prim prac a.mat iv civil 2014-ii (1) para enntregar finalll imprimir
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA
FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
PRIMERA PRÁCTICA DE ANÁLISIS MATEMÁTICO IV: CUARTO. CICLO “A” Y “B”
I. Hallar el orden y grado de cada una de las ecuaciones diferenciales ordinarias:
1).¿
Solución:
.¿
.¿
.¿
Entonces: Es de quinto orden y de tercer grado
2).( y ' ' ' )5 /4+{ y ' ' x−( y ' ' ' )3 }54=2 y y (4 )
Solución:
( y ' ' ' )54+ {y ' ' x−( y ' ' ' )3}
54=2 y y (4 )
{ y ' ' x−( y ' ' ' )3}34=2 y y (4 )−( y ' ' ' )
34
{ y ' ' x−( y ' ' ' )3 }3=(2 y y (4 )−( y ' ' ' )34 )4
( y ' ' )3 x3−3 x2 ( y ' ' )2 ( y ' ' ' )3+3 y ' ' x ( y ' ' ' )6=16 y4 ( y (4) )4−16 y3 ( y (4) )3 ( y ' ' ' )34+24 y2 ( y (4 ) )2 ( y ' ' ' )
32−8 y y (4 ) ( y ' ' ' )
94+( y ' ' ' )3
( y ' ' )3 x3−3 x2 ( y ' ' )2 ( y ' ' ' )3+3 y ' ' x ( y ' ' ' )6=16 y4 ( y (4) )4−16 y3 ( y (4) )3 ( y ' ' ' )34+24 y2 ( y (4 ) )2 ( y ' ' ' )
32−8 y y (4 ) ( y ' ' ' )
94+( y ' ' ' )3
Entonces: La EDO es de 4to Orden y grado no definido
3).d4 xdy4
+( d5 xdy5 )5 I 2
−d3 xdy3
+x(6 ) y=x
Solución:
d4 xd y4
+( d5 xd y5 )52−d3 x
d y3+x (6) y=x
( d5 xd y5 )5
=( x−d4 xd y 4
+ d3 x
d y3−x (6) y)
2
(x−d4 xd y4
+ d3 xd y3
−x (6 ) y)( d5 xd y5 )
5
=x2−xd4 xd y4
+x d3 x
d y3−x x (6 ) y−x
d 4 xd y 4
+( d 4 xd y 4 )2
− d4 xd y4
d3 xd y3
+ d4 x
d y4x (6 ) y
Mg. Mat. César Castañeda Campos
+(x d3 xd y3− d4 xd y4
d3 xd y3
+( d3 xd y3 )
2
−x (6 ) yd3 xd y3 )−(x x(6) y− d4 x
d y4x (6 ) y+ d
3 xd y3
x (6 ) y−( x(6) y )2)( d5 xd y5 )
5
=x2−2 x d4 x
d y4+2x d
3 xd y3
−2 x x (6 ) y+( d4 xd y4 )2
−2 d4 xd y4
d3 xd y3
+2 d4 x
d y4x (6 ) y
+( d3 xd y3 )2
−2x (6 ) yd3 xd y3
+(x (6 ) y )2
(x (6 ) y )2−( d5 xd y5 )5
−2 x (6 ) yd3 xd y3
+2 d4 x
d y4x (6) y−2 x x (6 ) y+( d4 xd y4 )
2
−2 d4 xd y4
d3 xd y3
−2 x d4 x
d y4+( d3 xd y3 )
2
x2+2x d3 xd y3
=0
→LaEDOes de6¿orden yde 2do grado
4).y6+x ( y ' ' ' )−2−x y ' '+2 y '=x3 y
SOLUCION
y6+x ( y ' ' ' )−2−x y ' '+2 y '=x3 y
y6+x ( 1y ' ' '2 )−x y
' '+2 y '−x3y=0
y6 ( y ' ' ' )2+x−(x y ' ' ) ( y ' ' ' )2+2 y ' ( y ' ' ' )2−x3 y ( y ' ' ' )2=0∴3Orden;2Grado
5).( y ' ' ' )3 /5−x3 ( y ' ' )4−2x y ' ' '+2 x5 y '=x
6).x3 ln ( y(5))+exy '+x y (2 )=e−x
Solución:
x3∈( y5 )+exyI
−XY 2=e−x
exyI
=e−x−x3∈( y5 )+xy2(aplicando logaritmo)
¿exyI
=¿(e−x−x3∈( y5 )+xy2 )
xy I=¿(e−x−x3∈( y5 )+xy2)
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Entonces: es de primer orden y grado no definido
7).y ln2 ( x y' ' )+x ( y ' )3+e−xy= x
Solución:
∴La EDOes de2doorden y grado nodefinido; por queno tiene la forma de x
8).x y (5)−x2 tan (x3 y ' ' )+2 y ' ' '−xy=1
x y(5)−x2 tan (x3 y ' '¿¿❑)+2 y ' ' '−xy=1¿
x y(5)❑=1 +x2 tan ( x3 y ' '¿¿❑)−2 y ' ' '+xy¿
Entonces: Es de quinto orden y de primer grado
Si 2 y ' ' '=1-x y(5)+x2 tan (x3 y ' ' ¿¿❑)+x ¿y ∴ el ordenes 3y es de gradouno
Entonces: es de segundo orden y grado no definido
9).x4 ( y(4))4/3+[ x2cot (x2 y ' ) ]1 I 3+x2 y' '−2 x=010).x2 ( y(3))1 /6+[ x3 sec (x4 y ' ' ) ]y ' /3−x3 ( y ' ' )−2−x=0
Solución:
x2 ( y (3) )16+[ x3 sec (x4 y ' ' ) ]
y '
3−x3 ( y ' ' )−2−x=0
La ecuación diferencial ordinaria es de 3er orden y de grado indefinido.
