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Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 1
UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTO TORIBIO DE MOGROVEJO VICE RECTORADO ACADÉMICO
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL Y AM-
BIENTAL
IV Unidad: Probabilidades, Estimación Prue-
ba de Hipótesis
Manuel F. Hurtado Sánchez, Lic. Estad. MsC.
Chiclayo, junio del 2014
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 2
1° UNIDAD: PROBABILIDADES
1. Experimento aleatorio [ ξ ]: Es cualquier realización que puede presentarse
de distintas maneras, pero que en el momento de su realización se presenta de una única forma. También podemos decir que un experimento aleatorio es aquel que proporciona diferentes resultados aun cuando se repita siempre de la mis-ma manera.
Ejemplos.
ξ1 : Lanzar una moneda
ξ2 : Lanzar un dado
ξ3 : Contar las imperfecciones de un metro de tela.
ξ4 : Inspeccionar la calidad de un producto
ξ5 : Resultado de una operación financiera
ξ6 : Observar si una persona que pasa delante de un establecimiento comer-
cial decide ingresar a éste.
ξ7 : Observar si una persona que ingresó a un establecimiento comercial com-
pró algo.
ξ8 : Observar la velocidad de lectura de un estudiante
ξ9 : Medir la presión arterial de un paciente
ξ10 : Medir la temperatura de un paciente
En todos estos ejemplos, es fácil darnos cuenta, que si los experimentos se repiten varias veces se pueden obtener resultados diferentes, incluso en el úl-timo ejemplo siempre habrá la posibilidad de observar cambios en las medi-ciones aun cuando sean muy pequeños, estos siempre estarán presentes. En algunos casos los cambios en las mediciones podrían ser tan pequeños que fácilmente se pueden considerar como despreciables, en cambio en otros ca-sos los cambios podrían ser tan fuertes al grado que las conclusiones del ex-perimento no son muy evidentes.
2. Espacio muestral [ Ω ]. En un conjunto matemático, cuyos resultados están
asociados a cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio, mediante la relación epiyectiva, es decir que,
Cada resultado del experimento aleatorio está asociado con un único ele-mento del espacio muestral y
Cada elemento del espacio muestral está asociado con al menos un resul-tado posible del experimento aleatorio.
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Un espacio muestral puede ser discreto o continuo. Se dice que es discreto cuando está formado por un conjunto finito (o infinito contable) de elementos; en cambio se dice que es continuo cuando está formado con un conjunto infinito no numerable de elementos.
Los espacios muestrales discretos suelen construirse con la técnica del diagra-ma del árbol.
Ejemplo de espacios muestrales:
1. Para el experimento del lanzamiento de una moneda. Si estamos interesados en el lado de la moneda que queda hacia arriba, el espacio muestral será:
Ω = C , S , donde C = cara; S = Sello
2. Para el experimento del lanzamiento de dos dados. Si estamos interesados en el número que queda hacia arriba en cada dado, el espacio muestral será:
6,65,64,63,62,61,6
6,55,54,53,52,51,5
6,45,44,43,42,41,4
6,35,34,33,32,31,3
6,25,24,23,22,21,2
6,15,14,13,12,11,1
6,5,4,3,2,16,5,4,3,2,16,5,4,3,2,12
Note aquí, que el espacio muestral tiene 6x6=36 elementos, es decir 36 pa-res ordenados en los que el primer número representa el número de puntos del 1° dado y el segundo número representa el número de puntos del 2° da-do.
3. Para el experimento de contar imperfecciones en un metro de tela. Aquí el in-terés ya está establecido, el espacio muestral será:
Ω = 0, 1, 2, 3, ……
4. Para el experimento de inspeccionar la calidad de un producto. Aquí el inte-rés será si el producto es bueno o malo.
Ω = B , M ; donde B = Bueno ; M = Malo
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5. Para el experimento del resultado de una operación financiera. Aquí el inte-rés será si el que hace la operación financiera, gana, solo recupera su inver-sión o pierde:
Ω = G, R , P ; donde G = Gana ; R = Recupera ; P = Pierde
6. Para el experimento de observar si una persona que pasa frente a un esta-blecimiento comercial, decide entrar o no ha dicho establecimiento. Aquí el interés será si la persona entra o no entra al establecimiento comercial:
Ω = E , NE ; donde E = Entra ; NE = No entra
7. Para el experimento de observar si una persona que ingresó a un estableci-miento comercial, decide comprar algo o no. Aquí el interés será si la perso-na compra algo o no compra:
Ω = C , NC ; donde C = Compra algo ; NC = No compra algo
8. Para el experimento de observar la velocidad de lectura de un estudiante. Aquí el interés es el número de palabras leídas por minuto, el espacio mues-tral será:
Ω = 1 , 2, 3, 4, 5, 6, ….. = Conjunto de los números naturales
9. Para el experimento de medir la presión arterial de un paciente. Aquí el inte-rés serán dos número correspondientes a la presión diastólica y a la presión sistólica medidos en milímetros de mercurio:
Ω = Ps / Pd ϵ N; donde Pd = Presión diastólica (mmHg) Ps = Presión sistóli-ca (mmHg) N = Conjunto de los números Naturales
10. Para el experimento de medir la temperatura de un paciente. Aquí el interés será conocer la temperatura del paciente:
Ω = T / T ϵ R; donde T = Temperatura del paciente (grados centígrados) R = Conjunto de los números reales
3. Evento [ A ]: Definimos como evento a cualquier subconjunto del espacio
muestral, incluido el mismo espacio muestral Ω y el conjunto vacío Φ. Los
eventos pueden ser expresados por extensión o por compresión.
Ejemplo 1: En el espacio muestral del experimento de lanzar dos dados legales
podemos definir los siguientes eventos:
A1 = Sale el mismo número en ambos dados: Notación por compresión A1 = (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) : Notación por extensión
A2 = Sale un 6 en el primer dado : Notación por compresión A2 = (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) : Notación por extensión
A3 = La suma de puntos es menor que cinco: Notación por compresión A3 = (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1) : Notación por extensión
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A2 A1
)6,6()5,6()4,6()3,6()2,6()1,6(
)6,5()5,5()4,5()3,5()2,5()1,5(
)6,4()5,4()4,4()3,4()2,4()1,4(
)6,3()5,3()4,3()3,3()2,3()1,3(
)6,2()5,2()4,2()3,2()2,2()1,2(
)6,1()5,1()4,1()3,1()2,1()1,1(
A3
Ejemplo 2: Para el experimento de medir la temperatura de un paciente, po-
demos definir los siguientes eventos:
E1 = Tiene una temperatura menor a 37 °C E1 = X / 0 ≤ X < 37
E2 = Tiene una temperatura entre 36 y 38 °C inclusive E2 = X / 36 ≤ X ≤ 38
E3 = Tiene una temperatura superior a 38 °C E3 = X / X > 38
Recordemos que el espacio muestral es
Ω = X / X ϵ R+ ; donde X = Temperatura corporal de un paciente (°C), R+ = Conjunto de los números reales positivos
E2
E1 E3
0 36 37 38
Ejemplo 3: Para el experimento de disparar a un blanco tres veces y si solo
nos interesa si el disparo da o no en el blanco, el espacio muestral será el si-guiente:
Ω = (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)
Donde: 0 y 1 representen una falla y un acierto respectivamente.
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El diagrama del árbol para construir el espacio muestral será:
1° Tiro o
0
1
2| Tiro o o
0
1
0
1
3° Tiro o o o o
0 1 0 1 0 1 0 1
O O o o o o o o
Podemos definir los eventos: M = La persona no acierta en el blanco tres veces seguidas M = (0,0,0)
N = La persona acertará una vez y fallará en dos ocasiones N = (0,0,1), (0,1,0), (10,0)
3.1. Eventos especiales:
Evento cierto : Es aquel que cuando se realiza el experimento aleatorio, éste siempre ocurre, y viene a ser el mismo espacio muestral
Evento imposible : Es aquel que cuando se realiza el experimento alea-torio, éste nunca puede ocurrir, y viene a ser el conjunto vacío, el cual no tiene elementos.
3.2. Operaciones con eventos: En muchas situaciones interesan eventos
que en realidad son combinaciones de dos o más eventos, formados al to-mar uniones, intersecciones y complementos; de aquí la necesidad de es-tudiar las operaciones que se pueden hacer con eventos.
Como ya hemos dicho, que un evento es un subconjunto del espacio mues-tral y siendo el espacio muestral un conjunto asociado a todos los elemen-tos del experimento aleatorio, es fácil deducir que existe un isomorfismo en-tre teoría de eventos y teoría de conjuntos, es decir que todo lo que se cumple en conjuntos, se cumple también en eventos.
Así podemos convenir en la siguiente manera de leer los eventos y repre-sentarlos usando diagramas de venn:
A Ocurre el evento A
A’ No ocurre el evento A
A
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BA Ocurre el evento A o el evento B
BA Ocurre el evento A y el evento B
BA Los eventos A y B son disjuntos o mutuamente excluyentes
BA El evento A está contenido en el evento B
Ejemplo 1: Sea Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , A = 1, 3, 5, 7, B = 6, 7, 8,
9, C = 2, 4, 8, y D = 1, 5, 9. Los elementos que corresponden a los si-guientes eventos usando el siguiente diagrama ven serán.
a. BA = 7
b. CBA )'( = 8
c. CB' = 1, 2, 3, 4, 5
d. DCB )'( = 1, 5
e. CA' = 2, 4, 8
f. DCA )'( = ɸ
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4. Probabilidad de un evento: Es un número real comprendido entre cero y uno [0 , 1], que expresa una medida del grado de incertidumbre acerca de la ocurrencia de un evento, antes que este ocurra.
Existen dos enfoques para obtener la probabilidad de un evento, uno ob-jetivo y otro subjetivo.
4.1. Enfoque Objetivo: En este enfoque la probabilidad de un evento puede entenderse como una medida real del grado de incertidum-bre acerca de la ocurrencia de un evento antes que este ocurra.
El enfoque objetivo se suele utilizar en aquellas situaciones en don-de es posible que un experimento aleatorio pueda ser repetido mu-chas veces bajo las mismas condiciones, tal como ocurre en los juegos del azar o en fenómenos de Ingeniería En este enfoque, la probabilidad de un evento depende de la naturaleza del experimento aleatorio, por lo tanto tiene un único valor el cual debe ser calculado.
Aquí podemos distinguir nuevamente dos clases de probabilidad, la probabilidad matemática o de Laplace y la probabilidad por fre-cuencia relativa
4.1.1. Probabilidad matemática o de Laplace: Esta probabilidad se basa en un modelo razonable del sistema que se estudia mediante un experimento aleatorio.
Esta probabilidad se aplica en aquellas situaciones en que ca-da uno de los elementos del espacio muestral son equiproba-bles, es decir tienen la misma probabilidad de ocurrir, por ejemplo, cuando lanzamos una moneda legal, la probabilidad de obtener una cara es la misma que la probabilidad de obte-ner un sello [ P(C) = P(S) = 0.5 ], o cuando lanzamos un dado legal, también tenemos que la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los resultados es la misma, así: [ P(1) = P(2) = … = P(6) = 1/6 ].
La probabilidad matemática o de Laplace, de un evento A, se define como el cociente entre número de casos “igualmente probables” favorable a la ocurrencia de ese evento y el núme-ro todos de casos “igualmente probables”.
probablesigualmentecasosdetotalN
AeventoalfavorablesprobablesigualmentecasosdeNAP
º
º)(
)(
)()(
N
ANAP
Nota: Tenga presente que una posibilidad no es una pro-babilidad, la probabilidad es una medida de la posibilidad.
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Ejemplo 1. Considere que lanzamos un dado legal sobre una superficie regular, ¿cuál será la probabilidad de obtener en el lado superior un número mayor de cuatro puntos?.
El espacio muestral es: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6
A
Si el dado es legal, es decir físicamente simétrico y equilibra-do, entonces cada uno de estos resultados deben ser igual-mente probables o equiprobables, por lo que debemos tener:
6
1)6()5()4()3()2()1( PPPPPP
Sea el evento A = Sale un número mayor que 4, entonces los elementos de dicho evento son: A = 5, 6, por lo que su pro-babilidad será:
333.06
2
)(
)()(
N
ANAP
Ejemplo 2. Considere que lanzamos dos dados legales sobre una superficie regular, ¿cuál será la probabilidad de obtener en el lado superior, números cuya suma sea menor que cinco puntos?.
Es espacio muestral y el evento de interés de muestran a con-tinuación: A
)6,6()5,6()4,6()3,6()2,6()1,6(
)6,5()5,5()4,5()3,5()2,5()1,5(
)6,4()5,4()4,4()3,4()2,4()1,4(
)6,3()5,3()4,3()3,3()2,3()1,3(
)6,2()5,2()4,2()3,2()2,2()1,2(
)6,1()5,1()4,1()3,1()2,1()1,1(
En este caso nuevamente cada uno de los elementos del es-pacio muestral son equiprobables
36
1)6,6()3,1()2,1()1,1( PPPP
Sea el evento A = la suma de puntos es menor que cinco
A = (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1)
1666.036
6
)(
)()(
N
ANAP
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4.1.2. Probabilidad por frecuencia relativa: Esta probabilidad se basa en el modelo conceptual de la repetición de un experi-mento aleatorio. Aquí la probabilidad de un evento se interpre-ta como el valor límite de la proporción de veces en que apa-rece el evento en n repeticiones del experimento aleatorio, cuando n tiende a ser muy grande (n →∞ )
kn
AnLimAP n
)()(
Ejemplo: Considere que en una gran encuesta a 2000 perso-nas adultas se preguntó entre otras cosas por el estado civil, encontrando la siguiente distribución de frecuencias.
