PRIMER CICLO DE EDUCACIÓN MEDIA

EJE: NÚMEROS Y OPERACIONES

I. NÚMEROS ENTEROS

Conocimientos Previos

Conocer el concepto de sucesor y antecesor en los naturales y el orden de dichos números

en la recta numérica.

Operatoria básica de números naturales (IN)

a) Orden y representación en la recta numérica

El conjunto de los números enteros incluye los enteros positivos, los enteros negativos y el

cero.

Los números que están a la izquierda del cero se llaman enteros negativos y los que están

a la derecha del cero se llaman enteros positivos. El cero no es positivo ni negativo.

Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…}

Orden

Un número entero a es menor que el entero b, si a está a la izquierda de b en la recta

numérica. Esto se simboliza: a < b.

Un número entero c es mayor que el entero d, si c está a la derecha de d en la recta

numérica. Esto se simboliza: c > d.

NOTA

Todo número negativo es menor que cualquier número positivo.

Todo número negativo es menor que cero.

Todo número positivo es mayor que cero.

Ejemplos

1. –5 < –3, porque –5 está a la izquierda de –3 en la recta numérica.

2. –3 > –5, porque –3 está a la derecha de –5 en la recta numérica.

0 - 1 -2 4 5 3 -5 1 2 -3 -4

b) Resumen del uso de enteros y del orden

1. ¿Qué significa que hay una temperatura de ?º22

2. ¿Qué significa que el buzo está a 15 metros?

3. ¿Cómo puede indicar con un número entero que en este momento hay 11º C bajo

cero?

4. ¿Cómo indica con un número entero que en la Antártica hay 5 grados Celsius bajo

cero?

5. ¿Cómo escribe con un entero que el mar hay un submarino que está a 1300 metros

de la superficie?

6. Alejandro Magno gobernó Macedonia des e año 336 antes de Cristo, escriba el año

con números enteros.

7. Ordena los siguientes números de menor a mayor:

a) - 3, 7, - 9, 6, 17, - 4 y 3.

b) 0, 3, - 25, - 7, 127 y - 201.

c) -17, - 27, -120, - 1000, 0 y 120.

8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

A. 2 < 5

B. –3 < 5

C. –3 < –4

D. –3 < 0

9. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A. – 6 es sucesor de – 4

B. – 6 es antecesor de – 4

C. – 6 es sucesor de – 5

D. – 6 es antecesor de – 5

Respuestas

1. Que hay 22 º bajo cero.

2. Que está a 15 metros de profundidad, bajo el nivel del mar?

3. – 11 º C

4. – 5 º C

5. – 1300 metros

6. año – 336.

7. Ordena los siguientes números de menor a mayor:

a) – 9 < – 4 < – 3 < 3 < 6 < 7 < 17

b) – 201 < – 25 < – 7 < 0 < 3 < 127

c) – 1000 < – 120 < v 27 < – 17 < 0 < 120.

8. C

9. D

c) Operatoria con números enteros.

Previamente recordaremos lo que es el valor absoluto de un entero.

Valor absoluto

Geométricamente el valor absoluto de un número corresponde a la distancia que hay

entre el número y el cero en la recta numérica.

Notación

El valor absoluto del número a se denota a .

Observa la recta numérica:

Los números 3 y 3, ambos, están a tres unidades del cero.

Por lo tanto, 333

Ejercicios 1

Calcule los siguientes valores absolutos:

1. 17 2. 173 3. 0

4. 173 5. 1017 6. 2517

Respuestas

1. 17 2. 173 3. 0 4. 173 5. 1017 6. 17+25

Reglas para la adición de números enteros.

Para sumar dos números enteros de igual signo se suman los valores absolutos de

dichos números y se conserva el signo.

Ejemplos:

1) 32

Como 22 y 33 , se suma como en los naturales y el resultado es 5.

2) )3(2

Como 22 y 33 , se suma 32 y se le coloca el signo menos, porque se

están sumando dos enteros negativos.

Para sumar dos enteros de distinto signo se restan los valores absolutos de dichos

números y la suma tiene el signo del número de mayor valor absoluto.

Ejemplos:

1. )3(12

Como 1221 y 33 , se resta 312 , el resultado es 9 y es positivo porque

el número de mayor absoluto es 12.

