primeres mates 3 - text.cat:9521text.cat:9521/escolar/pdf/pd459253.pdf · unitat 5 unitat 4 unitat...

80
ESO EQUIP D’AUTORS Pedro Rodríguez Miguel Ángel Almarza Gonzalo Lorente Jesús del Oso EQUIP DE TEXT-LA GALERA EDICIÓ Eduard Martorell DIRECCIÓ D’ART Cass COORDINACIÓ DE MAQUETACIÓ Montserrat Estévez COORDINACIÓ DE L’ÀREA Eduard Martorell COORDINACIÓ PEDAGÒGICA Anna Canals DIRECCIÓ Xavier Carrasco DIRECCIÓ EDITORIAL Jesús Giralt ESO Guia didàctica Matemàtiques 3

Upload: buingoc

Post on 25-Sep-2018

254 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

ESO

EQUIP D’AUTORS

Pedro Rodríguez

Miguel Ángel Almarza

Gonzalo Lorente

Jesús del Oso

EQUIP DE TEXT-LA GALERA

EDICIÓ Eduard Martorell

DIRECCIÓ D’ART Cass

COORDINACIÓ DE MAQUETACIÓ Montserrat Estévez

COORDINACIÓ DE L’ÀREA Eduard Martorell

COORDINACIÓ PEDAGÒGICA Anna Canals

DIRECCIÓ Xavier Carrasco

DIRECCIÓ EDITORIAL Jesús Giralt

ESO

Guia didàcticaMatemàtiques 3

PROJECTE D’ESOPresentació i

característiques, materials,

contribució de cada àrea

al desenvolupament de

les competències bàsiques

i estructura didàctica de

les unitats del llibre

de l’alumne.

AVALUACIÓIndicacions per a l’avaluació

inicial i final i també fulls

de seguiment.

PROGRAMACIONSObjectius de l’àrea i criteris

d’avaluació del curs.

Continguts i objectius de les

unitats didàctiques.

RECURSOS DIDÀCTICSOrientacions

metodològiques, activitats

complementàries per explotar

el llibre de l’alumne, més

material per al professorat.

ATENCIÓ A LA DIVERSITATFitxes imprimibles

i fotocopiables de reforç

i d’ampliació.

SOLUCIONSSolucions de

les activitats

del llibre

de l’alumne.

Projecte ESO Recursos Continguts de les guies didàctiques

Catàleg de publicacionsGuies didàctiques

Més recursosActivitats interactives

Enllaços d’interès

per al professorat

www.text-lagalera.cat

Guies en format PDF

• Projecte ESO

• Avaluacions

• Programacions (també en word)

• Solucions

• Recursos

• Atenció a la diversitat

Activitats interactives

Enllaços d’interès

CD de tecnologiaActivitats interactives

i recursos

Pissarra activaArxius multimèdia de suport

al professorat

DVD d’educació per a la ciutadaniaDocuments audiovisuals

Làmines de ciències socials,

matemàtiques i tecnologia.

CD

Pòsters

Primera edició: setembre del 2007

Disseny de la coberta: Cass

Disseny de l’interior: Endora disseny

Il·lustracions: Víctor Navarro, M&N Lombarte

Correcció: M. Mercè Estévez

Maquetació: Guillem Soler

© 2007, Enciclopèdia Catalana, SAUJosep Pla, 95. 08019 Barcelonawww.enciclopedia-catalana.comwww.text-lagalera.cattext@grec.cat

Impressió: Limpergraf, SLMogoda, 29,31, Polig. Ind. Can Salvatella08210 Barberà del Vallès

ISBN: 978-84-412-1166-7Dipòsit Legal: B-39.153-2007

La reproducció total o parcial d’aquesta obra per qualsevol procediment, comprenent-hi la reprografia i el tractament informàtic, com també la distribució d’exemplars mitjançant lloguer o préstec, resten rigorosament prohibides sense l’autorització escrita de l’editor i estaran sotmeses a les sancions establertes per la llei. Tots els drets reservats.

Obra presentada a homologació al Departament d’Ensenyament de la Generalitat de Catalunyaya.

índexEl projecte d’ESO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Àrea de Matemàtiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Contribució de l’àrea a les competèncias bàsiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Estructura didàctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

L’avaluació en la LOE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

L’avaluació en el projecte d’ESO de Text-La Galera . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Avaluació inicial i full de seguiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Avaluació final i full de seguiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Objectius d’etapa i criteris d’avaluació de curs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

El treball unitat a unitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Programació de continguts i objectius didàctics

Orientacions i recursos didàctics

Solucions

Nombres racionals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Polinomis i successions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Equacions i inequacions / Sistemes d'equacions . . . . 41

Geometria de l'espai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Aplicacions del teorema de Pitàgores. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Funcions constants, lineals i afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Probabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Estratègies per a la resolució de problemes . . . . . . . . . . 75

Atenció a la diversitat - Reforç

Atenció a la diversitat - Ampliació

Unitat 9

Unitat 8

Unitat 7

Unitat 6

Unitat 5

Unitat 4

Unitat 3

Unitat 2

Unitat 1

Avui, a principi d’un segle nou, ens trobem amb una societat

que ha canviat radicalment en els darrers anys, i amb uns

alumnes que tenen uns interessos i unes necessitats dife-

rents. L’any 2007, amb la implantació de la LOE, s’inicia una

època de canvis.

Des de Text-La Galera ens proposem donar resposta a

aquestes noves necessitats dels alumnes, de l’escola i la so-

cietat i hem preparat amb il·lusió un nou projecte basat en

els postulats de la nova llei.

Volem oferir als professors una eina útil i eficaç perquè pu-

guin desenvolupar la seva tasca docent, uns materials que

puguin adequar-se a cada situació d’aprenentatge i a les ne-

cessitats educatives de cada centre, de cada aula i, en defi-

nitiva, de cada alumne o alumna.

Esperem haver-ho aconseguit.

Presentació

ESO El projecte8

Mantenint el compromís de renovació pedagògica i qualitat

de l’educació, Text-La Galera ofereix per a aquest nou curs

una proposta trencadora, una nova línia de materials didàc-

tics per a l’Educació Secundària Obligatòria.

Els canvis socials, pedagògics i legislatius han marcat el nou

plantejament didàctic dels nostres materials.

Els alumnes de secundària, amb els nostres llibres apren-

dran...

a saber fer

a tenir criteri propi

a ser autònoms

a reflexionar sobre el seu procés d’aprenentatge

a verbalitzar i comunicar els seus aprenentatges

a tenir iniciativa

En definitiva, aprendran a aprendre, a preparar-se per acon-

seguir desenvolupar les capacitats bàsiques i les com-

petències que regeixen les relacions personals, socials i

professionals de la societat actual.

El projecte d’ESO

El projecte de Text-La Galera per a l’Educació Secundària

ESO El projecte 9

Respectant la LOE, apostem per...

La temporització trimestral d’acord amb els períodes ava-

luatius escolars. Els llibres dels alumnes tenen 9 unitats, tem-

poritzables en dos trimestres de tres unitats cada un i un úl-

tim trimestre de dues unitats de treball i una final de síntesi.

Una estructura didàctica coherent de les unitats en funció de

la seqüència lògica d’aprenentatge:

1 Presentació i sondeig dels coneixements previs

2 Treball mitjançant la informació i les activitats i les diferents

seccions segons l’àrea i atenent a la diversitat

3 Avaluació al final de cada unitat

Una atenció especial a les diversitats de ritmes d’aprenen-

tatge. Les activitats estan marcades segons si són de reforç

o ampliació. La guia didàctica va acompanyada de més ac-

tivitats de reforç i d’ampliació per atendre aquesta diversitat

d’alumnat.

Les activitats són intencionadament diverses i de treball de

les competències bàsiques proposades des dels currícu-

lums del Departament d’Educació:

• dirigides

• obertes

• en grup i individuals

• orals i escrites

• d’ús de les TIC

• de treball dels eixos transversals

• procedimentals i manipulatives

• de reflexió

• de síntesi

S’ha fet èmfasi en l’explicitació de la transversalitat i el

tractament de la llengua específica de cada àrea, dedicant es-

forços a pautar bé la verbalització i autoreflexió del treball

dels alumnes.

Aspectes didàctics del projecte

ESO Competències bàsiques10

La competència matemàtica, una de les competènciesbàsiques que han d’assolir els alumnes en aquesta etapa,és necessària en la vida personal, social i escolar. Nom-broses situacions quotidianes, i de les diverses àrees, re-quereixen l'ús de les matemàtiques per poder analitzar-les,interpretar-les i valorar-les. Aquesta competència té uncaràcter transversal en totes les àrees, encara que ésl’àrea de matemàtiques la que se n’ocupa especialment. Encara que els continguts que es proposen són els ne-cessaris per a l’adquisició de la competència matemàtica,cal tenir en compte que aquesta difícilment s’adquireix sino s’orienta l’aprenentatge dels continguts de maneraque se’n possibiliti la utilització fora de les classes dematemàtiques, tant en la vida diària dels alumnes com entotes les altres àrees.

Assolir la competència matemàtica implica: – Pensar matemàticament. Construir coneixements ma-

temàtics a partir de situacions en què tinguin sentit, ex-perimentar, intuir, formular, comprovar i modificar con-jectures, relacionar conceptes i realitzar abstraccions.

– Raonar matemàticament. Fer induccions i deduccions,particularitzar i generalitzar, reconèixer conceptes ma-temàtics en situacions concretes, argumentar les deci-sions preses i l’elecció dels processos seguits i de les tèc-niques utilitzades.

– Plantejar-se i resoldre problemes. Llegir i entendre l’enun-ciat, generar preguntes relacionades amb una situació/pro-blema, plantejar i resoldre problemes anàlegs, planificar idesenvolupar estratègies de resolució, verificar la validesade les solucions, cercar altres resolucions, canviar les con-dicions del problema, sintetitzar els resultats i mètodes uti-litzats, estendre el problema i recollir els resultats quepoden ser útils en situacions posteriors.

– Obtenir, interpretar i generar informació amb contingutmatemàtic.

– Utilitzar les tècniques matemàtiques bàsiques (per comp-tar, operar, mesurar, situar-se a l’espai i organitzar i ana-litzar dades) i els instruments (calculadores i TIC, de di-buix i de mesura) per fer matemàtiques.

– Interpretar i representar (a través de paraules, gràfics,símbols, nombres i materials) expressions, processos iresultats matemàtics.

– Comunicar als altres el treball i els descobriments rea-litzats, tant oralment com per escrit, mitjançant el llen-guatge matemàtic.

La competència matemàtica s’ha d’adquirir a partir decontextos que tinguin sentit tant per a l’alumnat com peral coneixement matemàtic que es pretén desenvolupar.Aprendre amb significat és fonamental per capacitar l’alum-nat per utilitzar tot el que aprèn i per continuar aprenent,de forma autònoma, al llarg de tota la vida. Per això, cal pro-porcionar en totes les classes de matemàtiques oportuni-tats per tal que l’alumnat aprengui a raonar matemàtica-ment i proposar activitats d’aprenentatge en què laresolució de problemes, entesa en un sentit ampli, esde-vingui el nucli de l’ensenyament.

La formació en matemàtiques, a més d’incidir en la com-petència matemàtica, contribueix a l’assoliment de totesles altres competències bàsiques de la manera que es de-talla a continuació:

Competència en el coneixement i interacció amb elmón físic. Les matemàtiques són un instrument d’anàliside la realitat, en particular del món físic; de fet, el raona-ment matemàtic promou una actitud davant del món. Caldesenvolupar àmbits com la mesura i la visualització, la in-terpretació i la construcció de gràfics, així com de processoscom el raonament matemàtic, l’argumentació i la resolucióde problemes relacionats amb el món físic.

En l’apartat “Reportatge” de cada unitat dels llibres deText-laGalera es parla de curiositats i altres notícies delmón matemàtic que gairebé sempre donen respostaa problemes molt determinats, rellevants i quotidians.

Competència en el tractament de la informació i com-petència digital. Molta de la informació que rebem con-té elements matemàtics, nombres, formes, mesures ifuncions, expressats de manera diversa, el coneixementdels quals és necessari. També cal treballar els contingutsdel bloc estadística i atzar, així com la utilització d’ordina-dors i calculadores.

Àrea deMatemàtiques

Contribució de l’àrea a les competències bàsiques

ESO Competències bàsiques 11

La informàtica, protagonista de les TIC (tecnologies dela informació i la comunicació), mereix, en els llibresde Text-laGalera, una atenció molt especial, per aixòes presenten uns quants procediments en cada llibreque treballen aquest aspecte. A més, es treballa ambdiferents programes de lliure ús al final de cada llibrei es reprodueixen els procediments duts a termeamb l’entorn més utilitzat actualment, el Windows.

Competència en comunicació lingüística. Les matemà-tiques aporten el coneixement d’un llenguatge específic,necessari en el desenvolupament de les ciències (i en ge-neral del coneixement) i en la resolució de molts problemesquotidians. L’ús de la llengua, tant oral com escrita, tam-bé és fonamental per descriure conceptes i processos, ex-pressar raonaments, argumentacions i proves i, en gene-ral, per comunicar, discutir, comparar i validar el treballmatemàtic dut a terme.

Una síntesi de continguts al final de cada unitat, ques’ha treballat a partir del desenvolupament del mapade conceptes que hi ha a l’inici d’aquestes unitats, fala funció d’un petit glossari matemàtic que facilita l’úsde vocabulari específic d’aquesta àrea.

Competència en expressió cultural i artística. Les ma-temàtiques, més enllà de les seves aplicacions, consti-tueixen una creació humana d’un gran valor cultural que calconèixer, valorar i relacionar amb la realitat actual. A més,el fet de ser una ciència i un llenguatge construït històri-cament per les diferents cultures atorga valor a la cons-trucció de la identitat, tant de les cultures com de les per-sones. D’altra banda, i en un nivell més concret, hi ha unarelació entre continguts de tipus geomètric i artístic.

Els procediments dels nostres llibres demanen tre-ballar amb rigor i compromís el vessant artístic de ca-da activitat mitjançant l’ús d’estris de representació idibuix i la representació de figures geomètriques.

Competència social i ciutadana. Cada persona és diferenti per això l’alumnat ha d’aprendre a reconèixer i controlarles conseqüències de la seva pròpia actuació i a respectarel procés d’aquelles amb les quals comparteix el treball. Eltreball en grup, entès com un treball de cooperació, i l’ac-ceptació de les idees dels companys i de les diferents es-tratègies utilitzades en la realització d’un càlcul, d’unamesura o en el procés de resolució d’un problema són as-pectes fonamentals del procés d’ensenyament-aprenen-tatge de les matemàtiques.

Competència en autonomia i iniciativa personal. Plantejari resoldre qüestions i problemes matemàtics, i tots els pro-cessos associats a aquesta activitat (planificació, recercad’estratègies, validació de solucions i contrast amb les delsaltres), implica, entre altres coses, una presa constant dedecisions, la pràctica de les quals incideix en la progressivaadquisició d’autonomia de l’alumnat i de confiança en lespròpies capacitats.

Competència per aprendre a aprendre. Per aprendre ma-temàtiques cal desenvolupar, entre d’altres, capacitatsrelacionades amb la presa de decisions i el sentit crític, lacreativitat i la sistematització, l’esforç i la constància, la sín-tesi i la generalització, però també capacitats que perme-tin relacionar fets i conceptes i generar-ne de nous. Totes,juntament amb la reflexió sobre el propi treball i la capacitatper comunicar-lo, formen part d’aquesta competència bà-sica per a l’aprenentatge al llarg de tota la vida.

Els llibres de Text-laGalera posen èmfasi en aquestesdues últimes competències i ofereixen els procedi-ments, activitats pautades amb la màxima precisió imolt il·lustrades, que actuen com a avaluació dels con-tinguts treballats en cada unitat. Aquestes activitats,tot i presentar-se molt dirigides, estan obertes a mo-dificacions que no limitin la capacitat d’innovació delsalumnes, sobretot quan el treball és en grup.

ESO Matemàtiques 112

Estructura didàctica

Aquest és el llibre de tercer d’ESOde matemàtiques.

Té 9 unitats, 8 unitats de progra-mació i una final d’estratègies pera la resolució de problemes quetambé té la funció de síntesi.

Pàgines d’entrada

Índex Títol i resum del capítol

Article introductori o llistat de materials

Passos per desenvoluparel procediment

Procediment

ESO Matemàtiques 1 13

Informació

Mapa deconceptes

Preguntespreliminars

Marges ambinformació

complementària

Contingut Número de pregunta i símbols descriptiusdel tipus d’activitat

i dificultat

Exercicis pertreballar els continguts

Remissionsa les pàginesd’informació

Article periodístic

Preguntesper treballar

l’article

Mapa de conceptes desenvolupat

Activitats

Síntesi de contingutsReportatge

ESO Matemàtiques 114

Estructura didàctica

Cada unitat comença amb una doble pàgina il·lustradaamb una fotografia que fa la funció d'escenari. Hi trobem:

a) Un índex amb els principals temes tractats en la uni-tat, amb la pàgina en què es troba cadascun.

b) Una presentació sintètica de la unitat.

Pàgina d'entrada

El mapa de conceptes serveix per presentar de maneraesquemàtica els continguts de la unitat i permet veureles relacions que s'estableixen entre aquests.

Entre les activitats prèvies, distingim dos apartats:

a) “Segur que ja saps...”

En aquest apartat es recullen preguntes numeradesque fan un paper d'activadores de coneixements pre-vis i que han de servir al professorat per valorar els co-neixements previs que tenen els seus alumnes sobreels conceptes que s'ampliaran al llarg de la unitat.Aquestes activitats es poden treballar de manera orali col·lectiva —es pot fer participar el conjunt de la clas-se i valorar les aportacions que en surtin— o de ma-nera escrita i individual —amb un caràcter d'avaluacióprèvia.

El nombre que acompanya cada pregunta es localitzadins el mapa de conceptes previs, d'aquesta maneraes pot observar com s'articula un determinat concepteconegut dins el conjunt de conceptes que configurenla unitat.

b) “T'agradaria saber...”

En aquest apartat es proposa una bateria de preguntesque tenen un caràcter més aviat retòric, en el sentit queno demanen una resposta, sinó que serveixen com aanticipació d'allò nou que els alumnes aprendran al llargde la unitat. Els nombres que les acompanyen tambées localitzen dins el mapa de conceptes.

Mapa de conceptes / Activitats prèvies

ESO Matemàtiques 1 15

Estructura didàctica

Cada unitat recull un tractament de la informació a do-ble pàgina. Hi destaca la profusió d'imatges (mapes, fo-tografies, il·lustracions, infografies) que acompanya el textexplicatiu i que facilita un aprenentatge més lúdic i com-plet. Sovint aquestes imatges van acompanyades depreguntes que han de servir per aplicar els coneixe-ments teòrics i per dinamitzar el grup.

Aquestes preguntes són indicatives per al mestre, és adir, a partir de les que es proposen se’n poden fer cen-tenars més. Serveixen per repassar, per confirmar l’ex-plicació del text, per buscar relacions de causalitat. Te-nen, per tant, un marcat caràcter didàctic.

Informació

Aquesta secció ofereix un bon nombre d'activitats, quetenen una tipologia variada. Aquestes activitats podenser:– De sondeig: per saber de quins coneixements previs

es parteix.– De repàs: per explicitar el que s'ha estudiat, amb re-

missions a les pàgines d'informació.– D'ampliació: a través de textos, imatges, gràfics... (es-

tan marcades amb una A).– De grup: per treballar en parelles o de manera col·lec-

tiva.– De reforç: per consolidar el que s'ha treballat (estan

marcades amb una R).– Orals: de verbalització del treball propi.– D'ús de les TIC: o d'assoliment de continguts a través

del treball amb les tecnologies de la informació i la co-municació (estan marcades amb una icona que repre-senta una mà).

– Interdisciplinàries: que posen en joc continguts d'altresàrees.

– D'investigació: que provoquen la recerca.– Relacionades amb els eixos transversals: per treballar

temes transversals com l'educació per a la salut, la ciu-tadania...

Activitats

La secció “Procediment” presenta una activitat proce-dimental.

