1

Principios de Equivalencia

• Concepto de Apertura.

• Principios de Equivalencia

• Expresiones de los Campos Radiados

• Directividad

• Aperturas rectangulares

• Distribuciones separables: ejemplos

• Aperturas circulares

Concepto de Apertura

• Las antenas de Apertura se

caracterizan por radiar la

energía al espacio que las rodea

a través de una abertura

(apertura)

– en algunos casos la apertura

está perfectamente limitada

por paredes metálicas

conductoras (Bocinas y

ranuras cortadas sobre planos,

cilindros, guíaondas, etc.).

– mientras que en otros casos

(reflectores y lentes) la

apertura se define como la

porción de la superficie frontal

plana en la que los campos de

la onda colimada por aquellos

toman valores apreciables.

Apertura

Plano de

Apertura

2

Teorema de Unicidad

En un medio homogéneo, dentro de un volumen V (libre de fuentes de radiación),

limitado por una superficie S, los campos existentes únicamente dependen del valor

que toman las componentes tangenciales de E y H sobre S.

rJFuentes de

Radiación

V S

$n

σ ε µ, ,

r rE H,

– Sean E1,H1 y E2,H2 dos soluciones de las ecuaciones de Maxwell que cumplan:

$ $n E n ES S

× = ×r r1 2

$ $n H n HS S

× = ×r r1 2y

– Los vectores E1-E2 y H1-H2 también son solución de las Ecuaciones de Maxwell.

Aplicando el Teorema de la Divergencia a:

( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )[ ] [ ]

∇⋅ − × − = − ⋅ ∇ × − − − ⋅ ∇ × −

− × − ⋅ = − − − + −

=

− ≥

− ≥

⇒≡

≡∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

∫∫r r r r r r r r r r r r

r r r r r r r r r r

r r

r r

r r

r r

E E H H H H E E E E H H

E E H H ndS j H H E E dV E E dV

E E

H H

E E

H HS V V

S1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

2

1 2

2

1 2

21 2

2

1 2

2

1 2

1 2

0

0

0

* * *

*

$ ω µ ε σ

La solución es UNICA: Los campos interiores se deben poder calcular a partir de sus

componentes tangenciales sobre S

Principios de Equivalencia

El análisis de estas antenas típicas de microondas se realiza a partir del

conocimiento de los campos E y H del frente de onda que atraviesa la apertura. – Estos campos se obtienen, en el caso de las bocinas y ranuras, a partir de los modos

que se propagan en su interior, mientras que para los reflectores y lentes se realiza un

trazado de rayos basado en óptica geométrica.

El análisis se basa en la aplicación de los Principios de Equivalencia

Electromagnética, que responden al siguiente planteamiento:

~

S

( )r rJ r ′

rE

S

rH

SDatos

– Si se conocen los campos en una superficie cerrada S que

contiene todas las fuentes (corrientes reales) de campo, ¿Pueden

obtenerse los campos radiados? ¿Existe alguna distribución de

corrientes equivalentes sobre S que produzca el mismo campo

radiado?

– La respuesta es afirmativa tal como sugiere el Principio de

Difracción que Huygens estableció para la luz en 1690.

3

Principios de Equivalencia

Principio de Huygens Principios de Equivalencia

><

$ $n z=

Plano XY

r

rE

H

a

a

Plano XY

r r

r rJ n H

M n E

s a

s a

= ×

= − ×

$

$

Onda

Plana

El Principio de Equivalencia, en su primera

forma, permiten sustituir, a efectos de

calcular los campos en el semiespacio z≥0, los campos en la apertura Ea, Ha, por las

corrientes superficiales equivalentes Js y

Ms, calculadas sobre la apertura

Planteamiento

Matemático

“Cada punto de un frente de ondas

actúa como una fuente secundaria de

generación de ondas esféricas; el

siguiente frente de ondas es la

envolvente de estas ondas secundarias

y así sucesivamente”.

