primeras prácticas calificadas de algebra lineal

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas

ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS

CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2011 - IICODIGO : CB-111DOCENTE : L. KALA, A. HUAMAN, R. CHUNG FECHA : 29.09.11

1.- Dadas las siguientes matrices

i jA a j i de orden 30 15

i jB b ij , min ,i jC c i j matrices cuadradas de orden 15

i jD d i j matriz de orden 15 20

Si Ti jA BC D E e

Calcular a) El término genérico de la matriz E.

b) El término de la fila 12 y columna 10 de la matriz E

2.- Calcular el siguiente determinante

1

1

1

1 2 3

2 3

2 3

2 3

n n n

n n n

n n n

n n n

a a n a

a a n a

a a n a

a a a n

3.- Si A y B son matrices cuadradas no singulares demostrar que:

1 1 1 11I AB A I I A B A B I A A I

4.- Sea la matriz

1 2 1

1 2 1

1 2 1

1 2 3

1 2 3

x n x

x n x

x n xB

x x

n x

donde 0x i 1,2,...,i n .

Si ( ), 0nB adj A , Calcular 1nA

si es que existe.

Victoria

PRÁCTICA CALIFICADA N° 1



CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2011– ICODIGO : CB-111DOCENTE : L. KALA, A. HUAMAN, R. CHUNG FECHA : 28.04.2011

1.- Calcular el siguiente determinante de orden n

1 3 5 7 2 1

1 3 5 2 3

2 1 3 2 5

2 2 2 1

n

x x n

x x x n

x x x x x

2.- Usando propiedades, calcular el valor de la constante k

1 5 3 5

2 2 15 15 3

3 10 3 3 2

5 0 6 1

6k

3.- Sean las matrices: A con elementos reales positivos,

1( )T TB C C C C es no singular donde1 1 1 1

0 2 1 1TC

X y B son matrices conmutables, siendo TX MM ,

B XA y0

0 0

0 0 0

a b c d

a e fA

a g

a

Hallar X (adj A)

4.- ijA a es una matriz simétrica de orden 3 con determinante negativo donde

11 2a , 13a b , 33 1a

9 3

( ) 7

1

a

adj A

b

donde 0, 3 1a a b . Calcular1

( (3 ))81

adj adj A

Victoria


Calcular

m

m

m

m

zzzzzz

A

10000

02000

000000

000600

00070

00008

!2!6!7!8 872210

B=

1 0 0 0 0

1 2 0 0 0

0 2 3 0 0

0 0 0 0 .

x

n x

n x

x



CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2010-IIICODIGO : CB-111DOCENTE : A. HUAMAN, G. TAFUR FECHA : 21.01.2011

1.- Dada la matriz

1 1 1 1 1

1 2 0 0 0

0 1 2 0 0

0 0 0 1 2 n n

A

2.- Sin desarrollar calcule la suma de determinantes

2 2 2 2 2

2

2 2

a b c a b a b bc a c

E b b c ac ac b bc

bc c aba c c

3.- Sean M, N, A y C matrices cuadradas de orden 4, donde

0

b b b

b b bM

b b b

b b

,

1 2 1 1

1 1 2 30,

0 3 2 1

1 2 3 0

A

y TN AA ,

además 1N XNX y 1X NM determine tX C C

4.- Dada la matriz

2 3 1

3 5 2

1 2 2

A

si B es la matriz triangular inferior tal que

tBB A2

4

3

BY

y tB X Y . Hallar la matriz X, sabiendo que eX Y son

matrices columna

Victoria




CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2010-IICODIGO : CB-111DOCENTE : A. HUAMAN, R. CHUNG FECHA : 17.09.2010

1.- Halle la determinante siguiente:

1 0 0 0 0 0

2 2 0 0

0 ( 1) 4 3 0 0

0 0 ( 2) 6 4 0 0

0 0 0 ( 3) 8 0 0

0 0 0 0 0 2( 1)

0 0 0 0 0 0 2

x

n x

n x

n x

n x

x n n

x n

2.- Si

1 1 2 2 3 3 4 4

1 1 2 2 3 3 4 4

1 1 2 2 3 3 4 4

1 1 2 2 3 3 4 4

4 4 4 4

4 4 4 4

4 4 4 4

4 4 4 4

x y x y x y x y

y z y z y z y z

z w z w z w z w

w x w x w x w x

=

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x x x x

y y y yk

z z z z

w w w w

calcule k

3.- Indicar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones (justifique su respuesta)

a) Si A es no singular entonces tI A y 1tI A

conmutan

b) Sea ija a de orden 3 SI ( ) ( )cofact BX cofact XB y 0XA B (matriz nula)

entonces la matriz A es diagonal sabiendo que B y X son simétricas no singulares.