Por lo tanto, .9)3(12

2. 312

Como 1212 y 33 , se resta 312 , el resultado es 9 y es negativo,

porque el número de mayor absoluto es .12

Por lo tanto, .9)3(12

Ejercicios 2

Calcule las siguientes sumas:

1. )8()22(

2. )8(22

3. )8()17(

4. 78)17(

5. )61(78)17(

6. 49)77(78)171(

7. La temperatura inicial fue de – 7° C y descendió 17°, ¿cuál fue la temperatura final?

8. Si tres números enteros consecutivos suman cero. ¿Cuáles son los números?

9. ¿Cuál es el promedio entre el antecesor de –16 y el sucesor de –16?

10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta? Explique.

A. – 3 y 3 son números opuestos.

B. Si se suman dos números negativos el resultado es un número negativo.

C. La distancia de – 5 al 0 es mayor que la distancia del 2 al 0.

D. Al sumar un número positivo con un número negativo el resultado es siempre

negativo.

11. Un frigorífico tiene una temperatura de 30º C bajo cero. Debido a un corte de luz, la

temperatura subió 35º C. y, luego de una pronta solución al problema, se pudo bajar

provisoriamente en 17º C.

a) ¿Cuál es la temperatura después del corte de luz?

b) ¿Cuál es la temperatura después de la solución al problema del corte de luz?

12. Si un minero trabaja a – 27 metros, en el interior de una mina, ¿cuántos metros

deberá subir para llegar a la entrada de la mina que está a nivel del mar?

13. Dos mineros descendieron al interior de una mina. Uno trabaja en el primer corredor

subterráneo que está a –19 metros, es decir, a 19 metros de profundidad y el otro minero

trabaja en el segundo corredor subterráneo que está 15 metros más abajo que el primer

corredor. ¿A qué profundidad trabaja el segundo minero?

Respuestas

1. – 30 2. 14 3. – 25 4. 61 5. 0 6. – 121 7. – 24 8. – 1, 0 y 1 9. – 16

10. D 11. a) 5º C b) – 12º C 12. 27 metros 13. – 34 metros

La sustracción de números enteros

La sustracción de los entero b menos c, ,cb es igual a a b más el inverso aditivo de c.

Esto es: )c(bcb

Por lo tanto, la sustracción b-c es una notación para la suma de b más su inverso aditivo.

Ejemplos:

1) 32)3(2 , porque el inverso aditivo de 3 es 3.

2) )7(2257225 , porque el inverso aditivo de 7 es .7

3) 17`317)17(317 , porque el inverso aditivo de 17 es 17.

NOTA:

Para calcular el resultado se aplican las reglas de la adición.

1) 533

2) )7225()7(225

3) )17317(17`317

Ejercicios 3

Realiza las siguientes sustracciones:

1. )3(1 2. 1112

3. )11(13 4. 7715 .

5. )17(31 6. )11(530

7. )11(0 8. 1110

Respuestas

1. 2 2. 1 3. 24 4. – 92

5. – 14 6. 541 7. 11 8. – 111

La multiplicación y la división de números enteros Regla de los signos para la multiplicación y para la división de números enteros

Multiplicación

Signo del factor Signo del factor Signo del producto (resultado)

Ejemplo

+ + + 632

+ – – 6)3(2

– + – 63)2(

– – + 6)3()2(

División

Signo del dividendo

Signo del divisor Signo del cociente (resultado)

Ejemplo

+ + + 23:6

+ – – 2)3(:6

– + – 23:)6(

– – + 2)3()6(

Ejercicios 4

Calcule:

1) 5)4( 2) )4(67

3) )3()9( 4) )75(15

5) 5:)15( 6) )5(:)15(

7) – 15 : 3 = 8) )13(12

9) )15(15 10) )15(:15

11) )5(:)175( 12) )4(:516

13) )1(:525 14) )15(:0

Respuestas

1. – 20 2. – 268 3. 27 4. 1125 5. – 3 6. 3 7. – 5

8. – 156 9. 225 10. 1 11. 35 12. – 129 13. –525 14. 0

Ejercicios combinados

Nota importante:

Antes de resolver el ejercicio coloque paréntesis para indicar la prioridad de la operación

multiplicación o división, según se muestra en el ejercicio siguiente:

Ejemplo

Calcule:

))4(:24()37(12)4(:243712

Solución:

3

69

6)21(12

)6(2112

))4(:24()37(12)4(:243712

Nota:

Siempre se realizan primero las operaciones que están dentro de los paréntesis.