Tabla N° Estado civil de 2000 personas adultas de la ciudad de Lambayeque. Diciembre del 2011
Estado Civil (Ai)
N° de personas (ni) N (Ai)
Proporción de personas (pi) Probabilidad: P(Ai)
Soltero 680 0.34
Casado 720 0.36
Conviviente 340 0.17
Divorciado 60 0.03
Separado 140 0.07
Viudo 60 0.03
Total (n) 2000 1
Aquí, debido a que el tamaño de muestra es suficientemente grande ( 0n ), las frecuencias relativas pueden ser conside-
radas como probabilidades, es decir que, si de la población de referencia seleccionamos aleatoriamente una persona adulta, la probabilidad que sea soltera será 0.34, así sucesivamente.
4.2. Enfoque subjetivo: En este enfoque, la probabilidad de un evento puede interpretarse como el grado de creencia de que ocurra el evento. Aquí puede suceder que personas diferentes no duden en asignar probabilidades diferentes al mismo evento. Así por ejemplo la probabilidad de que un negocio sea exitoso para el sujeto A po-dría ser igual a 0.25; en cambio para el sujeto B este mismo evento podría tener una probabilidad igual a 0.40; incluso podría variar en una misma persona, de un tiempo a otro, dependiendo de su estado de ánimo u optimismo para emprender un nuevo negocio. En todos los casos dichas probabilidades serían igualmente lícitas, puesto que son sus creencias.
Este enfoque suele ser utilizado en situaciones en que el experi-mento aleatorio no es posible repetirlo muchas veces bajo las mis-mas condiciones, tal como ocurre en los fenómenos sociales en donde no se puede repetir la historia.
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5. Axiomas de probabilidad
Los axiomas de probabilidad son premisas que no requieren demostración; pero que sobre las cuales se construye la teoría de probabilidades.
i. La probabilidad de un evento es un número real no negativo: 0)( AP
ii. La probabilidad del espacio muestral es igual a uno. 1)( P
iii. Si A1, A2, A3, …. Es una sucesión finita o infinita de eventos mutuamente excluyentes de un mismo espacio muestral, entonces:
...)()()...( 21321 APAPAAAP
6. Algunas reglas de probabilidad
En base a los tres axiomas de probabilidad, se pueden deducir muchas reglas que tienen aplicaciones importantes.
i. Si A y A’ son eventos complementarios en un espacio muestral Ω:
)(1)'( APAP
ii. La probabilidad del evento imposible siempre es cero: 0)( P
ɸ
iii. Si A y B son eventos de un mismo espacio muestral, tal que BA ,
entonces: )()( BPAP
iv. Si A y B son dos eventos cualquiera de un mismo espacio muestral Ω,
entonces: )()()()( BAPBPAPBAP
Ω
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v. Si A, B y C son tres eventos cualquiera de un mismo espacio muestral Ω, entonces:
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP
Esta regla podría ser extendida a la reunión de más de tres eventos usando el mismo razonamiento.
Ejemplo 1. En la ciudad de Chiclayo, las probabilidades son 0.86, 0.35 y 0.29 de que una familia escogida aleatoriamente para una encuesta por muestreo tenga un aparato de TV con tecnología LED, un aparato de TV con tecnología LCD, o ambas clases de aparatos respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia posea cualquiera de los dos o ambos aparatos?
Solución Sea: A = La familia tiene un televisor con tecnología LED
B = La familia tiene un televisor con tecnología LCD
Entonces tenemos: P(A) = 0.86 P(B) = 0.35 P(A∩B) = 0.29
)()()()( BAPBPAPBAP
= 0.86 + 0.35 - 0.29 = 0.92
Ejemplo 2. Cerca de la llegada al desvío por vía de evitamiento norte de la ciudad de Chiclayo, las probabilidades son 0.23 y 0.24, de que un camión parado al costado de la pista, tendrá frenos defectuosos o neumáticos muy gastados. También, la probabilidad es de 0.38 de que un camión pa-rado en esta zona tendrá frenos defectuosos o neumáticos muy gastados. ¿Cuál es la probabilidad de que un camión parado al costado de la pista tendrá los frenos defectuosos y los neumáticos muy gastados?.
Solución Sea:
A = El camión tiene frenos defectuosos B = El camión tiene los neumáticos muy gastados
Entonces tenemos: P(A) = 0.23 P(B) = 0.24 P(AυB) = 0.38
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Sabemos que )()()()( BAPBPAPBAP entonces debemos tener
que )()()()( BAPBPAPBAP
= 0.23 + 0.24 - 0.38 = 0.09
Ejemplo 3. Si una persona acude con su dentista, supongamos que la probabilidad de que le limpie la dentadura es de 0.44, la probabilidad de que le tape una caries es 0.24, la probabilidad de que se le extraiga un diente es 0.21 , la probabilidad de que se le limpie la dentadura y le tape una caries es 0.08, la probabilidad de que le limpie la dentadura y le ex-traiga un diente es 0.11, la probabilidad de que le tape una caries y le sa-que un diente es 0.07 y la probabilidad de que le limpie la dentadura, le ta-pe una caries y le saque un diente es 0.03. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona que acude con su dentista se le haga por lo menos uno de estos tres procedimientos?
Solución Sea: A = Limpieza de dentadura
B = Tapar caries C = Extraer un diente
Entonces tenemos: P(A) = 0.44 P(B) = 0.24 P(C) = 0.21 P(A∩B) = 0.08 P(A∩C) = 0.11 P(B∩C) = 0.07 P(A∩B∩C) = 0.03
Sabemos que:
)()()()()()()()( CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP
= 0.44 + 0.24 + 0.21 - 0.08 - 0.11 - 0.07 + 0.03
= 0.66
7. Probabilidad condicional
Dados dos eventos A y B con P(B) > 0, la probabilidad condicional de A dado B, expresada como P(A/B), representa la fracción de veces que ocu-rre A sabiendo que ha ocurrido B. Su cálculo corresponde al cociente en-tre la probabilidad de que ocurra A y B (ambos) y probabilidad de que ocu-rra B.
)(
)()/(
BP
BAPBAP
Esto significa que el suceso B ocurrirá una fracción P(B) veces y, asimis-mo A y B (ambos) ocurrirá una fracción )( BAP de las veces. El cocien-
te )(/)( BPBAP indica la proporción de veces que cuando ocurre B,
ocurre también A. Esto es, Si ignoramos las veces en que B no ocurre, y
consideramos solo aquellas en que ocurre, el cociente )(/)( BPBAP
corresponde a la fracción de veces que A también sucederá. Esto es pre-cisamente lo que significa la probabilidad condicional de A dado B.
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La probabilidad condicional de A dado B también podría ser entendida como la probabilidad de A en un nuevo espacio muestral reducido dado por B
En efecto, es fácil probar que las dos expresiones que aparecen en la fi-gura anterior son equivalentes.
)(#
)(#
)(#
)(#
)(#
)(#
)(
)()/(
B
BA
B
BA
BP
BAPBAP
Ejemplo 1: Consideremos el lanzamiento de tres monedas, en donde el espacio muestral es:
Ω = ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss
Donde: P(ccc) = P(ccs) = P(csc) = ….. = P(sss) = 1/8
¿Cuál es la probabilidad de que la primera moneda sea cara?
Naturalmente esta probabilidad es ½, lo que podemos establecer de ma-nera más formal establecer como
P(cara en la primera moneda)= P( ccc, ccs, csc, css ) =4/8 = ½.
Pero consideremos que sabemos que en dos de las tres monedas ha sali-do cara. ¿Cuál es ahora la probabilidad de que la primera moneda sea ca-ra?.
La cuestión es que ha cambiado nuestra información disponible, es decir nuestro nivel de ignorancia, y en consecuencia habrán cambiado las pro-babilidades correspondientes. De hecho, si sabemos que dos de las tres
A B
Ω
A∩B
Aquí, las probabilidades P(A), P(B) y P(A∩B) están definidas sobre el espacio muestral Ω. P(A/B) = P(A∩B) / P(B)
En cambio aquí, el evento B funciona como un espacio muestral reducido
P(A/B) = # (A∩B) / # (B)
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monedas han salido cara los resultados posibles son ccs, csc y scc. Da-do que los tres resultados son(en este caso) equiprobables, y puesto que solo en los dos primeros la moneda es cara, podemos concluir que: si sa-bemos que en dos de las tres monedas ha salido cara, entonces la proba-bilidad de que la primera moneda sea cara es 2/3.
Más exactamente, hemos calculado una probabilidad condicional. Esto es, hemos determinado que bajo la condición de que sabemos que dos de las tres monedas han salido cara, la probabilidad condicionada de que la pri-mera sea cara es 2/3, lo que matemáticamente se expresa como:
P(cara en la primera moneda | cara en dos monedas) =2/3.
La barra vertical | establece “bajo la condición” o “dado que”.
En este ejemplo, A es el suceso de que la primera moneda sea cara, mientras que B es el suceso de que haya salido cara en dos monedas. Por tanto en términos matemáticos, A= ccc, ccs, csc, css, B= ccs, csc, scc y A ∩B =ccs. csc. En consecuencia se ha calculado:
.3/2
8/3
8/2
csc,,
)csc,(
)(
)()/(
sccccsP
ccsP
BP
BAPBAP
Por otra parte, y de forma análoga, podemos calcular
P(cruz en la primera moneda | cara en dos monedas) =1/3.
Vemos por tanto que condicionar un suceso (como es el caso de “cara en la primera moneda”) o bien disminuirla (como en “cruz en la primera mo-neda”).
Ejemplo 2: Considere que se dispone la siguiente información relacionada con el comportamiento de un gran número de clientes:
Intención de comprar algo
Decisión: compra algo Total
Si (B) No
Si (A) 1100 100 1200
No 500 800 1300
Total 1600 900 2500
Sea Los eventos:
A = El cliente visita el establecimiento comercial con la intención de com-prar algo
B = El cliente que visita el establecimiento comercial compra algo (lo que estaba buscando)
Considerando la probabilidad como una frecuencia relativa, podemos cal-cular la probabilidad de a dado B del siguiente modo:
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48.02500
1200
)(#
)(#)(
AAP
64.02500
1600
)(#
)(#)(
BBP
44.02500
1100
)(#
)(#)(
BABAP
6875.064.0
44.0
)(
)()/(
BP
BAPBAP
Es exactamente lo mismo cuando consideramos al evento B como un es-pacio muestra reducido, en el cual, en el cual calculamos la misma proba-bilidad:
6875.01600
1100
)(#
)(#)/(
B
BABAP
Finalmente note que la definición de P(B/A) conduce inmediatamente a la fórmula del producto
)./()()( ABPAPBAP
Esto nos permite calcular la probabilidad conjunta de A y B conociendo la probabilidad de A y la probabilidad condicional de B dado A.
La probabilidad condicional nos permite expresar el teorema “ley de la probabilidad total, versión no condicionada”, de una forma diferente y al-gunas veces más útil.
8. Regla de la multiplicación
i. Para dos eventos: Supongamos que A y B, son dos eventos cualquiera del mismo espacio muestral Ω,
)/()()( ABPAPBAP
ii. Para varios eventos: Supongamos que A1, A2, …, Ak, son k eventos cual-quiera del mismo espacio muestral Ω,
).../().../()/()()...( 11213121321 kkk AAAPAAAPAAPAPAAAAP
Ejemplo 1:
Si seleccionamos aleatoriamente dos personas en sucesión de un con-junto de 240 personas de los cuales 15 tienen presión alta, ¿Cuál es la probabilidad de que ambas personas tengan presión alta?
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Solución:
Si suponemos probabilidades iguales para cada selección (que es lo que queremos decir al seleccionar aleatoriamente personas), la probabilidad de que la primera persona tenga presión alta es 15/240, y la probabilidad de que la segunda persona también tenga presión alta dado que la pri-mera persona tenía presión alta es 14/239. Así la probabilidad de que ambas personas tengan presión alta es 15/240.14/239 = 7/1912 = 0.003661
También lo podemos presentar del siguiente modo:
Sea: A1 = La primera persona seleccionada tiene presión alta
A2 = La segunda persona seleccionada tiene presión alta
A1∩A2 =Ambas personas seleccionadas tienen presión alta
P(A1∩A2) = P(A1)P(A2/A1)
= (15/240).(14/239)
= 0.003661
Esto supone que estamos muestreando sin reemplazo; esto es la prime-ra persona seleccionada no se regresa a la población antes de que de seleccionar la segunda persona.
Ejemplo 2:
Encuentre las probabilidades de sacar aleatoriamente dos ases de una baraja ordinaria de 52 cartas de juego, si muestreamos
a) Sin reemplazo; b) Con reemplazo.
Solución:
a) Si la primera carta no se reemplaza antes de que se saque la segun-da, la probabilidad de sacar dos ases en sucesión es
121
1.
51
3.
52
4
b) Si la primera carta se reemplaza antes de que se saque la segunda, la probabilidad correspondiente es
169
1.
52
4.
52
4
Ejemplo3:
Una caja de vacunas contiene 20 vacunas, de las cuales cinco están defectuosas. Si se seleccionan tres vacunas aleatoriamente y se sa-
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can de la caja en sucesión sin reemplazo, ¿Cuál es la probabilidad de que las tres vacunas estén defectuosas?
Solución:
Si A es el evento de que el primer fusible este defectuoso, B es el evento de que el segundo fusible este defectuoso, y C es el evento de que el tercer fusible sea defectuoso, entonces P(A)=5/20, P(B|A)=4/19, P(C|A∩B)=3/18 y la sustitución en la formula nos da :
114
1
18
3.