Es parteix sempre d'una petita introducció. El pas se-güent consisteix a pautar pas a pas un procediment i afacilitar-ne la solució, sigui escrita o gràfica.

Els procediments dels llibres de l’àrea de Matemàti-ques serveixen per posar en joc els coneixements ad-quirits al llarg de cada unitat (i de totes les anteriors).Sempre que els continguts de la unitat ho permeten, esprocura que la realització del procediment demani l’úsd’eines informàtiques que potencïin les TIC.

Procediment

ESO Matemàtiques 116

Estructura didàctica

Aquesta secció il·lustra i exemplifica un contingut con-cret de la unitat. Tant per la seva presentació formal(grans imatges, destacats, entradetes), com pel tracta-ment del contingut, es tracta d'un apartat de caràcter pe-riodístic que incideix en un aspecte especialment atrac-tiu de la informació.

Com a eina per treballar la secció, s'ofereix una bateriad'activitats que tenen diverses finalitats: comprovar si s'ha entès el contingut de l'article, fer reflexionar elsalumnes sobre actituds o actuacions concretes i ampliarla informació a través de ressenyes bibliogràfiques o pà-gines web triades especialment.

Reportatge

Es tracta d'un recull dels termes més importants del lli-bre, ordenats de la mateixa manera que en el mapa deconceptes que hi ha a l’inici de cada unitat, acompanyatsde la seva definició i la pàgina o pàgines en què es po-den trobar dins el seu context.

Síntesi de continguts

Cada llibre de Tecnologia d’ESO conté, al final, uns pro-cediments que es treballen amb programes informà-tics de lliure ús. Són els mateixos procediments que estreballen amb eines informàtiques en unitats prece-dents, però ara potenciant el programari lliure.

Programari lliure

ESO L’avaluació 17

L’avaluació en la LOE

L’avaluació s’ha convertit en un valuós instrument de seguiment i valoració dels resultats ob-

tinguts i de millora dels processos que permeten obtenir aquests resultats.

Resulta imprescindible establir procediments d’avaluació dels diferents àmbits i agents de l’ac-

tivitat educativa: alumnes, professors, centres, currículum, administracions, i comprometre les

autoritats corresponents a passar comptes de la situació existent i el desenvolupament expe-

rimentat en matèria d’educació.

La importància que es concedeix a l’avaluació en la LOE es manifesta en el tractament dels di-

ferents àmbits en què s’ha d’aplicar, que abasten els processos d’aprenentatge dels alumnes,

l’activitat del professorat, els processos educatius, la funció directiva, el funcionament dels cen-

tres docents, la inspecció i les administracions educatives.

Així s’entén l’avaluació en la nova llei educativa:

Artículo 20. Evaluación.

1. La evaluación de los procesos de aprendizaje delalumnado será continua y global y tendrá en cuen-ta su progreso en el conjunto de las áreas.

2. El alumnado accederá al ciclo educativo o etapasiguiente siempre que se considere que ha alcan-zado las competencias básicas correspondientes yel adecuado grado de madurez.

3. No obstante lo señalado en el apartado anterior,el alumnado que no haya alcanzado alguno de losobjetivos de las áreas podrán pasar al ciclo o eta-pa siguiente siempre que esa circunstancia no lesimpida seguir con aprovechamiento el nuevo cur-so. En este caso recibirán los apoyos necesarios pa-ra recuperar dichos objetivos.

4. En el supuesto de que un alumno no haya al-canzado las competencias básicas, podrá perma-necer un curso más en el mismo ciclo. Esta medidapodrá adoptarse una sola vez a lo largo de la edu-cación primaria y con un plan específico de re-fuerzo o recuperación de sus competencias básicas.

5. Con el fin de garantizar la continuidad del procesode formación del alumnado, cada alumno dispon-drá al finalizar la etapa de un informe sobre su

aprendizaje, los objetivos alcanzados y las com-petencias básicas adquiridas, según dispongan lasAdministraciones educativas.

Asimismo las Administraciones educativas esta-blecerán los pertinentes mecanismos de coordi-nación.

Artículo 29. Evaluación de diagnóstico.

Al finalizar el segundo curso de la educación se-cundaria oligatoria todos los centros realizarán unaevaluación de diagnóstico de las competenciasbásicas alcanzadas por sus alumnos. Esta evalua-ción será competencia de las Administracioneseducativas y tendrá carácter formativo y orientadorpara los centros e informativo para las familias y pa-ra el conjunto de la comunidad educativa. Estasevaluaciones tendrán como marco de referencia lasevaluaciones generales de diagnóstico que se es-tablecen en el Artículo 144.1 de esta Ley.

ESO L’avaluació18

L’avaluació en el projecte d’ESO de Text-La Galera

A Text-La Galera entenem l’avaluació com un dels principals components de l’acció educati-

va. L’avaluació regula el procés educatiu, és un seguiment de tot el procés d’ensenyament-apre-

nentatge.

Perquè sigui efectiva, l’avaluació ha de ser continuada, ha de permetre la revisió “dia a dia”

del procés educatiu. D’aquesta manera, és més fàcil detectar anomalies en el seu funcionament

i mirar de trobar-hi solucions amb prou temps per aplicar-les i garantir-ne la viabilitat.

L’avaluació ha de ser un seguiment global de tot el procés, i no solament una valoració dels

resultats. No n’hi ha prou amb una valoració sobre els fets i els conceptes apresos. Cal valo-

rar també quins procediments assolits i quins valors adquirits per cada alumne/a els acosten

als objectius educatius fixats i a l’adquisició de les competències bàsiques.

Una avaluació en tres fases

A Text-La Galera contemplem les tres fases de l’avaluació:

L’objectiu de l’avaluació inicial ésconèixer la situació de partida delsalumnes. És indispensable per pro-gramar l’ajut educatiu més conve-nient a cada cas i per poder mesu-rar-ne el creixement maduratiu. Hade servir per detectar nivells d’as-soliment dels continguts i les com-petències bàsiques que suposada-ment l’alumnat ha treballat ambanterioritat.

En el projecte d’ESO de Text-LaGalera, els professors trobareu unaproposta d’avaluació inicial del cursfotocopiable amb els criteris d’ava-luació corresponents en aquestaguia, i també diferents eines, se-gons l’àrea, per sondejar els conei-xements previs a l’inici de cada unade les unitats del llibre de l’alumne.

L’avaluació formativa té com aobjectiu valorar la programació ques’està desenvolupant a classe, ob-servar si els continguts i les activi-tats són els més adequats per ajus-tar la intervenció educativa a lesnecessitats que es detecten. Esporta a terme de manera continua-da al llarg de tot el procés d’apre-nentatge.

En el projecte d’ESO es proposenactivitats d’avaluació formativa encada una de les unitats del llibredels alumnes. A més, en aquestaguia didàctica els professors troba-reu les programacions de cada unade les unitats que us facilitaranl’exercici de l’avaluació formativa,les observacions de la qual podenrecollir-se en la graella que facili-tem com a plantilla per al registre deles dades de cada grup d’alumnes.

Avaluació inicial Avaluació formativa

A l’avaluació final l’objectiu és do-nar informació sobre les capacitatsassolides per l’alumnat al final delcurs o etapa. Serveix per qüestionar-se la funcionalitat de l’àrea en elconjunt del currículum i la seva ade-quació al Projecte curricular decentre. Té una funció reguladora:la informació que se n’obté had’adreçar-se més a adequar les de-cisions següents sobre l’aprenen-tatge de l’alumnat que no pas acertificar els nivells d’aprenentatgeassolits.

En el projecte d’ESO, en el llibre del’alumne proposem una unitat de sín-tesi i avaluació al final de cada llibrei tot un seguit d’activitats que revisenels continguts del curs i poden servircom a eina d’avaluació. A més, enaquesta guia els professors troba-reu una proposta d’avaluació final delcurs fotocopiable amb els criterisd’avaluació corresponents.

Avaluació final

Avaluació inicial

ESO Matemàtiques 1

[material fotocopiable]

No

m:

Fes les operacions següents:

1 + 3 · 4 – 6 : 2 + 52 – 7 =

+ – =

· =

Ordena aquests nombres del més petit al més gran:

2; –1; 1/4; 0,3; 3/5; –2/3; 7/4; –5/4; 1,5

En una botiga d’informàtica venen un joc d’ordinador amb un 30 % de descompte.Si el seu preu original era de 55 euros, per quant el venen ara?

Escriu l’expressió algebraica corresponent a aquests enunciats:

El quadrat de x més la meitat de y:

Al doble de x li restem el triple de y:

A x li restem y i multipliquem el resultat per tres cinquens:

Menys un quart per la suma de x i y és igual a 2:

Resol i simplifica el resultat:

2x2 + 3x2 – x2=

x : (5x2)3=

Escriu el terme següent d’aquestes successions:

Resol:

3x – 5 = 2x – 3 x2 – 1 = 3

3(x – 2) = 5x – 2 2x – 5 > x + 8DB

CA

7

6

B

14

A

5

4

3

2

34

45

C

34

23

12

B

A

1

: =

=34 · 3-1 · 30

35E

34

78

D

(x – 1)2=

(x + 2) · (x – 2) =D

C

Successió {2, 4, 6, 8, 10…} {1, , , , …}15

14

13

12

{1, 5, 25, 125, 625…} {1, 4, 9, 16, 25…}

Terme següent

ESO Matemàtiques 1

[material fotocopiable]

Avaluació inicial

No

m:

La suma de tres nombres parells consecutius és 60. De quins nombres es tracta?

Observa els punts següents i respon:

Quantes rectes contenen els punts A, B i C?

Com són les rectes que passen per AD i BE?

I les que passen per BE i DC?

Quants plans contenen els punts A, B i C?

I els punts B, C i E?

Posa exemples de rectes i plans, paral·lels i perpendiculars, que puguis trobar alteu voltant.

Sabem que la hipotenusa d’un triangle rectangle mesura 3,4 cm i que un delscatets fa 2,5 cm. Quant mesura l’altre catet?

Volem fer una tirolina entre el cim d’una muntanya (40 m) i un punt del pla que ésa 150 m del peu de la vertical del cim. Quina longitud ha de tenir la corda?

Dibuixa les funcions f (x) = 2x – 1, g (x) = x i h (x) = –2 i, després, contesta per acada funció:

• Quina és la imatge de x = –3?

• I de x = 3?

• Quina és l’antiimatge de y = –5?

13

150 m

40 m

12

11

10

9

8

A

B

C

D

E F

Avaluació inicial

ESO Matemàtiques 1

[material fotocopiable]

No

m:

Observa el gràfic de la temperatura d'un malalt durant les últimes 24 hores.Descriu com ha evolucionat la febre del malalt.

Els resultats d’un examen de matemàtiques en una classe de tercer d’ESO hanestat aquests: 6, 7, 5, 7, 9, 4, 5, 3, 10, 7, 8, 5, 9, 10, 4, 6, 6, 8, 3, 6, 5, 7, 6, 6, 5.

Completa aquesta taula i, després, fes un gràfic de barres (escriu la nota en l’eixhoritzontal i el nombre d’alumnes en l’eix vertical).

Ara, contesta:

• Quina ha estat la nota més repetida a la classe?

• Quina ha estat la nota mitjana de la classe?

• Ordena totes les notes de la més baixa a la més alta.

• Quina ocupa exactament la posició central?

Indica si les afirmacions següents són vertaderes o falses:

Si llancem una moneda moltes vegades, tenim les mateixes probabilitats que ens surti cara

o creu.

Si llancem un dau, el més probable és que surti un nombre parell.

Si llancem una moneda i un dau a la vegada, podem obtenir dotze combinacions possibles.

Si llancem molts cops una xinxeta, sempre queda en la mateixa posició.

16

15

0h34°

35°

36°

37°

38°

39°

40°

41°

6h 12h 18h 24h

14

Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nre. d’alumnes

ESO Matemàtiques 1

[material fotocopiable]

Avaluació inicial

Cal

cula

op

erac

ion

s ap

lican

t la

p

rio

rita

t d

’op

erac

ion

s

Esc

riu

exp

ress

ion

s al

geb

raiq

ues

a

par

tir

d’e

nu

nci

ats

Esc

riu

ter

mes

de

succ

essi

on

s

Res

ol

exp

ress

ion

s al

geb

raiq

ues

Po

sa e

xem

ple

s d

e re

ctes

i p

lan

s,

par

al·le

ls i

per

pen

dic

ula

rs

Res

ol

pro

ble

mes

fen

t se

rvir

el

teo

rem

a d

e P

itàg

ore

s

Dib

uix

a fu

nci

on

s

Des

criu

grà

fics

de

fun

cio

ns

Co

mp

leta

tau

les

de

do

ble

en

trad

a

Fa g

ràfi

cs d

e b

arre

s

Nom dels alumnes

Avaluació final

ESO Matemàtiques 1

[material fotocopiable]

No

m:

Fes les operacions següents i expressa’n el resultat de la forma més reduïdapossible:

3 + – ( : ) =

=

0,8 + 1,15 – (2,15 – 2,1) =

Resol aquests exercicis:

D’un dipòsit on hi ha 20.000 l d’aigua se’n treu la cinquena part i, després, la quarta part del

que ha quedat. Quina quantitat d’aigua hi queda encara? Expressa el resultat en forma de

fracció i en litres.

El costat d’un quadrat mesura exactament 2,15 cm. Calcula els errors absolut i relatiu si

considerem que la mesura de la seva diagonal és 3 cm.

Donats els polinomis següents, calcula: A + B, A – C i B · C.

A: x3 + 2x2 – 4x + 5 B: x2 + x – 4 C: –2x + 3

Completa aquesta taula:4

3

B

A

2

C

B

46

23

17

A

1

5 –

6

24

( )0+

( )4–( )-13

232

3-2 ·22

2-3 · 3232

( (

A + B A – C B · C

Progressió Tipus (arit. o geom.) Diferència o raó Terme general Terme desè Suma dels 10

primers termes

{2, 6, 10, 14, 18…}

{1, , , …}164

116

14

ESO Matemàtiques 1

[material fotocopiable]

Avaluació final

No

m:

Resol:

– = +

2x – 1 =

– � – 4

Resol aquests problemes:

L’edat d’un pare és el triple de la de la filla i, a més, és igual a la suma de l’edat que tenien

tots dos fa 8 anys. Quina edat tenen pare i filla?

La base d’un rectangle és 3 cm més gran que l’altura. Si augmentem la base i l’altura 2 cm,

l’àrea augmenta 26 cm2. Quines són les dimensions del rectangle?

Explica, en cada cas, la relació que hi ha entre els elements geomètrics de la figurasegüent:

Dibuixa un octàedre regular i fes-ne el desenvolupament.

Ara, contesta:

• Quant sumen els angles que concorren en cada vèrtex?

• Comprova la fórmula d’Euler per a l’octàedre.

• Podem formar un políedre en el qual concorrin 5 angles de 75º en cada vèrtex? Per què?

8

7

B

A

6

D

3x5

12

x4

C

34x – 1

B

12

x4

x –24

x2

A

5

{2x + 3y = 8}3x – y = 1

v

α

β

γ

r s

t

u

Avaluació final

ESO Matemàtiques 1

[material fotocopiable]

No

m:

Fes el moviment indicat per a cada figura:

Calcula la diagonal, el costat, l’apotema i l’àrea d’un quadrat que està inscrit en unacircumferència de 15 cm de radi.

El costat de la base d’una piràmide hexagonal regular fa 30 m i l’altura mesura 20 m. Calcula’n l’àrea total i el volum.

Troba el pendent, l’ordenada en l’origen i l’equació d’aquestes funcions i representa-les:12

11

10

9

F

F

F

α = 90°

O

α = 120°α = 60°

O

O

rr r

Funció a b Equació Dibuix

Lineal que passa per (1, 3)

Afí que passa per (–1, 2) i (4, –1)

Constant que passa per (4, 2)

ESO Matemàtiques 1

[material fotocopiable]

Avaluació final

No

m:

El guanyador d’una cursa de 1.500 m llisos ha fet una marca de 3’ 54”. El gràficmostra la velocitat que ha portat en funció del temps.

• Quin és el domini d’aquesta funció?

• En quins intervals la velocitat ha estat creixent?

I decreixent?

• En quin moment la velocitat ha estat màxima?

I mínima (llevat del moment de la sortida)?

S’ha fet una enquesta als alumnes d’una classe de tercer d’ESO d’una escola persaber el nombre de germans que tenen i aquests han estat els resultats:

2, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 0, 3, 1, 2, 1, 1, 1, 4, 1, 0, 1, 1, 1

Completa aquesta taula i, després, contesta les preguntes següents:

• Quin tipus de variable és el “nombre de germans”?

Calcula aquests paràmetres:

14

1

Velo

cita

t (m

/s)

1 2 3 4Temps (minuts)

2

3

4

5

6

7

13

xi fi xi · fi xi – x xi – x · fi xi – x 2· fi

0

1

2

3

4

Mitjana Moda Mediana

Desviació mitjana Desviació tipus Coeficient de variació

Avaluació final

ESO Matemàtiques 1

[material fotocopiable]

No

m:

Completa aquesta taula i, després, fes el gràfic d’aquesta sèrie temporal però ambl’índex.

Contesta aquestes preguntes referents a l’experiment “llançar un dau i una monedad’euro”:

• Quin és l’espai mostral?

• Quants esdeveniments té aquest joc?

• És un espai uniforme?

• A partir dels esdeveniments A = “que surti cara” i B = “que surti múltiple de 3”, completa

aquesta taula:

16

15

Evolució demogràfica de Catalunya (milers d’habitants)

Any 1857 1900 1940 1981 1991 1996 1998 1999 2000

Població 1.625 1.966 2.891 5.956 6.059 6.090 6.148 6.209 6.262

Índex 100

A B A �� B A �� B

Esdeveniment enforma de conjunt

Probabilitat

ESO Matemàtiques 1

[material fotocopiable]

Avaluació final

Exp

ress

a el

res

ult

at d

’op

erac

ion

s,

de

la f

orm

a m

és r

edu

ïda

po

ssib

le

Fa o

per

acio

ns

bàs

iqu

es

amb

po

lino

mis

Res

ol

exp

ress

ion

s al

geb

raiq

ues

Exp

lica

rela

cio

ns

entr

e el

emen

ts g

eom

ètri

cs

Rep

rese

nta

tra

nsl

acio

ns,

ro

taci

on

s i

sim

etri

es

Dib

uix

a fu

nci

on

s

Des

criu

grà

fics

de

fun

cio

ns

Co

mp

leta

tau

les

de

do

ble

en

trad

a

Fa g

ràfi

cs

Res

ol

pro

ble

mes

de

pro

bab

ilita

t

Nom dels alumnes

ESO Matemàtiques 1

[material fotocopiable]

Avaluació

Nom dels alumnes

ESO Matemàtiques 130

Objectius d’etapa Criteris d’avaluació de 3r curs

1 Valorar les matemàtiques com a part de la cultura, tant desdel punt de vista de la història com des de la diversitat culturaldel món actual, i utilitzar la competència matemàtica per ana-litzar tot tipus de fenòmens del nostre món i per actuar de ma-nera reflexiva i crítica en els diferents àmbits de la vida.

2 Plantejar i resoldre problemes, abordables des de les ma-temàtiques, que sorgeixin en situacions de l'entorn, en altresdisciplines i en les pròpies matemàtiques, aplicant i adaptantdiverses estratègies i justificant-ne l'elecció.

3 Reconèixer el raonament, l'argumentació i la prova com as-pectes fonamentals de les matemàtiques, així com el valord'actituds com la perseverança, la precisió i la revisió.

4 Organitzar i consolidar el pensament matemàtic propi i co-municar-lo als companys/es, professors/es i altres personesamb coherència i claredat, utilitzant i creant representacionsmatemàtiques que possibilitin aquesta comunicació.

5 Reconèixer i aplicar les matemàtiques en contextos no ma-temàtics, tot integrant-les en el conjunt de sabers que ha anatadquirint des de les diferents matèries així com des de la pers-pectiva del seu paper a la societat actual.

