principio del mÆximo en el espacio

Principio del Máximo en el EspacioHiperbólico Hn+1

Bach. Johnny Sebastián Medrano ZárateEscuela de Matemáticas

Universidad Nacional de San AgustínDr. Vladimir Rosas Meneses

Abril del 2016

Resumen

Este trabajo tiene como principal objetivo estudiar y analizar los aspectosgenéricos de la teoría de las Hipersuper�cies de Hn+1, donde se verá que lacurvatura media de una subvariedad M en el Espacio Hiperbólico Hn+1 con lamétrica inducida se puede expresar por medio de una ecuación que envuelveEcuaciones Diferenciales, por lo que, consideramos dos Hipersuper�cies M1yM2 suponiendo que estas tienen un punto de contacto (tangencia) y a par-tir del Principio del Máximo para Ecuaciones Diferenciales Parciales pre-tendemos obtener información sobre las curvaturas medias para luego tam-bién obtener conclusiones sobre la posición relativa de las Hipersuper�cies enmención.

Índice general

Introducción 3

1. Preliminares 51.1. Variedades Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1. Espacio Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2. Campo de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Métricas Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Conexión Afín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6. Curvatura Seccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7. Inmersiones Isométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7.1. La Segunda Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . 24

2. El Espacio Hiperbólico 30

2.1. Características del Espacio Hiperbólico . . . . . . . . . . . . . 302.2. Hipersuper�cies en Hn+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3. La Ecuación de la Curvatura Media . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.1. Relación entre las Curvaturas Medias Euclideanas eHiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.2. Curvatura Media para una Grá�co Horizontal . . . . . 422.3.3. Curvatura Media para un Grá�co Vertical . . . . . . . 43

3. Principio del Máximo 443.1. Ecuaciones Diferenciales Parciales de Segundo Orden . . . . . 443.2. Principio del Máximo Débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3. Principio del Máximo de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1

4. Principio del Máximo y la Curvatura Media 55

4.1. Contacto entre Hipersuper�cies . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2. Principio del Máximo para Hipersuper�cies sin Borde . . . . . 57

4.3. Principio del Máximo para Hipersuper�cies con Borde . . . . . 59

Conclusiones 61

Bibliografía 62

2

Introducción

En este trabajo, estudiamos la primera parte del artículo �Seminaire deThéorie Spectrale et Géometrie�[4] de autoría João Lucas Marques Barbosay Ricardo Sá Earp, que fue publicado en 1997, que trata sobre el �Principiodel Máximo en el Espacio Hiperbólico Hn+1�.Se estudiará y analizará el Teorema del Principio del Máximo para Hiper-

super�cies Hiperbólicas que a continuación enunciaremos

Teorema 0.1 Sean M1 y M2 Hipersuper�cies conexas con borde o sin bordeen el Espacio Hiperbólico, donde H1 y H2 son las curvaturas medias respecti-vamente. Donde las Hipersuper�cies tienen un punto p de tangencia comúnen el interior o en el borde y que tengan el mismo vector unitario normal,siendo el plano tangente a ambos P = fx0 = 0g, en una vecindad de p dondeM1 está encima de M2 y H1 � H2, entonces M1 =M2 en la vecindad de p.

La organización de los capítulos sigue de la siguiente manera.Para el primer capítulo exhibimos algunos conceptos y resultados de

Geometria Riemanniana tales como: variedades diferenciables, métrica y conex-iones riemannianas, operador curvatura, curvatura seccional e inmersionesisométricas expuestos en [8] y [11].En el segundo capítulo, damos la de�nición de lo que viene a ser el Espacio

Hiperbólico Hn (modelo del semi-espacio superior), donde veremos algunosde sus principales características, como obtener curvatura seccional �1. Sehará una comparación de algunas características entre los espacios euclidi-ano e hiperbólico, como, la derivada covariante, producto interno, curvaturanormal de curvas diferenciables. Terminamos este capítulo con la ecuaciónde la curvatura Media hiperbólica para los casos �Grá�cos horizontales� y�Grá�cos Verticales�.En el tercer capítulo, presentaremos las herramientas de EDP que serán

necesarias para el estudio, desenvolvemos un estudio sobre el Principio delMáximo Débil, Principio del Máximo Fuerte, esta parte fue basada en [2] y[4].

3

En el último capítulo se inicia con el contacto entre hipersuper�cies y conla de�nición de lo que signi�ca que una hipersuper�e este encima de otra.Dividimos este capítulo en dos secciones, una trata sobre la situación de tenerdos hipersuper�cies tangentes en puntos que no pertenecen a los bordes yla otra que trata la tangencia en puntos del borde. En ambas situacionesestamos en busca de la unicidad de solución, que será hecha con la ayuda delPrincipio del Máximo.

4

Capítulo 1

Preliminares

En este capítulo presentaremos las de�niciones y los resultados de la teo-ria de variedades riemannianas necesarios para el desenvolvimiento de estetrabajo.

1.1. Variedades Diferenciables

De�nición 1.1 Un conjunto M es llamado una Variedad Diferenciable n-dimensional si existe una familia de aplicaciones diferenciables y biunívocasx� : U� � Rn !M de abiertos U� de Rn en M , tales que:

1) M =S�

x�(U�);

2) Para todo par �, � con x�(U�) \ x�(U�) = V 6= ? los conjuntos x�1� (V )y x�1� (V ) son abiertos de Rn y las aplicaciones x

�1� � x� y x�1� � x�

de�nidas son diferenciables.

3) La família f(U�; x�)g es máxima relativamente a las condiciones 1 y 2.Indicaremos que M tiene dimensíon n por Mn.

El par (U�; x�) o la aplicación x� es llamado una parametrización o sis-tema de cordenadas de M en p.

De�nición 1.2 Sea ' : Mn ! Nm una aplicación entre las variedadesdiferenciables M y N , ' es diferenciable en p 2 M , si dada una parame-trización y : W � Rm ! N en '(p) existe una parametrización x : U �Rn !M en p tal que '(x(U)) � y(W ) la aplicación y�1 � ' � x : U � Rn !Rm es diferencible en x�1(p) . La aplicación ' es diferenciable en un abiertode M si es diferenciable en todos los puntos de ese abierto.

5

1.1.1. Espacio Tangente

Las siguientes consideraciones motivan la de�nición que se dará más ade-lante. Sea � : (�"; ") ! Rn una curva diferenciable de Rn, con �(0) = p.Sea,

�(t) = (x1(t); :::; xn(t)) , t 2 (�"; "), (x1; :::; xn) 2 Rn.Entonces �0(0) = (x01(0); :::; x

0n(0)) = v 2 Rn. Sea ahora f una función

diferenciable de�nida en una vecindad de p. Podemos restringir f a una curva� y escribir la derivada direccional:

d(f � �)dt

jt=0=nXi=1

@f

@xijt=0

dxidtjt=0=

nXi=1

x0i(0):@

@xi(p)

!f .

De�nición 1.3 SeaMn una Variedad Diferencible de dimensión n.Una apli-cación diferencible � : (�"; ") ! M es llamada una curva diferenciable enM . Sea D(M)= ff :M ! R:f es diferenciable en pg.

Dado � : (�"; ") ! M una curva diferenciable con �(0) = p, el vectortangente a la curva � en t = 0 es la función:

�0(0) : D(M)! Rf 7! (f � �)0(0)

Un vector tangente a la variedad M en p es un vector tangente en t = 0de alguna curva � : (�"; ") ! M con �(0) = p. Indicaremos por TpM elconjunto de estos vectores y lo llamaremos espacio tangente de M en p.Dada la parametrización x : U � Rn ! M con x(0) = p, podemos

restringir una función f y la curva � en esta parametrización por

f � x(q) = f (x1; :::; xn) , q = (x1; :::; xn) 2 U ,

yx�1 � �(t) = (x1(t); :::; xn(t)) ,

respectivamente. Por tanto, restringiendo f a �, obtenemos

�0i(0)f =d

dt(f � �) jt=0=

d

dtf(x1(t); :::; xn(t)) jt=0

=

nXi=1

x0i(0):

�@f

@xi

�0

=

Xi=1

x0i(0)

�@

@xi

�0

!f .

6

Figura 1.1: Espacio TpM : @k =@

@xk(p), w = �0(0) =

Xi=1

x0i(0)

�@

@xk(p)

�

En otra palabras, el vector �0(0) puede ser expresado en la parame-trización x por

�0i(0) =

Xi=1

x0i(0)

�@

@xi

�0

!.

Observe que�@

@xi

�0

es el vector tangente en p a la curva coordenada:

xi ! x(0; :::; 0; xi; 0; :::; 0).

Además, el conjunto TpM , con las operaciones usuales de funciones, for-ma un Espacio Vectorial de dimensión n y que una parametrización x : U �Rn ! M determina una base asociada

�@

@x1(p); :::;

@

@xn(p)

�en TpM . Con-

forme se ilustra en la siguiente �gura 1.1.

1.1.2. Campo de Vectores

Un campo de vectores X sobre una variedad diferenciable M es una cor-respondencia que a cada punto p 2M asocia un vector X(p) 2 TpM , dondeTpM es el espacio tangente de M en p.

7

En términos de un sistema local de coordenadas x1; x2; :::; xn un campo

vectorial puede ser expresado por X(p) =Pai(p)

@

@xi(p), donde ai son fun-

ciones de�nidas en una vecindad coordenada, llamadas componentes de Xcon respecto a x1; x2; :::; xn , X es diferenciable si y solamente si sus compo-nentes ai : x(U)! R son diferenciables para toda parametrización.

Otra forma de expresar un campo de vectores, es considerando la siguienteaplicación:

X : D(M)! F

f 7! X:f :M ! Rp 7! X(p):f

donde D(M) es el conjunto de las funciones diferenciables en M y Fes el conjunto de las funciones en M , ósea, todo campo de vectores llevael conjunto de funciones diferenciables con valores en M en el conjunto defunciones en M , de�nido por (Xf)(p) = X(p)f .Sea X (M) el conjunto de todos los campos vectoriales diferenciables sobre

M . X (M) es un espacio vectorial real con las operaciones naturales de adicióny multiplicación por un escalar. Note que si f es una función sobre M yX 2 X (M), entonces fX 2 X (M).

Lema 1.1 Sean X y Y campos de vectores diferenciables en una variedaddiferenciable M . Entonces existe un único campo vectorial Z tal que, paratodo f 2 D(M), Zf = (XY � Y X)f .

Prueba. La demostración de este resultado puede encontrarse en Do Carmo[8].

De�nición 1.4 Un campo vectorial Z dado por el Lema anterior es llamadocorchete de X y Y y es denotadopor [X;Y ] = XY �Y X , Z es evidentementediferenciable.

Proposición 1.1 Si X, Y y Z son campos diferenciables en M , a, b sonnúmeros reales y f , g son funciones diferenciables en M , entonces:

i) [X; Y ] = � [Y;X] (anticomutatividad)

ii) [aX + bY; Z] = a [X;Z] + b [Y; Z] (linealidad)

iii) [[X; Y ] ; Z] + [[Y; Z] ; X] + [[Z;X] ; Y ] = 0 (identidad de Jacobi)

8

iv) [fX; gY ] = fg [X; Y ] + fX(g)Y � gY (f)X

El corchete [X; Y ] puede ser interpretado como una derivación de Y a lolargo de las trayectorias de X.Prueba. La demostración de este resultado puede encontrarse en Do Carmo[8].

