principios de transferencia de masa 2a ed. r.lobo-1

PRINCIPIOS DE TRANSFERENCIA DE MASA

Segunda Edicin

Ricardo A. Lobo Oehmichen Universidad Autnoma Metropolitana

Unidad Iztapalapa

Enero de 2007

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A Yakun

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Prlogo a la segunda edicin Han pasado 10 aos desde la primera edicin de este texto. Ciertamente el campo de la transferencia de masa ha avanzado considerablemente, si bien sus fundamentos bsicos permanecen casi inalterados. En este tiempo, los estudiantes y los colegas se han encargado de mostrar las carencias y fortalezas de este texto; al escribir esta segunda edicin, he procurado mantener stas y remediar aqullas. Esta segunda edicin es una revisin mayor de la primera. La crtica ms frecuente al texto por parte de los estudiantes ha sido la falta de ms ejemplos y problemas, cuestin que espero haber corregido a satisfaccin en esta edicin. De parte de los colegas, se me ha sealado la necesidad un mayor formalismo y de la inclusin de ciertos tpicos, con el objeto de que el estudiante aprecie que el campo de estudio y aplicaciones de la transferencia de masa es ms amplio de lo que se presenta y se aliente a profundizar en l. He tratado de atender estas observaciones y el resultado est en el texto. En lo que sigue, describir brevemente los principales cambios. Se ha revisado y extendido el tratamiento de los siguientes temas: (a) difusin con reaccin qumica; (b) difusin en rgimen transitorio, donde se ha redactado un nuevo captulo; (c) difusin y conveccin en flujo laminar; (d) transporte simultneo de calor y masa; (e) las ecuaciones de cambio, donde se ha introducido un captulo completo dedicado a ellas; (f) transferencia de masa interfacial, donde ahora se presentan y explican con detenimiento las correlaciones del coeficiente de transferencia de masa y se ha extendido la discusin sobre coeficientes globales; (g) consideraciones sobre fluo turbulento; y (h) balances macroscpicos, donde se han desarrollado ms modelos de aplicaciones. Tengo confianza en que el texto que ahora se presenta ha mejorado sobre el anterior. Estoy muy agradecido con XXX, YYY, ZZZ por sus valiosos comentarios al presente texto; naturalmente, los errores que quedan siguen siendo mos. Tambin debo agradecer a mis colegas y amigos Alberto Ochoa Tapia, Toms Viveros Garca, Eduardo Prez Cisneros y Jos Antonio de los Reyes su apoyo y estimulantes discusiones. Finalmente, debo reconocer a la Universidad Autnoma Metropolitana por el ao sabtico durante el cual esta edicin del texto fue preparada.

Ricardo A. Lobo Oehmichen Enero de 2007

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Prlogo para el estudiante Los procesos de transferencia de masa estn presentes donde quiera que miremos. Podemos decir que estos procesos fueron una "invencin" de la naturaleza para la realizacin de una gran diversidad de funciones. La respiracin y la absorcin de nutrientes son, entre otras, funciones biolgicas de transferencia de masa. En la inhalacin, por ejemplo, transferimos aire del medio ambiente a nuestros pulmones, donde el oxgeno es capturado por la sangre, y transportado por sta a todo nuestro organismo para la realizacin de las funciones celulares. Al propio tiempo, la sangre recoge dixido de carbono de las clulas y lo transporta hasta los pulmones, de donde es expelido de nuestro cuerpo en la exhalacin. Podramos multiplicar casi sin lmite los ejemplos de procesos de transferencia de masa que rodean nuestras vidas. En su utilizacin de los procesos de transferencia de masa, la humanidad no ha hecho otra cosa que "imitar" a la naturaleza. En un principio, la mera observacin emprica condujo al uso de estos procesos para satisfacer innumerables necesidades, desde la creacin del fuego, hasta la elaboracin de alimentos, vestido, metales, cerveza, perfumes, etc, pasando por la invencin de la agricultura. Sin embargo, no fue hasta el siglo pasado cuando se comenzaron a sentar las bases para el entendimiento racional de los procesos de transferencia de masa. Las ideas modernas sobre stos comienzan a surgir con los experimentos de Graham en los aos de 1828 a 1833 y, notablemente, a partir de los trabajos de Adolf Fick publicados en 1855. El empleo intencionado y controlado por el hombre de la transferencia de masa es principalmente una creacin del presente siglo. El surgimiento de las modernas industrias qumica y bioqumica mucho deben a los conocimientos cientficos y empricos acumulados en este campo. Hoy en da, los principios de transferencia de masa tambin se aplican en la industria electrnica para la fabricacin de microchips; en la investigacin para dilucidar los mecanismos de funcionamiento de los seres vivos; y para entender la accin de las medicinas que ingerimos cuando enfermamos, entre otros usos. Como ingenieros de la transformacin de la materia, nos es esencial conocer los procesos de transferencia de masa. Contra la creencia de algunos, el tema no es difcil ni tiene por qu hacerse difcil. La transferencia de masa es uno de los temas ms asequibles en cuanto su significado fsico, ya que constituye una aplicacin ms de la ley de la conservacin de la materia. He escrito este pequeo texto con la intencin de hacer una introduccin clara y sencilla de este fascinante tema. No es un libro para expertos, sino para quienes se inician en el campo de la transferencia de masa. En mi experiencia, el "secreto" para aprender transferencia de masa es, valga la expresin, pensar fsicamente y razonar en trminos lgicos y sencillos. En el diseo del libro y de

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cada captulo he procurado ir de lo simple* a lo complejo. El contenido del texto se basa en unos pocos conceptos con ayuda de los cuales se puede analizar y resolver una gran variedad de problemas; de hecho, la mayora de las secciones del texto estn dedicadas al anlisis de situaciones problemticas tpicas. La solucin de problemas diversos es indispensable para aprender transferencia de masa, en vista de que no existen reglas que se puedan seguir mecnicamente para resolverlos. Cuanto ms te ejercites en la solucin de problemas, ms comprensibles te sern los principios y la forma de aplicarlos. Para este fin, he incluido una seccin de problemas al final de cada captulo. Te recomendara, adems, una constante revisin de conceptos. Para ello, te puedes apoyar en las preguntas que aparecen al final de los captulos. A lo largo del texto aparecen diversas referencias bibliogrficas. Mi propsito al incluirlas ha sido, adems de reconocer las contribuciones de otros, revelarte dnde se puede profundizar en los temas. Notars que muchas de ellas son de fechas lejanas y algunas, por desgracia, difciles de conseguir en nuestras bibliotecas. Sin embargo, su inclusin tiene el propsito de darte una perspectiva histrica mnima del surgimiento de los conceptos y paradigmas que utilizamos hoy en da; adems, en muchas ocasiones la lectura de los artculos originales es ms esclarecedora que la versin de quienes hacemos las citas. La investigacin ciertamente ha avanzado mucho desde el surgimiento de las ideas fundamentales, pero el progreso ha estado sustancialmente apoyado en esos monumentos intelectuales. Notars que a menudo aparecen en el texto referencias a otras partes de l. stas son importantes para que recuerdes conceptos, te enteres de que hay ms que analizar sobre el punto y relaciones informacin. Tambin observars que existen constantes comparaciones entre los resultados de un caso y los de otro. Contrastar es un importante medio para descubrir semejanzas, diferencias, alcances y lmites, ya sea de una situacin fsica, un principio, un mtodo o un resultado. Con frecuencia, mis estudiantes se interrogan sobre la relevancia de los temas y los sistemas que analizamos. A veces todo parece muy terico, muy abstracto o intrascendente en trminos de la "vida real". Creo que ste es un cuestionamiento legtimo que merece responderse. Los temas son abstractos en un solo sentido: captan aspectos esenciales de los sistemas reales. Mediante nuestra capacidad de abstraer, elaboramos en nuestro pensamiento un modelo de la realidad que nos ayuda a conocerla, y este conocimiento puede servirnos para transformarla. A travs de la abstraccin, el anlisis y la sntesis captamos las diferencias y semejanzas entre los sistemas ms diversos y podemos ver, por ejemplo, que la formacin de una capa de xido en un metal es semejante en varios aspectos al teido de una tela de lana. As pues, los sistemas que analizaremos representan situaciones que pueden generalizarse a una gran variedad de problemas.

* The most simple, is the most overlooked ( lo ms simple es lo que ms se pasa por alto), sola decir L.B. Sand, un querido profesor mo. Creo que tena toda la razn.


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Cuando se trata de cuantificar, es inevitable el uso de modelos matemticos. En el texto he omitido los detalles de la solucin matemtica de los problemas. No abogo por el descuido de las matemticas, sino por concentrar la atencin en la fsica de los problemas y en la interpretacin de los resultados que nos proporciona la solucin matemtica de los modelos. He supuesto que tienes un conocimiento adecuado de clculo diferencial e integral, as como de ecuaciones diferenciales ordinarias. Aunque en algunas secciones se usan ecuaciones diferenciales parciales y elementos de clculo vectorial, lo ms importante es comprender su significado y la necesidad de formular y resolver los problemas en esos trminos. Para apoyarte un poco en las matemticas, he incluido un apndice con la solucin de algunas ecuaciones diferenciales que aparecen en el texto. Tambin he supuesto que tienes antecedentes de termodinmica de soluciones y, en algunas secciones, que has cursado mecnica de fluidos y transferencia de calor. Los temas tratados aqu son "clsicos" y pueden encontrarse en una diversidad de textos, varios de ellos excelentes. Muchos de quienes nos hemos dedicado al tema de transferencia de masa hemos aprendido de ellos, los seguimos consultando y continuamos descubriendo nuevas cosas. Creo que t deberas hacer lo mismo. Sin embargo, con cierta frecuencia estos textos reflejan demasiado sucintamente los valiosos y ricos puntos de vista de uno o varios profesionales en la materia, pero al estudiante le resultan difciles de comprender por estar apenas inicindose en ella. No creo que haya que insultar la inteligencia del estudiante con superficialidades, sino reconocer que es necesario explicar con ms detalle algunos puntos. Por lo dems, no todos los estudiantes seguirn una carrera de investigacin como para pretender cubrir una gran variedad de temas que, si bien son importantes, no pertenecen a un curso introductorio. Me he concentrado en seleccionar los temas que considero bsicos por s mismos y para abordar posteriormente temas ms avanzados. En la redaccin de esta segunda edicin he intentado mejorar la presentacin de varios temas y aclarar algunas de las dudas ms comunes que surgen en el saln de clases o en las asesoras. Muchas de estas dudas me han llevado a revisar mis concepciones y mi manera de transmitirlas. Por ello, estoy muy agradecido con mis estudiantes. En justa retribucin, al revisar este libro he tratado de ponerme en su lugar; ojal lo haya logrado, al menos parcialmente.