Fuentes

Secundarias

Frentes

de Ondas

Ecuaciones Simétricas de Maxwell

AT 6

m

e

B

D

DjJH

BjmE

ρ=⋅∇

ρ=⋅∇

ω+=×∇

ω−−=×∇

r

r

rrv

rrr

=

0B

D

DjJH

BjE

A

eA

AA

AA

=⋅∇

ρ=⋅∇

ω+=×∇

ω−=×∇

r

r

rrv

rr

+

mF

F

FF

FF

B

0D

DjH

BjmE

ρ=⋅∇

=⋅∇

ω=×∇

ω−−=×∇

r

r

rv

rrr

Er

Hr

=

=

AEr

AHr

+

+

FEr

FHr

Ecuaciones Simétrica Ecuaciones con

fuentes eléctricas

Ecuaciones con

fuentes magnéticas

4

Fuentes Magnéticas Ficticias

η µ ε=

F: Potencial Vector Eléctrico

Para establecer los Principios de

Equivalencia es necesario introducir unas

fuentes ficticias de campo, de tipo

magnético:– Densidad de carga magnética ρm.– Densidad de corriente magnética

que cumplen el conjunto dual de

Ecuaciones de Maxwell que aparece en la

tabla.

En un problema con fuentes eléctricas

y magnéticas, los campos totales se

obtienen sumando los correspondientes a

cada distribución.

r rM Ms,

P.E.: Campos Radiados

( ) ( )r r r r r

A re

rJ r e dS A r A A

jkr

s

jkr r

Sr= ′ ′ = + +

−⋅ ′

′∫∫µ

πθ φθ φ

4

$ $ $ $

( ) ( )r r r r r

F re

rM r e dS F r F F

jkr

s

jkr r

Sr= ′ ′ = + +

−⋅ ′

′∫∫ε

πθ φθ φ

4

$ $ $ $

( )( ) ( )r r rE j r r A j r F

E

E j A j F

E j A j F

H

H E

H E

r r

= × × + ×

=

= − −

= − +

=

= −

=

ω ωη

ω ωη

ω ωη

η

η

θ θ φ

φ φ θ

θ φ

φ θ

$ $ $

0 0

En la zona de radiación:

Condiciones de Contorno:

( )( )( )( )

$

$

$

$

n D D

n B B

n E E M

n H H J

Ss

Sms

Ss

Ss

⋅ − =

⋅ − =

× − = −

× − =

r r

r r

r r r

r r r

1 2

1 2

1 2

1 2

ρ

ρ

r rE D1 1,

1

2

r rH B1 1,

r rE D2 2,

r rH B2 2,

$n

S

ε µ1 1,

ε µ2 2,

5

Teorema de las Imágenes Generalizado.

Resultados

válidos sólo para z ≥0

rJ

ρ

Conductor Eléctrico

Perfecto Plano e Indefinido

h$z ( )rE zt = =0 0

><( )

rE zt = =0 0

rM

ρm

rJ

ρ

rM

ρm

h

rJ i

ρ ρi = − rM i

ρ ρmi m=

σ = ∞

rJ

ρ

Conductor Magnético

Perfecto Plano e Indefinido

h$z ( )rH zt = =0 0

><( )

rH zt = =0 0

rM

ρm

rJ

ρ

rM

ρm

h

rJ i

ρ ρi = rM i

ρ ρmi = −

σm = ∞

1er Principio de Equivalencia

rJ V

S$n

ε µ,

r rE H,

Ambos problemas poseen los mismos campos tangenciales sobre S y, por lo

tanto, los campos radiados en V son IDENTICOS.

Se han sustituido el problema real, que posee unas corrientes reales a menudo

desconocidas, por otro con corrientes equivalentes que quedan como únicas

responsables de la radiación fuera de S.

rE = 0 V

S$n

ε µ,

r rE H,

rH = 0

V0 V0r r

r rJ n H

M n E

sS

sS

= ×

= − ×

$

$

><

S∞

Conocidos

$

$

n E

n H

E H

S

S

×

×

= =∞ ∞

r

r

r r0

se sustituyen las

fuentes interiores a V0

por la solución:

r

rE

H

=

=

0

0introduciendo

( )( )

r r

r rJ n H

M n E

sS

sS

= × −

= − × −

$

$

0

0

6

2o Principio de Equivalencia

rJ V

S$n

ε µ,

r rE H,

V

S$n

ε µ,

r rE H,

V0V0

r r

r rJ n H

M n E

sS

sS

= ×

= − ×

$

$

><

S∞

El volumen V0 se rellena de un conductor eléctrico perfecto que cumple:

Queda como responsable de la radiación la corriente magnética:

enfrentada al conductor eléctrico perfecto.

r rM n Es

S= − ×$

Conductor

Eléctrico

Perfecto

><

Plano XY

r

rE

H

a

a

r r

r rJ n H

M n E

s a

s a

= ×

= − ×

$

$ ><

Plano XYσ = ∞

><

r

rJ

M

s

s

Para

z>0

r

rJ

M

s

s

2rMs

$ $n z= $ $n z=

2º P.E. Teorema Imágenes

r rJ n Hs

S= ×$

3o Principio de Equivalencia

rJ V

S$n

ε µ,

r rE H,

V

S$n

ε µ,

r rE H,

V0V0

r r

r rJ n H

M n E

sS

sS

= ×

= − ×

$

$

><

S∞

El volumen V0 se rellena de un conductor magnético perfecto que cumple:

Queda como responsable de la radiación la corriente eléctrica:

enfrentada al conductor magnético perfecto.

r rM n Es

S= − ×$

Conductor

Magnético

Perfecto

><

Plano XY

r

rE

H

a

a

r r

r rJ n H

M n E

s a

s a

= ×

= − ×

$

$ ><

Plano XYσm = ∞

><

r

rJ

M

s

s

Para

z>0

r

rJ

M

s

s

2rJs

$ $n z= $ $n z=

3º P.E. Teorema Imágenes

r rJ n Hs

S= ×$

7

Aperturas Planas. Campos Radiados.

Plano XY

r

rE

H

a

a

$ $n z=

( ) ( )

( ) ( )

r

rE x E x y y E x y

H x H x y y H x y

a ax ay

a ax ay

= ′ ′ + ′ ′

= ′ ′ + ′ ′

$ , $ ,

$ , $ ,

r r

r rJ z H

M z E

s a

s a

= ×

= − ×

$

$

( ) ( ) ( )P u v E x y e dx dyx axj ux vy

Sa

, ,= ′ ′ ′ ′′+ ′∫∫2π

λ

( ) ( ) ( )P u v E x y e dx dyy ayj ux vy

Sa

, ,= ′ ′ ′ ′′ + ′∫∫2π

λ

( ) ( )r r r r r

A re

rz H r e dS

jkr

a

jkr r

S= × ′ ′

−⋅ ′

′∫∫µ

π4$ $

( ) ( )r r r r r

F re

rz E r e dS

jkr

a

jkr r

S= − × ′ ′

−⋅ ′

′∫∫ε

π4$ $

( )r r r

P E r e dSajkr r

Sa

≡ ′ ′⋅ ′∫∫ $

( )r r r

Q H r e dSajkr r

Sa

≡ ′ ′⋅ ′∫∫ $

( )

$ sen cos $ sen sen $ cos $

$ $

$

sen cos

sen sen

r x y z

r x x y y

kr r ux vy

u

v

= + +

′ = ′ + ′

⋅ ′ = ′ + ′

=

=

θ φ θ φ θ

π

λθ φ

θ φ

r

r 2

( ) ( ) ( )Q u v H x y e dx dyx axj ux vy

Sa

, ,= ′ ′ ′ ′′+ ′∫∫2π

λ

( ) ( ) ( )Q u v H x y e dx dyy ayj ux vy

Sa

, ,= ′ ′ ′ ′′+ ′∫∫2π

λ

Los potenciales

vectores valen:

definiendo:

Aperturas Planas. Campos Radiados.

