preuniversitario - geometria 1°

7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 1

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COLEGIO PREUNIVERSITARIO SACO OLIVEROS PPrriimmeerr AAoo

Geometra 1

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Primer Ao

EL SATELITE SPUTNIK 1

Sputnik 1 Lanzado el 4 de octubre de 1957, el Sputnik 1 fue la primera naveen rbita alrededor de la Tierra. Llamado as por la frase rusa "compaerode viaje por el mundo" (Sputnik Zemli), era un pequeo satlite que slomeda 58 cm de ancho. Completaba una rbita en torno a la Tierra una vezcada 96,2 minutos y transmita informacin sobre la atmsfera terrestre.

Tras un vuelo de 57 das, volvi a entrar en la atmsfera y se destruy.


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Geometra 2

IMPRESIONES Y FOTOCOPIADOV.L.E.B.

TELF.: 5400814 / 98503121

DPTO. DE PUBLICACIONES


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Geometra 3

TEMA: POLGONOS

Es la reunin de tres o ms segmentos consecutivos y coplanares, talque el extremo del primero coincide con el extremo del ltimo, limitando unaregin plana.

Interno)

Externo)

A

B

C

E

D

Diagonal

Zy

x

N de lados = N de vrtices = N de s internos.

ELEMENTOS:

Vrtice : A, B, C, D, E

Lados : EA,DE,CD,BC,AB

m internos : ,,,,m externos : x, y, z,

POLIGONO CONVEXOEs cuando tienen todos sus ngulos internos convexos. Es decir mayoresque cero y menores que 180.


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Geometra 4

POLIGONO NO CONVEXO O CONCAVO

Cuando algunos de sus ngulos internos son mayores de 180 y menoresque 360.

,, > 180

CLASIFICACIN DE LOS POLIGONOS CONVEXOS

1. Polgono Equingulo.-Cuando tienen todos sus ngulos internos (congruentes) iguales.

Ejm:

120

120120

120 120

120

2. Polgono Equiltero.-Cuando tienen todos sus lados (congruentes) iguales.Ejm:

a

a

a

aa


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Geometra 5

Pentgono no convexo equiltero

3. Polgono Regular.-

Cuando sus lados son (iguales) y sus ngulos son (iguales).Ejms:

a a

a

60

6060

108

108108

108108

Tringuloequiltero

cuadrado


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Geometra 6

110

100

100

x

60 30

150

120

PROPIEDADES

* Para todo polgono convexo.- Si n es el nmero de lados de un polgonoconvexo, se cumple que:

1ra Propiedad.- Suma de las medidas de los ngulos internos

S int = 180 (n - 2)

Ejm:

S int = 180 (5 - 2)= 180 (3)= 540

100 + 110 + 100 + 90 + x = 540x = 140

2da Propiedad.- Suma de las medidas de los ngulos externos.

S ext = 360

Ejm:

Se = 120 + 150 + 90= 360


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Geometra 7

A B

CD

A B

C

DE

F

3ra Propiedad.- Nmero total de diagonales.

( )

2

3nnDT

=

Ejm:

( )

2

344DT

=

2DT =

n = 4

4ta Propiedad.- Nmero de diagonales desde un solo vrtice.

D1 = (n 3)

Ejm:

D1 = (6 - 3)D1 = 3

Nota: Siendo las diagonales CF,BE,AD

5ta Propiedad.- Nmero de diagonales medias

( )2

1nnDn=


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Geometra 8

108A

B

C

DE

120

120

120

A B

C

DE

F

60

* PARA POLIGONOS REGULARES

6ta Propiedad.- Medida del interior ()

( )

n

2n180 =

Ejm:

( )

( )

=

=

=

108

5

3180

5

25180

7ma Propiedad.- Medida del exterior (B)

n

360B=

Ejm:

=

=

60B

6

360B


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Geometra 9

60

606060

60

120

8va Propiedad.- Medida del central ()

n

360=

Ejm:

=

=

60

6

360

9na Propiedad.- Suma de los ngulos centrales.

S cent = 360

* Del ejemplo anterior

60 + 60 + 60 + 60 + 60 + 60 = 360

DENOMINACION DE LOS POLIGONOS

Tringulo 3 ladosCuadriltero 4 ladosPentgono 5 ladosHexgono 6 ladosHeptgono 7 ladosOctgono 8 ladosNongono 9 ladosDecgono 10 ladosUndecgono 11 ladosDodecgono 12 ladosPentadecgono 15 ladosIcosgono 20 lados

Engono n lados


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Geometra 10

PROBLEMAS PARA LA CLASE

01) En un polgono convexo, la sumade las medidas de sus ngulosinteriores y exteriores es 1620.Calcular el nmero de diagonalesde dicho polgono.

Rpta.:

02) En un polgono, la diferencia

entre la suma de sus ngulosinteriores y exteriores es 180;entonces el doble del nmero delados es:

Rpta.:

03) Calcular el ngulo interno de unpolgono de regular convexo, cuyonmero de diagonales excede en

7 al nmero de diagonales de otropolgono convexo que tiene unlado menos.

Rpta.:

04) La suma de las medidas de losngulos internos y centrales deun polgono es igual a 2700.Calcular el nmero de

diagonales.Rpta.:

05) Si a la medida de un nguloexterno de un polgono regular sela incrementa en 30, se obtieneel ngulo externo de otropolgono, cuyo nmero de ladoses la mitad del original. Hallar elnmero de lados del polgono.

Rpta.:

06) Si el nmero de lados de unpolgono disminuye en 2,entonces el nmero de diagonalesdisminuye en 15. calculare elnmero de tringulos que seforman al trazar las diagonales apartir de un solo vrtice.

Rpta.:

07) La suma de las sumas de lasmedidas de los ngulos internosde dos polgonos es 900. Qupolgonos cumplen con dichacondicin?

Rpta.:

08) Calcular el nmero de lados deun polgono regular, donde al

aumentar en dos su nmero delados, la medida de su nguloexterno disminuye en 9.

Rpta.:

09) Si el nmero de diagonales de unpolgono convexo disminuye en5; entonces resulta un nuevopolgono convexo donde la sumade las medidas de sus ngulosinteriores es 720. calcular elnmero de diagonales delpolgono convexo inicial.

Rpta.:

10) En un cuadrado ABCD, seconstruye interiormente eltringulo equiltero AED. Calcularm AEB.

Rpta.:


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Geometra 11

11) En un polgono regular ABCDE

la m ACE = 144. Cuntasdiagonales medias tiene?

Rpta.:

12) Calcular el nmero de lados deun polgono convexo, si elnmero total de diagonales, msel nmero total de diagonales,ms el nmero de diagonales

trazadas desde un solo vrtice,ms el nmero de de tringulosque se forman al unir un puntoinferior con cada vrtice es iguala 88.

Rpta.:

13) En un polgono equiltero sesabe que desde 5 vrtices

consecutivos se pueden trazar 29diagonales. Calcular el permetrosi uno de sus lados mide 3.

Rpta.:

14) Se tiene un polgono de n lados,desde 5 puntos mediosconsecutivos se ha trazado 110diagonales que se puede trazar

desde 7 vrtices consecutivos.

Rpta.:

15) La diferencia entre el nmero dediagonales de cierto polgonoregular y el nmero de ngulosrectos a que equivale la suma delos ngulos internos es 8. calcularla medida del ngulo central.

Rpta.:

16) Calcular el nmero de lados de

aquel polgono en donde elmximo nmero de diagonaleses el doble de la suma delnmero de lados ms dos.

Rpta.:

17) Calcular la suma de las medidasde loas ngulos internos de unpolgono regular.

Si: 9 m ext = 5 DT.DT: Diagonales Totales

Rpta.:

18) la diferencia entre el nmero dediagonales y el nmero dengulos llanos a que equivale lasuma de las medidas de losngulos interiores de un polgonoes 119. calcular la suma de lasmedidas de los ngulos internosde dicho polgono.

Rpta.:

19) En un polgono convexo, ladiferencia de entre la suma de lasmediadas d sus ngulos internosy la suma de la medidas d susngulos externos es igual a1440. Calcular el nmero dediagonales de dicho polgono.

Rpta.:

20) La suma de las sumas de lasmedidas de los ngulos internosde dos polgonos es 900. Qupolgonos cumplen con dichacondicin?

Rpta.:


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Geometra 12

PROBLEMAS PARA LA CASA

01) En un polgono de n ladosdesde 4 vrtices consecutivosse trazan 81 diagonales.Calcular n.

a) 12 b) 14c) 16 d) 24e) 20

02) En que polgono regular severifica que el cociente entrelas medidas del ngulo centrales igual al mximo nmero dediagonales del polgono de 7lados menos?

a) Pentgonob) Hexgonoc) Octgonod) Nongonoe) Dodecgono

03) Si en un polgono regular sunmero de lados aumenta en5, entonces las medidas de sungulo exterior disminuye en 6.calcular su nmero de lados.

a) 15 b) 12

c) 18 d) 20e) 25

04) La suma de las mediadas de13 ngulos interiores de unpentadecgono es 2200. hallarla medida del ngulo formadopor las bisectrices interiores delos otros ngulos.

a) 110 b) 80c) 90 d) 120e) 100

05) En un polgono regular aldisminuir en 6 el nmero desus lados, la medida de sungulo externo aumenta en80. Cuntos lados tienedicho polgono?

a) 10 b) 7c) 9 d) 12

e) 8

06) Calcular el nmero de diagonalesde un polgono, si la suma de lasmedidas de sus ngulos internos

es igual a2

9de la suma de sus

ngulos externos.

a) 19 b) 28c) 34 d) 37e) 44

07) Si a un polgono se le aumentaen 3 el nmero de lados, lasuma de sus ngulos interioresexcede en dos rectas a la deseis pentgonos. Calcular elnmero de lados del polgono.

a) 18 lados b) 15 ladosc) 13 lados d) 11 ladose) 17 lados

08) Dos polgonos regulares tienenngulos centrales que sediferencian en 9. Si uno deellos tiene la mitad del nmerode lados del otro. Calcular el

nmero de lados de los dospolgonos.


