacen n ensayos independientes y bajo las mismas condiciones, la
probabilidad de que la frecuencia relativa de A nA/n difiera de P(A) se acerca a
cero a medida que el número de ensayos se hace indefinidamente largo.
∞→→
≥−
n Si 0)( eAPn
nP A
pipipipipipipipi
0,1980,2010,2010,2010,1000,099
0,1980,2010,2010,2020,1000,098
0,1990,1990,2010,2020,0990,099
0,1980,1940,2060,2070,0980,098
0,1950,1790,2120,2170,0990,098
0,1800,1640,2400,2100,1040,102
0,1800,1400,2200,2600,1200,080
0,3000,1000,3000,1000,2000,000
123456
10000080000400001000010005005010xi
Nº DE ENSAYOS LANZAMIENTO DE UN DADO P(2) = 0.167
Dado no equilibrado, observar la diferencia entre lo dicho por Laplace (P(A) = 0,167), y lo dicho por el enfoque frecuentista…
Probabilidad Condicionada
En el curso 79-80 el número de alumnos matriculados en la universidad
complutense en las carreras de filología, CC información y C
empresariales fue de 17354. De estos alumnos matriculados 10954 fueron
varones y 6400 fueron mujeres. Del total de varones 983 fueron a filología,
3820 a CC información y 6151 fueron a C económicas. Del total de
mujeres 2384 fueron a filología, 2288 fueron a CC información y 1728
fueron a C empresariales.
Probabilidad Condicionada
17354787961083367Total
6400172822882384Mujer
1095461513820983Varón
CC econ.CC infor.Filología
33670,194
17354=Eligiendo al azar un estudiante la P(filología) es…
Si ponemos la condición de que sea varón P(filología/varón) PA∩B es…
9830,090
10954=
Número de alumnos matriculados en el curso 79-80 en las siguientes facultades de la Universidad Complutense de Madrid.
Probabilidad Condicionada
E=17354
P(A∩B)=983/17354
P(B)=10954/17354
Probabilidad Condicional de A supuesto B viene dada como
983/17354
10954 /17354
Suceso B: ser varon
Suceso AB: ser de filología y varon
983
10954
Probabilidad Condicionada
( )( | )
( )
P A BP A B
P B= I
E espacio muestral
A
B
“tam
año”
de
uno
resp
ecto
al
otro
Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A sabiendo que pasa B:
Se denomina probabilidad condicional de A dado B, P(A/B), a la
probabilidad de un suceso A dada la verificación de otro suceso B. Y es
igual a la probabilidad de su intersección [P(A∩B)] dividido por la
verificación de la probabilidad de la condición [P(B)].
La probabilidad condicionada
B
A
B
A
P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,10
¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?
P(A|B)=1 P(A|B)=0,8
P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(A∩B) = 0,08
Probabilidad condicionada
A
B
A
B
¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B?
P(A|B)=0,05 P(A|B)=0
P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(AB) = 0,005
P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(AB) = 0
Probabilidad Condicional
SUCESO A: “Tener más de diez años de experiencia docente” A = [1, 3, 4]
3.010
3)( ===
n
nAP ASegún el enfoque clásico
Pero si el profesor seleccionado tuviese que ser mujer, ¿Cuánto vale la probabilidad de que tenga más de 10 años de experiencia?.
SUCESO B: “Ser mujer” B = [3, 4, 5, 6, 8, 10]
1046∑col.
312Mas de diez años
73 4Hasta diez años
∑filaVarónMujer La incertidumbre ya no abarca a los 10 profesores sino a las 6 profesoras. El espacio muestral ha quedado reducido a 6 elementos por lo que
2( / ) 0.33
6AnP A Bn
= = =
Probabilidad Condicional
Si hemos definido al suceso B como ser mujer. La probabilidad anterior puede
definirse como la probabilidad de tener más de diez años de experiencia dado
que se es mujer. Definiéndose por tanto como la probabilidad condicional de A
dado B.
( ) ( )
( ) 333.06.0
2.0
106
102
6
2/
)(/
====
∩=== ∩∩
BAP
BP
BAP
nn
nnBAP
B
BAn
n
B
BA
( )BAP /
Teoremas Básicos
Teorema de la adición
La probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la
suma de sus probabilidades menos la probabilidad de la
intersección.
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩
Teorema de la adición
654321
( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=∪ )(
A: Obtener un número par al lanzar el dado. ( ) 5.06
3 ==AP
B: Obtener un múltiplo de 3.
( ) 167.06
1 ==∩BAP
( ) ( ) ( )
663.0
167.033.05.0
)(
=−+=
∩−+=∪ BAPBPAPBAP
2 4
6
31
5 A
B
( ) 33.06
2 ==BP
Teorema de la adición
Lanzamiento simultáneo de dos dados. E = 36
¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un 2 en el lanzamiento simultáneo de dos dados?
306.036
11
posibles casos de Número
favorables casos de Númerosuceso del adProbabilid ===
Teorema de la adición
B: Obtener un 2 en el dado 2 P(B) = 1/6 = 0.167
Sucesos independientes
A: Obtener un 2 en el dado 1 P(A) = 1/6 = 0.167
( ) ( ) ( )( )
306.036
1334.0
6
1
6
1167.0167.0
6
1
6
1
)(
=
−=
⋅−+=
∩−+=
∩−+=∪
BAP
BAPBPAPBAP
Teoremas Básicos
Teorema del producto
La probabilidad de verificación simultánea de dos sucesos
independientes (intersección A y B) es igual al producto
de sus probabilidades.
( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ⋅
Teorema del producto
Independencia de sucesos:
Dos sucesos son independientes, si la verificación de uno no altera la probabilidad del otro:
( ) )(/ APBAP =A y B son independientesentonces
Si
Teorema del producto (independencia)
( ) ( )
( )
( ) 20 80 0.25
( ) 60 80 0.75
15 80/
( ) 0.75
0.1880.25
0.75/ ( )
P A
P B
P A BP A B
P B
P A B P A
= == =
∩= = =
= =
=
802060∑col.
20515Mas de diez años
601545Hasta diez años
∑filaVarónMujer
( ) )(/ APBAP =
( ) ( ) ( ))(
/BP
BAPAPBAP
∩==
( ) ( ) )(BPAPBAP ⋅=∩
Si
Entonces
Luego
Suceso A: +10 años exp. Suceso B: se mujer
EJEMPLOS: En una muestra de 1000 individuos elegidos al azar, entre una población de depresivos
760 eran mujeres.
• ¿Qué porcentaje de mujeres hay en la muestra?
– 760/1000=0,76=76%
• Si elegimos a un individuo de la población, qué probabilidad hay de que sea mujer:
– La noc. frec. de prob. nos permite aproximarlo a P(Mujer)=0’76
• ¿Cuál es la probabilidad de que elegido un individuo de la población sea hombre:
– P(Hombre)=P(Mujer’)=1-0,76=0,24
Se sabe de otros estudios que entre los individuos con depresión, aprox. la cuarta parte de las mujeres fuman y la tercera parte de los hombres también. Elegimos a un individuo al azar de la población de enfermos.
• ¿Qué probabilidad hay de que sea mujer fumadora?
– P(Mujer ∩ Fumar) = P(Mujer) P(Fumar|Mujer) = 0,76 x ¼ = 0,19
• ¿Qué probabilidad hay de que sea un hombre fumador?
– P(Hombre ∩ Fumar) = P(Hombre) P(Fumar|Hombre) = 0,24 x 1/3 = 0,08
ProblemaUn psicólogo evalúa a 100 pacientes. Les administra una prueba sobre “satisfacción de vida” y otra “depresión”. Los resultados indicaron que las puntuaciones de satisfacción superaron la media en 40 casos, que había 65 sujetos depresivos y de ellos sólo 10 obtuvieron puntuaciones superiores a la media en satisfacción.
Suceso A:
Tener una puntuación superior a la media en “satisfacción con el estilo de vida”
Suceso B: Ser depresivo
1. ¿Cuál es la P(depresivo) si extraemos un sujeto al azar?
2. Si se selecciona un sujeto que puntúa por encima de la media en satisfacción, ¿cuál es la P(depresivo) ahora?
3 ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer un sujeto al azar sea depresivo y no tenga puntuación superior a la media en satisfacción?
4 ¿Son los sucesos A y B independientes?
5 ¿Cuál es la probabilidad de que suceda al menos uno de los dos sucesos?
6 Si se selecciona un sujeto que no es depresivo ¿cuál es la P de puntuación superior a la media en satisfacción?
Problema 1
En un grupo de 1000 personas se pasó un test de inteligencia y se midió
su rendimiento académico. Posteriormente se clasificó a cada sujeto
según fuese superior o inferior a la media en inteligencia y APTO o NO
APTO en la prueba de rendimiento académico. Se encontraron 500
APTOS, de los que 300 tenían inteligencia superior. De los 400 con
inteligencia superior, 300 resultaron APTOS. Si extraemos un sujeto al
azar y definimos los sucesos:
A: “Ser superior a la media en inteligencia”
B: “Ser apto en rendimiento”
1. ¿Son los sucesos A y B independientes?
2. Si seleccionamos un sujeto que resulta ser superior en inteligencia,
¿cuál es la probabilidad de que sea apto?
Problema 2
Una determinada prueba tiene una probabilidad de 0.75 de detectar
la presencia de predisposición a las toxicomanías en edades
tempranas mientras que una segunda independiente de la
anterior, lo detecta con una probabilidad de 0.6.
1. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas pruebas detecten
simultáneamente a un sujeto con tal predisposición?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una lo haga?
Problema 3
Múltiples estudios sobre toma de decisiones indican que el riesgo asumido por las personas es distinto si las decisiones se toman en solitario que si se toman en grupo. En concreto, parece que las decisiones adoptadas en grupo tenderían a ser más arriesgadas. En un experimento llevado a cabo con 100 personas de las que 50 son asignadas a valorar en solitario las opciones y las restantes lo harán en grupo, se obtuvo que cuando estaban solas, el 40 por ciento adoptaban la alternativa más arriesgada. Sin embargo en la toma de decisión de grupo sólo la mitad de los participantes se inclinaba por esta opción. 1. ¿Son compatibles los resultados obtenidos con la tesis expuesta anteriormente?
Definimos los siguientes sucesos:
A: Decidir una conducta arriesgada
B: Decidir en grupo
C: Decidir en solitario.
P(A/B); P(A/C)
Si P(A/B) > P(A/C se cumple la tesis expuesta.
Problema 4
A: Recaer en la heroínaB: No tener trabajo
( ) ( ))(
/BP
BAPBAP
∩=331518∑
21516SI
12102NO
∑SINO
TRABAJA
RECAE
Al finalizar un programa de rehabilitación de heroinómanos
obtenemos los siguientes datos. De un total de 33 heroinómanos
que entraron en el programa, el 45,45% trabaja, mientras que el
resto están en el paro. De los que trabajan 10 heroinómanos no han
recaído. De los que no trabajan el 88,88% han recaído.
1. ¿Cuál es la probabilidad de recaída dado que no se tiene trabajo?
2. ¿Son independiente estos dos sucesos?