Ejercicios 5

Resuelva:

1. )3(715 2. 9)3(715

3. )3(6715 4. )3(:18615

5. 6)3(7315 6. 3)2()3)6(:)30(4

7. 7)5(36(2)30( 8. 7)5(536(33)30(

Respuestas

1. 36 2. 27 3. – 186 4. 15 5. 30 6. 14 7. – 182 8. – 336 .

d) Problemas con números enteros

1. Marcela y Matías se entretienen con un juego que ellos inventaron y en el cual hay

dos posibilidades cada vez que tiran el par de dados: o bien, obtener 12 puntos a

favor, o bien, 3 puntos en contra, esto es: –3 puntos. Si Marcela obtuvo: 12, –3, 12

y 12 puntos y Matías obtuvo: –3, 12, –3 y 12 puntos, ¿quién obtuvo mayor

puntuación?

2. En la Antártica, en la mañana se registró una temperatura de –9º C. Si durante la

tarde, la temperatura aumentó 10 grados y ésa fue la máxima del día, ¿cuál fue la

temperatura máxima ese día?

3. Margarita rindió un prueba de matemáticas y contestó 19 preguntas bien y 11

preguntas en forma incorrecta. ¿Qué puntaje obtuvo Margarita, si a cada pregunta

buena se le asignaron 10 puntos y a cada pregunta mala, –3 puntos?

4. Un edificio de consultas médicas tiene tres niveles de estacionamientos

subterráneos: subterráneos –1, –2 y –3; 11 pisos para consultas médicas, pisos

del 1 al 11 y, además, del piso de la recepción que está al nivel de la calle. Si José

estacionó su vehículo en el subterráneos –3 y el médico que lo atendería tenía su

oficina en el piso 10, ¿cuántos pisos debió subir José para llegar a la consulta?

5. Claudio tiene en su cuenta bancaria un saldo negativo de $270.000, esto es, tiene

–$270.000. Si esta deuda debe pagarla en 9 cuotas y sin intereses, ¿cuál será el

monto de cada cuota?

Respuestas

1. Marcela 2. 1º C 3. 157 puntos 4. 13 pisos 5. $30.000 .

II. NÚMEROS DECIMALES

a) Orden y representación en la recta numérica

Los números decimales, finitos o infinitos periódicos, es otra representación de los

números racionales.

Los decimales negativos están a la izquierda del cero, en la recta numérica, y los

decimales positivos están a la derecha del cero.

Los números racionales son los números de la forma b

a con a número entero y b número

entero distinto de cero.

Ejemplos

1) 5,02

1 2) 75,0

4

3 3) ....333333,0

3

1 4) 75,1

4

7

Orden

Un número decimal a, es menor que el número decimal b, si a está a la izquierda de b en

la recta numérica. Esto se simboliza: a < b

Un número decimal c es mayor que el número decimal d, si c está a la derecha de d en la

recta numérica. Esto se simboliza: c > d

NOTAS

- Todo número decimal negativo es menor que cualquier número positivo.

- Todo número decimal negativo es menor que cero.

- Todo número decimal positivo es mayor que cero.

- Los decimales negativos están a la izquierda del cero, en la recta numérica, y los

decimales positivos están a la derecha del cero.

Ejemplos

1. 0,45 > 0, porque está a la derecha del cero en la recta numérica

2. – 17,25 < - 16,233, porque – 17,25 está a la izquierda de - 16,233 en la recta numérica.

0 - 1 -2 7/4 1 2 -1,5 - 2/3 0,5

Ejercicios del uso de decimales y del orden

1. En la Antártica tuvieron las siguientes temperaturas mínimas en los últimos cinco días:

- 3º C, – 7º C, – 4º C, – 6º C y –3º C. ¿Cuál fue el promedio de las temperaturas

mínimas?

2. Andrea pasó a la tienda de productos naturales y compró 4

1 kilo de nueces, 0, 2 kilos de

almendras y 0,75 kilos de maní. Ordena los productos que compró de acuerdo con la

cantidad que compró.

3. Ordena las siguientes números de menor a mayor:

a) – 0,23 – 0,025, 0 0,27 – 2,05 – 3 – 3,27

b) 13,57 2,75 0 – 13,57 – 2,75

c) 0,25 – 0,10 – 0,01 – 0, 025 – 0,05

4. Dos amigos comparan sus alturas, uno de ellos, Alberto, mide 1,63 m mientras que el

otro mide 1,57 m ¿Quién de los dos es más alto?