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ndice Prlogo para la segunda edicin.....v Prlogo para el estudiante vii Lista de smbolos....xvii CAPITULO1. CONCEPTOS BASICOS....1 1.1 Por qu estudiar transferencia de masa ?........................................................................3

A. Procesos de separacin...3 B. Ingeniera de reacciones.6

1.2 Mecanismos de transporte de masa...9 1.3 Descripcin cuantitativa de la difusin...12 1.4 Ley de Fick..14 1.5 El coeficiente de transferencia de masa..17 1.6 Fenmenos de transporte.20 Recapitulacin ...22 Revisin de conceptos...23 Problemas..24 CAPITULO 2. DIFUSION27 2.1 Difusin en estado estacionario en una pelcula estancada.28

Ejemplo 2.1-1. Convencin de signos para los balances de masa diferenciales.....35 Ejemplo 2.1-2. Difusin en una placa porosa. Coeficiente de difusin efectivo....38 Ejemplo 2.1-3. Evaporacin de una mezcla binaria lquida hacia una pelcula estancada de aire..39

2.2 Difusin en estado estacionario a travs de una pelcula cilndrica41 2.3. Difusin en estado estacionario en una pelcula esfrica...46 2.4 Difusin en una pelcula con disolucin del soluto en las fronteras...51

A. Contacto entre fases que contienen al menos dos componentes, uno de ellos en comn.......51 B. Contacto entre un compuesto puro y una fase con al menos 2 componentes...55 Ejemplo 2.4-1. Obtencin del coeficiente de particin a partir de datos de equilibrio.....56 Ejemplo 2.4-2. El coeficiente de particin en diversas unidades................................57 Ejemplo 2.4-3. Absorcin de SO2 en agua.....58 Ejemplo 2.4-4. Disolucin de cido benzico en agua...61

2.5 Difusin en una membrana con conveccin en una frontera..62 2.6 Difusin y reaccin qumica homognea69


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Ejemplo 2.6-1. Difusin y reaccin qumica en una partcula cataltica porosa.......75 Ejemplo 2.6-2. Efecto de la conveccin externa sobre una reaccin en un catalizador slido poroso.....81

2.7 Introduccin al anlisis de orden de magnitud84 A. Anlisis de orden de magnitud.84 B. Escalas y escalamiento.87 C. Escalas para funciones desconocidas...91

Recapitulacin..............................................................................94 Revisin de conceptos...95 Problemas..96 CAPITULO 3. DIFUSION EN REGIMEN TRANSITORIO..101 3.1 Difusin en una pelcula en rgimen transitorio...102

Ejemplo 3.1-1. Anlisis de orden de magnitud y escalamiento de la ecuacin de difusin..107

3.2 Difusin en un medio seminfinito.110 Ejemplo 3.2-1. Contaminacin de un lago por benceno...116

3.3 Difusin en rgimen pseudo-estacionario.117 3.4 Remocin de un soluto sin resistencia externa a la transferencia de masa...124

Ejemplo 3.4-1. Remocin de un soluto de una placa....128 3.5 Remocin de un soluto con resistencia externa en rgimen transitorio130

Ejemplo 3.5-1. Desorcin de un soluto con resistencia externa a la transferencia de masa..138

3.6 Remocin de un soluto con resistencia externa en coordenadas radiales138 A. Esfera..139 B. Cilindro...142

Recapitulacin.146 Revisin de conceptos.146 Problemas147 CAPITULO 4. DIFUSION Y CONVECCION..149 4.1 Separacin de la difusin y la conveccin150 4.2 El flux total de masa en trminos de diversas concentraciones y velocidades

de referencia.....155 Ejemplo 4.2-1. Clculo de velocidades promedio......160 Ejemplo 4.2-2. Clculo de concentraciones, velocidades de difusin y fluxes......161

4.3 Diferentes tipos de fluxes y de la ley de Fick para sistemas binarios...163 Ejemplo 4.3-1. Equivalencia entre diferentes formas de la ley de Fick....165

4.4 Difusin y conveccin a travs de una pelcula estancada en estado estacionario...167 Ejemplo 4.4-1. Magnitud relativa del flux total y el flux difusivo, dependiendo del grado de concentracin de la solucin....172 Ejemplo 4.4-2. Determinacin del coeficiente de difusin de un vapor. Anlisis de pseudo-estado estacionario.......173


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4.5 Contradifusin...173 A. Contradifusin equimolar...173 B. Contradifusin no-equimolar..175 Ejemplo 4.5-1. Estimacin del tiempo de consumo de una partcula debido a una reaccin. La hiptesis de pseudo estado estacionario...................................................178 Ejemplo 4.5-2. La hiptesis de pseudo-estado estacionario en la estimacin del tiempo de consumo de una partcula slida debido a una reaccin......182

4.6 Difusin y conveccin forzada en flujo laminar en una pelcula lquida

descendente......183 Ejemplo 4.6-1. Justificacin de las suposiciones realizadas para resolver el problema de difusin y conveccin en una pelcula descendente laminar....189 Ejemplo 4.6-2. Clculo de la concentracin promedio y del flujo molar en la absorcin en una pelcula descendente laminar.....194

4.7 Disolucin de un slido hacia una pelcula laminar descendente.196 4.8 Difusin y conveccin en flujo laminar en una fibra hueca..200 4.9 Difusin y conveccin de calor y masa.205

Ejemplo 4.9-1. Efecto del transporte de masa sobre el transporte de calor..210 Ejemplo 4.8-2. Clculo de la rapidez de condensacin de una mezcla binaria de vapores......216

Recapitulacin.220 Revisin de conceptos.221 Problemas222 CAPITULO 5. LAS ECUACIONES DE CAMBIO..227 5.1 Las ecuaciones de continuidad..228

A. La ecuacin de continuidad de la mezcla...228 B. La ecuacin de continuidad de un componente de la mezcla.230

5.2 La ecuacin de continuidad de una especie en trminos de la concentracin...234 5.3 La ecuacin de energa para una mezcla de multicomponentes238

Ejemplo 5.3-1. Formas equivalentes de la ecuacin de la energa trmica..246 5.4 La ecuacin de movimiento..247 5.5 Anlisis dimensional de las ecuaciones de cambio...252

Ejemplo 5.5-1. Obtencin de la forma funcional de la solucin de un problema cuya solucin "exacta" es conocida...262

Recapitulacin.262 Revisin de conceptos.262 Problemas263 CAPITULO 6. TRANSFERENCIA DE MASA EN LA INTERFASE....265 6.1 Definicin del coeficiente de transferencia de masa en una fase..267

Ejemplo 6.1-1. Clculo de diferentes coeficientes de transferencia de masa...273 Ejemplo 6.1-2. Conversin entre diferentes coeficientes de transferencia de masa.274

6.2 Algunas expresiones tericas del coeficiente de transferencia de masa...276


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Ejemplo 6.2-1. Absorcin de CO2 en una pelcula laminar descendente.....284 6.3 Transferencia de masa por conveccin forzada en flujo turbulento..288

Ejemplo 6.3-1. Ms sobre la definicin del coeficiente de transferencia de masa...294 Ejemplo 6.3-2. Determinacin experimental del coeficiente de transferencia de masa en un lecho empacado...299 Ejemplo 6.3-3. Determinacin del coeficiente de transferencia de masa en la disolucin de un slido...302

6.4 Anlisis dimensional y correlaciones304 A. Nmeros adimensionales importantes en transferencia de masa...306 B. Anlisis dimensional..311

6.5 Correlaciones del coeficiente de transferencia de masa315 A. Superficies planas...316 B. Pelculas lquidas descendentes y flujo en tubos317 C. Esferas319 D. Burbujas y gotas.321 E. Cilndros.322 F. Lechos empacados y fluidizados322 G. Equipos con contacto fluido-fluido, fluido-slido y fluido-fluido-slido..325 Ejemplo 6.5-1. Clculo del coeficiente de transferencia de masa en la evaporacin de agua lquida desde una superficie plana....326 Ejemplo 6.5-2. Absorcin de CO2 en una columna de pared mojada..332

6.6 Analogas entre las transferencias de momentum, calor y masa...336 A. La analoga de Reynolds337 B. La analoga de Chilton-Colburn.339 Ejemplo 6.6-1. Estimacin del coeficiente de transferencia de masa mediante la analoga de Chilton-Colburn.....340 Ejemplo 6.6-2. El hidrmetro de bulbo hmedo. Clculo de la humedad relativa..341

6.7 Transferencia de masa a travs de interfases344 Ejemplo 6.7-1. Estimacin de coeficientes de transferencia de masa individuales y globales a partir de otros conocidos o ms fciles de obtener...349 Ejemplo 6.7-2. Absorcin de H2S en agua....351

Recapitulacin .354 Revisin de conceptos.355 Problemas357 CAPITULO 7. MODELOS DE LA TRANSFERENCIA DE MASA

CONVECTIVA.. 361

7.1 Modelo de la pelcula...362 Ejemplo 7.1-1. Estimacin del espesor de la pelcula estancada..365

7.2 Modelo de penetracin de Higbie366 Ejemplo 7.2-1. Estimacin del tiempo de contacto en la absorcin de SO2.....369

7.3 Modelo de renovacin de la superficie de Danckwerts370 Ejemplo 7.3-1. Clculo de la rapidez de renovacin de la superficie interfacial..371

7.4 Modelo de la capa lmite..373


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A. La capa lmite hidrodinmica o de velocidad.373 B. La capa lmite de concentracin.375 C. Las ecuaciones de la capa lmite377 D. Clculo del coeficiente de transferencia de masa a partir de teora de la capa lmite..380 Ejemplo 7.4-1. Clculo del coeficiente de transferencia de masa a partir de la teora de la capa lmite....392

7.5 El coeficiente de transferencia de masa a alta concentracin del soluto y altas tasas de transferencia...395

7.6 Consideraciones sobre flujo turbulento.398 Recapitulacin.407 Revisin de conceptos.408 Problemas409 CAPITULO 8. BALANCES MACROSCOPICOS413 8.1 Los balances de masa macroscpicos...414 8.2 Clculo de la altura de una torre de absorcin empacada.416 8.3 Diseo de un reactor cataltico heterogneo422 8.4 Clculo de la altura de una torre de enfriamiento de agua430 Recapitulacin.439 Revisin de conceptos.439 Problemas440 CAPITULO 9. ESTIMACION DEL COEFICIENTE DE DIFUSION..443 9.1 Coeficientes de difusin de gases.444