( ) ( )( )θ θ φπ

φ φ η θ φ φE r = jke

rP P e Q en Q

-jkr

x y x y, , cos s n cos s cos4

+ − −

( ) ( ) ( )( )φ θ φπ

θ φ φ η φ φE r = jke

rP e P Q Q

-jkr

x y x y, , cos s n cos cos sen− − + +4

1er Principio

( ) ( )θ θ φπ

φ φE r = jke

2 rP P e

-jkr

x y, , cos s n+

( ) ( )φ θ φπ

θ φ φE r = jke

rP e P

-jkr

x y, , cos s n cos− −2

2o Principio

( ) ( )θ θ φ ηπ

θ φ φE r = jke

2 rQ Q

-jkr

x y, , cos sen cos− −

( ) ( )φ θ φ ηπ

φ φE r = jke

2 rQ Q

-jkr

x y, , cos sen− +

3o Principio

Todas las expresiones son sólo válidas para: 0 2≤ ≤θ π

8

Aperturas Planas. Campos Radiados

Para aperturas grandes, en que Ha y Ea están relacionados por η (fuente de

Huygens), los campos de radiación del 1er Principio se pueden escribir como:

( ) ( )θ θ φπ

θφ φE r = jk

e

2 rP P e

-jkr

x y, ,cos

cos s n1

2

+

+

( ) ( )φ θ φπ

θφ φE r = jk

e

2 rP e P

-jkr

x y, ,cos

s n cos−+

−

1

2

QP

QP

x

y

yx

= −

=

η

η

Si se utilizan los campos exactos de todo el plano de apertura los 3 principios dan

los mismos resultados. Cuando se utiliza la apertura definida como el área donde los

campos toman valores significativos, los resultados difieren si las aperturas son

pequeñas para θ alejados del máximo principal.

Para aperturas grandes, directivas, en las que la radiación se concentra en

direcciones próximas a θ=0 los diagramas obtenidos con los 3 principios son prácticamente coincidentes.

- Si la polarización es lineal y se mantiene constante en la apertura

este modelo predice contrapolar nula

Aperturas Planas. Polarización.

• Si la apertura es pequeña y se abre sobre un

plano conductor grande (ranuras, bocas de

guía sobre planos, etc.) debe utilizarse el 2º

Principio ya que fija la misma condición de

contorno que la realidad.

• También se ha comprobado con medidas

que el 2º Principio (Modelo de Campo

Eléctrico) modela mejor la radiación

contrapolar de pequeñas bocinas sin plano

de masa.

1er Principio2o Principio

9

Aperturas Planas. Polarización.

La polarización del campo radiado (sobre el lóbulo principal) coincide con la

polarización del campo de iluminación de la apertura, p.e.:

( )rE x E x ya a= ′ ′$ , ( ) ( ) ( )

rE r = jk

e

2 ren P

-jkr

x, , $ cos $ cos s ,θ φπ

θ φ φ θ φ θ φ−2º Principio

cuando θ → 0

Los campo radiados son en general el producto de un término de polarización por

un “Factor de Radiación” (P(θ,φ), Q(θ,φ)) que determina, para aperturas eléctricamente grandes, el diagrama de radiación que es así función de la

dimensiones y de la ley de iluminación de la apertura.

Este factor juega el mismo papel que el “Factor de Array” en análisis de arrays.

De hecho se puede llegar a las expresiones de los factores de radiación, que no

son otra cosa que las Transformadas de Fourier bidimensionales de los campos

de apertura, considerando ésta como un array reticular continuo de elementos

dxdy.

$ $ cos $ s $e en x= − =θ φ φ φ

Aperturas Rectangulares. Iluminación Uniforme.

x

y

Lx

Ly

rE y E x L y La x y= ≤ ≤$

0 2 2

( )$ sen cos $ sen sen $ cos $

$ $

$

sen cos

sen sen

r x y z

r x x y y

kr r k ux vy

u

v

= + +

′ = ′ + ′

⋅ ′ = ′ + ′

=

=

θ φ θ φ θθ φ

θ φ

r

r

( )( )( )

( )( )( )

( )P u v E e dx e dy E L L

k L u

k L u

k L v

k L vy

jkux

L

Ljkvy

L

L

x y

x

x

y

yx

x

y

y

,sen sen

= ′ ′ =′

−

′

−∫ ∫02

2

2

2

0

2

2

2

2

( )( )( )

( )( )( )

( )θ θ φ

π

θφE r = jk

e

2 rE L L e

k L u

k L u

k L v

k L v

-jkr

x y

x

x

y

y

, ,cos

s nsen sen1

2

2

2

2

20

+

( )( )( )

( )( )( )

( )φ θ φ

π

θφE r = jk

e

2 rE L L

k L u

k L u

k L v

k L v

-jkr

x y

x

x

y

y

, ,cos

cossen sen1

2

2

2

2

20

+

Iluminación:

Campo Radiado (1er Principio)

10

Aperturas Rectangulares. Iluminación Uniforme.