5. María y Carolina, salieron en bicicleta. Carolina recorrió 3,25 kilómetros y María, 3,17

kilómetros. ¿Quién recorrió menos kilómetros?

6. Ayer quería comprar mandarinas y tenía $1500, pasé por dos locales en que vendían

mandarinas, en el primero me daban 1,7 kilos por los $1500 y en el segundo, me daban

1,45 kilos por los $1500. ¿Dónde me conviene comprar y por qué?

Respuestas

1. – 3,4 º C 2. almendras, nueces y maní. 3. a) – 3,27 < – 2,05 < – 0,23 < – 0,025 < 0 < 0,27

3. b) – 13,57 < – 2,75 < 0 < 2,75 < 13,57 3.c ) – 0,1 < – 0,0 5 < – 0, 025 < – 0,01 < 0,25

4. Alberto 5. María 6. En el primer local, porque recibirá más kilos. .

b) Operatoria con números decimales

Ejercicios 1

Realiza las siguientes adiciones:

1. 5,43,3 2. )5,0(05,1 3. 8,72,5

4. )65,3()2,1(5,0 5. )75,2345(25,222125,0 6. 002,002,0

Respuestas

1. 7,8 2. 0,35 3. 13 4. 4,35 5. – 124,75 6. – 0,018

Ejercicios 2

Realiza las siguientes sustracciones:

1. 93,743,19

2. 98,196,15

3. 57,377,17

4. )55,1745,27(95,233

5. 3)25,3773,2(

Respuestas

1. 11,5 2. – 4,38 3. 14,2 4. 224,05 5. – 42,98

Ejercicios 3

Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones

1. 725,17

2. 22,725,17

3. )01,5(85,9

4. 3:975,3

5. 03,0:18

6. 03,0:36,18

7. )03,0(:36,18

8. )03,0(:)36,18(

9. 03,0:)36,18(

Respuestas

1. 120,75 2. 124,545 3. – 49,3485 4. 1,325 5. 600 6. 612 7. –612 8. 612 9. –612

Ejercicios 4

Realiza las siguientes operaciones indicadas a la izquierda y a la derecha de los puntos

y, después, coloca < , o, > , según corresponda:

1. 2)35,2..(..........02,0:)3,25,3(

2. )22,3(2,21,13..........3,02,35,17

3. )03,02(6,0..........3,032,0:06,0

4. 37,0)3,1(7,2).........3,3(21,503,2

5. 323,03:])3,11()7,2([).........3,3(2)1,2()03,2(

Respuestas

1. 60 > 5,5 2. 16,54 > 8,26 3. – 0, 6 < 1,82 4. – 3,753 < – 3,14 5. 10,863 > 10.860

c) Problemas

1. Carlos averiguó que para retapizar los asientos de su automóvil necesita 2,7 metros

de tela para cada asiento delantero y 5,4 metros para el asiento trasero. Si el metro

de tapiz de lana le cuesta $35.000 y el de tela sintética le cuesta $14.500, cuál es la

diferencia total en el precio del tapiz de lana con respecto al sintético.

2. El automóvil de Francisca da, en la ciudad, 12,5 kilómetros por litro de bencina y el

litro de bencina que su auto necesita vale $845. Si el automóvil de Francisca,

durante la semana, recorrió 75 kilómetros, ¿cuántos litros de bencina consumió?

¿Cuál fue el gasto en dinero por esa bencina?

Respuestas

1.- $166.050 2.- $5.070

PRIMER CICLO DE EDUCACIÓN MEDIA EJE: DATOS Y PROBABILIDADES

III. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN.

Cuando se tiene un gran conjunto de datos es preciso ordenarlos y clasificarlos para

poder obtener información de ellos.

Para ordenar y presentar datos de una variable se usan tablas y gráficos. Tablas de

frecuencias: son tablas donde se colocan los diferentes valores que puede tomar una

variable y las frecuencias con que aparecen dichos valores en el conjunto de datos.

Tablas de doble entrada: son tablas donde se clasifican según dos criterios los elementos

de una muestra.

