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Febrero 6, 2008Principio de la presentación

© Prof. Dr. François E. Cellier

Modelado Matemático de Sistemas Físicos

La Termodinámica

• Hasta ahora no mencionamos el campo de la termodinámica. Sin embargo es fundamental para el entendimiento de la física.

• Se mencionó que energía no puede ni generarse ni destruirse ... sin embargo, introdujimos elementos como las fuentes y los resistores que no deberían existir por consecuencia de esa observación.

• En esa presentación se analizaran estos fenómenos en más detalles.




Contenido

• Fuentes y sumideros de energía

• La termodinámica irreversible

• La conducción de calor

• El flujo de calor

• Resistores y capacidades térmicos

• La radiación




Fuentes y Sumideros de Energía

Lindero del sistema físico (la pared)

Lindero del sistema matemático (campos diferentes)

Toma de corriente, pila

k·U0

i0 /k

T

S2

.

T S1

.

Modelo eléctrico (modelo interno)

Modelo térmico (modelo externo)

El otro lado de la pared (modelo externo)

Se




La Fuente Resistiva

• El resistor convierte energía libre de forma irreversible en entropía.

• Este concepto se representa en el gráfico de ligaduras por una fuente resistiva, el elemento RS.

• La causalidad del lado térmico es fija. El resistor siempre opera como una fuente de entropía y nunca como una fuente de temperatura.

• Fuentes de temperatura no representan un concepto físico.




La Conducción de Calor I• La conducción de calor en una barra bien aislada puede

describirse por la ecuación de la conducción de calor en una dimensión:

• La discretización en el espacio nos da:




La Conducción de Calor II• Por consecuencia se puede considerar el circuito eléctrico

equivalente:

dvi /dt = iC /CiC = iR1 – iR2

vi-1 – vi = R· iR1

vi – vi+1 = R· iR2

dvi /dt = (iR1 – iR2 ) /C= (vi+1 – 2·vi + vi-1 ) /(R · C)

(R · C)·dvi

dt = vi+1 – 2·vi + vi-1




La Conducción de Calor III

• Por consecuencia puede describirse la conducción de calor por una serie de circuitos T:

• En la representación por gráficos de ligaduras:




La Conducción de Calor IV

• Este gráfico de ligaduras es muy bonito ...Tiene una sola desventaja ...

Es seguramente incorrecto!

. No hay sumideros de energía!Puede ser razonable usar resistores en circuitos eléctricos si el campo térmico no es de interés. Sin embargo no tiene sentido usar resistores si el modelo mismo ya opera en el campo térmico.




La Conducción de Calor V

• El problema puede corregirse fácilmente remplazando cada resistor por una fuente resistiva.

• El gradiente de la temperatura produce entropía adicional que se inserta en la unión 0 más próxima.




La Conducción de Calor VI• Ese modelo ofrece una buena aproximación de la realidad

física. Desafortunadamente el gráfico de ligaduras que resulta es asimétrico, aunque la ecuación de la conducción de calor es simétrica.

• Una corrección adicional remueve la asimetría.

Si-1

.2

Si-1

.Ti 1

Si-1

.Ti+1 0

C

Ti+1Si

.1

Ti

1 0

C

Si-1

.

0

Si-1

.Si-1

.2

Ti

Ti

Ti

RSRSTi+1

Six

.Ti

Siy

. RS RS




Flujos de Calor

• La potencia térmica es el flujo de calor dQ/dt. En los gráficos de ligaduras se calcula de dos variables térmicas adjuntas:

• También es posible tratar el flujo de calor como la variable principal física y deducir de ella una ecuación para calcular el valor de la entropía:

P = Q = T·S··

S = Q / T··




Las Variables R y C I

• Una barra bien aislada conduce calor en proporción al gradiente de la temperatura.

• donde:

T = · Q = · (T · S) = ( · T) · S = R · S · · · ·

R= · T

=resistencia térmica

=

1 · A

l =conductancia térmica específica l=longitud de la barraA=sección transversal de la barra

R= · T = x · T · A

x=longitud de un segmento




S = ·· dTdt

T

dTdt

Las Variables R y C II

• Una barra bien aislada almacena calor conforme a la ley:

• donde:

C= / T

=capacidad de almacenar calor

= c · mc =capacidad específica de calorm=masa de la barra

Q = ·· dTdt = (T·S) = T·S· · = C·

m= · V

=densidad del materialV=volumen de un segmento

explicado más tarde




Las Variables R y C III

• La constante de tiempo de la difusión R·C es independiente de la temperatura.

• La resistencia térmica es proporcional a la temperatura.• La capacidad térmica es proporcional al inverso de la

temperatura.• Los elementos R y C térmicos son, en contraposición a los

elementos R y C de los campos eléctricos y mecánicos, no constantes.

C= / T = c · · V / T = c · · A · x / T

R · C = · = c · · x2 =

1 · x2




¿Es la “Capacidad” Térmica Verdaderamente una Capacidad?

• Tenemos que verificar que la ley deducida no es en violación de la regla general de las leyes capacitivas.

S = ·· dTdt

T f = ·

dedt

e q = · ln(e)

q es en efecto una función no lineal de e. Por consecuencia, la regla general de las leyes

capacitivas satisface la ley deducida.




Calculo de R para el Gráfico de Ligaduras Modificado

• El valor de la resistencia térmica se calculó para la configuración original del circuito. Tenemos que analizar, cuales son los efectos de la simetrización del gráfico de ligaduras sobre el valor de la resistencia térmica.

• Es cierto que se puede remplazar el resistor original por dos resistores de tamaño doble conectados en paralelo:

C C

R

C C2R

2R

0 01

1

C C2R

2R




Modificación del Gráfico de Ligaduras

• El gráfico de ligaduras puede modificarse usando la regla del diamante:

• Aquella es exactamente la estructura usada en el gráfico de ligaduras simétrico.

0 01

1

C C2R

2R

0 01

C C

2R02R




La Radiación I

• Un segundo fenómeno fundamental de la termodinámica es la radiación. Se describe por la ley de Stephan-Boltzmann.

• El calor emitido es proporcional a la radiación y a la superficie emitiendo.

• Por consecuencia es la entropía emitida proporcional a la tercera potencia de la temperatura absoluta.

= · T 4

Q = · A · T 4.

S = · A · T 3.




La Radiación II

• La radiación describe un fenómeno de disipación (lo sabemos a causa de la relación estática entre T y S).

• Por consecuencia puede evaluarse la resistencia de la manera siguiente:

• La resistencia de la radiación es proporcional al inverso del cuadrado de la temperatura absoluta.

.

R = T / S = 1 / ( · A · T 2).




La Radiación III




Referencias

• Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 8.

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