Diagramas aproximados en los Planos Principales:

Plano E (φ=90º):

0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.340

30

20

10

0

( )( )( )

( )NE

y

y

F =k L v

k L vθ φ,

sen 2

2( )φ θ φE r =, , 0

Plano H (φ=0º):

0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.340

30

20

10

0

( )( )( )

( )NH

x

x

F =k L u

k L uθ φ,

sen 2

2( )θ θ φE r =, , 0

Plano H Plano E

-13.26 dB

uL x

0 =λ

Lx=20λ

Ly=10λLx=20λ

Ly=10λ

vL y

0 =λ

u=senθθθθ v=senθθθθBW

LH

x

0

2=

λ

Aperturas Rectangulares. Iluminación Uniforme.

0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.30.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

D

Lx=20λ

Ly=10λ

u

v

El diagrama es similar al del array

reticular rectangular de las mismas

dimensiones.

El nivel de lóbulos secundarios es

mayor en los planos principales que en

los planos diagonales.

Si la apertura estuviese iluminada

con polarización circular

los diagramas de campo representados

continuarían siendo válidos. La

polarización sería circular pura del

mismo sentido para θ=0º.

( )rE x jy Ea = +$ $

0

11

Distribuciones Separables

• En aperturas rectangulares las distribuciones de tipo separable permiten

controlar de forma independiente los diagramas correspondientes a ambos

planos principales.

• En efecto, tomando por ejemplo:

donde f1(v) y f2(v) son las transformadas de Fourier unidimensionales de las

distribuciones según x’ y según y’, respectivamente.

– Plano XZ (φ=0,π);v=0; f2(v)=cte; ⇒ P(u,0)= Cte · f1(u)

– Plano YZ (φ=π/2,3π/2);u=0; f1(u)=cte; ⇒ P(0,v)= Cte · f2(v)

( ) ( ) ( )E x y E x E ya a a′ ′ = ′ ′, 1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

P u v E x y e dx dy

E x e dx E y e dy

P u v f u f v

aj ux +vy

S

aj ux

L

L

aj vy

L

L

a

x

x

y

y

, ,

,

= ′ ′ ′ ′

= ′ ′ ′ ′

⇒ =

′ ′

′

−

′

−

∫∫

∫ ∫

2

1

2

2

2

2

2

2

21 2

π

λ

π

λ

π

λ

Ejemplos de Distribuciones Separables

Triangular Coseno (Modelo Guía Rectangular abierta)

E Ex

L

Lx

La

x

x x= −

− ≤ ≤0 1

2

2 2E E

x

L

Lx

La

x

x x=

− ≤ ≤0

2 2cos

π

( )( )

( )f u E

L kuL

kuL

x x

x

1 0

2

22

4

4=

sen

0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.340

30

20

10

0

0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.340

30

20

10

0

( )( )

( )f u E

L kuL

kuL

x x

x

1 0 2

2 2

1=

−π π

cos

-26.5 dB

uLx

0 2=λ

BWL

radx

0 4≈λ

εax=0.75Lx=10λ εax=0.81

BWL

radx

0 3≈λ

uLx

0

3

2=

λ

-23.0 dB

Lx=10λ

u=senθθθθ u=senθθθθ

DL Lx y

ax ay0 24= π

λε ε εa uniforme =1

12

Directividad

• En aperturas bien enfocadas (máximo de radiación en θ=0) la directividad vale:

• La potencia radiada se obtiene como el flujo de potencia que atraviesa la

apertura:

• La directividad vale:

( )D

S

P rR

0 2

0

4=

< = >θ

πk r r$ ⋅ ′ =

r0

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )< = >=

= + ==

= + =S

E Ek

P P

r

x yθ

θ θ

η

θ θ

η π

θ φ0

0 0

2

0 0

2 2

2 2

2

2 2

2

( ) ( )[ ]P E x y E x y dx dyR ax ay

SA

= ′ ′ + ′ ′ ′ ′∫∫1

2

2 2

η, ,

( ) ( )