4.- a) Si tA A con elementos enteros positivos y ( ) 16A Adj A y

5( )

5tAdj A A

calcular 1( 5 )Adj A A

b) 0 3

2 4

b o a

A b

a b a

con ,a b z y 0A si 1( ) 1adj A y

(3 )adj A 99

0

a b

Victoria




CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2010-ICODIGO : CB-111DOCENTE : L. KALA , A. HUAMAN, R. CHUNG FECHA : 30.04.2010

1.- Calcule el siguiente determinante

1 0 0 0 0 0

2 2 0 0 0 0

0 ( 1) 4 3 0 0 0

0 0 ( 2) 6 4 0 0

0 0 0 0 0 2( 1)

0 0 0 0 0 1 2

x

n x

n x

n x

x n n

x n

2.- Sean las matrices:( )ijA a j i de orden 30 x 5

( )ijB b ij y ( )ijC c min ,i j matrices cuadradas de orden 5

( ) 2ijD d i j matriz de orden 5 x 30

Si ( ) ( )TijA BC D E e , calcular el término genérico de E para i = 15 y j = 15

3.- Calcule el valor de la constante k2

2

2 2

1

1

y y y xy x

x x xy x y

x y xyx y xy

2 2 2

1 1 1

k x y z

x y z

4.- Sea

1 3

c o a

A b a c

c

done 0a , b y c enteros, 0A

( )adj A 0

3

y 1 3116

4adj A

Calcular 112A A si es que existe.

Victoria




CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2009-IIICODIGO : CB-111DOCENTE : A. HUAMAN, R. VASQUEZ FECHA : 22 .01.2010

1.- Indique la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones

a) Si A es una matriz antisimétrica de orden n entonces 0A

b) las matrices (I – A) y (I + A )-1 conmutan sabiendo que A es no singular

c) (I – A) (I + A )-1 es antisimétrica sabiendo que AAT = AT A = I

2.- Sea T TD CB A en donde

30 20ijA a i

, 20 10ijB b j

, 15 10ijC c i j

a) Calcule el elemento genérico de la fila i columna j de D.

b) Calcule el elemento genérico de la fila 10 columna 18 de la matriz D


1

2 1

3 2 1

4 3 2 1

1 2 ( 3) 1

x x x x

x x x

x x

x

n n n n

4.- Dadas las matrices

8 0 0 0

8 0 0

8 0

8

aA

b c

d e f

y

1 2 3 4

2 3 6 2

3 6 5 1

4 2 1 7

B

Hallar la matriz ( )TM adj CC siendo C matriz no singular tal que:B = M BM-1

M = B A-1.

Victoria




CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2009-IICODIGO : CB-111DOCENTE : A. HUAMAN, L. KALA FECHA : 18 .09.09


0 1 2 55! 4! 3!

5 0 0

0 4 0

0 0 0

a a a a

x

x

x

2.- Dada las matrices A y B

2 2 2

2

2 2

2

1

0 1

1

wyz wy z y xz xy x z yx

xw y yA

z y z zy y

xy w w

y

2 2 2 2

1 1 1 1

x y z w

Byzw xzw xyw xyz

x y z w

¿ ?A B . Justifique su respuesta.

3.- ¿La siguiente afirmación es verdadera o falsa?. Justifique su respuesta.