6 Mostrar confiança en la pròpia capacitat per resoldre pro-blemes, afrontar-ne la resolució amb actitud positiva i assolirun nivell d'autoestima que li permeti gaudir dels aspectes cre-atius, manipulatius, estètics i útils de les matemàtiques.

7 Comprendre el significat dels diferents tipus de nombres ide les operacions. Calcular amb fluïdesa, fer estimacions ra-onables i utilitzar els mitjans tecnològics per obtenir, tractar irepresentar informació, així com per calcular.

8 Utilitzar diferents llenguatges (verbal, numèric, gràfic i algè-bric) i models matemàtics per a identificar, representar i do-tar de significat relacions quantitatives de dependència entrevariables.

9 Identificar les formes i relacions espacials presents en l'en-torn, i utilitzar la visualització, el raonament matemàtic i la mo-delització geomètrica per a descobrir i provar propietats ge-omètriques i per a resoldre problemes.

10 Reconèixer la importància de la mesura tant en la vida quo-tidiana com en el desenvolupament de la ciència i aplicartècniques, instruments i fórmules apropiades per a obtenir me-sures (de manera directa i indirecta) i fer estimacions raona-bles, en contextos diversos.

11 Identificar els elements matemàtics presents en tot tipusd'informacions per tal d'analitzar-les críticament, i formular pre-guntes abordables amb dades, utilitzant els mètodes esta-dístics apropiats (recollida, organització, anàlisi i presentació dedades) per poder respondre-les.

Resoldre problemes de la vida quotidiana, d'altres matèries ide les pròpies matemàtiques utilitzant símbols i mètodes al-gebraics, i avaluar altres mètodes de resolució possibles comper exemple l'assaig-error o bé el càlcul numèric amb mitjanstecnològics.

Expressar verbalment amb precisió, raonaments, relacionsquantitatives i informacions que incorporin elements ma-temàtics, valorant la utilitat i simplicitat del llenguatge ma-temàtic i la seva evolució al llarg de la història.

Analitzar i avaluar les estratègies i el pensament matemàticdels altres, a través del treball per parelles o en grup o bé laposada en comú amb tota la classe.

Expressar per escrit amb precisió raonaments, conjectures, re-lacions quantitatives observades i informacions que incorpo-rin elements matemàtics, simbòlics o gràfics i contrastar-losamb els dels companys.

Reconèixer models lineals o models de proporcionalitat ge-omètrica en contextos no matemàtics o en d'altres matèriesi utilitzar les seves característiques i propietats per a resoldresituacions que apareixen en treballs per projectes realitzats desde la pròpia àrea o de manera interdisciplinària.

Utilitzar els nombres racionals, nombres molt grans i molt pe-tits, les seves operacions i les seves propietats per a recollir,transformar i intercanviar informació i resoldre problemes re-lacionats amb la vida diària.

Utilitzar models lineals per estudiar diferents situacions realsexpressades mitjançant un enunciat, una taula, una gràfica ouna expressió algebraica.

Reconèixer les transformacions que permeten passar d'una fi-gura geomètrica a una altra mitjançant els moviments del plai utilitzar aquests moviments per a crear les pròpies compo-sicions i analitzar, des d'un punt de vista geomètric, dissenysquotidians, obres d'art i configuracions presents a la natura.

Utilitzar la proporcionalitat geomètrica i la semblança per ob-tenir mesures indirectes en la resolució de problemes de la vi-da quotidiana com per exemple en l'art i l'arquitectura.

Elaborar i interpretar informacions estadístiques tenint encompte l'adequació de les taules i gràfiques utilitzades i ana-litzar si els paràmetres són més o menys significatius.

Fer prediccions sobre les possibilitats d'un esdeveniment a par-tir d'una informació empírica prèvia o bé com a resultat del re-compte de possibilitats, en casos senzills.

ESO Matemàtiques 1

Continguts

Nombres racionals.

Les fraccions.

Tipus de fraccions.

Expressions decimals.

Propietats de les operacions amb nombres racionals.

Ordre de les operacions.

Recta racional.

Error absolut i error relatiu.

Treball amb els programes Cabri-Géomètre i Geogebra.

Identificació del numerador i el denominador d'una fracció.

Càlcul de fraccions irreductibles equivalents.

Càlcul de fraccions generatrius.

Suma i resta de nombres racionals.

Producte i quocient de nombres racionals.

Anàlisi de les propietats de la suma i el producte de nombres racionals.

Anàlisi de les propietats de la resta i el quocient de nombres racionals.

Anàlisi de les propietats de les potències de nombres racionals.

Representació de nombres racionals sobre la recta.

Expressió de fraccions en formes mixtes.

Expressió de nombres decimals finits.

Expressió de nombres decimals periòdics purs.

Expressió de nombres decimals periòdics mixtos.

Identificació de nombres irracionals.

Càlcul d'errors absoluts i errors relatius.

Interès per les activitats de càlcul.

Interès per disposar de tots els estris necessaris per a realitzar cada activitat.

Objectius didàctics

Identificar el numerador i el denominador d’una fracció.

Calcular fraccions irreductibles equivalents.

Calcular fraccions generatrius.

Fer operacions bàsiques amb nombres racionals.

Analitzar les propietats de les operacions bàsiques amb nombres racionals.

Representar nombres racionals sobre una recta.

Expressar fraccions en formes mixtes.

Expressar nombres decimals finits, periòdics purs i periòdics mixtos.

Identificar nombres irracionals.

Calcular errors absoluts i errors relatius.

31

1Nombresracionals

Unitat 1 Recursos didàctics

ESO Matemàtiques 332

Les fraccions: l'ull d'Horus“Una fracció és una expressió de la forma m/n, en quèm i n són nombres enters i n � 0.” (Pàg. 11)

Aquesta activitat permet relacionar les fraccions amb elsistema egipci de mesura de capacitats i amb el sistemainternacional actual.

Llegeix el text següent:

A l'antic Egipte dels faraons, la unitat de capacitat era elheqat (HqAt), representat amb l'ull d'Horus. S'utilitzavafonamentalment per mesurar el blat i la civada i equivaliaa uns 4,8 litres. Per a mesures més grans, per exempleals magatzems, s'utilitzava una unitat que podríemanomenar "100 heqat quàdruples". Cadascuna de lesparts de l'ull d'Horus era una fracció de heqat i esconeixen amb el nom de fraccions "ull d'Horus". Ladivisió era, considerant l'ull dret, la següent: les cellesequivalien a 1/8; la nineta, a 1/4; la part esquerra de lanineta, a 1/2; la part dreta de la nineta, a 1/16; la partinferior diagonal sota l'ull, a 1/32, i la part inferior verticalde l'ull representava 1/64.

L'oipe o ipet (ipt) contenia quatre heqat. Cinc oipesformaven un jar (XAr). Una unitat comuna en la mesuradel gra era 100 oipes. Existia, a més a més, una unitatanomenada henu (hnw), que apareix en el papir Rhinddefinida com a 1/10 de heqat, utilitzada, sobretot, en lamesura de perfums. El ro (r) equivalia a 1/320 de heqat.Aquesta unitat només es va fer servir per mesurar gra.Quan es mesurava el gra en heqats, s'utilitzaven lesfraccions de l'ull d'Horus: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 i 1/64,i per a mesures inferiors a 1/64 de heqat s'utilitzavenmúltiples de ro (fixa’t que un ro contenia cinc mesuresd’1/64 de heqat; per tant, mai no s'utilitzava 1/128 deheqat, sinó 2 + 1/2 de ro).

Completa la taula següent:

Tota aquesta informació, les imatges i les activitats sónextretes de la pàgina web:http://www.xtec.es/~jcanadil/activitats/fraccions_ull_Horus.htm. Fes-hi una ullada!

Pàgines 8 i 9

Unitat decapacitat egípcia

Equivalència enel SI (litres)

Unitat decapacitat egípcia

Equivalència enel SI (litres)

1 heqat 1 part inferiorvertical

1 part dreta 1 oipe

1 nineta 1 jar

1 cella 1 henu

1 part esquerra 1 ro

1 part inferiordiagonal

ESO Matemàtiques 3 33

Solucionari Unitat 1

Informació

8

r = 9/2

10.000/2 = 5.000 ampolles diàries de 2 litres.10.000/1,5 = 6.666,6; 6.666 ampolles senceres d’1,5 lcada dia.

Pàgina 33

Pàgina 32

Pàgina 13

Pàgina 11

3

2

1

Pàgina 10

Reportatge

Resposta procedimental.

Resposta procedimental.

És impossible escriure la xifra que ocupa el lloc 200d’aquells nombres que tenen infinites xifres decimalssense cap període.

Resposta oberta.

Activitats

D’esquerra a dreta i de dalt a baix: 3/8; 5/6; 5/9; 3/5; 1/2;3/8; 3/4; 1/2; 7/16; 3/8.

Resposta procedimental.

Resposta oberta. Model de resposta:

1/5: 2/10, 3/15, 4/20, 5/25, 6/30...

3/2: 6/2, 9/6, 12/8, 15/10, 18/12...

a 2/10, 15/10; b 80/140, 245/140, 84/140; c 6/12, 4/12,3/12; d 20/30, 24/30, 25/30.

a 6; b –6; c 28; d 26.

a r + s = s + r; 2/5 + 3/7 = 3/7 + 2/5; 29/35 = 29/35

b r · (s · t) = (r · s) · t; 3/4 · (1/3 · 5/3) = (3/4 · 1/3) · 5/3;3/4 · 5/9 = 3/12 · 5/3; 15/36 = 15/36

c 1/5, –3/2, 4/3, –2/7, 0, 8, –3, 23/5, –0,52, 3,42

d 4/3, –2, –3/4, 7/2, –5/3, 1/1,42 = 0,7, –1/0, 43 = –2,325

e r · (s + t) = r · s + r · t; 2/3 · (2/5 + 1/7) = 2/3 · 2/5 + 2/3· 1/7; 38/105 = 38/105

f r : (s : t) ≠ (r : s) : t; 3/2 : 7/5 ≠ 15/4 : 2/7; 15/14 ≠ 105/8

D’esquerra a dreta: 0,571428 (dpp); 1,75; 0,6; 1,3529...;1,2; 0,81 (dpp).

NOTA: dpp són les sigles de decimal periòdic pur;per tant, totes les xifres decimals indicadescorresponen al període.

D’esquerra a dreta: 37/10; 32/99; 751 – 7/99 = 744/99;235.678 – 2.356/9.900 = 233.322/9.900; 29 – 2/9 = 27/9;39 – 3/900 = 36/900; –32/100.

8

7

6

5

4

3

2

1

Pàgina 38-43

4

3

2

1

Pàgina 37

Quan dividim una unitat en parts més petites, femfraccions?Quan dividim una unitat en parts més petites femfraccions. Exemple: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5...

Quina és la fracció irreductible equivalent de200/1.000?La fracció irreductible de 200/1.000 és 1/5.

Quin tipus d'error de mesura es comet en aquestexemple?En la mesura del dibuix es comet un error absolut, jaque es dóna un valor aproximat a l’alçada de lapersona en lloc del valor exacte.

Quina és la cota d'error relatiu per la porta?La cota d’error relatiu per la porta és d’1/70 = 0,01428= 1,43 %. (

ESO Matemàtiques 334

Unitat 1 Solucionari

a 3/10; b 51/28; c –97/14; d 15/14; e 295/28; f –275/14;g 65/48; h –23/20.

a –7/2; b –13/6; c –8/3; d –9; e 14/11; f 26/11; g 125/21;h 11/15.

a 2/3; b 101/45; c 149/100; d 67/75; e 59/30; f 7/13; g 4/11; h 74/105.

a (2/5)3; b (21/5)4; c (7/8)2; d (8/15)2; e 42; f 32; g 3-3; h 7/5.

a correcte; b correcte; c incorrecte, és 0,9; d correcte; e incorrecte, és 81; f correcte; g incorrecte, és 2/15.

a 53/32 = 125/9; b 25/34 = 32/81; c 2; d 27 · 5/34 · 7 = = 40/7; e 23 = 8; f 511/28.

a 141/500; b 3.325/32; c 26/27; d 1/9; e 6.241/576; f 44.

a 3,91= 391 – 39/90 = 352/90; b 1,3 = 13 – 1/9 =1 2/9; c 10,944034 (dpp) = 1.0944.034 – 10/999.999 = = 10.944.024/999.999; d 1,19 (dpp) = 119 – 1/99 = 118/99.

a 3,664...; b 0,75; c 43,963...; d –1,711... Els nombresdels apartats a, c i d no es poden posar en forma defracció perquè són irracionals, és a dir, tenen infinitesxifres decimals sense cap període.

Resposta procedimental.

Dalt: r = 5/2; Baix: r = 13/4.

Del més petit al més gran: –3/2 < –1 < –3/4 < –2/3 < 1/5< 0,3 < 3/5 < 2/3 < 2,5 < 3.

a 102; b 106; c 10-3; d 10-6; e 104; f 1011; g 10-2; h 10-7

S’han tret 3/5 del total, que representen un 60 %.

Encara queden 2/5 del total, que representen un 40 %.

S’han tret 6.000 l d’aigua i encara en queden 4.000 l.

Queden 5.000 – (5.000/4) – 1.286 = 2464 l, querepresenten 2.464/5.000 = 49,28 %.

Queden x – x/2 – x/8 = 3x/8. Hem tret x – 3x/8 = 5x/8,que representen un 62,5 %.

La part representa 125/500 = 1/4 sobre el total, queequival a un 25 %.

a 3/14; b La comissió queda formada per: 7 anglesos, 4francesos i 3 italians; c Queden: 210 anglesos, 150francesos i 75 italians. En total es queden 435 personesa la reunió.

26

25

24

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9 El primer ha de rebre 1.500 euros; el segon, 1.000euros, i el tercer, 500 euros.

El primer soci ha de rebre 2.200 euros; el segon, 916,67euros; el tercer 1.375 euros, i el quart, 1.008,33 euros.

Es gasta un 45 % de la facturació en el pagament alstreballadors.

Es poden omplir 5.000/2 = 2.500 ampolles de 2 l.

Es poden omplir 5.000/(3/4) = 6666,6, és a dir, 6.666ampolles senceres de 3/4 l.

Es poden omplir 5.000/(3/2) = 3333,3, és a dir, 3.333ampolles senceres d’1,5 l.

1.200 · (1 – 0,25) = x; x = 900 euros

24.000 · (1 – x) = 19.900; x = 0,17083 = 17,083 %

L’haurà de vendre per 820 + 0,25 · 820 = 1.025 euros.

210 · (1 + x) = 390; x = 0,8571 = 85,71 % és elpercentatge de guanys.

x · 1,16 = 1.673,22; x = 1.442,43 euros és la quantitatque cobra el lampista sense IVA.

x · (1 – 0,3) = 37,26; x = 53,23 euros era el preu original.

Error absolut = I – 1,4 I = 0,0142.

Error relatiu = 0,0142/ = 0,01 = 1 %.

L’error que es comet és petit.

Si agaféssim 1,41, l’error encara seria més petit.

Per truncament: er = 0,21 %. Per arrodoniment: er = = 0,16 %. És més convenient fer l’arrodoniment.

er = 54,7 – 54/54 = 1,296 %

Hem de posar 54 · 1,001 = 54,054 litres.

El valor exacte de la diagonal és ; per tant: er = – 1,5/ = 0,0357 = 3,57 %.

Volum aproximat = 2,5 · 3,85 · 2,55 = 24,54375 m3

Cada mesura de longitud té un error absolut de 0,05 m= 5 cm.

La cota d’error relatiu serà: 5/250 + 5/385 + 5/255 = = 0,05259 = 5,259 % (quan l’operació és un producte o un quocient les cotes d’error relatiu se sumen).

Error relatiu: er = 240 – 230/240 = 0,0417 = 4,17 %42

41

√2,42√2,4240

39

38

37

√2

√236

35

34

33

32

31

30

29

28

27

( (

((

ESO Matemàtiques 3

Continguts

Expressions algebraiques.

Monomis i polinomis.

Polinomis de fins a 3 termes.

Fraccions algebraiques.

Identitats notables.

Successions.

Successions creixents i decreixents.

Gràfics de progressions.

Progressions aritmètiques.

Terme general d'una progressió aritmètica.

Suma dels n primers termes d'una progressió aritmètica.

Progressions geomètriques.

Terme general d'una progressió geomètrica.

Suma dels n primers termes d'una progressió geomètrica.

Justificació gràfica de les identitats notables.

Càlcul del valor numèric d'una expressió algebraica.

Ordenació de monomis.

Suma i resta de monomis.

Producte i quocient de monomis.

Potència d'un monomi.

Càlcul de l'expressió reduïda d'un polinomi.

Ordenació de polinomis.

Suma i resta de polinomis.

Producte de polinomis.

Descomposició factorial d'un polinomi.

Demostració de la suma dels n primers termes d'una progressió aritmètica.

Relació entre dos termes qualssevol d'una progressió geomètrica.

Raonament sobre la fórmula de la suma dels n primers termes d'unaprogressió geomètrica.

Valoració positiva del caràcter de la matemàtica com a llenguatge que serveixper a entendre i analitzar determinats aspectes de la realitat.

Valoració de la importància de fer revisions globals que permetin tenir unavisió de síntesi de la feina que s'està fent.

Objectius didàctics

Sumar els n primers termes d’una grogressió aritmètica i d’una de geomètrica.

Justificar gràficament les identitats notables.

Calcular el valor numèric d’una expressió algebraica.

Ordenar monomis i polinomis.

Fer operacions bàsiques amb monomis i polinomis.

Relacionar dos termes qualssevol d’una progressió aritmètica.

Relacionar dos termes qualssevol d’una progressió geomètrica.

35

2Polinomis

i successions

ESO Matemàtiques 336

Les successions i els grans nombres“Un conjunt infinit de nombres col·locats ordenadamentformen una successió. Els termes d’una successió sóncada un dels membres que formen la successió.” (Pàg. 60)

En aquesta activitat, proposem la lectura de dos textos(extrets de la pàgina web http://www.geocities.com/Athens/Acropolis/4329/grandes.htm) i unes preguntesque permetran als alumnes adonar-se de la importànciaque pot tenir el domini de les successions endeterminades circumstàncies.

TEXT 1: El preu d’un cavallEn una de les poques situacions d’apropament entre elguerrer indi Sitting Bull i el general Trust es va donar lacircumstància següent: el general Trust admirava elcavall de Sitting Bull i li va proposar que l’hi vengués. Elguerrer indi va acceptar la proposta amb aquestacondició: el general li hauria de pagar un cèntim de dòlarpel primer clau de la ferradura del cavall, dos cèntims pelsegon clau, quatre pel tercer, i així successivament finsa l’últim dels 32 claus de les ferradures. En principi, algeneral Trust li va semblar justa la proposta, però quanhavia de pagar es va adonar que li havia de donar...

• Quin tipus de successió és aquesta?

• Quant val el terme general d’aquesta successió?

• Quant havia de pagar el general Trust a Sitting Bull?(Calcula a32.)

• Creus que el general i l’indi van signar el tracte?

Text 2: L’inventor dels escacsEl rei de Pèrsia, fascinat pel joc dels escacs, va volerconèixer i premiar el seu inventor. Es diu que el reioferiria al matemàtic oriental el premi que li sol·licités. Elmatemàtic va contestar: “Em conformo amb 1 gra deblat per la primera casella del tauler, 2 per la segona, 4per la quarta, és a dir, vull que aneu doblant la quantitatfins a la casella 64 del tauler d’escacs.” El rei va ordenaral seu visir que preparés el premi sol·licitat; aquest va ferels càlculs i es va adonar que era impossible complirl’ordre del rei.

• Quant val el terme general d’aquesta successió?

• Quant grans de blat havia de pagar el rei a l’inventordels escacs? (Calcula a64.)

• Si en cada quilogram de blat hi ha aproximadament28.220 grans, quants quilograms de blat hi havia en elpremi sol·licitat?

• Creus que l’inventor dels escacs era un bonmatemàtic? I el rei?