1.2. Métricas Riemannianas

De�nición 1.5 Para cada punto p de una variedad diferenciableM se asociaun producto interno h; ip de�nido en el espacio tangente TpM , de modo quesi tomamos una parametrización x : U � Rn ! M de M en p, la función

gij(x1; :::; xn) =

�@

@xi(q);

@

@xj(q)

�q

es función diferenciable en U , donde q =

x(x1; :::; xn) 2 x(U) y@

@xi(q) = dxq(0; :::; 1; :::; 0). La función gij es llamada

una métrica riemanniana (o estructura riemanniana) en M .

Ejemplo 1.1 SeaM = Rn con@

@xiidenti�cado como ei = (0; :::; 1; :::; 0). La

métrica es dada por hei; eji = �ij, Rn con esta métrica es llamado el espacioeuclídeo de dimensión n y su métrica es llamada métrica euclideana.

Ejemplo 1.2 Sea el Espacio Hiperbólico como el subconjunto abierto de Rndado por Hn := f(x1; x2; :::; xn) 2 Rn; xn > 0g con la métrica hu; viHn =hu; viRnx2n

donde x = (x1; x2; :::; xn) y u; v 2 TpHn y hu; viRn denota el pro-ducto interno de Rn.

A continuación, de�nimos isometrías.

De�nición 1.6 Un difeomor�smo f : M ! N , entre variedades riemanni-anas M y N , es llamado una isometría si:

hu; vip = hdfp(u); dfp(v)if(p) , para todo p 2M , u,v 2 TpM

De�nición 1.7 Una aplicación diferenciable c : I ! M , de un intervaloabierto I � R en una variedad diferenciable M , se llama una curva (para-metrizada).

De�nición 1.8 Sean h; i y hh; ii dos métricas en una variedad diferenciableM , se dice que estas métricas son conformes si existe una función positivadiferenciable f : M ! R, tal que para todo p 2 M y todo u,v 2 TpM setenga:

9

hu; vip = f(p) hhu; viip

1.3. Conexión Afín

Indicaremos por X (M) el conjunto de los campos de vectores de claseC1 de�nidos en M y por D(M) el anillo de las funciones reales de clase C1

de�nidas en M .

De�nición 1.9 Sea M una variedad diferenciable. Una conexión afín r enM es una aplicación:

r : X (M)�X (M)! X (M)

que se indica por (X; Y ) r! rXY , y que para X, Y , Z 2 X (M) y f ,g 2 D(M) satisface las siguientes propiedades:

i) rfX+gYZ = frXZ + grYZ,

ii) rX(Y + Z) = rXY +rXZ,

iii) rX(fY ) = X(f)Y + frXY .

Esta última parte tiene sentido, pues rXY (p) solo depende del valor deX(p) y del valor de Y a lo largo de una curva tangente a X en p.Sea (x1; :::; xn) un sistema de coordenadas en torno de p, entonces se

puede escribir:

X =nXi=1

xiXi, Y =nXj=1

yjXj,

10

donde Xi =@

@xi. Tenemos

rXY = rX

nXj=1

yjXj

!

=nXj=1

(rXyjXj)

=nXj=1

(X(yj)Xj + yjrXXj)

=nXj=1

�X(yj)Xj + yjrP

ixiXiXj

�

=nXj=1

X(yj)Xj +

Xi=1

xiyjrXiXj

!

Haciendo rXiXj =Xk

�kijXk,

rXY =nXj=1

X(yj)Xj +

Xi=1

xiyj

Xk

�kijXk

!!

=nXj=1

X(yj)Xj +Xj

Xi

xiyj

Xk

�kijXk

!=

Xk

X(yk)Xk +Xij

Xk

xiyj�kijXk

=Xk

X(yk) +

Xij

xiyj�kij

!Xk

donde rXiYj =Xk

�kijXk y �kij son funciones diferenciables en U . Por

tanto rXY (p) solo depende de xi(p), yk(p) y de las derivadas X(yk)(p) deyk según X.

Proposición 1.2 Sea M una variedad diferenciable con una conexión a�nr. Entonces existe una única correspondencia que asocia a un campo vector-ial V a lo largo de una curva diferenciable c : I !M un otro campo vectorialDV

dta lo largo de c, denominado derivada covariante de V a lo largo de c,

tal que:

11

i)D

dt(V +W ) =

DV

dt+DW

dt, donde W es un campo de vectores a lo largo

de c:

ii)D

dt(fV ) =

df

dtV + f

DV

dt, donde f es una función diferenciable en I.

iii) Si V es inducido por un campo de vectores Y 2 X (M), esto es, V (t) =Y (c(t)), entonces

DV

dt= rdc=dtY .

A continuación describiremos la derivada covariante en términos de unsistema de coordenadas en torno de p y sea (x1(t); :::; xn(t)) la expresión

local de c(t) donde Xi =@

@xi. Podemos expresar el campo V localmente

como V =Xj

vjXj.

DV

dt=

D

dt

Xj

vjXj

!=Xj

D(vjXj)

dt

=Xj

�dvj

dtXj + vj

DXj

dt

�=

Xj

dvj

dtXj +

Xj

vjDXj

dt

De donde,

DXj

dt= rdc=dtXj = rX

i

dxidt

Xi

Xj =Xi

dxidtrXiXj

Así entonces,

DV

dt=Xj

dvj

dtXj +

Xj

Xi

vjdxidtrXiXj

Reemplazando rXiXj =Xk

�kijXk. Tenemos

DV

dt=

Xk

dvk

dtXk +

Xk

Xij

vjdxidt�kijXk

=Xk

dvk

dt+Xij

vjdxidt�kij

!Xk

12

De�nición 1.10 Sea M una variedad diferenciable con una conexión afínr. Un campo vectorial V a lo largo de una curva c : I ! M es llamado

paralelo cuandoDV

dt= 0, para todo t 2 I.

De�nición 1.11 SeaM una variedad diferenciable con una conexión afín ry una métrica riemanniana h; i. La conexión es compatible con la métrica h; i,cuando para toda curva diferenciable c y cualquier par de campos de vectoresparalelos V y W a lo largo de c, tuviéramos hV;W i = cons tan te.

Proposición 1.3 Sea M una variedad riemanniana. Una conexión r en Mes compatible con la métrica si y solo si para todo par V y W de campos devectores a lo largo de la curva diferenciable c : I !M se tiene:

d

dthV;W i =

�DV

dt;W

�+

�V;DW

dt

�, t 2 I.

De�nición 1.12 Sea M una variedad riemanniana. Se dice que una conex-ión afín r en M es:

a) Simétrica, si rXY �rYX = [X; Y ], para todo X, Y 2 X (M).

b) Compatible con la métrica riemanniana, siX hY; Zi = hrXY; Zi+hY;rXZi,para todo X, Y 2 X (M).

En un sistema de coordenadas (U; x), la simetría de r implica [Xi; Xj] =

0, para todo i, j = 1; :::; n donde Xi =@

@xi.

Teorema 1.1 (Levi-Civita). Dada una variedad riemanniana M , existe unaúnica conexión afín r en M satisfaciendo las condiciones:

i) r es simétrica.

ii) r es compatible con la métrica riemanniana.

Tal conexión es llamada la conexión de Levi-Civita o conexión riemanni-ana de M .

Prueba. Supongamos que r satisfaciendo las condiciones i) y ii). Entonces:

X hY; Zi = hrXY; Zi+ hY;rXZi ,Y hZ;Xi = hrYZ;Xi+ hZ;rYXi ,Z hX; Y i = hrZX;Y i+ hX;rZY i ,

13

sumando las dos primeras, adicionando hrYX;Zi�hrYX;Zi, sustrayen-do la tercera y usando la simetría de r, tenemos:

X hY; Zi+Y hZ;Xi�Z hX; Y i = h[X;Z] ; Y i+h[Y; Z] ; Xi+h[X; Y ] ; Zi+2 hZ;rYXi .

Por tanto

hZ;rYXi =1

2fX hY; Zi+ Y hZ;Xi � Z hX; Y i � h[X;Z] ; Y i (1.1)

�h[Y; Z] ; Xi � h[X;Y ] ; Zig

La ecuación anterior muestra que r está únicamente determinada por lamétrica h; i. Luego si existe ella será única.Para mostrar la existencia, de�na r por la última ecuación, claramente

r está bien de�nida y satisface las propiedades deseadas.Ahora, para uso posterior, obtendremos un resultado escribiendo parte

de lo hecho encima en un sistema de coordenadas.Las funciones �kij de�nidas en U por rXiYj =

Xk

�kijXk son los coe�-

cientes de la conexión o los símbolos de Christofell, tenemos que*Xk;

Xl

�lijXl

+=1

2fXj hXi; Xki+Xi hXk; Xji �Xk hXj; Xiig

Luego Xl

�lijglk =1

2

�@

@xjgik +

@

@xigjk �

@

@xkgij

�

donde gij = hXi; Xji y asumiendo que Xi =@

@xi.

Como la matriz (gkm) admite una inversa que denotaremos por (gkm),tenemos que

�mij =1

2

Xk

�@

@xjgik +

@

@xigjk �

@

@xkgij

�gkm (1.2)

que es la ecuación de los símbolos de Christo¤el de la conexión riemanni-ana en términos de los gij. Observe que para el caso de Rn, tenemos �kij = 0.

Ejemplo 1.3 Sea H2 = f(x1; x2) 2 R2;x2 > 0g el plano hiperbólico, los sím-bolos de Christo¤el de la conexión riemanniana en H2 se hallaran con lafórmula (1;2), por tanto:

14

Para el plano Hiperbólico (gij(x) =�ijx22y gij = x22�ij) donde x = (x1; x2) 2

R2 ,con x2 > 0 y tomando un sistema de coordenadas en H2; (U;' = id):Asi entonces:

�kij =1

2

�@

@xjgik +

@

@xigjk �

@

@xkgij

�gkk

como

@

@xjgik =

@

@xj(�ikx22)

=1

x22

@

@xj(�ik) + �ik

�2x32

@x2@xj

=�2x32

@x2@xj

�ik

de la fórmula (1;2) tenemos que

�kij =1

2

��2x32

@x2@xj

�ik ��2x32

@x2@xi

�jk +�2x32

@x2@xk

�ij

�x22

= � 1x2

�@x2@xj

�ik +@x2@xi

�jk �@x2@xk

�ij

�por lo tanto,

�111 = 0, �212 = 0 = �221,

�122 = 0, �211 =1

x2,

�112 = � 1x2= �121, �

222 = �

1

x2.

A continuación, vamos a determinar la conexión Riemanniana r de H2.

Ejemplo 1.4 Sea H2 = f(x; y) 2 R2 : y > 0g y (U;' = id) un sistema decoordenadas en H2 y dados X; Y 2 X (H2), si p = (x; y) 2 H2 entonces

X(p) = (a1(p); a2(p)) y Y (p) = (b1(p); b2(p)), ósea, X = a1@

@x+ a2

@

@yy

Y = b1@

@x+ b2

@

@y.

Se sabe que

r @

@xi

@

@xj=

2Xk=1

�kij@

@xk= �1ij

@

@x+ �2ij

@

@y

15

de aqui

r @

@x

@

@x=1

y

@

@y; r @

@y

@

@x= �1

y

@

@x; r @

@x

@

@y= �1

y

@

@x; r @

@y

@

@y= �1

y

@

@y:

entonces la conexión riemanniana de H2 es dada por

rXY = dYpX(p)� b2(p)1

yX(p)� a2(p)b1(p)

1

y

@

@x(p) + a1(p)b1(p)

1

y

@

@y(p):

Ahora veamos un ejemplo de conexión r no simétrica.