II. Verificar que la función dada es o no una solución de la ecuación diferencial ordinaria que la acompaña y especificar el intervalo o los intervalos donde ocurre cuando sea una solución:
1). y=A x2+Bx2+C x2−D x3
3; x2 y ' ' '+4 x y ' '+ y '−6 y=x2+x
SOLUCION
y=A x2+Bx2+C x2−Dx3
3
y '=2 Ax+2Bx+2Cx−D x2
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y ' '=2 A+2B+2C−2Dx
y ' ' '=−2D
Remplazando:
x2 y ' ' '+4 x y ' '+ y '−6 y=x2+x
x2(−2D)+4 x (2 A+2B+2C−2Dx)+2 Ax+2 Bx+2Cx−Dx2−6 (A x2+B x2+C x2−Dx3
3)=x2+x
(−2D x2 )+(8 Ax+8Bx+8Cx−8Dx2 )+2 Ax+2Bx+2Cx−D x2−6 A x2−6 B x2−6C x2+6D x3
3¿=x2+x
(−3D x2)+ (10 Ax+10Bx+10Cx−8D x2 )−6 A x2−6 B x2−6C x2+2D x3=x2+ x
∴N o esunasolución de laecuación diferencial ordinaria que la acompaña
2). x y2− y3 x2=c ; y dx+ (2x+4 y )dy=0
3). y=√x2−cx ; (x2+ y2 )dx−3 xy dy=0
Solución:
y2−x2=−cx
c= y2−x2
x
c=x− y2
x
y I= x2+ y2
2 yx
Reemplazando en:
(x2+ y2 )dx−3 xy dy=0 (x2+ y2 )−3 xy yI=0 (x2+ y2 )−3
2(x2+ y2 )=0
(x2+ y2 )2
=0⇒ (x2+ y2 )=0
x2+x2−c x=0 entonces : c=2x
∴ A x3+Bx4−C x2
3noes solucion
4). y=A e3 x+Be−2x+Ce2x ; y ' ' '−3 y ' '−4 y '+12 y=0
Solución:y=A e3 x+Be−2x+Ce2x ; y ' ' '−3 y ' '−4 y '+12 y=0y '=3 Ae3x−2B e−2 x+2C e2 x
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y ' '=9 A e3x+4 Be−2x+4Ce2x
y ' ' '=27 e3 x−8Be−2 x+8C e2 x
Reemplazando en la EDOy ' ' '−3 y ' '−4 y '+12 y=0(27e3x−8Be−2x+8C e2x )−3 (9 A e3 x+4 Be−2x+4C e2x )−4 (3 A e3x−2Be−2 x+2Ce2x )+12 ( Ae3x+B e−2 x+C e2 x )=027e3x−8Be−2x+8Ce2x−27 A e3 x−12Be−2x−12Ce2x−12 A e3x+8Be−2 x−8Ce2x+12 Ae3x+12Be−2 x+12Ce2x=00=0
∴La funciónessolución de laecuación diferencial dada .
5). { x=tln|t|+ ty=t 2 (2 ln|t|+1 )
; y ' ln ( y ' )=x
∂ x∂ t
=1+ 1
√1−t 2∂ y∂ t
=−t− t
√1−t 2
⇒ ∂ y∂x
=
−t(1+ 1
√1−t 2 )1+ 1
√1−t 2=−t
⇒Reemplazandot+arcsen ( t )=−t+arcsen (−t )∴la funcióndadanoes unasoluciónde la EDO
6). { x=t+arcsen (t )
y=−t2
2+√1−t 2 ; x= y '+arcsen ( y ' )
Solución:
Por regla de la cadena.
y I=dydx
=dydt.dtdx
=
dydtdxdt
⟹ dydx
=t− −2 t2√1−t 2
=t+ t
√1−t2
dydt
=t+ t
√1−t 2
⟹ dxdt
=1+ 1
√1−t 2
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⟹
dydtdxdt
=
t (1+ t
√1−t 2 )(1+ t
√1−t 2 )=1
y I…………………(4)
Reemplazando (4) en (3)
x= y I+arcs6n ( y I )
X=T+arcs6n ( t )…………… .. (s )
Reemplazando (1) en (s)
x=t+arcs6n ( t )
x=x
0=0
⟹ {x=t+arcs6n(t)y=t 2/2−√1−t 2
arcs6 n ( t )=x
s6n ( x )=t
−1≤t ≤1
⟹dominio=[−1 ;1 ]
7). y=¿Solución:
y= (c+sen ( x ) )2…………a
( y ' )2−4 y cos2 ( x )=0………….bDerivando y
y= (c+sen ( x ) )2
y '=2 (c+sen ( x ) )cos ( x )…………c⇒ a yc enb
( y ' )2−4 y cos2 ( x )=0(2 (c+sen ( x ) )cos ( x ) )2−4 (c+sen ( x ) )2cos2 ( x )=0
0=0∴La funciónessolución de laecuación diferencial dada .
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8).y=c (x+√−x ); ( y ' )2− yx [ √−x+12(x+1)
+1]=0
9).y=c−sen ( x )cos ( x )
; y ' ' sen ( x )+ y2 y ' (cos ( x )+ ysen (x ) )=0
y '=−cos2 ( x )+(C−sen ( x )) sen ( x )
cos2 (x )=
−cos2 (x )+Csen ( x )−sen2 ( x )cos2 ( x )
=Csen ( x )−1cos2 ( x )
y ' '=cos2 ( x ) (Ccos ( x ) )+2 sen ( x ) cos ( x ) (Csen (x )−1 )
cos2 ( x )
y ' '=(Ccos ( x ) ) (cos2 ( x )+sen2 ( x ))+Csen (x ) cos ( x )−2 sen ( x )cos (x )
cos2 (x )
y ' '=Ccos ( x )+Csen ( x )cos ( x )−2 sen ( x ) cos ( x )
cos2 ( x )=C+Csen ( x )−2 sen ( x )
cos ( x )
⇒Reemplazando
(C+Csen ( x )−2 sen ( x )cos (x ) )sen ( x )+(C−sen ( x )
cos ( x ) )2
(Csen ( x )−1cos2 ( x ) )(cos ( x )+sen ( x )(C−sen ( x )
cos ( x ) ))=0(C+Csen ( x )−2 sen ( x )
cos (x ) )sen ( x )+(C−sen ( x )cos ( x ) )
2
(Csen ( x )−1cos2 ( x ) )(cos ( x )+sen ( x )(C−sen ( x )
cos ( x ) ))=0∴la funcióndadanoes unasoluciónde la EDO
III. Hállese una ecuación diferencial ordinaria correspondiente a cada una de las
relaciones, con las constantes arbitrarias indicadas.