Unitat 2 Recursos didàctics

Pàgines 46 i 47

ESO Matemàtiques 3 37

Solucionari Unitat 2

Informació

a (8 + 12 + 5) · 5

b 2 · 32 + 3 · 9

c (45 – 17) · 4

d (99 – 3) · 9

e (33 – 3) · 13

f (53 – 3) · 3

a = –12 – 15 = –27

b = –12 + 10 = –2

Resposta procedimental.

Pàgina 56

Pàgina 54

Pàgina 53

Pàgina 51

3

2

1

Pàgina 48

Reportatge

– La paraula àlgebra prové de l’àrab i significa “reducció”.

– Trobar les solucions de problemes amb diversesincògnites significa trobar el valor d’aquestesincògnites.

– 3x = 18; x = 6

– Sí, 2 i 1 són els valors que fan certa l’equació. Percomprovar-ho, només cal substituir la x per 2 i per 1 iveure si es verifica la igualtat.

– L’àlgebra simbòlica literal és aquella que permetexpressar els resultats mitjançant fórmules.

Activitats

a 3x – 2y; b x/2 – y/3; c x2 – 3y; d (3/4)x0 – 1; e x3 + y2; f x/4 – y3; g 2x – 3y; h (2/3) (x – 1).

a (x + y) (3/5); b (x – y) (2/3); c x – (y · 9); d 1/3 – xy; e 1/3 – x/y; f x2 + 1 = 5; g –1/5(x + y) =1; h 3x – 1/2 = 3

D’esquerra a dreta i de dalt a baix: Triangle: A = b · h/2;Quadrat: A = c2; Rectangle: A = a · b; Trapezi: A = b · h;Rombe: A = d · d’/2; Trapezoide: es descompon entriangles i se sumen les àrees; Pentàgon: 5ca/2;Circumferència: A = πr2.

a 5; b 8; c 9; d –6

Taula de polinomis:

a c = 3, g = 5; b c = 2/3, g = 8; c c = –5, g = 86

5

4

3

2

1

Pàgina 76-83

Pàgina 75

Pàgina 67

Què és un monomi?Un monomi és una expressió algebraica en què leslletres estan sotmeses només a l’operació demultiplicar i a la potenciació.

Què és un polinomi?Un polinomi és la suma d’un nombre finit demonomis.

Aquest polinomi, és complet o incomplet?Aquest polinomi és incomplet, perquè li falta elmonomi de grau 2.

La suma de polinomis i el producte de polinomis,tenen el mateix element neutre?La suma de polinomis té com a element neutre el 0,mentre que la multiplicació té com a element neutrel’1.

Quina és la raó de la progressió a la qualpertanyen aquests dos termes?La raó de la progressió a la qual pertanyen aquestsdos termes és 3.

Monomis –4x5 1/2x7 –x2 –2/3 x 5

Coeficient –4 1/2 –1 –2/3 5

grau 5 7 2 1 0

ESO Matemàtiques 338

Unitat 2 Solucionari

d 8x2; e –5x5; f –2x3; g 3x5; h 5x5; i –11x3; j –11x4; k 3x5; l x3

a x2; b (–1/2)x7; c (–5/2)x4; d (13/6)x5; e (–1/4)x4; f (10/3)x5

a –15x4; b 8x12; c –10x8; d –6x10; e 12x6; f –15x6

a (5/6)x3; b (3/10)x10; c (1/3)x5; d –x7; e (–3/8)x7; f (16/5)x11

a –3/5; b 2x2; c –x/5; d –3x; e x/2y; f –3y5

a 9x10; b –8x21; c x24; d 1; e (81/256)x12; f (–8/125)x3; g (1/279)x6y3; h (1/81)x12y8

a 4x2 + 3x –1, g = 2; b –x5 – 2x2 + (7/2)x – 1, g = 5; c (1/2)x5 – 2x2 – x + 1, g = 5; d 4x4 – 1, g = 4

a Incomplet, falta x2; b complet; c complet; d incomplet, falta x3; e incomplet, falta x0; f complet; g incomplet, falten x4 i x2; h incomplet, falta x2.

a 3x4 – 4x3 + 5x2 – 2x; b 7x4 + 5x2 – 4x – 2; c –2x3 – x2 + 3x – 1; A + B + C = 10x4 – 6x3 + 9x2 – 3x – 3

A + B – C = –7x5 + 4x4 + 2x3 – 6x2 – x – 9; A – B – C = = –3x5 – 2x4 + 2x3 – 2x2 – x + 5

a –x3 + 5x2; b –4x3 + 6x2 – 2x – 16

2x4 + 5x3 – 4x2 + x + 1

(3/4)x4 – 2x3 – (2/5)x2 + (13/6)x – 15

A – B = 4x4 – x3 – 2x2 + 3x + 6

a 3x5 + 15x4 – 12x3 + 3x2 – 6x (grau: 4 + 1 = 5); b (1/2)x6 – 2x4 – (3/2)x3 + (1/2)x2 (grau: 4 + 2 = 6); c –10x5 + 8x4 + 3x3 + x – 2 (grau: 3 + 2 = 5); d 6x6 – 19x5 + 38x4 – 33x3 + 25x2 – 9x – 10 (grau:

4 + 2 = 6)

Commutativa: A · B = B · A; associativa: A · (B · C) = (A ·· B) · C

a 3(2x + y); b 3x(x – 1); c x(–5 + x); d 4x(2 – x); e 2x3y2(3y + x); f xy(–y + 1)

a 3x2/4y2; b 2z2/5; c x2 – 1/x3; d x/2; e 5/x – 3; f x/x – y

a x2 + y/xy; b 2 – 3x/x3; c 2x/x2 – 1; d x2 + 2x – 1/x(x – 1)

a 6/x2 – 1; b x2y2; c –1; d x/x + 1

a 4x6 + 20x4 + 25x2; b x8 – 8x6 + 16x4; c 9x6 + 12x5 + 4x4;d x4 – x2; e 25x6 – 4x4; f (1/4)x2 – 2x + 4; g 16x4 + 4x2 + (1/4); h (4/25)x5 – (9/4)x2

27

26

25

24

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7 a 5x2 · (3x3 – 4x + 1); b 4x · (3x2 – 2x – 1); c xyz2 · (9yz3 – 5); d 5xy2 · (y4 – 3); e 6x2 · (4x2 – 3x – 2); f 5x · (5x3 + 3x – 2)

a, b i f no es poden expressar com a identitats notables;c (4x3 + 5x) · (4x3 – 5x); d (x5/2/2 + x/3) · (x5/2/2 – x/3); e (5x – 2)2

a (3x – 1)2; b No es pot fer; c (2xy + 1)2; D; No es pot fer;e (4x/5 + 2x3/3) · (4x/5 – 2x3/3); f (x2y3z + 1) · (x2y3z – 1)

a an = 2, 3, 4, 5, 6...11; b bn = 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5... 1/10;c cn = 0, 1/3, 1/2, 3/5, 2/3... 9/11; d dn = 0, 2, 0, 2, 0... 2;e és la mateixa que l’anterior; f fn = 3/5, 3/10, 3/15, 3/20,3/25... 3/50

a an = n; b bn = 1/n; c cn = n/1 + n; d dn = n2; e en = n2/1 + n; f fn = n2 + 1/n + 2

Progressions aritmètiques: B, C, F, I.

Progressions geomètriques: D, G, H.

A i E no són ni d’un tipus ni de l’altre.

a an = 5n; a50 = 250, a80 = 400

b bn = 10 – 3n; b50 = –140; b80 = –230

c cn = –8 + 3n; c50 =142, c80 = 232

d dn = 1 + n/2; d50 = 51/2, d80 = 81/2

e en = 0,95 + 0,05n; e50 = 3,45, e80 = 4,95

f fn = 4, f50 = 4, f80 = 4

an = 2n; bn = 3n; cn = 4n...

a an = -7 + 2n; a53 = 99

b bn = 5 – n; b53 = –48

c cn = 0,1 + 0,2n; c53 = 10,7

d dn = 10 – n/3; d53 = –43/3

e en = –4,9 – 0,1n; e53 = –10,2

f fn = 115 – 15n; f53 = –680

a d = 1; b d = –32/5; c d = 1/10; d d = 1/2

a sí, n = 48; b sí, n = 256; c no; d sí, n = 148

a 14.455; b –7.740; c 5.227.250; d 915.600

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30

29

28

Raó Termegeneral

Termevuitè

Termequinzè

A 5 5n–1 57 514

B 1/3 (1/3)n–1 (1/3)7 (1/3)14

C 1/10 (1/10)n–1 (1/10)7 (1/10)14

D 0,2 2 · (0,2)n–1 2 · 0,27 2 · 0,214

ESO Matemàtiques 3 39

Solucionari Unitat 2

2n, 3n, 4n, etc.

a an = 2n–1/5; a6 = 32/5; b bn = –2 · (–1)n–1; b6 = 10; c cn = (–3)n–1/27; c6 = 9; d dn = 3 · (0,1)n–1; d6 = 0,00003; e en = ; e6 = 8

a 1.048.575; b 1,25; c 3,81 · 1010; d 1.

a n = 6; b n = 6; c p no és d’aquesta successió; d p no és d’aquesta successió; e n = 4.

a 0,5; b 0,90 (dpp); c 40; d no es pot fer, perquè r >1; e 5/6.

Successions creixents: B, D i H.

Successions decreixents: C, G i I.

Successions constants: F.

De cap tipus: A i E.

an = 19 · n; a 211; b 474

Terme general: an = 2n – 1; a119 = 237; el nombre 1.325ocupa el lloc 668.

an = 3n; la suma dels múltiples de 3 compresos entre122 i 347 és 17.550.

(a1 + a3) · 3/2 = 180; a1 + a3 = 120, a2 = 60º. Aquesta ésla condició que han de complir els angles del triangle;per tant, la resposta no és única.

112 = (9 + 19) · n/2; n = 8

an = 14n – 7; a1 = 7, a25 = 343; S25 = 4.375

Terme general: an = 10n; triga 50 dies a fer 500 piscines;S50 = 12.750 piscines ha fet en total.

Els nombres són a1, a2 = a1 · r, a3 = a1 ·r2; a1 · (1 + r + r2)=14; a1

3 · r3 = 64; els nombres demanats són 2, 4 i 8 (r = 2). Si considerem que r = 1/2, els nombres són 8, 4 i2 (els mateixos).

Com que l’enunciat no diu res, es pot suposar que r = 1;per tant, Sn = a1 · n; 196.602 = 6 · n, n = 32.767.

56

55

54

53

52

51

50

49

48

47

46

45

44

43

42

41 La progressió seria: 1, 3, 9, 27...; terme general: an =3n–1; 4 · 106 = 1 · 3n–1; n = 15; La notícia triga 15 · 10 = = 150 minuts a ser coneguda per tothom.

a La successió dels costats és: 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16...;terme general: an = (1/2)n–1.

b El terme vintè és: a20 = (1/2)19.

c Els costats formen una successió geomètrica.

d Perímetres: 4, 2, 1, 1/2...; és una successiógeomètrica.

e Àrees: 1, 1/4, 1/16, 1/64...; és una successiógeomètrica.

f Sperímetres = 8.

g Sàrees = 4/3.

58

57

Raó Terme general Terme sisè

A 6,83 1,816 · 10-3 ·(6,83) n-1 27

B 10–1 10–n 10–6

C 0,2 200·0,2n–1 0,064

D –2 2 · (–2) n–1 -64

ESO Matemàtiques 3

Continguts

Equació. Termes i grau.

Treure factor comú.

Solucions d'una equació.

Equacions de primer grau.

Resolució d'equacions.

Desigualtats i inequacions.

Equacions de segon grau.

Resolució d'equacions amb la calculadora Wiris.

Resolució d'equacions de primer grau.

Canvi en l'ordre dels passos per resoldre una equació.

Resolució d'inequacions.

Resolució de sistemes d'equacions.

Resolució gràfica de sistemes d'equacions.

Resolució de problemes amb equacions.

Resolució algebraica d'inequacions lineals.

Resolució de problemes amb inequacions.

Resolució algebraica pel mètode de reducció.

Resolució algebraica pel mètode de substitució.

Resolució de problemes amb sistemes d'equacions.

Resolució de problemes amb equacions de primer i segon grau.

Combinació del mètode de reducció i substitució.

Curiositat per conèixer antigues mesures de magnituds com la longitud i lamassa.

Interès per contrastar els nous coneixements amb els coneixements anteriorsa fi d'establir una coherència entre ells.

Objectius didàctics

Treure factor comú.

Resoldre equacions de primer i de segon grau.

Resoldre inequacions.

Resoldre sistemes d’equacions.

Resoldre problemes amb equacions i sistemes d’equacions.

41

3Equacions i

inequacions

ESO Matemàtiques 342

Webquest: “profe, i per a què serveixen lesequacions?”“Una equació és una igualtat algebraica que només éscerta per a un determinat valor de les lletres.” (Pàg. 89)

Per tal de treballar el tema de les equacions d’una formamés engrescadora, presentem aquesta webquest.

Entra en la pàgina de la webquest creada per LluísCalatayud: http://weib.caib.es/Recursos/equacionswebquest/equacions/index.html

La tasca consisteix a trobar equacions en les situacionsque es plantegen a cadascun dels grups d’alumnes.Després, cada grup ha d’elaborar una presentaciómultimèdia en la qual ha de descriure les situacionsplantejades, les equacions que hi ha trobat, quèsignifiquen les lletres escrites en les equacions i lesunitats (metres, quilograms, euros...) utilitzades.Finalment, cada grup ha de fer una exposició oral davantde tota la classe sobre la presentació multimèdia.

Observacions sobre les webquestUna webquest planteja la resolució d'un enigma o bél'elaboració d'un producte (edició d'una antologia, unàlbum fotogràfic, etc.) de manera col·laborativa. L'aulas'organitza en petits grups de treballs, cadascun delsquals fa una tasca específica (buscar informació, editarels textos, etc.). Per desenvolupar-la, cal cercarinformació per Internet i utilitzar una àmplia gamma derecursos en la qual es poden integrar les TIC.

Contingut d'una webquest:

– La introducció, que presenta un plantejament generalde la tasca.

– La tasca, basada en l'objectiu que ha d’assolir tot elgrup.

– El procés, apartat en què es descriuen els grups detreball, les tasques específiques que faran i elsrecursos que utilitzaran.

– L'avaluació, en què s'indiquen els aspectes que esvaloraran.

– La conclusió, que inclou unes reflexions finals sobre latasca.

– Els crèdits, en els quals s'inclouen les referències delsmaterials utilitzats.

Unitat 3 Recursos didàctics

Pàgines 86 i 87

ESO Matemàtiques 3 43

Solucionari Unitat 3

Informació

–5/12

a) 1 no, 2 sí, 3 no; b) 1 sí, 2 no, 3 no; c) 1 sí, 2 sí, 3 sí

(3x + 5) · 3 = 2x – (4x/5)

Reportatge

El papir de Rhind es pot considerar un tractatmatemàtic; de fet, se’l considera el principal textmatemàtic egipci.

El problema que es planteja és: x + (1/3)x = 19. Escollimel 3 com a possible solució, però en substituir la x per 3obtenim que dóna 4. El valor que necessitem es pottrobar així: 3/4 = x/19; d’aquesta manera: x = 3 · 19/4.

Activitats

No és certa per a x = 1, però sí per a x = 2. Es tractad’una equació.

a identitat, b equació, c equació, d identitat, e equació, f equació.

L’equació resultant és equivalent a l’anterior.3

2

1

Pàgina 114-121

Pàgina 113

Pàgina 106

Pàgina 90

3

2

1

Pàgina 88

L’equació resultant és equivalent a l’anterior.

El 3 és solució. Les dues equacions són equivalents,perquè tenen la mateixa solució.

x = –2 no és solució de A, però sí de B i C. Per tant, B iC són equivalents.

Multiplicant per –3: –6x = –8; Multiplicant per 1/2: 3x/2 = 2.

Multiplicant per –3: –9x + 24 = –12 + 15x; Multiplicantper 2/3: 2x – (16/3) = (8/3) – (10/3)x.

Multiplicant per –2: –16x – (x/2) + 4 = (–4x/5) – (8/3) + 2;multiplicant per –3/4: –12x – (3x/16) + (3/2) = (–3x/10) – – 1 + (3/4).

a –9; b 5; c 2; d 6; e 5; f 2/3

a –10; b 11/2; c 4; d 1

a x = 20; b x = –9; c x = –10; d x = 20

a 3 no és solució; la solució és x = –50/3; b –5 sí que éssolució; c –6 no és solució; la solució és x = 2.

a x = 13; b x = 5/3; c x = 8

a x = 4/15; b x = –1/3; c x = –17/2

a x = -62/19; b x = –3

a x = 128/79; b x = –29/7

a x = –2; b x = –14/65

a x = –3/20; b x = 8/9

a x = 4; b x = 11/8; c x = 1

x · 4 + 15 = 63; x = 12

3x + 9 = 5 + 4x; x = 4

600 = x + (3/4)x; x = 2.400/7

3 + x/5 + x = 1/2; x = –1

x + (x + 2) + (x + 4) = 72; x = 22

(2/3)x + (1/2) · (x – (2/3)x) + 20 = x; x = 120

51 + x = (17 + x) · 2; x = 17 anys han de passar.

(2/3)x + (3/5) x = (7/3)x – 18; x = 15

(2/5)x + 7 = (3/4)x; x = 20 km és la distància total deltrajecte.

29

28

27

26

25

24

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

Aquestes equacions són equivalents?Les quatre equacions són equivalents perquè tenen lamateixa solució (x = 2).

Què podem resoldre amb aquesta fórmula?Amb aquesta fórmula es poden resoldre les equacionsde segon grau de la forma ax2 + bx + c = 0.

ESO Matemàtiques 344

Unitat 3 Solucionari

(1/6)x + 26 = (3/5)x; x = 60 l és la capacitat del dipòsit.

85 · t = 285 – 105 · t; t = 1,5 hores han de passar perquèels dos trens es trobin.

(2/3)x + 17 = x; x = 51 l és la capacitat del dipòsit.

80 · t =120 · (t – 2); t = 6 hores.

2 · (x – 8) = (x + 7)/2; x = 13 anys.

30 · t = –5 + 50 · t; t = 1/4 hora.

3 · (x + 5) – 3 · (x – 1) = x; x = 18 anys té l’Adriana.

5 – x/3 – x = 3/2; x = –1

5x + 10 · (24 – x) = 165; x = 15 bitllets de 5 euros;també hi ha 10 bitllets de 10 euros.

Resposta procedimental.

a –1/4 < x; b x < –1; c 1 ≥ x; d –4 ≤ x

a x > –2; b x > 10; c x ≤ 0

a x < –12/11; b x < 8/9

2(x – 5) > x + 8; x > 18 anys

x + 6/2 < 3(x – 9); x > 12 anys

D’esquerra a dreta: (4, –7), (1, 2) i (–1, 2)

D’esquerra a dreta: (11, 2), (–2, –5/2), (26/19, 8/19)

D’esquerra a dreta: (4, –7), (–4, –3), (8, 9/2)

D’esquerra a dreta: (1, 2), (–1, 2), (1, –4)

D’esquerra a dreta: (–3, 1), (–2, –2), (–1/2, –1)

D’esquerra a dreta: (31/26, –29/26), (–33, 54), (1/3, 0)

D’esquerra a dreta: (–11/13, –16/13), (2, 1)

x + y = 15; 3x –2y = 5; x = 7, y = 8

x + y = 120; 2,6x + 3,2y = 2,8 · 120; x = 80 l de 2,6euros/l, y = 40 l de 3,2 euros/l.

x + y = 3x; x – y = 6; x = –6, y = –12

x = 3y; x = x + y – 16; x = 48, y = 16

x + y = 8; 10x + y + 18 = 10y + x; x = 3, y = 556

55

54

53

52

51

50

49

48

47

46

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30 x + y = 49; 1,15x + 1,1y = 55; x = 22, y = 27. El llibretenia un preu de 25,3 euros i el CD, de 29,7 euros.

x + y = 30; 2x – 3y = 0; x = 18, y = 12

x + y =35; 2x + 4y = 110; x = 15, y = 20

2b + 2h =14; b – h = 3; b = 5, h = 2

x + y = 680; 1,15x + 1,2y = 800; x = 320 euros, y = 360euros (preu que va pagar per cada article).

x + y =15; 3x – 2y = 2; x = 32/5, y = 38/3

x + y = 45; 2(x – 12) = y + 12; x = 11, y = 34

x + y = 40; x = 3y + 4; x = 31, y = 9

Resposta procedimental. El punt d’intersecció de lesdues rectes és: (2, 1).