( ) ( )[ ]D

E x y dx dy E x y dx dy

E x y E x y dx dy

ax

S

ay

S

ax ay

S

A A

A

0 2

2 2

2 2

4=

′ ′ ′ ′ + ′ ′ ′ ′

′ ′ + ′ ′ ′ ′

∫∫ ∫∫

∫∫

π

λ

, ,

, ,

Directividad - Eficiencia

• Para aperturas planas uniformemente iluminadas, la directividad vale:

• La eficiencia de iluminación de apertura (εA) da idea de lo bien que se aprovecha la apertura, esto es, lo uniforme que es su campo de iluminación en

amplitud y fase.

( ) ( )

( ) ( )[ ]εA

ef

A

ax

S

ay

S

A ax ay

S

A

S

E x y dx dy E x y dx dy

S E x y E x y dx dy

A A

A

≡ =

′ ′ ′ ′ + ′ ′ ′ ′

′ ′ + ′ ′ ′ ′≤

∫∫ ∫∫

∫∫

, ,

, ,

2 2

2 21

D SA0 2

4=

π

λ

D A Sef A A0 2 2

4 4= =

π

λε

π

λ

SA: Superficie de la Apertura

(independiente de la forma)

En distribuciones rectangulares separables εA=εaxεay

13

Iluminaciones Rotacionalmente Simétricas

r´

x

y

z

θθθθ

φφφφ

r

φφφφ´

a( )a aE = xE r r ar

$ ′ ′ ≤

( )P = E r e dSx a

jkr r

Sa

′ ′⋅ ′

∫∫$r

( ) ( )$ sen cos cos sen sen sen cosr r r r⋅ ′ = ′ ′ + ′ = ′ − ′r

θ φ φ φ φ θ φ φ

( )rE jk

e

rP

jkr

x= −+ −

$ cos $ sencos

θ φ φ φθ

π

1

2 2

En este caso la apertura radiante es circular. En la

figura se muestran los parámetros geométricos

necesarios para su estudio.

Si la iluminación es uniforme

( ) ( ) ( ) ( )P = E r e d r dr E r J kr r drx a

jkr

r

a

ar

a

′ ′

′ ′ = ′ ′ ′ ′′ − ′

′=′= ′=∫∫ ∫sen cos

senθ φ φ

φ

π

φ π θ0

2

00

02

aE = xE r ar

$ 0 ′ ≤ ( ) ( )xJ x dx xJ x0 1∫ =

( )P = E a

J ka

kax 2 0

2 1πθ

θ

sen

sen

( )E jk

e

rE a

J ka

ka

E

CP

jkr

XP

=+

=

−1

2

0

0

2 1cos sen

sen

θ θ

θE E E

E E E

CP

XP

= −

= +

θ φ

θ φ

φ φ

φ φ

cos sen

sen cos

1er Principio

( )$ $e xCP θ = =0

Apertura Circular con Iluminación Uniforme

Para aperturas eléctricamente grandes, el diagrama

de radiación normalizado de campo vale:

( )( )

f =J ka

kae θ

θ

θ

2 1 sen

sen

dando un SLL=-17.6 dB

BW3dB=1.02λ/(2a)

BWnulos=2θ0

23 83 0 610 0

π

λθ θ

λλa

aasen , .= ≈ >>

BWnulos=2θ0=2.44λ/(2a)

2a=10λ

Diagrama con

simetría de

revolución

D0=4π(πa2)/λ2

14

Distribución Parabólica sobre Pedestal

( ) ( )E r C Cr

a

aD

ap

n

= + − −

=

1 1

2

2

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

f n,CCf n

C

nf n

CC

n

f nn J ka

ka

n

n

n

θθ θ

θθ

θ

,, ,

,! sen

sen

== +

−

+

+−

+

=++

++

01

11

12 11

1

1

2 1 0 1 240

30

20

10

0

C=-10

dB

-20 dB

-14 dB

θ (grados)

Diagrama

ormalizado

(n=2, a= 50λλλλ)