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Geometra 13

a) 10 y 20 b) 20 y 40

c) 30 y 60 d) 15 y 30e) 40 y 80

09) Cuantos lados tiene aquelpolgono equingulo, Si lasuma de las medidas de 7ngulo internos es 1134.

a) 25 b) 40

c) 35 d) 20e) 30

10) La suma y diferencia de lasmedidas de los ngulosexteriores e interiores de dospolgonos regulares es 100 y20. Cuanto mide el ngulocentral del polgono de mayor

nmero de lados.a) 20 b) 30c) 40 d) 36e) 50

11) Si los nmeros de lados de dospolgonos se diferencias en 5 ylos nmero de diagonales

totales de ambos polgonos sediferencia en 40. calcular lasuma de las medidas de losngulos interiores del polgonode mayor nmero de lados.

a) 1620 b) 540c) 900 d) 1800e) 2340

12) Cuantos lados tiene le polgono

convexo cuyo nmero dediagonales es igual al triple desu nmero de vrtices.

a) 8 b) 4c) 6 d) 5e) 9

13) Cuntos lados tiene aquel

polgono regular, si la suma delas medidas de sus ngulosinternos es 15/2 de la medidade un ngulo externo.

a) 5 b) 1c) 4 d) 7e) 2

14) Calcular la suma de lasmedidas de los ngulosinternos de un polgonoconvexo donde el cociente desu total de diagonales y sunmero de lados es 0

a) 150 b) 180c) 160 d) 100

e) 12015) El nmero de lados de un

polgono es igual a la mitad delnmero de diagonales; calcularla suma de sus ngulosinternos.

a) 800 b) 700

c) 900 d) 1000e) 650


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Geometra 14

TEMA: CUADRILTEROS

DEFINICION.-Es aquel polgono que tiene 4 lados, teniendo dos a dos un extremo comn.

A B

CD

B1

B4

B3

B21

2

34

ELEMENTOS.-

1) LADOS( )DAyCD,BC,ABSon los segmentos rectilneos que lo limitan. Los lados que no tienevrtice comn recibe el nombre de lados opuestos.

Ejm:AB yCD , son lados opuestos como BC yDA .

2) VERTICES: (A, B, C y D)

Son las intersecciones de dos lados consecutivos. En todo cuadriltero,el nmero de lados es igual al nmero de vrtices.

3) NGULOS INTERIORES (1,2,3 y4)Son los ngulos que se forman por dos lados consecutivos, la suma de

s interiores en un cuadriltero es = 360. Se cumple que:

1 +2 +3 +4 = 360

4) NGULOS EXTERIORES (B1, B2, B3 y B4)Son los ngulos formados en un vrtice por un lado y la prolongacindel lado consecutivo.Los ngulos exteriores son adyacentes a los interiores.La suma de sus ngulos exteriores en un cuadriltero es igual a 360

B1 + B2 + B3 + B4 = 360

5) DIAGONALES( )BDyACSon los segmentos de recta que unen dos vrtices no consecutivos.


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Geometra 15

CLASIFICACIN DE LOS CUADRILTEROS

Por la forma de su contorno

Convexos.- Son aquellos cuadrilteros en los que cualquier recta secante,determina 2 puntos de corte.

A

B

C

D

1

2

Cncava.- Son aquellos cuadrilteros en los que existe al menos unasecante que determina ms de dos puntos de corte.

1 4

32

CLASIFICACIN DE LOS CUADRILTEROS CONVEXOS

De acuerdo al paralelismo de sus lados los cuadrilteros se dividen en:Trapezoide, Trapecio y Paralelogramo.

A. Trapezoides.- Son aquellos cuadrilteros que no tienen lados opuestos,ningn lado paralelo al otro paralelo.

a. Simtrico.- Es aquel en el que una de sus diagonales es mediatrizde la otra.


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Geometra 16

A

B

D

C

Lnea de Simetra

m m

L

L : mediatrizde BD

Propiedades:

==

==

==

CDBBDA

CBDDBA

CDAD;BCAB

b. Asimtrico: Es aquel que no tiene ninguna simetra. Tambinllamado trapezoide irregular.

a

b

c

d

B. Trapecios.- Es el cuadriltero que solo tiene dos lados paralelosdenominados bases.

A

B C

D

M N

H

l m

ml

BASES:BC ;AD AD//MN//BC


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Geometra 17

B

b BA

D C

MN : Mediana del trapecio. Es el segmento que une los puntos medios de

los lados no paralelos. Se le conoce tambin como base media.CH : Altura del trapecio. Es la distancia entre sus dos bases.

CLASIFICACIN DE LOS TRAPECIOS

a. Escaleno.- Es aquel que tiene sus lados no paralelos desiguales.

a b

//

b. Issceles.- Es aquel que tiene sus lados no paralelo iguales.

Se cumple

ACBD

DC;BA

BCAD

=

==

=

Las diagonales

- Los ngulos opuestos son suplementarios + = 180

c. Rectngulo.- Es aquel trapecio donde uno sus lados no paralelos esperpendicular a sus bases.

B

A

D

C

a

b

+ = 180


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Geometra 18

PROPIEDADES DEL TRAPECIO

b

a

m

b

a

n

C. PARALELOGRAMOS.- Son aquellos cuadrilteros que tienen sus lados

opuestos paralelos y congruentes. Se cumple que los ngulos opuestosson de igual medida y dos ngulos consecutivos siempre suplementarios.

Adems sus diagonales se bisecan mutuamente.

0

A

B C

D H

m

n m

n

Se cumple: BC//ADyDC//AB

CDAB;BCAD ==

ODBOyOCAO ==

:CH altura

2

abm

+=

2

abn

=


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Geometra 19

- Los ngulos opuestos son iguales y los ngulos adyacentes a un

mismo lado son suplementarios.

CA;DB ==

180DC

180BA

=+

=+

a. Romboide.- Es el paralelogramo propiamente dicho.

A

B C

DH

a

b

a

b

F

( BF;BH : Alturas)

b. Rectngulo.- Es el paralelogramo que tiene sus cuatro ngulosiguales y rectos (equingulo) y sus lados opuestos iguales dos ados. Llamado tambin, cuadrilongo.

A B

C D

Se cumple:CDAB;BDAC

90DCBA

==

====


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Geometra 20

a a

a a

C

A

BD

CBCDABAD ===

BA

DC

= 45 CADCBDAB ===

- Las diagonales son iguales:

BCAD=

c. Rombo.- Es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales ysus ngulos opuestos dos a dos. Es un paralelogramo equiltero.

- Las diagonales son perpendiculares entre si y bisectriz de sus ngulos.

d. Cuadrado.- Es un paralelogramo que tiene sus cuatro ladosiguales y sus cuatro ngulos iguales y rectos (es un paralelogramoequingulo y equiltero)

- Sus diagonales son iguales. BCAD=


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Geometra 21

PROPIEDADES GENERALES

1. ngulo formado por 2 bisectrices.

x

A

B

C

D

2. ngulo formado por dos bisectrices interiores no consecutivos.

A

B

C

D

x

3. cuadriltero cncavo.

x

A C

B

D

2x

+=

2

x

=

++=x


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Geometra 22

4.

abx

5.

b

a

yx

2

bax

+=

2

abx

=

2

aby

=


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Geometra 23


01) En el grfico se muestra untrapecio, en el cual la medidade PQ = 4 y la medida de MN =10. sabiendo que M y N sonpuntos medios de AB y CDrespectivamente. Calcular lalongitud de BC.

A

B C

D

P QM N

Rpta.:

02) En un trapecio ABCD, la

medida del ngulo A mas la

medida del ngulo D es igual a200. determinar la medida delngulo formado por lainterseccin de las bisectricesinteriores que parten de los

vrtices B y C.Rpta.:

03) En el grfico adjunto se sabeque ABC es un tringuloequiltero y BCDE es uncuadrado. Calcular la medidade la base media del tringulo.Si se sabe que la suma de lospermetros de ambas figuras esigual a 28.

A

B

D

E

C

Rpta.:

04) En el grfico sgte: Se tiene que(AD // BC) y (DC // AB).

Adems la medida del ngulo

B es 90. si el permetro de la

figura es 80. calcular ladiferencia de sus lados BC yDC. Si sabemos que estn enla relacin de 1 a 3.

A

B C

DRpta.:

05) Si se sabe que ABCD y DEFGson cuadrados, calcular el valorde x.


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Geometra 24

A

B C

D

E F

G

x

Rpta.:

06) Calcular la medida del menorngulo que forman lasdiagonales de un trapecioissceles en el cual sumediana mide igual a la mitadde lo que mide una de susdiagonales.Rpta.:

07) En el grfico, calcular el valorde x, en funcin de y B.dado:

A D

B

C

x

ww

B

Rpta.:

08) En la figura BM = MA,

BC = HD, AD = 12 y CH = 3.calcular ML.