D’esquerra a dreta:

Sistema compatible indeterminat; les dues rectes sóncoincidents; té infinites solucions.

Sistema compatible determinat; són dues rectes ques’encreuen en un punt; la solució és el puntd’encreuament.

Sistema compatible determinat; són dues rectes ques’encreuen en un punt; la solució és el punt (0, 0).

Sistema incompatible; són dues rectes paral·leles; no técap solució.

Resposta procedimental. D’esquerra a dreta: les duesrectes es tallen en el punt (–3/5, –2/5); no té solució,perquè les dues rectes són paral·leles i el sistema ésincompatible; les rectes són coincidents i, per tant, téinfinites solucions.

Resposta procedimental. D’esquerra a dreta: les duesrectes es tallen en el punt (1, 0); les dues rectes estallen en el punt (–2, –1); les dues rectes es tallen en elpunt (0, –2).

a x = 0; b x = 0, x = 1/2; c no té solució real; d x = 0, x = –2/3; e x = –5, x = 5; f x = 0, x = 3/5; g x = –8, x = 8; h no té solució real.

a x = –1, x = 5; b x = –3, x = 2; c x = –2, x = 1/3; d x = –3/2, x = 3; e x = –7/2, x = 1; f x = 1/4, x = 1; g x = –3/5, x = 1; h x = 1/2, x = 1.

a Δ = 0, té una solució real; b Δ < 0, no té solució real;c Δ > 0, té dues solucions reals; d Δ < 0, no té solució real;e Δ > 0, té dues solucions reals; f Δ > 0, té dues solucions reals.

71

70

69

68

67

66

65

64

63

62

61

60

59

58

57

ESO Matemàtiques 3 45

Solucionari Unitat 3

Perquè tingui una solució, Δ = 0; per tant, b = 12.

Perquè tingui una solució, Δ = 0; per tant, c = 1.

a x = –1, x = 6; b x = –2, x = 6; c x = –1, x = 9

a x = –1, x = 5/6; b x = 0, x = –5; c x = 1/4, x = 1/2

a x = –23/6, x = 25/6; b x = 7/6, x = –3/2; c x = –3, x = 3/2

Hi ha dues solucions: x = –2 i x = 3.

x(x + 5) = 176; x = 11. Dimensions del rectangle: b = 11,h = 16.

x(x + 2) = 168. Els nombres poden ser: –14 i –12 o 12 i14.

x2 + (x + 3)2 = 252; x = 16,11 (el resultat negatiu no tésentit).

(x/2 + 5) · (x/2 + 8) = 108; x = –34, x = 8

(x + 2)2 = x2 + 45; x = 21/4. L’àrea del quadrat val:27,5625 cm2.

(x + 2) (x + 5) = x(x + 3) + 28; x = 4. Les dimensions delrectangle són: b = 7, h = 4.

(x/2)2 + (x/2 + 3)2 = 152; x = 18 (diagonal menor). L’àreadel rombe és: A = D · d/2 = 24 · 18/2 = 216.

84

83

82

81

80

79

78

77

76

75

74

73

72

ESO Matemàtiques 3

Continguts

Posicions relatives de rectes i plans.

Distàncies i angles.

Angles políedres.

Políedres regulars.

Propietats dels políedres regulars.

Superfícies esfèriques.

L'esfera.

Transformacions geomètriques.

Translacions i girs.

Simetries.

Relació entre translacions, girs i simetries.

Composició de transformacions.

Translacions, girs i simetries amb el Cabri i el Geogebra.

Determinació d'un pla.

Translació d'una figura.

Gir d'un punt.

Gir d'una figura.

Simetria axial d'una figura.

Simetria central d'una figura.

Composició de girs amb el mateix centre.

Composició de simetries d'eixos paral·lels.

Composició de simetries d'eixos concurrents.

Composició de simetries centrals.

Construcció de polígons regulars.

Interès per interpretar mapes i escales.

Valoració de la importància de la proporcionalitat a l'hora de treballar lacartografia.

Objectius didàctics

Fer translacions, girs i simetries d’una figura geomètrica plana.

Fer una composició de girs amb el mateix centre.

Fer una composició de simetries d’eixos paral·lels.

Fer una composició de simetries d’eixos concurrents.

Fer una composició de simetries centrals.

Relacionar translacions, girs i simetries.

Construir polígons regulars.

47

4Geometria de l'espai

ESO Matemàtiques 348

Els políedres de la vida diària“Un políedre és la porció de l’espai limitada per polígons.Diem que un políedre és regular quan totes les sevescares són polígons regulars idèntics i en cada vèrtex hiconcorren el mateix nombre de cares.” (Pàg. 132-133).

Aquesta activitat pretén que els alumnes s’adonin quemolts dels objectes que ens envolten en la nostra vidadiària són en realitat políedres, la qual cosa farà quepercebin les matemàtiques com alguna cosa lligada a larealitat i no solament al paper.

De vegades, pensem que les matemàtiques no tenen capaplicació a la vida pràctica. Però res més lluny de la realitat!En aquesta activitat et proposem que trobis objectes quetenen forma polièdrica, del teu entorn més immediat i delmés allunyat, però que en qualsevol cas formen part de lavida de les persones i no solament del paper.

– Cerca objectes del teu entorn que tinguin cares planesi, per tant, que siguin políedres: una capsa, un estoigde cintes de vídeo, un dau, etc.

– També pots buscar a Internet: edificis (per exemple,gratacels, esglésies, campanars), minerals (perexemple, pirita), objectes decoratius (per exemple,llums), joguines (cub de Rubik), pintures (per exemple,el Sant Sopar de Dalí), etc.

– Fes una fotografia o captura una imatge del políedreen qüestió. A continuació, classifica totes aquestesimatges segons el tipus de políedre que representen.

Recursos web d’interès:

– http://almez.cnice.mecd.es/~lnim0000/webquest/los_poli/los_poliedros.htm

– http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/11-2-o-poliedros.html

– http://club.telepolis.com/pmmancebo/pira.htm

– http://www.unex.es/tcorco/prismas.html

– http://www.upc.es/ea-smi/personal/claudi/web3d/espanyol/indexesp.htm

– http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/poliedros/poliedros.htm

Unitat 4 Recursos didàctics

Pàgines 102 i 103

ESO Matemàtiques 3 49

Solucionari Unitat 4

Informació

La mediatriu d’un segment és la recta perpendicular aaquest segment que passa pel seu punt mitjà.

Resposta procedimental.

Els angles interiors d’un triangle sempre sumen 180º.

Si tenim un pentàgon i el triangulem, per saber quin ésel valor de la suma dels angles interiors n’hi ha prou desumar els angles interiors dels triangles que es formin;en aquest cas, es poden formar tres triangles, demanera que els angles interiors del pentàgon sumaran180º · 3 = 540º (108º cada angle).

Reportatge

No es pot construir un mosaic fet només amb octògonsregulars perquè l’angle interior d’un octògon és de 180(8 – 2)/8 = 135º, i cal que sigui una combinació de 60º,90º i/o 120º.

Resposta procedimental.

Activitats

– Quan dues rectes s’encreuen, no tenen cap punt encomú i, per tant, no hi ha cap pla que contingui lesdues rectes simultàniament.

– Si dues rectes són paral·leles, no tenen cap punt encomú, però hi ha un pla que conté les dues rectes.

1

Pàgina 150-157

2

1

Pàgina 148

Pàgina 138

3

2

1

Pàgina 126

– Els punts A, B i C estan alineats i, per tant, pertanyen auna recta. Per aquesta recta poden passar infinits plans.

– Els punts B, C i E no estan alineats i, per tant, noméshi ha un pla que els contingui.

– Les rectes que passen per BE i CF són secants.

– Les rectes que passen per AD i DE són secants.

– Les rectes que passen per BE i DC són secants(perpendiculars).

– Dos plans diferents poden tenir tres punts comuns sisón coincidents.

– Per un punt exterior a un pla es poden traçar infinitsplans perpendiculars al pla donat.

– Si una recta i un pla tenen dos punts en comú, vol dirque la recta està totalment continguda en el pla. Hi hainfinits plans que es tallen en la recta, però només unés perpendicular al pla donat.

– Si tenim dues rectes paral·leles, vol dir que estancontingudes en un pla; una altra recta pot estarcontinguda en el pla, ser paral·lela o secant.

– Dues rectes que s’encreuin no poden dibuixar-se enun full perquè no tenen cap punt en comú i, per tant,no poden pertànyer al mateix pla.

– Si dues rectes s’encreuen, vol dir que no tenen cappunt en comú i, per tant, no hi ha cap pla que continguiles dues rectes. Una altra recta pot ser: coincident oparal·lela amb una d’aqustes, secant amb una o ambtotes dues o bé encreuar-se amb totes dues.

– Si dues rectes són secants, vol dir que tenen un punten comú i, en aquest cas, sempre hi ha un pla que lesconté. Un altre pla pot ser coincident, paral·lel o secantamb aquest.

– Si dues rectes són paral·leles, també hi ha un pla queles conté. Un altre pla pot ser coincident, paral·lel osecant amb aquest.

– Si dues rectes s’encreuen, no tenen cap punt en comúi no hi ha cap pla que contingui les dues rectes. Un plapodrà contenir una de les rectes, ser paral·lel a una deles rectes o secant a una o a les dues rectes.

– Si una recta i un pla només tenen un punt en comú, voldir que són secants. Una altra recta pot estar contingudaen el pla o no. Si no està continguda, pot ser coincident,secant, paral·lela o encreuar-se amb la recta donada.

– Si tenim una recta donada per un punt exterior aaquesta, només es pot traçar una recta paral·lela, peròinfinits plans paral·lels.

– Tenim una recta i un pla paral·lels. Una altra recta potser coincident amb la recta, pot estar continguda en elpla, pot ser secant amb la recta, el pla o amb la recta iel pla, paral·lela amb la recta i el pla.

4

3

2

Una pilota de futbol, és una esfera?Una pilota de futbol és una bona aproximació al’esfera; de fet, la podem considerar un cos esfèricencara que no sigui una esfera perfecta.

ESO Matemàtiques 350

Unitat 4 Solucionari

– Per una recta paral·lela a un pla només es pot traçar unpla paral·lel.

– El pla que conté la recta r també és paral·lel al pla a i,per tant, no s’intersequen.

– Si una recta està continguda en un pla, una altra rectapot estar continguda en el pla, ser paral·lela al pla osecant. Si tenim un altre pla paral·lel al pla donat,també serà paral·lel a la recta r.

– Tenim una recta i un pla secants. Un altre pla secantpot contenir la recta, ser paral·lel o secant a la recta.

– Si una recta és perpendicular a un pla, ho és també atotes les rectes contingudes en el pla.

– Tenim una recta i un pla paral·lels. Un pla secant al’anterior pot contenir la recta, ser paral·lel o secant.

– Si una recta és paral·lela a un pla, ho és també a unrecta del pla, però no a totes les rectes contingudesen el pla.

Resposta oberta.

– Dos plans no poden tenir només un punt en comú.

– Si dos plans són perpendiculars a una recta, aquestsplans són paral·lels.

– Si dues rectes són perpendiculars a un pla, aquestesdues rectes són paral·leles.

– Si dos plans són paral·lels, una recta pot estarcontinguda en un dels plans o bé ser paral·lela osecant als dos plans a la vegada.

– Dues rectes contingudes en plans paral·lels, poden serparal·leles o encreuar-se.

– Si dos plans són secants, un recta pot estarcontinguda en un o en els dos plans, ser paral·lela a uno als dos plans, o secant a un o als dos plans.

– Dos plans no poden encreuar-se; només poden sercoincidents, paral·lels o secants.

– Si un pla és secant a dos plans paral·lels, les rectesque s’intersequen són paral·leles entre si.

Els plans � i � són paral·lels; els plans � i � són secants;els plans � i � són secants; els plans � i � són secants;els plans � i � són secants; els plans � i � són secants.

Els plans � i � són paral·lels; els plans � i � són secants;els plans � i � són secants; la recta u està continguda enel pla �; la recta s està continguda en el pla �; la recta restà continguda en els plans � i �; la recta t estàcontinguda en els plans � i �; les rectes r i t sónparal·leles; la recta v és perpendicular als plans � i � i ales rectes u, r i t.

9

8

7

6

5 Resposta procedimental. Vegeu dibuixos en el marge dela pàgina 130.

Resposta oberta.

– La intersecció de dos plans forma quatre díedres. Si unangle mesura 50º, els altres tres mesuren 50º, 130º i130º.

– Si dos díedres tenen entre si les cares respectivesparal·leles, formen el mateix angle díedre.

– Sí que es pot formar un tríedre amb un vèrtex en quèconcorrin angles de 125º, 114º i 120º perquè la sumad’aquests angles és inferior a 360º.

– No es pot formar un tríedre amb les cares d’unpentàgon regular (108º), un hexàgon regular (120º) i unoctàgon regular (120º) perquè la suma dels seusangles és superior a 360º.

– Un políedre és convex quan els plans de les seves caresdeixen totes les altres en el mateix costat del pla.

– Un tetràedre regular no té cap diagonal.

– En un vèrtex d’un políedre han de confluir-hi com amínim tres arestes.

– Segons el teorema d’Euler: V + C = A + 2. Si apliquemaquesta fórmula als dos políedres, 15 + 12 ≠ 24 + 2,veiem que no existeix aquest políedre; en canvi, 8 + 6 == 12 + 2, sí que existeix aquest políedre.

– No es pot formar un políedre en què concorrin 5angles de 75º en cada vèrtex perquè 5 · 75 = 375º,que és més gran que 360º.

– No es pot formar un políedre en què concorrin 6triangles equilàters en cada vèrtex, perquè 6 · 60 = = 360º, i sempre seria una superfície plana.

Resposta procedimental. El tetràedre regular és formatper quatre cares que són triangles equilàters.L’hexàedre regular és format per sis cares que sónquadrats. En la pàgina 133 del llibre se’n pot veure eldesenvolupament.

Resposta procedimental. Les arestes són lesinterseccions de les cares, és a dir, els segments derecta comuns a dues cares.

– Els vèrtexs poden estar continguts en el pla o serexteriors.

– Els políedres regulars tenen un punt interior anomenatcentre del políedre: és el punt que equidista de totsels seus vèrtexs; en el cas de l’hexàedre, aquest puntés el punt d’intersecció de les seves diagonals.

– La secció que s’obté correspon a un triangle equilàter.

– Una aresta amb la seva oposada formen un angle de 60º.

16

15

14

13

12

11

10

ESO Matemàtiques 3 51

Solucionari Unitat 4

Només hi ha dos políedres regulars: el que és formatper vuit cares, que són triangles equilàters (octàedre), iel que és format per dotze cares, que són pentàgonsregulars (dodecàedre).

No es pot construir un políedre regular amb hexàgonsperquè l’angle interior d’un hexàgon regular mesura120º; si en una aresta hi concorren tres angles de 120º,l’angle total mesurarà 3 · 120 = 360º i sempre serà unasuperfície plana.

Teorema d’Euler: V + C = A + 2

La suma dels angles de cada cara que concorren en unvèrtex és: 180º per al tetràedre, 270º per a l’hexàedre,240º per a l’octàedre, 324º per al dodecàedre i 300º pera l’icosàedre.

No pot haver-hi políedres amb vèrtexs en què concorrinsis o més cares triangulars perquè l’angle interior deltriangle equilàter és de 60º i, per tant, l’angle total seriaigual o superior a 360º.

Un icosàedre regular té 12 vèrtexs i 30 arestes. Undodecàedre regular té 20 vèrtexs i 12 cares.

Unint el centre de cada cara amb el centre de les carescontigües s’obté:

– En un tetràedre regular, un altre tetràedre regular.

– En un hexàedre regular, un octàedre regular.

– En un octàedre regular, un hexàedre regular.

– Si el pla passa pel centre de l’esfera, s’obtenen doshemisferis.

– Si el pla no passa pel centre de l’esfera, s’obtenen doscasquets esfèrics.

Per una recta exterior a una esfera es poden traçar dosplans tangents.

L’hexàedre es pot inscriure i circumscriure en una esferasempre que el centre de l’esfera i de l’hexàedrecoincideixin.

26

25

24

23

22

21

20

19

18

17 Un segment esfèric és la intersecció d’una esfera ambun pla o amb dos plans paral·lels. Un casquet esfèriccorrespon a la part de la superfície esfèrica limitada perun pla secant.

Si dos plans passen pel centre de l’esfera, s’obté unafalca esfèrica.

Un fus esfèric correspon a la superfície esfèricacompresa entre dos cercles màxims. Una falca esfèricaés la part de l’espai limitada per dos plans que es tallenen un diàmetre de l’esfera i el fus corresponent.

– Moviments directes: a, d, f.

– Moviments inversos: b, c, e.

Resposta procedimental.

Resposta procedimental.

Resposta procedimental.

Resposta procedimental.

Resposta procedimental.

Resposta procedimental. Per al quadrat i el rombe: lesdiagonals són eixos de simetria i el punt on es tallen lesdiagonals és el centre de simetria. El rectangle i elromboide no verifiquen aquesta propietat.

Resposta procedimental.

Resposta procedimental.

Resposta procedimental. D’esquerra a dreta i de dalt abaix: 2 centres de simetria, 4, 4, 2, infinits, 2. Totes lesfigures tenen centre de simetria.

Les tres figures tenen simetria central.

Resposta procedimental.

Resposta procedimental.

Resposta procedimental.

Resposta procedimental. Compondre dues simetriesd’eixos concurrents és el mateix que fer un gir el centredel qual és el punt d’intersecció dels dos eixos.

Resposta procedimental. Compondre dues simetriescentrals és el mateix que fer una translació ambtrajectòries paral·leles a la recta que passa pels doscentres de simetria.

45

44

43

42

41

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

30

29

28

27

Políedre V C A Teorema d’Euler

Tetràedre 4 4 6 4 + 4 = 6 + 2

Hexàedre 8 6 12 8 + 6 = 12 + 2

Octàedre 6 8 12 6 + 8 = 12 + 2

Dodecàedre 20 12 30 20 + 12 = 30 + 2

Icosàedre 12 20 30 12 + 20 = 30 + 2

ESO Matemàtiques 3

Continguts

Teorema de Pitàgores.

L'arrel quadrada.

Costats, apotemes i radis.

Pitàgores i els prismes.

Pitàgores i les piràmides.

Pitàgores i els cons.

Construcció i representació d'arrels quadrades.

Comprovació del teorema de Pitàgores amb el Cabri i el Geogebra.

Representació d'arrels quadrades en la recta numèrica.

Càlcul d'àrees i volums de prismes regulars.

Generalització del teorema de Pitàgores.

Càlcul d'àrees i volums de piràmides regulars.

Càlcul d'àrees i volums de piràmides regulars regulars.

Càlcul d'àrees i volums de cons.

Interès per conèixer quins models o tècniques coneguts són aplicables a unasituació problemàtica donada.

Interès per conèixer les figures geomètriques més utilitzades.

Objectius didàctics

Explicar i comprovar el teorema de Pitàgores.

Generalitzar el teorema de Pitàgores.

Representar i resoldre arrels quadrades.

Calcular àrees i volums de piràmides i prismes regulars.

Calcular àrees i volums de cons.

Tenir interès per conèixer les figures geomètriques més utilitzades.

53

5Aplicacions del teorema de Pitàgores

ESO Matemàtiques 354

Role-play sobre equacions de rectes en el pla“Una funció expressa una relació de dependència d’unavariable, y, respecte d’una altra, x. [...] L’equaciócorresponent a una funció afí és y = ax + b.” (Pàg. 196 i205)

Aquesta activitat, extreta de la pàgina web d’AntonAubanell Pou, és un role-play que permet als alumnesaprofundir en les funcions i, més concretament, en lesequacions de rectes en el pla.