Ejemplo 9.1-1. Estimacin del coeficiente de difusin a partir de la teora de Chapman-Enskog...447 Ejemplo 9.1-2. Estimacin del coeficiente de difusin por el mtodo de Fuller, Schettler y Giddings..449

9.2 Coeficientes de difusin en lquidos456 Ejemplo 9.2-1. Estimacin del coeficiente de difusin en lquidos..461 Ejemplo 9.2-2. Estimacin del efecto de la concentracin sobre la difusividad en lquidos463

9.3 Difusin en slidos...467 Recapitulacin.468 Revisin de conceptos.468 Problemas469 APENDICE A. FACTORES DE CONVERSIN Y CONSTANTES.....471 APENDICE B. SOLUCIN DE ALGUNAS ECUACIONES DIFERENCIALES....475 B.1. Solucin de la ecuacin diferencial del problema de difusin con reaccin quimica

homognea (Sec. 2.6)...477


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B.2. Solucin de la ecuacin diferencial parcial del problema de difusin en un medio seminfinito por el mtodo de combinacin de variables (Sec. 3.2).480

B.3. Solucin de una ecuacin diferencial parcial por el mtodo de separacin de variables (Sec. 3.4)..485

APENDICE C. DEFINICIN DE VELOCIDADES Y CONCENTRACIONES

PROMEDIO..493 C.1 Velocidades promedio de un fluido puro o de una mezcla homognea..495 C.2 Concentracin promedio de un soluto en el seno de un fluido de

densidad constante...499


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Lista de smbolos a rea superficial por unidad de volumen A, B, C especies qumicas Ai rea interfacial de transferencia de masa AS rea seccional (transversal) al flujo; Bim nmero de Biot de transferencia de masa C concentracin molar total de la solucin o mezcla Cm concentracin molar total media CA, CB concentracin molar de las especies A, B. CAb concentracin promedio de la especie en el seno del fluido CAi concentracin de la especie en la interfase

satAC concentracin de saturacin de A

AC valor promedio en el tiempo de la concentracin de A

AC valor de la fluctuacin de la concentracin de A AC concentracin adimensional de A

CA concentracin volumtrica promedio o sobre el rea transversal al flujo ,

p p p mC , C , C capacidad calorfica molar, especfica y promedio, respectivamente.

C1, C2, C3 constantes Dt dimetro de tubo DAB coeficiente de difusin binario DA,ef coeficiente de difusin efectivo Dij coeficiente de difusin binario Dim coeficiente de difusin pseudobinario

0ABD coeficiente de difusin binario a dilucin infinita ( )AB

tD difusividad turbulenta Da nmero de Damkhler e flux total de energa respecto a ejes fijos e vector del flux total de energa respecto a ejes fijos ex, ey, ez vectores unitarios cartesianos EA factor de mejora o factor de aumento f factor de friccin; funcin Fa constante de Faraday G flux molar de gas h coeficiente de transferencia de calor hL coeficiente de transferencia de calor en el lquido


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H entalpa molar ,G LH H entalpa por mol del gas y del lquido, respectivamente

H entalpa por unidad de masa , i iH h entalpa parcial molar y especfica de la especie i

A,vapH calor molar de vaporizacin jA, jB flux msico difusivo de la especie relativo a velocidad msica promedio jA vector del flux msico difusivo relativo a la velocidad msica promedio jD factor jD en la analoga de Chilton Colburn jH factor jH en la analoga de Chilton Colburn JA, JB flux molar difusivo de la especie relativo a velocidad molar promedio

( )AtJ flux molar por difusin turbulenta

(total)AJ flux molar difusivo total (molecular mas turbulento) volAJ flux molar difusivo de la especie relativo a la velocidad volumtrica

promedio (JA)ee flux en estado estacionario JA vector del flux difusivo de A, relativo a la velocidad molar promedio k coeficiente de transferencia de masa kB constante de Boltzman kG coeficiente de transferencia de masa individual en el gas kL coeficiente de transferencia de masa individual en el lquido

vRk constante cintica de una reaccin volumtrica sRk constante cintica de una reaccin superficial

kT conductividad trmica ky coeficiente de transferencia de masa basado en fraccin mol k coeficiente de transferencia de masa promedio KG, KL coeficientes de transferencia de masa globales L longitud; flux molar de lquido Lx, Ly, Lz longitudes en las direcciones x, y, z Le nmero de Lewis m coeficiente de particin o coeficiente de distribucin o M peso molecular de la solucin o mezcla MA, MB peso molecular de la especie Mt total de masa transferida despus de un tiempo t M total de masa transferida a tiempo infinito M moles contenidos en un volumen M moles contenidas en un volumen a tiempo infinito nA, nB flux msico total de la especie relativo a ejes fijos nA, nB vector del flux msico total de la especie relativo a ejes fijos


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ntotal flux msico total NA, NB flux molar total de la especie de relativo a ejes fijos. NAi flux molar en la interfase NT NA+NB

AN flux molar promedio NA, NB vector del flux molar total de la especie de relativo a ejes fijos Ntotal flux molar total Nu Nmero de Nusselt P presin absoluta pA, pB presin parcial de la especie

satAp presin de saturacin (de vapor) de la especie

pAb presin parcial de la especie en el seno del gas pAi presin parcial de la especie en la interfase del lado del gas q flux difusivo molecular de calor (conduccin +difusin de entalpa)

( )tyq flux difusivo turbulento de calor (total)yq flux difusivo total de calor (molecular + turbulento)

r coordenada radial v

Ar velocidad de reaccin msica volumtrica riV rapidez de consumo de A (masa A/tiempo) R radio; constante de los gases

vAR velocidad de reaccin molar volumtrica

RiV rapidez de consumo de A (moles/tiempo) Re nmero de Reynolds Rez nmero de Reynolds local ReL nmero de Reynolds sobre la distancia L s tiempo adimensional, nmero de Fourier, rapidez fraccional de renovacin

de la superficie Sc nmero de Schmidt Sh nmero de Sherwood Shz nmero de Sherwood local ShL nmero de Sherwood promedio sobre la distancia L t tiempo

t perodo de tiempo para promediar propiedades en flujo turbulento tc tiempo de contacto t tiempo adimensional T temperatura Tb temperatura promedio en el seno del fluido Ti temperatura en la interfase TG, TL temperatura del gas y del lquido, respectivamente


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T temperatura adimensional U velocidad volumtrica promedio de una mezcla v velocidad msica puntual; velocidad msica promedio de una mezcla v valor promedio en el tiempo de la velocidad v valor de la fluctuacin de la velocidad v velocidad adimensional v vector de la velocidad msica promedio vA, vB velocidades de las especies A y B vA, vB vector de velocidades de las especies A y B vb velocidad promedio del seno del fluido v velocidad volumtrica promedio sobre el rea transversal al flujo vc velocidad convectiva de referencia vx, vy, vz componentes de la velocidad en las direcciones x, y, z V velocidad molar promedio de una mezcla; volumen V vector de la velocidad molar promedio relativa a ejes fijos

A A,V v volumen parcial molar y especfico de la especie w flujo msico wA, wB fraccin masa de la especie; flujo msico de la especie WA flujo molar x coordenada rectangular x* distancia adimensional xA, xB fraccin mol de la especie en el lquido y coordenada rectangular y* distancia adimensional yA, yB fraccin mol de la especie en el gas

satAy fraccin mol de saturacin de la especie

z coordenada rectangular zc distancia crtica de transicin de rgimen laminar a turbulento z* distancia adimensional smbolos griegos difusividad trmica

( )t difusividad trmica turbulenta nmero de Hatta espesor de la pelcula (Cap. 5) C espesor de la capa lmite de concentracin H espesor de la capa lmite hidrodinmica incremento; diferencia porosidad, o fraccin de huecos en un lecho empacado AB energa de interaccin molecular


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mdulo de Thiele; coordenada esfrica A coeficiente de actividad flujo msico por unidad de permetro factor de efectividad 0 factor de efectividad global n valor caracterstico viscosidad viscosidad cinemtica

( )t difusividad turbulenta o coeficiente de dispersin de momentum. coordenada cilndrica y esfrica concentracin msica total A, B concentracin msica de las especies AB dimetro de colisin esfuerzo de corte; factor de tortuosidad S esfuerzo de corte en la superficie

(total)yz flux difusivo total de momentum (molecular + turbulento)

r tiempo de residencia promedio en la interfase de un elemento lquido variable adimensional que combina distancia y tiempo D integral de colisin para difusin


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CONCEPTOS BASICOS La difusin molecular o transporte molecular de masa, en su expresin ms simple, es el fenmeno en el cual las molculas de un compuesto se mueven aleatoriamente y tienden a uniformar la concentracin en un medio. La difusin puede ser causada por diversas fuerzas motrices, siendo la ms comn la provocada por un gradiente de concentracin. En este caso, el fenmeno se denomina difusin ordinaria. La difusin tambin puede tener su origen en gradientes de presin, de temperatura o en fuerzas externas al sistema que actan de diferente manera sobre las especies qumicas que componen la mezcla. En la Figura 1-1 podemos ver una representacin idealizada de cmo la teora cintica de los gases visualiza la difusin molecular de una especie A en un fluido compuesto de molculas de una especie B. La molcula de A viaja en lnea recta con una velocidad constante hasta chocar con otra molcula, en cuyo caso cambiar su velocidad en magnitud y direccin. La molcula de A se mueve en una trayectoria de zigzag y la distancia neta que recorre entre los puntos "1" y "2" es mucho menor que la distancia total realmente recorrida despus de un gran nmero de colisiones. Ello causa que la difusin sea un proceso lento. Cuanto mayor sea el nmero de colisiones y menor la velocidad de la molcula de A, ms


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lenta ser su difusin. La velocidad de las molculas depende principalmente de la temperatura; cuanto mayor sea sta, ms grande ser la velocidad y las molculas se transportarn ms rpidamente entre un lugar y otro. El nmero de colisiones entre molculas de un gas depende esencialmente de la presin, ya que a mayor presin las molculas estarn ms cercanas entre s y habr un mayor nmero de colisiones y, en consecuencia, la difusin ser ms lenta.