19
4.
20
5)( CBAP
9. Eventos independientes
Si A y B son dos eventos cualesquiera de un mismo espacio muestral Ω, entonces decimos que estos dos eventos son independientes si la ocu-rrencia o no ocurrencia de cualquiera de los dos no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.
Con símbolos, dos eventos A y B son independientes si, )()/( BPABP o
en forma equivalente )()/( APBAP , siempre que las probabilidades
condicionales existan, es decir que 0)( AP y también 0)( BP .
Si esta igualdad lo remplazamos en la regla de multiplicación para dos eventos, obtenemos que:
)/()()( ABPAPBAP
)().( BPAP
Por lo que finalmente podemos decir que, dos eventos A y B son inde-pendientes si y solo si:
)().()( BPAPBAP
Generalizando para k eventos, tenemos que los eventos A1, A2, …, Ak, son independientes si y sólo si la probabilidad de la intersección de cualquiera 2, 3, … , o k de estos eventos es igual al producto de sus probabilidades respectivas.
Para tres eventos A, B y C, por ejemplo, la independencia requiere que: )().()( BPAPBAP
)().()( CPAPCAP
)().()( CPBPCBP
)()().()( CPBPAPCBAP
Cada una de las tres ecuaciones anteriores se cumplen, pero no la ecua-ción )()().()( CPBPAPCBAP . En este caso los sucesos A,B y C son
independientes parejas, pero no en conjunto.
Finalmente los eventos A1, A2, …, Ak, son Conjuntamente Independientes si y sólo si
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 19
)()...()()()....( 321321 kk APAPAPAPAAAAP
Ejemplo
La figura muestra un diagrama de Venn con probabilidades asignadas a sus diversas regiones.
Verifique que A y B son independientes, que A y C son independientes que B y C son independientes pero que A, B y C no son independientes.
Solución:
Como se puede ver en el diagrama, P(A)=P(B)=P(C) =1/2, P(A∩B)= P(A∩C)= P(B∩C)= ¼ y P(A∩B∩C) =1/4. Así,
)(4
1)().(
)(4
1)().(
)(4
1)().(
CBPCPBP
CAPCPAP
BAPBPAP
Pero
)(8
1)().().( CBAPCPBPAP
A propósito del ejemplo anterior se le puede dar una interpretación “real” al considerar un cuarto grande que tiene tres interruptores separados que controlan las luces del techo. Estas luces estarán encendidas cuando los tres interruptores estén “hacia arriba” y por tanto también cuando uno de los interruptores este “hacia arriba” y los otros dos estén “hacia abajo”. Si A es el evento que el primer interruptor este “hacia arriba”, B es el evento que el segundo interruptor este “hacia arriba” y C es el evento de que el tercer interruptor este “hacia arriba”, el diagrama de Venn de la figura ante-rior muestra un posible conjunto de probabilidades asociado con que los interruptores estén “hacia arriba” o “hacia abajo” cuando las luces del te-cho estén están prendidas. Ejemplo:
Encuentre las probabilidades de obtener:
¼
¼
1/4
1/4
A B
C
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 20
a) Tres caras en tres lanzamientos aleatorios de una moneda balanceada; b) Cuatro, seis y después otro número en cinco lanzamientos aleatorios
de un dado balanceado. Solución: a) Al multiplicar las probabilidades respectivas, obtenemos:
8
1
2
1.
2
1.
2
1
b) Al multiplicar las probabilidades respectivas, obtenemos:
7776
5
6
5.
6
1.
6
1.
6
1.
6
1
Ejemplo: Supongamos que tiramos un dado equilibrado de seis caras y una moneda también equilibrada. Podemos expresarlo como: Ω=1c,2c,3c,4c,5c,6c,1s,2s,3s,4s,5s,6s. Si A es el suceso correspondiente a que aparezca un 5 a tirar el dado y B a que la moneda caiga como cruz, entonces P(A)=P(5c,5s) = 2/12 = 1/6, y P(B)=P(1s,2s,3s,4s,5s,6s)= 6/12 =1/2. Además P(A∩B) = P(5s) = ½, que es igual a (1/6)(1/2). De ahí que en este caso A y B sean independien-tes.
10. Probabilidad total
i. Para dos eventos: Para cualquier par de eventos A y B de un mismo espacio muestral Ω, entonces:
)'()()( ABPABPBP
ii. Para varios eventos: Supongamos que A1, A2, …, Ak, constituye una
partición del espacio muestral Ω, es decir que jiAA ji y
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 21
n
i
iA1
, entonces: )(...)()()( 21 kABPABPABPBP , o
también se puede expresar como:
k
j
jj ABPAPBP1
)/()()(
Ejemplo 1:
Una clase está formada por un 60% de chicas y 40% de chicos. Supon-gamos que el 30% de las chicas y el 20% de los chicos llevan el pelo lar-go. Si se escoge un alumno de la clase al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado lleve el pelo largo?
Para resolverlo, llamemos 1A al conjunto de chicas y 2A al conjunto de chi-
cos, con lo cual 21, AA es una partición de la clase. Llamemos además B
al conjunto de todos los alumnos con pelo largo.
Nos interesa calcular P(B), que por el teorema ley de probabilidad total resulta:
26.0)2.0)(4.0()3.0)(6.0()/()()/()()( 2211 ABPAPABPAPBP , es decir,
existe un 26% de probabilidad de que el alumno seleccionado al azar lleve el pelo largo.
Ejemplo 2 :
La terminación de un trabajo de construcción se puede retrasar a causa de una huelga. Las probabilidades son 0.60 de que habrá una huelga, 0.85 de que el trabajo de construcción se termine a tiempo si no hay huelga y 0.35 de que el trabajo de construcción termine a tiempo si hay huelga. ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajo de construcción termine a tiempo?
Solución:
Si B es el evento de que el trabajo de construcción se terminara a tiempo y A es el evento de que habrá una huelga, se nos dan P(A) = 0.60, P(B|A')=0.85 y P(B/A)=0.35. Nos valemos de que A∩B y A׳∩B son mutua-mente excluyentes y de la forma alternativa de la regla de multiplicación, podemos escribir:
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 22
)'()()( BABAPBP
)'()( BAPBAP
)'/()'()/()( ABPAPABPAP
Entonces al sustituir los valores numéricos dados obtenemos:
55.0)85.0)(60.01()35.0)(60.0()( BP
Ejemplo 3:
Los miembros de una empresa de consultoría rentan automóviles de tres agencias de renta de automóviles: 60% de la agencia 1, 30% de la agencia 2 y 10% de la agencia 3.
Si 9% automóviles de la agencia 1 necesita una afinación, 20% de los au-tos dela agencia 2 necesita una afinación, y 6% de los autos de la agencia 3 necesitan una afinación, ¿cuál es la probabilidad de que un automóvil rentado, entregado una fiesta necesite una afinación?
Solución:
Si B es el evento de que un automóvil necesita una afinación y 32,1 ByAA
son los eventos de que el automóvil venga de las agencias1, 2 ó 3, tene-
mos ,60.0)( 1 AP ,30.0)( 2 AP ,10.0)( 3 AP ,09.0)|( 1 ABP
20.0)|( 2 ABP y 06.0)|( 3 ABP .
Al sustituir esos valores en la fórmula del teorema anterior obtenemos:
12.0)06.0)(10.0()20.0)(30.0()09.0)(60.0()( BP
Así 12% de los automóviles rentadas entregados a esta empresa necesita-ran una afinación.
Con respecto al ejemplo precedente, supongamos que nos interesa la si-guiente pregunta: si un automóvil rentado entregado a la empresa de con-sultoría necesita una afinación, ¿Cuál es la probabilidad de que haya veni-do de la agencia de renta 2? Para responder a preguntas de esta clase, necesitamos el siguiente teorema, llamado el teorema de Bayes.
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 23
11. Teorema de Bayes.
Sea nAAA ,....,, 21 una partición del espacio muestral Ω, es decir que
i
n
i A1 , además ji AA , ji . Entonces si B es un evento
cualquiera con 0)( BP , se verifica que:
)(
)()/(
BP
BAPBAP i
i
ni ,....,3,2,1
o también:
)/()(
)/()()/(
1
j
k
j
j
iii
ABPAP
ABPAPBAP
Demostramos el cálculo:
)|()(
)(
)(
)(
)(
)()/(
)(
)(BAP
BP
BAP
AP
BAP
BP
APABP
BP
AP
Conduce al resultado anterior.
Las aplicaciones estándar de la fórmula del producto, la ley de probabili-dad total y el teorema de Bayes corresponden a sistemas de dos etapas. La respuesta de este tipo de sistemas puede considerarse que ocurre en dos etapas. En general se conocen las probabilidades relativas a la prime-ra etapa y las probabilidades condicionales para la segunda etapa. La fór-mula del producto se utiliza para calcular probabilidades conjuntas de am-bas etapas, la ley de la probabilidad total para calcular probabilidades de la segunda etapa, y el Teorema de Bayes para calcular probabilidades de la primera etapa habiendo ocurrido alguno de los sucesos de la segunda etapa.
Ejemplo 1. Supongamos que un artículo es manufacturado por tres fábri-cas, sean 1, 2 y 3. Se sabe que la primera produce el doble de artículos que la segunda y que ésta y la tercera producen igual número de artículos (durante un período de producción dado). Se sabe también que la primera
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 24
y la segunda producen 2% de defectuosos, y la tercera produce 4% de defectuosos. Se colocan juntos todos los artículos producidos en una fila y se escoge uno al azar, el cual resulta ser defectuoso. ¿Cuál será la proba-bilidad de que lo haya producido la primera fábrica?.
Este es un caso típico de aplicación del teorema de Bayes. Usando la no-tación anterior necesitamos calcular P(A1/B), lo cual lo podemos obtener usando el teorema de Bayes:
)/()(
)/()()/(
3
1
111
j
k
j
j ABPAP
ABPAPBAP
El teorema de Bayes también es conocido como la fórmula para la proba-bilidad de las “causas”. Puesto que las Ai son una partición del espacio muestral, uno y solo uno de los eventos Ai ocurre (esto es, uno de los su-cesos Ai debe ocurrir y solamente uno). Por lo tanto la fórmula anterior nos da la probabilidad de una Ai particular (esto es una “causa”), dado que el suceso B ha ocurrido. Para aplicar este teorema debemos conocer las P(Ai) y las P(B/Ai).
Para nuestro ejemplo, los cálculos son presentados en el siguiente cuadro:
40.025.004.025.002.05.002.0
5.002.0)/( 1
BAP
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 25
Laboratorio 1:
1. Un juego electrónico contiene tres componentes en un circuito del tipo serie paralelo de la siguiente figura. En un momento dado cualquiera, cada com-ponente puede estar en operación o no, y el juego funcionará solo si hay un circuito ininterrumpido de P a Q. Sea A el evento de que el juego funcionará; Sea B el evento de que el juego funcionará aunque el componente X no esté en operación; y sea C el evento de que el juego funcionará aunque el com-ponente Y no esté en operación. Use la notación en la cual (0,0,1) por ejem-plo, denota que el componente Z está en operación pero los componentes X y Y no lo están.
a. Enumere lo elementos del espacio muestral Ω y también los elemen-tos de los eventos A, B y C.
b. Determine qué pares de eventos A y B, A y C o B y C son mutua-mente excluyentes.
P Q
2. En un grupo de 200 estudiantes universitarios, 138 están matriculados en un curso de Psicología, 115 están inscritos en un curso de sociolo-gía y 91 están inscritos en ambos cursos. ¿Cuántos de estos estu-diantes no están inscritos en ninguno de los cursos?.
3. Explique por qué hay un error en cada una de las siguientes declaracio-nes:
a) La probabilidad de que Jean apruebe el examen de la barra de abo-gados es 0.66 y la probabilidad de que no lo pase es 0.34־.
b) La probabilidad de que el equipo de casa gane un juego de futbol venidero es 0.77, la probabilidad de que se empate el juego es 0.08 y la probabilidad de que gane o empate el juego es 0.95.
c) Las probabilidades de que una secretaria cometa 0, 1, 2, 3, 4, 5 o más errores al mecanografiar un informe son, respectivamente, 0.12, 0.25, 0.36, 0.14, 0.09 y 0.07.
d) Las probabilidades de que un banco reciba 0, 1, 2, 3 o más cheques malos en un día dado son, respectivamente, 0.08, 0.21, 0.29 y 0.40.
4. De los 78 doctores del personal de un hospital, 64 tienen seguro contra tratamiento erróneo, 36 son cirujanos y 34 de los cirujanos tienen segu-ro contra tratamiento erróneo. Si uno de estos doctores se escoge al azar para representar al personal del hospital en una convención de la
A.M.A. (esto es, cada doctor tiene una probabilidad de 78
1 de ser selec-
cionado), ¿Cuál es la probabilidad de que el seleccionado no sea un ci-rujano y no tenga seguro contra tratamiento erróneo?
X
Y
Z
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 26
5. Una profesora de biología tiene dos asistentes graduados que la ayudan con su investigación. La probabilidad de que el mayor de los asistentes se ausente en un día dado es 0.08, la probabilidad de que el más joven de los dos se ausente en un día dado e 0.05 y la probabilidad de que ambos se ausenten en un día dado es 0.02. Encuentre las probabilida-des de que
a) Cualquiera o ambos de los asistentes graduados esté ausente en cualquier día dado;
b) Al menos uno de los dos asistentes graduados no esté ausente en cualquier día dado;
c) Sólo uno de los dos asistentes graduados esté ausente en cual-quier día dado.