Ejemplo 1:

En un curso de 42 alumnos, 20 son hombres y 22 son mujeres. En la prueba de

matemáticas, 13 hombres y 16 mujeres sacaron nota 4 o más; 5 hombres y 4 mujeres

obtuvieron nota inferior a 4 y 2 hombres y 2 mujeres no asistieron a la prueba.

Estos datos los podemos presentar en la siguiente tabla de doble entrada, donde los

alumnos del curso se clasifican según los criterios sexo y nota:

Hombres Mujeres

Nota 4 o más 13 16

Nota inferior a 4 5 4

Ausentes 2 2

Para facilitar algunos cálculos podemos agregar una columna a la izquierda de la tabla

con los totales de alumnos que estuvieron en cada categoría de notas. Bajo la tabla

podemos agregar una fila con los totales de hombres y mujeres en el curso:

Hombres Mujeres Total

Nota 4 o más 13 16 29

Nota inferior a 4 5 4 9

Ausentes 2 2 4

Total 20 22 42

Ahora podemos responder algunas preguntas: a) ¿Cuántas personas obtuvieron nota 4 o más? ¿A qué porcentaje corresponde?

29 de las 42 personas obtuvieron nota 4 o más, lo que corresponde a un 69,05% de los

alumnos.

b) ¿Qué porcentaje de las mujeres obtuvo nota inferior a 4?

Debemos calcular qué porcentaje es 4 de 22. Luego, un 18,18% de las mujeres obtuvo

nota inferior a 4.

c) ¿Qué porcentaje de los alumnos que tuvieron nota 4 o más son mujeres?

De las 29 personas que obtuvieron nota 4 o más, 16 son mujeres, lo que corresponde a

un 55,17%.

Gráficos de barras múltiples: cuando queremos presentar gráficamente datos que están

clasificados según dos criterios, podemos usar un gráfico de barras múltiples.

Ejemplo 2:

Podemos presentar los datos del ejercicio anterior en el siguiente gráfico:

O también en el siguiente gráfico:

En el primer gráfico podemos observar cómo se distribuyen las notas de los hombres y

cómo se distribuyen las notas de las mujeres.

En el segundo gráfico podemos ver cuántos hombres y cuántas mujeres hay en cada

categoría de notas.

Gráficos circulares: estos gráficos resultan especialmente apropiados para presentar

datos de variables cualitativas. Para construir un gráfico circular (mal llamado a veces,

gráfico de torta), se divide el círculo en sectores. El ángulo del centro del sector que

representa a cada categoría debe ser proporcional a la frecuencia de la categoría. Se

acostumbra presentar en este gráfico las frecuencias porcentuales de cada categoría.

Ejemplo 3:

Se le pidió a un grupo de 50 personas que fueron a ver la película El Primer Tren, que la

calificaran como mala, buena o muy buena. Los resultados fueron:

Categoría Frecuencia Frecuencia Porcentual

Mala 10 20%

Buena 25 50%

Muy buena 15 30%

Total 50 100%

Como se ve en el gráfico, el sector correspondiente a la categoría “”Buena” ocupa un 50%

del círculo, el sector de la categoría “Muy buena” ocupa un 30% del círculo y el sector de

“Mala”, ocupa el 20%.

IV. INDICADORES ESTADÍSTICOS

También, es conveniente, cuando se tiene una gran conjunto de datos, resumirlos

mediante alguna medida o indicador que los represente. En esta ocasión estudiaremos

algunos de los indicadores llamados de tendencia central y de posición. Entre ellos

nombraremos a la moda, la media, la mediana, los deciles y los percentiles.

La moda de un conjunto de datos es aquel valor que aparece con mayor frecuencia (que

más se repite). En un conjunto de datos puede haber una moda, dos modas (si son dos

los valores con mayor frecuencia) o puede no haber moda.

La media o promedio o media aritmética de un conjunto de datos (numéricos) se obtiene

sumando los datos y dividiendo la suma por el número total de datos. El símbolo usado

habitualmente para representar a la media es X (X barra).

Si los datos aparecen en una tabla de frecuencias, la media se obtiene multiplicando cada

valor de la variable por su frecuencia para luego sumar estos productos y dividir la suma

por n.

La mediana de un conjunto de datos es aquel valor que queda en el centro una

vez ordenados los datos de menor a mayor.

Si el número de datos, n, es impar, la mediana es el dato que ocupa el lugar

2

1n una vez ordenados los datos de menor a mayor.