A

B C

D

2

LM

H

Rpta.:

09) Si sabemos que ABCD es unromboide. Calcular el valor de x.

A

B C

D

x

Rpta.:

10) Calcular el valor de x en elgrfico mostrado, si se sabe

que (BC // AD)

A B

CD

4

3a 3b

12

x

a b

Rpta.:


25/160


Geometra 25

11) Si sabemos que ABCD es un

romboide y AB = 18. Calcularel valor de x.

A

B C

D

x

Rpta.:

12) En el grfico adjunto.Determinar el valor delsegmento AD, si sabemos que(BC // AD).

BA

CD

2

4

6

Rpta.:

13) En el grfico que se representala longitud del segmento AE.(ABCD rectngulo)

A

B C

D

E

7

3

Rpta.:

14) En el grfico adjunto,determinar la longitud delsegmento AC (BC // AD)

A

B C

D

2

5

11

Rpta.:

15) En un romboide ABCD se traza

la bisectriz DM (MEBC). SiAB = 6. Calcular la medida delsegmento que une los puntosmedios de AM y BD.

Rpta.:


26/160


Geometra 26

16) Calcular la distancia entre los

puntos medios de BD y ACsi adems sabemos que

( BC // AD ).

B

A D

C

90 +

2

Rpta.:

17) En un trapecio ABCD, lamedida del ngulo A y lamedida del ngulo B, soniguales e iguales a 90 las

bisectrices interiores de losngulos C y D se interceptanen P. calcular AB si la distancia

desde el punto P aCD es 4.

Rpta.:

18) En un trapecio ABCD se tiene

que( )AD//BD la medida delngulo A y la medida delngulo D estn en la relacinde a 4 si adems sabemos que

ADBCAB =+ . Determinarel valor de la medida delngulo D dividido entre 4.

Rpta.:

19) En un trapecio ABCD, la

medida del ngulo A y elngulo D son iguales e igualesa 90. Si M e punto medio de

BC . Calcular la medida delngulo m ADM, si adems:

AD = 2K, AB = K a,CD = K +a.

Rpta.:

20) Si ABCD es un trapecio yadems AB = 8 y CD = 14.Determinar el valor de lamediana del trapecio.

A

B C

D

I

B

B

ww

Rpta.:


27/160


Geometra 27


01) En el grfico mostrado, calcularel valor de x.

x

3

7

2

a) 75 b) 72c) 90 d) 60e) 54

02) Si sabemos que ABCD es uncuadrado. Determinar el valordel segmento BD. Adems

BR = 2.B

A D

C

R

a) 6 b) 5c) 4 d) 3e) 2

03) Las bases de un trapecioissceles estn en la relacinde 5 a 7. si adems sabemosque el permetro es 38 y loslados no paralelos miden 7.Calcular el valor de la medianadel trapecio.

a) 14 b) 10c) 12 d) 16e) 18

04) Si ABCD y DMNQ soncuadrados, calcular el valor dex.

B C

D

NM

Q

x

A

a) 100 b) 110c) 120 d) 90e) 80

05) Calcular a + b + c en elsiguiente grfico.

A

B C

D

F

G E

a b c

a) 240 b) 170c) 190 d) 200e) 180


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Geometra 28

06) Si ABCD es un cuadrado

determinar el valor delsegmento DE. Si adems BP =5 m y PC = 12 m.

A

B C

D

E

P

a) 17 b) 18 c) 19d) 20 e) 21

07) La suma de las distancias de losvrtices A, B, C, D de uncuadrado ABCD a una rectaexterior no paralela a ningn lado

es 24. Calcular la distancia delpunto de interseccin de lasdiagonales a dicha recta.

a) 8 b) 10 c) 12d) 6 e) 14

08) Determinar el valor delsegmento AP. Si ademssabemos que PN = 9 y NC = 4

(ABCD es un paralelogramo)

A

B C

D

M N

P

2

a) 12 b) 13

c) 14 d) 15e) 16

09) Si el lado del hexgono regular

es. hallar el lado del tringuloequiltero ABC.

A

B

C

a)/2 b)

c) 3 /2 d) 2

e) 5 /2

10) Las bases de un trapecio estnen la relacin de 6 a 10.Calcular la relacin entre labase mayor del trapecio con surespectiva mediana.

a) 7/4 b) 3/2c) 5/2 d) 5/3

e) 5/4

11) En un cuadriltero ABCD. La

medida del ngulo 80A = y la

medida del ngulo 120C = .Cunto mide el mayor nguloque forman los bisectrices delos otros dos ngulos?


29/160


Geometra 29

a) 100 b) 140

c) 160 d) 120e) 180

12) En un rombo ABCD se traza

BH perpendicular a AD tal

que HDAH= . Calcular la

medida del nguloC .

a) 60 b) 80c) 70 d) 40e) 50

13) En un trapecio ABCD se tiene

que la medida del ngulo B ,

es el doble de la medida delngulo D . Adems

BC = 4 AB = 5. Calcular la

medida del a base mayorAD .

a) 7 b) 8c) 10 d) 9

e) 6

14) En el grfico: ABCD es uncuadrado; AED es un tringuloequiltero. Calcular el valor dex.

B

A D

C

E

x

a) 145 b) 150c) 155 d) 160e) 140

15) En la figura ABCD es uncuadrado y AED y CFD sontringulos equilteros. Calcularel valor de x.

B

A D

C

Ex

F

a) 40 b) 15c) 50 d) 55e) 30


30/160


Geometra 30

TEMA: CIRCUNFERENCIA - PROPIEDADES

DEFINICIN.-Es la figura geomtrica que est formado por todos los puntos de un mismoplano que se encuentran a una misma distancia de otro punto de ese mismoplano denominado centro.

A la distancia constante de estos puntos al centro de le denomina radio de lacircunferencia.Se denomina crculo a la regin interior del plano limitada por unacircunferencia.

AB

C

D E

F

G

H

I

T

R M

N

O

TangenteSecante

ELEMENTOS:

- CENTRO (O): Punto equidistante de todos los puntos de circunferencia.Dos o ms circunferencias con el mismo centro se dice que sonconcntricas.

- RADIO ( )OA : Segmento que une el centro de la circunferencia con unpunto cualquiera de la misma.

- CUERDA ( )BC : Segmento que une dos puntos de una mismacircunferencia.

- DIAMETRO ( )DE : Es la cuerda de mayor longitud que pasa por elcentro de la circunferencia dividindola en partes iguales.

- SECANTE ( )FG : Es toda recta en el plano de la circunferencia en dospuntos. Cabe notar que la secante contiene a la cuerda.

- TANGENTE ( )HI : Es toda recta en el plano de la circunferencia quetiene solo un punto comn con este (T), el cual recibe el nombre depunto de tangencia


31/160


Geometra 31

- FLECHA ( )MN : Segmento levantado perpendicularmente del puntomedio de una cuerda al arco. La prolongacin de la flecha siempre pasapor el centro.

- ARCO ( )AN : Es la porcin de circunferencia limitada por los extremosde una cuerda. En particular, una semicircunferencia es un arco limitadopor los extremos de un dimetro.

PROPIEDADES:

1ra Propiedad.- Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al

radio trazado por el punto de contacto.

TL1 (Punto de Tangencia)

2da Propiedad.- El segmento que une el centro de una circunferencia esperpendicular a la cuerda. Esta divide a los arcos que subtiene en dos partescongruentes.

B

E

M

O

A

3ra

Propiedad.- En toda circunferencia, a arcos congruentes correspondencuerdas congruentes.

1LOT

Si ABOM

AM = MB

mEBmAE=


32/160


Geometra 32

A

B

O

C

D

a a

4ta Propiedad.- E n una misma circunferencia los arcos comprendidos entreparalelas son congruentes.

A B

C D N

M

5ta Propiedad.-

B

Posiciones Relativas de dos circunferencias.Dos circunferencias situadas en un mismo plano, con centros O y O y radiosR y r respectivamente, pueden tener las siguientes posiciones relativas:

a) Exteriores.- Cuando todos los puntos de una son exteriores a la otra. Ladistancia entre sus centros es mayor que la suma de los radios.

Si =CDAB

mCDmAB=

N//M

mBDmAC =

B=


33/160


Geometra 33

dO O

R r

b) Tangentes Exteriormente.- Cuando tiene un punto comn y los demspuntos de una son exteriores a la otra. En este caso, sus centros estn a

lados opuestos de la tangente comn y la distancia entre ellos es igual ala suma de los radios.

O OR r

P

Q

E

F

d

c) Secantes.- Cuando tienen dos puntos comunes. La distancia entre suscentros es menor que la suma de los radios, pero mayor que su diferencia.

dr

OO

B

A

R

d) Tangentes Interiormente.- Cuando tienen un punto comn y todos lospuntos de una de ellas son interiores a la otra. Sus centros estn almismo lado de la tangente comn y la distancia entre ello es igual a ladiferencia de los radios.

d> R + r

d = R + r

AB : CuerdaComn

AB'OO

R r< d< R + r


34/160


Geometra 34

rO

R

Od

e) Interiores.- Cuando todos los puntos de una de ellas son interiores a la otra.La distancia entre sus centros es menor que la diferencia de los radios.

rOO

d

R

f) Concntricos.- Cuando tienen el mismo centro, esto es, la distanciaentre sus centros es cero.