6. hay noventa aspirantes para un trabajo en el departamento de noticias de una estación de televisión. Algunos son egresados de la universi-dad y algunos no, algunos de ellos tienen al menos tres años de expe-riencia y algunos no la tienen, el análisis exacto es:
Formación Experiencia
Egresados de la Universidad
No Egresados de la universidad
Al menos tres años de experiencia 18 9 Menos de tres años de experiencia 36 27
Si el orden en que el gerente de la estación entrevista a los aspirantes es aleatorio, G es el evento que el primer aspirante entrevistado sea un egre-sado de la universidad, y T es el evento de que el primer aspirante entre-vistado tenga al menos tres años de experiencia, determine cada una de las siguientes probabilidades directamente de los asientos y de los reglo-nes y columnas de la tabla:
a) );( TGP
b) );( TGP
c) );( TGP
d) ´).( TGP
7. La probabilidad de sobrevivir a una cierta operación de trasplante es 0.55. si un paciente sobrevive la operación, la probabilidad de que su cuerpo rechace el trasplante en menos de un mes es 0.20. ¿Cuál es la probabilidad de que sobreviva a estas etapas críticas?
8. Los registros médicos muestran que una entre diez personas en una cierta ciudad tiene deficiencia tiroidea. Si se escogen aleatoriamente 12 personas en esta ciudad y se les hace un análisis, ¿Cuál es la pro-babilidad de que al menos una de ellas tenga una deficiencia tiroidea?
9. Si 5 de los diez camiones repartidores de una compañía no satisfacen los estándares de emisión y tres de ellos se seleccionan para una ins-pección, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de los camiones se-leccionados satisfará los estándares de emisión?
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 27
10. Una tienda departamental que factura a sus clientes una vez al mes ha encontrado que si un cliente paga oportunamente en un mes, la probabilidad es 0.90 de que él o ella pague también oportunamente el siguiente mes-, sin embargo, si un cliente no paga oportunamente en un mes, la probabilidad de que él o ella pague oportunamente el mes siguiente es solamente 0.40.
a) ¿Cuál es la oportunidad de que un cliente que paga oportunamente en un mes también pagara oportunamente los tres meses siguien-tes?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que no paga oportuna-mente en un mes tampoco pagara oportunamente los siguientes dos meses y después haga un pago oportuno al mes siguiente de ello?
11. Por experiencia se sabe que en una cierta industria 60% de todos los litigios entre los trabajadores y la administración son por salarios, 15% por las condiciones de trabajo y 25% son sobre aspectos de presta-ciones. También 45% de los litigios por salarios se resuelven sin huel-gas, 70% de los litigios por condiciones de trabajo se resuelven sin huelgas y 40% de los litigios acerca de prestaciones se resuelven sin huelgas. ¿cuál es la probabilidad de que un litigio entre trabajadores y la administración se resuelva sin una huelga?
12. En una cierta comunidad, 8% de todos los adultos mayores de 50 años tienen diabetes. Si un servicio de salud en esta ciudad diagnos-tica correctamente a 95% de las personas con diabetes como enfer-mas de diabetes e incorrectamente diagnostica a 2% de todas las personas sin diabetes como enfermas de diabetes, encuentre la pro-babilidad de que
a) El servicio de salud comunitario diagnosticara a un adulto mayor de 50 años como enfermo de diabetes
b) Una persona mayor de 50 diagnosticada con diabetes por el servi-cio de salud realmente tenga la enfermedad.
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 28
2° UNIDAD: VARIABLES ALEATORIAS
1. Variables aleatorias discretas:
Definición 1: Se dice que X es una variable aleatoria discreta unidimensional si es una variable que toma solo un conjunto finito o infinito numerable de valores del eje X. Su-
pongamos que X toma únicamente los valores ,...,...,, 21 nxxx con probabilidades
),...(...,),(),( 21 nxpxpxp y supongamos que A es cualquier subconjunto de los puntos
,...,...,, 21 nxxx . La probabilidad )(AP del suceso A (probabilidad de que x esté en A) se
define como:
A
xpAP )()(
Donde Representa la suma de f(x) para aquellos valores xi que pertenecen a A.
Así por ejemplo: P(X=2) quiere decir probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X sea igual a 2
P(3<X<5) significa probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X esté comprendido
entre 3 y 5,
Definición 2: Sea un experimento aleatorio y el espacio muestral asocia-
do con el experimento. Una función X que asigna a cada uno de los elementos
s , un número real )(sX se llama Variable aleatoria.
= Espacio muestral de Rx = Valores posibles de X
X )(sX = Valor de la variable
(Recorrido o Rango de X)
Ejemplo. Sea el experimento aleatorio = Lanzar tres monedas legales sobre una
superficie regular, entonces el espacio muestral debe ser
ssssscscscsssccccsccc ,,,,csc,,, , considere también que la variable aleatoria X =
Número de caras al lanzar tres monedas legales sobre una superficie regular, entonces
el Rango o conjunto de valores que podría tomar esta variable será: 3,2,1,0XR
= Espacio muestral X Rx = Valores posibles de X 3
2)( ccsX
1 0
A
xp )(
CCC
CCS
CSC
SCC
CSS
SCS
SSC
SSS
S
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 29
2. Función de Probabilidades
Llamaremos a )(xp función de probabilidades o función de cuantía por tra-
tarse de una variable discreta, siempre que cumpla con las dos condicio-
nes siguientes:
i) 0)( ixp ,....4,3,2,1, i
ii) 1)( ixp
Como ejemplo consideremos el experimento aleatorio de lanzar cuatro
monedas legales sobre una superficie regular, y definamos la variable X =
Número de caras al lanzar cuatro monedas legales sobre una superficie
regular, por lo tanto X debe tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4. Para determinar
la función de cuantía )(xf debemos observar que el número de formas en
que pueden caer las cuatro monedas es
162# 4 esrepeticiondenúmero
desposibilidadenúmero
Donde:
Número de posibilidades = Número de caras de una moneda = 2
Número de repeticiones = Número de monedas lanzadas o en forma equi-valente número de veces que se lanza una misma moneda.
El número de formas en que pueden aparecer x caras es
x
4 ; por lo tan-
to:
42
4
)(
x
xp ; 4,3,2,1,0x
Se puede verificar que:
i) 02
4
)(4
x
xp
ii) 12
4
)(4
4
0
4
0
xxp
xx
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 30
Por lo que concluimos que 42
4
)(
x
xp es una función de cuantía.
A menudo, la distribución de probabilidades de X se suele representar por el rango y su función de cuantía, es decir que, la distribución de la va-riable X de nuestro ejemplo se puede representar así:
Rango: 4,3,2,1,0XR
X ~
Función de cuantía: 42
4
)(
x
xp
Podemos calcular los valores de la función de cuantía para cada uno de los valores de X:
Para 0x : 1!4!0
!4
0
44
x entonces 0625.0
16
1
2
0
4
)0(4
p
Para 1x : 4!3!1
!4
1
44
x entonces 25.0
16
4
2
1
4
)0(4
p
Para 2x : 6!2!2
!4
2
4
2
4
entonces 375.0
16
6
2
2
4
)2(4
p
Para 3x : 4!1!3
!4
3
44
x entonces 25.0
16
4
2
3
4
)3(4
p
Para 4x : 1!0!4
!4
4
44
x entonces 0625.0
16
1
2
4
4
)4(4
p
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 31
Si lo escribimos en una tabla, debemos tener:
Número de caras X
Probabilidad P(X)
0 0.0625 1 0.2500 2 0.3750 3 0.2500
4 0.0625
Total 1
Y al graficarlo tenemos:
Conviene resaltar que )(xp da las frecuencias relativas con que se presen-
ta cada uno de los valores de x . Así, si suponemos que las cuatro mone-
das se lanzan un gran número de veces, debemos esperar que no aparez-
can caras ( 0x ) en 16
1 aproximadamente de las tiradas; esperamos
que aparezca una cara ( 1x ) en la cuarta parte aproximadamente de las tiradas, y así sucesivamente. Decimos aproximadamente porque ya estamos familiarizados con las fluctuaciones que acompañan los sucesos aleato-rios.
Los resultados de un experimento real de lanzamientos de 4 monedas pueden verse en la siguiente tabla. Se lanzaron 4 monedas 160 veces, contando el número de caras aparecidas en cada prueba.
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 32
Resultado del lanzamiento de 4 monedas 160 veces
Número de caras X
Probabilidad P(X)
Ocurrencias efectivas
Ocurrencias esperadas
0 0.0625 6 10 1 0.2500 41 40 2 0.3750 56 60 3 0.2500 45 40
4 0.0625 12 10
Total 1 160 160
Conocida la función de cuantía de una variable aleatoria x , podemos dar
respuesta a cualquier cuestión probabilística relativa a x . Así por ejemplo,
para la variable X = Número de caras al lanzar de las 4 monedas, la pro-babilidad de obtener 2 caras es:
375.016
6
2
2
4
)2()2(4
pxP
La probabilidad de que el número de caras sea inferior a 3 es
6875.016
11
16
6
16
4
16
1
2
2
4
2
1
4
2
0
4
)2()1()0()()3(444
2
0
pppxpxPx
La probabilidad de que el número de caras esté entre 1 y 3, ambos inclusi-ve es,
875.016
14
16
4
16
6
16
4
2
3
4
2
2
4
2
1
4
)3()2()1()()31(444
3
1
pppxpxPx
Supongamos que deseamos calcular la probabilidad condicional de que un número de caras sea menor que tres cuando se sabe que dicho número es menor que cuatro. Sea A el suceso “aparecen menos de tres caras”, es decir,
2,1,0: xxA
Sea B el suceso “aparecen menos de cuatro caras”; esto es,
3,2,1,0: xxB
Deseamos calcula P(A/B). Por definición de probabilidad condicional,
)(
)()/(
BP
BAPBAP
Ahora bien:
2,1,0: xxBA
Luego
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 33
16
11
2
4
)()(4
2
02
0
x
x
xxpBAP
También
16
15
2
4
)()(4
3
03
0
x
x
xxpBP
De donde:
15
11
16/15
16/11)4/3()/( xxPBAP
La interpretación frecuencial es la siguiente: Supongamos que cuatro mo-nedas ideales se lanzan un gran número de veces y se registra el número de caras de cada tirada solamente en los casos en que aparecen menos de cuatro caras. La fracción de estos casos (donde aparecen menos de cua-tro caras) en que aparecen menos de tres caras será aproximadamente 11/15.
3. Distribuciones acumulativas: A menudo es necesario calcular probabili-
dades del tipo )3( xP , )31( xP , etc. En estos casos es conveniente
definir una nueva función, llamada Función de distribución acumulativa.
Para una función de cuantía )( ixf , ,...,2,1i la distribución acumulativa
)(xF se define por
xx
i
i
xpxF )()(
Donde la suma para todos los valores de i tales que xxi . Es fácil ver
que
)()( xXPxF
Y que
)()()( aFbFbXaP
Por consiguiente, puede demostrarse que para una variable aleatoria dis-creta es posible obtener la distribución acumulativa a partir de la función de densidad, y viceversa. Propiedades: Una función de distribución tiene las siguientes propiedades:
i) 0)( F , 1)( F
ii) Monótona no decreciente. En variables discretas crece por saltos.
iii) Continua por la derecha
Ejemplo: Para el caso de la variable aleatoria X = Número de caras al lan-zar 4 monedas legales:
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 34
La función de distribución obtenida a partir de la función de cuantía es
xx
i
i
xpxF )()(
Para x < 0 : 0)()(0
xx
i
i
xpxF
Para 0≤ x < 1 : 0625.0)0()()(1
pxpxFxx
i
i
Para 1≤ x < 2 : 3125.0)1()0()()(2
ppxpxFxx
i
i
Para 2≤ x < 3 : 6875.0)2()1()0()()(3
pppxpxFxx
i
i
Para 3≤ x < 4 : 9375.0)3()2()1()0()()(4
ppppxpxFxx
i
i
Para x ≥ 4 :
1)4()3()2()1()0()()(4
pppppxpxFxx
i
i
Función de cuantía Función de Distribución
Número de caras x
Probabilidad P(x)
x F(x) = P(X ≤ x)
0 0.0625 x < 0 0 1 0.2500 0 ≤ x < 1 0.0625 2 0.3750 1 ≤ x < 2 0.3125 3 0.2500 2 ≤ x < 3 0.6875 4 0.0625 3 ≤ x < 4 0.9375
Total 1 x ≥ 4 1
Cuyos gráficos son:
Laboratorio 2
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 35
1. Determine si la función puede servir como distribución de probabilida-
des de una variable aleatoria con el rango dado
a. 5
2)(
xxp para x = 1, 2, 3, 4, 5.
b. 30
)(2x
xp para x = 0, 1, 2, 3, 4.
2. Construya un gráfico de barras de probabilidad para cada una de las
siguientes funciones de cuantía
a.
3
6
3
42
)(xx
xp Para x = 0, 1, 2.
b. xx
xxp
58.02.0
5)( Para x = 0,1, 2, 3, 4, 5.
3. Una moneda está alterada para que las caras sean doblemente proba-
bles que los sellos. Para tres lanzamientos independientes de la mone-
da, encuentre:
a. La función de cuantía de X = número total de caras
b. La probabilidad de obtener a lo más dos caras
c. La probabilidad de obtener más de dos caras
4. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la función de cuantía de la suma de los dos números que aparecen en la cara superior de los dados?.
5. En una ciudad de 5000 adultos, se pregunta a una muestra de 10, cuál es su opinión sobre una propuesta de proyecto municipal; se obtienen 6 respuestas a favor del proyecto y 4 en contra. Si en realidad los adul-tos estuvieran divididos en dos grupos iguales respecto a dicha pro-puesta, ¿Cuál sería la probabilidad de obtener una mayoría de 6 o más, en una muestra de tamaño 10?