A

A

"1""2"

B A

AA

A

A

A

AA

A

B

B

B

B

B B

BB

A

BB BB

B

A

A

A

BB

BB

Figura 1-1. Diagrama de la difusin molecular de la especie A a travs de la especie B estancada. Podemos razonar en trminos semejantes cuando la difusin ocurre en lquidos. La difusin en lquidos es mucho ms lenta que en gases. En el estado lquido las molculas estn ms cercanas entre s que en un gas; en consecuencia, A chocar con otras molculas con mayor frecuencia, y se difundir ms lentamente. El mismo razonamiento indica que la difusin en slidos es ms lenta que en lquidos. La difusin es, pues, un proceso lento. En gases avanza alrededor de 10 cm/min; en lquidos, aproximadamente 0.05 cm/min; y en slidos, 1105 cm/min. La lentitud de la difusin hace que el fenmeno sea importante. El proceso de difusin puede tambin ejemplificarse de manera macroscpica con la observacin de lo que pasa cuando ponemos cuidadosamente una gota de colorante en la superficie de un recipiente con agua. Al principio, el color se concentra en una pequea regin del volumen del agua. La diferencia de concentracin del pigmento entre la gota de tinta y el agua adyacente es grande; conforme transcurre el tiempo, podemos observar el avance del pigmento hacia el resto del volumen y la disminucin de la intensidad del color en la zona en que originalmente pusimos la gota de tinta. Finalmente, al cabo de mucho tiempo, el color en todo el volumen de agua ser el mismo. Ello indica que la difusin ha causado un mezclado ms o menos uniforme del pigmento en todo el volumen de agua. El proceso de mezclado ejemplificado con la gota de tinta en agua puede, evidentemente, realizarse de otra manera. Bastara con agitar el agua con una pequea barra para que el proceso de uniformar la concentracin el colorante en el agua y que tom a la difusin


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mucho tiempo, pueda llevarse a cabo en unos cuantos segundos. La difusin seguir ocurriendo debido a los movimientos aleatorios de las molculas, pero su contribucin al mezclado ser muy pequea comparada con la del transporte del colorante entre regiones del volumen de agua causado por la agitacin. Es importante diferenciar entre estos dos procesos de mezclado: la difusin ocurre sobre distancias pequeas, de escala molecular, en tanto que la agitacin es un proceso macroscpico que mueve porciones del lquido sobre distancias mucho ms grandes.

1.1 Por qu estudiar transferencia de masa ? Cuando el estudiante comience a leer este captulo, quiz se preguntar cules son los motivos por los que deber estudiar transferencia de masa. Creo que es necesaria una explicacin y a ello dedicaremos la presente seccin. El objetivo central que perseguimos con el estudio de los procesos de transferencia de masa es desarrollar nuestra capacidad para establecer ecuaciones, mtodos y procedimientos con el propsito de realizar dos actividades esencialmente ingenieriles: disear equipos y procesos industriales nuevos analizar y mejorar el funcionamiento de equipos y procesos existentes en operacin Una de las caractersticas distintivas de la ingeniera qumica y de disciplinas afines como la ingeniera bioqumica y de alimentos, es que se ocupan de la transformacin de materiales en otros diferentes con propiedades que resultan de utilidad. Para ello, son necesarias las reacciones qumicas y las separaciones de materiales que estn mezclados para obtener productos con diversas propiedades y grados de pureza. En muchas de estas operaciones, los fenmenos de transporte de masa estn presenten y constituyen una parte determinante de ellas. Adems, las transformaciones de los materiales deben realizarse de una manera econmica, con el menor costo posible. Entonces, el conocimiento de los principios que rigen la transferencia de masa debe permitirnos el ejercicio de una ingeniera ms racional y cientfica.

A. Procesos de separacin Muchas operaciones industriales tienen como objetivo separar unos compuestos de otros y se denominan operaciones de transferencia de masa. En ellas se transfiere a nivel molecular una o varias sustancias a travs de otras. Pensemos por un momento en la obtencin del alcohol de caa. ste se obtiene por medio de una fermentacin que produce una solucin de alcohol diluida. Digamos que deseamos obtener una solucin concentrada denominada "alcohol de 96", que es la que usamos como desinfectante en casa. La concentracin del alcohol se realiza mediante una destilacin, proceso en el cual se calienta un lquido para liberar de l un vapor que luego se podr condensar. Veamos cmo se realiza la destilacin y dnde se presenta el fenmeno de difusin.


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Consideremos el esquema simplificado de una columna de destilacin que aparece en la Figura 1.1-1(a). Dicha columna es un recipiente largo de forma cilndrica dentro del cual hay varios platos perforados separados entre s. En la parte inferior se localiza un intercambiador de calor que vaporiza una parte del lquido que llega al fondo de la columna. En nuestro ejemplo, dado que el agua es menos voltil que el alcohol, este lquido contendr principalmente agua y un poco de alcohol. El vapor que sale por el domo de la columna se enva a otro intercambiador de calor que condensa dicho vapor; una parte del condensado regresa a la columna y otra parte sale como producto. Debido a que el alcohol es ms voltil que el agua, el vapor de alcohol se ir concentrando en la parte superior de la columna y alcanzar su mayor concentracin en el condensador, aunque siempre mezclado con sta.

alcoholconcentrado

Figura 1.1-1. Representacin del proceso de destilacin. (a) Partes integrantes de la columna. (b) Contacto entre vapor de una composicin con lquido de otra composicin en un plato de la columna. (c) Esquema microscpico del proceso de transferencia de masa en una burbuja con el lquido que la rodea. En cada plato perforado de la columna se lleva a cabo parte del proceso de destilacin. En la Figura 1.1-1 (b) se muestra un esquema de lo que sucede en cada plato. Este es una especie de recipiente que contiene lquido de una determinada composicin. Por las perforaciones del plato entra un vapor de otra composicin y burbujea a travs del lquido que est encima del plato. Tanto el lquido como el vapor contienen alcohol y agua.

agua de enfriamiento

condensador

alimentacin(agua + alcohol)

vapor

lquido

agua + poco alcohol

rehervidor

calor

(a)

(b)

vapor

lquido

burbujas

(b)plato de la columna

vapor lquidoaguaalcohol

(c) interfase burbuja-lquido


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El vapor que entra a un plato y el lquido a travs del cual burbujea son dos fases que no estn en equilibrio. Debido a ello, se establecer un proceso espontneo cuya tendencia es hacer que el vapor y el lquido alcancen el equilibrio. Este proceso de transferencia de masa har que el alcohol tienda a salir del lquido y a transferirse al vapor y viceversa, provocar que el agua tienda a salir del vapor y a condensarse en el lquido. Si en algn momento el lquido y el vapor alcanzaran el equilibrio, la transferencia de masa cesara. En cada plato, el alcohol se ir concentrando en el vapor y el agua har lo mismo en el lquido. La repeticin de este proceso en cada plato har posible la separacin del alcohol y el agua. Veamos ahora, de manera idealizada, cmo sucede este proceso de transferencia de masa. Remitmonos a Figura 1.1-1(c). En las zonas muy cercanas a la frontera entre el lquido y el vapor de la burbuja se establecen, espontneamente, diferencias de concentracin que originarn que el alcohol y el agua se difundan. El vapor de agua de la burbuja se difundir hacia la frontera con el lquido, ah se condensar y se difundir hacia el interior de ste, donde se mezclar. El alcohol seguir un proceso inverso; se difundir a travs de una delgada zona del lquido hasta la frontera con la burbuja, ah se vaporizar y se difundir a travs de una delgada zona del vapor dentro de la burbuja, para finalmente mezclarse con el resto del mismo. La separacin del alcohol y el agua es el resultado de la repeticin de los procesos descritos alrededor de cada burbuja y en cada plato. Habamos dicho que la difusin es un proceso lento. La rapidez con que se difundan el alcohol y el agua dentro de la burbuja y el lquido ser determinante en la eficiencia de la destilacin. Sin embargo, en esta operacin la difusin es lo suficientemente rpida para que el lquido y el vapor que salen de cada plato estn ms o menos cerca del equilibrio. No obstante, el nmero de platos de la columna de destilacin y, en consecuencia, su altura, dependern parcialmente de la difusin. Si pensamos que el costo de la columna depende de su altura, podemos apreciar que un fenmeno como la difusin puede tener repercusiones econmicas. La absorcin es semejante a la destilacin, pero la transferencia se da solamente de la fase gaseosa a la fase lquida. Por ejemplo, si ponemos agua en contacto con una corriente gaseosa compuesta de aire y amonaco, la mayor parte del amonaco se absorber en el agua sin que el aire se disuelva sustancialmente. En esta operacin, el efecto de la difusin en la transferencia de masa es mucho mas grande que en la destilacin. En la extraccin por solventes se ponen en contacto dos fases lquidas inmiscibles o parcialmente miscibles. Uno o varios de los compuestos presentes en una de las fases se transfieren hacia la otra. Por ejemplo, la penicilina se produce por fermentacin en fase acuosa diluida; posteriormente, esta solucin acuosa puede ponerse en contacto con acetato de butilo (fase orgnica) y la penicilina se transferir de la fase acuosa a la orgnica. Las vitaminas A y D tambin se purifican mediante extraccin por solventes. Otra operacin comn es la extraccin slido/lquido o lixiviacin, en la cual uno o varios compuestos presentes en el slido se disuelven selectivamente en un lquido. Un ejemplo


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casero es la preparacin del caf y uno de carcter industrial es la extraccin con hexano de aceites comestibles de diversas semillas. Existen muchas otras operaciones de transferencia de masa que se basan en el contacto directo entre dos fases inmiscibles que no estn en equilibrio. En todas ellas, la difusin de las diferentes especies qumicas puede ser el paso controlante del proceso de transferencia de dichas especies de una fase a otra. Conforme avance en sus estudios, el estudiante tendr oportunidad de aprender sobre estas operaciones industriales de transferencia de masa. Tambin puede consultar a Treybal y a McCabe y col.1 para una descripcin detallada de lo que aqu hemos apenas apuntado.