Si el número de datos, n, es par, la mediana será el promedio entre los datos que

ocupan los lugares 2

n y 1

2

n una vez ordenados los datos de menor a mayor.

Los percentiles: son valores que dividen al conjunto de datos (después de ordenarlos de

menor a mayor) en 100 grupos, todos con igual cantidad de datos.

Hay 99 percentiles que llamamos P1, P2, …, P99. En el conjunto de datos ordenados,

bajo P1 queda el 1% de los datos, bajo P2 queda un 2% de los datos,…,bajo P99 queda

el 99% de los datos

Los deciles: son valores que dividen al conjunto de datos (después de ordenarlos de

menor a mayor) en 10 grupos, todos con igual cantidad de datos. Los deciles son nueve y

corresponden a los percentiles P10, P20, … , P90.

Ejemplo 4:

Los siguientes datos corresponden a la respuesta a la pregunta ¿Cuánto dinero gastó su familia ayer en pan? Esta pregunta se realizó a 50 jefes de hogar de familias formadas por cuatro personas. Las respuestas se dan en $.

650 735 480 1050 825 770 0 540 650 735

1250 1000 240 950 990 470 585 890 965 1570

720 1690 1040 1355 920 1530 370 680 695 840

315 770 890 1650 430 955 670 1120 850 900

640 680 0 345 980 1030 180 895 375 1140

La media de estos datos, es decir, el gasto promedio diario en pan de estas

familias, es:

80050

000.40

50

1140375....735650

X O sea, en promedio las familias

gastaron $800 en pan al día.

Si queremos calcular la mediana, seguimos los siguientes pasos:

i) Ordenamos los datos de menor a mayor:

0 0 180 240 315 345 370 375 430 470

480 540 585 640 650 650 670 680 680 695

720 735 735 770 770 825 840 850 890 890

895 900 920 950 955 965 980 990 1000 1030

1040 1050 1120 1140 1250 1355 1530 1570 1650 1690

ii) Como el número de datos es par, la mediana será el promedio entre los datos que

están en los lugares 2612

50y 25

2

50 que corresponden a 770 y 825

respectivamente, luego, la mediana es 5,7972

825770X~

Esto significa que un 50% de las familias gastó en pan menos de $797,5 y el otro

50% gastó más de $797,5.

Para calcular los deciles, observemos que por ser 50 datos los que queremos

separar en 10 grupos todos con igual cantidad de datos, cada grupo contendrá 5

datos. Así, el primer decil debe ubicarse entre los datos de los lugares 5 y 6, los

cuales promediamos y obtenemos:

Primer decil = 3302

345315

, esto quiere decir que el 10% de las familias gastó

menos de $330.

El segundo decil se ubica entre los datos 10 y 11, así,

Segundo decil = 47522

480470

lo que significa que otro 10% de las familias

gastó en pan entre $330 y $475.

Continuando de la misma forma….

El noveno decil se ubica entre los datos de los lugares 45 y 46, o sea,

Noveno decil = 5,130222

13551250

lo que significa que el 90% de las familias

gastó en pan menos de $1302,5 y sólo un 10% de las familias gastó sobre esa

cantidad.

Nota: Se dice que una familia pertenece al primer decil de gasto, si el gasto de

esa familia está dentro del 10% de menor gasto, es decir si su gasto es menor a $330; se dice que una familia pertenece al segundo decil, si su gasto pertenece al “segundo 10%” de gasto, es decir si su gasto está entre $330 y $475; …por último una familia pertenece al decil superior, si su gasto está dentro del 10% superior, es decir si su gasto es mayor a $1302,5.

Ejercicios Propuestos: 1.- En un estudio sobre consumo de frutas y verduras, se preguntó en 40 hogares, dónde las compraban. A continuación aparecen los datos obtenidos:

Hogar Sexo del jefe de hogar

Lugar donde compran

Hogar Sexo del jefe de hogar

Lugar donde compran

1 Mujer Feria 21 Hombre Supermercado

2 Hombre Supermercado 22 Hombre Supermercado

3 Hombre Feria 23 Hombre Feria

4 Mujer Verdulería 24 Mujer Feria

5 Hombre Verdulería 25 Hombre Supermercado

6 Mujer Supermercado 26 Mujer Verdulería

7 Hombre Feria 27 Hombre Supermercado

8 Hombre Feria 28 Hombre Verdulería

9 Hombre Supermercado 29 Hombre Feria

10 Mujer Supermercado 30 Hombre Supermercado

11 Mujer Verdulería 31 Hombre Feria

12 Hombre Feria 32 Mujer Feria

13 Hombre Verdulería 33 Hombre Verdulería

14 Hombre Verdulería 34 Hombre Supermercado

15 Hombre Feria 35 Mujer Supermercado

16 Mujer Supermercado 36 Mujer Feria

17 Hombre Supermercado 37 Hombre Feria

18 Mujer Feria 38 Hombre Verdulería

19 Hombre Verdulería 39 Hombre Feria

20 Mujer Feria 40 Mujer Supermercado

a) Con los datos anteriores completa la siguiente tabla de doble entrada:

Lugar donde compran

Jefe de hogar Supermercado Feria Verdulería Total

Hombre

Mujer

Total

Observe la tabla que usted completó para responder las siguientes preguntas:

b) ¿Cuántos hogares tienen un hombre como jefe de hogar? ¿Cuántos tienen mujer?

c) ¿Qué porcentaje de los hogares tiene un hombre como jefe de hogar? ¿Qué porcentaje

de los hogares tiene mujer como jefe de hogar?

d) Indique en cuántos hogares se compran las frutas y verduras en el supermercado. ¿A

qué porcentaje del total corresponde este valor?

e) ¿En qué porcentaje del total de hogares no se compra en la feria?

f) ¿En cuántos de los hogares que tienen mujer como jefe de hogar, compran las frutas y

verduras en la feria?

g) ¿Cuántos hogares más compran en feria que en verdulería?

h) Usando los datos de la tabla, complete el siguiente gráfico con las barras

correspondientes.

i) Observando el gráfico anterior, responda:

-- ¿Cuál es el lugar donde se compra con mayor frecuencia?

-- ¿Cuántos hogares con jefe de hogar mujer compran en verdulería?

-- De los hogares que compran en el supermercado, ¿cuántos más corresponden a jefe

de hogar hombre que a jefe de hogar mujer?

j) Con los datos de la tabla, complete el siguiente gráfico con las barras correspondientes:

k) Sólo observando el gráfico anterior que usted completó, responda:

-- ¿Cuántos hogares tienen una mujer como jefe de hogar?

-- ¿Cuántos hogares con jefe de hogar hombre compran en verdulería?

-- En los hogares con jefe de hogar hombre, ¿en dónde es más frecuente que se

compre?

2.- A un grupo de hombres y mujeres se les hizo la pregunta: ¿Votará usted en las próximas elecciones? Los siguientes gráficos muestran la forma en que respondieron:

a) Lea cada una de las siguientes afirmaciones e indique si son verdaderas o falsas:

-- Hay un mayor porcentaje de mujeres que de hombres que sí votarán en las

siguientes elecciones.

-- Hay un mayor porcentaje de hombres que de mujeres que no saben si votarán en las

próximas elecciones.

b) Se sabe que fueron 150 hombres y 200 mujeres quienes respondieron a esta

pregunta. Entonces,

-- ¿Cuántas mujeres dijeron que no votarán?

-- ¿Cuántos hombres dijeron que no votarán?

-- En total, cuántas personas (entre hombres y mujeres) sí quieren votar?

3.- Las siguientes son las edades (en años) de de los 11 alumnos de un curso de primer

ciclo de enseñanza media de adultos:

25 19 37 22 31 48 26 29 41 23 42

a) ¿Cuál es la edad promedio de los alumnos?

b) ¿Cuál es la edad mediana de los alumnos del curso?

c) Explique el significado de su respuesta en b).

4.- Se tienen los datos de los ingresos de 200 personas.

a) ¿Cuántas personas pertenecen al primer decil de ingresos? ¿Cuántas pertenecen al

segundo decil?

b) Si en el decil superior están aquellas personas que ganan más de $600.000

mensuales, ¿cuántas personas ganan menos de $600.000? ¿Qué porcentaje de las

personas del grupo gana más de $600.000?

Autoevaluación:

1.- Se realizó una encuesta a un grupo de personas en la que se les preguntó si

practicaban algún deporte. En la siguiente tabla se presentan los resultados

Edad

Realiza deporte Joven Adulto Adulto mayor

Nunca 8 9 12

A veces 13 9 6

Frecuentemente 17 6 1

Con los datos de esta tabla responda las preguntas 1 a 5.