Ejemplo 1.5 Sea R2 una variedad diferenciable con conexión r, toman-do un sistema de coordenadas (U ; = id) de R2 de�nimos los símbolos deChristo¤el

��kijcomo �121 = �221 = 1 y en los demás casos �kij = 0. Esta

de�nición induce una conexión r en R2 que no es simétrica.En efecto, en el caso de R2 tenemos gij(x) = h~ei; ~eji = �ij, donde x =

(x1; x2), ei =@

@xi. Sea

@

@xi= Xi entonces si X; Y 2 X (R2) tenemos X =

a1X1 + a2X2 y Y = b1X1 + b2X2.Se tiene que

r @

@xi

@

@xj=

2Xk=1

�kij@

@xk= �1ij

@

@x+ �2ij

@

@y

entonces

rX1X1 = 0;rX2X1 = X1 +X2;rX1X2 = 0;rX2X2 = 0

así se tiene que

rXY (p) = (db1(a1; a2); 0) + (b1a2; b1a2) + (0; db2(a1; a2))

rYX(p) = (da1(b1; b2); 0) + (a1b2; a1b2) + (0; da2(b1; b2))

1.4. Geodésicas

Para lo que sigue, M será una variedad riemanniana.

De�nición 1.13 Una curva : I � R!M es una geodésica siD 0

dt(t) = 0

para todo t 2 I. Si [a; b] � I, entonces la restricción j[a;b] es el segmento dela geodésica uniendo (a) y (b).

16

1. Si es una geodésica, entonces k 0(t)k (o longitud del vector tangente)es constante para todo t 2 I. De hecho,

d

dt

�k 0(t)k2

�=

d

dth 0(t); 0(t)i = 2

�D 0

dt(t); 0(t)

�= 0

2. Cuando k 0(t)k = 1 para todo t 2 I, decimos que la geodésica está NOR-MALIZADA;

A continuación, exhibimos un sistema de ED que satisface una geodésica.Sea una geodésica con (t) = x(x1(t); :::; xn(t)) en un sistema de coorde-nadas (U; x),

0(t) =Xk

x0k(t)Xk

entonces

D

dt

�d

dt

�=

Xk

d

dt

�dxkdt

�+Xij

�kij

�dxjdt

�dxidt

!Xk

=Xk

d2xkdt2

+Xij

�kijdxjdt

dxidt

!Xk = 0

luego: (t) = x( 1(t); :::; n(t)) es una geodésica si y solo si (x1(t); :::; xn(t))satisface (como Xk es una base):

d2xkdt2

+nX

i;j=1

�kijdxidt

dxjdt

= 0, k = 1; :::; n (1.3)

Ejemplo 1.6 Las curvas geodésicas en el Espacio Euclídeo (Rn; h; i) son lasrectas.En efecto dado un punto p = (p1; :::; pn) 2M y un vector v = (v1; :::; vn) 2

TpM queremos ver como son las geodésicas que parten de p con velocidad v.Se sabe que �kij = 0, y así el sistema de ecuaciones de las geodésicas se nossimpli�ca hasta,

d2�kdt2

= 0 ,8k = 1; 2; :::; n

Integrando dos veces obtenemos �k(t) = pk + tvk, quedando la ecuaciónde las geodésicas �(t) = p+ tv que es la recta que pasa por p con velocidad vcomo queriamos ver.

17

Ejemplo 1.7 Las semirrectas perpendiculares a xn = 0 y los semicírculosperpendiculares a xn = 0 y con centro en xn = 0, son ambas geodésicas deHn.

Sea una geodésica normalizada de Hn.

0 =D 0

dt=

nXk=1

x00k +

nXi;j=1

�kijx0ix0j

!@

@xk

Vamos a tratar para el caso n = 2.

Si k = 1 x001 +

2Xi;j=1

�1ijx0ix0j = 0

Si k = 2 x002 +2X

i;j=1

�2ijx0ix0j = 0

x001 + �111(x

01)2 + 2�112x

01x02 + �

122(x

02)2 = 0

x001 + 2(�1

x2)x01x

02 = 0 (1.4)

Análogamente

x002 + �211(x

01)2 + 2�212x

01x02 + �

222(x

02)2 = 0

x002 +1

x2(x01)

2 � 1

x2(x02)

2 = 0 (1.5)

De (1;4) se tiene x001 =2

x2x01x

02. Suponiendo que x

01 6= 0

x001x01

=2

x2x02

ln(x01) = 2 ln(x2) + c

x01 = cx22 (1.6)

Como 0 es normalizada, se tiene

18

1 = h 0; 0iHn ; donde = hx1; x2i

=1

x22

�(x01)

2 + (x02)2�

=1

x22

�(cx22)

2 + (x02)2�

x22(1� c2x22) = (x02)2

x02 = x2

q1� c2x22 (1.7)

Ahora dividiendo (1;7) con (1;6) tenemos:

dx2dx1

=x2p1� c2x22cx22

=

p1� c2x22cx2

dx1 =cx2p1� c2x22

dx2

x1 � d = �1c

p1� (cx2)2

(x1 � d)2 =1

c2(1� (cx2)2) =

1

c2� x2

2

(x1 � d)2 + (x2 � 0)2 =1

c2

Por tanto, en este caso las geodésicas son semicírculos superiores centra-dos en (d; 0) del eje x1.Ahora en el caso que x01 = 0, en este caso x1(t) = x0, así en la ecuación

(1;5) tenemos

x002 �1

x2(x02)

2 = 0

x2x002 � (x02)2 = 0�

x02x2

�0= 0

es equivalentex02 = kx2

para alguna constante k 2 R, la solución de esta ecuación esx2(t) = c0e

kt

para alguna constante c0 > 0. Por tanto las geodésicas son x(t) = (x0; c0ekt)que son las semirrectas superiores al plano hiperbólico.

19

1.5. Curvatura

La noción de curvatura en una variedad riemanniana fue introducida porRieman, quien adapta a variedades la de�nición de curvatura de Gauss yconsidera la curvatura K(p; �), llamada curvatura seccional de M en p conrespecto a �, donde p es un punto de una variedad riemannianaM y � 2 TpMun subespacio bidimensional del espacio tangente TpM de M en p.Se verá una de�nición de curvatura que intuitivamente mide cuanto una

variedad riemanniana deja de ser euclideana.

De�nición 1.14 Sea M una variedad riemanniana. La curvatura R de Mes una correspondencia que asocia a cada par X, Y 2 X (M) una aplicaciónR(X; Y ) : X (M)! X (M), dada por

R(X; Y )Z = rYrXZ �rXrYZ +r[X;Y ]Z, Z 2 X (M)

donde r es la conexión riemanniana de M .

Ejemplo 1.8 Sea M = Rn, entonces R(X;Y )Z = 0 para todo X, Y , Z 2X (Rn). En efecto, sea Z = (z1; :::; zn), entonces rXZ = (Xz1; :::; Xzn) yrYZ = (Y z1; :::; Y zn). Luego

rYrXZ = (Y Xz1; :::; Y Xzn), rXrYZ = (XY z1; :::; XY zn)

yr[X;Y ]Z = ([X; Y ] z1; :::; [X; Y ] zn).

Por tanto

R(X; Y )Z = rYrXZ �rXrYZ +r[X;Y ]Z = 0.

Proposición 1.4 La curvatura R de una variedad riemannianaM satisface:

i) R es bilineal en X (M)�X (M), esto es,

R(fX1 + gX2; Y1) = fR(X1; Y1) + gR(X2; Y1),

R(X1; fY1 + gY2) = fR(X1; Y1) + gR(X1; Y2),

para f ,g 2 D(M) y X1, X2, Y1, Y2 2 X (M).

20

ii) Para todo par X, Y 2 X (M), el operador curvatura R(X; Y ) : X (M)!X (M) es lineal, esto es,

R(X; Y )(Z +W ) = R(X; Y )Z +R(X; Y )W ,

R(X; Y )fZ = fR(X; Y )Z,

para f 2 D(M) y Z, W 2 X (M).

Prueba. La demostración de este resultado puede ser encontrada en DoCarmo [8].

Proposición 1.5 (Primera Identidad de Bianchi) Para todo X, Y , Z 2X (M) es válida la relación

R(X; Y )Z +R(Y; Z)X +R(Z;X)Y = 0.

Prueba. La demostración de este resultado puede ser encontrada en DoCarmo [8].

Proposición 1.6 Para todo X, Y , Z, T 2 X (M) son válidas las relaciones

a) hR(X; Y )Z; T i+ hR(Y; Z)X;T i+ hR(Z;X)Y; T i = 0

b) hR(X; Y )Z; T i = �hR(Y;X)Z; T i

c) hR(X; Y )Z; T i = �hR(X; Y )T; Zi

d) hR(X; Y )Z; T i = hR(Z; T )X;Y i

Prueba. La demostración de este resultado puede ser encontrada en DoCarmo [8].Vamos a escribir la curvatura en un sistema de coordenadas (U; x) en

torno de p 2M . Indicaremos @

@xipor Xi. Pongamos

R(Xi; Xj)Xk =Xl

RlijkXl.

Asi Rlijk son las componentes de la curvatura R en (U; x). Si

X =Xi

uiXi, Y =Xj

vjXj, Z =Xi

wkXk,

21

obtenemos por la linealidad de R,

R(X; Y )Z =Xi;j;k;l

RlijkuivjwkXl.

Ahora vamos a obtener la expresión de Rlijk en términos de los coe�cientes�kij de la conexión riemanniana.

R(Xi; Xj)Xk = rXjrXiXk �rXirXjXk

= rXj

Xl

�likXl

!�rXi

Xl

�ljkXl

!=

Xl

�likrXjXl �Xl

�ljkrXiXl

=Xl

�lik(Xs

�sjlXs)�Xl

�ljk(Xs

�silXs) +Xj(Xl

�lik)Xl

�Xi(Xl

�ljk)Xl

=Xs

Xl

�lik�sjl �

Xl

�ljk�sil +

@

@xj�sik �

@

@xi�sjk

!Xs

por tanto

Rsijk =Xl

�lik�sjl �

Xl

�ljk�sil +

@

@xj�sik �

@

@xi�sjk (1.8)

1.6. Curvatura Seccional

La curvatura seccional (o Riemanniana) está intimamente relacionado conel operador curvatura, por ejemplo, la curvatura seccional de una variedaddiferenciable M de dimensión dos, super�cie en R3 es igual a la curvaturaescalar K(p) de una variedad diferenciable M de dimensión dos, super�cieen R3; para mayores detalles ver en [5] :

De�nición 1.15 Sea M una variedad riemanniana, p 2 M , � � TpMun subespacio bi-dimensional del espacio tangente TpM y fx; yg una basecualquiera de �. La curvatura seccional de � en p, K(�) = K(x; y), es porde�nición

K(x; y) =hR(x; y)x; yijx ^ yj2

,

22

donde jx ^ yj2 = jxj2 jyj2 � hx; yi2, representa el área del paralelogramobidimensional determinado por los vectores x, y 2 �, siendo x; y vectoreslinealmente independientes.

Esta de�nición no depende de la elección de los vectores x, y 2 �. Enefecto, observemos inicialmente que podemos pasar de la base fx; yg 2 � paracualquier otra base fx0; y0g por interacción de las siguientes transformacioneselementales:

Proposición 1.7 a)fx; yg ! fy; xg,b)fx; yg ! f�x; yg,c)fx; yg ! fx+ �y; yg.

Prueba. Para lo que sigue denotaremos hR(x; y)x; yi por (x; y; x; y).

a) K(y; x) =(y; x; y; x)

jy ^ xj2=(x; y; x; y)

jx ^ yj2= K(x; y)

b) K(�x; y) =(�x; y; �x; y)

j�x ^ yj2=�2(x; y; x; y)

�2 jx ^ yj2= K(x; y)

c) K(x+ �y; y) =(x+ �y; y; x+ �y; y)

jx+ �y ^ yj2

=(x; y; x; y) + (x; y; �y; y) + (�y; y; x; y) + (�y; y; �y; y)

jx ^ y + �y ^ yj2

=(x; y; x; y)

jx ^ yj2

= K(x; y)

Así vemos que K(x; y) es invariante por tales transformaciones.