B. Ingeniera de reacciones Otra gama de operaciones industriales donde se presenta el fenmeno de difusin es en los reactores qumicos y bioqumicos. Los reactores, aunque de muy diversos tipos, no son sino recipientes donde se llevan a cabo reacciones y se les considera el "corazn" de los procesos industriales, ya que toda la planta se organiza alrededor de ellos. Veamos dos ejemplos ms. Consideremos el esquema de un reactor cataltico, el cual consiste esencialmente en un tubo empacado de pequeas esferas slidas y porosas de catalizador, como se muestra en la Figura 1.1-2(a). En este reactor, un reactivo se transforma en un producto determinado. El reactivo gaseoso se alimenta al reactor y fluye a lo largo de ste. Dicho reactivo tiene que pasar desde el gas, donde est ms concentrado, hasta la superficie externa del catalizador, donde se encuentra ms diluido, esto es, el reactivo se transferir hasta la superficie del catalizador porque existe una diferencia de concentracin. Este paso es un proceso de transferencia de masa [Figura 1.1-2(b)]. Una vez en la superficie externa de la partcula cataltica, el reactivo comienza a difundirse hacia dentro de ella por los poros. La superficie del catalizador, tanto la externa como la interna2 (constituida por las paredes de los poros), tiene la propiedad de transformar el reactivo en el producto. As, conforme el reactivo se difunde dentro de los poros tambin se ir posando (adsorbiendo) sobre la superficie de sus paredes y reaccionar para formar el producto. El reactivo se consumir a lo largo de los poros, y causar una diferencia de concentracin del reactivo entre la superficie externa y el interior de los poros. Ello provocar un constante suministro difusivo de reactivo hacia adentro del catalizador. El producto sigue un proceso inverso al del reactivo. Una vez formado, la concentracin del

1 Treybal, RE (1980). Mass-Transfer Operations, McGraw Hill, New York; McCabe, WL, Smith. JL y. Harriot, P (1985). Unit Operations in Chemical Engineering, McGraw-Hill, New York. 2 La superficie interna es mucho mas grande que la superficie externa, por lo cual la mayor parte de la reaccin ocurrir dentro de los poros. Como dato interesante, diremos que existen catalizadores slidos porosos que en un gramo de masa llegan a tener 500 m2 o ms de superficie interna.


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producto en el interior de los poros es mayor que en la superficie externa y por ello se difundir hacia la superficie externa del catalizador; una vez ah, se transferir hacia el gas.

reactivo

producto reactivo que no reaccion

+

(a)

reactivoproducto

catalizador(b)

(c)reactivoproducto

poro

Figura 1.1-2. Transformacin cataltica de un reactivo en un producto. (a) Esquema del reactor; (b) catalizador slido poroso; (c) difusin del reactivo y del producto dentro de un poro del catalizador. Si la rapidez de alguno de los procesos difusivos o de transferencia entre el gas y la superficie cataltica es mas lento que la reaccin, controlar la rapidez total del proceso de conversin del reactivo a producto. La interaccin entre los procesos de difusin y reaccin qumica es un tema fascinante y el estudiante tendr la oportunidad de estudiarlo a fondo en sus cursos de diseo de reactores. Para una discusin introductoria de este tema puede consultarse a Denbigh y Turner, y a Levenspiel1. Como ltimo ejemplo de esta seccin, consideremos el tratamiento de las aguas de desecho de las ciudades. En esencia, el tratamiento de aguas de desecho consiste en la transformacin por oxidacin total de la materia orgnica contenida en las aguas, en dixido de carbono. Esta transformacin es realizada por diversos microorganismos. El tratamiento de las aguas se lleva a cabo en grandes tanques [ver Figura1.1-3(a)], a los cuales se inyecta aire para mantener la respiracin de los microorganismos y para agitar el contenido de los tanques. Dentro de los tanques de tratamiento ocurren varios procesos de 1 Denbigh, KG y Turner, JCR (1990). Introduccin a la Teora de los Reactores Qumicos, Limusa, Mxico; Levenspiel, O (1999). Chemical Reaction Engineering, 3. Edicin. John Wiley. New York


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transferencia de masa y en ellos la transferencia de masa est presente. Veamos la Figura 1-1.3.

burbuja de aire

flculo microbiano

aire

agua con materiaorgnica disuelta

2CO

2O

nutrientes

flculomicrobiano

agua con materiaorgnica disuelta

(a)

(b)

(c)

burbujade aire

2O

Figura 1-1.3. Tratamiento de aguas. (a) Equipo de tratamiento; (b) transferencia de oxgeno y nutrientes a los microorganismos y transferencia de dixido de carbono de los microorganismos al agua; (c) transferencia del oxgeno del aire al agua. Los microorganismos aglomerados en flculos microbianos son los encargados de eliminar la materia orgnica disuelta mediante reacciones bioqumicas que se llevan a cabo dentro de ellas. La materia orgnica proporciona los nutrientes necesarios a los microorganismos para mantenerlos con vida y para su reproduccin. Asimismo, los microorganismos requieren de oxgeno para realizar sus funciones celulares y para oxidar la materia orgnica. El oxgeno disuelto en el agua y los nutrientes se transfiere a travs de una delgada zona de agua prxima al flculo, hasta la superficie de ste. Una vez en la superficie del flculo, se difundir al interior de l. En el interior de los flculos se llevar a cabo la transformacin de la materia orgnica en CO2 y la reproduccin de los microorganismos. El CO2 se difundir dentro de los flculos en sentido inverso al oxgeno y los nutrientes, se disolver en el agua y se transferir a travs de una delgada zona acuosa alrededor del flculo; finalmente se mezclar por completo en la fase acuosa. En la Figura 1.1-3(b) se ilustran estos tres procesos. La vida de los microorganismos y su capacidad de oxidar la materia orgnica disuelta depende de un adecuado suministro de oxgeno. Como ya sealamos, ste se introduce por medio del burbujeo de aire a travs del tanque. De cada burbuja de aire se disuelve en el agua un poco de oxgeno, el cual, una vez disuelto, se difundir a travs de una delgada capa de agua que se encuentra alrededor de la burbuja; finalmente se mezclar totalmente con el resto del agua. En la Figura 1.1-3(c) hemos esquematizado este proceso.


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Como ya sealamos, en el tratamiento de aguas estn presentes varios procesos de transferencia de masa que se llevan a cabo por difusin. sta, como es lenta, puede influir de modo determinante en la rapidez con que se lleva a cabo todo el proceso. Las implicaciones prcticas residirn en el tamao del tanque para tratar una determinada cantidad de agua de desecho y en el tiempo que deba sta permanecer dentro de l. En esta seccin hemos tratado de describir los procesos de transferencia de masa ms comunes en algunas situaciones prcticas. Hemos sealado que la difusin es el mecanismo mediante el cual se transportan diversos compuestos a escala microscpica y cmo el flujo tambin transfiere los compuestos. La difusin, conviene repetirlo, ocurre sobre distancias muy pequeas, pero es lo suficientemente lenta como para controlar la rapidez total de un proceso del cual es slo un paso, en tanto un flujo macroscpico transfiere ms rpidamente los compuestos sobre distancias a nivel del equipo. Tambin hemos hecho nfasis en que la transferencia de masa ocurre en sistemas que no estn en equilibrio. Como sabemos, la termodinmica nos ensea que un sistema se encuentra en equilibrio cuando el potencial qumico de cada especie presente en cada fase es igual. Los clculos de equilibrio son muy tiles para saber el lmite al cual puede llevarse un proceso determinado, pero no informan sobre cmo y cun rpido se puede llegar a dicho lmite. En este texto, nos interesan los sistemas fuera de equilibrio, esto es, sistemas caracterizados por gradientes de potencial qumico1. Estudiaremos cules son las leyes que rigen y los factores que afectan la rapidez con que se llevan a cabo los procesos de transferencia de masa. Esperamos haber convencido al estudiante (o al menos despertado su curiosidad) de que la transferencia de masa y el fenmeno de difusin estn presentes en innumerables operaciones prcticas que son comunes en nuestra profesin. Una buena comprensin del material de este libro posiblemente servir para que el estudiante entienda las causas de lo que sucede en los equipos industriales; le facilitar la comprensin de temas afines y le dar la posibilidad en el futuro de ejercer una prctica profesional ms racional y transformadora. El resultado ser un ingeniero ms culto, al menos dentro de su profesin.

1.2 Mecanismos de transporte de masa El transporte de masa puede ocurrir por difusin y por conveccin. El transporte de masa por difusin es provocado por un gradiente de concentracin. La conveccin es un mecanismo de transporte de masa originado por el movimiento masivo (macroscpico) de un fluido. La conveccin puede ser de dos tipos: (a) conveccin forzada, en la cual la velocidad del fluido es causada por una fuerza externa, como ocurrira con el flujo de aire

1 El gradiente de potencial qumico es realmente la fuerza impulsora de la difusin. Sin embargo, como el potencial qumico no es una cantidad manejable en trminos prcticos, lo comn es usar gradientes de concentracin como fuerza motriz de la difusin.


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provocado por un abanico o el movimiento de un lquido causado por una bomba; (b) conveccin natural o libre, en la cual el movimiento del fluido se desarrolla como resultado de diferencias de densidad que se establecen en l debido a diferencias de concentracin (o de temperatura) existentes en su interior.

agua

sal

sal

solucin salina concentrada alta densidad

baja densidad

difusin

conveccin natural

Figura 1.2-1. Mecanismos de transporte de masa por difusin y conveccin natural. La magnitud del flujo convectivo natural depender de qu tan concentrada sea la solucin. En soluciones diluidas de densidad constante, la magnitud de la conveccin natural ser insignificante. Veamos con algunos ejemplos la forma cmo funcionan los diferentes mecanismos de transporte de masa. Imaginemos que colocamos un trozo de sal de cocina en la parte superior de un recipiente que contiene agua en reposo, como se muestra en la Figura 1.2-1. Al entrar en contacto con el agua, la sal se disuelve con relativa rapidez. Por ello, alrededor del trozo de sal se forma una solucin salina concentrada, cuya densidad ser aproximadamente 20 % mayor que la del agua. La concentracin de sal disuelta es mayor en la cercana del trozo de sal que lejos de l, por lo que ocurrir un flujo difusivo debido a este gradiente de concentracin. Pero adems, se establecer un flujo convectivo natural de la solucin salina hacia abajo, de la regin de alta densidad a la de baja densidad; este flujo convectivo transportar sal disuelta, independientemente de la que se transporte por difusin. Podemos apreciar entonces que la difusin originada por el gradiente de concentracin, y la conveccin natural causada por la diferencia de densidades entre dos regiones del fluido, siempre ocurrirn simultneamente. La importancia relativa entre las magnitudes del flujo difusivo de masa y el flujo convectivo natural de masa depender de la magnitud de la concentracin del soluto y de la diferencia de concentraciones. Cuando las soluciones son diluidas y de densidad constante, la conveccin natural es de una magnitud insignificante comparada con la difusin. Este hecho nos permite aislar el fenmeno difusivo para poder estudiarlo. Cuando las soluciones son concentradas, el anlisis de los fenmenos se complica, pues hay que considerar tanto la difusin como la conveccin natural como mecanismos de transporte de masa. En vista de estas consideraciones, hemos decidido iniciar el estudio del transporte de masa en soluciones diluidas, esto es, nicamente con el mecanismo de la difusin. Para cuantificar la difusin nos serviremos de la ley de Fick, que plantearemos formalmente en