1). y=Asen (nx )+Bcos (nx )+Cx ; A ,B ,C∈R ; n∈N
y=A sen (3 x )+B cos (3x )+x………………..(1)
y '=3 A cos (3 x )−3 Bsen (3 x )+1y ' '=−9 Asen (3x )−9B cos (3 x )………………(2)
sumando9 (1 )+(2)y=A sen (3 x )+B cos (3x )+xy ' '=−9 Asen (3x )−9B cos (3 x )Entonces
y ' '+9 y=9 xy ' '+9 y−9 x=0
2).x=At e−t+Be−t+2Csen (t ) ; A ,B ,C∈ R
Solución:
x=A t e−t+B e−t+2Csen ( t )Derivando:
x=A t e−t+B e−t+2Csen ( t )…(0)x '=A e−t−A t e−t−Be−t+2Ccos ( t )…(1)
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x ' '=−2 Ae−t+Ate−t−Be−t−2Csen (t )…(2)x ' ' '=3 Ae−t−Ate−t−Be−t−2Ccos ( t )…(3)Luego (0)+(2)
x+x ' '=A t e−t+Be−t+2Csen (t )−2 Ae−t+Ate−t−Be−t−2Csen (t )x+x ' '=2 A t e−t−2 Ae−t
A= x+x ' '
2 t e−t−2e−t
(0 )+ (1 )x+x '=A t e−t+Be−t+2Csen ( t )+Ae−t−A t e−t−B e−t+2Ccos ( t )x+x '=Ae−t+2Csen (t )+2Ccos (t ) ; insertando A
x+x '= x+x ' '
2 t e−t−2e−t e−t
+2Csen (t )+2Ccos ( t )
C=x+x '+ x+x
' '
2 t−22Csen (t )+2Ccos ( t )
(0)+(3)
x+x ' ' '=A t e−t+Be−t+2Csen ( t )+3 A e−t−Ate−t−Be−t−2Ccos ( t )x+x ' ' '=3 Ae−t+2Csen (t )−2Ccos (t )x+x ' ' '=3 Ae−t+2C ( sen ( t )−cos (t ) ) ; insertando A y C
x+x ' ' '=3 x+x ' '
2 t e−t−2e−t e−t
+2x +x '+ x+x ' '
2 t−22Csen (t )+2Ccos (t )
(sen ( t )−cos ( t ) )
Factorizando y ordenando:
x ' ' '−t x ' ' '+x ' '+t x '+x '+x=0
3). x2+ y2−Cx=0 ;C∈R
Derivando:
2x + 2yy’ – c = 0
2x + 2yy’ – (x+ y2
x ) = 0
x (2x + 2yy’) – (x2 – y2 ) 0
2x2 + 2xyy’ + x2 – y2 = 0
2xyy’ + x2 – y2 = 0
4). r=Aln|t|+Bt+C e−t ; A ,B ,C∈R
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5). y=Ax3+B x2+Cx+D;A ,B ,C , D∈R
Solución:
y=A x3+Bx2+Cx+D……..I
y '=3 A x2+2Bx+C……………II
y ' '=6 Ax+2B……………………..III
y ' ' '=6 A………………………………...IV
y IV=0……………………………………V
Despejando:
A= y ' ' '
6
B= y ' '− y ' ' ' x2
C= y ' ' ' x− y ' ' ' x2
2− y ' ' x+ y '
Si se despeja D de I la ecuación se anulara
∴noexisteunaecuacion diferencial ordinaria paralarelación
6). x2
a2− y2
b2=1; x
2
a2+ y2
b2=1 ;a , b∈R
7). x=Ae−t+Be−t+C e2t+De−2t ;A ,B ,C ,D∈R
8). y=Ae−ktcos (nt )+Be−kt sen(nt); A ,B , k∈R;n∈N
y=e−kt {A cos (nt )+Bsen (nt ) }...............(1)
y '=−k e−kt {A cos (nt )+Bsen (nt ) }+ne−kt {B cos (nt )−Asen (nt ) }……………(2)Reemplazando (1 ) en(2)y '=−ky+ne−kt {B cos (nt )−A sen (nt ) }………………(3)
y ' '=−ky−kne−kt {B cos (nt )−A sen (nt ) }−n2 e−kt {A cos (nt )+Bsen (nt ) } ……….(4)Reemplazando (1 ) en (4 ) y (3 )en (4 ) se obtiene :y ' '=−2k y '− y (k2−n2 )La ecuación resultante es:y ' '+2k y '+k2 y+n2 y=0
9).x=Ae−t+Be−t+C e t sen ( t )+De−t cos (t) ;A ,B ,C ,D∈R
x=Ae−t+Be−t+C e t sen (t )+De2t cos (t )…1Derivada implícita respecto a t.x '=−Ae−t−Be−t+Ce t sen (t )+C et sen ( t )+De2 t cos ( t )…II2I-II2 x−x '=3 A e−t+3Be−t+Ce t sen (t )−C e t cos (t )+De2 t sen (t )…IIIDerivada implícita
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2 x'−x ' '=−3 Ae−t−3Be−t+2C et sen (t )+2De2 t sen (t )+De2 t cos (t )…IV2III-IV4 x−4 x '+x ' '=9 A e−t+9B e−t−2Ce t cos (t )−De2 t cos ( t )…VI+V5 x−4 x'+x ' '=10 A e−t+10Be−t+C e t sen (t )−2Ce t cos (t )…VIDerivando 5 x '−4 x ' '+x ' ' '=−10 A e−t−10 Be−t+3Ce t sen (t )−C e t cos ( t )…VIIVI+VII5 x−x '−3 x' '+x ' ' '=4C et sen (t )−3Ce t cos (t )…VIIIDerivando5 x−x ' '−3 x ' ' '+ x(4 )=7Ce t sen ( t )−Ce t cos ( t ) .. IXVI-2VII5 x−14 x '+9 x' '−2 x ' ' '=30 A e−t+30 Be−t−5C et sen (t )… (1)Derivando 15 x '−14 x ' '+9 x ' ' '−2 x (4 )=−30 A e−t−30Be−t−5Ce t sen ( t )−5C et cos ( t )…(2)(1)+ (2)5 x+9 x'−5 x ' '+7 x ' ' '−2 x (4 )=−10C et sen ( t )−5Ce t cos ( t )…(3)VIII-3(IX)5 x−169 x '+10 x ' ' '−3 x (4 )=−17C et sen ( t )… (4 )5(IX)-(3)5 x+34 x '−8 x' '+7 x (4 )=45C et sen ( t )…. (5 )Igualando (4) y (5)
( 5 x−169 x'+10 x ' ' '−3 x (4 )
45 )=( 5x+34 x '−8 x ' '+7 x (4)
−17 )16 x (4 )−314 x ' ' '+142 x '−140 x=0
10). y=A e−x+Be x+C ex senh ( x )+Dexcosh (x ) ;A ,B ,C ,D∈R
Solucióny=A e−x+Be− x+C ex senh ( x )+De−x cosh ( x )y '=e−x (A+B )+Cex (senh ( x )+cosh ( x ) )−De− x (cosh ( x )−senh (x ) )y '=e− x ( A+B )+C e2 x−De−2x−−−→(1)y ' '=e−x (A+B )+2Ce2x+2De−2 x−−−→(2)(1)+ (2)y ' '+ y '=3C e2 x+De−2x−−−→(3)y ' ' '+ y ' '=6Ce2x−2De−2x−−−→(4)2(3)+(4)y ' ' '+3 y ' '+2 y '=12Ce2x−−−→(5)y ' ' ' '+3 y ' ' '+2 y ' '=24Ce2x−−−→(6)-2(5)+(6)y ' ' ' '+ y '' '−4 y ' '−4 y '=0
11). y=A ex+Be2x+Cex sen (x )+Dex cos(x ) ;A ,B ,C ,D∈R
12). y=A ex+Be2x+Ce−2x senh (x )+De−2x cosh (x) ;A ,B ,C ,D∈R
13). y=A ex sen(x )+Be xcos (x)+C e−x senh ( x )+De−x cosh (x)A ,B ,C , D∈ R
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IV. Hállese una ecuación diferencial para cada una de las siguientes familias de las
curvas en el plano XY :
1). Todas las rectas con pendiente igual a 1.