AB

CD

OO

Por otro lado, para tres circunferencias es importante considerar el casode circunferencias tangentes exteriores dos a dos.

O O

O

rr r

r

rr

d = R - r

d = R - r

d = 0

AB = CD


35/160


Geometra 35

g) Tangentes comunes interiores.

OO

A

BC

D

h) Tangentes comunes exteriores.

D

B

A

C

i) Si A, B y C son puntos de tangencia.

C

A

B

x

AB = CD

AB = CD

x = 90


36/160


Geometra 36

j) Si M es punto medio de AB.

A B

x

r

R

M

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA

1ra Propiedad.- Los dos segmentos tangentes a una circunferencia trazadosdesde un punto exterior a esta son congruentes y determinan nguloscongruentes con el segmento que une el punto exterior y el centro de lacircunferencia.

P

r

r

O

A

B

2da Propiedad.- Los segmentos tangentes comunes externos a doscircunferencias son congruentes.

A

B

C

D

O

x = 90

PBPA=

BDAC=


37/160


Geometra 37

TEOREMA DE PONCELET

En todo tringulo rectngulo la suma de los catetos es igual a la hipotenusams el dimetro de la circunferencia inscrita.

r

CB

A

a b

c

TEOREMA DE PITOT

Es aquel cuadriltero cuyos lados son tangentes a una misma circunferencia.Siendo la suma de sus lados opuestos iguales a la suma de los otros ladosopuestos.

ab

x

y

p = semiperimetro del cuadriltero.

a + b = c + 2r

a + b = x + y = p


38/160


Geometra 38


01) De las sgts. proposiciones:I. Una cuerda es el segmento que

une dos puntos cualesquiera dela circunferencia.

II. El radio es el segmentoque une el centro con unpunto cualquiera de lacircunferencia.

III. Una recta tangente es aquellaque tiene un punto en comncon la circunferencia.

Rpta.:

02) En la figura T, A, B: puntosde tangencia. O centro.Calcular x + y.

B

6

y PAT

Rpta.:

03) En la figura: M, N y P: son

puntos de tangencia. AC = 15.Calcular AB + BC.

r

C

B

M N3

Rpta.:

04) En la figura O es centro.Calcular el valor de x. siadems sabemos que T espunto de tangencia tambin

AO = OB = BC.

CA B

T

x

0

Rpta.:

05) En l figura R, T y S son puntos

de tangencia AB = 13, BC = 14y AC = 15. Calcular AS.

T

B

A

R

S C

Rpta.:

06) En la figura mostrada. Hallarx. Si m TNB = 48 y NT //

AM.


39/160


Geometra 39

M

B

N T

A rx

Rpta.:

07) En la figura mostradamAB = 80 y mBC = 60. Hallar(x - y)

O

yx

CA

B

DP

Rpta.:

08) Determinar el valor de AB. Sise sabe que EB = 3m yBF = 1m.

R

A

BE

F

Rpta.:

09) Calcular el permetro del tringulo

sombreado. Si PA = 8m.A

B

P

Rpta.:

10) Determinar la longitud delsegmento LM. Si se sabe quela medida del segmentoNB = 4.

A

B

OL

O1

2

MN

Rpta.:

11) Las longitudes de lacircunferencias concntricasson 31,40 cm y 18,.84 m. hallar

AB ( = 3,14).

A

B

Rpta.:


40/160


Geometra 40

12) En la figura, calcular la medida

del ngulo C O D.B

A

C

D

O

Rpta.:13) En la figura mostrada. Hallar

, si mQE = 30.

B

A

C

D

E

Q

14) P, Q y R son puntos detangencia m ABP = 36,calcular x.

Q

A

B

C

P

x

36

R

Rpta.:

15) En la figura. Calcular x.

x

rr

Rpta.:

16) En el grfico mostrado.Calcular el valor de.

Rpta.:

17) Si A, B, P son puntos detangencia. Calcular .

B

A

P

Rpta.:


41/160


Geometra 41

18) En la figura mostrada. Calcular x:

x2

Rpta.:

19) E la figura mostrada. Calcularel valor de x, si sabemos queO es centro.

x

0

Rpta.:

20) En la figura O es centro y

AO = EC, indicar la relacincorrecta, entre y.

CA

E

D

O

Rpta.:


42/160


Geometra 42


01) En la figura: M, N y P: puntosde tangencia AC = 15. Calcular

AB + BC.

r

C

B

M

N

P

8

A

a) 33 b) 30 c) 32d) 34 e) 31

02) En la figura: R, S T y P: puntosde tangencia: si AB = 6, BC = 8y CD = 10. Calcular AD.

B

A

C

DP

S

R T

a) 6 b) 9 c) 7d) 8 e) 10

03) En la figura (L1 // L2) A y B:puntos de tangencia. Calcularm POQ, adems O centro.

P

O

L1

L2Q

a) 70 b) 80 c) 90d) 100 e) 120

04) En la figura R y S: puntos detangencia. Calcular RS.

O

R

S P 2

6

a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) 5

05) En la figura, la circunferenciaes tangente a los 3 lados. Si

m B = 40. calcular x.

A

B

C

x


43/160


Geometra 43

a) 100 b) 110 c) 120

d) 130 e) 140

06) En la figura O es centro.Calcular x si m TOC = 2m TCO.

O C

T

x

a) 30 b) 40 c) 35d) 45 e) 50

07) En la figura: S, M y T: son puntosde tangencia. Calcular x.

x

20

S

r

T

M

a) 80 b) 70 c) 75d) 95 e) 85

08) En la figura: A, B son puntos detangencias. Calcular 2x.

20

x

A

B

a) 150 b) 170 c) 160

d) 180 e) 190

09) En la figura T, P y Q sonpuntos de tangencia. Calcular:m TOP + m BOC.

Nota: B, O,P no son colineales

O

Q

B

A CP

T

40

a) 230 b) 240 c) 220d) 260 e) 250

10) En la figura M, N, P, Q sonpuntos de tangencia,

AB + CD = 20, AD = 12,Calcular MC.

B

A

C

D

P

QN

M

a) 2 b) 6 c) 5d) 3 e) 4


44/160


Geometra 44

11) Hallar AT, si AB = 7, BC = 8 y

AC = 9.

C

B

PA

TQ

a) 6 b) 5 c) 4d) 2 e) 3

12) Hallar x en el sgte. grfico.

40

x

A B

C

a) 70 b) 50 c) 40d) 60 e) 30

13) En la figura, Calcular x si P yS son centros.

P

40 x

S

Q

R

a) 90 b) 40 c) 80d) 50 e) 70

14) Si O es centro, T es punto de

tangencia y la m OAT = 20.Calcular la m PTA.

TP

A

O

a) 50 b) 90 c) 80d) 70 e) 60

15) En un tringulo ABC: AB = 8,BC = 10 y AC = 12. Si lacircunferencia inscrita

determina sobre AC el puntoM. Calcular AM.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 2


45/160


Geometra 45

TEMA: CIRCUNFERENCIA NGULOS

a. ngulo Central.- Es aquel que tiene como vrtice el centro de lacircunferencia y como lados dos radios de la misma. Su medida es iguala la del arco interceptado.

xO

A

B

b. ngulo Inscrito.- Es aquel que tiene su vrtice sobre la circunferencia ysus lados son dos cuerdas. Su medida es igual a la mitad de la medidadel arco interceptado.

x

A

B

C

Propiedades:1) El ngulo inscrito es una semicircunferencia mide 90.

A

B

C

O

2) Todos los ngulos inscritos en un mismo son iguales.

A

B

C

DE 2

ABx =

2ABx =

=90B

=== CBA


46/160


Geometra 46

c. ngulo Semi Inscrito.- Es aquel que tiene su vrtice sobre la

circunferencia y sus lados son una cuerda y una tangente. Su medida esigual a la mitad de la medida del arco interceptado.

x

A

T T

O

d. ngulo Interior.- Es aquel que tiene su vrtice dentro de lacircunferencia y sus lados son dos cuerdas que se cortan. Sui medida esigual a la semisuma de las medidas de los arcos interceptados.

x

CA

B D

m n

e. ngulo Exterior.- Es aquel formado por dos secantes; por una secante yuna tangente, o por dos tangentes a una circunferencia, que seintersecan en un punto fuera de la misma. Su medida es igual a lasemicircunferencia de las medidas de los arcos interceptados.

Caso I: ngulo formado por dos secantes.

x

AB

C

b

D

a

2

ABx =

2

nmx

+=

2

BDACx

=

2

bax

=

2

CDABx

+=


47/160


Geometra 47

Caso II: ngulo formado por una tangente y una secante.

x

B

C b

a A

Caso III: ngulo formado por dos tangentes.

x

A

B

Cba O

En este caso, el ngulo recibe el nombre de ngulo circunscrito yse cumple que:

< >

f. ngulo Ex Inscrito.- Es aquel que tiene su vrtice sobre la circunferencia ysus lados son una cuerda y la parte exterior de una secante. Su medida esigual a la semisuma de los arcos comprendidos entre los lados del ngulo yentre los lados del ngulo opuesto por el vrtice.

A

C

x

BD

2

bax

=

2

ABACBx

=

2

bax

=

x180b ===+

=+

180xb

180x

2

ABCx =

2

ABACx

=


48/160


Geometra 48

Cabe sealar que el ngulo ex - inscrito es adyacente al ngulo inscrito,

por lo que su medida es igual al suplemento de este.