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la Sec. 1.4; asimismo, en el Captulo 2 estudiaremos diversos casos en los que el transporte de masa se da por difusin. Una vez que hayamos adquirido un conocimiento bsico de la difusin, estudiaremos en el Captulo 3 los casos mas complejos en los que la conveccin natural ocurre junto a la difusin debido a que las soluciones son concentradas. Consideremos ahora un ejemplo en el cual la transferencia de masa ocurre por conveccin forzada. En la Figura 1.2-2 se representa una esfera de naftaleno, como las que se usan para combatir la polilla. El naftaleno se sublima muy lentamente, pues su presin de vapor a temperatura ambiente es muy pequea, menor que 1 mm Hg. Si ponemos la esfera en aire quieto [Figura 1.2-2(a)], el naftaleno se evaporar, se difundir hacia el aire y formar una mezcla gaseosa muy diluida con ste. Debido a que la mezcla que forman el naftaleno y el aire es diluida, el transporte de masa por conveccin natural ser insignificante.

naftaleno

difusin hacia aire quieto

(a) (b)

conveccin forzada

aire aire naftaleno

+

Figura 1.2-2. Sublimacin de naftaleno por: (a) difusin; y (b) conveccin forzada. La rapidez de la sublimacin es mucho mayor en el mecanismo de conveccin forzada que por difusin. Si con un abanico forzamos aire sobre la esfera de naftaleno [Figura 1.2-2(b)], ste se seguir sublimando y difundiendo en aire, pero ahora la distancia sobre la cual se difundir ser muy pequea, ya que el aire que pasa alrededor de la superficie de la esfera lo arrastrar rpidamente. Ello causar una evaporacin mucho ms rpida del naftaleno. Podemos apreciar entonces que el mecanismo de conveccin forzada transportar masa mucho ms rpidamente que la difusin y sobre distancias considerablemente ms grandes que sta. Como dato ilustrativo diremos que si exponemos una esfera de naftaleno de 1 cm de dimetro a una corriente de aire cuya velocidad sea 5 m/s, se sublimar por completo en un tiempo que ser alrededor de 100 veces menor que si se sublimara en aire esttico. Ms adelante, el estudiante se percatar que este ejemplo es parecido al de la Sec. 1.5, donde, para cuantificar el transporte de masa, introduciremos el modelo del coeficiente de transferencia de masa. De hecho, utilizaremos constantemente este modelo en los captulos 6, 7 y 8 en los cuales estudiaremos problemas de transferencia de masa por conveccin forzada. La ley de Fick tambin puede utilizarse en algunos problemas de conveccin forzada, pero el uso de coeficientes de transferencia de masa es ms comn.


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1.3 Descripcin cuantitativa de la difusin Si deseamos conocer ms a fondo el fenmeno de la difusin (o cualquier otro) para controlarlo y manipularlo con fines tiles, es necesario analizarlo ms all de las apariencias. Un primer enfoque requerira tener una representacin del mecanismo en el cual el movimiento de los tomos o las molculas es una consideracin bsica; ya hemos hecho esto anteriormente con referencia a la Figura 1-1. Otro posible enfoque nos llevara a no tomar en cuenta el mecanismo real por el cual se transportan los tomos o molculas, sino a ver los fluidos o slidos como un continuo y no como partculas individuales; esto ya lo hicimos en el ejemplo de la gota de tinta en el vaso con agua. La descripcin a nivel molecular nos conduce a un modelo que podemos denominar fundamental, en tanto que la descripcin como continuo nos lleva a considerar un tipo de modelo fenomenolgico, en el que solo importa la cuantificacin del fenmeno y no sus causas fundamentales. En este texto nos referiremos a la difusin en un medio continuo, ya que son los sistemas de mayor inters para el ingeniero. La descripcin cuantitativa de los fenmenos nos lleva necesariamente a la elaboracin de modelos matemticos que relacionen las cantidades que deseamos conocer, con variables y propiedades del sistema que podemos medir y/o calcular. Un ejemplo nos puede servir para desarrollar estas ideas.

L

oxgeno nitrgeno

2OC

t

Figura 1.3-1 Experimento para medir la rapidez de difusin. El cambio en la concentracin en cada recipiente es una medida de la rapidez de la difusin. Consideremos el aparato esquematizado en la Figura 1.3-1, consistente en dos recipientes de igual volumen conectados por un tubo capilar largo; todo el aparato se mantiene a temperatura y presin constantes. Inicialmente, el recipiente del lado izquierdo contiene oxgeno y el derecho, nitrgeno. Supongamos que deseamos conocer la rapidez con que se mezclan ambos gases. Si abrimos la vlvula, despus de un tiempo estaremos en posibilidad de medir la concentracin de oxgeno en el recipiente que inicialmente slo contena nitrgeno. Si realizamos repetidas mediciones de la concentracin de O2 en este bulbo cuando la cantidad transferida del mismo sea pequea, observaremos que su concentracin vara linealmente con el tiempo.


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Ahora bien, una forma de obtener la tasa de cambio en la concentracin con el tiempo es medir la pendiente de la lnea, esto es

( ) O bulbo2moles de oxgeno transferidosflujo difusivo =de oxgeno tiempo C Vt= (1.3-1) Sabemos que el oxgeno debe pasar a travs el rea seccional del tubo capilar AS para llegar al recipiente que contiene N2. Evidentemente, si duplicamos el rea, la cantidad transferida de oxgeno ser el doble. Es conveniente que nuestro experimento no dependa del rea del capilar. Para ello, podemos dividir el flujo de O2 por el rea seccional del capilar, para obtener una nueva cantidad denominada densidad de flujo o flux,

22 O bulbomoles de O cantidad transferidosdensidad de flujo difusivo o flux difusivo de O (tiempo)(rea del capilar)2

s

C Vt A

= = (1.3-2) Con la simple operacin de dividir por el rea del capilar, hemos dado un primer paso para hacer que nuestro experimento no dependa de las caractersticas del aparato utilizado. Tambin hemos avanzado en definir el flux que nos ayudar a cuantificar la difusin en trminos de variables que podemos medir. Si nos preguntamos de qu depende el flux difusivo de oxgeno, podramos suponer inicialmente que de la diferencia de concentracin de ste entre los dos recipientes. La forma ms sencilla de dependencia es la lineal, esto es, podramos suponer que el flux difusivo de oxgeno es proporcional a la diferencia de concentracin ( )flux difusivo de O diferencia de concentracin O2 k= 2 (1.3-3) donde k es una constante de proporcionalidad. Si no tuviramos ms informacin, podramos realizar ms experimentos y verificar nuestra hiptesis de que el flux difusivo es proporcional a la diferencia de concentracin. En este caso, nuestra hiptesis se verificara. Por otra parte, nuestra capacidad de observacin y razonamiento nos indica que el oxgeno debe transportarse a travs del capilar desde el recipiente izquierdo hasta el recipiente derecho. Entre mayor sea la longitud L del capilar, ms tardar el oxgeno en difundirse. Podemos suponer entonces que el flux difusivo dependera de manera inversa de la longitud del capilar. La dependencia inversa ms sencilla es la lineal, de modo que otra hiptesis sera que el flux difusivo es inversamente proporcional a la distancia a lo largo de la cual ocurre la difusin, en este caso la longitud del capilar


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O2 22diferencia de concentracin de O

flux difusivo de O =longitud del capilar

D DCL

= (1.3-4) donde D es otra constante de proporcionalidad. Podramos realizar ms experimentos variando la longitud del capilar y veramos que nuestra hiptesis se verifica. Con este ejemplo, hemos introducido las caractersticas bsicas del modelo mediante el cual podemos cuantificar la difusin. La primera forma de relacionar el flux mediante la constante de proporcionalidad k [Ec.(1.3-3)] es ms sencilla, ya que slo requiere el conocimiento de la diferencia de concentracin. Sin embargo, en este caso los resultados seguiran dependiendo del aparato en que realizamos el experimento, pues slo seran vlidos para una longitud del capilar. La segunda manera de relacionar el flux mediante la constante de proporcionalidad D [Ec.(1.3-4)] es ms completa, ya que elimina las caractersticas del aparato al dividir por la longitud del capilar. Nuestros resultados seran ms generales. A la constante D se le denomina coeficiente de difusin o difusividad y procede de la llamada ley de Fick, que ms adelante plantearemos formalmente. Las hiptesis que utilizamos para presentar la ley de Fick pueden parecer arbitrarias. De hecho, no se cumplen en cualquier circunstancia. Por ejemplo, si las concentraciones fueran muy grandes u ocurriera una reaccin entre los gases, este modelo no funcionara. Una de las claves para utilizar correctamente las leyes cientficas o empricas consiste en aplicarlas dentro de las condiciones en que son vlidas; no existe una sola ley que no contenga restricciones. Como veremos a lo largo de este texto, la ley de Fick es ampliamente aplicable a una gran diversidad de problemas.