EC . recta : y=mx+b… (I )Derivando (I ) : y '=mComo :m=1Entonces : y '=1Parael puntoO (0 ,0 )comunes paratodos :⇒b=0Reemplazandoen ( I ) :⇒y= y ' x+0
y− y ' x=0 ;Como y '=1 ⇒ y−x=0
2). Todas las rectas con pendiente igual a m.
SOLUCIÓN:
Sea lafamilia derectas : y=Ax+B………(1)
→si : x=0→ y=B………(2)
Esta expresióndebe ser igualala pendientem=A→ A=B………(3)
luego :
tomando logaritmos enla ecucion(1): ln ( y )=ln ( Ax+B )………(4)
Derivandorespectoa x la ecucion(4 ):
y '
y= AAx+B
→ y '= AyAx+B
………….(5)
Entonces :Reemplazamos la ecucion(3) en (5).
y '= yx+1
∴ y ' ( x+1 )− y=0
3). Rectas con la pendiente y la intersección con el eje Y iguales.
Y=AX+B ; X=m;Y=0 ;m=A
⟹ X=−BA
, A=−BA
,; A2=−B
Y=AX−A2………..(1)Derivando (1)
y I……………(2)Reemplazando (2) en (1)
Mg. Mat. César Castañeda Campos
y= yI X – ( y I )2
⟹Y−x yI+( yI )2=0
4). Rectas con la pendiente y la intersección con el eje X iguales.
Y=AX+B ; X=m;Y=0 ;m=A
⟹ X=−BA
, A=−BA
,; A2=−B
Y=AX−A2………..(1)Derivando (1)
y I……………(2)Reemplazando (2) en (1)
y= yI X – ( y I )2
⟹Y−x yI+( yI )2=0
5). Rectas con la suma algebraica de las intersecciones iguales a k .
SoluciónSea y=Ax+B la familia de rectas
Si y=0 ⟹ x=−BA
Por condición
B− BA
=k
AB−B=AkPero y '=A B= y− y ’ x⇒ y ' ( y− y ’ x )− y+ y ' x=ky '∴ ( y '−1 ) ( y ' x− y )+ y ' k=0
6). Circunferencias con el centro en el origen y radio arbitrario.
( x−h )2+ ( y−h )2=r2
Solución:( x−h )2+ ( y−h )2=r2
( x−0 )2+ ( y−0 )2=r2
x2+ y2=r2 ;derivando2 x+2 yy '=02 yy '+2x=0
7). Circunferencias con el centro en cualquier punto del plano XY y radio
arbitrario
Mg. Mat. César Castañeda Campos
SOLUCION
( y−k )2+( x−h )2=r2;c (h , k ) , r=radio ;como su centro pasa y=−x2quiere decir
k=−h2
Remplazando:
( y+ h2 )2
+( x−h )2=r2
Derivando
2 y ' ( y+ h2 )+2 ( x−h )=0
y '( y+ h2 )+ ( x−h )=0
y '( y+ h2 )=h−x
h( 2− y '2 )= y y '+x
h=2 ( y y '+ x )2− y '
Remplazando
( y+ 2 ( y y '+x )2− y '2
)2
+(x−2 ( y y '+x )2− y ' )
2
=r 2
( y+ ( y y '+x )2− y ' )
2
+(x−2 ( y y '+x )2− y ' )
2
=r2
Mg. Mat. César Castañeda Campos
( 2 y− yy '+( y y '+x )2− y ' )
2
+( 2 x−xy '−2 ( y y '+x )2− y ' )
2
=r2
( 2 y−x2− y ' )
2
+( x−xy '−2 ( y y ' )2− y ' )
2
=r2
(2 y−x )2+(x−xy '−2 ( y y ' ))2=r2 (2− y ' )2
8). Circunferencias sobre el eje X y radio arbitrario.
( x−h )2+ ( y−k )2=r2
( x−c )2+( y−D )2=r2……….(1) Derivando (1)
2 ( x−c )+2 ( y−D ) yI=0( x−c )+2 ( y−D ) y I……(2 )
Reemplazando (2) en (1)
( y I (Y−D))2+(Y−D )2=r2
(Y−D )2 ( ( yI )2+1)=r2……………….(3) Derivando (2)
i=Y IY I+(Y−D ) y II
Y−D=−(Y I )2
Y II …………… ..(4)
Reemplazando (2) en (3)
(−( y I )2
yII )2
( ( y I )2+1)=r2
( y I )4
( yII )2(( yI )2+1)=r2
( y I )6 ( yI )4−r 2 ( y II )2=0
⟹ ( yI )6+( yI )4−r2 ( y II )2=0
9). Circunferencias con centro sobre la recta y=−x2y que pasen por el origen.