La importancia de la curvatura seccional es que el conocimiento de K(�),para todo �, determina completamente la curvatura R de M .

Lema 1.2 Sea W un espacio vectorial n-dimensional (n � 2), unido de unproducto interno h; i. Sea R : W �W �W ! W y T : W �W �W ! Waplicaciones tri-lineales tales que las condiciones (a), (b), (c) y (d) de laproposición (1;6) sean satisfechas para R y T . Si fx; yg es una base de �,entonces

K(�) =hR(x; y)x; yijx ^ yj2

, K 0(�) =hT (x; y)x; yijx ^ yj2

.

Si para todo � � W , K(�) = K 0(�), entonces R = T .

23

Prueba. La demostración de este resultado puede ser encontrada en RodneyJ. Biezuner [11].

Proposición 1.8 Sea M una variedad riemanniana y p un punto de M . Sede�ne la aplicación trilineal T : TpM � TpM � TpM ! TpM por

hT (X; Y )Z;W i = hX;Zi hY;Mi � hY; Zi hX;Mi ,

para todo X; Y; Z;W 2 TpM . Entonces M tiene curvatura seccional con-stante igual a c si y solamente si R = cT , donde R es la curvatura de M .


Corolario 1.1 SeaMn una variedad riemanniana n-dimensional, p un pun-to de M y fe1; :::; eng una base ortonormal de TpM . Tenemos que Rijkl =hR(ei; ej)ek; eli, i; j; k; l = 1; :::; n. Entonces K(p; �) = c para todo � 2 TpM ,si y solamente si

Rijkl = c(�ik�jl � �il�jk)

donde �ij = 0 si i 6= j o �ij = 1, si i = j. En otras palabras, K(p; �) = cpara todo � 2 TpM si y solamente si Rijij = �Rijji = c para todo i 6= j, yRijkl = 0 en otros casos.


Ejemplo 1.9 La curvatura seccional del Espacio hiperbólico es -1, cuyo cál-culo se hará en el Capítulo 2.

1.7. Inmersiones Isométricas

1.7.1. La Segunda Forma Fundamental

En esta sección compararemos la conexión riemanniana de M con laconexión riemannianaM atraves de la segunda forma fundamental (la primeraforma fundamental era usada básicamente para referirse a la métrica inducidade M)

De�nición 1.16 SeanMn yMn+m

variedades diferenciables. Una aplicacióndiferenciable f :M !M es una inmersión si el diferencial dfp : TpM ! Tf(p)M es inyectiva para todo p 2 M . El número m es llamado la codimensión

24

de f . Si, además de eso, f es un homeomor�smo sobre f(M) � M , dondef(M) tiene la topología inducida por M , se dice que f es un incrustación .Si M � M y la incrustación i : M ! M es un mergullo, se dice que M esuna subvariedad de M .

De�nición 1.17 Una inmersión f : Mn ! Mn+m

entre dos variedadesriemannianas con las métricas h; iM y h; iM , respectivamente, es llamada in-mersión isométrica(o riemanniana) si

hX; Y iM = hdfp(X); dfp(Y )iM

para todo p 2M , y todo X; Y 2 TpM .

La métrica riemanniana deM induce de manera natural una métrica rie-manniana enM : si X; Y 2 TpM , se de�ne hX; Y iM = hdfp(X); dfp(Y )iM . Enesta situación f pasa a ser una inmersión isométrica deM enM y la métricade M es entonces llamada la métrica inducida por f . En otras palabras, f esisometría si la métrica inducida coincide con la métrica original.Un caso interesante es cuando h : M

n+k ! Mk es diferenciable y q 2 Mes un valor regular de h (esto es, dhp : TpM ! Th(p) M es sobreyectiva paratodo p 2 h�1(q)); es sabido que h�1(q) �M es entonces una subvariedad deM de dimensión n; luego podemos darle la métrica inducida por la inmersión.

Ejemplo 1.10 Sea h : Rn ! R dada por h(x1; :::; xn) =nXi=1

x2i �1. Notemos

que h es diferenciable y que 0 es un valor regular de h; y

h�1(0) =�x 2 Rn : x21 + :::+ x2n = 1

= Sn�1

es la esfera unitaria de Rn. La métrica inducida por Rn en Sn�1 es llamadala métrica canónica de Sn�1.

Si f : Mn ! M es una inmersión, para una vecindad U de p en M (verDo Carmo [8] para mayores detalles), podemos identi�car U con f(U) y cadavector v 2 TqM , q 2 U , con dfq(v) 2 Tf(q)M . Usamos estas identi�cacionespara extender, por ejemplo, un campo local (esto es, de�nido en U) de vec-tores de M a un campo local (esto es, de�nido en U) de vectores en M .Podemos considerar el espacio tangente de M en p como un subespacio delespacio tangente de M en p y se tendría:

TpM = TpM � TpM?

25

donde TpM? es el complemento ortogonal de TpM en TpM . De esta de-scomposición obtenemos un �brado vectorial TM? = [p2MTpM?, llamado�brado normal a M .De este modo, el �brado vectorial

TM jf(M)=�X 2 TM : �(X) 2 f(M), donde � : TM !M es la proyección

es la suma directa del �brado tangente TM con TM?, esto es

TM jf(M)= TM � TM?.

Luego podemos considerar las siguientes proyecciones:

i) Tangencial ()> : TM jf(M)! TM ; y

ii) Normal ()? : TM jf(M)! TM?.

Sea r y r las conexiones riemannianas de M y M , respectivamente. SiX; Y son campos locales de vectores en M , y X; Y son extensiones locales aM , tenemos que

rXY = (rXY )> + (rXY )

?

donde por la unicidad de la conexión riemanniana, (rXY )> = rXY .

Para lo que sigue, indicaremos por X (U)? los campos diferenciables enU de vectores normales a f(U) � U .

Proposición 1.9 Sea f : Mn ! Mn+m

una inmersión isométrica. La apli-cación � : X (U)�X (U)! X (U)? es de�nida por

�(X; Y ) = rXY �rXY ,

donde para todo X; Y; Z en X (U) y g en D(U), tiene las siguientespropiedades:i) �(X; Y ) = �(Y;X);ii) �(X + Z; Y ) = �(X; Y ) + �(Z; Y );iii) �(gX; Y ) = g�(X;Y ).Esto es, � es simétrica y bilineal sobre D(U).

Prueba. Consideremos X; Y ; Z; g extensiones locales de X;Y; Z; g a M , ob-servemos que en M , g = g y

�X; Y

�= [X;Y ].

26

Figura 1.2: �(X; Y )(p) es ortogonal a TpM .

i)

�(X; Y ) = rXY �rXY

=�X; Y

�+rYX � [X;Y ]�rYX

= �(Y;X).

ii)

�(X + Z; Y ) = rX+ZY �rX+ZY

= rXY +rZY �rXY �rZY

= �(X; Y ) + �(Z; Y ).

iii)

�(gX; Y ) = rgXY �rgXY

= grXY � grXY

= g�(X; Y ).

De�nición 1.18 La aplicación � de la proposición anterior será llamada lasegunda forma fundamental de f y la ecuación

rXY = rXY + �(X; Y ) (1.9)

es denominada Fórmula de Gauss (ver Rodney J. Biezuner [11]).

27

Note que �(X; Y ) es un campo local en M normal a M , pues

�(X;Y ) = rXY �rXY = (rXY )> + (rXY )

? �rXY = (rXY )?

Es facil ver que la aplicación � está bien de�nida, esto es que �(X; Y )no depende las extensiones X; Y . En efecto, si W es otra extensión de X(entonces X�W = 0 enM) y V es otra extensión de Y (entonces Y �V = 0a lo largo de una trayectoria de X), tenemos

(rXY �rXY )�rWY �rXY = rX�WY = 0, y

(rXY �rXY )�rXV �rXY = rX(Y � V ) = 0.

Consideremos ahora campos de vectores X de TM y � de TM?, y deno-tamos por A�X la componente tangencial de �rX�, esto es

A�X = �(rX�)>

Observemos que para todo Y 2 TM tenemos

X h�; Y i =rX�; Y

�+�;rXY

�0 =

(rX�)

> + (rX�)?; Y

�+ h�;rXY + �(X; Y )i

0 = h�A�X; Y i+ h�; �(X; Y )i .

Asi mismo,hA�X; Y i = h�(X; Y ); �i

Por tanto está bien de�nida la aplicación A : TM � TM? ! TM dadapor A(X; �) = A�X, que es bilineal sobre D(M), pues la aplicación � yla métrica son bilineales sobre D(M). La aplicación A� : TM ! TM essimétrica (esto es, hA�X; Y i = hX;A�Y i para todo X; Y 2 TM) y linealsobre D(M). La aplicación A� es llamada Operador de Weingarten o porabuso de lenguaje, segunda forma fundamental en la dirección de �.La componente normal de rX�, denotada por r?

X�, de�ne una conexiónsobre el �brado TM?, compatible con la métrica, llamada conexión normalde f así obtenemos entonces la fórmula de Weingarten

rX� = �A�X +r?X� (1.10)

Consideremos un caso particular en que la inmersión es una Hipersuper�-cie, ósea, f :Mn ! M

n+1sea p 2M y � 2 TM? con j�j = 1 de�nido en una

vecindad de U . Dados X 2 TpM y un campo diferenciable Y 2 TM tenemos

rXY = rXY + �(X; Y )

= rXY + h�(X; Y ); �i �

28

ósea rXY = rXY + hA�X; Y i � que es la fórmula de Gauss para Hiper-super�cies, por otro lado, como � es un campo vectorial unitario tenemosrX�; �

�= 0, esto implica que r?

X� = 0, 8x 2 TM , por tanto

rX� = �A�X

es la fórmula de Weingarten.Veamos algunos ejemplos de inmersiones isométricas con sus respectivas

segundas formas fundamentales.

Ejemplo 1.11 La aplicación f : Mn ! Mn+p

dado por f (x1; :::; xn) =(x1; :::; xn; 0; :::; 0) es una inmersión isométrica con � = 0 pues rXY = rXY;8X; Y 2 X (Rn).

Ejemplo 1.12 Considere la inmersión i : Sn ! Rn+1 donde

Sn(r) =�x 2 Rn+1; jxj = r

:

Vamos a calcular la segunda forma fundamental.

Tomemos el campo de vectores normal unitario N(x) = �1rx. Por la

fórmula de Weingarten, 8X 2 TSn

rXN = �ANX +r?XN

Por un lado hN;Ni = 1 implica que r?XN = 0, entonces

rXN = �1rrXx = �

1

rX

de aquí AN =1

rId. Observe ahora que siendo la inmersión de codimensión

1, tenemos que

�(X; Y ) = h�(X; Y ); NiN= hANX; Y iN

=1

rhX; Y iN como N = �1

rx

ósea

�x(X; Y ) = �1

r2hX; Y ix, 8x 2 Sn y 8X; Y 2 TxM

29

Capítulo 2

El Espacio Hiperbólico

En este capítulo estudiaremos el Espacio Hiperbólico, que es el semiplanoxn > 0 en Rn con una métrica especí�ca que es conforme con la métricaeuclideana. Para el Espacio Hiperbólico y para el Espacio Euclideano encon-traremos explícitamente la conexión asociada. En la segunda parte consider-aremos una subvariedadM � Hn en el cual inducimos la métrica hiperbólicay la métrica euclideana. Entonces relacionaremos las conexiones y curvaturascorrespondientes.