6. Un distribuidor de semillas ha determinado a partir de numerosos en-sayos que el 5% de un grupo grande de semillas no germina; vende las semillas en paquetes de 100, garantizando la germinación del 90%. ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete dado no cumpla la garan-tía?
7. Se trata de utilizar un proceso de fabricación para la obtención de conmutadores con un porcentaje de defectuosos no superior a 1%. Se comprueba el proceso cada hora, ensayando 10 conmutadores elegi-dos aleatoriamente entre los obtenidos en una hora. Si fallan uno o más de los 10, se detiene el proceso y se procede a un examen cuida-doso. Si la probabilidad real de producir un conmutador defectuoso es 0.01, ¿Cuál es la probabilidad de que el proceso sea examinado sin que sea necesario en un caso determinado?
8. Una compañía de seguros halla que el 0.005% de la población fallece cada año de un cierto tipo de accidente. ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía tenga que pagar a más de 3 de los 10 000 asegura-dos contra tales accidentes en una año dado?.
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 36
4. Valores esperados y momentos de Variables aleatorias discretas
1) Valor esperado de una variable aleatoria: El valor esperado de una
variable aleatoria o de cualquier función de una variable aleatoria es un
número real -que puede o no ser un posible valor de la variable aleato-
ria- al cual tienden los valores de dicha variable en el largo plazo, y re-
presenta el centro de masa la distribución de dicha variable. Se obtiene
hallando el valor medio de la función para todos los valores posibles de
la variable.
La definición matemática del valor esperado es:
Definición: Sea X una variable aleatoria discreta con función de cuantía p(x).
El valor esperado de X, E(X) es
x
xxpxE )()(
Esta cantidad se define como el valor esperado solo si p(x) es absolu-
tamente convergente. Si no lo es, decimos que el valore esperado de X
no existe.
Ejemplo Considere el experimento aleatorio:
= Lanzar tres monedas legales sobre una superficie regular
Con el espacio muestral Ω = ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss
Se define la variable aleatoria X = Número de caras.
El rango de esta variable es: Rx = 0, 1, 2, 3
Y su función de cuantía correspondiente será:
3
2
13)(
xxp
Esta función genera las siguientes probabilidades
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 37
5.1125.03375.02375.01125.00)()( x
ii xpxxE
En algunas ocasiones podríamos estar interesados en el valor esperado
de alguna función de la variable aleatoria X, en lugar del correspondien-
te a la propia X. Así por ejemplo podemos estar interesados en el valor
esperado de 2X, o de X2+1, etc.
Teorema: Sea X una variable aleatoria discreta con función de cuantía
p(x). El valor esperado de una función u de la variable aleatoria X es
x
xpxuxuE )()()]([
De nuevo observamos que esta cantidad se definen como valor espera-
do solo si p(x) es absolutamente convergente. La misma observación
debe hacerse para todos los valores esperados de las variables aleato-
rias y no volveremos a repetir en lo sucesivo.
Ejemplo 1:
Considere que Ud. decide comprar un boleto por un valor de 1 nuevo sol
para participar en el siguiente juego, “Se lanza un dado legal sobre una su-
perficie regular, si sale un 6, entonces gana 20 nuevos soles, caso contrario
pierde el valor de la apuesta”. Cuál será su ganancia esperada?
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0 1 2 3
Pro
babi
lidad
Número de caras
Distribución de probabiliadades del número de caras al lanzar tres moenedas
E(x)=1.5
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 38
Solución
Considerando la variable aleatoria X = número de puntos de la cara su-
perior de un dado legal, lanzado sobre una superficie regular, entonces
su función de cuantía será:
1/6 para todo X = 1, 2, 3, 4, 5, 6
p(x) =
0 en otro caso
La función ganancia es:
20 si x = 6
g(x) =
-1 en otro caso ( x = 1≤ x ≤ 5)
El valor esperado de la función ganancia es:
6
1
)51()1()6(20)()())((x
xpxpxpxgxgE
solesnuevosxgE 5.26
15
6
51
6
120))((
Propiedades del valor esperado.
a) ccE ][ donde c es una constante
b) )]([)]([ xuEcxucE
c) )]([.)](.[ xuEcxucE
d) De (b) y (c) se deduce que: )]([.)](.[ xuEbaxubaE
e) )]([)]([)]()([ xvExuExvxuE
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 39
Laboratorio N° 3
1. Suponga que el valor esperado del salario de una clase de trabajadores,
del sector de construcción civil, durante el mes de abril del 2013, fue de
800 nuevos soles, El gobierno central decreta un incremento de 75 nue-
vos soles a partir del mes de mayo, ¿Cuál será el nuevo valor esperado
del salario dicho sector de trabajadores para el mes de mayo?
2. Suponga que en una gran empresa, el valor esperado del salario de los
varones es de 2400 n. s., y de las mujeres es de 1800 n. s., durante el
mes de julio del 2011, el gobierno central decreta un incremento de 75.
Sabiendo que el 60% de los trabajadores son varones, ¿Cuál es el valor
esperado del salario de todos los trabajadores de dicha empresa?
3. En el mes de enero, el promedio de salarios de los empleados de una
empresa era 2400 n.s.; en el mes de febrero, la empresa consideró un
incremento del 25% en el número de empleados y con un salario igual al
80% del promedio de los salarios de los antiguos empleados. En el mes
de marzo, la empresa hizo efectivo un aumento del 5% en el salario de
cada uno de los empleados, más una asignación de 200 n.s. por esco-
laridad. Hallar el sueldo promedio de los salarios de los empleados en el
mes de marzo.
4. Se venden 30000 billetes de lotería, a un nuevo sol cada uno, para un
sorteo de un coche de 4000 nuevos, ¿Cuál es la ganancia esperada de
una persona que compre uno de estos billetes?
5. La probabilidad de que un suceso ocurra es p y la de que no ocurra
q=1-p. En una sola prueba, ¿Cuáles son la media y la varianza de X,
siendo este el número de aciertos?
6. Si se realizan n pruebas independientes del experimento descrito en el
ejercicio 4, y X es el número total de aciertos, ¿Cuáles son la media y
varianza de X?
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 40
5. Variables Aleatorias Continuas
Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor de cierto inter-valo o colección de intervalos sobre el eje X, el plano X1,X2, espacio X1,X2,X3, etc., sin la restricción de que aquellos sean número aislados.
Variable aleatoria continua unidimensional: Se dice que X es una variable aleatoria continua unidimensional, si existe una función f tal que satisface dos condiciones:
i) f(x) ≥ 0 para todo x
ii) Para cualquier suceso A se cumple que P(A) = P(x esté en A) =
A
dxxf )(
Donde )(xf se denomina función de densidad de X, y diremos a veces
que “X se distribuye según )(xf ” o que “ )(xf es la distribución de X”.
Los sucesos que consideraremos en este curso serán un intervalo o una
colección de un número finito de intervalos no superpuestos.
Así por ejemplo, sea:
23:1 xxA , 42:2 xxA
El suceso “A1 o A2 “ es : 43:21 xxAA
El suceso “A1 no ocurre” es: 211 BBA
Donde: 3:1 xxB xxB 2:2
El suceso “A1 y A2” es: 22:21 xxAA
B2 B1 A2
A1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 En lo que sigue del curso supondremos que las variables aleatorias conti-nuas tienen función de densidad también continua, salvo, a lo sumo, en un número finito de puntos.
Definamos A por bxaxA : . Para una variable aleatoria con-
tinua X, la función de densidad f(x).
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 41
b
aA
dxxfdxxfAPbXaP )()()()(
Como b
adxxf )( toma el mismo valor, ya sea el intervalo abierto, cerra-
do, o abierto a la derecha o a la izquierda, tenemos
)()()()( bXaPbXaPbXaPbXaP
Así, la integral en un punto es 0; por lo tanto 0)( aXP para cual-
quier número a .
Si A no es un intervalo simple sino la unión de un número finito de interva-
los no superpuestos, es decir que kAAAA ...21 donde
ji AA para todo ji , y donde iii bxaxA : , resulta
que.
A
k dxxfAAAPAP )()...()( 21
kAAA
dxxfdxxfdxxf )(....)()(
21
k
k
b
a
b
a
b
adxxfdxxfdxxf )(...)()(
2
2
1
1
Da la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria esté comprendi-
do entre 11 bya , 22 bya …. O entre kk bya . En esencia,
esto establece que la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria
pertenezca a un conjunto A es el área comprendida entre f(x) y el eje X
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 42
sobre el conjunto. La función de densidad f(x) puede obtenerse mediante
un proceso empírico ajustando una curva sobre un histograma de frecuen-
cias o a trasvés de un razonamiento lógico.
Si el suceso A es todo el eje X, P(A) debe ser igual a 1, y se tiene que
1)(
xf
Por lo tanto, cualquier función f puede servir como función de densidad de
una variable aleatoria X si satisface las condiciones:
i) 1)(
xf
ii) 0)( xf
x
Naturalmente, en un problema particular de aplicación, se elegirá f de tal
forma que, para todo a y b (a < b)
b
adxxfbXaP )()(
Represente la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X se ha-
lle comprendido entre a y b.
Cualquier función positiva en un dominio elegido arbitrariamente puede
considerarse como una función de densidad de una variable aleatoria,
siempre que la función esté multiplicada por una constante que haga que
su integral sea igual a uno. Así por ejemplo, la siguiente función es una
función de densidad:
0)( xf
2x
18
23 X
42 x
= 0 x ≥ 4
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 43
Verificación de las propiedades:
i) El valor de la función es positivo o cero
ii) La integral en todo el recorrido es igual a 1.
4
4
2
2
018
230)( dxdx
xdxxf
010
= 1
Además la probabilidad de que el valor de la variable caiga por ejemplo en
el intervalo 2 < X < 3 es:
9
4
18
23)32(
3
2
dx
xXP
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 44
6. Valores esperados de variables aleatorias continuas
1) Valores esperados: El valor esperado de una variable aleatoria o de
cualquier función de una variable aleatoria es un número real -que pue-
de o no ser un posible valor de la variable aleatoria- al cual tienden los
valores de dicha variable en el largo plazo, y representa el centro de
masa la distribución de dicha variable. Se obtiene hallando el valor me-
dio de la función para todos los valores posibles de la variable.
La definición matemática del valor esperado es:
Definición: Sea X una variable aleatoria continua con densidad f(x). el valor
esperado de X, E(X) es
dxxxfxE )()(
Esta cantidad se define como el valor esperado solo si es absolutamen-
te convergente. Si no lo son, decimos que el valor esperado de X no
existe.
Ejemplo
Consideremos la variable aleatoria X cuya función de densidad está
dada por:
xxf 54
1)(
Para todo 2 < X < 4
Entonces su valor esperado será:
4
2
24
25
4
15
4
1.)()( dxxxdxxxdxxxfxE
dxxxdxxE
4
2
24
2 4
15
4
1)(
4
2
34
2
2
34
1
25
4
1
xx
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 45
3
2
3
4
4
1
2
2
2
45
4
1 3322
3
56
4
1
2
125
4
1
8333.26
17
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 46
Laboratorio N° 4
1. La densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X esta dada por:
0
5
1
a) Dibuje su gráfica y verifique que el área total bajo la curva (arriba
del eje x) es igual a 1.
b) Encuentre P(3 < x < 5)
2. La cantidad real de café(en gramos) en un frasco de 230 gramos que llena
cierta maquina es una variable aleatoria cuya densidad de probabilidad es-
ta dad por
0
5
1
0
Encuentre las probabilidades de que un frasco de 230 gramos que llene
esta máquina tendrá
a) Cuando mucho 228.65 gramos de café
b) Cualquier cantidad entre 229.34 y 231.66 gramos de café
c) Al menos 229.85 gramos de café
3. El número de minutos que en vuelo de Phoenix a Tucson se adelanta o se atrasa
es una variable aleatoria cuya densidad de probabilidad esta dad por:
0
)36(288
1 2x
Donde los valores negativos son indicativos de que un vuelo llega adelan-
tado y los valores positivos son indicativos de que llega con retraso. En-
cuentre las probabilidades de uno de estos vuelos llegara:
)(xf
Para 2 < x < 7
En cualquier otra parte
)(zf
Para x ≤227.5
Para 227.5 < x< 232.5
Para x≥ 232.5
)(xfPara -6 < x < 6
En cualquier otra parte
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 47
a) Al menos 2 minutos adelantado, b) Al menos 1 retrasado, c) Cualquier tiempo
entre 1 y 3 minutos adelantado, e) Exactamente 5 minutos de retrasa
4. La vida en el anaquel (en horas) de un alimento empacado perecedero es una
variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad esta dad por:
0
100
200003
x
Encuentre las probabilidades que uno de estos paquetes tendrá una vida en el
anaquel de: a) La menos 200 horas b) A lo más 100 horas c) Cualquier tiempo en-
tre 80 y 120 horas
5. En una cierta ciudad el consumo diario de agua(en millones de litros) es
una variable aleatoria cuya densidad de probabilidad está dada por:
0
9
13
x
xe
¿Cuáles son las probabilidades de que en un día dado
a) El consumo de agua en esta ciudad no sea mayor de 6 millones de
litros
b) El abastecimiento de agua sea inadecuado si la capacidad diaria de
esta ciudad es 9 millones de litros?
