Desarrollo:

Principio fundamental del conteo

Contar objetos, contar palabras, contar grupos, … Contar a veces es muy fácil, como cuando contamos huevos mientras los acomodamos en cartones de a 30. No es tan fácil cuando queremos contar en un teatro con 2.000 personas, las manos levantadas que aprueban cierta propuesta y es todavía más confuso cuando queremos contar todas las posibles formas de extraer 3 nombres de una urna con 25 nombres o contar los números de 3 cifras que se pueden formar tomando los dígitos del conjunto {1,2,3,4,5} sin repetir ningún dígito.

Piensa en el siguiente caso como ejemplo: Te compras un pantalón azul, otro gris y otro negro, y cuatro camisetas: una verde, una azul, una negra y una roja.¿De cuántas maneras diferentes te puedes vestir con los pantalones y las camisetas que compraste?Es fácil ver que con cada uno de los pantalones puedes usar 4 camisetas y como son tres pantalones, el total es 3·4 = 12 pintas diferentes.

Estos casos de conteo y otros similares pueden representarse mediante un gráfico llamado Diagrama de árbol, como aparece enseguida. También se puede hacer directamente la lista de combinados de la derecha cuidando el orden para que no se quede ninguno sin incluir.

El llamado Principio Fundamental del Conteo, dice que: “siempre que un evento A se puede hacer de n maneras diferentes y otro evento B de m formas diferentes, entonces el número de formas diferentes de realizar los dos eventos es igual al producto n·m”

En nuestro ejemplo anterior, el evento A es “elegir el pantalón”, y hay 3 formas de hacerlo; el evento B es “elegir la camiseta” y para este hay 4 formas de hacerlo. De modo que el número de formas diferentes de elegir el pantalón y la camiseta es 3·.4, que corresponde con nuestro resultado.

2. Si en el ejemplo anterior agregas los zapatos para distinguir la pinta que elegirás y tienes dos pares unos negros y otros cafés. ¿Cuántos combinados diferentes te resultarán ahora?

3. Ejemplo: El helado puede venir en un cono o una tasa y los sabores son chocolate, fresa y vainilla.

/ tasa de chocolate / chocolate < / \ cono de chocolate / / / tasa de fresa<-- fresa < \ \ cono de fresa \ \ / tasa de vainilla \ vainilla < \ cono de vainilla

El diagrama anterior se llama diagrama de árbol y muestra todas las posibilidades. El diagrama de árbol también se puede ordenar de otra forma. Ambos diagramas tienen un total de 6 resultados.

/ tasa de chocolate / / tasa <-- tasa de fresa / \ / \ tasa de vainilla / < \ \ / cono de chocolate \ / \ cono <-- cono de fresa \ \ cono de vainilla

Para determinar la cantidad total de resultados, multiplica la cantidad de posibilidades de la primera característica por la cantidad de posibilidades de la segunda característica. En el ejemplo anterior, multiplica 3 por 2 para obtener 6 posibles resultados.

Si hay más de dos resultados, continúa multiplicando las posibilidades para determinar el total de resultados.

Problemas: Reglas de la suma y el producto

1. ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar con cinco consonantes y tres vocales de modo que cada palabra comience y termine en consonante?

C V C --- --- --- 5.3.4 = 60 (regla del producto)5 3 4

2. Determine el número de enteros de seis dígitos (que no comiencen con cero) en los que

a. ningún dígito se pueda repetir.

9 8 7 6 5

9.9.8.7.6.5 = 136.080 (regla del producto)

b. se pueden repetir los dígitos.

9.10.10.10.10.10 900.000 (regla del producto)

3. Tres pueblos, designados como A, B y C, están intercomunicados por un sistema de carreteras de doble sentido.

a. ¿De cuántas formas puede Juan ir del pueblo A al pueblo C?

2 + 4.3 = 14 (reglas de la suma y del producto)

b. ¿Cuántos trayectos puede hacer Juan del pueblo A al pueblo C y de regreso al pueblo A?

14.14 = 196 (regla del producto)

c. ¿Cuántos de los trayectos completos de la parte (b) son tales que el viaje de regreso (del pueblo C al pueblo A) es diferente, al menos parcialmente, de la ruta que toma Juan del pueblo A al pueblo C? (Por ejemplo, si Juan viaja de A a C por las rutas R1 y R6 podría regresar por las rutas R6 y R2, pero no por R1 y R6).

14.13 = 182 (regla del producto)

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO PROBLEMAS

1.- La prefecta de una secundaria debe realizar su rutina diaria que consta de checar a los profesores cada hora, si imparten sus clases en el horario asignado. Los alumnos tienen al día 6 clases corridas, todos los días desde lunes hasta viernes, y ella puede pasar a checar ya sea entre clase, a la llegada del profesor. Dibuja un diagrama de árbol que muestre las formas en que puede ocurrir la inspección de la prefecta hacia los profesores.

Prefecta

60 maneras diferentes en las que pueda pasar.

