TEMA 15

PRINCIPIOS DE ELECTRÓNICA DIGITAL

La Electrónica se divide en dos grandes campos: la Electrónica analógica y la

Electrónica digital.

La Electrónica digital ha adquirido una gran importancia gracias a los enormes

avances producidos en el terreno de la integración de componentes en un solo chip y a

las extraordinarias características de los mismos. Los circuitos digitales se emplean en

todo tipo de sistemas de control industrial, procesos de datos y otros muchos equipos

como los dispositivos de seguridad, equipos de navegación, electrodomésticos, etc.

Los sistemas digitales se construyen a partir de una serie de elementos que se

basan en los principios del álgebra de Boole, estos elementos son las llamadas puertas

lógicas, que son circuitos electrónicos que tienen unas entradas en las que se presentan

unos valores eléctricos llamados valores lógicos, de forma que a la salida aparece otro

valor, también lógico, resultado de realizar la operación que determina la puerta con los

valores de entrada.

Los sistemas digitales trabajan con señales digitales, que a diferencia de las

analógicas, son cuantificadas, tienen mayor facilidad para ser transmitidas, procesadas y

almacenadas y mayor inmunidad al ruido. Además son señales binarias, es decir, sólo

toman dos estados diferenciados llamados nivel lógico alto (1) y nivel lógico bajo (0).

Estas señales binarias constituyen la unidad mínima de información digital (bits).

1. ÁLGEBRA DE BOOLE

El álgebra de Boole es la base matemática de la electrónica digital que se debe al

filósofo y matemático George Boole, que en 1854 publicó las Leyes de pensamiento en

las que se fundan las teorías matemáticas de la lógica y la probabilidad.

El álgebra de Boole es un conjunto de operaciones matemáticas entre variables

binarias (sólo pueden tomar dos valores, 0 ó 1).

Las operaciones básicas del álgebra de Boole son:

Suma lógica, representada por + , a+b

Producto lógico, representado por · , a·b

Complementación o negación, representado por a’ ó .

1.1. Axiomas

Las operaciones del álgebra de Boole cumplen una serie de axiomas que

dividiremos en tres grupos:

PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

o Propiedad conmutativa:

a + b = b + a

a · b = b · a

o Propiedad asociativa:

a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c

a · b · c = a · (b · c) = (a · b) · c

o Propiedad distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

a + b · c = (a + b) · (a + c)

POSTULADOS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

o Idempotencia:

a + a = a

a · a = a

o Elemento neutro:

a + 0 = a

a · 1 = a

o Dominio del 0 y del 1:

a + 1 = 1

a · 0 = 0

o Complementario:

a + = 1

a · = 0

o Doble complementación:

= a

LEYES FUNDAMENTALES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

o Ley de absorción:

a + a · b = a

a · (a + b) = a

o Leyes de Morgan:

( ) = ·

= ( + )

2. PUERTAS LÓGICAS

Las puertas lógicas son dispositivos electrónicos que aceptan una o varias

señales de entrada en forma binaria y realizan una operación aritmética lógica sobre

ellas, para producir una señal de salida apropiada en función de la operación de que se

trate.

Se trata de circuitos electrónicos digitales integrados cuyo funcionamiento se

adapta a las operaciones y postulados del álgebra de Boole.

Se identifican con un símbolo gráfico y cada una de ellas tiene asociada una

tabla de verdad donde se indica el estado de la función de salida dependiendo de los

estados de las variables de entrada.

Las puertas lógicas se dividen en dos grandes grupos: básicas y especiales.

2.1. Puertas lógicas básicas

Son aquellas que realizan las operaciones del álgebra de Boole. Se corresponden

con puertas que integran los circuitos digitales reales.

PUERTA OR

Corresponde a la operación de suma lógica, signo +. F = a + b

La salida será 1 cuando alguna de las entradas sea 1, y sólo será 0 cuando todas

las entradas sean 0. Se suelen fabricar de dos entradas, aunque las hay con más.