6. La duración de vida total (en años) de perros de cinco años de edad de
una cierta raza es una variable aleatoria cuya función de distribución está
dada por:
2
251
0
x
Encuentre las probabilidades de que un perro como esos de cinco años de
edad vivirá
a) Más allá de los 10 años, b) Menos de 8 años y c)Entre 12 y 15 años
)(xf
Para x > 0
En cualquier parte
)(xf
Para x > 0
En cualquier otra
parte
)(xf
Para x ≤5
Para x > 5
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 48
3° UNIDAD: DISTRIBUCIONES ESPECIALES
1. La distribución Binomial:
Sea un experimento aleatorio de Bernoulli, es decir que tiene las siguientes
características: i. Solo admite dos resultados posibles, el suceso E = Éxito y el suceso F =
Fracaso
ii. Ambos resultados o sucesos son independientes
iii. La probabilidad de obtener un éxito P(E) = p se mantiene constante en
cualquier ejecución del experimento aleatorio, donde 0≤ p ≤ 1
Definimos la variable de Bernoulli x como
1 : Éxito (E)
ix
0 : Fracaso (F) Y su función de cuantía será:
p si 1ix para todo 0≤ p ≤ 1
)( ixP
q si 0ix para todo q = 1 – p y p + q = 1
Con lo cual es fácil notar que el valor esperado de esta variable es pxE i )(
y su varianza pqxV i )(
Si el experimento se puede repetir n–veces, (n ≥ 2) y definimos la variable
aleatoria:
n
i
in xxxxX1
21 ...
Es decir que:
X = Número de éxitos en las n-repeticiones del experimento de Bernoulli .
Esta variable así definida es discreta y se llama variable aleatoria Binomial, la cual sigue la ley de probabilidades Binomial, caracterizada por:
Rango de la variable X: nRX ,....,3,2,1,0
X ~ 10 p
Función de cuantía: xnxqp
x
nxpxXP
)()( donde pq 1
Esta distribución se suele denotar como: X ~ B(n, p) donde n y p son co-nocidos como los parámetros de la distribución binomial y vienen a ser n = número de veces que repite el experimento de Bernoulli y p es la probabi-
lidad de éxito en cada repetición dicho experimento.
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 49
Valor esperado: E(X) = np La varianza: V(X) = npq La forma de la función de cuantía depende del valor de p. Así por ejemplo pa-ra una Binomial con n=20 y tres valores de p=0.2, 0.5 y 0.8, tenemos que la función de cuantía es
X
P(X = x) P(X = x) P(X = x)
B(10, 0.20) B(10, 0.50) B(10, 0.80)
0 0.107374182 0.000976563 1.024E-07 1 0.268435456 0.009765625 0.000004096 2 0.301989888 0.043945313 7.3728E-05
3 0.201326592 0.1171875 0.000786432 4 0.088080384 0.205078125 0.005505024 5 0.026424115 0.24609375 0.026424115 6 0.005505024 0.205078125 0.088080384 7 0.000786432 0.1171875 0.201326592 8 7.3728E-05 0.043945313 0.301989888 9 4.096E-06 0.009765625 0.268435456
10 1.024E-07 0.000976563 0.107374182
Σ 1 1 1 Cuyas gráficas son:
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 50
Ejemplo. Sea el experimento aleatorio = Lanzar una moneda legal tres veces sobre una
superficie regular, y deseamos estudiar la variable aleatoria X = Número de caras en dicho
experimento. El experimento de Bernoulli básico es = Lanzar una moneda legal, en donde los
posibles resultados son Ω = C , S, donde C = cara y S = Sello. En este espacio muestral, definimos la variable aleatoria de Bernoulli
1 : Cara (Éxito)
ix
0 : Sello (Fracaso)
Con P(C) = P(X=1) = 0.5 = p y P(S) = P(X=0) = 0.5 = 1 - p
Como el experimento aleatorio se repite tres veces, el espacio muestral debe
ser 3,,,,,csc,,, scssssscscscsssccccsccc ,
Entonces la variable aleatoria X = Número de caras al lanzar tres monedas legales
sobre una superficie regular se puede expresar como:
3
1
321
i
ixxxxX donde, cada ix puede ser 0 ó 1, por lo que el
rango de esta variable será: 3,2,1,0XR
La función de cuantía es:
Rango de la variable X: 3,2,1,0XR
X ~
Función de cuantía: xx
xxpxXP
3)5.01(5.0
3)()(
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 51
Esta función de cuantía genera las siguientes probabilidades:
Ejemplo 2:Una Agencia de Turismo, informa que un puente elevadizo en particular en su ruta, queda levantado bloqueando el tránsito de autos 20% del tiempo. Ud. Ha de pasar un auto por dicha ruta una vez al día en los próximos 7 días, y desea predecir el número de los mismos en que el puente estará en la posición elevada, cuando Ud. se acerque. a. Esta situación se adapta al modelo Binomial de probabilidades?. Explique por qué.
b. Calcule la probabilidad de que el puente se halle levantado cada vez que Ud. se
acerque.
c. Cuál es la probabilidad de que esté en posición elevada exactamente en tres de sus
siete viajes?
d. Calcule la probabilidad de que esté elevado exactamente una vez.
e. Calcule la probabilidad para todos los valores de la variable y grafíquelo.
f. Determine el valor esperado y desviación estándar del número de días en que en-
cuentra el puente elevado.
SOLUCIÓN
a). El experimento de Bernoulli básico es = Transitar en auto una vez al día
en la ruta en la cual existe un puente elevadizo, en donde los posibles resultados son Ω = Elevado, Posición normal. En este espacio muestral, definimos la variable aleatoria de Bernoulli. 1 : Puente elevado (Éxito=E)
ix
0 : Puente no elevado (Fracaso=F)
Con P(E) = P(X=1) = 0.2 = p y P(F) = P(X=0) = 0.8 = 1 – p = q Como el experimento aleatorio se repite siete veces, el espacio mues-
tral debe ser 7, FE ,
Entonces la variable aleatoria X = Número de días a la semana que encuentra el
auto encuentra el puente elevado se puede expresar como:
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 52
7
1
71 ...i
ixxxX donde cada ix puede ser 0 ó 1, por lo que
el rango de esta variable será: 7,...,1,0XR
Esta variable seguirá una distribución Binomial B(7, 0.2), cuya función de cuantía es:
Rango de la variable X: 7,...,1,0XR
X ~
Función de cuantía: xx
xxpxXP
78.02.0
7)()(
b) 000013.08.02.07
7)7()7( 777
pXP
c) 114688.08.02.03
7)3()3( 373
pXP
e) Esta función de cuantía genera las siguientes probabilidades:
P(X = x) P(X ≤ x)
X B(7, 0.20) F(x)
0 0.209715 0.209715 1 0.367002 0.576717 2 0.275251 0.851968 3 0.114688 0.966656 4 0.028672 0.995328 5 0.004301 0.999629 6 0.000358 0.999987 7 0.000013 1
Σ 1
f) E(x) = n.p = 7 x 0.2 = 1.4 veces
0583.112.18.02.07)( npqxDE
La Distribución Binomial también aparece cuando de un lote o población fi-nita de N elementos, de los cuales A de estos elementos poseen una cua-
0.000000
0.100000
0.200000
0.300000
0.400000
0 1 2 3 4 5 6 7
B(7, 0.20)
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 53
lidad específica en estudio y el resto (N–A) no lo poseen, se seleccionan n elementos usando un muestreo con reemplazo, tal que n < A. En este contexto se define la variable aleatoria X = Número de elementos en la mues-
tra que poseen la cualidad específica en estudio. Esta variable sigue una Dis-tribución Binomial con parámetros n y p, donde n es el tamaño de muestra y p es la probabilidad de obtener un elemento que tenga la cuali-dad en estudio en cualquier extracción de los elementos de la muestra, usando un muestreo con reemplazo (p = A/N). M.C.R.
Muestra (n)
Población (N)
Nota: Si el muestreo fuera sin reemplazo pero se tiene la fracción de
muestreo 0N
nf (en la práctica se considera que la fracción de
muestreo tiende a cero cuando 05.0N
nf ) entonces se puede con-
siderar que variable aleatoria X = Número de elementos en la muestra que po-
seen la cualidad específica en estudio, se distribuye aproximadamente como una Binomial con parámetros n y p, donde se asume que p permanece aproximadamente constante debido a que la fracción de muestreo es me-nor al 5% (f < 0.05).
Ejemplo 3: Un fabricante de marcos de ventana sabe por larga experien-cia que el 10% de la producción tendrá algún tipo de defecto que requerirá un ligero reajuste. a) ¿Cuál es el número esperado de marcos defectuosos en la muestra? b). ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 20 marcos de ven-
tana, de un lote de 500: i. Ninguno necesite arreglo?
ii. Por lo menos 1 requerirá arreglo?
iii. Más de 2 requerirá arreglo?
iv. Elabore una gráfica de la función de cuantía.
SOLUCIÓN
Población N = 500 Muestra sin reemplazo n = 20 Fracción de muestreo f = n/N = 20/500 = 0.04 < 0.05 Probabilidad de obtener un marco defectuoso p = 0.10 (Asumimos constante de-
bido a que la fracción de muestreo f < 0.05). Variable aleatoria: X = Número de marcos defectuosos en la muestra
Muestreo
con Reempla-zo X = Número de elementos en la muestra que
poseen la cualidad específica en estudio
~ B(n, p)
Donde p = A/N
A = N° de elementos en la pobla-
ción que tienen la cualidad en estu-
dio
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 54
La distribución de la variable X es una B(20, 0.10), Rango Rx = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …., 20 X ~
xx
xxpXP
209.0.1.0
20)()(
a) Número esperado de defectuosos en la muestra: E(x) = n.p = 20 x 0.1 = 2
b) i. 12157665.09.09.0.1.00
20)0()0( 200200
pXP
ii. 87842335.012157665.01)0(1)1( XPXP
iii. 32307317.067692681.01)2(1)3( XPXP
)2()1()0(1)3( XPXPXPXP
285179807.0270170344.0121576655.01)3( XP
323073195.0676926805.01)3( XP
Distribución B(20, 0.1)
B(20, 0.10)
X P(X = x) P(X ≤ x)
0 0.121576655 0.121576655
1 0.270170344 0.391746998
2 0.285179807 0.676926805
3 0.190119871 0.867046677
4 0.089778828 0.956825505
5 0.031921361 0.988746866
6 0.008867045 0.997613911
7 0.001970454 0.999584365
8 0.000355776 0.999940141
9 5.27076E-05 0.999992849
10 6.44204E-06 0.999999291
11 6.50711E-07 0.999999942
12 5.4226E-08 0.999999996
13 3.70776E-09 1
14 2.05987E-10 1
15 9.15496E-12 1
16 3.1788E-13 1
17 8.3106E-15 1
18 1.539E-16 1
19 1.8E-18 1
20 1E-20 1
Total 1
X ≤ 2
X ≥ 3
P(X ≤ 2)
P(X ≥ 3) = 1-P(X ≤ 2) = 1–0.676926805 = 0.323073195
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 55
2. La distribución Hipergeométrica:
Sea N una población finita formada por un número pequeño de individuos, objetos o medidas, de los cuales una parte A de estos elementos tienen una cualidad que estamos interesados en estudiar. Considere que de esta población se selecciona una muestra aleatoria sin reemplazamiento tama-ño n. M.S.R.
Muestra (n)
Población (N)
Variable aleatoria: X = Número de elementos en la muestra La distribución de la variable X es una B(20, 0.10), Rango: Rx = Máx0, n-(N-A), …., Mínn, A X ~
Función de cuantía
n
N
xn
AN
x
A
xpxXP )()(
Valor Esperado: N
nAXE )(
Varianza:
N
A
N
nA
N
nNXV 1
1)(
Desviación estándar: XVXDE
Muestreo Sin Reemplazo
X = Número de elementos en la muestra que
poseen la cualidad específica en estudio
~ Hipergeométrica:
H(N,A,n)
A = N° de elementos en la población
que tienen la cualidad en estudio
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 56
Ejemplo1 Un profesor tiene 15 preguntas de opción múltiple referente a distribuciones probabilísticas. Cuatro de estas interrogantes se relacionan con la distribución hipergeométrica. Cuál es la probabilidad de que al me-nos una de tales preguntas sobre la distribución hipergeométrica, aparezca en el examen de 5 preguntas del próximo lunes?. Cuál es el número espe-rado y desviación estándar del número de preguntas sobre la distribución hipergeométrica
SOLUCIÓN N = 15 A = 4 n = 5 X = Número de preguntas relacionadas con la distribución hipergeométrica La distribución de X es: RX: 0, 1, 2, 3, 4=A
X ~
5
15
5
114
)()(xx
xpxXP
Se pregunta por: P(X ≥ 1) = ? P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)
8462.01538.01
5
15
05
415
0
4
1)1(
XP
33.13
4
15
45)(
N
nAXE
8357.06984127.063
44
15
41
15
45
115
515
XVXDE
Ejemplo 2. Considere que una población consiste de 15 artículos, 10 de los cuales son aceptables. Se selecciona una muestra de 4.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 sean aceptables?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los 4 sean aceptables?
c) ¿Cuál es la probabilidad de al menos uno sea aceptable?
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 57
SOLUCIÓN N = 15 A = 10 n = 4 X = Número de artículos aceptables en la muestra La distribución de X es: RX: 0, 1, 2, 3, 4 = n
X ~
4
15
4
101510
)()(xx
xpxXP
a) Se pregunta por: P(X = 3) = ?
4396.0
4
15
34
1015
3
10
)3(
XP
b) Se pregunta por: P(X = 4) = ?
1538.0
4
15
44
1015
4
10
)4(
XP
c) Se pregunta por: P(X ≥ 1) = ?