2.- Un doctor tiene 3 pacientes de VIH que están muy graves, los cuales debe estar checando 2 veces por día toda la semana, una en la mañana y otra en la tarde, en cada visita debe de realizarse una inspección de: la presión, temperatura, y medicamento suministrado. Dibuja un diagrama de árbol que muestre las formas en que puede ocurrir la inspección del doctor a sus pacientes.

Doctor

30 maneras diferentes que puede realizar la inspección. 

3.- Un estudiante puede elegir llevar uniforme escolar, o uniforme deportivo, todos los días de la semana, con el uniforme escolar puede llevar suéter o saco, y con el uniforme deportivo puede llevar short o pants. ¿De cuantas maneras puede vestirse?

2 . 5 . 2 = 20 MANERAS DIFERENTES 

4.- Un ganadero va comprar nuevos animales pero no sabe cual, si caballos, vacas, ovejas. Si compra 100 caballos le regalan una vaca o una oveja. Si compra 100 vacas le regalan una vaca de más o 3 ovejas y si mas le compra 100 ovejas le regala 2 de más o 1 chivo. ¿De cuantas maneras puede comprar sus animales?

3 . 2 = 6 MANERAS DIFERENTES 

ANALISIS COMBINATORIO

Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, los cuales nos permite resolver muchos problemas prácticos. Por ejemplo podemos averiguar cuántos números diferentes de teléfonos, placas o loterías se pueden formar utilizando un conjunto dado de letras y dígitos.

Además el estudio y comprensión del análisis combinatorio no va ha servir de andamiaje para poder resolver y comprender problemas sobre probabilidades

Principios fundamentales del Análisis Combinatorio: En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación. Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el cálculo señalado.

El análisis combinatorio también se define como una manera práctica y abreviada de contar; las operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos.

Ejemplo:

1. Señalar las maneras diferentes de vestir de una persona, utilizando un número determinado de prendas de vestir.

2. Ordenar 5 artículos en 7 casilleros.

3. Contestar 7 preguntas de un examen de 10.

4. Designar 5 personas de un total 50 para integrar una comisión.

5. Sentarse en una fila de 5 asientos 4 personas.

6. Escribir una palabra de 7 letras utilizando 4 consonantes y 3 vocales.

I) Principio de multiplicación:

Si un evento o suceso “A” puede ocurrir, en forma independiente, de “m” maneras diferentes y otro suceso de “n” maneras diferentes, entonces el número de maneras distintas en que pueden suceder ambos sucesos es “m. n”

II) Principio de adición:

Supongamos que un evento A se puede realizar de “m” maneras y otro evento B se puede realizar de “n” maneras diferentes, además, no es posible que ambos eventos se realicen juntos (AB =), entonces el evento A o el evento B se realizarán de ( m + n) maneras.

III) Permutaciones:

Hay dos tipos de permutaciones:

Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".

Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.

1. Permutaciones con repetición

Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:

n × n × ... (r veces) = nr

(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)

Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:

10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones

Así que la fórmula es simplemente:

nr

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas(Se puede repetir, el orden importa)

 

2. Permutaciones sin repetición

En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.

Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?

Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:

16 × 15 × 14 × 13... = 20,922,789,888,000

Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:

16 × 15 × 14 = 3360

Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.

¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"

La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos:

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040

1! = 1

Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones.

Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:

16! = 20,922,789,888,000

Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...

16 × 15 × 14 × 13 × 12 ...

  = 16 × 15 × 14 = 3360

13 × 12 ...

¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14

La fórmula se escribe:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas(No se puede repetir, el orden importa)

Notación

En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:

IV) Combinaciones 

También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):

Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10) Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)

1. Combinaciones con repetición

En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.

2. Combinaciones sin repetición

Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!

La manera más fácil de explicarlo es:

imaginemos que el orden sí importa (permutaciones), después lo cambiamos para que el orden no importe.

Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.

Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.

Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.

Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:

Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.

De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:

3! = 3 × 2 × 1 = 6

El orden importa El orden no importa1 2 31 3 22 1 32 3 13 1 23 2 1

1 2 3

(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)

Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):

Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas

(No se puede repetir, el orden no importa)

Y se la llama "coeficiente binomial".

Alumno: Alva Morales Mauricio

Materia: Probabilidad y estadística

Profesor: Gonzalo Venegas Rico

Trabajo: principio fundamental del conteo y análisis combinatorio

Introducción:

El principio básico o fundamental de conteo se puede utilizar para determinar los posibles resultados cuando hay dos o más características que pueden variar.

El análisis combinatorio o combinatoria estudia las diferentes formas en que podemos ordenar o agrupar unos elementos dados siguiendo unas determinadas reglas establecidas. Nos proporciona algoritmos para averiguar la cantidad de agrupaciones que, bajo determinadas condiciones, se pueden formar con los elementos de un conjunto.

Conclusión:

Estos métodos son de gran utilidad ya que nos ayudan a obtener resultados muy precisos con una pequeña serie de pasos, ya que de otra forma tardaríamos horas, gracias a esto podemos realizarlo en un tiempo corto