Campo

en la

Apertura

(C=-10 dB)

n=1

50 30 10 10 30 500

0.2

0.4

0.6

0.8

11.0

n=2

n=0

-a ar

Diagrama normalizado de campoModelo de campo de apertura

Distribuciones Parabólicas sobre Pedestal

HP: Ancho de Haz a -3 dB

εt: Eficiencia de Iluminación

Típicamente, los reflectores

reales, sin o con débil

bloqueo, dan niveles de

lóbulos secundarios entre

n=1 y n=2

Parámetros típicos de Diagramas de Radiación de Reflectores

15

Distribución Parabólica sobre Pedestal

40 30 20 10 035

30

25

20

)

ivel de Lóbulo Secundario (dB) (n=2)

Depende sólo del nivel de pedestal

No depende del radio de la apertura

Se observa que para conseguir

lóbulos secundarios bajos interesa

una iluminación de borde entorno a

-18, -20 dB.

C(dB)

Antenas de Ranura

• Ranuras

• Principio de Babinet

• Admitancias mutuas

16

Radiación de Ranuras Resonantes

En el caso resonante: 2/L λ=

rE yE z y

V

aza m

m=

= −

$ cos $ cos

2 2π

λ

π

λ

$ $n x=

r rM n E z

V

azst a

m= − × =

2

2 2$ $ cos

π

λ

∫ ∫−= −=

φθθ−

≈

λ

π

π

ε=

4

4z

2a

2ay

sensenjkycosjkzm

jkr

a

dyedzez2

cosa

V2

r

e

4zF

l

l 444 3444 21

r

Eθ = 0

θ

−

θ

π=

−

φsen

2

kcoscos

2

kcos

r

eVjE

jkr

m

ll

Vm

Ranura excitada en guía

Ranura excitada con coaxial

(Campo válido x>0)

(Campo válido todo el espacio)

Expresión similar

(dual) a la del

dipolo en λ/2E j

V e

r

m

jkr

φπ

πθ

θ=

− cos cos

sen

2

2/a λ<<

Para una ranura

radiando en todo el

espacio D0=1.64

Admitancia de Ranuras Resonantes

Ω≈η

== 480R4P2

VR

dipolorad

2

rad

2

mNOTA: No confundir esta resistencia con

la conductancia equivalente a la radiación

de una ranura cortada sobre una guía

onda

jBGV

P2Y

2

*

a +==

λ>>

λ

λ<<

λ=θθ

θ

−

θ

πη== ∫

π

ll

llll

2

2

0

3

2

0

2

2

rad

120

1

90

1

dsincos

2

kcoscos

2

kcos

2

V

V

P2G

B depende de la implementación y de la alimentación

17

Principio de Babinet - Relación de Bookers

“Si se suma el campo tras una pantalla

con una apertura Em al campo de la

estructura complementaria Ee, se

obtiene el campo en el vacío E0”

Jr

Mr

me0

me0

HHH

EEErrr

rrr

+=

+=

mm HErr

ee HErr

“El producto de las impedancias de

estructuras complementarias inmersas

en un medio de impedancia intrínseca η

vale η2/4”