PUERTA AND

Corresponde a la operación de producto lógico, signo ·. F = a · b

La salida será 1 cuando en todas las entradas haya un 1, y valdrá 0 en el resto de

casos. Se suelen fabricar de dos, tres o cuatro entradas.

PUERTA NOT

Corresponde a la operación de negación lógica, F =

Son puertas de una sola entrada y la salida corresponde a la negación o

complementación del estado de la entrada. También se conoce como “inversor”.

2.2. Puertas lógicas especiales

Son las puertas lógicas que derivan de las anteriores y tienen gran importancia

en la fabricación de circuitos integrados.

PUERTA NOR

Es el resultado de colocar en serie una puerta OR y un inversor. F =

El estado de la salida será el resultado de realizar la suma de las entradas y

después negarla. Si al menos una de las entradas es 1, la salida será 0. Se suelen

fabricar de dos, tres, cuatro o cinco entradas.

PUERTA NAND

Es el resultado de colocar en serie una puerta AND y un inversor. F =

El estado de la salida será el resultado de realizar el producto de las entradas y

después negarlo. La salida sólo será 0 cuando todas las entradas sean 1. Se

suelen fabricar de dos, tres, cuatro, ocho, doce o trece entradas.

PUERTA XOR

También conocida como “OR exclusiva”.

Esta función equivale a F =

PUERTA XNOR

También conocida como “OR exclusiva”.

Esta función equivale a F =

3. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS

Una función lógica es una variable binaria cuyo estado depende a su vez de otras

variables binarias relacionadas por medio de operaciones lógicas. Por ejemplo, el estado

de una lámpara activada por tres interruptores en serie.

Existen tres formas fundamentales de representar una función lógica.

3.1. Expresión algebraica

Se trata de una expresión algebraica en la que se relacionan entre sí las variables

binarias por medio de operaciones básicas: suma lógica, producto lógico y negación.

Por ejemplo:

F(a,b,c) =

3.2. Tabla de verdad

Se basa en confeccionar una tabla en la que aparezcan todos los valores posibles

de la salida para cualquier combinación de las variables que forman la función lógica.

3.3. Formas canónicas

Se trata de una representación algebraica de la función lógica en la que cada

término debe contener todas las variables (negadas o sin negar) de que consta la

función.

Esta función algebraica puede representarse como:

Primera forma canónica MINTERM (Suma de productos): Ecuación

estructurada como una suma de términos en forma de productos de las diferentes

variables que intervienen en la función. Cada término de esta forma canónica da

una salida de 1. Las variables que intervienen en la expresión aparecerán

negadas si su valor es 0 y sin negar si su valor es 1.

Ejemplo: F=

Segunda forma canónica MAXTERM (Producto de sumas): Ecuación

estructurada como un producto de términos en forma de suma de las diferentes

variables que intervienen en la función. Cada término de la forma canónica

maxterm da una salida de 0. Las variables que intervienen en la expresión

aparecerán negadas si su valor es 1 y sin negar si su valor es 0.

Ejemplo: F=

3.4. Paso de forma no canónica a forma canónica

Si tenemos una función no canónica, expresada como suma de productos,

podemos convertirla en canónica multiplicando cada término por la suma de la variable

que le falte negada y sin negar ( ).

Si tenemos una función no canónica, expresada como producto de sumas,

podemos convertirla en canónica sumándole a cada término el producto de la variable

que le falte negada y sin negar ( ).

4. IMPLEMENTACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS

La implementación de una función lógica consiste en realizar el

interconexionado con puertas lógicas (logigrama) para formar el circuito digital que

cumpla la ecuación de dicha función, en cualquiera de sus formas de representación.

Para un menor coste económico, mayor eficacia y menos posibilidades de error, se

implementa la expresión más simplificada, que necesitará menos puertas lógicas y

menos interconexiones.

En la práctica se tiende a homogeneizar los circuitos digitales en un solo tipo de

puertas que suelen ser las puertas universales (NAND o NOR). Cualquier función lógica

que relacione variables binarias con las operaciones suma, producto y negación, se

puede implementar sólo con puertas de uno de estos dos tipos.

5. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS

Las funciones lógicas empleadas en los sistemas digitales se traducen, en la

práctica, en una serie de circuitos cuya complejidad estará relacionada con el número de

términos y variables de la expresión lógica. Se debe buscar la máxima sencillez, que

obviamente se conseguirá utilizando el mínimo número de puertas lógicas que realicen

la función deseada, para, una vez hallada esta función mínima u óptima, realizarla con

puertas universales.

Esto se conoce como minimización o simplificación de funciones lógicas.

Existen varios métodos de simplificación.

5.1. Simplificación algebraica

Consiste en la aplicación de las leyes y teoremas del álgebra de Boole para

reducir la función lo máximo posible. Sus resultados son muy variables y no asegura

que la expresión final sea mínima, por lo que se emplea poco y nunca para simplificar

funciones complejas.

5.2. Mapas de Karnaugh

El mapa de Karnaugh soluciona los inconvenientes del método algebraico

obteniendo la expresión reducible mínima de una función lógica. Es realmente una

forma gráfica de representar la tabla de verdad.

Este método se puede utilizar para funciones de dos a seis variables, siendo su

uso práctico para funciones de dos a cinco variables.

Está constituido por una cuadrícula en forma de encasillado (mapa de Karnaugh)

cuyo número de casillas depende del número de variables de entrada, respondiendo a la

relación 2n casillas, siendo n el número de variables de entrada. Cada una de las casillas

representa las distintas combinaciones adyacentes de las variables que puedan existir,

para reducirlas a un solo término.

Dos casillas que tienen un lado común dentro de la tabla, sus términos canónicos

son adyacentes (cambia el estado de una sola variable). También son adyacentes la

última y primera fila y la última y primera columna. Nunca en diagonal.

Con la tabla de verdad de la función lógica se sitúan en el mapa de Karnaugh

todas las formas canónicas que se seleccionan para expresar la función en minterms o

maxterms. Así, por ejemplo, cuando la forma canónica es minterm, se sitúa en la tabla

un 1 dentro de la casilla de aquellos términos que tengan como salida 1, dejando en

blanco las casillas que tengan como salida 0. En el caso de que existan combinaciones

con términos indefinidos (X), estos términos se representarán siempre, pero sólo se

utilizarán cuando interese.

Una vez situados los minterms o maxterms agrupamos los términos adyacentes

siguiendo las siguientes reglas:

Hay que agrupar todos los términos (los que no sean indefinidos)

procurando conseguir grupos del máximo número de casillas.

Los agrupamientos serán de uno, dos, cuatro u ocho término contiguos

(siempre en potencias de dos) según los ejes coordenados, pero nunca en

ejes diagonales.

Un término canónico puede intervenir en distintos grupos.

Los términos indefinidos (X) pueden usarse para completar un grupo si

nos interesa las veces que haga falta.

Los agrupamientos conseguidos serán los términos que expresarán la función

lógica en forma irreducible, eliminando de cada grupo las variables que cambien de

valor en los términos que forman el grupo.

La función lógica simplificada se representará como suma de productos

(minterms) o producto de sumas (maxterms) de las variables que no cambien de valor.

Estas variables se representarán negadas si no coinciden con la salida y sin negar si

coinciden con ésta.

Este procedimiento de simplificar no es único, pudiéndose obtener por tanto

varias formas irreducibles de la misma función.

5.3. Tablas de Quine-McCluskey

El mapa de Karnaugh se vuelve prácticamente irresoluble a partir de seis

variables, y es entonces cuando se utiliza este método.

El método consiste en una serie de tablas que, utilizando la representación

binaria equivalente de cada uno de los términos que componen la función a simplificar,

expresada siempre bajo la forma minterm, tratan de encontrar las relaciones de similitud

existentes entre dichos términos para, así, poderlos reducir aplicando la misma ley que

en los mapas de Karnaugh.

Este método no va a ser estudiado en clase debido a su complejidad y a no estar

dentro del temario de la asignatura.