( y−k )2+( x−h )2=r2;c (h , k ) , r=radio ;como su centro pasa y=−x2quiere decir
k=−h2
Mg. Mat. César Castañeda Campos
Remplazando:
( y+ h2 )2
+( x−h )2=r2
Derivando
2 y ' ( y+ h2 )+2 ( x−h )=0
y '( y+ h2 )+ ( x−h )=0
y '( y+ h2 )=h−x
h( 2− y '2 )= y y '+x
h=2 ( y y '+ x )2− y '
Remplazando
( y+ 2 ( y y '+x )2− y '2
)2
+(x−2 ( y y '+x )2− y ' )
2
=r 2
( y+ ( y y '+x )2− y ' )
2
+(x−2 ( y y '+x )2− y ' )
2
=r2
( 2 y− yy '+( y y '+x )2− y ' )
2
+( 2 x−xy '−2 ( y y '+x )2− y ' )
2
=r2
( 2 y−x2− y ' )
2
+( x−xy '−2 ( y y ' )2− y ' )
2
=r2
(2 y−x )2+(x−xy '−2 ( y y ' ))2=r2 (2− y ' )2
10). Parábolas con el eje y el foco sobre el eje X .
11). Parábolas con el eje paralelo al eje X .
La ecuación de la parábola con eje paralelo al eje X ( y−k )2=4 p(x−h)2 ( y−k ) y '=4 p( y−k ) y '=2 p−−−−→(1)
Mg. Mat. César Castañeda Campos
( y−k ) y ' '+( y ' )2=0−−−−→(2)( y−k ) y ' ' '+3 y' y ' '=0−−−−→ (3)Pero de (2)
( y−k )=−( y ' )2
y ' '
Reemplazando en (3)( y−k ) y ' ' '+3 y' y ' '=0
(−( y ' )2
y ' ' ) y ' ' '+3 y ' y ' '=0( y ' )2 y ' ' '+3 y' ( y ' ' )2=0
12). Hipérbolas equiláteras con centro en Q (M , N )
SOLUCIÓN:
1erCaso : ( x−h ) ( y−k )=a2
2
( x−M ) ( y−N )=a2
2
xy−xN−My+MN=a2
2
Derivando2 veces :1 °¿ y+x y '−N− y ' M=02 °¿ y '+ y '+ x y ' '− y ' 'M=02 y ' x y ' '− y ' 'M=0
x= y ' ' M−2 y 'y ' '
Derivando :
1=( y ' ' ' M−2 y ' ' ) y ' '− y ' ' '( y ' 'M−2 y ')
( y ´ ´ )2
( y ´ ´ )2=( y' ' 'M−2 y ' ' ) y ' '− y ' ' ' ( y ' ' M−2 y ')Simplificando:
3 ( y ´´ )2=2 y ' ' ' y '
∴2 y ' ' ' y '−3 ( y ´ ´ )2=0
2doCaso: (x−h ) ( y−k )=−a2
2
Sesucitara lamisma resolucionconrespecto al primer caso :
∴2 y ' ' ' y '−3 ( y ´ ´ )2=0
13). Circunferencias tangentes al eje X .
Solución:
En este caso:|k|=r y la ecuación toma la forma siguiente
Mg. Mat. César Castañeda Campos
( x−h )2+ ( y−k )2=k2;C (h , k )
Sea P (A ,B )el centro; el radio será |B|=r
( x−A )2+( y−B )2=B2
Derivamos
2 ( x−A )+2 y ' ( y−B )=0
( x−A )=− y ' ( y−B )
Remplazamos
(− y' ( y−B ) )2+( y−B )2=B2
( y−B )2 [ ( y ' )2+1 ]=B2
y−B=√ B2
[ ( y' )2+1 ]y−B=B [ ( y ' )2+1 ]−1/2
Derivamos
y '=B {[ ( y ' )2+1 ]−1 /2}'+B ' [ ( y ' )2+1 ]−1/2
y '=B {12 [ ( y ' )2+1 ]−3/2
−2 y ' ' y '}+[ ( y ' )2+1 ]−1/2
y '=12
[ ( y' )2+1 ]−3/2
B−2 y ' ' y ' B+[ ( y ' )2+1 ]−1/2
14). Cónicas centrales con el centro en el origen y vértices sobre los ejes
coordenados.
15). Tangentes a la parábola y2=8 x.
V. Determinar para que valores de m cada una de las siguientes ecuaciones
diferenciales ordinarias tiene soluciones de la forma y=emx:
1). y ' ' '+ y ' '−6 y '=0
2). y (4)−3 y' ' '+2 y ''=0
y=emx
y '=memx
y ' '=m2emx
y ' ' '=m3 emx
y (4)=m4 emx
Mg. Mat. César Castañeda Campos
⇒m4 emx−3m3 emx+2m2 emx=0emx (m4−3m3+2m2 )=0
⇒m4−3m3+2m2=0emx=0
⇒m2−3m+2=0 ;m=0m=1m=2
∴m={0,1,2 }
3). y ' ' '+ y ' '−5 y '
2+ y=0.