Dipolo Ranura

sZdZ

4Y

ZZZ

2

d

sds

η==⋅

Admitancias Mutuas entre Ranuras

Ranuras

Dipolos

∑=

=N

1n

s

mn

s

n

s

m YVI

∑=

=N

1n

s

mn

s

n

s

m ZIV

n...1m,1m,...0n0Vs

n +−==s

mm

s

m

s

m YVI =⇒⇒⇒⇒

n...1m,1m,...0n0Isn +−==s

mm

s

m

s

m ZIV =⇒⇒⇒⇒

4Y

Z 2

s

mm

d

mm η=⇒⇒⇒⇒

Ranuras

Dipolos

∑=

=N

1n

s

mn

s

n

s

m YVI

∑=

=N

1n

s

mn

s

n

s

m ZIV

mn0Vs

n ≠=s

mn

s

m

s

n YVI =⇒⇒⇒⇒

mn0Isn ≠=s

mn

s

m

s

n ZIV =⇒⇒⇒⇒

4Y

Z 2

s

mn

d

mn η=⇒⇒⇒⇒

[ ] [ ]s2

s Z4

Yη

=

18

Antenas de Parche

• Parches

• Modelo de Líneas de Transmisión

• Modelo de Cavidad

• Polarización circular

Parches Microstrip

Parche rectangular Parche circular

19

Modos de Alimentación de Parches

Modelo de Linea de Transmisión

Yin

( )LtanjGLtanBY

LtanYBjGYjBGY

22c

c22c11in

β+β−

β++++=

β

L

rr f2

c

1

2

f2

cw

ε≈

+ε=

Anchura resonante

( )121in

r

2

c

22

c GG2Yf2

cL

YBG

BY2Ltan ±=⇒

ε≈⇒

−+=β

Longitud Resonante

( ) 1.0h

hk24

11

120

WGG

0

2

0

0

21 <λ

−

λ≈=

( )[ ] 1.0h

hkln636.01120

WBB

0

0

0

21 <λ

−λ

≈=

( ) θθθ

θ

θ

π≈ ∫

π

dsinLsinkJcos

cos2

Wksin

120

1G

3

00

2

0

0

212

20

Diseño según el Modelo de Linea de Transmisión

1h

w

w

h121

2

1

2

121

rreff >>

+

−ε+

+ε=ε

−

w

εr h

w εeff

h

L

εr h

w

∆L∆L

8,0h

w

264,0h

w

258,0

3,0412,0

h

L

eff

eff

+

+

−ε

+ε=

∆

η

∆=v

LC Capacidad asociada al

desbordamiento

L2LLeff ∆+=

Modelo de Cavidad

( )r

010rL2

cf

ε= ( )

r

001rw2

cf

ε=

( )r

020rL

cf

ε= ( )

r

002rW

cf

ε=

Modo dominante

si W>L>h

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

µεω==

π+

π+

π=++

µ=

µ−=

=

ωµε−=

ωµε−=

ωµε

−−=

2

r

2

r

222

2

z

2

y

2

x

zyxmnp

y

y

zyxmnpz

y

z

zyxmnp

zy

z

zyxmnp

yx

y

zyxmnp

2

x

2

x

kW

p

L

n

h

mkkk

zkcosyksenxkcosAk

H

zksenykcosxkcosAk

H

0H

zksenykcosxksenAkk

jE

zkcosyksenxksenAkk

jE

zkcosykcosxkcosAkk

jE

Campos en la Cavidad

21

Modelo de Cavidad - Radiación

Conocido el modo excitado se obtienen las corrientes equivalentes responsables

de la radiación

as

as

EnM

HnJrr

rr

×−=

×=

TMx010 TMz

110

Slots radiantes

Slots no radiantes

Modelo de Cavidad - Radiación

( )

ArrayFactor

eff0

Elemento

0

0

0

0

000

r

sensen2

Lkcos2

cos2

Wk

cos2

Wksen

cossen2

hk

cossen2

hksen

senr

rjkexp

2

hWEkjE

0EE

φθ

θ

θ

φθ

φθ

θ−

π=

==

φ

θ

X

Y

ElementoF Array

E Total

Plano E Plano E

Y

X

22

Modelo de Cavidad - Impedancia

z

yy0

z0

Alimentación mediante un Alimentador Coaxial

( ) ( )

π

−

Φωµ= ∑∑

L2

dmJ

kk

x,yhjx,yZ 0

m n2

mn

2

eff

00

2

000

( )

π

πεε=Φ

W

zncos

L

ymcos

LWz,y 00nm00

d: anchura de corriente equivalente (se ajusta midiendo)

( )e

eff

2

0effr

2

effW2

Perdidaskj1k

ω=δδ−ε=

≠

==ε

0msi2

0msi1m

Polarización Circular con Parches

• Alimentación dual

• Alimentación simple

( )( ) ( )2t

2y

x

010LQj1k

LysencETM

π−−

′π=⇒

( )( ) ( )2t

2z

x

001WQj1k

WzsencETM

π−−

′π=⇒

efft tan1Q δ=

W

z

L

y ′=

′

( )( )

+≈⇒=

π−−

π−−≈

tt

t

z

y

Q

11WL.C.P

WQ2j1k

LQ2j1k

E

E

23

Polarización Circular con Parches

• Polarización mediante ranuras • Polarización mediante recorte de las

esquinas

2.27

W

2.27

L

10

cd

72.2

W

72.2

Lc

===

==