Universidad de Chile

Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas

Departamento de Ingenierıa Matematica

MA2G1 - Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Guıa Semana 15

Ejercicios (Seccion 6.5):

1. Enuncie y demuestre el teorema de estabilidad por funciones de Liapunov en Rn

(en el apunte se hizo para n = 2).

2. Diga si es posible encontrar una funcion de Liapunov estricta para el sistema{

x′ = −y

y′ = −x

en torno al origen.

3. Verifique que V (x, y) = x2 + 2y2 es funcion de Liapunov para el sistema{

x′ = −x + y3

y′ = −2y + x2

en torno al origen. Diga si es estricta.

4. Determine los valores de α > 0 para los cuales V (x, y) = αx2 +y2 es una funcionde Liapunov para el sistema

{

x′ = −3x + y

y′ = x − 3y

en torno al origen. ¿Cuando no es estricta?

5. Encuentre una funcion de Liapunov estricta y una que no sea estricta para{

x′ = −3x + 5y

y′ = −x + y

en torno al origen. Se recomienda estudiar primero el sistema linealizado.

6. Encuentre una funcion de Liapunov estricta en torno al origen para el sistema

x′ = −3x − y + z + yz

y′ = x + y − z + xz

z′ = 2x + 4y − 4z − y2.

7. Sea F (x) = xx. Demuestre que limt→∞

x(t) = e−1 para cualquier solucion x(t) de

la ecuacion diferencial

dx

dt= −

d

dxF (x) con x(1) > 0.

8. Una funcion Φ : Rn → R es convexa si Φ(αX +(1−α)Y ) ≤ αΦ(X)+(1−α)Φ(Y )

siempre que X, Y ∈ Rn y α ∈ (0, 1). En todo lo que sigue Φ es una funcion convexa

y de clase C1. Denotamos por S el conjunto (quiza vacıo) de los puntos donde Φalcanza su mınimo.

(1) Compruebe que el conjunto S es convexo. Es decir, si X, Y ∈ S entoncesαX + (1 − α)Y ∈ S para todo λ ∈ (0, 1).

(2) Demuestre que para todos X, Y ∈ Rn se tiene que

〈∇Φ(X) −∇Φ(Y ), X − Y 〉 ≥ 0.

(3) Verifique que S = { X ∈ Rn | ∇Φ(X) = 0 }. En palabras, Φ alcanza su

mınimo en aquellos puntos donde ∇Φ se anula.(4) El metodo del gradiente se utiliza para encontrar minimizadores de una

funcion convexa y se basa en el estudio del sistema{

X ′(t) = −∇Φ(X(t))X(0) = X0,

con X0 ∈ Rn. Si X(t) es una solucion del sistema, calcule d

dtΦ(X(t)).

(5) Pruebe que si Φ alcanza su mınimo en un unico punto, este debe ser unpunto crıtico asintoticamente estable del sistema.

(6) Demuestre que, por el contrario, si S contiene mas de un punto, entoncescada punto de S es estable, pero ninguno es asintoticamente estable. Para laestabilidad (y tambien para las preguntas que siguen) le sera util probar quesi X∗ ∈ S y X(t) es solucion del sistema entonces d

dt‖X(t))−X∗‖2 ≤ 0 para

todo t, lo que indica que la distancia entre el vector de estado y cualquierpunto de S es decreciente.

(7) Probaremos ahora que toda solucion del sistema converge cuando t → ∞.a) Pruebe que si X∗ ∈ S y X(t) es solucion del sistema entonces existe

limt→∞ ‖X(t) − X∗‖. Recuerde que en R toda funcion decreciente yacotada inferiormente tiene un lımite cuando t → ∞.

b) Observe que toda solucion X(t) se mantiene acotada. Recordando queque en R

n toda sucesion acotada tiene algun punto de acumulacion,use la parte a) para demostrar que X(t) converge a algun X∗ ∈ Scuando t → ∞.