2.1. Características del Espacio Hiperbólico

De�nición 2.1 (Espacio Hiperbólico)El Espacio Hiperbólico es el semiespa-cio

Hn := f(x1; x2; :::; xn) 2 Rn; xn > 0gunido a la métrica

ds2 =1

x2n

nXi=1

dx2i o también gij =�ijx2n;

y @Hn = (Rn � f0g) [ f1g es el borde del Espacio Hiperbólico Hn.

Notación 2.1 Indicaremos@

@xi= Xi por @i.

Proposición 2.1 En el Espacio Hiperbólico Hn, la conexión Riemannianar es dada por las siguientes igualdades:

30

a) r@i@j=�ijxn@n

b) r@n@i=�1

xn@i

c) r@n@n=�1

xn@n

donde i; j 2 f1; 2; ::; n� 1g, que son obtenidos determinándose los símbo-los de Christo¤el de r que son dados por:

�kij = �1

xnf�in�kj + �jn�ik + �kn�ijg

Dicho de otro modo, si i 2 f1; 2; ::; n� 1g, entonces

�iin = �1

xn;�nii =

1

xn;�ini = �

1

xn;�nnn = �

1

xn:

En todos los otros casos, los símbolos de Christo¤el son iguales a 0.Prueba. En efecto:

�kij =1

2

Xk

�@

@xigjk +

@

@xjgki �

@

@xkgij

�gkm

=1

2

Xk

�@

@xi

��jkx2n

�+

@

@xj

��kix2n

�� @

@xk

��ijx2n

��x2n�km

=m=k

1

2

Xk

�@

@xi

��jkx2n

�+

@

@xj

��kix2n

�� @

@xk

��ijx2n

��x2n�kk

=1

2

�� 1

x4n2xn

@

@xi(xn)�jk �

1

x4n2xn

@

@xj(xn)�ki +

1

x4n2xn

@

@xk(xn)�ij

�x2n

= � 1

xnf�in�jk + �jn�ki � �kn�ijg (*)

Sean i; j 2 f1; 2; ::; n� 1g :

a. Si i 6= n y j 6= n se tiene por (�)

�kij = 0 si k 6= n

�kij =�1xnf��nn�ijg =

�ijxn

si k = n

luego, r@i@j =Xk

�kij@k =�ijxn@n

31

b. Se sabe también r@n@j=Xk

�knj@k

Si j 6= n, i = n se tiene:

�knj = � 1

xnf�nn�jk + �jn�kn + �kn�njg

= � 1

xn�jk

luego, r@n@j =Xk

�knj@k =Xk

��1xn�jk

�@k =

�1xn�j

c. Si i = n, j = n:

entonces, �knn = � 1

xnf�nn�nk + �nn�kn � �kn�nng

= � 1

xn�nk

luego r@n@n =Xk

�knn@k =Xk

�� 1

xn�nk

�@k = �

1

xn@n

A continuación, mostraremos que el Espacio Hiperbólico tiene curvaturaseccional igual a �1. Este es un típico ejemplo de variedad con curvaturaconstante negativa, comparada con Rn que tiene curvatura cero y la esferaque tiene curvatura constante igual a 1.

Observación 2.1 El Espacio Hiperbólico Hn tiene curvatura seccional iguala �1.

Prueba. Sea � generado por f@i; @jg, tenemos R (@i; @j) @i = � 1

xn@j. En

efecto, para i 6= n y j 6= n se tiene que ninguna contiene al último campocoordenado.

R (@i; @j) @i = r@jr@i@i �r@ir@j@i +r[@i;@j ]@i

= r@j

��iixn@n

��r@i

��jixn@n

�= � 1

x2n@j(xn)@n +

1

xnr@j@n

=1

xn(� 1

xn@j)

= � 1

x2n@j

32

Por tanto:

K(@i; @j) =hR (@i; @j) @i; @jiHn

k@ik2Hn k@jk2Hn � h@i; @ji

2Hn

=

�� 1

x2n@j; @j

�Hn

�iix2n

�jjx2n� (�ij

x2n)2

=

� 1

x4n1

x4n

= �1

Análogamente, si i 6= n y j = n, tenemos, en efecto:

R (@i; @n) @i = r@nr@i@i �r@ir@n@i +r[@i;@j ]@i

= r@n

��iixn@n

��r@i

��1xn@i

�= � 1

x2n@n(xn)@n +

1

xnr@n@n +

��1x2n@i(xn)@i

�+1

xnr@i@i

= � 1

x2n@n +

1

xn(�1xn@n)�

1

x2n�in@i +

1

xn(�iixn@n)

= � 1

x2n@n

luego:

K(@i; @n) =hR (@i; @n) @i; @niHn

k@ik2Hn k@nk2Hn � h@i; @ni

2Hn

=

�� 1

x2n@n; @n

�Hn

�iix2n

�nnx2n

� (�inx2n)2=

�1x2n

�nnx2n1

x4n

=

� 1

x4n1

x4n

= �1

33

Figura 2.1: Diferencia de notación entre Rn y Hn

Observación 2.2 Como estaremos trabajando paralelamente con dos var-iedades riemannianas que di�eren apenas por su métrica (que son conformes)Rn y Hn, vamos a dar notaciones diferentes que se mostraran en la Figura2.1.

El siguiente Lema relaciona los productos internos y las derivadas covari-antes de los espacios Rn y Hn. Esta relación será usada en la proposición2.2 para relacionar las Curvaturas Medias de una subvariedad inmersa de Hncon las respectivas métricas inducidas.

Lema 2.1 Para campos X;Y; Z en Hn vale

Z;rXY

�=1

x2nZ: DXY +

1

x3n(�X [xn]Y:Z � Y [xn]Z:X + Z [xn]X:Y )

Prueba. Vamos a usar la conexión riemanniana del Espacio Hiperbólico,

esto es, r que es compatible con la métrica:

Y hZ;Xi =rYZ;X

�+Z;rYX

�34

Tenemos que:

Y hZ;Xi = Y

�1

x2nZ:X

�= � 2

x3nY [xn]Z:X +

1

x2nY [Z:X]

= � 2

x3nY [xn]Z:X +

1

x2nDYZ:X +

1

x2nDYX:Z (2.1)

X hY; Zi =rXY; Z

�+Y;rXZ

�= X

�1

x2nY:Z

�= � 2

x2nX [xn]Y:Z +

1

x2nDXY:Z +

1

x2nDXZ:Y (2.2)

Z hX; Y i =rZX; Y

�+X;rZY

�= Z

�1

x2nX:Y

�= � 2

x2nZ [xn]X:Y +

1

x2nDZX:Y +

1

x2nDZY:X (2.3)

Sabemos que las conexiones son simétricas, así

[X; Y ] = rXY �rYX = DYX �DXY

Sumamos las ecuaciones (2;1) y (2;2) y sustraemos (2;3) y obtenemosrYZ;X

�+Z;rYX

�+rXY; Z

�+Y;rXZ

��rZX; Y

��X;rZY

�=

1

x2n[Y; Z] :X +

1

x2n[X;Z] :Y +

1

x2nDYX:Z +

1

x2nDXY:Z

+2

x2nf�X [xn]Y:Z � Y [xn]X:Z + Z [xn]X:Y g

Ahora, agrupando convenientemente tenemos

h[Y; Z] ; Xi+ h[X;Z] ; Y i+rYX;Z

�+Z;rXY

�+�rXY; Z

��rYX;Z

��=

1

x2n[Y; Z] :X +

1

x2n[X;Z] :Y +

1

x2nDYX:Z +

1

x2nDXY:Z

+

�1

x2nDYX:Z �

1

x2nDYX:Z

�+

2

x2nf�X [xn]Y:Z � Y [xn]X:Z + Z [xn]X:Y g :

35

Se observa que las sumas en los paréntesis son sumas nulas y que los dosprimeros términos de ambos lados son iguales, por tanto, podemos cancelarlosluego

h[X; Y ] ; Zi+ 2rYX;Z

�=

1

x2n[X; Y ] :Z +

2

x2nDYX:Z

+2

x3nf�X [xn]Y:Z � Y [xn]X:Z + Z [xn]X:Y g :

Nuevamente podemos cancelar los primeros términos de cada miembro ydividir la expresión por dos para �nalmente conseguir:Z;rXY

�=1

x2nZ: DXY +

1

x3n(�X [xn]Y:Z � Y [xn]Z:X + Z [xn]X:Y ) :

2.2. Hipersuper�cies en Hn+1

Sea M y N variedades, recordemos que si M � N y la inclusión i :M !N es un mergullo, se dice que M es una subvariedad de N .Sea M una Hipersuper�cie en Hn+1, esto es, una subvariedad M � Hn+1

de codimensión 1. En M son inducidas tanto la métrica euclideana de Rn+1como la métrica hiperbólica de Hn+1. Así tenemos también dos conexionesen M , una inducida por la euclideana denotada por DXY y la otra inducidapor la hiperbólica denotada por rXYSea � el vector unitario normal a M en el sentido euclideano, entonces

N = xn� será el vector unitario normal en el sentido hiperbólico.

Sea X el conjunto de los campos de vectores de clase C1 en el espacioambiente Rn+1. Vamos a de�nir A que actúa en X , por la asociación A :X!X con A(X) = �rXN .Si X y Y son campos de vectores tangentes a M y X , Y extensiones de

M a Rn+1, tenemos

rXY = rXY + hAX; Y iNDXY = DXY + hAX; Y i �

Tomemos un punto p 2M y tracemos una curva diferenciable � : (�"; ")!M tal que �(0) = p y esta curva esta parametrizada por longitud de arco enel sentido hiperbólico.

36

De�nición 2.2 La curvatura normal en p, en el sentido hiperbólico es:

k =r�0�

0; N�

donde � : (�"; ") ! M es una curva diferenciable tal que �(0) = p y estaparametrizada por longitud de arco en el sentido hiperbólico.Similarmente, si � : (�"; ") ! M es una curva diferenciable, parame-

trizada por longitud de arco en el sentido euclideano, con �(0) = p, entoncesla curvatura normal en p, en el sentido euclideano será:

k = D�0�0:�

A continuación, encontraremos la relación que existe entre las curvaturasnormales en los sentidos euclideanos e hiperbólicos.

Lema 2.2 Dada una curva diferenciable en una Hipersuper�cie M � Hn+1,la relación entre la curvatura normal en el sentido hiperbólico y la curvaturanormal en el sentido euclideano es k = kxn + �n donde �n es tal que � =(�1; �2; :::; �n) es el vector normal unitario en el sentido euclideano.

Prueba. Considere una curva diferenciable � : (�"; ")!M . Sea t el vectorunitario tangente a � en el sentido euclideano, entonces T = xnt será elvector tangente unitario en el sentido hiperbólico, pues

hT; T i =1

x2n(xnt:xnt) = 1

hT;Ni =1

x2n(xnt:xn�) = 0

Por el Lema (2;1) tenemos la relación entre productos internos y derivadascovariantes

k =r�0�

0; N�=rTT;N

�=

1

x2nN:DTT +

1

x3n(�T [xn]T:N � T [xn]N:T +N [xn]T:T )

=1

x2nxn�:Dxntxnt+

1

x3nxn� [xn]xnt:xnt

=1

x2nxn�(xnxnDtt+ xnt [xn] t) +

1

x3nxn� [xn]xnt:xnt

= xn�:Dtt+ � [xn]

= xnk + � [xn]

37

Por otro lado, como la función xn : Hn+1 ! R es lineal, tenemos,

� [xn] = d(xn):� = xn(�) = �n,

por tantok = kxn + �n

A �n de encontrar fórmulas explícitas para los vectores normales � y N ala Hipersuper�ceM , vamos a suponer queM es el grá�co de una función. Ob-servemos que esto no es una restricción, ya que localmente toda subvariedades el grá�co de una función.