VI.)Resuélvase cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinariasde
variables separables:
1). (t 2+ln(t ))dx+ ln2 ( x )dt=0. x (1 )=e
SOLUCION
(t 2+ ln ( t))dx+ln2(x )dt=0
dx
ln2(x )+ dt
t2+ ln (t)=0
∫ dx
ln2(x )+∫ dt
t 2+ ln (t )=∫0
∫ dx
ln2(x )+∫ dt
t 2+ ln (t )=c…1
Trabajando con la primera Integral:
∫ dx
ln2(x )por partes
u= 1lnx
dv=dx
du=( 1lnx
)'
v=∫ dxlnx
du= −1x ln2 x
dx v=−xlnx+x+c
∫ dx
ln2(x )= 1lnx
(−xlnx+x)−∫(−xlnx+x )( −1x ln2 x
)dx
∫ dx
ln2(x )=
(−xlnx+x )lnx
+∫( x−xlnx
x ln2 x)dx
Mg. Mat. César Castañeda Campos
∫ dx
ln2(x )=
(−xlnx+x )lnx
+∫( dx
ln2 x )−∫(dxlnx
)
∫ dx
ln2(x )=
(−xlnx+x )lnx
−(−xlnx+x )+∫( dx
ln2 x )∫ dx
ln2(x )=
(−xlnx+x )(1−lnx)lnx
+∫( dx
ln2 x )Trabajando la segunda integral:
∫ dt
t 2+ ln (t )por partes
u=t2+ ln (t)dv=dt
du=(2t+1t)dt v=t
∫ dt
t 2+ ln (t )=( t2+ ln (t ) ) ( t )−∫ t(2t+1
t)dt
∫ dt
t 2+ ln (t )=( t2+ ln ( t ) ) ( t )−∫(2 t 2+1)dt
∫ dtt 2+ ln (t )
=( t2+ ln (t ) ) (t )−2 t3
3−t+c
Reemplazando en la integral (1)
∫ dx
ln2(x )+∫ dt
t 2+ ln (t )=c
(−xlnx+x )(1−lnx)lnx
+∫( dxln2 x )+(t 2+ ln ( t ) ) ( t )−2 t
3
3−t=c
(−xlnx+x )(1−lnx)lnx
+∫( dxln2 x )+(t 2+ ln ( t ) ) ( t )−2 t
3
3−t=c
Como x (1) = e
(−elne+e ) (1−lne )lne
+∫( d (e )ln2 (e ) )+ (t 2+ ln (t ) ) ( t )−2t
3
3−t=c
0+∫( d (e )ln2 (e ) )+ (t 2+ ln (t ) ) ( t )−2t
3
3−t=c
(t 2+ln ( t ) ) (t )−2 t3
3−t+∫( d ( e )
ln 2 (e ) )=c
Mg. Mat. César Castañeda Campos
2). ex3− y2− y
x2dydx
=0
ex3− y2x2
y=dydx
ex3
x2
e y2
y=dydx
(ex3
x2 )( 1
e y2
y )=dydx
(ex3
x2 )dx=(ey2
y )dy
∫ (ex3
x2 )dx=∫ (e y2
y )dy
ex3
3+c1= e y
2
2+c 2
ex3
3−e y
2
2+C=0
3¿ . dvdu
−sen ( u+v2 )=sen( u−v2
)
4). (1+ y2 ) (e2x dx+e ydy )−(1− y )dy=0
Solución:e2x dx+e ydy+ y2 e2x dx+ y2 e y dy−dy+ ydy=0e2x dx+e ydy+ y2 e2x dx+ y2 e y dy−dy+ ydy=0e2x (1+ y2)dx+( y2 ey+e y−1+ y )dy=0
e2x dx+( y2 ey+e y−1+ y )dy
(1+ y2)=0
∫ e2 xdx+∫ ( y2 e y+ey−1+ y)(1+ y2)
dy=∫0
∫ e2 xdx+∫ y2 ey
(1+ y2)dy+∫ e y
(1+ y2)dy−∫ 1
(1+ y2)dy+∫ y
(1+ y2)dy=∫ 0
Aplicandointegración por partes :
e2 x
2+[e y ( y−atan ( y ))−(∫ yey dy−∫ ey atan ( y )dy )]+ [e y atan ( y )−∫ ey atan ( y )dy ]−atan (1+ y2)+[ ln (1+ y2)2 ]=c
e2 x
2+e y ( y−atan ( y))−∫ yey dy+∫e y atan ( y)dy+e y atan ( y )−∫ e yatan ( y )dy−atan (1+ y2)+[ ln (1+ y2)2 ]=c
e2 x
2+e y ( y−atan ( y))− yey+ey+e y atan ( y )−atan (1+ y2)+[ ln (1+ y2)2 ]=c
5). (xy4− y4−x+1 )dx+( x4 y−2x3 y+x4+2 x2 y−2 x3+2x2 )dy=0
Mg. Mat. César Castañeda Campos
Solución¿¿¿¿¿¿
6). y '= x3+ y3
x3− y3
y=uxu' x+u= y '
y '= x3+ y3
x3− y3=1+( yx )
3
1−( yx )3=1+u3
1−u3
⇒u' x+u= 1+u3
1−u3
u' x=1+u3
1−u3−u=1+u
3−u+u4
1−u3
⇒ du∂ x
x=1+u3−u+u4
1−u3
1−u3
1+u3−u+u4du=dx
x
∫ 1−u3
1+u3−u+u4du=∫ dx
x
∫1+ u+u4−2u3
1+u3−u+u4du=ln|x|+C
7). (x+ y eyx )dx+x e y/ x dy=0
Solución:
(x+ yeyx )dx+xe
yx dy=0
xdx+ y eyx dx+xe
yx dy=0
xdx+eyx ( ydx+xdy )=0
xdx+eyx (d ( xy ) )=0
∫ xdx+∫eyx (d (xy ))=∫0
Mg. Mat. César Castañeda Campos
8). y'= −x+2 y2x+3 y+1
SOLUCIÓN:
Tomando las rectas :
{ −x−2 y=02x+3 y+1=0
Lasrectas se intersecanen los puntos (2;1):
→ {x=X−2y=Y +1
→{dx=dXdy=dY
dYdX
=−X+2Y2 X+3Y
=−1+2 Y
X
2+3YX
(X−2Y ) (2 X−3Y )=c(x+2−2( y−1)) (2( x+2)−3 ( y−1))=c
∴ ( x−2 y+4 ) (2x−3 y+7 )=c
9). (2 x+6 y−12 )dx+ (3x−5 y−15 )dy=0
10). (2 x−3 y−9 )dx+(4 x−6 y+12 )dy=0
11). (x2 y3+2 x y2+ y )dx+(x3 y2−2 x2 y+x )dy=0
SOLUCIÓN:
(x2 y3+2 xy2+ y )dx+(x3 y2−2x2 y+ x )dy=0
y (x2 y2+2 xy+1 )dx+x (x2 y2−2xy+1 )dy=0
xy=z→ y= zxdy= xdz−zdx
x2
Reemplazando :
zx
( z2+2 z+1 )dx+x ( z2−2 z+1 )( xdz−zdx
x2 )=0z ( z2+2 z+1 )dx+ ( z2−2 z+1 ) ( xdz−zdx )=0
( z3+2 z2+z )dx+z2 xdz−z3dx−2 zxdz+2 z2dx+xdz−zdx=0
( z3+2 z2+z−z3+2 z2−z )dx+( z2 x−2 zx+ x ) dz=0
4 z2dx+x ( z2−2 z+1 )dz=0
4 dxx
+( z2−2 z+1 )dz
z2=0
Mg. Mat. César Castañeda Campos
∫ 4 dxx
+∫ ( z2−2 z+1 )dzz2
=c
4 ln|x|+∫ ( z2)dzz2
−∫ 2 zdzz2
+∫ dzz2
=c
4 ln|x|+z−2 ln ( z )−1z=c
4 ln|x|+xy−2 ln ( xy )− 1xy
=c
ln ( xy )2
+xy−¿ 1xy
=c¿
12. (1−xy+x2 y2 )dx=x3
VIII. Resuélvase las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias mediante un cambio
de variable:
1). y '=csc 3(3x+ y )
2). x y2 (x y '+ y )=a2
3). (x3 y2+1 )dx+2 x3dy=c
4). (x3 y4+ y+x−2 )dx+(x4 y3+x )dy=0
5). (x+ y−4+ 1x )dx−(4− x− y )dy=0
6). (5 x+5 y+ xex )dx−(5 x+5 y−1 )dy=0
Solución¿Es homogénea?M=5 x+5 y+ xex
⟹ f (x ; y )=5 x+5 y+x ex
⟹ f (rx ;ry )=5rx+5 ry+ xr exr
f (rx ;ry )=r (5 x+5 y+ xexr )f (rx ;ry )=r (5 x+5 y+ xexr )∴M noes homogénea
N=5 x+5 y−1⟹ f (x ; y )=5 x+5 y−1⟹ f (rx ;ry )=5rx+5 ry−1∴N no eshomogénea
Desarrollando la ecuación:
Mg. Mat. César Castañeda Campos
(5 x+5 y+ xex )dx−(5 x+5 y−1 )dy=0z=xy
xdzdx
−z
x2= y'
Remplazando en la ecuación:
(5 x+5 y+ xex )+(5 x+5 y−1 ) dydx
=0
5 x+5 zx
+x ex−5 x−5 zx
+1zdzdx
−z
x=0
(1 ) dzdx
+x ex=0
De donde:
(x ex )dx+ (1 )dz=0
Integrando:
∫ (x ex )dx+∫ (1 )dz=c
z+ x2
2e x=c
2 xy+ x2ex=c
7). x3 y2dx−(x 4+ y6 )dy=0
8). ( y3+2 ln ( x ) )dx+x2 y4dy=0
9). dydx
=√x+ y−√x− y√x+ y+√ x− y
dydx
=( √ x+ y+√x− y√ x+ y−√ x− y ) √x+ y+√ x− y
√x+ y+√ x− y
dydx
= x+√ x2− y2
yydy=x+√x2− y2dx
x+√ x2− y2dx− ydy=0M=x+√ x2− y2 ;N=− y
f ( x , y )=x+√x2− y2 , f ( x , y )=− y
f ( xr , yr )=r (x+√x2− y2 ) , f ( xr , yr )=r (− y )M es homogéneo , N es homogéneo∴la EDOeshomogeneoConvirtiendo en variables separables :
Mg. Mat. César Castañeda Campos
dydx
= x+√ x2− y2
y
y=uxdy=udx+xdu
Remplazando en la ecuación:
udx+xdudx
=x+√ x2−(ux )2
ux
udx+xdudx
=1+√1−u2u
u2dx+uxdu=1+√1−u2dxudu
1+√1−u2+u2=dxx
Integrando se obtiene:
∫ udu
1+√1−u2+u2−∫ dx
x=c
ln|√1−u2+1|+ ln|x|=−c
ln|√1−( yx )2
+1|+ln|x|=−c
ln|(√1−( yx )2
+1) x|=−c
(√1−( yx )2
+1) x=e−c
10). dydx
= yx− x3
y+x2 cot( yx2 )
SOLUCION
dydx
= yx− x3
y+x2 cot ( y
x2)
dydx
= y2−x4
xy+x2 cot ( y
x2)
Sea:z=xy
∂ z∂ x
=x ' y+xy '
Mg. Mat. César Castañeda Campos
∂ z∂ x
= y+xy '
∂ z∂ x
= xy+x2 y 'x
y '=
∂ zx ∂ x
−z
x2reemplazando y=
dydx
=yx−x3
y+x2 cot (
y
x2)
∂ zx ∂x
−z
x2=
z2
x2− z 4
y 4
z+ z2
y2cot ( z
x3)
∂ zx ∂x
−z
x2=z2( 1
x2− z2
y4)
z+ z2
y2cot ( z
x3)
∂ zx ∂x
−z
x2=z1(
y4−x2 z2
x2 y4)+
z2
y2cot (
z
x3)
∂ zx ∂x
−z
x2=z1(
y4−x2 z2
z2 y2)+
z2
y2cot (
z
x3)
∂ zx ∂x
−z
x2=(
y4−x2 z2
z y2)+
z2
y2cot (
z
x3)
∂ zx ∂x
−z
x2=(
z4
x4−x2 z2
z2
x2
)+x2cot ( zx3
)
∂ zx ∂x
−z
x2=(
z2( z2
x4−x2)
z2
x2
)+x2cot ( zx3
)
∂ zx ∂x
−z
x2=(
(z2−x6)x6
)+x2 cot (z
x3)
∂zx∂ x
−z=( ( z2−x6 )x6 ) x2+ x2 . x2 cot ( zx3 )
∂zx∂ x
−z=( z2−x6
x4 )+x4 cot ( zx3 )∂zx∂ x
=( z2x4− x6
x4 )+z+x4 cot ( zx3 )
Mg. Mat. César Castañeda Campos
∂ z∂ x
=( z2x 4− x6
x4 )x+zx+x5cot ( zx3 )∂ z∂ x
=( z2x3− x6
x3 )+zx+x5cot ( zx3 )∂ z∂ x
= z2
x3−x2+zx+x5 cot ( z
x3)
∂ z∂ x
= z2+zx 4
x3−x2(1+ x3 cot( zx3 ))
∂ z∂ x
= 1
x5(1+x3 cot( zx3 ))− 1
z2+zx4
Integrando :
0=∫ 1
x5(1+x3 cot( zx3 ))−∫ 1