P(X ≥ 1) = 1- P(X = 0)
9963.00037.01
4
15
04
1015
0
10
1)0(1)1(
XPXP
Ejemplo 3. Una florería tiene 15 camiones de reparto que se utilizan prin-cipalmente para entregar flores y arreglos florales en su ámbito de influen-cia. Suponga que 6 de los 15 vehículos tienen problemas con los frenos. Se seleccionaron cinco camiones al azar para probarlos. ¿Cuál es la pro-babilidad de que dos de los vehículos examinados tengan frenos defectuo-sos?.
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 58
SOLUCIÓN N = 15 A = 6 n = 5 X = Número de vehículos con defectos en los frenos. La distribución de X es: RX: 0, 1, 2, 3, 4, 5 = n
X ~
5
15
5
6156
)()(xx
xpxXP
Se pregunta por P(X = 2 ) = ?
41958.0
5
15
3
9
2
6
5
15
25
615
2
6
)2()2(
pXP
3. La distribución de Poisson:
Sea una variable aleatoria X = Número de ocurrencias por unidad de medición (minuto, hora, centímetro, metro cuadrado, etc,) de la cual se conoce la tasa media de ocurrencias por unidad denotada por λ, la cual se mantiene constante du-rante el período de estudio. Esta variable sigue una distribución de Pois-son, la cual debe su nombre a su creador, el Matemático Francés Simenon Poisson (1781–1840). La distribución de Poisson tiene como parámetro a la tasa media de ocurrencias λ, y mide la probabilidad de un evento alea-torio sobre algún intervalo de tiempo o espacio. La distribución de Poisson tiene los siguientes supuestos para su aplicación:
La probabilidad de ocurrencia del evento es constante para dos intervalos
cualesquiera de tiempo o espacio.
La ocurrencia del evento en un intervalo es independiente de la ocurrencia de
otro intervalo cualquiera.
Dados estos supuestos, la distribución puede expresarse como:
Rango: Rx = 0, 1, 2, 3, 4, ….
Función de cuantía !
)()(x
expxXP
x
Número de veces que ocurre el evento Número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o de espacio (o tasa promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o de espacio)
Base del logaritmo natural
:X:
71828.2e
X ~
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 59
Valor esperado: E[x] = λ Varianza : V[x] = λ La forma de esta distribución va cambiando con el valor de su parámetro λ
X P(X: λ =0.8) P(X: λ=2.5) P(X: λ=5) P(X: λ=10)
0 0.44933 0.082084999 0.006737947 4.53999E-05
1 0.35946 0.205212497 0.033689735 0.000453999
2 0.14379 0.256515621 0.084224337 0.002269996
3 0.03834 0.213763017 0.140373896 0.007566655
4 0.00767 0.133601886 0.17546737 0.018916637
5 0.00123 0.066800943 0.17546737 0.037833275
6 0.00016 0.027833726 0.146222808 0.063055458
7 0.00002 0.009940617 0.104444863 0.090079226
8 0.003106443 0.065278039 0.112599032
9 0.000862901 0.036265577 0.125110036
10 0.000215725 0.018132789 0.125110036
11 4.90285E-05 0.008242177 0.113736396
12 0.00343424 0.09478033
13 0.001320862 0.072907946
14 0.000471736 0.052077104
15 0.000157245 0.03471807
16 4.91392E-05 0.021698794
17 0.012763996
18 0.007091109
19 0.003732163
20 0.001866081
21 0.00088861
22 0.000403914
23 0.000175615
24 7.31728E-05
La distribución de probabilidades Poisson a menudo proporciona un buen modelo de la distribución de probabilidad para el número “X” de eventos poco comunes que se presentan en el espacio, tiempo, volumen o cual-quier otra dimensión, donde λ es el valor promedio de “X”. Así tenemos que, esta distribución proporciona un buen modelo de la distribución de probabilidad del número X de accidentes automovilísticos, industriales u
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 60
otra clase de accidentes que ocurren en cierta unidad de tiempo. El núme-ro de llamadas telefónicas que atiende un conmutador en un intervalo, el número de partículas radioactivas que se desintegran en cierto período, el número de errores que una mecanógrafa comete en una cartilla, el número de vehículos que doblan en un sentido específico en una bifurcación de la vía rápida en un intervalo de 10 minutos, son otros ejemplos de variables aleatorias con una distribución aproximada a la de Poisson. Ejemplo 1: Supongamos que estamos interesados en la probabilidad de que exactamente 5 clientes lleguen durante la siguiente hora (o en cual-quier hora dada) laboral. La observación simple de las últimas 80 horas ha demostrado que 800 clientes han entrado al negocio. Por lo tanto λ = 10 clientes por hora.
SOLUCIÓN
X = Número de clientes por hora que ingresan al negocio. E[X] = λ = 10 clientes por hora La distribución puede expresarse como:
Rango: Rx = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …. X ~
Función de cuantía !
10)()(
10
x
expxXP
x
0378.0!5
10)5()5(
510
e
pXP
Otros cálculos
067085.0!5
10)5(
5105
0
e
XPx
93915.0067085.01)5(15 XPXP
78640.013014.091654.06)14(147 XPXPXP
Ejemplo 2. Una compañía de pavimentación local obtuvo un contrato con el municipio para hacer mantenimiento a las vías del centro de la ciudad. Las vías recientemente pavimentadas por esta compañía demostraron un promedio de dos defectos por Km., después de haber sido utilizadas du-rante un año. Si el municipio sigue con esta compañía de pavimentación, ¿cuál es la probabilidad de que se presenten tres defectos en cualquier ki-lómetro de vía después de haber tenido tráfico un año?.
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 61
SOLUCIÓN X = Número de defectos por kilómetro de vía. E[X] = λ = 2 defectos por kilómetro La distribución puede expresarse como:
Rango: Rx = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …. X ~
Función de cuantía !
2)()(
2
x
expxXP
x
1804.0!3
2)3()3(
32
e
pXP
Nota: Si lo que se desea es conocer la probabilidad de que ocurran X eventos en un intervalo de tiempo “t”, múltiplo del intervalo unitario de referencia de λ, entonces la función de cuantía se modifica en su parámetro por λt, que-dando de la siguiente manera. X = Número de eventos por un intervalo de tiempo “t”. E[X] = λt La distribución puede expresarse como:
Rango: Rx = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …. X ~
Función de cuantía !
)()()(
x
texpxXP
xt
Ejemplo 3. Suponga que en el ejemplo anterior sobre los defectos de
pavimentación, deseamos calcular la probabilidad de que se presenten
cinco defectos en un intervalo de tres kilómetros de vía después de ha-
ber tenido tráfico un año.
SOLUCIÓN
X = Número de defectos por cada tres kilómetros de vía. E[X] = λt = 2x3 =6 defectos por cada tres kilómetros La distribución puede expresarse como:
Rango: Rx = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …. X ~
Función de cuantía !
6
!
)32()()(
632
x
e
x
expxXP
xx
16062.0!5
6)5()5(
55
e
pXP
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 62
4. Propiedades de la distribución de Poisson:
a. Si X es una variable con distribución de Poisson con parámetro
λ y Y es otra variable también con distribución de Poisson pero
con parámetro µ, entonces la suma de estas variables generan
una nueva variable Z = X + Y con la misma distribución de Pois-
son, pero con parámetro dado por (λ + µ).
b. Sea Z una variable aleatoria con distribución de probabilidades
Poisson con parámetro λ. Sea “p” una probabilidad de que la va-
riable Z adquiera un atributo particular y “(1-p)” es la probabilidad
de que no lo adquiera, entonces se generan dos variables X y Y
con la misma distribución de Poisson cada una de ellas, pero
con parámetros (pλ) y (1-p)λ respectivamente.
Estas dos características son conocidas como la propiedad de re-
producción de la distribución de Poisson.
Y ~ P( (1-
p)λ )
X ~ P(
pλ)
X :
P(λ)
Y:
P(µ)
Z = X + Y :
P(λ+µ)
Z ~
P(λ)
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 63
Ejemplo: El siguiente gráfico se muestra un flujo de tráfico en una zona
urbana, en donde el número de vehículos que pasan por un punto dado
en un intervalo de tiempo unitario sigue una distribución de Poisson con
sus correspondientes parámetros en cada una de los sectores de las
vías. Estos parámetros son deducidos usando la propiedad de reproduc-
tividad de la Distribución de Poisson.
5. Aproximación de la distribución de Poisson a la Bino-
mial:
Suponga que X es una variable aleatoria Binomial con parámetros n y p,
es decir que pnBX , . Cuando n y 0p tal que el producto
np se mantiene constante, el cual lo denotamos por , es decir que
np ; entonces la distribución Binomial pnB , puede ser suficiente-
mente bien aproximada por la distribución de Poisson con parámetro
np . en la práctica se considera que n cuando 30n y que
0p cuando 05.0p . A continuación se muestra dos ejemplos de la
aproximación Poisson a la Binomial. La única ventaja de usar la distribu-
ción de Poisson en lugar de la Binomial es por facilidad de cómputo.
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 64
λ = 50*0.02= 1
X B(50, 0.02) P(λ=1) 0 0.364170 0.367879 1 0.371602 0.367879 2 0.185801 0.183940 3 0.060670 0.061313 4 0.014548 0.015328 5 0.002732 0.003066 6 0.000418 0.000511 7 0.000054 0.000073 8 0.000006 0.000009 9 0.000001 0.000001 10 0.000000 0.000000
λ = 200*0.03= 6
X B(200, 0.03) P(λ=6)
0 0.002261 0.002479 1 0.013987 0.014873 2 0.043043 0.044618 3 0.087860 0.089235 4 0.133828 0.133853 5 0.162250 0.160623 6 0.163086 0.160623 7 0.139788 0.137677 8 0.104301 0.103258 9 0.068817 0.068838
10 0.040652 0.041303 11 0.021716 0.022529 12 0.010578 0.011264 13 0.004731 0.005199 14 0.001955 0.002228 15 0.000750 0.000891 16 0.000268 0.000334 17 0.000090 0.000118 18 0.000028 0.000039
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 65
19 0.000008 0.000012 20 0.000002 0.000004
Por lo tanto es fácil deducir que para las condiciones especificadas ante-
riormente de una distribución Binomial, podría utilizarse la Distribución de
Poisson como una distribución aproximada, con la cual se obtendrán pro-
babilidades suficientemente próximas a su valor verdadero Binomial.
Ejemplo: Un vendedor de productos electrónicos espera que el 2% de las
unidades vendidas fallen durante el período de garantía. Se hace un se-
guimiento de 500 unidades independientes para determinar su desempeño
durante el tiempo de garantía.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las unidades fallen du-
rante el período de garantía?
b) Cuál es el número esperado de unidades que fallan durante el pe-
ríodo de garantía?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen más de dos unidades durante
el período de garantía?
SOLUCIÓN
X = Número de unidades que fallan en periodo de garantía.
n = 500 : Número de unidades en el período de garantía
p = 0.02 : Probabilidad de que una unidad falle en el período de garantía
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 66
La distribución verdadera de X ~ B(500, 0.02), Como n y 0p ,
Entonces se puede usar la distribución de Poisson como una distribución
aproximada, así: X ~ Poisson con 1002.0500 np
Por lo tanto:
a) 000045.0!0
)10()0(
010
e
XP
El valor de esta probabilidad con su distribución verdadera es
000041.0)98.0()02.0(0
500)0( 5000
XP
La ventaja de usar la distribución aproximada es solamente por facilidad
de cómputo.
b) 1002.0500 npXE
c) !
)10(121)2(
102
0 x
eXPXP
x
x
002270.0000454.0000045.01)2( XP
002769.01)2( XP
997231.0)2( XP
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 67
Laboratorio 5
1. En una encuesta sobre corretaje reporta que el 30% de los inversio-
nistas individuales ha utilizado a un corredor de descuento; esto es,
uno que no cobra las comisiones completas. En una muestra selec-
cionada al azar de nueve inversionistas, ¿Cuál es la probabilidad de
que:
a. Exactamente dos de los individuos de la muestra hayan emplea-do a un corredor de descuento?
b. Exactamente cuatro de ellos hayan utilizado a un corredor de es-te tipo?.
c. Entre tres y cinco individuos inclusive hayan utilizado a un corre-dor de este tipo?
d. Más de cinco individuos hayan utilizado un corredor de este tipo?
2. Un estudiante debe obtener por lo menos el 60% de respuestas co-
rrectas en un examen con 18 preguntas diseñadas cada con dos al-
ternativas de verdadero o falso. Si el estudiante lanza una moneda
para determinar la respuesta a cada pregunta, ¿Cuál es la probabili-
dad de que el estudiante pase?
3. Como subgerente de una empresa de materias primas Ud. debe
contratar a 10 personas entre 30 candidatos, 22 de los cuales tienen
título universitario. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de los que Ud.
contrate tengan título universitario?
4. De los 15 altos ejecutivos de un negocio de importaciones y exporta-
ciones, se seleccionan 12 para ser enviados a Japón a estudiar un
nuevo proceso de producción. Ocho de los ejecutivos ya tienen algo
de entrenamiento en el proceso. ¿Cuál es la probabilidad de que
cinco de los enviados tengan algo de conocimiento sobre el proceso
antes de partir para el lejano oriente?
5. A un conmutador de la oficina principal de una empresa llegan lla-
madas a un promedio de dos por minuto y se sabe que tienen distri-
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 68
bución de Poisson. Si el operador está distraído por un minuto, cuál
es la probabilidad que el número de llamadas no respondidas sea:
a. ¿Cero?, b) ¿por lo menos una? Y c)¿Entre tres y cinco inclusive?