ARCO CAPAZ DE UN NGULO

Se llama arco capaz de un ngulo dado, al arco tal que los ngulos inscritosen el tengan la misma medida que el ngulo dado.ACE: arco capaz de los ngulos x

A

B

C

D

E2

xx

x

x

En la figura el arco de circunferencia ABCDE es el arco capaz de los ngulosx. El segmento AE que une los extremos del arco se denomina segmentocapaz.

PROPIEDADES:

1. De un ngulo exterior

x

2

AC180x =

x2360ACE =

x + y = 180


49/160


Geometra 49

2. Si AB = CD; entonces: AB CDA C

B D

3. Si CD//AB ; entonces AC BD

Si AB//PQ ; entonces AT TB

A

C

B

D

T

P Q

4. En toda circunferencia

B

C

A

5. Si T es punto de tangencia.

AB

T

x

y

x = y


50/160


Geometra 50

6. En las circunferencias secantes congruentes

A

B

NM

7. En toda semicircunferencia

O

x

EN TODO CUADRILTERO INSCRITO

a. Los ngulos opuestos son suplementarios

x

y

b. Un ngulo interior es congruente al opuesto exterior

y

x

mAMB = mANB

x = 90

x + y = 180

x =


51/160


Geometra 51

c. Las diagonales con los lados opuestos forman ngulos congruentes.

y

x

Circunferencia inscrita en un tringulo

A

B

C

P

R

Q

ac

b

Circunferencia ex inscrita a un tringulo.

A

B

C

P

Q

rc: exradios relativo a AB

x + y

AP = AR = a

BP = BQ = b

CQ = CR = c

Siendo: a, b y c: los ladosr: radiosp: semiperimetro

2

cbap

++=

CP = CQ = p

2

CABCABp

++=


52/160


Geometra 52


01) Si APB = 2x, hallar AB = x

B

A

P

O x2x

C1

C2

Rpta.:

02) Si AB = CF. Entonces hallarx.

xD

A

C

E

B

F70

Rpta.:

03) Hallar x, sabiendo que: RS ,TS , QS y S5 . Son lneas

tangentes.

R

TS

Q

B

B

A C P

x

Rpta.:

04) En la figura, calcular x.

x

70

Rpta.:

05) En la figura calcular x.

x

40

Rpta.:


53/160


Geometra 53

06) En la figura calcular x.

x

80

Rpta.:

07) En la figura, calcular x, si Oes centro.

a

3a

x

Rpta.:

08) En la figura, calcular x.

70

x

Rpta.:

09) En la figura, calcular x, si O

es centro.

x

0

a

2a

D

C

A

BRpta.:

10) En la figura mostrada. Calcularx si: m AB = 100

x

A

B

C

DP

3x

Rpta.:

11) Hallar x.

xP

54TB

A

Rpta.:


54/160


Geometra 54

12) O: centro, calcular x

70

x

O

Rpta.:

13) mAB + mCD = 200. calcular x

x

A B

CD

Rpta.:

14) mABC = 120, calcular: x.A

B D

C

E

x

40

Rpta.:

15) mAB = 2mCD, Calcular CD.

30

C

D

A

B

E

Rpta.:

16) Calcular .

A

B

P

Q

Rpta.:

17) Calcular

A

C

P

B

Rpta.:


55/160


Geometra 55

18) Calcular m AB

A

B

C

D50

20

a

Rpta.:

19) Calcular X

40

x

Rpta.:

20) En la figura calcular x si O

es centro.

x

D

C

B

Ax

O

Rpta.:


56/160


Geometra 56


01) Hallar la medida del arco MPN, siMN = a y el Radio son iguales.

R N

M

P

a) 280 b) 230 c) 225d) 270 e) 300

02) Hallar r. Si ES = 3 y 3ST = SPT.

r

P

E T

S

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 9

03) Hallar la m MTN, si T es puntode tangencia. Si la m MTQ = 22

r

P

T N

M

O

Q

a) 11 b) 22 c) 33d) 28 e) 35

04) En la figura, AE = 92 y BFD = 40.hallar la medida del m BMD.

B

D

CF

E

A

M

a) 30 b) 110 c) 50d) 52 e) 60

05) En la figura la m AQD +m BPC = 136. Hallar lamedida del arco AD.

A

B

CD

P

Q

a) 100 b) 110 c) 120d) 130 e) 136

06) Hallar la medida del ngulo

P Q R. Si P, Q y R son puntosde tangencia.


57/160


Geometra 57

P R

Q

a) 90 b) 60 c) 45d) 75 e) 80

07) En un arco de circunferencia

AB, donde AB es el dimetro,se tiene que mCA B = 20. DPes paralela a AC . Hallar elngulo P D B.

D

C

BOA

P

a) 55 b) 60 c) 80d) 45 e) 90

08) Hallar la medida del ngulo

S M Q. Si S, T y P son puntos

de tangencia.

QM

P

S

T

40

a) 110 b) 120 c) 130d) 140 e) 150

09) Hallar la medida del ngulo queforma MS y NT. Si S, T, y Pson puntos de tangencia.

M

NP

T

S

a) 60 b) 90 c) 70d) 108 e) 80

10) Hallar la m S Q T, Si S, P y Tson puntos de tangencia.

Q

P

TS

54

a) 116 b) 90 c) 104d) 108 e) 120

11) Hallar la m A B C. Si E, F, H, L yT son puntos de tangencia.

Adems m ABC = m EFT =m THL.

A

B

C

T

F

E

H

L


58/160


Geometra 58

a) 90 b) 80 c) 45

d) 60 e) 72

12) Hallar la medida del arco ST. Si + = 257. Si S, P, T sonpuntos de tangencia.

T

P

O

S

a) 77 b) 80 c) 103d) 75 e) 90

13) Calcular la medida del ngulo

S T P.

S

r

P

T

a) 135 b) 67 30 c) 45d) 120 e) 90

14) Desde un punto E exterior a una

circunferencia se trazan lasecante EMN y la tangente ES.Calcular la medida del nguloformado por las bisectrices de

los ngulos S E M y M SN.

a) 120 b) 80 c) 90d) 108 e) 100

15) Hallar la m PTS.

P

Q

S

T

R

53/2

a) 37 b) 53 c) 90d) 74 e) 16


59/160


Geometra 59

TEMA: SEMEJANZA DE TRINGULOS

Dos tringulos son semejantes si tienen sus tres ngulos interiorescongruentes (ngulos respectivamente de igual medida) y las longitudes desus lados homlogos son directamente proporcionales. Los lados homlogosson aquellos que se oponen a los ngulos congruentes.

A

a

B

b C

c

akck

P

Q

R

El ABC PQR .

Nota 1: m ABC = m PQR Nota 2: KRP

CA

QR

BC

PQ

AB===

m BCA = m QRPm CAB = m RPQ k = constante de proporcionalidad

CASO DE SEMEJANZADos tringulos son semejantes si tienen dos ngulos respectivamente deigual medida.

Caso I: ngulo Lado ngulo (ALA)

a ak

Ejm:

a 4a

8

x

2x

a4

a

8

x

=

/

/=


60/160


Geometra 60

Caso II: Lado ngulo Lado (LAL)

bkb

a ak

Caso III: Lado Lado Lado

bkb

a c ak ck

RAZN DE SEMEJANZA (r)Es aquel nmero real y positivo que se obtiene al dividir dos longitudes

homologas de dos tringulos semejantes.Ejm:

34

5

h2

h1

8 6

10

2h

h

5

10

4

8

3

6Razn

2

1 ======

SITUACIONES FRECUENTES DONDE SE PRESENTAN TRINGULOSSEMEJANTES

1. Si AC//MN ABC MBN


61/160


Geometra 61

NM

A C

B

2. Si AC//MN ABC MBN

B

NM

A C

3. Si MBN ABC

B

CA

N

M

4. ABD ABC


62/160


Geometra 62

C

B

A D

x

ba

5.

x

a

b

6. Cuadrado inscrito en un tringulo

x

x

x

xA

C

B

h

b

ba

abx

+=

Se cumple: x = nb

hb

hbx

+

=


63/160


Geometra 63

7. ABCD: Trapecio issceles AD//EF

x

b

a

A

C

y

B

D

E F

8. x = ab

ab

x

9. Cuadrado inscrito en un rombo.

x

x

D

d

D y d son diagonales.

ba

abyx

+==

dD

Ddx

+=

1. x = ab


64/160


Geometra 64

ALGUNAS PROPIEDADES DE PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

1. TEOREMA DE THALESSi:1 //2 // 3

a

b

m

n

Si:1 //2 // 3

ma

bn

2. CONSECUENCIA DEL TEOREMA DE THALES EN UN TRINGULO

NM

A C

B

b

a m

n

3. EN CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES

a m

nb

n

m

b

a=

n

m

b

a=

Si: AC//MN

n

m

b

a=

nm

m

ba

a

+=+

n

m

b

a=


65/160


Geometra 65

4. EN CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES

a

b

nm

5. TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR

ba

m n

6. TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR

ba

nm

n

m

b

a=

n

m

b

a=

n

b

m

a=

n

m

b

a=


66/160


Geometra 66

7. TEOREMA DEL INCENTRO

a

A C

B

b

c

D

8. PROPIEDAD

A B C D

B

BP

9. TEOREMA DE CEVA

b

a

x

Z C

y

ID

BI

b

ac=

+

CD

AD

BC

AB=

zyxcba =


67/160


Geometra 67


01) Calcular MN: Sabiendo que

AC = 10.