1 1 1 1 1t t t t t t t t t t t t tA B A A B I A A B A A B I A I A

4.- Dada la matriz 5 0

4

x z y

A z y

y x

Con determinante positivo donde 112 64adj A

si

110

5 75

110

A

calcule nA y 1nA

Victoria




CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2009 – ICODIGO : CB-111DOCENTE : A. HUAMAN, L. KALA FECHA : 24.04.09

1.- Usando propiedades, calcule la siguiente suma de determinantes

1 1 2 2 3 3 1 2 1 3

1 1 2 2 3 3 1 2 1 3

1 1 2 2 3 3 1 2 1 3

kx y kx y kx y x x x x

ky z ky z ky z y y y y

kz x kz x kz x z z z z

2.- Sean M, N, A y C matrices cuadradas de orden 4, donde

0

0 0

0 0 0

a b c

d eM

f

, 0 ,

1 2 1 1

1 1 2 3

0 3 2 1

1 2 3 0

A

y TN AA ,

1N XNX y 1X NM . Determine X si TX C C

3.- Calcular el siguiente determinante:

1

1

21

3

1

x x x x

x x x x

x x x x

x x x xn

!

k

n

Calcular el valor de la constante k.

4.- Sea A la matriz cuadrada de orden 3 ,

0

2 4

2

a a

A c

c b

donde el cofactor del

elemento 12a es 8 y el cofactor del elemento 32a es -2.

Si 0A , (2 ) 64adj A A . Calcular A y 1A .

Victoria




CURSO : ALGERA LINEAL CICLO : 2008 – IIICODIGO : CB-111DOCENTE : ALEJANDRO HUAMAN, RIQUELMER

VASQUEZFECHA : 23.01.09

1.-Sean las matrices A, B, C y D de orden 20 x 8, 8 x 20, 8 x 8 y m x n respectivamente,donde los elementos situados en k fila y columna j de cada matriz son :

i ja i j , ( 1)i jb i j , i jc ij , dij , si TT T TD c A B I

Calculea) ijd b) 7,1d

2.- Si A es una matriz de orden n

Halle

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

x a a a a a x

a x a x a a a

a a x a a aA

a a a x a x a

a a a a x

3.- Sin desarrollar calcule la suma de determinantes

2 2 2 2 2

2

2 2

a b c a b a b bc a c

b b ac ac b bc

bc c aba c c

4.- Calcule el determinante

2 4

2

2 4

2

1 1

1 1 1

1 2 3 4

4 3 2 1

x x

x

x x

x

Victoria




CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2008 – IICODIGO : CB-111DOCENTE : R. VASQUEZ, A. HUAMAN FECHA : 19.09.08

1.- Sean las matrices F y G cuadradas de orden 12, en donde el elemento de la matriz1

( )2

F G ubicado en la fila i columna j es i +2j , T TF F G G , 2 2D F G FG ,

calcule:a) El elemento de la fila i, columna j de la matriz Db) El elemento de la fila 10, columna 10 de la matriz D

2.- Calcule sin desarrollar (utilizando propiedades)

2

2

2 2 2

1

1

a a b a bc

b b a b ac

c c a c c ab

3.- Calcular el siguiente determinante de orden n

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

a

a

a

a

4.- Sea

2 4a b

a c dA

c b

d a c e

una matriz en donde:

0e , TAdj A AdjA , 400A , calcule: TTAdj AdjA AdjA

Victoria




CURSO : ALGEBRA LINEAL CICLO : 2008 - ICODIGO : CB-111 U-V-W-XDOCENTE : A. HUAMAN- L. KALA- R. VASQUEZ FECHA : 25.04.08

1.- Usando las propiedades (sin desarrollar los determinantes), calcular la constante k.

2

2

1

1

x y

x xy y

x xz z

+2 2

1 1

1

z

x yz z kI

x y z yz

2.- Sean las matrices A, B, C, D y F donde

40 2

2ijA a ij

2

3 si ó 1

2 si ó 2iji j j i i j

C cj i i j i j

2 240 2ijD d i j

2 40

2ijE e j

8( )T T TD A C B T TF A B CE

a) Hallar el término situado en la fila i y columna j de la matriz F

b) Hallar el término de la fila 2 y columna 32 de la matriz F

3.- Si A, B, C, D son matrices: de orden n x n, n x m, m x n, m x m respectivamente entonces.Demuestre que:

11 1 1 1 1 1A BDC A A B D CA B CA

4.- Sea la matriz

4 5

3

3 5 1

a

A b c

donde 12 64| | 0,

3 729A adj A

325 124

( ) ( )Tadj A adj A

, 3

TijAA a donde 13 24a .

Calcular 1A A .

Victoria


primeras prácticas calificadas de algebra lineal

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