– Entra en la pàgina web d’Anton Aubanell, “Recursosmaterials i activitats experimentals en l’educaciómatemàtica a secundària”:http://www.xtec.es/~aaubanel. El seu treball estàsupervisat pel professor Claudi Alsina. Us recomanemque, a més de l’activitat aquí indicada, feu un cop d’ulla les fitxes, els vídeos i les activitats descrits.

– Per entendre millor el role-play proposat, llegeixdetingudament la fitxa corresponent:http://www.xtec.es/~aaubanel/Fitxes/F18.pdf.

– La metodologia és la següent:

Els/les alumnes es col·loquen a les taules habitualsformant una quadrícula. De fet, normalment ja hi estansituats, però cal desplaçar algunes cadires per omplir elspassadissos. Tot l’alumnat ha d’estar assegut. D’entrada,demanem que es posin drets els/les alumnes quecompleixen alguna característica, com ara anar vestits d’undeterminat color, portar sabates esportives o serafeccionats a la natació. També podem plantejarcondicions compostes. Els/les alumnes que s’aixequin hande formar un dibuix irregular en el conjunt de la classe.

A continuació, els animem que “se sentin punts del pla”.Els punts del pla no tenen color del vestit, ni portensabates, ni són afeccionats a la natació. L’única cosa quetenen són dues coordenades. La primera fila serà l’eix deles abscisses i la primera columna serà l’eix de lesordenades. L’alumne/a assegut/uda a l’extrem esquerrede la primera fila serà l’origen i, a partir d’aquí, aniremassignant la primera i la segona coordenades a cadaalumne/a. És important que tothom recordi les sevescoordenades; si cal, se les poden apuntar. Llavorscomencem a posar “condicions analítiques”. Per exemple,demanem que es posin drets aquells alumnes...

...la suma de les dues coordenades dels quals és 6.

...la segona coordenada dels quals és el doble de laprimera menys 1.

...la primera coordenada dels quals és una unitat mésque la segona.

Com que ara els dibuixos no seran tan irregulars comabans, ens adonarem de la necessitat d’establir un acordper indicar les condicions a través de notació algebraica.La primera coordenada serà x i la segona, y: x + y = 6; y = 2x + 1; x = y + 1.

Serà bonic descobrir com, en variar les condicions, esvan obtenint rectes diferents. Caldrà estudiar aquestarelació entre l’expressió analítica d’una recta i la sevarepresentació gràfica!

Acabarem l’activitat plantejant condicions compostesrepresentades per interseccions de les rectescorresponents. Això ens permetrà connectar amb laresolució de sistemes lineals d’equacions.

Unitat 5 Recursos didàctics

Pàgines 160 i 161

ESO Matemàtiques 3 55

Solucionari Unitat 5

Informació

Resposta oberta.

Resposta procedimental.

Resposta procedimental.

= 1,732... És difícil col·locar-lo exactament sobre larecta real. En la pàgina 165 s’explica el procedimentper fer-ho amb exactitud.

Reportatge

Resposta oberta. Exemple: {14, 48, 50}

Es tracta que els alumnes s’adonin que hi hamoltíssimes possibilitats.

Resposta oberta. Exemple: si m = 2 i n = 1, llavorss’obté la terna {4, 3, 5}.

Les ternes primitives són aquelles els elements de lesquals no tenen cap divisor comú.

Activitats

a a = 5 cm; b a = 6,723 cm; c a = 6,3246 cm; d a =0,472 cm; e a = 3,67 cm

a c = 3; b c = 2,3; c c = 2,487; d c = 0,312; e c = 4,472

Resposta procedimental.

Resposta procedimental. Model de construcció: == ; = ; = .√62 + 12√37√52 + 12√26√42 + 12

√174

3

2

1

Pàgina 182-187

4

3

2

1

Pàgina 181

Pàgina 176

√3

3

2

1

Pàgina 162

Resposta procedimental. Model de construcció: = = ; = ; = ;

= .

Resposta procedimental. Model de construcció: primer espot obtenir a partir de ; després, es pot fer:

= ; = ; = .

Resposta procedimental.

Resposta procedimental.

a) x = ; b) x = ; c) x =

De dalt a baix: i – .

122 = a2 + 62; a = 10,39 cm; A = p · a/2 = 12 · 6 ·10,39/2 == 374,12 cm2

102 + h2 = 202; h = 17,32 cm; A = b · h/2 = 10 · 17,32/2 == 86,6 cm2; a = h/3 = 5,77 cm

D = 2 · 15 = 30 cm; 302 = c2 + c2; c = 21,21 cm; a = c/2 == 10,605 cm; A = c2 = 450 cm2

52 + 6,882 = r2; r = 8,5 cm; A = π · r2 = 227 cm2

p = 5 · 20 = 100 cm; 102 + a2 = 17,012; a = 13,76 cm; A = p · a/2 = 100 · 13,76/2 = 688 cm2

42 + a2 =10,452; a = 9,654 cm; A = p · a/2 = (8 · 8) ·9,654/2 = 308,928 cm2

(l/2)2 + (l/2)2 = 102; l = 14,14 cm; A = l2 = 200 cm2

a lcircumscrita = 2 · π · r = 25,13 cm; linscrita = 2 · π · a = 2 · π ·· ( ) = 21,77 cm

b p = 6 ·c = 6 · 4 = 24 cm

c Acircumscrit = π · r2 = π · 42 = 50,27 cm2; Ainscrit = π · a2 = π ·· ( )2 = 37,7 cm2

d Acorona = Acircumscrit – Ainscrit = 50,27 – 37,7 = 12,57 cm2

e Ahexàgon = p · a/2 = 24 · /2 = 41,57 cm2

Adodecàedre = 12 · Apentàgon = 12 · (5 · a · c/2) = 30 · a · c == 30 · 0,59 · r · c

(0,59 · r)2 + 9 = r2; r = 3,72 cm

Adodecàedre = 30 · 0,59 · 3,72 · 6 = 395 cm2

Aab = a · b = 5 · 10 = 50 cm2; Aac = a · c = 5 · 3 = 15 cm2;Abc = b · c = 10 · 3 = 30 cm2

Atotal = 2 · Aab + 2 · Aac + 2 · Abc = 2 · 50 + 2 · 15 + 2 · 30 == 190 cm2

Vortòedre = Aab · c = 50 · 3 = 150 cm3

20

19

√12

√42 + 22

18

17

16

15

14

13

12

11

√13√1310

√30√67√39

8

7

√52 + (√2)2√27√92 + (√2)2√83√82 + (√2)2√66

√12 + 12√26

√82 + 32√73

√62 + 42√52√52 + 32√34√52 + 22

√295

Com es calcula el volum d'un con?El volum d’un con es pot calcular mitjançant lafórmula V = (1/3) · Ab · h.

ESO Matemàtiques 356

Unitat 5 Solucionari

d2= a2 + b2 + c2; c = = 24 cm

Aab =a · b = 10 · 15 = 150 cm2; Aac = a · c = 10 · 24 =240 cm2; Abc = b · c = 15 · 24 = 360 cm2

Atotal = 2· Aab + 2 · Aac + 2 · Abc = 2 · 150 + 2 · 240 + 2 ·360 = 1.500 cm2

Vortòedre = Aab · c = 150 · 24 = 3.600 cm3

d = a · = 17,32 cm; A = 6 · a2 = 600 cm2; V = a3 = 1.000 cm3

a = d/ = 62,35 cm; A = 6 · a2 = 23.325,135 cm2; V = a3 = 242.387 cm3

Abase = c2 = 402 = 1.600 m2

d2 + 202 = 1502; d = 148,66 m

Alateral = 8 · Atriangle lateral = 8 · ((c/2) · d/2) = 11.892,8 m2

Atotal = Abase + Alateral = 1.600 + 11.892,8 = 13.492,8 m2

202 + h2 = 148,662; h = 147,31 m

V = (1/3) · Abase · h = 78.565,3 m3

152 + a2 = 302; a = 26 m

Abase = 6 · c · a/2 = 2.340 m2

202 + 262 = d2; d = 32,8 m

Alateral = 12 · Atriangle lateral = 12 · ((c/2) · d/2) = 2.952 m2

Atotal = Abase + Alateral = 2.340 + 2.952 = 5.292 m2

V = (1/3) · Abase · h = 15.600 m3

Les dimensions del refresc són: (a, b, c) = (x, x, 2x). Hiha un grau de llibertat.

d2 + 82 = 162; d = 13,86 cm

Acara = 16 · d/2 = 221,76 cm2

Atotal = 4 · Acara = 887,04 cm2

3r2 = c2; r = 9,24 cm; a = r/2 = 4,62 cm; a2 + h2 = d2; h = 13,06 cm

V = (1/3) · Abase · h = 965,4 cm3

d2 + 82 = 162; d = 13,86 cm

Acara = 16 · d/2 = 221,76 cm2

Atotal = 8 · Acara = 1.774,08 cm2

A = c/2 = 8 cm; a2 + h2 = d2; h = 11,31 cm

V = 2 · (1/3) · Abase · h = (2/3) · 221,76 · 11,31 = 1.672,02 cm3

d2 + (3/2)2 = 32; d = 2,6 cm

Acara = 3 · d/2 = 3,9 cm2

Atotal = 20 · Acara = 78 cm2

29

28

27

26

25

24

√323

√322

√302 – 102 – 15221 Abase_inferior = 3002 = 90.000 m2

Abase_superior = 1502= 22.500 m2

752 + x2 = 1002; x = 66,14

Alateral = 4 · (225 · 66,14) = 4 · 14881,5 = 59.526 m2

Atotal = Abase_inferior + Abase_superior + Alateral = 172.026 m2

V = (1/3) · (Abase_inferior + Abase_superior + ) ·· h

a r = c = 2 cm; r2 = a2 + (c/2)2; a = 1,73 cm; d2 = a2 + h2;d = 12,12 cm; Abase = 6 · c · a/2 = 10,38 cm; Alateral = = 6 · (c · d/2) = 72,72 cm2; Atotal = 83,1 cm2

b V = (1/3) · Abase · h = 41,52 cm3

c A = p · r2 = 12,57 cm2

d g2 = r2 + h2; g = 12,16 cm; Alateral = p · r · g = 76,4 cm2;Atotal = 12,57 + 76,4 = 88,97 cm2

e V = (1/3) · Abase · h = 50,28 cm3

Pla central: l = 2 · p · r = 50,27 cm; A = p · r2= 201,06 cm2

Pla superior: 32 + x2 = 82; x = 7,42 cm; l = 2 · p · r = = 46,62 cm; A = p · r2 = 172,96 cm2

32 + 62 = x2; x = 6,71 m; 32 + 42 = y2; y = 5 m; ltotal = 4 · x ++ 4 · y = 46,84 m

a Relació entre les dues diagonals del rombe: (d/2)2 + + (D/2)2 =52

b D = 2d; d = ; A = D · d/2 = 20 cm2

Peces del tangram:

(5x)2 + (3x)2 = 902; x = 15,43 m; altura = 3 · x = 46,29 m

L’avió ha recorregut una distància horitzontal de 1.500 km/h · 0,5 h = 750 km.

El soroll ha de recórrer una distància en línia recta de: 62 + 7502 = x2; x = 750,024 km = 750.024 m.

El soroll trigarà a arribar: t = x/v = 750.024/340 = 2205,95 s.

Cal observar que l’avió porta una velocitat superior a ladel so, per això el so triga més a arribar-hi.

37

36

35

34

33

32

31

√Abase_inferior · Abase_superior

30

Peça Perímetre (dm) Àrea (dm2)

Triangles grans 1 + 0,707 + 0,707 =2,414 1 · 0,5/2 = 0,25

Triangle mitjà 0,5 + 0,5 + 0,707 =1,707

0,707 · (0,707/2)/2 =0,125

Triangles petits 2 · (0,707/2) + 0,5 =1,207

(0,707/2)2/2 =0,0625

Quadrat 4 · (0,707/2) = 1,414 (0,707/2)2 = 0,125

Trapezi 2 · 0,5 + 2 ·(0,707/2) = 1,707 2 · 0,0625 = 0,125

ESO Matemàtiques 3 57

Solucionari Unitat 5

La relació entre l’alçada del globus i la distànciahoritzontal recorreguda és d’1/3. Per tant, quan estigui auna alçada de 300 m, serà a una distància de 3 · 300 = = 900 m.

1502 + 402 = x2; x = 155,24 m

122 + r2 = (8 + r)2; r = 5 m; S = π · r2 = 78,54 m2

Dividim el segment més llarg en tres parts per tald’obtenir un rectangle i dos triangles. A continuació,plantegem un sistema d’equacions: x2 + h2 = 322; (50 –– x)2 + h2 = 382; x = 20,8 m; h = 24,32 m.

La superfície del camp és: A = (50 – 20,8) · 24,32/2 ++ 100 · 24,32 + 20,8 · 24,32/2 = 3.040 m.

(10 – 8)2 + 62 = x2; x = 6,325 m

Cada vessant de la teulada té:

– una llargada de: 0,7 + 50 + 0,7 = 51,4 m

– una amplada de: 6,325 + 0,7 = 7,025 m

La superfície de la teulada és: A = 2 · (51,4 · 7,025) == 722,17 m

42

41

40

39

38

ESO Matemàtiques 3

Continguts

Concepte de funció.

Definicions de funcions.

Anàlisi de funcions.

Imatges i antiimatges.

Gràfic d'una funció.

Màxims i mínims d'una funció.

Funció constant.

Funció lineal.

Funció afí.

Pendent de les rectes.

Representació de funcions amb l'Excel i l'OpenOffice Calc.

Expressió d'una funció.

Estudi i interpretació del gràfic d'una funció.

Comparació del pendent de les rectes dels gràfics de funcions.

Càlcul del pendent i l'ordenada en l'origen de funcions.

Elaboració de gràfics.

Valoració positiva del caràcter de la matemàtica com a llenguatge que serveixper a entendre i analitzar determinats aspectes de la realitat.

Interès per contrastar les solucions obtingudes en algunes activitats amb lesdels altres companys.

Objectius didàctics

Definir i analitzar funcions.

Representar funcions.

Estudiar i interpretar el gràfic d’una funció.

Comparar el pendent de les rectes dels gràfics de funcions.

Calcular el pendent i l’ordenada en l’origen de funcions.

Elaborar gràfics.

59

6Funcions

constants,lineals i afins

ESO Matemàtiques 360

La piràmide del Louvre“La base d’una piràmide regular és un polígon regular itotes les cares laterals són triangles isòsceles iguals.”(Pàg. 172)

Aquesta activitat pretén aprofundir en els càlculs bàsicsd’àrea i volum d’una piràmide referits a una construccióreal: la piràmide que hi ha a les portes del Museu delLouvre a París.

Llegeix aquest text sobre la piràmide del Museu delLouvre a París:

La piràmide del Louvre és una construcció situada al patidel Museu del Louvre a París. Serveix com a entrada al’edifici i va ser dissenyada per l’arquitecte Ieoh Ming Pei.Té una altura de 21,65 m i una llargada de 53,4 m. Disposad’un total de 673 panells de vidre laminat transparent,dividits en 603 rombes i 70 triangles. El pes total del’estructura és de 180 tones. La seva inclinació, com passaamb les piràmides egípcies, és de 51º.

A partir d’aquestes dades, calcula aquestes mesuresde la piràmide del Louvre:

– L’apotema de la base

– L’aresta lateral

– L’altura del triangle que forma la cara lateral

– L’àrea de la base

– L’àrea lateral

– L’àrea total

– El volum

Ara calcula el pendent de les arestes laterals.

– Explica com ho fas.

Unitat 6 Recursos didàctics

Pàgines 190 i 191

ESO Matemàtiques 3 61

Solucionari Unitat 6

Informació

Resposta oberta. Model de resposta: l’evolució de latemperatura del cos al llarg d’un dia.

La recta de color groc és la que té un pendent més gran(s’apropa més a la verticalitat).

Reportatge

Pel que es pot veure en el tacògraf, el vehicle no vasobrepassar els 100 km/h en cap moment.

El conductor va estar aturat fins a les 9 h 20 minuts;després també es va aturar entre les 10 h i les 12 haproximadament.

El tacògraf dibuixa la velocitat en funció del temps. Eldomini és (0, 120].

Resposta oberta. El tacògraf és obligatori per alscamions i els autobusos.

4

3

2

1

Pàgina 210

Pàgina 207

Pàgina 196

Pàgina 194

2

1

Pàgina 192

Activitats

Imatges:

Antiimatges:

Funció constant: F.

Funció lineal: B.

Funcions afins: D, E.

Altres funcions: A, C.

a a = 5/2, b = 1/2; funció afí (a i b són diferents de 0).

b a = 4/5, b = 17/5; funció afí (a i b són diferents de 0).

c a = –7/4, b = –1/4; funció afí (a i b són diferents de 0).

d a = 16/3, b = 13/3; funció afí (a i b són diferents de 0).

e a = 3/2, b = 0; funció lineal (b és 0 i passa pel punt (0,0)).

f a = 0, b = 2; funció constant (a és 0).

a f(x) = 3x; b f(x) = (–3/4)x + (5/4); c f(x) = 2

Substituir la x i la f(x) per les coordenades de cada punt icomprovar si es verifica la igualtat:

a a = 2, b = –1; b a = –1/3, b = 0; c a = 1, b = 2; d a = 0,b = 3; e a = 0, b = 0; f a = 1/5, b = –7.

a blau; b marró; c groc; d taronja; e verd; f vermell.

a (0, 3), (–3, 0); b (0, 0); c (0, 5), (5, 0); d (0, 2); e (x, 0),tots els punts de l’eix de les x; f (0, –7), (–35, 0).

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Pàgina 212-217

A quina altura es troba la pedra després de 5 s dedeixar-la caure?Quan han passat 5 s la pedra és a una altura de y =200 – 4,9 · 52 = 77,5 m.

Quina és la imatge de x0?La imatge de xo és yo.

Quin tipus de funció és la representada en aquestgràfic?La funció representada en el gràfic correspon a unafunció afí: f(x) = ax + b.

A B C D E F

f(–2) –7 –1 –5/2 11 –1/4 –1/2

f(0) –1 0 –3/2 1 –1/2 7/2

f(3) 8 3/2 0 1 1 19/2

f(3/4) 5/4 3/8 –9/8 –11/16 –4/5 5

A B C D E F

y = 1 –1/2 5/3 5/3 –0,793,79 1 –2

y = 0 –1 0 1/3 –0,563,56 - –4

y = 3 1/2 5 13/3 –1,194,19 –1/3 2

y = –5 –7/2 –25/3 –19/3 No potser –7/5 –14

Funció f(x) g(x) h(x) i(x) j(x) k(x)

Punts B B D - C D

ESO Matemàtiques 362

Unitat 6 Solucionari

D’esquerra a dreta i de dalt a baix:

f(x) = (2/3)x; a = 2/3, b = 0; és una funció lineal.

f(x) = 2; a = 0, b = 2; és una funció constant.

f(x) = x – 1; a = 1, b = –1; és una funció afí.

f(x) = –x + 3; a = –1, b = 3; és una funció afí.

f(x) = (3/2)x – 3; a = 3/2, b = –3; és una funció afí.

f(x) = x/3; a = 1/3, b = 0; és una funció lineal.

En els dos primers gràfics només s’indica un punt, en elprimer perquè en ser una funció lineal sabem que tambépassa pel punt (0, 0), i en el segon perquè en ser unafunció constant amb un punt n’hi ha prou.

En els gràfics que corresponen a una funció afí calendos punts per tal de plantejar un sistema d’equacions ideterminar el valor de a i b.

Funcions:

Resposta procedimental. No correspon a una rectaperquè no té una variació constant.

A les 12 h del matí tenia 40 ºC i a les 6 de la tarda tenia39,7 ºC.

La temperatura ha estat de 37 ºC a les 6 h, a les 13,30 hi a les 16.45 h.

La temperatura ha pujat entre les 15 h i les 20 h.

Intervals de creixement: (6, 12), (15, 20); intervals dedecreixement: (0, 6), (12, 15), (20, 24).

Ha tingut la temperatura més alta a les 20 h i la mésbaixa a les 15 h.