De�nición 2.3 (Grá�co Horizontal)Consideremos un hiperplano P del es-pacio hiperplano Hn+1.Podemos parametrizar ese espacio de tal manera queP sea dado por la condicion x0 = 0. Dado un dominio V en P y una función� : V ! R el GRAFICO HORIZOTAL de � en el espacio hiperbólico en eseconjunto:

GH(�) :=�(�(x1; :::; xn); x1; :::; xn); (0; x1; :::; xn) 2 V

Vamos a asumir que la clase de diferenciabilidad de � es tal que � 2 C2(V )

.

Notación 2.2 Para facilitar la notación, vamos a denotar la derivada par-cial de � con relación a xi por �xi.

Mostraremos que el vector normal a M = GH en el sentido euclideano es

� =1

W (�)(1;��x1 ; :::;��xn) donde W (�) = (1 + �2x1 + :::+ �2xn)

12 (**)

Veamos que � es normal a M = GH en el sentido euclideano, para esoveamos que el producto interno euclideano de � con cualquier vector gener-ador del plano tangente es cero. Como los puntos en M = GH son del tipo(�; x2; :::; xn), los vectores generadores del plano tangente son

Xi =@

@xi(�; x1; :::; xn) = (�xi ; 0; :::; 0; 1; 0; ::; 0)

donde el valor 1 aparece en la i-ésima posición.Así � es normal a M , ósea

38

Xi:� =�xi ;1

W (�)+1:(��xi)W (�)

= 0.

también � es unitario, en el sentido euclideano.

j�j2 = 1

W (�)2(1 + �2x1 + :::+ �2xn) =

W (�)2

W (�)2= 1

Sigue de (��) que, N = xn� será el vector normal a M en el sentidohiperbólico.

De�nición 2.4 (Grá�co Vertical)Considere el hiperplano P del espacio hiper-bólico Hn+1. Podemos parametrizar ese espacio de tal manera que P sea dadopor la condición xn = 0. Dado un dominio V en P y una función � : V ! R,de�nimos el GRÁFICO VERTICAL de � en el espacio hiperbólico como elconjunto:

GV (�) :=�(x0; x1:::; xn�1; �(x1; :::; xn�1)); (x0; x1; :::; xn�1; 0) 2 V

Mostraremos que

� =1

W (�)(��x0 ; :::;��xn�1 ; 1)

es el vector normal a M en el sentido euclideano, donde

W (�) = 1 +n�1Xi=1

�2xi :

Veamos que � es normal aM . Los vectores generadores del plano tangenteserán

Xi =@

@xi(x0; :::; xn�1; �) = (0; :::; 0; 1; 0; ::; 0; �xi),

donde el valor de 1 aparece en la i-ésima posición. Así

Xi:� =1:(��xi)W (�)

+�xi ;1

W (�)= 0

Además el vector � es unitario, en el sentido euclideano, ya que

j�j2 = 1

W (�)2(�2x1 + :::+ �2xn�1 + 1) =

W (�)2

W (�)2= 1.

Por tanto, el vector normal en el sentido hiperbólico será N = xn�.

39

2.3. La Ecuación de la Curvatura Media

En esta sección encontraremos la curvatura media en el sentido hiperbóli-co de una Hipersuper�cieM � Hn+1. Para simpli�car las cuentas suponemosque M es el grá�co de una función.

2.3.1. Relación entre las Curvaturas Medias Euclid-eanas e Hiperbólicas

Consideremos inicialmente como h y H las curvaturas medias de unahipersuper�cie M 2 Hn+1 en el sentido Euclideano e Hiperbólico, respecti-vamente. Considremos e1;e2;:::; en vectores ortonormales en el sentido hiber-bólico en M ; donde M representa un grá�co horizontal ó un grá�co vertical,de una función � de�nida en un dominio de un hiperplano P 2 Hn+1,representado por las condiciones fx0 = 0g o fxn = 0g respectivamente.

Proposición 2.2 Las curvaturas medias de una misma hipersuper�cie serelacionan de acuerdo con la siguiente relación:

H = xnh+ �n

donde �n es tal que � = (�0; �1; :::; �n) es el vector normal en el sentidoeuclideano.

Prueba. Por el Lema (2;2) tenemos:

nXi=1

ki =

nXi=1

(kixn + �n)

nXi=1

ki

n=

xn

nXi=1

ki + n�n

nH = xnh+ �n

Observación 2.3 Muchas veces una super�cie se puede escribir como elgrá�co de una función diferenciable z = f(x; y), donde (x; y) pertenece alconjunto abierto U � R2.

40

Sea X : U � R2 ! R3, es la parametrización respectiva,donde (u; v)! (u; v; f(u; v)) donde u = x y v = y, de aqui:

Xu = (1; 0; fu); Xuu = (0; 0; fuu); Xuv = (0; 0; fuv); Xv =(0; 1; fv) y Xvv = (0; 1; fvv).Asi mismo:

N =Xu �Xv

jXu �Xvj=

�fu;�fv; 1pf 2u + f 2v + 1

E = hXu; Xui = 1+f 2u ; F = hXu; Xvi = fufv y G = hXv; Xvi = 1+f 2v

también consideremos:

e = hN;Xuui =(Xu; Xv; Xuu)p

EG� F 2=

fuup1 + f 2u + f 2v

;

f = hN;Xuvi =fuvp

1 + f 2u + f 2vy

g = hN;Xvvi =fvvp

1 + f 2u + f 2v

Sabemos que:

h =1

2

eG� 2fF + gE

EG� F 2

reemplazando debidamente:

h =1

2

(1 + f 2u)fvvp1 + f 2u + f 2v

� 2fuvfufvp1 + f 2u + f 2v

+(1 + f 2v )fuup1 + f 2u + f 2v

1 + f 2u + f 2v

2h =(1 + f 2u)fvv � 2fuvfufv + (1 + f 2v )fuu

(1 + f 2u + f 2v )32

=@

@v

fvp

1 + f 2u + f 2v

!+

@

@u

fup

1 + f 2u + f 2v

!

= div

(fu; fv)p1 + f 2u + f 2v

!

= div

0@ rfq1 + jrf j2

1A41

entonces:

h =1

2div

0@ rfq1 + jrf j2

1Aes la Curvatura Media para una super�cie regular en R3 donde

rf es el gradiente de f en el sentido euclideano.

Haciendo una generalización para Rn, entonces:

h =1

ndiv

0@ rfq1 + jrf j2

1A2.3.2. Curvatura Media para una Grá�co Horizontal

Vimos que el vector unitario normal a M será dado por la expresión:

� =1

W (�)(1;��x1 ; :::;��xn)

donde la última coordenada del vector será:

�n =��xnW (�)

Así mismo, la expresión de la Curvatura Media es:

H = xnh��xnW (�)

Lema 2.3 La Curvatura Media H del gra�co horizontal hiperbólico � : !R, donde es un dominio del hiperplano P = fx0 = 0g, satisface la ecuacion:

div

�r�W (�)

�=

n

xn

�H +

�xnW (�)

�donde r� = (�x0 ; �x1 ; :::; �xn) es el gradiente euclideano de �.

Prueba. Se sabe que h =1

ndiv

�r�W (�)

�:

H = xn

�1

ndiv

�r�W (�)

��

�xnW (�)

n

xn

�H +

�xnW (�)

�= div

�r�W (�)

�

42

2.3.3. Curvatura Media para un Grá�co Vertical

El vector unitario normal a M es dado por la expresión:

� =1

W (�)(��x0 ;��x1 ; :::;��xn�1 ;�1)

donde la última coordenada del vector será:

�n =1

W (�)

Asá mismo la expresión de la curvatura.

H = xnh+1

W (�)

Lema 2.4 La Curvatura Media H del grá�co vertical hiperbólico � : ! R,donde es un dominio del hiperplano P = fxn = 0g, satisface la ecuación:

div

�r�W (�)

�=

n

xn

�H � 1

W (�)

�Prueba.

H = xnh+1

W (�)

H = xn1

ndiv

�r�W (�)

�+

1

W (�)

n

xn

�H � 1

W (�)

�= div

�r�W (�)

�

43

Capítulo 3

Principio del Máximo

En este capítulo vamos a desarrollar las herramientas necesarias de Ecua-ciones diferenciales Parciales (EDP) que nos será útil para la obtención delos próximos resultados, que pueden ser encontrados en el libro de Evans [9].En este capítulo, presentaremos el Principio del Máximo Débil y Fuerte

para operadores lineales y se verá que de acuerdo al signo del operador L�,que el máximo o mínimo de � de un dominio limitado � Rn es alcanzadoen la frontera del mismo, y si el máximo o mínimo de � fuera alcanzado enun punto del interior de , entonces la función � será constante.

De�nición 3.1 Una ecuación diferencial parcial (EDP) es una expresiónque relaciona n variables independientes x1; x2; :::; xn, una función �(x1; x2; :::; xn)y un número �nito de sus derivadas parciales. El ORDEN de una EDP es elorden de mayor derivación que ocurre en la ecuación.

La derivada parcial de � en relación a una variable cualquiera xi, serádada por �xi. La derivada de � en relación a xi y xj será representada por�xixj .

3.1. Ecuaciones Diferenciales Parciales de Se-gundo Orden

En el trabajo entero se tratara con EDP´s lineales de la forma:

nXi;j=1

aij�xixj +nXi=1

bi�xi + c� = d (3.1)

donde aij, bi, c y d son funciones reales de clase C1 para (x1; x2; :::; xn)de�nidas en (abierto de Rn) y la matriz aij es simétrica, osea, aij = aji.

44

Podemos representar la EDP por L� = d, donde L es el operador de�nidopor:

L =

nXi;j=1

aij@2

@xi@xj+

nXi=1

bi@

@xi+ c: (3.2)

Asociamos a la matriz aij la forma cuadrática Q : Rn ! R, por:

Q(x) = Q(x1; x2; :::; xn) =nX

i;j=1

aijxixj

Clasi�caremos las EDP 0s del tipo 3;1 y el operador L dado por 3;2 enElípticas, Hiperbólicas y Parabólicas.

a) Elíptica: Si los autovalores de la matriz (aij) son no nulos y tienen todoslos mismos signos. Si a11 > 0, se puede decir que Q(x) > 0,8x 2Rn� f0g.

Ejemplo 3.1 La ecuación de Laplace: �� = �x1x1 + :::+ �xnxn = 0, dondebi = c = d = 0 y aij = �ij.

Q(x) =nX

i;j=1

aijxixj =nXk=1

1:xkxk = jxj2 > 0,8x 2 Rn� f0g

b) Hiperbólica: Si los autovalores de (aij) son todos no nulos y existen au-tovalores de signos opuestos.

Ejemplo 3.2 La ecuación de la onda:(asociado t = x1) �tt � �x2x2 � ::: ��xnxn = 0 tenemos bi = c = d = 0 y aij = ��ij si (i; j) 6= (1; 1) y a11 = 1.

c) Parabólica: Cuando algún autovalor de (aij) sea nulo.

Ejemplo 3.3 La ecuación del calor:(asociado t = x1) �t��x2x2�:::��xnxn =0 donde b1 = 1, bi = 0 si i > 1, c = d = 0 y aij = ��ij si (i; j) 6= (1; 1) ya11 = 0.