1.4 Ley de Fick En la seccin anterior llegamos a la Ec.(1.3-4) de una manera "intuitiva". Ahora, es muy importante que formalicemos y hagamos ms general este resultado. Consideremos el sistema esquematizado en la Figura 1.4-1, en el cual se representa una capa de lquido B sobre una superficie slida hecha de un compuesto A que es ligeramente soluble en el lquido. La solucin de A en B es una solucin diluida de densidad constante. A un tiempo arbitrario t, existe una cierta distribucin de la concentracin del soluto A en el espesor de la pelcula lquida. Esta distribucin se representa por la lnea cuerva en la Figura 1.4.1. El lquido en inmediato contacto con la superficie del slido tiene una concentracin CA0 y al final de la pelcula su concentracin es CAL. Si queremos conocer el valor del flux difusivo del soluto A en la pelcula, podemos usar la Ec.(1.3-4):


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A0 AA, ABz Lz

C CJL= D (1.4-1)

zLzsolucin diluida de A

difusinA

A0

LCC

AC

A0C

ALC

AC

zz z z+ zL0

ApendienteCz

=

Figura 1.4-1. Variacin de la concentracin con la distancia en una pelcula a un tiempo arbitrario, originada por la difusin del soluto A. donde JA,z representa el flux difusivo de la especie A en direccin z; (CA0CAL) es la diferencia de concentracin de A entre los planos z=0 y z=Lz; donde Lz es el espesor de la pelcula de lquido. Supongamos ahora que la Ec.(1.4-1) es aplicable sobre un incremento de distancia pequeo z y que la diferencia de concentracin sobre esta distancia es CA , de modo que hacemos corresponder Lz con z, y (CA0CAL) con CA El signo negativo es necesario por la definicin del operador , esto es ( ) ( )A A AC C z z C z = + (1.4-2) El flux del soluto A promedio a travs de la distancia z es entonces

( )A AA

A, AB AB, (

z

C z z t C z tCJz z

+ = = D D, )

(1.4-3)

En la Figura 1.4-1 es claro que CAA/z representa la pendiente promedio sobre la regin z. Cuanto ms pequea sea z, mejor ser la representacin de la pendiente en un punto z. En el lmite cuando z 0, obtenemos la derivada parcial de CA con respecto a z

A A( , ) ( , )lm 0 C z z t C z t Czz

A

z+ = (1.4-4)

Entonces, el flux difusivo de la especie A a cualquier distancia y a cualquier tiempo est dado por:


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AA, AB zCJz

= D (1.4-5)

AC

AC

A AC C+

z zz z+

A gradiente negativoCz

=

(a)

flux positivo

A gradiente positivoCz

=

ACA AC C+

z zz z+ (b)

flux negativoAC

Figura 1.4-2. Relacin entre las direcciones del gradiente de concentracin y del flux difusivo. (a) gradiente negativo, flux difusivo positivo. (b) gradiente positivo, flux difusivo negativo. donde la constante de proporcionalidad DAB se denomina coeficiente de difusin o difusividad, Esta ecuacin expresa la ley de Fick aplicable a soluciones diluidas de densidad constante. Fick public este resultado en 1855, reconociendo que la difusin de masa segua esencialmente la misma ley que la difusin de calor (ley de Fourier), descubierta en 1822, y el flujo de electricidad (ley de Ohm). Un aspecto importante de las leyes fenomenolgicas (tambin denominadas relaciones constitutivas) es que son independientes del sistema de coordenadas utilizado. La Ec.(1.4-4) est escrita para difusin unidireccional en coordenadas rectangulares. Las expresiones equivalentes para difusin en direccin radial en coordenadas cilndricas y esfricas son:

AA, AB

AA, AB

difusin radial, coordenadas cilndricas

difusin radial, coordenadas esfricas

;

;

r

r

CJr

CJr

= =

D

D (1.4-6)

Notemos que al derivar la Ec.(1.4-5) admitimos que la concentracin disminua conforme z creca. En este caso, el gradiente de concentracin CA/z es negativo y en consecuencia el flux difusivo JA,z es positivo. Por el contrario, si la concentracin aumenta conforme crece la distancia, el gradiente de concentracin es positivo y, por lo tanto, el flux difusivo es negativo. Fsicamente, un flux difusivo negativo significa simplemente que tiene una direccin opuesta a la definida como positiva para la distancia. Estas dos observaciones aparecen de forma grfica en la Figura 1.4-2. Como el estudiante se habr dado cuenta, el flux difusivo es un vector, que tiene magnitud y direccin.


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Podemos resumir nuestra discusin sobre el significado fsico de la ley de Fick en los siguientes cuatro puntos:

Existe una tendencia natural (espontnea) para que cualquier soluto se difunda desde la regin de alta concentracin a la regin de baja concentracin;

Esta tendencia depende de la naturaleza de la mezcla, esto es, del coeficiente de difusin;

La magnitud del flux difusivo es directamente proporcional a la magnitud del gradiente de concentracin; y

El flux difusivo y el gradiente de concentracin tienen direcciones (signos) opuestos. La ley de Fick representa una manera fenomenolgica rigurosa de cuantificar la difusin. Permite conocer el flux difusivo en cada punto dentro del sistema. Adems, mediante su uso combinado con los balances de masa que veremos en el Captulo 2, nos permite conocer la distribucin o perfil de concentraciones del soluto dentro del medio. Esta ley relaciona el flux difusivo con el gradiente de concentracin mediante el coeficiente de difusin. ste es una propiedad del sistema en cuestin, en este caso del soluto A y el solvente lquido B, y siempre tiene dimensiones de longitud al cuadrado sobre tiempo (L2/t). En el Captulo 9 se presentan valores experimentales del coeficiente de difusin para gases, lquidos y slidos, as como algunos mtodos para estimarlo cuando no contamos con ellos; el material contenido en este captulo debe ser de estudio obligado para el estudiante. Existen formas de la ley de Fick ms generales, aplicables a soluciones concentradas. Sin embargo, un sinnmero de problemas prcticos de difusin involucran soluciones diluidas, lo que justifica ampliamente su estudio detallado. Adems, siendo estos casos ms sencillos en su tratamiento matemtico, permiten una ms fcil comprensin de esta materia de estudio. En el Captulo 2 profundizaremos en el uso de la ley de Fick para resolver problemas de transporte de masa en soluciones diluidas, en tanto que en el Captulo 3 lo haremos para casos de soluciones concentradas.

1.5 El coeficiente de transferencia de masa Existen muchos problemas de transporte de masa en los que una descripcin detallada del flux y el perfil de concentraciones no es posible, o ni siquiera necesaria. En muchos casos, debido a la complejidad de la situacin fsica, slo es posible conocer la concentracin promedio en dos regiones del sistema de inters, pero no la distancia exacta sobre la cual ocurre el proceso de transporte de masa. En estos casos, el modelo que usa coeficientes de transferencia de masa es de gran utilidad. Presentemos este modelo mediante un ejemplo. Supongamos que deseamos estudiar el proceso de disolucin de pequeas partculas de un slido A en agua (B). Ponemos en contacto el slido A con el lquido B en un recipiente,


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agitamos y medimos la concentracin de A disuelto en el lquido conforme pasa el tiempo. Esto se ilustra en la Figura 1.5-1. En el proceso de disolucin ocurren los mismos fenmenos ya descritos en la Sec. 1.2, pero adems existe uno adicional. El lquido B se mueve alrededor del tanque por la accin del agitador, provocando corrientes que pasan por encima de cada partcula de A y arrastran al soluto disuelto que se halla alrededor de sta para mezclarlo con el resto del lquido del tanque. Consideraremos que el lquido est bien agitado y que la concentracin del soluto ser uniforme en l. Tenemos pues un caso en el que actan como mecanismos de transporte de masa la difusin, la conveccin natural y la conveccin forzada.

( )A2C tslido A

corrientes de lquido

A1C

AN( )A2

lquido agitado C t

A2C

tiempo

Figura 1.5-1. Proceso de disolucin de un slido. En este caso estn presentes la difusin, la conveccin natural y la conveccin forzada. Este proceso puede estudiarse con ayuda del modelo del coeficiente de transferencia de masa. El problema es complejo porque, entre otras cosas: (a) no conocemos la distancia exacta sobre la cual ocurre el transporte de masa; (b) no conocemos los valores de la velocidad del lquido en las cercanas de cada partcula del slido. Sin embargo, estos problemas se pueden tratar de manera sencilla con el modelo del coeficiente de transferencia de masa. Veamos. Por el momento, supongamos que conocemos la concentracin del soluto A en el lquido en inmediato contacto con la superficie de la partcula de sal, CA1. La concentracin promedio1 del soluto en el lquido, CA2, se puede medir experimentalmente conforme avanza la disolucin. La cantidad total del slido que se disuelve por unidad de tiempo, WA, se calcula simplemente suponiendo que: (a) es proporcional a la diferencia de concentracin del soluto A que existe entre el lquido que toca la superficie del slido y la concentracin promedio en

1 Cuando existe flujo turbulento, las propiedades del fluido, incluida la concentracin, sufren pequeas fluctuaciones al azar alrededor de un valor promedio. En la Sec. 7.6 se discute este fenmeno.


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el seno del lquido, (CA1CA2); y (b) es proporcional al rea de las partculas slidas, AS. Estos mismos supuestos ya los planteamos en la Sec. 1.3. Entonces, en trminos matemticos: ( )A A A1 A2c S cW k C A k C C A= = S (1.5-1) donde kc es una constante de proporcionalidad que llamaremos coeficiente de transferencia de masa. Si dividimos por el rea de las partculas obtendremos

(A A A1c A cS

W N k C k C CA

= = = )A2 (1.5-2) donde NA es el flux total de moles del soluto A que se disuelve. Recordemos que en este ejemplo se encuentran presentes la difusin y la conveccin. Entonces, NA representa la suma del flux causado por el mecanismo difusivo (JA) ms el flux causado por los mecanismos convectivos de transporte de masa, esto es: (1.5-3) A Aflux total de A = flux difusivo + flux convectivo flux convectivo= + N J= El coeficiente de transferencia de masa no depende de la solubilidad ni del rea del slido, y tampoco del volumen de la solucin. Sin embargo, si depende de la agitacin y de la viscosidad de la solucin. A diferencia de la difusividad, el coeficiente de transferencia de masa no es una propiedad del sistema. Lo til del modelo del coeficiente de transferencia de masa est en que los diversos efectos que no conocemos se engloban en el parmetro kc. En este caso resultan desconocidas las distancias sobre las cuales ocurre la difusin y la velocidad de agitacin del lquido, por ejemplo. Tampoco podemos conocer el perfil de concentracin. No obstante, es posible obtener resultados aproximados de gran utilidad, especialmente cuando slo es posible conocer concentraciones promedio. En los captulos 6 y 7 abordaremos con detalle problemas cuya solucin involucran al coeficiente de transferencia de masa. Con lo arriba expuesto y lo discutido en la seccin 1.4, hemos concluido la presentacin de dos modelos que nos sirven para el mismo propsito: cuantificar el transporte de masa. La ley de Fick y el modelo del coeficiente de transferencia de masa son las bases para el anlisis de la inmensa mayora de los problemas de transporte de masa que enfrenta un ingeniero. Cul de los modelos es mejor? En qu circunstancias y en qu tipo de problemas es ms conveniente utilizar uno y no otro? Es posible utilizar ambos? Cules ventajas y desventajas tiene cada modelo? A responder estas preguntas dedicaremos buena parte del libro. Por el momento, digamos que la utilizacin de los diferentes modelos depende de qu queremos conocer y qu podemos medir. Ambos modelos comparten la hiptesis de que el flux es proporcional a la diferencia de concentracin. Adicionalmente, el modelo basado en la ley de Fick establece que el flux es inversamente proporcional a la distancia de difusin.