6. Un proceso de fabricación utilizado para hacer artefactos plásticos
Incas presentan una tasa de defectuosos de 5 por cada 100 unida-
des. Las unidades se envían a los distribuidores en lotes de 200. Si
la probabilidad de que más de tres salgan defectuosos supera el 0.3,
Ud. planea vender en su lugar, camisetas Gratefull Dead. ¿Cuál ar-
tículo agregará ud. al inventario?
7. Usted compra partes para bicicleta de un proveedor en Lima que tie-
ne tres defectos por cada 100 partes. Ud. está en el mercado para
comprar 150 partes pero no aceptará una probabilidad de más de
0.50 de que más de dos partes sean defectuosas. ¿Ud. le comprará
a dicho proveedor?
8. La cantidad promedio de automóviles que pasan por un túnel es de
uno cada periodo de 2 minutos. El paso de muchos vehículos en un
período breve hace que sea peligroso recorrerlo. Determine la pro-
babilidad de que el número de automóviles que pasan por allí duran-
te un período de 2 minutos sea superior a tres.
9. Un vendedor descubre que la probabilidad de hacer una venta en
una sola entrevista con clientes es de 0.03 aproximadamente. Si se
acerca a 100 posibles clientes, ¿cuál es la probabilidad de hacer por
lo menos una venta?
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 69
6. La distribución Exponencial:
La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométri-ca discreta. Esta ley de distribución describe procesos en los que:
Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que, el tiem-po que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada.
Ejemplos de este tipo de distribuciones son:
El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento de la ley que sigue este evento se utiliza en Ciencia para, por ejemplo, la datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14, C14;
El tiempo que puede transcurrir para la llegada de un cliente a una estación de servicio como por ejemplo, Tiempo entre llegadas de buses a un grifo de gasolina.
En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial. Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre dos llegadas de clientes a una ventanilla.
Concretando, si una v.a. continua T distribuida a lo largo de , es tal que su función de densidad es
TeTf )( para todo 0 y 0T
Se dice que sigue una distribución exponencial de parámetro , )(ExpT .
Un cálculo inmediato nos dice que si x > 0,
xx x
tt eedtexXPxF 1)()(0 0
]
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 70
luego la función de distribución es:
Valor esperado: E(X):
1)( TE
Varianza V(X): 2
1)(
TV
1. Ejemplo
Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de empresas individuales de res-
ponsabilidad limitada (EIRL) sigue una distribución exponencial con una media o valor
esperado igual a: E(T) = 16 años.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que a una de estas empresas tenga un tiempo de vida
menor a 20 años?
b. Si la empresa lleva funcionando normalmente 5 años, ¿cuál es la probabilidad de
que función menos de 25 años?
Solución: Sea T la variable aleatoria que mide la duración de la empresa. Tenemos que
Entonces
En segundo lugar
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 71
Luego como era de esperar, por ser propio a un mecanismo exponencial,
o sea, en la duración que se espera que tenga el objeto, no influye en nada el tiempo que
en la actualidad lleva funcionando. Es por ello que se dice que ``la distribución exponen-
cial no tiene memoria".
Ejem 2: Considerando que en el proceso de llegadas de pasajeros a un parade-
ro de transporte urbano, el tiempo ente dos llegadas consecutivas es una variable con distribución exponencial; Se sabe que el valor esperado de este tiempo entre llegadas es de 4 minutos, encontrar la probabilidad de que:
a) No lleguen pasajeros en un intervalo de 5 minutos
b) No lleguen pasajeros en un intervalo de 8 minutos
Ejem. 3 Considerando que en el proceso de llegadas de buses a un paradero
de transporte urbano, el tiempo ente dos llegadas consecutivas es una variable con distribución exponencial; Se sabe que el valor esperado de este tiempo entre llegadas es de 5 minutos.
a) Encuentre la probabilidad de que no lleguen buses en un intervalo de 8
minutos
b) Suponga que Ud. llega al paradero justo cuando acaba de salir el último
bus y al preguntar al controlador de la empresa de buses, éste le informa
que el valor esperado de tiempo entre llegada de buses es de 5 minutos.
Ud. se forma una expectativa que el próximo bus tardará 5 minutos en lle-
gar al paradero y si no llega en este tiempo Ud. empieza a mortificarse.
¿Cuál es la probabilidad que se sienta mortificado?
c) Con relación a la parte (b), ¿Cuál es el tiempo entre llegadas de buses,
que debe indicar el controlador de la empresa, a los pasajeros que como
Ud. llegan justo cuando acaba se salir el último bus, para que solo el 10%
de pasajeros se puedan sentir mortificados?
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 72
7. Distribución Normal
1. Distribución normal o campana de Gauss-Laplace
Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, jus-tificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenóme-nos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.
En resumen, la importancia de la distribución normal se debe prin-cipalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal
Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plan-
tas,...) de una especie, p.ejm. tallas, pesos, diámetros, períme-tros,... )
Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono.
Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen.
Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,...
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. Valores estadísticos muestrales, por ejemplo : la media. Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproxima-
ciones normales, ...
Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores.
FUNCIÓN DE DENSIDAD
El modelo de la función de densidad que corresponde a la distribu-ción normal viene dado por la fórmula de Gauss:
2
2
2
2
1)(
x
exf
Donde:
media
...14159265.3
estándarDesviacion
...718281828.2e
Varianza2
aleatoriaiablex var
La representación gráfica de esta función de densidad es:
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Manuel Hurtado Sánchez 73
Propiedades de la función de densidad Normal
i. Rango de X: Conjunto de los números reales
ii. La función de densidad tiene un máximo en :
2
1,
iii. Dos puntos de inflexión: en X y X
iv. Es asíntota El eje horizontal X v. Simétrica respecto a la media
vi. Numéricamente coinciden MoMe
vii. Aproximadamente: 6827.0)( XP
9545.0)22( XP
9973.0)33( XP
viii. Monotonía: creciente ),( , decreciente ),(
ix. Es siempre positiva 0)( xf
La distribución normal queda definida por dos parámetros, su media
y su varianza y la representamos así N( μ, σ2). Para cada valor de
μ y σ2 tendremos una función de densidad distinta, por lo tanto la ex-
presión N(μ, σ2) representa una familia de distribuciones norma-
les.
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Manuel Hurtado Sánchez 74
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
La función de distribución está definida por:
dtexFxXP
tx 2
2
2
2
1)()(
Tiene las siguientes propiedades de la función de distribución:
1. F(x) es continua
2. F(x) es monótona no decreciente.
3. F(-∞) = 0 y F(+∞) = 1
F(x) es el área sombreada de esta gráfica
TIPIFICACIÓN ESTANDARIZACIÓN
Si la variable X es ),( N entonces la variable tipificada de X es 0
XZ y
sigue también una distribución normal pero con 0 y 1 , es decir )1,0(N
Por tanto su función de densidad es
zezfz
;2
1)( 2
2
y su función de distribución es
Estadística y Probabilidad
Manuel Hurtado Sánchez 75
dtezfzZPzFt
t2
2
2
1)()()(
siendo la representación gráfica de esta función
a la variable Z se la denomina variable tipificada de X, y a la curva de su función de densidad curva normal tipificada o estandarizada.
Característica de la distribución normal tipificada (reducida, estándar)
No depende de ningún parámetro Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1. La curva f(z) es simétrica respecto del eje OY
Tiene un máximo en este eje e igual a: 2
1
Tiene dos puntos de inflexión en z =1 y z = -1
Cálculo de probabilidades usando la Distribución Normal estándar :
1° Caso: Dado el evento, encontrar una probabilidad: Sea X una variable aleatoria con distribución normal con media 10 y varianza 4, calcule la probabilidad de los siguientes eventos: (Note que µ = 10 y σ2 = 4 y σ
= 2)
a. P(X<13.5) b. P(X< 9.5) c. P(10.5 < X < 14.5) d. P(8 < X < 12) e. P(6 < X < 14) f. P(|X-µ| < 2) g. P(|X-µ| < 4)
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Manuel Hurtado Sánchez 76
h. P(|X-µ| < 6)
DESARROLLO
a.
2
105.13)5.13(
XPXP
75.1 ZP
= 0.959941
b.
2
105.9)5.9(
XPXP
25.0 ZP
= 0.401294
Si no se tiene una tabla de la normal estándar para valores negativos de Z, se puede aprovechar la simetría de la distribución del siguiente modo:
25.0 ZP
25.01 ZP
= 1 – 0.598706
= 0.401294
c.
2
105.14
2
105.10)5.145.10(
XPXP
25.225.0 ZP
)25.0(25.2 ZPZP
= 0.987776 - 0.598706
= 0.389069
d.
2
1012
2
108)128(
XPXP
11 ZP
)1(1 ZPZP
= 0.841345 - 0.158655
= 0.682689
e.
2
1014
2
106)146(
XPXP
22 ZP
)2(2 ZPZP
= 0.977250 - 0.022750
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Manuel Hurtado Sánchez 77
= 0.954500
f.
2
2)2|(|
XPXP
1 ZP
)1(1 ZPZP
= 0.841345 - 0.158655
= 0.682689
g.
2
4)4|(|
XPXP
2 ZP
)2(2 ZPZP
= 0.977250 - 0.022750
= 0.954500
h.
2
6)6|(|
XPXP
3 ZP
)3(3 ZPZP
= 0.998650 - 0.001350 = 0.997300
2° Caso: Dado la probabilidad, encontrar los límites del evento:
Aproximación de la Binomial por la Normal (Teorema de De Moivre) :
Demostró que bajo determinadas condiciones (para n grande y tanto p como q no estén próximos a cero) la distribución Binomial B(n, p) se puede aproximar me-diante una distribución normal con media np y varianza npq.
Esto es:
Si tal que n y 5.0p con 5np entonces
Y, por tanto la variable
MoivredeTeoremaNunaesnpq
npXZ
)1,0(
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Manuel Hurtado Sánchez 78
Debemos tener en cuenta que cuanto mayor sea el valor de n, y cuanto más pró-ximo sea p a 0.5, tanto mejor será la aproximación realizada. Es decir, basta con que se verifique
gracias a esta aproximación es fácil hallar probabilidades binomiales, que para valores grandes de n resulten muy laboriosos de calcular.
Hay que tener en cuenta que para realizar correctamente esta transformación de una variable discreta (binomial) en una variable continua (normal) es necesario hacer una corrección de continuidad agregando o restando 0.5 según convenga para un evento específico, tal como se puede apreciar en los siguientes gráficos.
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MANEJO DE TABLAS. CASOS MÁS FRECUENTES.
La distribución de la variable Z se encuentra tabulada
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a. Aplicaciones de la distribución normal
Ejemplos:
Los niveles de rendimiento de un proceso productivo diario se distribuyen normalmen-
te con = 200 y = 20. Si de esta población se selecciona un día al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que tenga un valor entre 170 y 230?
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Manuel Hurtado Sánchez 81
p(170 < x < 230) = ?
Se transforman o estandarizan los valores de xi en términos de z.
5.120
200170z170
5.120
200230z230
Luego: p(170 < x <230) = p (-1.50 < z < 1.50)=?.
De la tabla:
p(-1.50 < z < 1.50) = 0.0668 + 0.9332 = 0.8664
La probabilidad de que en un día seleccionado al azar el nivel de rendimiento
del proceso productivo este entre 170 y 230, es de 0.8664
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Laboratorio 6 1. A partir de la información sobre tiempos de servicio: con media 5 minutos y una
desviación estándar de 1.5 minutos.
a. El 95 por ciento de los clientes, alrededor de la media, ¿entre qué tiempos de
servicio se encuentran?
b. El 90 por ciento de los clientes, alrededor de la media, ¿entre qué tiempos de
servicio sen encuentran?
c. El 99 por ciento de los clientes, alrededor de la media, ¿entre qué tiempos de
servicio sen encuentran?
2. La resistencia a la compresión de una serie de muestras de cemento puede mode-
larse con una distribución normal con media 6000 Kgr. por centímetro cuadrado, y
una desviación estándar de 100 Kgr. por centímetro cuadrado.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que
6250 Kgr./cm2?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre
entre 5800 y 5900 Kgr./cm2?
c. ¿Cuál es el valor de la resistencia que excede el 95% de las muestras?
3. La resistencia a la tracción de un papel está moldeada por una distribución normal
con media 35 Lib/pulg2
a. Cuál es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que
40 Lib/pulg2?
b. Si las especificaciones requieren que la resistencia sea mayor que 30
Lib/pulg.2, ¿qué proporción de muestras será desechada?
4. El volumen que una máquina de llenado automático deposita en latas de una bebida gaseo-
sa tiene una distribución normal con media 12.4 onzas de líquido y desviación estándar de
0.1 onzas de líquido.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el volumen depositado sea menor que 12 onzas de
líquido?
b. Si se desechan todas la latas que tienen menos de 12.1 o más de 12.6 onzas de lí-
quido, ¿cuál es la proporción de latas desechadas?.
c. Calcule especificaciones que sean simétricas alrededor de la media, de modo que
se incluya al 99% de todas la latas?
5. El tiempo de reacción de un conductor a un estímulo visual tiene una distribución
normal con media 0.4 segundos y una desviación estándar de 0.05 segundos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el conductor reaccione en más de 0.5 se-
gundos?
b. ¿Cuál es la probabilidad que el tiempo de reacción esté entre 0.4 y 0.5 se-
gundos?
c. ¿Cuál es el tiempo de reacción que se espera exceder el 90% de la veces?
6. Un proceso de fabricación de chips produce 2% de chips defectuosos. Suponga que
los chips son independientes y que un lote contiene 1000 de ellos.
a. Obtenga la probabilidad de que el lote contenga entre 20 y 30 chips defec-
tuosos.
b. Obtenga la probabilidad de que el lote contenga exactamente 20 chips de-
fectuosos.