De�nición 3.2 El operador L será UNIFORMEMENTE ELÍPTICO si ex-iste una constante � > 0 tal que

Q(�) =nX

i;j=1

aij(x)�i�j � � j�j2 , 8� = (�1; :::; �n) 2 Rn;8x 2 ,

signi�ca que la matriz (aij) tiene menor autovalor mayor o igual que �.

45

La ecuación asociada a este operador será llamada como ECUACIÓNDIFERENCIAL PARCIAL UNIFORMEMENTE ELÍPTICA DE SEGUN-DO ORDEN.

Corolario 3.1 Si L es elíptico, entonces para todo k = 1; :::; n tenemos:akk > 0, 8x 2 U . Si L fuera uniformemente elíptico, entonces para todok = 1; :::; n tenemos akk(x) � � > 0, para todo x 2 U .

Prueba. La demostración de este resultado puede ser encontrada en JoãoLucas Marques Barbosa y Ricardo Sá Earp, [4]

Corolario 3.2 Para todo operador elíptico L en , existe una función pos-itiva � tal que:

�(x) j�j2 � Q(�) � �(x)�1 jj�jj2

para todo � 2 Rn y todo x 2 :

Prueba. La demostración de este resultado puede ser encontrada en JoãoLucas Marques Barbosa y Ricardo Sá Earp, [4]

3.2. Principio del Máximo Débil

Los métodos del Principio del Máximo son basados en la siguiente ob-servación: Si � 2 C2() alcanza su máximo en el punto x0 2 , entoncesgrad�(x0) = 0 y Hess�(x0) � 0, donde Hess� representa el Hessiano de �.En esta sección presentaremos el Principio del Máximo Débil y Fuerte

para operadores lineales, que de acuerdo al signo del operador L�, que elmáximo o mínimo de � en un dominio limitado � Rn es alcanzado en lafrontera y si el máximo o mínimo de � fuera alcanzado en el interior de ,entonces la funcíon � es constante.

Teorema 3.1 (Principio del Máximo Débil, c � 0)Sea L un operador elípticode segundo orden en un dominio limitado � Rn.Asuma c � 0 y tomemosuna función � 2 C2() \ C0():

a) Si L� > 0 en , entonces � no puede tener un máximo local en .

b) Si L� < 0 en , entonces � no puede tener un mínimo local en .

Prueba. a) Supongamos que existe p 2 tal que � alcanza un máximo localen p. Entonces �xi(p) = 0, para todo i = 1; :::; n y Hess�(p) = [Dij�(p)] esuna matriz no positiva. Como L es elíptico, tenemos que [aij(p)] es de�nida

46

positiva. Consecuentemente L� =nX

i;j=1

aij(p):Dij�(p) � 0, contradiciendo

L� > 0.b) Si L� < 0, entonces, como L es un operador lineal, L(��) > 0. Por a),

�� no puede asumir máximo local en , osea, � no puede asumir mínimolocal en .

En el Teorema anterior se impone la condición que c � 0, en el siguienteteorema se verá para c � 0.

Teorema 3.2 (Principio del Máximo Débil, c � 0)Sea L un operador elípticode segundo orden en un dominio limitado � Rn. Sea c � 0 y � 2 C2() \C0():

a) Si L� > 0 en , entonces � no puede alcanzar un máximo local positivoen .

b) Si L� < 0 en , entonces � no puede alcanzar un mínimo local negativoen .

Prueba. a) De�namos el operador lineal K dado por K� = L�� c�, dondec es el coe�ciente del término de orden cero del operador L. Es fácil percibirque K no tiene término de orden cero. Suponiendo que existe p 2 talque � alzanza el máximo local positivo en p, entonces, en una vecindad de p,donde � > 0, tendriamos K� = L� � c� > 0. Aplicando el terema anteriorpara K, vemos que � no puede tener máximo local positivo en , llegando auna contradicción.b) Análogo a la parte a) con �� en lugar de �.

El Teorema anterior posee una condición que es la limitación del conjunto. Veremos en la siguiente proposición que limitado o no el resultado siguesiendo válido.

Proposición 3.1 Sea L un operador elíptico de segundo orden en un con-junto abierto � Rn(limitado o no). Asuma c � 0 y tomemos � 2 C2() \C0():

a) Si L� > 0 en , entonces � no puede tener un máximo local en .

b) Si L� < 0 en , entonces � no puede tener un mínimo local en .

47

Prueba. Supongamos que � alcanza un máximo o mínimo local en p 2 .Tomemos una bola abierta B centrada en p con B � . Asi � 2 C2(B) \C0(B) y L� jB> 0, luego aplicando el Teorema anterior se percibe el absurdo.

Consecuencia:m�ax�

= m�ax�@

,

para todo limitado contenido en el dominio de �.

Ejemplo 3.4 Veamos un ejemplo de la necesidad que sea limitado. El

laplaciano de �, denotado por��, es de�nido por:�� =nXi=1

�xixi = div grad�

(tomando L como el laplaciano), � de�nido en todo el plano. Sea =f(x; y) 2 R2; y > 0g, entonces @ = f(x; y) 2 R2; y = 0g. Tomemos L el lapla-ciano y �(x; y) = y2; entonces L� = �� = 2 > 0, tambien m�ax�

= +1 y

m�ax�@

= 0.

Si observamos en el teorema anterior la desigualdad es estricta, L� > 0 oL� < 0.

Teorema 3.3 Sea L un operador elíptico, con jbij�es determinada por el

corolario 3.2 limitado para todo i = 1; :::; n en un dominio . Entonces, sic � 0 y L� � 0 para una función � 2 C2(), entonces � no puede asumirmáximo local en , a menos que � sea constante.

Prueba. Supongamos que � no sea constante. Sea un dominio limitado talque � . Consideremos en una función v = e x1 , donde es un númeroreal que será escogido más adelante.Vamos a calcular la expresión para Lv:

@v

@xi= 0; si i 6= 1 @v

@x1= e x1

@2v

@xi@xj= 0; si (i; j) 6= (1; 1) @2v

@2x1= 2e x1

Luego, Lv = (a11 2 + b1 )e x1 � (�(x) 2 � b0�(x) )e

x1 donde b0 es unnúmero que limita jbij

�.

El signo de Lv será el signo de la ecuación de segundo grado en . Asimis-mo, podemos escoger su�cientemente grande para tener Lv > 0. Asi paracada � > 0, tenemos L(� + �v) > 0, por el teorema 3.1, concluiremos que:m�ax(�+ �v)

= m�ax(�+ �v).@

48

Asiendo � ! 0, concluimos que m�ax�

= m�ax�@

. Como esta relación vale

para todo , concluimos que � no puede tener máximo local en , a menosque � sea constante.

Observemos que el teorema anterior es válido si la hipotesis jbij�fuese

limitada.Podemos tomar L� � 0 y c � 0 que será dado en el siguiente corolario.

Corolario 3.3 Sea L un operador elíptico con jbij�limitado para todo i =

1; :::; n en el dominio limitado . Entonces, si c � 0 y L� � 0 para unafunción � 2 C2() \ C0(), obtenemos que:

sup� � sup

@�+; donde : �+ = m�ax f�; 0g

Prueba. De�namos el subconjunto de , donde � > 0 y un operador auxiliarL0, cuyos términos de orden 1 y 2 sean iguales a los de L y que no tengatérmino de orden cero + = fx 2 ;�(x) > 0g y L0 = L � c. Por tanto, situviéramos + = c/, entonces se tiene 8x que �(x) � 0, luego �+(x) � 0. Asientonces sup � � 0 = sup@ �

+.Por otro lado, si + 6= c/, tenemos en +:L0� = L�� c� � 0� c�, por el teorema anterior sup+ � � sup@+ �. Comoen � = n +, tenemos � � 0, entonces sup@ � = sup@+ � � sup@ �+ ysup � = sup@ �

+

Talvez una de las principales aplicaciones de este resultado sea la unicidaddel problema de Dirichlet. El siguiente resultado discurre sobre un problemade Dirichlet (donde el valor de � es conocido en la frontera de un conjunto)mostrando que la solución, si existe es única.

Corolario 3.4 Sea L un operador elíptico en un dominio limitado � Rn.Asuma c � 0 y considere el problema de Dirichlet:�

L� = f , en � � , en @

Este problema posee en el máximo una solución en C0() \ C2().

Prueba. Supongamos que el problema tiene solución, vamos a mostrar quees única. Para esto, consideremos �1 y �2 soluciones del problema, de�namosv = �1 � �2. Luego en tenemos:

Lv = L(�1 � �2) = L�1 � L�2 = f � f = 0:

49

y, en la frontera @ tenemos:

v = �1 � �2 = � = 0

Resumiendo, tenemos el problema:�Lv = 0, en v � 0, en @

por el corolario anterior, tenemos que sup v � sup@ v+ = 0, y aplicandoel resultado a �v tenemos: sup(v�) � sup@(�v)+ = 0, ósea infv � 0 ysup v � 0, así v = 0 y por tanto �1 = �2 en .

Podemos ahora conseguir un resultado para comparar funciones si tu-viéramos algunas desigualdades.

Corolario 3.5 Sea L un operador elíptico en un dominio limitado � Rn.Asuma c � 0. Sean � y v satisfaciendo:�

L� � Lv, en � � v, en @

Entonces � � v en .

Prueba. De�namos w = �� v, luego en tenemos Lw = L(�� v) = L��Lv � 0 y en @, w = ��v � 0, y por el corolario 3;3: supw � sup@w+ = 0,por tanto �� v � 0 en , así entonces � � v, en @.

Observación 3.1 La hipótesis c � 0 no puede ser omitida en el corolario

3.4, como muestra el siguiente contraejemplo: Si L =@2

@x2+ 0:

@

@x+ 1, � es

una función en el intervalo = (0; 2�) tomando valores en la recta, tal que�(0) = �(�) = 0 y el problema de Dirichlet es:�

L� = 0, en = (0; 2�)� � 0, en @ = f0; 2�g

Sabemos que este problema tiene in�nitas soluciones del tipo � = ksenx,para k 2 R.

50

3.3. Principio del Máximo de Hopf

El resultado que vamos a enunciar es conocido como el Lema de Hopf.El dominio satisface la condición de bola interior en x0 2 @ si existe

una bola B � con x0 2 @B, (esto es, el complemento de satisface lacondición de bola exterior en x0). El siguiente Lema es llamado el Lema delpunto frontera.

Lema 3.1 (Lema de Hopf)Sea L un operador uniformemente elíptico conc = 0 en un dominio . Sea � 2 C2() \ C0() con L� � 0. Sea x0 2 @tal que:

a) � es continua en x0;

b) �(x0) > �(x), 8x 2 ;

c) @ satisface la condición de bola interior en x0;

d) Los coe�cientes de L son limitados en .

Entonces la derivada normal exterior de � en el punto x0 satisface lainecuación estricta

@�

@�(x0) > 0

donde � es el vector unitario exterior normal a @ en x0. Si c � 0 y �(x0) �0, entonces la misma conclusión es obtenida.

Estamos ahora en la posición de exhibir el Principio del Máximo Fuertede Hopf dado en dos resultados útiles para este trabajo, ellos son el Principiodel Máximo en el Interior de Hopf y el Principio del Máximo en la Fronterade Hopf.Prueba. La demostración de este resultado puede ser encontrada en JoãoLucas Marques Barbosa y Ricardo Sá Earp, [4]

Teorema 3.4 (Principio del Máximo en el Interior de Hopf)Sea L un op-erador uniformemente elíptico, c = 0 y L� � 0 en un dominio � Rn.Entonces si � alcanza el máximo en el interior de , � es constante. Sic � 0, entonces � alcanza el máximo en y ese máximo es no negativo,entonces � es constante.