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En otras palabras, en el modelo de la ley de Fick el flux es proporcional al gradiente de concentracin, en tanto que el modelo basado en el coeficiente de transferencia de masa el flux es proporcional a una diferencia de concentracin.

1.6 Fenmenos de transporte Antes de iniciar nuestro estudio de la difusin, es conveniente sealar que existen otros fenmenos (con los cuales el estudiante quiz ya est familiarizado) que pueden tratarse de manera anloga al transporte de masa. Nos referimos a los fenmenos de transporte de energa y momentum. El tratamiento unificado de estos tres fenmenos ha dado lugar a una nueva rama de la ciencia denominada fenmenos de transporte. El establecimiento formal de este campo se da con la publicacin en 1960 del libro de Bird, Stewart y Lightfoot, titulado Transport Phenomena1. Aunque hoy existen ya muy diversas publicaciones en el campo, ninguna ha tenido la trascendencia e influencia de este excelente clsico. Los fenmenos de transporte y la termodinmica, entre otras, pertenecen a un grupo de disciplinas denominadas ciencias de la ingeniera, debido a que proporcionan fundamentos cientficos a una gran diversidad de ramas de la ingeniera y establecen un puente entre las ciencias bsicas y las aplicaciones. El tratamiento unificado de los fenmenos de transporte de momentum, energa y masa se basa en buena medida en las analogas existentes entre las leyes bsicas que describen los tres fenmenos. Estas leyes son las siguientes:

ley de viscosidad de Newtontransporte de momentum

yz yvz

= (1.6-1)

ley de Fourierconduccin de calor z T

Tq kz

= (1.6-2)

A, ABley de Fick

difusin de masa z A

CJz

= D (1.6-3) donde zy, qz y JA,z son los fluxes moleculares o difusivos de momentum, calor y masa, respectivamente; es la viscosidad, kT es la conductividad trmica y DAB es el coeficiente de difusin, que son propiedades de transporte de los materiales en cuestin. Cada flux es provocado por un gradiente de potencial. Especficamente, un gradiente de velocidad origina un flux de momentum, un gradiente de temperatura provoca un flux de calor; y un gradiente de concentracin un flux de masa. Entonces, es posible escribir una forma general de ecuacin para los tres tipos de transporte: flux=propiedad de transporte gradiente de potencial 1 Bird, RB, Stewart, WE y Lightfoot, EN (1960). Transport Phenomena, John Wiley, New York.


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No obstante su semejanza, estas tres leyes distan de ser anlogas. Observemos que las dimensiones de las constantes de proporcionalidad (, kT y DAB) son distintas. Notemos tambin que el flux de masa es proporcional a un gradiente de concentracin (gradiente de masa/volumen), en tanto que el flux de momentum es proporcional a un gradiente de velocidad; y el flux de calor es proporcional a un gradiente de temperatura. Para que las Ecs.(1.6-1), (1.6-2) y (1.6-3) sean anlogas, se requiere que las constantes de proporcionalidad tengan las mismas dimensiones y que los gradientes que impulsan el transporte expresen la misma idea de concentracin. Esto ha llevado a definir lo que, por analoga, es una concentracin de momentum y una concentracin de energa, esto es, momentum por unidad de volumen y energa por unidad de volumen: ( ) [ ] masa momentumconcentracin de velocidadmomentum volumen volumenyv == =

( ) [ ] masa energa energaconcentracin tempde energa volumen masa temp volumen pC T == = donde es la densidad y pC es la capacidad calorfica especfica a presin constante. Si multiplicamos y dividimos la Ec.(1.6-1) por la densidad, y la Ec.(1.6-2) por pC , llegamos a las expresiones de los fluxes de momentum y calor que s son anlogas a la ley de Fick

( ) ( )y

z y

v vz z

= =

y (1.6-4)

( ) ( )

pT

zp

C T C Tkqz zC

= =

p (1.6-5)

donde

( )[ ] 2longituddifusividad de momentumo viscosidad cinemtica tiempo == = (1.6-6)

[ ] 2longitud(difusividad trmica) =tiempo

T

p

kC

= = (1.6-7)


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Notamos ahora que las Ecs. (1.6-3), (1.6-4) y (1.6-5) s son anlogas, pues las constante de proporcionalidad respectivas tienen las mismas dimensiones y los gradientes de potencial son ahora gradientes de concentracin de masa, momentum y energa, respectivamente. Es importante destacar que las ecuaciones anteriores cuantifican fenmenos que son distintos. Las analogas matemticas entre las ecuaciones provienen de que los mecanismos moleculares de transporte momentum, energa y masa son semejantes. Ello facilita el tratamiento matemtico unificado de los tres fenmenos (ver, por ejemplo, a Brodkey y Hershey1, 1988). Dicha facilidad, sin embargo, ha llevado a diversos autores a presentar muchos temas de transporte de masa como simples casos anlogos de ciertos problemas de transporte de momentum o energa. Desde mi punto de vista, este enfoque puede ser productivo una vez que se tiene un conocimiento adecuado sobre los tres tipos de transporte, pero no lo recomendara para quienes se inician en el campo del transporte de masa. Recapitulacin En este primer captulo nos hemos introducido en el estudio de los fenmenos de transporte de masa, que son de gran importancia en diversas ramas de la ingeniera y la ciencia. La caracterstica distintiva de estos procesos es que involucran mezclas y soluciones de dos o ms componentes que se encuentran fuera de equilibrio. Este desplazamiento del equilibrio origina procesos de transferencia de masa que tienden a que los sistemas se equilibren. El desequilibrio se manifiesta en diferencias de concentracin, que constituyen las principales fuerzas motrices de la transferencia de masa. Los dos mecanismos de transporte de masa2 ms comunes son la difusin y la conveccin. La difusin es un proceso lento que se debe al movimiento aleatorio de las molculas, es causada por un gradiente de concentracin y ocurre sobre distancias pequeas de escala microscpica. La conveccin de masa se origina por el movimiento macroscpico de un fluido que transporta masa entre regiones del mismo que tienen diferente concentracin; es un mecanismo ms rpido de transporte que la difusin. Debido a que las diferencias de concentracin pueden dar lugar a diferencias de densidad, con frecuencia la difusin y la conveccin natural ocurren simultneamente. Slo en soluciones diluidas de densidad constante, la conveccin natural que acompaa a la difusin es de magnitud insignificante.

1 Broadkey, RS y Hershey, HC (1988). Transport Phenomena. A Unified Approach, McGraw-Hill, New York. 2 Conviene que precisemos dos trminos. Cuando nos refiramos a transporte de masa lo estaremos haciendo para designar el movimiento de especies, sea por difusin y/o conveccin, dentro de una fase. Cuando usemos el trmino transferencia de masa, lo haremos para referirnos al movimiento de especies qumicas, sea por difusin y/o conveccin, entre dos fases a travs de una interfase comn.


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Para cuantificar el transporte de masa podemos servirnos de dos modelos: el de la ley de Fick y el del coeficiente de transferencia de masa. La ley de Fick es de mayor utilidad para cuantificar la difusin en un medio estacionario o en flujo laminar; y el modelo del coeficiente de transferencia de masa para cuantificar el transporte de masa cerca de las interfases cuando existe conveccin, aunque esta "regla" tiene muchas excepciones. Como veremos, a menudo, ambos modelos pueden relacionarse para resolver problemas importantes. La descripcin matemtica de los fenmenos de transporte de masa comparte muchas analogas con las de momentum y de energa. Aunque son de utilidad, dichas analogas deben tomarse con reservas, pues puede perderse de vista que se trata de fenmenos fsicos distintos. Lo que queremos enfatizar en este libro es la comprensin fsica de los problemas de transporte de masa.

Revisin de conceptos R1.1. Describe con tus propias palabras el fenmeno de difusin. Cita cinco ejemplos en que ocurre. En qu radica su importancia? Indaga sobre las posibles fuerzas motrices que pueden causarlo. R1.2 Describe tres operaciones de transferencia de masa y explica dnde y cmo ocurre la difusin. R1.3. Explica la diferencia entre modelo fundamental y modelo fenomenolgico. Cita al menos tres ejemplos de cada uno. R1.4. Cul es la diferencia entre flujo de masa y flux de masa? Cules son sus dimensiones? Cita tres ejemplos en diferentes sistemas de unidades. R1.5. Describe los modelos de la ley de Fick y del coeficiente de transferencia de masa. Explica sus diferencias y similitudes. R1.6. Distingue entre una diferencia de concentracin y un gradiente de concentracin. A qu modelo se asocia cada concepto? R1.7. Por qu es necesario el supuesto de solucin diluida y densidad constante al derivar la Ec.(1.4-4)? R1.8. De qu dependen el coeficiente de difusin y el coeficiente de transferencia de masa?, son diferentes en su naturaleza? Cules son sus dimensiones? R1.9. Explica los diferentes mecanismos de transporte de masa. Cita cinco ejemplos de cada uno.


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R1.10. En el texto afirmamos que la difusin y la conveccin siempre estn presentes cuando existe una diferencia de concentracin. Podras explicar por qu? R1.11. Cules otros fenmenos de transporte son anlogos al transporte de masa? En qu consiste la analoga? R1.12. Las Ecs.(1.6-1), (1.6-2) y (1.6-3) no son anlogas. Qu se requiere para que lo sean? Cules propiedades de transporte son anlogas a la difusividad? Cules gradientes impulsores del transporte de momentum y energa son anlogos al gradiente de concentracin?

Problemas 1.1. Corrosin de metales expuestos a la atmsfera. La corrosin en metales se debe a reacciones entre un gas presente en el aire y el metal. Una vez que se ha formado una capa muy delgada de xido, el gas debe penetrar a travs de esta capa para alcanzar al metal y as proseguir la corrosin. Cul es el mecanismo de transporte de masa del gas en la capa de xido? Con qu modelo debemos estudiar el proceso de penetracin del gas en el metal? 1.2. Absorcin de amonaco en agua. Una operacin industrial de uso frecuente es el lavado de corrientes gaseosas con agua o alguna solucin acuosa con el objeto de transferir uno o varios compuestos solubles del gas al lquido. El NH3 es un contaminante que debe retirarse de una corriente gaseosa antes de dispersar sta en la atmsfera. Cul es el principal mecanismo de transporte de masa presente en este proceso? qu modelo sera ms adecuado para cuantificar la velocidad de absorcin del NH3 durante el proceso de lavado? 1.3. Secado de una corriente ga

principios de transferencia de masa 2a ed. r.lobo-1

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