1) Indique cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:

A) Hay 17 personas que hacen deporte frecuentemente

B) Hay 29 personas que nunca hacen deporte

C) Hay 18 adultos que hacen deporte frecuentemente

D) Hay 12 adultos mayores que realizan deporte

2.- Indique cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera:

A) En el grupo que respondió la encuesta hay 40 personas que son adultos o adultos

mayores

B) En el grupo que respondió la encuesta hay menos jóvenes que adultos mayores

C) Entre las personas que nunca hacen deporte hay menos adultos que jóvenes

D) Menos de la mitad de los jóvenes respondió que nunca hacen deporte.

3.- Del total de jóvenes, aproximadamente ¿qué porcentaje nunca hace deporte?

A) 21%

B) 27%

C) 10%

D) 8%

4.- De las personas que realizan frecuentemente deporte, aproximadamente ¿qué

porcentaje son jóvenes?

A) 50%

B) 60%

C) 70%

D) 80%

5.- En cuál de los siguientes gráficos se presentan en forma correcta los datos de la tabla?

A)

B)

C)

D)

Observe el siguiente gráfico donde se presentan datos de las 34 mujeres que trabajan en

una empresa de aseo y responda las preguntas 6 a 10

6.- ¿Cuántas mujeres casadas trabajan en esta empresa?

A) 14

B) 16

C) 7

D) 8

7.- ¿Cuántas trabajadoras de esta empresa tienen hijos?

A) 10

B) 11

C) 20

D) 23

8.- ¿Aproximadamente qué porcentaje de las trabajadoras de esta empresa son viudas?

A) 4%

B) 6%

C) 8%

D) 12%

9.- ¿Aproximadamente qué porcentaje de las trabajadoras de esta empresa son casadas

y tienen hijos?

A) 57 %

B) 41%

C) 35%

D) 23%

10.- ¿Cuál de los siguientes gráficos entrega la misma información que el gráfico anterior,

acerca de las trabajadoras de la empresa de aseo?

A)

B)

C)

D)

Los siguientes datos corresponden al número de personas que viven en cada una de las

15 casas de un pasaje:

3 5 4 6 4 7 5 4 4 6 8 2 4 3 4

Con estos datos responda las preguntas 11 a 13

11.- El número promedio de personas por casa de este pasaje es:

A) 4

B) 4,6

C) 5

D) 5,8

12.- La mediana del número de habitantes por casa del pasaje es:

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

13.- La moda del número de habitantes por casa del pasaje es:

A) 6

B) 5

C) 4

D) 3

14.- El noveno decil de un gran conjunto de datos es 46. Esto significa que:

A) Un 10 % de los datos es menor que 46

B) El 90% de los datos es menor que 46

C) El 9% de los datos es mayor que 46

D) El 9% de los datos es mayor que 46

Respuestas a los ejercicios propuestos: 1.- a)

Lugar donde compran

Jefe de hogar Supermercado Feria Verdulería Total

Hombre 9 10 7 26

Mujer 5 6 3 14

Total 14 16 10 40

b) 26 c) 65%; 35% d) 14; 35% e) 60% f) 6 g) 6 h)

i) feria; 3; 4

j)

k) 14; 7; feria 2.- a) V; F b) 48; 45; 218 3.- a) 31,18 años b) 29 c) hay igual número de alumnos menores que mayores de 29 años 4.- a) 20; 20 b) 180; 20%

Respuestas de la Autoevaluación. Glosario: Población: conjunto de objetos o individuos que se quiere estudiar. Muestra: es una parte de la población, está constituida por aquellos objetos o individuos que efectivamente se estudian. Toda muestra debe ser representativa de la población. Variable: cualquier característica de los elementos de la población. Variable cuantitativa: variable que se mide con números (ej. edad, nº de hijos, altura, puntaje en una prueba, etc.) Variable cualitativa: variable que no se mide con números, se mide en categorías (ej. sexo, lugar de residencia, profesión u ocupación, etc) Datos: valores que resultan al medir una variable. Frecuencia de un valor de variable es la cantidad de veces que aparece dicho valor en el conjunto de datos. Frecuencia porcentual de un valor de variable es el porcentaje de veces que aparece dicho valor en el conjunto de datos.

Ítem Clave

1 B

2 D

3 A

4 C

5 A

6 B

7 D

8 D

9 B

10 A

11 B

12 C

13 C

14 B