z2+zx 4
11). dydx
=2 x5+2x2 y2
3 x3 y−3 y3;haciendo x=up , y=vq
IX. Resuélvase las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias, como exactas o
convirtiéndolas a exactas:
1). ( y exy+ y3 x2+2 y ln ( x )x )dx+(x exy+x3 y2+ ln2 (x ) )dy=0
2). ( ytan ( xy )+ ysec ( xy ) )dx+( xtan ( xy )+xsec ( xy ) )dy=0
Solución:( ytan ( xy )+ ysec(xy ))dx+ (xtan ( xy )+xsec(xy ))dy=0M (x ; y )=( ytan ( xy )+ ysec(xy ))N ( x ; y )=(xtan ( xy )+xsec(xy ))∂M ( x ; y )
∂ y=∂ ( ytan ( xy )+ ysec(xy ))
∂ y∂M ( x ; y )
∂ y=tan ( xy )+xy sec2 ( xy )+sec ( xy )+xytan(xy) sec (xy )
∂N ( x ; y )∂x
=∂ (xtan ( xy )+ xsec(xy ))
∂ x
Mg. Mat. César Castañeda Campos
∂N ( x ; y )∂x
=tan ( xy )+xy sec2 ( xy )+sec ( xy )+xytan(xy )sec (xy )
Eshomogénead (F ( xy ) )=( ytan ( xy )+ ysec (xy))dx+(xtan ( xy )+ xsec(xy ))dy∂F ( x ; y )∂ y
= ytan ( xy )+ ysec ( xy )………1
∂F ( x ; y )∂x
=(xtan ( xy )+ xsec(xy ))…….2
∫ ∂F (x ; y )=∫ ( ytan ( xy )+ ysec ( xy ) )dxIntegrando (1 )F ( x ; y )=∫ ytan ( xy )dx+∫ ysec ( xy )dxF ( x ; y )=−ln|cos ( xy )|dx−ln|sec ( xy )−tan (xy )|+g ( y )Derivando conrespecto a y∂F ( x ; y )∂ y
= ytan ( xy )+ ysec ( xy )+g '( y); Ahora igualamos a l aecuacion ¿)
ytan (xy )+ ysec (xy )+g ' ( y )= ytan ( xy )+ ysec ( xy )g' ( y )=0g( y )=cF ( x ; y )=−ln|cos ( xy )|dx−ln|sec ( xy )−tan (xy )|+c
3). (sen2 ( x+ y )+cos2 (2x+2 y )−sen2 (2 x+2 y ) )dx+(−cos (2+2 y )2
+sen (2x+2 y )
2 )dy=0
4 ¿ . (4 x3 y− y4 sen ( x ) )dx+ (x4 y+4 y3 cos ( x ) )dy=0
M (x ; y )=4 x3 y− y4 sen (x )N ( x ; y )=x4 y−4 y3cos (x )∂M∂ y
=4 x3−4 y3 sen ( x )
∂N∂ x
=4 x3 y+4 y3 sen ( x )
∂M∂ y
≠∂ N∂ x
∴Noes exacta
5¿ .M ( x ; y )dx+(x2 exy+ y3−sen ( xy ) )dy=0
Solución:M (x ; y )dx+ (x2e xy+ y3−sen ( xy ) )dyM (x ; y )=1N ( x ; y )=x2 exy+ y3−sen ( xy )No es exacta∂ (N (x ; y ) )∂(x )
=2 xexy+x2 y exy− y cos ( xy )
Mg. Mat. César Castañeda Campos
∂ (M ( x ; y ) )∂( y )
=∂ (N ( x ; y ) )∂(x )
=2x exy+x2 ye xy− y cos ( xy )
∫ ∂ (M ( x ; y ) )=∫ (2 xe xy+ x2 y exy− y cos ( xy ) )d ( y)M (x ; y )=∫ (2 x exy )d ( y )+∫ (x2 y exy )d ( y )−∫ ( y cos ( xy ) )d ( y)M (x ; y )=2 x∫ (exy )d ( y )+ x2∫ ( y exy )d ( y )−∫ ( y cos ( xy ) )d ( y)Aplicando integración por partes.
M (x ; y )=2exy+x2[ yx exy−∫ exy
xd ( y )]−[ y sen (xy )x
−∫ sen(xy )x
d ( y )]M (x ; y )=2exy+x2[ yx exy− exy
x2 ]−[ y sen(xy )x+cos (xy )x2 ]
M (x ; y )=exy+xy exy−y sen( xy)
x−cos (xy)x2
d (F ( x ; y ) )=M ( x ; y )dx+N (x ; y )dy
d (F ( x ; y ) )=(exy+xy exy− y sen (xy )x
−cos (xy )
x2 )dx+ (x2exy+ y3−sen (xy ) )dy
d (F ( x ; y ) )dx
=exy+xy exy−y sen( xy)
x−cos( xy)x2
……………….α
d (F ( x ; y ) )dy
=x2 exy+ y3−sen ( xy )…………… .. β
Integrando α respecto a xd (F ( x ; y ) )
dx=(exy+xy exy− y sen(xy )
x−cos (xy )
x2 )∫ d (F (x ; y ) )=∫(exy+xy exy− y sen(xy )
x−cos(xy )x2 )dx
Ahora ya son homogéneas.
6¿ . M (x tan2 (x+ y )+ex+ y+ xy )dx+dy=0
SOLUCION
M (x tan2 ( x+ y )+ex+ y+ xy )dx+dy=0
M (x ; y )=x tan 2 ( x+ y )+ex+ y+ xy
N ( x ; y )=1
⇒ dMdY
=dNdX
=x tan2 ( x+ y )+ex+ y+ xy
⇒ dNdX
=x tan 2 ( x+ y )+ex+ y+ xy
Mg. Mat. César Castañeda Campos
Intengrandorespecto aX
∫ dN=∫(x tan2 ( x+ y )+e x+ y+ xy)dx
N=∫(x tan2 ( x+ y )+ex+ y+ xy)dx
N=∫ ( x tan2 ( x+ y ) )dx+∫e x+ y dx+∫( xy)dx
N=ex+ y−e y+ x2
2 y+∫ (x tan 2 ( x+ y ) )dx
Mg. Mat. César Castañeda Campos