N M

A C

B

10

53

x

Rpta.:

02) Hallar el segmento TB, siCT = TB

8CA D

T

B6

Rpta.:

03) QT y RT , son lneas de

tangencia. Hallar el valor de R.

P

O 8 7a

Q

aT MR

Rpta.:

04) Si el BC 0 CD = 2. Hallar DE.

6

C

A

B

Dx

F

E

a

Rpta.:


68/160


Geometra 68

05) En el tringulo AB = 10,

BE = 5, ED = 3. Calcular BF .Si m BAE =

E

F10

5

3

x

DA

B

C

Rpta.:

06) Si AM = 4 y NC = 9. CalcularR. Si M y N son puntos detangencia.

C

B

A

M N

Rpta.:

07) Calcular ED, si AE = 6,

ME = 8, NE = 9. Hallar ED

D

E

CB

A

2B

NM

Rpta.:

08) ABCD: Cuadrado. AB = 6 cm.Calcular x.

N

M

B C

A D

6

6

Rpta.:


69/160


Geometra 69

09) En la figura: 8

3

AC

AD

= yRC = 2. Calcular AB.

A D

B

C

R

Rpta.:

10) En la figura mostrada. Calcularel valor de x.

x

A

B Ca

b D

Rpta.:

11) Si sabemos que 11

6

BC

AB

= yadems AC = 17. Calcular AD.

A

B

C

2

3

5

D

Rpta.:

12) En la figura mostrada EH, siABCD es un cuadrado:

AF =3

ADy AB = 4.

E

B C

A D

H

F

Rpta.:


70/160


Geometra 70

13) En la figura mostrada, calcular

EF, sabiendo que EFGA: Rombo.

A

B

C

E F

G12

24

Rpta.:

14) En la figura BE = EF = FG = GC.Calcular: JE + JF + HG.

A

CB

10

E F G

J

I

H

Rpta.:

15) En la figura mostrada. Calcular x.

B C

A D

M

4

9

Rpta.:

16) En la figura:2

1

EF

EH= .

Si AH = 4, calcular FC.

H

A

B

C

E

F

Rpta.:


71/160


Geometra 71

17) En la figura mostrada.

Calcular x.

A

8

Rpta.:

18) En la figura. Calcular EF.

A

B

E9

DC

F

105

B

Rpta.:

19) En la figura mostrada

CF // BE // AD 23

BEAB = .

Si GD = 6: calcular AG.

F

A G D

C

B E

Rpta.:

20) En la figura mostradaBM = MC, B es punto de

tangencia. Calcular BC, siAB = 8, BT = 4 y AC = 5.

CA

B

M

T

Rpta.:


72/160


Geometra 72


01) En la figura 1L // 2L // 3L . AB

0 5; EF = x + 2; BC = 7 yFG = 2x 2. Calcular x.

l1

l2

l3C

B

A E

F

G

a) 7 b) 6c) 5 d) 4e) 8

02) En un tringulo ABC, AB = 10;BC = 14 y AC = 12. Se traza

BD bisectriz interior

(D enAC ) calcular AD.

a) 3 b) 4c) 5 d) 6e) 7

03) En la figura. Calcular BD.

A

B

E

D

83

.

C

6

a) 3 b) 4c) 5 d) 6e) 7

04) En la figura mostrada. Calcular:DF/BD.

B

C

A

6

7

D

F

a) 7/6 b) 6/7

c)7

6 d)7

6

e) 12/7


73/160


Geometra 73

05) En la figura 1L // 2L // 3L // 4L ,

AB = 5; CD = 7; EG = 15 yFH = 19. Calcular FG.

1

2

3C

B

A E

F

G

D4

H

L

L

L

L

a) 3 b) 4

c) 5 d) 6e) 7

06) En la figura. Calcular AD.

D

CB

A E

16

8

5

a) 10 b) 8

c) 9 d) 11e) 12

07) En la figura mostrada. Calcular x.

E

C

B

A

D

24

3

x

a) 7 b) 6c) 5 d) 4e) 3

08) En la figura mostrada CF // BE

// AD y5

3

AC

AB= . Si GD = 6.

Calcular AD.

B

C F

G DA

E

a) 11 b) 12c) 10 d) 10

e) 9


74/160


Geometra 74

09) Del grfico PQ //AC , 5BP = 3AP;

BQ = 12; calcular QC.

A

B

C

P Q

a) 12 b) 20c) 22 d) 16e) 18

10) Si sabemos que 2AB = 5AD.Calcular x.

xA

B

CD

x +1

a) 3/2 b) 2/3

c) 1/3 d) 4/3e) 1

11) Del grfico, calcular CD:

A D

B

C

12

10

8

a) 20 b) 10c)15 d) 12e) 8

12) Del grfico AD = 3; DC = 2;calcular CE.

A D

B

C

B

B

E

a) 20 b) 12c) 18 d) 15e) 10


75/160


Geometra 75

13) Del grfico. Calcular x.

523

B

B

x

a) 5/3 b) 10/7

c) 3 d) 3/5e) 10/3

14) Del grfico. Calcular DE. Si

1L // 2L // 3L .

1

2

3

C

B

A

E

F

D

xx + 2

x + 6 x + 3

L

L

L

a) 2 b) 5c) 3 d) 8e) 6

15) Del grfico calcular PQ.

x

3

2

C

DA

B

P

Q

a) 5/6 b) 6/5c) 5/7 d) 7/6e) 7/5


76/160


Geometra 76

PROBLEMAS ADICIONALES DE POLGONOS

01) Se tiene dos polgonos regulares,si la suma total de las medidas desus ngulos interiores es 2340 ladiferencia del nmero dediagonales de ambos polgonoses 21. Calcular la meda delngulo interior del polgono demenor nmero de lados.Rpta.:

02) Cuntas diagonales se puedentrazar como mximo desde tresvrtices consecutivos en unpolgono no convexo, donde sumximo nmero de diagonalesmedias excede en 8 al mximonmero de diagonales?Rpta.:

03) Calcular el nmero de lados deun polgono equingulo sabiendoque la suma de las medidas de 7ngulos internos es igual a 1134.Rpta.:

04) En un polgono convexo se sabeque el cociente entre la suma delas medidas de sus ngulosinteriores y exteriores diagonalesde dicho polgono.Rpta.:

05) Calcular la suma de las medidasde los ngulos interiores de unpolgono convexo cuyo nmero dediagonales excede en 8 al nmerode diagonales de otro polgonoque tiene un lado menos.Rpta.:

06) La suma de las medidas de losngulos internos de dos polgonos

se diferencian en 360 y lasmedidas de sus ngulos centralesse diferencias en 6. calcular lasuma de sus nmeros de lados.Rpta.:

07) Se verifica que el cociente entrela medida del ngulo interior y lamedida del ngulo central, es

igual al mximo nmero dediagonales del polinomio de 7lados menos.

Rpta.:

08) Si el ngulo y el ngulo exteriorde un polgono regular y k.Cules son los valores enteroque pueden tomar k para que el

polgono exista?Rpta.:

09) El menor ngulo de un polgonoconvexo mide 120; los otrosforman con l una progresinaritmtica de razn 5. calcular elnmero de diagonales. sisabemos que el polgono esmenor que 15 lados.Rpta.:

10) En un polgono de n ladosdesde (n - 4) lados consecutivosse trazan (2n + 1) diagonalesmedias. Calcular n.Rpta.:

11) En un polgono regular ABC den lados m ACE = 140. Calcularel nmero de diagonales.Rpta.:


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Geometra 77

12) En un polgono, si su nmero de

diagonales aumentan en b esteresultado es igual al nmero dediagonales medias disminuido ena. Cunto mide el ngulocentral de dicho polgono?Rpta.:

13) Calcular el nmero de lados deaquel polgono en donde elmximo nmero de diagonales

es el doble de la suma delnmero de lados ms dos.Rpta.:

14) En cierto polgono al aumentar elnmero de lados en a, elnmero de diagonales aumentaen 6a. Cuntos polgonoscumplen estas condiciones?Rpta.:

15) En un polgono de n lados, lasuma del nmero de diagonalescon el doble del nmero dediagonales medias y el triple delnmero de vrtices es 1650.Calcular el nmero de diagonalesmedias.Rpta.:

16) Determinar la expresin paraencontrar el nmero dediagonales medias que sepueden trazar a partir de lospuntos medios desde k ladosconsecutivos en un polgono den vrtices.Rpta.:

17) La suma de las medidas de losngulo internos de dos polgonosse diferencian en 360 y las

medidas de sus ngulos

centrales se diferencian en 6.Calcular la suma de sus nmerosde lados.Rpta.:

18) Cuntos lados tiene le polgonoconvexo, donde el nmero dediagonales mas el nmero dediagonales medias, es igual alnmero de diagonales trazadas

desde 4 vrtices mas 4 veces elnmero de ngulos rectos a queequivale la suma de las medidasde sus ngulos internos menos 2?Rpta.:

19) Si en un polgono convexo, elnmero de lados aumenta en 3,el nmero de diagonales ms elnmero de ngulos rectos a que

equivale la suma de las medidasde sus ngulos internos excedeen 36 a la suma del nmero dediagonales, ms el nmero dengulos rectos que equivale lasuma de las medidas de susngulos internos del polgonoinicial. Cuntos lados tiene elpolgonos inicial?Rpta.:

20) Si los nmeros de lados de dospolgonos se diferencias en 5 ylos nmero de diagonales totalesde ambos polgonos sediferencian en 40. calcular lasuma de las medidas de losngulos interiores del polgono demayor nmero de lados.Rpta.:


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Geometra 78

PROBLEMAS DE NIVEL SUPERIOR

01) La diferencia entre el nmero dediagonales de cierto polgonoregular y el nmero de ngulosrectos a que equivale la suma delos ngulos internos es 8. Calcularla medida del ngulo central.

a) 45 b) 12 c) 36d) 60 e) 18

02) En un polgono, el nmero detringulos que se obtienen altrazar las diagonales de un solovrtice y el nmero de diagonalesque se pueden trazar del quintovrtice consecutivo estn en larelacin de 7 a 5. calcular lasuma de las medidas de losngulos internos.

a) 2880 b) 2520 c) 2340d) 2700 e) 3600

03) Calcular el nmero lados decierto polgono regular, en dondeal aumentar en 2 su nmero delados. La medida del nguloexterno disminuye en 9.

a) 6 b) 10 c) 12d) 8 e) 15

04) Si al nmero de diagonales decierto polgono se le disminuyeen 5 entonces resulta unpolgono donde la suma de susngulos internos es 720. calcularel nmero de diagonales delpolgono inicial.

a) 8 b) 9 c) 14d) 12 e) 15

05) Las medidas de cinco ngulosinternos de un polgono regularen suma es 700. calcular la sumade las medidas de sus ngulointernos.

a) 700 b) 1700 c) 1820d) 1900 e) 1260

06) Si la medida del ngulo de unpolgono convexo aumenta en 3.entonces el nmero dediagonales trazadas desde 6vrtices consecutivos excede en24 al nmero de diagonalestrazadas desde 6 vrticesconsecutivos del polgonoconvexo inicial. Calcular elnmero de lados del polgonoinicial.

a) 20 b) 18 c) 25d) 22 e) 21

07) Si el nmero de diagonales de unpolgono aumenta en m, estevalor es igual al nmero dediagonales medias disminuidasen n. Cunto mide el nguloexterno?

a) 360 / (2m + n)b) 360 / (m + n)c) 180 / 8m - n)d) 180 / (n - m)e) 270 / (m +n)

08) El menor ngulo de un polgonoconvexo mide 120. los otrosforman con l una progresinaritmtica de razn 5. calcular elnmero de diagonales medias.


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Geometra 79

a) 9 b) 27

c) 36 d) 28e) 32

09) Si el nmero de lados de unpolgono regular aumenta en 10,cada ngulo del nuevo polgonoes 3 mayo que cada ngulo deloriginal. Calcular el nmero delados del polgono original.

a) 20 b) 30c) 40 d) 60e) 50

10) Calcular el ngulo interior de unpolgono regular, sabiendo queexcede en 20 al ngulo interior deotro que tiene 3 lados menos.

a) 150 b) 130c) 110 d) 140e) 120

11) Calcular el nmero de diagonalestotales de un polgono convexode n lados, si al trazar lasdiagonales desde (n -4) vrticesconsecutivos estas hacen un totalde (2n + 1):

a) 20 b) 9c) 16 d) 17e) 10

12) En que polgono regular severifica, que el cociente entre lamedida del ngulo central esigual al nmero de diagonalestotales del polgono de 7 ladosmenos.

a) Pentgonob) Dodecgono

c) Octgono

d) Nongonoe) Hexgono

13) Si los nmeros de diagonalestotales de 2 polgonos sediferencian en 40. calcular lasuma de las medidas de losngulos interiores del polgono demayor nmero de lados sabiendoque tiene 5 lados ms que el otro.

a) 1600 b) 540c) 900 d) 2300e) 1800

14) La suma y la diferencia de lasmedidas de los ngulosexteriores e interiores de dospolgonos es 100 y 20

respectivamente. Calcular lasuma de las medidas de losngulos interiores del polgono demayor nmero de lados.

a) 1320 b) 1200c) 1000 d) 1260e) 1080

15) La suma de las medidas de 13ngulos interiores de unpentadecgono es 2200. hallar lamedida del ngulo formado porlas bisectrices interiores de losotros ngulos.

a) 100 b) 110c) 80 d) 120

e) 90


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Geometra 80

INDICE

Polgonos . 03

Cuadrilteros 14

Circunferenciapropiedades... 30

Circunferenciangulos.. 45

Semejanza 59


81/160

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO SACO OLIVEROS Primer Ao

Geometra 81

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Primer Ao

INDICE

rea de un Tringulo 82

rea de un Cuadriltero .. 94 rea de Superficies Circulares .104 Operaciones con reas ..119 Recta y Plano .... 130 rea de Slidos 139 Volumen de Slidos .....146 Miscelnea .154


82/160


Geometra 82

TEMA: REA DE UN TRINGULO

Un tringulo es una figura geomtrica que posee tres lados, que pueden ser rectas, curvos omixtos.

El rea de un tringulo se obtiene dividiendo entre dos al producto de su base por su altura.

Demostracin:

A

C F E

B

h

Db

A = b h 2

xABC ?

Para realizar la demostracin de la frmula para hallar el rea del tringulo haremos uso de una

construccin auxiliar: por el vrtice C, trazaremos una paralela al segmento AB y por el vrtice

B, trazaremos una lnea paralela al segmento AC . El punto donde se cortan estas dos lneas(punto de interseccin) lo llamaremos E. Entonces se formar el cuadriltero ABEC. Asimismo,

trazaremos las alturas CD y FB , perpendiculares a los segmentos AB y CE ,respectivamente.

El rea del tringulo lo podremos hallar por una diferencia de reas:

AABC = AABEC ABCE (1)

Ahora, si analizamos el cuadriltero ABEC, notamos que, como todos sus lados son paralelosdos a dos, entonces el cuadriltero ABEC es un paralelogramo. En consecuencia, si la longitud

del segmento AB es b, por ser ABEC un paralelogramo, entonces la longitud del segmento

CE tambin es b.Adems, como sabemos que el rea de un paralelogramo se obtiene multiplicando su base porsu altura, entonces:

AABEC = b x h (2)

Ahora, si analizamos los tringulos ABC y BCE, observamos que como los segmentos AB y

CE tienen la misma longitud b, y las alturas CD y BF tienen la misma longitud h,entonces los tringulos ABC y BCE son figuras equivalentes; y, como son figuras equivalentes,

por este motivo tendrn reas iguales.AABC = ABCE (3)


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Geometra 83

Si reemplazamos las ecuaciones (2) y (3) en la ecuacin (1), obtendremos:

ABCABC

BCEABECABC

AhxbA

AAA

=

=

Pasando AABC al lado izquierdo de la igualdad

AABC + AABC = b x h

2AABC = b x h

Dividiendo cada trmino de la igualdad entre 2:

A = b h 2

xABC rea del Tringulo

Por lo que queda demostrada la frmula para hallar el rea del tringulo.

Esta frmula del rea del tringulo es aplicable a cualquier tipo de tringulo, el cual puede ser:

a) Tringulo EscalenoAquel que no tiene lados iguales, es decir, la longitudde sus lados es diferente.

ac

b

b) Tringulo IsscelesTiene dos lados iguales, y al tercero se le considera como la base del tringulo.

a a

bc) Tringulo Equiltero:

Es aquel en el cual sus tres lados son iguales.

60

60 60


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Geometra 84

NOTA:El rea del tringulo equiltero se puede hallar directamente si se conoce slo la longitud de su

lado slo la longitud de su altura, haciendo uso de las siguientes frmulas:

A= 3 4

l x2

A h= 3 3

x2

h

La demostracin la dejaremos pendiente, pues es necesario conocer nociones bsica de una rama dela Ciencia Matemtica: la Trigonometra, curso que recin aprenderemos en Tercero de Secundaria.Por este motivo, consideraremos como vlidas a priori estas dos frmulas anteriores.

Conceptos Importantes1. Teorema de Pitgoras

Este teorema solamente se aplica a los tringulos rectngulos (aquellos que poseen unngulo de 90). En un tringulo rectngulo los lados que se interceptan en un ngulo de 90se llaman CATETOS y al tercer lado se le conoce como HIPOTENUSA.

Hipotenusa h C2

C1 Catetos

El teorema de Pitgoras se enuncia as: La suma de los cuadrados de los catetos es igualal cuadrado de la hipotenusa.

Es decir:22

221 hCC =+ Teorema de Pitgoras

Ejm.Si tenemos el siguiente tringulo rectngulo

h 3

4


85/160


Geometra 85

La longitud de la hipotenusa la podremos hallar haciendo uso del Teorema de Pitgoras. En efecto:

5h25h25916h

34hCCh

2

222

22

21

2

===+=

+=+=

2. Semejanza de Tringulos ( )Se dice que 2 tringulos son semejantes si cumplen con alguna de lo siguientes 3 criterios:

a) Si al menos dos de sus 3 ngulos internos son iguales:

a

b

c

d

a bc d

b) Si dos lados del primer tringulo son proporcionales a dos lados del segundo, y losngulos formados por dichos lados son iguales.

a

b

cm

n

p

Si: a bm n

a pm b

c) Si los tres lados del primer tringulo son proporcionales a los tres lados del segundo.

a

b

c m

n

p

Si:

p

c

n

b

m

a==


86/160


Geometra 86

3) Congruencia de Tringulos ( ) .-

Se dice que dos tringulos son CONGRUENTES (iguales), si cumplen con alguno de estos3 criterios.

a) Si tienen congruentes un lado y los ngulos adyacentes a l.

a

bcm

a

n

b = m

c = n

b) Si tienen congruentes dos lados y el ngulo comprendido entre ellos.

a

b

c ma c = m

b

c) Si los tres lados de cada tringulo son congruentes entre ellos.

a

b

c a

b

c


87/160


Geometra 87


01. En el paralelogramo adjunto,

CBAB = y 6EC = m. Calcular elrea del tringulo sombreado.