51

Figura 3.1: El lema del punto frontera

Prueba. Supongamos que � no es constante y asume máximo M � 0 enx0 2 . Sea un dominio limitado en � y x0 2

M = m�ax�

= m�ax�@

De�namos � = fx 2 ;�(x) < Mg, entonces � es abierto no vacío en (pues, caso contrario, � seria constante) y @� \ 6= c/. Sea x1 un punto en� que es más próximo de @� que de @, o sea, d(x1; @�) < d(x1; @).Consideremos la mayor bola B � � siendo x1 centro. Asimismo @B tiene unpunto y común con @�\. Luego �(y) =M > �(x), si x 2 B. Por el Lema3.1 tenemos que

@�

@�(y) > 0, lo que implica que r� = (@1�; :::; @n�) 6= 0 y que

y es un punto máximo de �, ya que �(y) = M . Esta contradicción muestraque � es constante en .Si escogemos el siguiente conjuntoR;2 := fx 2 BR(x0) \ ; d(x1; @) >2g,

asi � es constante en R;2, para todo R 2 R y 2> 0, más claramente estoimplica que � es constante en .

Observemos que probamos el Teorema usando el Lema 3.1 y que la condi-ción d(x1; @�) < d(x1; @) es para evitar situaciones ilustradas en la �gura3.3.

Teorema 3.5 (Principio del Máximo en la Frontera de Hopf)Sea L un op-erador uniformemente elíptico con c � 0 en un dominio y @ satisface lacondición de bola interior en cada punto de @. Sea x0 2 @ tal que

52

Figura 3.2: Principio del Máximo en el Interior de Hopf

Figura 3.3: Principio del Máximo en el Interior de Hopf: d(x1; @�) =d(x1; @)

53

a) � es continua en x0

b) �(x0) � �(x); 8x 2

c)@�

@�= 0 en x0

entonces � es constante y vale � � �(x0). Si c � 0 y �(x0) � 0 la mismaconclusión es obtenida.

Prueba. Supongamos que � no es constante, osea, �(x0) 6= �(x). Por el lema

3.1, si �(x0) > �(x) para todo x 2 tenemos @�@�(x0) > 0 lo que contradice

a la condición c). Por otro lado, si existe x 2 con �(x0) = �(x) , asi �alcanza su máximo en y por el resultado anterior, � es constante.

54

Capítulo 4

Principio del Máximo y laCurvatura Media

Después de terminar de estudiar las herramientas de análisis necesarias eneste trabajo durante el capítulo anterior, vamos aplicarlas en las ecuacionesde curvatura media de los grá�cos horizontales y verticales deducidas en loslemas 2.3 y 2.4 respectivamente.En este capítulo vamos a comparar dos hipersuper�cies conexas en el

Espacio Hiperbólico.

4.1. Contacto entre Hipersuper�cies

Sean M1 y M2 hipersuper�cies conexas en el espacio hiperbólico Hn+1,que son tangentes y poseen el mismo vector unitario normal en el puntode tangencia p. Podemos escoger las coordenadas locales para el EspacioHiperbólico de tal forma que:

i) El espacio tangente común a M1 y M2 en el punto p es:

P =�x = (x0; x1; :::; xn) 2 Hn+1; x0 = 0

ii) El vector unitario normal a M1 y M2 en p es: N = (1; 0; :::; 0).

Donde N es perpendicular a P , pues hN; vi = 0, para todo v en P .Por tanto, en una vecindad de p, M1 y M2 son grá�cos de funciones f1

y f2 respectivamente, donde: f1 , f2 : ! R, con conjunto abierto en elhiperplano P que contiene p.

55

De�nición 4.1 Decimos que M1 está encima de M2, si f1 � f2 lo cualdenotaremos M1 � M2.

También consideraremos el caso de hipersuper�cies con borde, cuyo puntode tangencia p se encuentra en el borde de ambas. Asumimos que M1 yM2 poseen el mismo vector unitario normal en p, además @M1 y @M2 sondiferenciables y tangentes en p, con las conormales �1 y �2 coincidiendo en p.

�1 = �2 = (0; :::; 0; 1)

Proposición 4.1 Podemos escribir la ecuación de la curvatura media parael grá�co de una función f : ! R como F (x; grad f;Hessf) = nH dondeF : (;Rn;Rn2)! R es de�nida por:

F (x; grad f;Hessf) =xnq

1 + jgrad f j2Xi;j

��ij �

fxifxj

1 + jgrad f j2�fxifxj

� nfxnq1 + jgrad f j2

Prueba. Partiendo de la ecuación de la curvatura media para grá�cos hori-zontales (Lema 2.3), tenemos que:

nH = xn div

�grad f

W (f)

�� n

fxnW (f)

Primeramente calculemos grad f , W (f) y@W (f)

@xi:

tenemos que f = f(x1; x2; :::; xn), de aqui:

grad f = (fx1 ; fx2 ; :::; fxn),

W (f) =

"1 +

nXi=1

�@f

@xi

�2#1=2=

q1 + jgrad f j2

de esta forma,

@W (f)

@xi=

nXj=1

fxjfxixj

W (f)

56

tambien,

div

�grad f

W (f)

�=

nXi=1

@

@xi

�fxiW (f)

�=

nXi=1

@

@xi

2664@f

@xiW (f)

3775=

1

W (f)

nXi=1

fxixi �nX

i;j=1

fxifxjfxixjW (f)2

!

=1

W (f)

nX

i;j=1

fxixj�ij �nX

i;j=1

fxifxjfxixjW (f)2

!

=1

W (f)

nX

i;j=1

�ij �nX

i;j=1

fxifxjW (f)2

!fxixj

de este modo, conseguimos F = nH, donde

F =xn

W (f)

nXi;j=1

��ij �

fxifxjW (f)2

�fxixj �

nfxnW (f)

4.2. Principio del Máximo para Hipersuper-

�cies sin Borde

Presentaremos el Principio del Máximo para la ecuación de la CurvaturaMedia en el Espacio Hiperbólico. Este resultado nos permite concluir que, sidos hipersuper�cies sin borde son tangentes en un punto, entonces la que esmás curva (mayor curvatura) no puede estar abajo de la otra.

Teorema 4.1 Sean M1 y M2 hipersuper�cies conexas y sin borde en el Es-pacio Hiperbólico, donde H1 y H2 son las curvaturas medias respectivamente.Suponga que las hipersuper�cies son tangentes en el punto p y que tenganel mismo vector unitario normal. Podemos parametrizar Hn+1 de forma queel plano tangente a ambas sea P = fx0 = 0g. Además suponga que en unavecindad de p tenemos

i) M1 �M2,

57

ii) H1 � H2,

entonces M1 =M2 en la vecindad de p.Prueba. Las hipersuper�cies conexas M1 y M2 son tangentes en el puntop = (0; p1; p2; ::; pn) 2 Hn+1 y poseen el mismo plano tangente en p,

TpM1 = TpM2 = P = fx0 = 0g .

EntoncesM1 yM2 son localmente de�nidos por funciones f1 , f2 : ! R,donde es un abierto de P , con a = (p1; p2; ::; pn) 2 y:

f1(a) = f2(a) = 0 (el punto p pertenece a ambas hipersuper�cies)

f1(a) � f2(a) en (M1 �M2 en una vecindad de p)

De acuerdo con la proposición 4.1 tenemos que las ecuaciones de la cur-vatura media hiperbólica para M1 y M2 pueden ser escritos como

F (x; grad f1; Hessf1) = nH1

F (x; grad f2; Hessf2) = nH2

Como H1 � H2 tenemos nH1 � nH2 y así

F (x; grad f2; Hessf2)� F (x; grad f1; Hessf1) � 0

De�namos � : [0; 1]! R como

�(t) = F (�) donde � = (x; t grad f2+(1�t) grad f1; tHessf2+(1�t)Hessf1)

tenemos �(0) = nH1 � nH2 � �(1) y por el Teorema Fundamental delCálculo Z 1

0

�0(t)dt = �(1)� �(0) � 0:

Ahora,

�0(t) = @2F (�)(grad f2 � grad f1) + @3F (�)(Hessf2 �Hessf1)

=nXj=1

@F

@fxj(�)

�@f2@xj

� @f1@xj

�+

nXi;j=1

@F

@fxixj(�)

�@2f2@xixj

� @2f1@xixj

�luegoZ 1

0

�0(t)dt =

nXi;j=1

Z 1

0

@F

@fxixj(�)

�@2f2@xixj

� @2f1@xixj

�dt+

nXj=1

Z 1

0

@F

@fxj(�)

�@f2@xj

� @f1@xj

�dt � 0.

58

Figura 4.1: M1 está arriba de M2 alrededor de p.

Ahora de�namos ! = f2 � f1. Observe que en vale ! � 0. Tenemosgrad! = grad f2 � grad f1 y Hess! = Hessf2 �Hessf1, a

L! =nX

i;j=1

Z 1

0

@F

@fxixj(�)dt!xixj +

nXj=1

Z 1

0

@F

@fxj(�)!j � 0

donde L es un operador de segundo orden con coe�cientes:

�ij =

Z 1

0

@F

@fxixj(�)dt

bi =

Z 1

0

@F

@fxj(�)

c = 0

donde �ij es de�nida positivo.Por lo tanto, L! � 0, !(a) = f2(a) � f1(a) = 0 y ! � 0 en . Por el

Principio del Máximo en el interior de Hopf, como a 2 y tenemos que a esun punto de máximo de !, concluimos que ! es constante igual a cero en .Entonces f1 = f2 en .

4.3. Principio del Máximo para Hipersuper-�cies con Borde

El siguiente teorema es para Hipersuper�cies con borde con tangencia enel borde.

59

Teorema 4.2 Sean M1 y M2 hipersuper�cies conexas y con borde diferen-ciable, en el Espacio Hiperbólico y H1 y H2 sus curvaturas medias respectiva-mente. Supongamos que M1 y M2 son tangentes en un punto p 2 @M1\@M2

y que tengan el mismo vector unitario normal en el punto p, y que los bordessean diferenciables y tangentes en p. Podemos parametrizar Hn+1 de formaque el plano tangente a ambas sea P = fx0 = 0g. Además suponga que enuna vecindad de p tenemos

i) M1 �M2,

ii) H1 � H2:

Entonces M1 =M2 en la vecindad de p.

Prueba. La demostración de este resultado es similar al anterior, con f1y f2 de�nidas en con borde. El punto p 2 @, luego a también. Usandola misma notación anterior obtenemos L! � 0, ! � 0 en �, !(a) = 0,

y@!

@�(a) = 0. Aplicando el Principio del Máximo en la Frontera de Hopf

obtenemos el resultado.

El Principio del Máximo es una herramienta natural para probar la uni-cidad en la teoría de hipersuper�cies de curvatura media constante.

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Conclusiones

1.- Es conocido que las derivadas de una función dan información sobre elcomportamiento de la función. El Principio del Máximo es un resultadoque veri�ca esta a�rmación, a partir de condiciones especí�cas sobrela primera y segunda derivada se concluye que la función debe serconstante.

2.- Un caso particular de una inmersión es cuando la codimensión es 1, dondese vio que rX� = �A�X:

3.- La curvatura media de una subvariedad M en el Espacio HiperbólicoHn+1 con la métrica inducida se puede expresar por medio de unaecuación que envuelve Ecuaciones Diferenciales Parciales.

4.- Dos Hipersuper�cies que tengan un punto de contacto (el mismo vectorunitario y sus respectivas curvaturas medias), bajo ciertas condicionescoinciden en una vecindad.

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principio del mÆximo en el espacio

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