Resposta procedimental.

Per 2 hores i 10 minuts s’ha de pagar 2,10 euros.

Si ha pagat 3,30 euros, hi ha estat entre 4 i 5 hores.

14

13

12

11

10 a La variable independent és la distància recorreguda. Lavariable dependent és l’altura.

b De forma aproximada:

Puja – intervals de creixement: (0, 24) U (31, 64) U (74,95,3) U (114, 120) U (126, 164)

Baixa – intervals de decreixement: (24, 31) U (64, 74) U(95,3, 114) U (120, 126) U (164, 166,2)

c a) (1.490 – 680/64.000 – 45.200) · 100 = 4,3 %; b) (620– 1.570/109.500 – 95.300) · 100 = –6,7 %; c) (1.290 –– 620/120.000 –109.500) · 100 = 6,38%; d) (1.910 –– 890/166.200 – 130.700) · 100 = 2,87 %.

d, e i f Resposta procedimental. Per fer el gràfic de lavelocitat, hauríem de conèixer el temps emprat. Enqualsevol cas, podem suposar que a les pujades hananat més lents, especialment a les zones on elpendent és més gran, i que a les baixades han anatmés ràpids, especialment a les zones on el pendentés més negatiu.

a Resposta procedimental. Es recomana fer el gràfic dela funció en un paper mil·limetrat.

b f(10) = –4,25 ºC; f(50) = –1,25 ºC; f(60) = –0,5 ºC;f(3’50”) = 9,25 ºC

c Les antiimatges de 40 ºC són x = 640 s i x = 2.640 s;les de 10 ºC són x = 240 s i x = 2.940 s; la de 0 ºC és[66,67, 106,67] s.

– El màxim de la funció s’assoleix als 1.440 s i val 100 ºC.

– El mínim de la funció s’assoleix al principi, és a dir, als0 s i val –5 ºC.

– Intervals de creixement: [0, 66,67) U (106,67, 1.440)

– Intervals de decreixement: (1.440, 3.000]

– h(5) = 1,172 m.

– h(40) = 5 m.

– El domini d’aquesta funció és (0, 80).

– Quan la pilota assoleix una altura de 3 m, pot estar auna distància de 14,7 m o de 65,3 m.

– La pilota arriba a una distància de 80 m.

17

16

15

Funció f(x) g(x) h(x) i(x) j(x) k(x)

Creixement (0, �) - (-�, 0) (-�,–1)U (1, �) [0, �) (0, �)

Decreixement (-�, 0) (0, �) (0, �) (–1, 1) - (-�, 0)

Màxim relatiu - - (0, 2) (–1, 2) - -

Mínim relatiu (0, 0) - - (1, –2) (0,0) (0, –1)

Domini (-�, �) (0, �) (-�, �) (-�, �) [0, �) (–�, �)

ESO Matemàtiques 3

Continguts

Variables estadístiques.

Freqüència absoluta i freqüència relativa.

Paràmetres de tendència central: Moda, mitjana i mediana.

Paràmetres de dispersió: Rang, desviació mitjana i desviació tipus.

Sèries temporals i nombres índex.

Càlcul de paràmetres estadístics amb l'Excel i l'OpenOffice Calc.

Presentació de dades estadístiques mitjançant taules.

Presentació de dades estadístiques mitjançant gràfics.

Càlcul de mitjanes.

Càlcul de modes.

Càlcul de medianes.

Estudi de la dispersió d'una distribució.

Càlcul de desviacions mitjanes.

Càlcul de desviacions de tipus �.

Càlcul de coeficients de variació �.

Elaboració de gràfics de sèries temporals.

Interès per la interpretació de gràfics.

Hàbit de representar, mitjançant gràfics, la informació que necessitem perresoldre problemes.

Objectius didàctics

Calcular paràmetres estadístics.

Presentar dades estadístiques mitjançant taules.

Presentar dades estadístiques mitjançant gràfics.

Calcular mitjanes, modes i medianes.

Estudiar la dispersió d’una distribució.

Calcular desviacions mitjanes i de tipus ‰.

Calcular coeficients de variació.

Elaborar i interpretar gràfics de sèries temporals.

63

7Estadística

ESO Matemàtiques 364

L'estadística de la meteorologia“L’estadística és la ciència que avalua lescaracterístiques d’una població de forma numèrica.També fa prediccions del comportament de lespoblacions en el futur. En estadística, una població és unconjunt d’elements dels quals estudiem alguna oalgunes característiques.” (Pàg. 223)

Aquesta activitat serveix per aprofundir en el càlcul delsparàmetres estadístics a partir d’una sèrie de dadesreals, en aquest cas, corresponents a la meteorologia.

– Entra en la pàgina web de l’Infomet(http://infomet.am.ub.es/clima), en la qual trobaràsresums meteorològics de moltes poblacions catalanes.

– Si hi és la teva població, selecciona-la; en cas contrari,tria la que vulguis.

– Ara, tria el mes del qual vols fer l’anàlisi estadística. Noagafis el mes actual perquè les dades no serancompletes.

– Quan hi accedeixis, trobaràs:

– El resum del mes, en valors mitjans i valorsextrems.

– El resum diari, amb dades sobre la pluja, latemperatura, la humitat, la pressió, la velocitat delvent, etc.

– Gràfics: temperatura-dia, humitat-dia, etc.

– Tria una d’aquestes magnituds (per exemple, lahumitat), vés a la columna de valors mitjans i completala taula següent:

– Agafa la mateixa magnitud i el mateix mes, però d’unaaltra població, el més allunyada possible de la teva.Torna a omplir la taula anterior i compara els resultatsobtinguts a les dues poblacions.

– Pots fer el mateix amb altres magnituds, altrespoblacions, etc.

Unitat 7 Recursos didàctics

Pàgines 220 i 221

Paràmetres de centralització Paràmetres de dispersió

MitjanaDesviaciómitjana

Mediana Desviació tipus

ModaCoeficient de variació

ESO Matemàtiques 3 65

Solucionari Unitat 7

Informació

Resposta procedimental. Es pot consultar aquestapàgina web:http://es.wikipedia.org/wiki/Poblaci%C3%B3n_humana

La tendència de la població mundial és continuar creixent.

Resposta procedimental.

Resposta procedimental.

Reportatge

– L’IPC serveix per estudiar l’increment de les despesesfamiliars com a conseqüència de l’increment de preus.

– Es calcula respecte a l’any 1996.

– Es divideix en 12 grups de preus.

– L’índex general es calcula a partir d’una mitjanaponderada dels índexs dels diferents grups de preus.

– S’utilitza per negociar la pujada dels sous delstreballadors, els lloguers dels habitatges, la inflació,etc.

– L’increment anual dels sous i les pensions es calculasobre la base de l’IPC.

Pàgina 237

Pàgina 231

Pàgina 223

4

3

2

1

Pàgina 222

Activitats

Resposta oberta. Exemple: població estadística:alumnes de 3r d’ESO; variable estadística: nombre degermans, altura, pes, color dels ulls, etc.

Edat: quantitativa discreta; població: quantitativadiscreta; mitjà de transport: qualitativa nominal;golejadors: qualitativa nominal.

Resposta oberta.

a Tants per cent:

b La composició de les famílies a Catalunya i Espanyaera similar l’any 2001.

c En totes dues distribucions la moda és 2.

d En totes dues distribucions la mediana és 3.

e La mida d’Espanya és 14.270.656 i la de Catalunya és2.332.751.

Resposta oberta i procedimental.

Resposta procedimental. En el gràfic de barress’observa que la distribució (llars segons nombre depersones) és similar.

6

5

4

3

2

1

Pàgina 238-243

Quin tipus de variable estadística és “color delscotxes”?El color dels cotxes és una variable estadísticaqualitativa nominal.

Com podem comparar les dispersions de lesdades de dues variables diferents?Per comparar les dispersions de les dades de duesvariables diferents cal agafar mostres iguals.

Espanya Catalunya

1 20,7 % 21,4 %

2 25,2 % 27,9 %

3 21,1 % 22,3 %

4 21,4 % 19,8 %

5 7,6 % 5,8 %

6 i més 3,9 % 2,6 %

ESO Matemàtiques 366

Unitat 7 Solucionari

Resposta procedimental.

Nombre d'hores d'estudi de l'alumne els darrers 30 diesxi fi xi · fi Ixi – xI · fi (xi – x) (xi – x) · fi

0 4 0 9,06666667 20,55111111 6 6 7,6 9,626666672 9 18 2,4 0,643 4 12 2,93333333 2,151111114 4 16 6,93333333 12,01777785 2 10 5,46666667 14,94222226 1 6 3,73333333 13,9377778

30 2,26666667 1,27111111 5,70861063

– La mitjana aritmètica val 2,26666667.

– La desviació mitjana val 1,27111111.

– La desviació típica val 5,70861063.

– El primer alumne té una mitjana de 84/30 = 2,8 h/dia.

– El segon alumne té una mitjana de 48/30 = 1,6 h/dia.

– El tercer alumne té una mitjana de 60/30 = 2 h/dia.

– L’alumne que ha estudiat més ha estat el primer,perquè té una mitjana aritmètica de les hores d’estudidiàries més gran que els altres dos.

Nombre d'hores d'estudi del 1r alumne els darrers 30 diesxi fi xi · fi Ixi – xI · fi (xi – x) (xi – x) · fi

0 6 0 16,8 47,041 5 5 9 16,22 5 10 4 3,23 3 9 0,6 0,124 1 4 1,2 1,445 4 20 8,8 19,366 6 36 19,2 61,44

30 2,8 1,98666667 7,28991476

Nombre d'hores d'estudi del 2n alumne els darrers 30 diesxi fi xi · fi Ixi – xI · fi (xi – x) (xi – x) · fi

0 2 0 3,2 5,121 12 12 7,2 4,322 13 26 5,2 2,083 2 6 2,8 3,924 1 4 2,4 5,765 0 0 0 06 0 0 0 0

30 1,6 0,69333333 3,64005494

Nombre d'hores d'estudi del 3r alumne els darrers 30 diesxi fi xi · fi Ixi – xI · fi (xi – x)(xi – x) · fi

0 0 0 0 01 0 0 0 02 30 60 0 03 0 0 0 04 0 0 0 05 0 0 0 06 0 0 0 0

30 2 0 0

9

8

7– El primer alumne és qui té més desviació (1,986)

respecte a la mitjana i el tercer és qui en té menys (0).

– La desviació d’una dada de la variable és la diferènciaentre la variable i la mitjana.

– Dels valors de la desviació mitjana es pot deduir que elprimer alumne és molt variable en el nombre d’horesque estudia cada dia, que el segon ho és una micamenys i que el tercer estudia cada dia el mateixnombre d’hores.

– Cert: el primer alumne és el que estudia més horesperò és el menys constant.

– Cert: el tercer alumne no és el que menys horesestudia però és el més metòdic i constant.

– Cert: el segon alumne és el que menys hores estudia iés força constant.

– El gràfic que té els valors més concentrats al voltantde la mitjana és el del tercer alumne i el que els témenys concentrats és el del primer alumne.

– Si la dades estan molt concentrades al voltant de lamitjana, la desviació mitjana és molt petita; en canvi, siestan més disperses, la desviació mitjana és més gran.

Pesxi fi xi · fi Ixi – xI · fi (xi – x) (xi – x) · fi

42,5 1 42,5 24,74 612,067647,5 10 475 197,4 3.896,67652,5 54 2.835 795,96 11.732,450457,5 130 7.475 1.266,2 12.332,78862,5 232 14.500 1.099,68 5.212,483267,5 219 14.782,5 56,94 14,804472,5 165 11.962,5 867,9 4.565,15477,5 113 8.757,5 1.159,38 11.895,238882,5 54 4.455 824,04 12.574,850487,5 17 1.487,5 344,42 6.977,949292,5 4 370 101,04 2.552,270497,5 1 97,5 30,26 915,6676

1.000 67,24 6,76796 33,0130758

10Variable Mitjana Desviació

tipusCoeficient de variació

Pes 67,24 33,01030758 49,09325934

Alçada 173,3 20,7699459 11,9849659

ESO Matemàtiques 3 67

Solucionari Unitat 7

Alçadaxi fi xi · fi Ixi – xI · fi (xi – x) (xi – x) · fi

147,5 3 442,5 77,4 1.996,92152,5 10 1.525 208 4.326,4157,5 40 6.300 632 9.985,6162,5 87 14.137,5 939,6 10.147,68167,5 204 34.170 1.183,2 6.862,56172,5 273 47.092,5 218,4 174,72177,5 208 36.920 873,6 3.669,12182,5 85 15.512,5 782 7.194,4187,5 47 8.812,5 667,4 9.477,08192,5 27 5.197,5 518,4 9.953,28197,5 10 1.975 242 5.856,4202,5 6 1.215 175,2 5.115,84

1.000 173,3 6,5172 20,7699459

– Si ens fixem en la desviació tipus, veiem que la variable“pes” té les dades més disperses. Si ens fixem en elcoeficient de variació, comprovem que és cert.

– El coeficient de variació permet comparar lesdispersions de les dades de dues variables diferents.

– La població de Barcelona va decréixer fins a l’any2000, en què va començar a créixer.

– La tendència de les dades fa pensar que la població deBarcelona de l’any 2003 va créixer.

a Des de l’any 2001 fins al maig de 2003 els preus esvan incrementar un 8 %.

b Al final de l’any 2003 l’increment va ser d’un 11,6 %.

c L’increment de preus el 2003 va ser 111,6 – 107,8 == 3,8 %.

d Durant l’any 2003 els preus dels aliments van anantpujant cada mes. Al principi van baixar lleugerament,però després les pujades van ser la línia dominant.

e Amb aquestes dades es pot intuir que al gener del’any 2004 els preus continuaran pujant.

f Resposta procedimental.

12

11

Evolució demogràfica de Catalunya (milers d’habitants)

– Resposta oberta. Model de resposta: L’evoluciódemogràfica de Catalunya va ser pràcticamentexponencial fins a l’any 1981. A partir de llavors elcreixement ha estat sostingut però més lineal.

13

Any 1857 1900 1940 1981 1991

Població 1.625 1.966 2.891 5.956 6.059

Índex 100 82,65 100 147,05 302,95 308,19

Any 1996 1998 1999 2000

Població 6.090 6.148 6.209 6.262

Índex 100 309,77 312,72 315,82 318,51

ESO Matemàtiques 3

Continguts

Fenomen o fet.

Experiments i esdeveniments.

Esdeveniments dependents i esdeveniments independents.

Distinció dels fenòmens aleatoris dels que no ho són.

Àlgebra de Boole.

Assignació de probabilitats.

Regla de Laplace.

Recompte de casos.

Càlcul de probabilitats.

Simulació del llançament d'un dau amb l'Excel i l'OpenOffice Calc.

Comparació de fenòmens aleatoris i deterministes.

Assignació de probabilitat a esdeveniments elementals per mitjà defreqüències absolutes.

Assignació de probabilitat a esdeveniments no elementals.

Assignació de probabilitat a un esdeveniment per mitjà de la regla de Laplaceen el cas d'espais equiprobables.

Recompte de casos favorables i casos possibles.

Reconeixement de la utilitat de l'estadística.

Hàbit de fer tractaments estadístics a partir de dades quotidianes (nombres,preus, resultats esportius, etc.).

Objectius didàctics

Distingir els fenòmens aleatoris dels que no ho són.

Assignar i calcular probabilitats.

Fer recomptes de casos favorables i casos possibles.

Comparar fenòmens aleatoris i deterministes.

Reconèixer la utilitat de l’estadística.

Treballar l’hàbit de fer tractaments estadístics a partir de dades quotidianes.

69

8Probabilitat

ESO Matemàtiques 370

L'atzar i la probabilitat

“En un fenomen aleatori mai no es pot predir el resultatdels experiments que es fan. Tots els jocs d’atzar sónexemples de fenòmens aleatoris. La probabilitat és unapart de les matemàtiques que tracta l’estudi delsfenòmens aleatoris.” (Pàg. 249)

La pàgina web del Projecte Descartes permetrà alsalumnes aprofundir en els conceptes bàsics de laprobabilitat d’una manera força visual i interactiva.

– Entra en la pàgina web proposada, navega-hi i fes elsexercicis. Després, feu una posada en comú a classe icorregiu entre tots els exercicis.

– Accedeix a la secció referent a l’atzar i la probabilitatde la pàgina web del projecte Descartes:http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Azar_y_probabilidad/index.htm

– Navega per totes les seccions i vés fent tots elsexercicis proposats de manera interactiva. Anota elsresultats obtinguts en el teu quadern.

Ara, contesta:

• De totes les aplicacions interactives, quina t’ha agradatmés?

• Algun experiment t’ha sorprès perquè esperaves queel resultat seria diferent?

NOTA: En la pàgina web del projecte Descartes potstrobar moltes aplicacions interessants. Accedeix al seuíndex d’unitats didàctiques de 3r i 4t d’ESO i aprofita elsrecursos que consideris més convenients:http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php#3_eso

Unitat 8 Recursos didàctics

Pàgines 246 i 247

ESO Matemàtiques 3 71

Solucionari Unitat 8

Informació

Resposta oberta. Exemple: vent, pluja, sol, etc.

Resposta oberta. Exemple: lleis de Newton.

Resposta oberta. Exemple: daus, cartes, bingo, loteria,etc.

Resposta procedimental. Si es repeteix moltes vegadesl’experiment, pràcticament tots dos guanyen lesmateixes vegades.

Reportatge

– Probabilitat de la intersecció:

P(A � F) = P(A/F) · P(F); 8/30 = 8/15 · 15/30; es verifica.

P(B � F) = P(B/F) · P(F); 2/30 = 2/15 · 15/30; es verifica.

P(C � F) = P(C/F) · P(F); 2/30 = 2/15 · 15/30; es verifica.

– L’esdeveniment que condiciona és F i els altres, A, B iC, són condicionats.

– A i B són independents.

– P(A/B) = 0; P(A « B) = 0

Pàgina 264

Pàgina 257

Pàgina 249

4

3

2

1

Pàgina 248

Activitats

a aleatori; b determinista; c determinista

Resposta oberta.

a {1}, {2},{3},{4},{5},{6},{7},{8},{9},{10},{11},{12}

b = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11, 12}

c L’espai d’esdeveniments té 212 elements.

d Resposta oberta.

e A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}; B = {3, 6, 9, 12}

f A � B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}; A � B = {6, 12}

g “Que surti parell i múltiple de 3”

h “Que surti parell o múltiple de 3”

i “Que surti múltiple de 4” = {4, 8, 12}

j Esdeveniment segur = “que surti 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, 10,11 o 12” = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11, 12};esdeveniment impossible = { }

k Compatibles: 4, 5; incompatibles: 1, 2, 3, 6

Euro = {Ce,Xe}; Dòlar = {Cd,Xd}

Resposta procedimental. = {Ce Cd, Ce Xd, Xe Cd, Xe Xd}

– L’espai d’esdeveniments tindrà 24 elements.

– A = “que surtin dues cares” = {Ce Cd}; és format perdos esdeveniments elementals.

– A = {Ce Xd, Xe Cd, Xe Xd} =“que no surtin dues cares”.

– L’esdeveniment anterior té 3 elements.

– A té 1 element i el seu contrari 3. La suma dóna 4,que és el nombre d’elements de l’espai mostral.

– A � A =

– A � A = = {Ce Cd, Ce Xd, Xe Cd, Xe Xd}

a L’espai mostral és: = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11, 12}

b Resposta procedimental. S’obtenen totes aquestescombinacions, però després s’ha de fer la suma per acada parell.

c Resposta procedimental. S’han de marcar els parellssegüents:

A = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5),(4,1), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)}

B = {(1,2), (1,5), (2,1), (2,4), (3,3), (3,6), (4,2), (4,5),(5,1), (5,4), (6,3), (6,6)}

A � B = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1), (6,6)}

5

4

3

2

1

Pàgina 266-271

Quins fenòmens es poden predir, els aleatoris oels deterministes?Es poden predir els fenòmens deterministes, no pasels aleatoris.

Quin és l’esdeveniment contrari a “sortir múltiplede 3”?L’esdeveniment contrari és “no sortir múltiple de 3”.

{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), ( 2,2), (2,3), (2,4), (2,5),(2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4),(4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3),(6,4), (6,5), (6,6)}

ESO Matemàtiques 372

Unitat 8 Solucionari

A � B = {(1,1), (1,3). (1,5), (2,1), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1),(3,3), (3,5), (3,6), (4,2), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,3),(5,4), (5,5), (6,2), (6,3), (6,4), (6,6)}

d A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}; B = {3, 6, 9, 12}

e Resposta procedimental. S’han de marcar els parellssegüents:

A = “que surti múltiple de 5” = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1),(4,6), (5,5), (6,4)}

A = “que no surti un múltiple de 5” = la resta de parells.

Resposta procedimental. En principi, s’hauria de verificarl’experiment fet en la pàgina 254 del llibre i obtenir quela probabilitat que la xinxeta quedi en la posició tombaés de 0,33 i la probabilitat que quedi en posició pingu ésde 0,67.

La suma de les probabilitats dels esdevenimentselementals és: 1/12 + 1/4 + 1/12 + 1/4 + 1/12 + 1/4 = 1.

– La probabilitat que surti un nombre parell és: 1/4 + 1/4 + 1/4 = 0,75.

– La probabilitat que surti un nombre senar és: 1/12 + 1/12 + 1/12 = 0,25.

– La probabilitat que surti un nombre més gran que 2 és:1/12 + 1/4 + 1/12 + 1/4 = 2/3.

a Resposta procedimental.

b = {(C,1), (C,2), (C,3), (C,4), (C,5), (C,6), (X,1), (X,2),(X,3), (X,4), (X,5), (X,6)}

c L’espai d’esdeveniments té 212 elements.

d Cada esdeveniment elemental té una probabilitatd’1/12.

e “Que surti cara i múltiple de 3” = ; té 2 elements; laprobabilitat d’aquest esdeveniment és de 2 · 1/12 = 1/6.

f A = {(C,1), (C,2), (C,3), (C,4), (C,5), (C,6)}; P(A) = 1/2

B = {(C,5), (X,5)}; P(B) = 2/12 = 1/6

A � B = {(C,5)}; són compatibles; P(A � B) = 1/12

A � B = {(C,1), (C,2), (C,3), (C,4), (C,5), (C,6), (X,5)}; P(A � B) = 7/12

g A = {(C,2), (C,4) (C,6)}; P(A) = 3/12 = 1/4

L’esdeveniment contrari és: “que no surti ni cara i parell”; P(A) = 3/4

h C = {(C,3), (C,6)} P(C) = 2/12 = 1/6; D = {(X,3), (X,6)}P(D) = 2/12 = 1/6; Aquests esdeveniments sónindependents.

C � D = {(C,3), (C,6), (X,3), (X,6)}; P(C � D) = 4/12 = 1/3

P(C � D) = P(C) + P(D); 4/12 = 2/12 + 2/12; aquestaigualtat es dóna perquè P(C � D) = .

i Resposta oberta.

8

7

6

Nota: La combinació (x, y) correspon a treure una x amb eldau vermell i una y amb el dau groc. L’espai mostral és:

a Aquest espai mostral té 36 elements.

b És un espai uniforme perquè tots els esdevenimentselementals tenen la mateixa probabilitat.

c P(esdeveniment elemental) = 1/36

d A = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)}

e B = {(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1)}

f A � B = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1),(4,1), (5,1), (6,1)}

A � B = {(1,1)}

g P(A) = 6/36 = 1/6; P(B) = 6/36 = 1/6; P(A � B) = 11/36;P(A � B) = 1/36

h P(A � B) = P(A) + P(B) – P(A � B); 11/36 = 6/36 +6/36 – 1/36

P(A � B) = P(A) + P(B) – P(A � B) = 1/3 + 1/2 – 1/7 =29/42

Resposta procedimental.

Exemple: = {(P1, P2, P3, P4), (P1, P2, P3, P5), (P1, P2,P3, P6)…}

Per col·locar quatre cotxes DIFERENTS en set places depàrquing, hem de fer grups de quatre PLACES agafadesd’entre les set. L’ordre com posem els cotxes ésIMPORTANT.

Resposta procedimental. Aquesta situació es pot aplicarals grups que verifiquin les condicions següents:

– En cada agrupació surten tots els elements? Sí

– Es poden repetir elements en una mateixa agrupació?No

– Importa l’ordre dels elements? Sí

Resposta procedimental. No s’ha de fer l’arbre sencer,només cal plantejar-lo. Surten: 40 · 39 · 38 · 37 · 36 =78.960.960 grups de cinc cartes.

a Resposta procedimental.

b Es poden escriure 25 nombres de cinc xifres.

c En un byte es poden escriure 28 bits.

Amb les xifres 0 i 1 es poden escriure 216 nombres de16 xifres, 232 nombres de 32 xifres i 264 nombres de 64xifres.

15

14

13

12

11

10

= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), ( 2,2), (2,3), (2,4),(2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2),(4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

9

ESO Matemàtiques 3 73

Solucionari Unitat 8

a P(noi) = 14/25

b P(noia) = 11/25

c P(més de 14 anys) = 15/25

a P(vermella) = 7/12

b P(senar) = 7/12

c P(vermella i parell) = 3/12 = 1/4

d P(no senar) = 5/12

e P(ni vermella ni senar) = 2/12 = 1/6

a P(text, text) = 13/20 · 12/19 = 0,41

b P(text, novel·la) + P(novel·la, text) = 13/20 · 7/19 ++ 7/20 · 13/19 = 0,48

c P(novel·la, novel·la) = 7/20 · 6/19 = 0,11

– El nombre de travesses que es poden fer és de 314.

– La probabilitat de fer una travessa a l’atzar i que resultiguanyadora és 1/314.

P(dona, dona) = 10/20 · 9/19 = 0,237

P(home, dona) + P(dona, home) = 10/20 · 10/19 + 10/20 ·· 10/19 = 0,526

Un espai és uniforme quan tots els esdevenimentselementals de l’experiment aleatori que s’hi fa tenen lamateixa probabilitat.

Tenen espais uniformes els exercicis: 3, 4, 8, 9, 11, 12,13, 14, 15, 19, 20.

– L’espai mostral de l’exercici 5 agafat com la suma delsdos daus no és uniforme, ja que cada suma estàassociada a un nombre de combinacions diferents.

– A partir del resultat deduïm que l’experiment del’exercici 6 no és uniforme, ja que no tenen la mateixaprobabilitat els esdeveniments elementals.

– El dau de l’exercici 7 està desequilibrat i, per tant,l’experiment no és uniforme.

– Els exercicis 16, 17 i 18 tampoc no són uniformesperquè no tenen el mateix nombre d’elementsdiferents i això fa que les seves probabilitats tambésiguin diferents.

21

20

19

18

17

16

ESO Matemàtiques 3

Continguts

Les fases de la resolució d’un problema: comprensió de l’enunciat, planificacióde la resolució, resolució del problema i comprovació del resultat.

Estratègies per a la resolució de problemes: recomptes ordenats,generalitzacions, començar pel final, compatibilitat de condicions, estratègiesper jugar, cossos geomètrics nous.

La construcció manipulativa de políedres.

Objectius didàctics

Conèixer les fases de la resolució d’un problema: comprendre l’enunciat,planificar la resolució, resoldre el problema i comprovar el resultat.

Conèixer estratègies per a la resolució de problemes: a tercer treballem elsrecomptes ordenats, les generalitzacions, començar pel final, la compatibilitatde condicions, les estratègies per jugar, els cossos geomètrics nous.

75

9Estratègies per

a la resolució de problemes

ESO Matemàtiques 376

Problemes curiosos“Diem que tenim un problema quan des d’una situacióconeguda volem anar cap a una altra de desconeguda,en més o menys grau, i desconeixem el camí que calseguir.” (Pàg. 277)

A continuació, presentem una sèrie de “problemescuriosos” que es poden resoldre aplicant diferentsestratègies.

El problema del caminantUn home d’1,80 m d’alçada camina sobre l’equador i fatota la volta a la Terra. Haurà recorregut més longitud elseu cap o hauran estat els seus peus? I si fes la voltasobre l’equador de la Lluna?

En terenci, el jugador metódicEn Terenci és un jugador que quan disposa de dinersse’ls juga als daus. Sempre ho fa de la mateixa manera:guanyi o perdi, aposta la meitat dels diners que té; a lasegona jugada, aposta la meitat dels diners que téllavors; a la tercera jugada, la meitat dels diners que téllavors, i així successivament. Una tarda tenia 16 euros iva jugar 6 vegades; va guanyar tres cops i va perdre elsaltres tres. Amb quants diners va acabar?

Els tres fills de l'alfonsDos savis matemàtics, l’Alfons i l’Eva, passejaven pelcarrer quan l’Eva va preguntar a l’Alfons: “Tens fills.”L’Alfons li va contestar: “En tinc tres.” L’Eva va tornar apreguntar: “Quants anys tenen?” L’Alfons li va dir: “Elproducte de les seves edats és 36 i la suma de lesseves edats és igual al nombre de la casa que tenimdavant.” L’Eva va mirar el nombre de la csa de davant iva dir: “Em falta una dada.” L’Alfons va contestar: “És

Unitat 9 Recursos didàctics

Pàgines 274 i 275

cert: el meu fill gran es diu Alfons com jo.” Amb aquestadada, l’Eva ja va poder calcular les edats dels tres fills del’Alfons. Quines eren?

Dos ciclistes i una moscaDos ciclistes parteixen de dues ciutats diferents quedisten entre si 50 km i van a una velocitat de 25 km/h.Una mosca surt des d’una de les bicicletes fins a l’altravolant a 42 km/h. Quan troba l’altra bicicleta torna cap ala primera, sempre a la mateixa velocitat; així, fins queels dos ciclistes es troben. Quants quilòmetres harecorregut la mosca?

La mare de totes les guerresLewis Carroll va formular el problema següent: “En unaextraordinària guerra, almenys el 70 % dels combatentsva perdre un ull, el 75 % va perdre una orella, almenys el80 % va perdre una mà i el 85 %, una cama. Quants,almenys, van perdre els quatre òrgans?”

L'herència dels camellsUn cap àrab va deixar en herència 17 camells als seustres fills, els quals se’ls havien de repartir així: la meitatper al fill gran, la tercera part per al fill mitjà i la novenapart per al més petit. Davant la impossibilitat de fer ladistribució, van consultar un cadi, un home just, generósi gran matemàtic. Què va decidir el cadi?

El venedor de tarongesUn venedor ambulant es va proposar vendre un cistellde taronges a raó de 10 monedes cada 5 taronges. En elmoment de la venda va canviar d’opinió i va fer un grupamb les 58 taronges més grans i un altre amb les 57taronges més petites. Les grans les va vendre a 5monedes cada 2 taronges i les petites, a 5 monedescada 3 taronges. El resultat de les dues opcions és elmateix?

Tots aquests problemes i les seves solucions els potstrobar en aquesta pàgina web:http://www.geocities.com/Athens/Acropolis/4329/cumat.htm.

ESO Matemàtiques 3 77

Solucionari Unitat 9

Reportatge

Resposta procedimental.

V = c3; A = 6 · c2

Resposta procedimental.

Resposta procedimental.

Reportatge

– Un recorregut complet de la xarxa és quan podempassar per tots els seus segments de maneraconsecutiva, sense repetir-ne cap.

– Seqüència a, b, f, e, c, d, g: per passar de d a g hemde tornar a passar per e!; seqüència c, a, b, d, e, f, g:tampoc no és possible passar de d a e!

– No es pot fer cap recorregut complet de la xarxa 4perquè hi ha més de dos nusos imparells.

Pàgina 289

Pàgina 284

Pàgina 282

Pàgina 277

4

3

2

1

Pàgina 276

Activitats

a) En una xarxa rectangular de m x n podem veure: m · n ++ (m – 1) · (n – 1) + (m – 2) · (n – 2) + ... + (m – n + 1) · 1quadradets.

Resposta procedimental.

Per dins la xarxa de 4 x 4 x 4 cubs es formen 8 (= 23) cubs

Per dins la xarxa de 8 x 8 x 8 cubs es formen 216 (= 63)cubs.

Per dins una xarxa de n x n x n cubs es formen (n – 2)3

cubs.

Les dues naus xoquen quan: 8 · t = 5.000 – 12 · t; t == 250 min

– Un minut abans del xoc:

– La primera nau ha recorregut una distància de: x1 = 8km/min · 249 min = 1.992 km.

– La segona nau ha recorregut una distància de: x2 = 12km/min · 249 min = 2.988 km.

– Per tant, un minut abans del xoc les dues naus estanseparades 5.000 – (1.992 + 2.988) = 20 km.

– Si a mitjanit el tub és totalment ple, vol dir que hi haurà312 espores.

8

7

6

5

4

3

2

1

Pàgina 290-296

L’habitabilitat del planeta Terra, és un problema?Resposta oberta. Un excés de trànsit i l’habitabilitatdel planeta Terra són dos problemes que cal resoldre.

Hi ha problemes que es poden resoldrecomençant pel final?Hi ha problemes que es poden resoldre començantpel final i anant enrere.

Quins nombres has de recordar per poder seguirl’estratègia que s’explica en aquesta pàgina?Per poder guanyar aquest joc, hem d’intentar deixar 1,4, 7, 10, 13, 16 o 19 pedres.

Files 1 2 3 4 5 n

Triangles 1 5 13 27 49

Pisos 1 2 3 4 5 6 n

Cubs1

1 · 1

6

2 · 3

15

3 · 5

28

4 · 7

45

5 · 9

66

6 · 11n · (2n –1)

Pisos 1 2 3 4 5 n

Regions 2 3 – 4 4 – 6 5 – 8 6 – 10 (n + 1) –2n

Ratlles 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

Trossos 2 7 10 13 16 19 22 25 283n +

1

Hores 1 2 3 4 5 n

Espores331

932

2733

8134

24335 3n

ESO Matemàtiques 378

Unitat 9 Solucionari

– Serà ple fins a la tercera part una hora abans que siguiple; per tant, a les onze de la nit.

– Si el biòleg posa 3 espores al principi, després de nhores hi haurà: 3n + 1 espores. Per tant: 3n + 1 = 312/2; n= 10,369 h. El tub serà ple fins a la meitat a les 10 h22 min 8,65 s de la nit.

x – 3 +310 = 1; x = 123

15

El fet de participar vint jugadors significa que hi hauràeliminatòries en què algun jugador no haurà de participari passarà ronda.

– A la primera ronda es juguen 10 partits i, per tant,s’eliminen 10 jugadors. Queden 10 jugadors.

– A la segona ronda es juguen 5 partits i, per tant,s’eliminen 5 jugadors més. Queden 5 jugadors.

– A la tercera ronda un jugador passa directament i esjuguen 2 partits; per tant, s’eliminen 2 jugadors.Queden 3 jugadors.

– A la quarta ronda un jugador passa a la finaldirectament i els altres juguen un partit, el perdedordel qual queda eliminat.

– Els dos jugadors que queden juguen l’últim partit, la final.

En total s’han de jugar 10 + 5 + 2 + 1 + 1 = 17 partits. Perevitar que algun jugador passi directament de ronda sensejugar cap partit, s’ha de fer que el nombre de participantssigui una potència de 2 (per exemple: 24 = 16).

En aquest problema el millor és començar pel final i anarenrere.

– Posem nom als jugadors: A, B i C.

– Hem de suposar si han guanyat o perdut en cada partida.

– Hem de tenir en compte totes les possiblescombinacions; per tant, hi ha múltiples respostes.

– Exemple 1: Si A perd les tres partides:

– Exemple 2: Si A perd la primera partida, B perd lasegona i C, la tercera:

11

10

9

Dones = x; Homes = y

– Es pot plantejar aquest sistema: x + y = 25; y = x + 5.

– Els resultats són: x = 10 dones, y = 15 homes.

El punt de partida és el nombre 111.111. Fem la sevadescomposició factorial i el resultat és: 111.111 = 3 · 7 ·· 11 · 13 · 37.

Així doncs, les edats de tots els membres de la famíliasón 1, 3, 7, 11, 13 i 37 i l’edat del senyor Puig és 1 + 3 ++ 7 + 11 + 13 + 37 = 72.

El número de la casa de la doctora Numerati és el 37,els de les seves amigues són el 41 i el 43 i el seunúmero de telèfon és el 65231.

– La millor estratègia per guanyar és procurar deixardesprés de cada jugada 1, 4, 7, 10, 13, 16 o 19 pedres.Després, s’ha de procurar que la suma de la jugada del’altre i la teva sigui 3.

– Si els dos jugadors coneixen l’estratègia, el guanyadorserà el que no comença el joc. Si el que comença treuuna pedra, l’altre n’ha de treure dues i fer el que hemdit en el punt anterior; si el que comença en treu dues,l’altre ha de treure’n només una i actuar correctamentper poder guanyar.

– Per a n pedres l’estratègia és la mateixa: sempre hemde procurar deixar-ne una o un múltiple de 3 més una ifer que la suma de la meva jugada i la de l’altre sigui 3.

Suposem que l’aresta del cub és d’1 cm.16

15

14

13

12

Jugador Diners eniniciar el joc

Dinersdesprés dela 1a jugada

Dinersdesprés dela 2a jugada

Dinersdesprés dela 3a jugada

A 660 600 480 240

B 30 60 120 240

C 30 60 120 240

Jugador Diners eniniciar el joc

Dinersdesprés dela 1a jugada

Dinersdesprés dela 2a jugada

Dinersdesprés dela 3a jugada

A 390 60 120 240

B 210 420 120 240

C 120 240 480 240

Dona 1 2 3 4 n

Homes 6 7 8 9 n + 5

Nombresprimers

1, 2, 3 2, 3, 5 3, 5, 7 5, 7, 11 7, 11, 13 11, 13, 17 13, 17, 19

Producte 6 30 105 385 1.001 2.431 4.199

Nombresprimers

17, 19,23

19, 23,29

23, 29,31

29, 31,37

31, 37,41

37, 41,43

41, 43,47

Producte 7.429 12.673 20.677 33.263 47.027 65.231 82.861

Policub 8 12 18 27 36 54 100 n

A mínima(cm2) 28 38 54 78 96 138 258

A màxima(cm2) 34 50 74 110 146 218 402 4n +

2

ESO Matemàtiques 3 79

Solucionari Unitat 9

Resposta procedimental. Suposem que l’aresta del cubés d’1 cm.

- L’àrea exterior màxima d’un pentacub es dóna quanamaguem el mínim nombre de cares, que és 8, perquèhi ha quatre unions de cares i cada unió necessita 2cares. Per tant, l’àrea màxima és de 22 cm2.

- En canvi, l’àrea mínima es dóna quan amaguem elnombre màxim de cares, que és 10, perquè hi ha 5unions. Per tant, l’àrea mínima és de 20 cm2.

Observacions:

– Si al final en deixes 2, 3 o 4, l’altre n’agafarà 1, 2 o 3,respectivament, i tu seràs el perdedor. Això vol dirque, si pots, n’has de deixar 5.

– Si l’altre se n’adona, serà ell qui en deixarà 5. Perquèl’altre no te’n pugui deixar 5 en la tirada d’abans, tu noli’n pots deixar ni 6, ni 7, ni 8. Li n’has de deixar 9.

– Reiterant el procés d’aquesta forma veiem que el quehem de fer és anar saltant enrere de 4 en 4 per saber lesque hem d’intentar deixar per guanyar: 1, 5, 9, 13, 17.

– Sempre es pot aconseguir que la suma de les pedresretirades en dues jugades consecutives sigui 4.

– En resum, després de cada jugada has de procurardeixar 1, 5, 9, 13 17 pedres. A més, has de procurarque la suma de la jugada del contrincant i la teva sigui4. Així guanyaràs segur.

Per a n pedres, és a dir, si l’altre pot agafar 1, 2, 3 ... npedres després de cada jugada, has de procurar deixar1, n + 2, 2n + 3... pedres; a més, has de procurar que lasuma de la seva jugada i la teva sigui n + 1.

18

17