A

B

C

D

E

F

G16 m.

10 m

Rpta.:

02. Si el segmento PQ tiene una longitudde 9 metros y la diferencia de lasalturas h1 h2 = 8 m. Calcular elrea de la regin sombreada.

1

2

h

hP Q

R

Rpta.:

03. Si O es el centro del cuadrado ABCD,el cual tiene un lado de longitud q,entonces el rea de la reginsombreada es

A B

E F

D C

O

qRpta.:

04. El permetro de un tringulo issceles

es 16m, si CBAB = . Calcular elrea del tringulo ABC si sabemos que

m4BM= .

A

B

CM

Rpta.:

05. Halar el rea de un rectngulo ABCD,

si se sabe que AC = 50 cm y AB =40 cm

A

B C

D

Rpta.:

06. Hallar el rea de un cuadrado si se sabe

que su lado es equivalente al valor delrea de un tringulo equiltero de 8 m. delado.

Rpta.:

07. En la figura, ABCD es un rectngulodividido en cuatro rectngulos de igual

rea. Si AD mide 24 cm y trazamos

DJ . Cunto mide MF ?


88/160


Geometra 88

A B

CD F

M

J

Rpta.:

08. Si el rea del cuadrado ABCD vale 40m2. Cul ser el rea de la figurasombreada?.

A

B

D

C

Rpta.:

09. La altura del rectngulo ABCD mideh y la base los 2/3 de la altura. Si

DCDE = , el rea de la reginsombreada.

A B

D C

E

Rpta.:

10. Se sabe que el siguiente tringulo

equiltero tiene un rea de 4 3 m2.Determinar en que relacin se encuentrasu base y su altura (en este mismoorden).

h

Rpta.:

11. La figura ABCD es un trapecioissceles. Adems, BCEF es uncuadrado. Hallar el rea de la reginsombreada.

A

B C

DEF

10 m

20 m

Rpta.:

12. En el siguiente tringulo rectngulo, se

pide hallar la longitud del segmento PQ .

P

Q

30 cm.

40 cm.

X

Rpta.:

13. Dado el siguiente trapecio ABCD, sepide determinar en que relacin seencuentran las reas de los tringulosABD y BCD. El rea del trapecio

ABCD es 85 cm2

.


89/160


Geometra 89

A

B C

D20 cm.

14 cm.

Rpta.:

14. En el siguiente grfico, las figurasABCE y BCDE son paralelogramos. Si

el rea del tringulo BCE es 18 cm

2

.Calcular el rea del trapecio ABCD.

A

B C

DE

Rpta.:

15. En el siguiente trapecio ABCD, M es

punto medio de BC y N es puntomedio de AD. Si la longitud del

segmento AM es 10 cm. Calcular elrea del tringulo ABM. Si adems:

2

1

AD

BC=

A

B

C

D

M

N

6

Rpta.:

16. En el siguiente grfico, la figura ABCDes un paralelogramo. SI M es punto

medio de BC y N es punto medio

de CN . Hallar el rea de la regintriangular MNC, si el rea delparalelogramo es 100 m2.

A

B C

D

M

N

Rpta.:

Obs: Utilizar el teorema de los puntosmedios de un tringulo.

17. En un tringulo rectngulo ABC, recto

en B, desde el pie de la altura BH se

traza el segmento perpendicular HS

a AB . Si m12AHBH =+ y elrea del tringulo rectngulo ABH es16 m2, entonces el valor de segmento

AB ser:

A

B

CH

S

Rpta.:

18. En un tringulo rectngulo MNP, seconoce que su permetro es 20 cm. yque el rea de este tringulo es 5 cm2.

Hallar el valor de su hipotenusa.

Rpta.:


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Geometra 90

19. Dado el siguiente rombo ABCD, donde

M es punto medio del lado BC y N espunto medio del lado CD . Si se sabeque el rea total del rombo es 16 m2.Hallar el rea sombreada.

D

C

A

B

M N

Rpta.:

20. Hallar el rea del trapecio MNPQ si sesabe que el rea del tringulorectngulo MNH es 8 m2 y que:

.m24MHxPQ 2=

Q H P

M N

Rpta.:


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Geometra 91


01. El rea de la parte sombreada delrectngulo ABCD es:

A B

CD

a) Menor que la mitad del rea delrectngulo.

b) La mitad del rea del rectngulo.c) Mayor que la mitad del rea del

rectngulo.d) Un tercio del rea del rectngulo.e) Menor que un tercio del rea del

rectngulo.

02. Calcular el rea sombreada si: ABCDes un cuadrado cuyo lado tiene 10 cmde longitud.

A

B

D

C

a) 100 cm2 b) 50c) 40 d) 25

e) 7503. Calcular el rea del la regin

sombreada si MNPQ es un cuadrado yMRQ es un tringulo equiltero. Ellado del cuadrado MNPQ es 18 cm

M

N P

Q

R

a) 126 cm2 b) 216c) 162 d) 261e) N.A.

04. En un tringulo rectngulo la suma delas longitudes de sus catetos es 7 cm.Calcular el rea de la regin de dichorectngulo.

A B

C

5c

m.

Sugerencia: Usar la siguienteidentidad algebraica:

(a+b)2 = a2 + b2 + 2ab

a) 5 cm2 b) 6 cm2

c) 8 cm

2

d) 10 cm

2

e) N.A.

05. Dado el siguiente rombo MNPQ donde

A es punto medio del lado MN y B es

punto medio del lado .MP Se pidecalcular el rea de la seccinsombreada, si el rea del romboMNPQ es 64 cm2.

P

Q

A B

M

N

a) 40 cm2 b) 24 cm2

c) 16 cm2 d) 10 cm2e) N.A.


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Geometra 92

06. En la figura, las regiones ABCD y CEFGson cuadrados EDFH es un rectngulo .Si se sabe que el rea del rectnguloEDFH es 42 cm2 y el rea del cuadradoABCD es 169 cm2 (GH > GF). Calcular elrea del cuadriltero ABGH.

A

B C

D

G

E F

H

a) 175 cm2 b) 49 cm2

c) 600 cm2 d) 260 cm2

e) N.A.

07. En el siguiente grfico, la figura MNPQes un paralelogramo. Si A es punto

medio de MN y B es punto medio del

lado MQ . Calcular el rea de la

regin sombreada, si el rea delparalelogramo es 600 cm2.

A

B

P

QM

N

a) 700 cm2 b) 75 cm2

c) 80 cm2 d) 650 cm2

e) 525 cm2

08. En la siguiente figura, MNPQ es uncuadrado, cuyo lado tiene una longitudde 16 cm. Calcular el rea de la reginsombreada, si X es el centro cuadrado

y RS es paralelo a MQ y pasa porel punto X.

M

N P

Q

SRX

a) 96 cm2 b) 69 cm2

c) 44 cm2 d) 60 cm2

e) N.A.

09. En el siguiente paralelogramo ABCD,

M es el punto medio del lado AB , O esel punto medio de la altura BH y N es

el punto medio del lado CD .

Si AH = 6 cm. Hallar el rea deltringulo rectngulo MBO.

A

B C

DH

OM N 10 cm.

(Sugerencia: usar semejanza de tringulos)

a) 10 cm2 b) 6 cm2

c) 16 cm2 d) 12 cm2

e) N.A.

10. En el siguiente grfico, los 4 tringulos

pequeos son equivalentes. Hallar elrea del tringulo grande.

5 cm

4 cm

a) 40 cm2 b) 25 cm2

c) 30 cm2 d) 10 cm2

e) 20 cm2


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Geometra 93

11. Hallar el rea del tringulo sombreadosi el rea del tringulo ABC es 90 cm2.

10

10

a) 25 cm2 b) 20 cm2

c) 15 cm2 d) 10 cm2e) N.A.

12. Si el siguiente cuadriltero estformado por 2 tringulos equilterosde igual rea. Hallar el rea total delcuadriltero.

8cm

a) 642cm3 b) 32 2cm3

c) 32 cm2 d) 64 cm2

e) N.A.

13. Hallar el rea del tringulo BOP si Oes el centro del cuadrado y PO es

paralelo a AD .

D

A B

C

P

O8 cm

a) 8 cm2 b) 18 cm2

c) 4 cm

2

d) 16 cm

2

e) N.A.

14. Colocar V o F segn corresponda.

a) Dos tringulos son congruentes sitienen 1 ngulo y 1 lado congruente.

b) El rea de un tringulo rectnguloes el semiproducto de sus catetos.

c) El teorema de Pitgoras se aplicaa cualquier tipo de tringulo.

a) VFV b) VVFc) FFF d) FFVe) FVF

15. Calcular el rea de la reginsombreada, si la base media deltrapecio mide 19 cm

10 cm

5 cm

a) 12 cm2 b) 8 cm2

c) 10 cm2

d) 6 cm2

e) N.A.


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Geometra 94

TEMA: REA DE UN CUADRILTERO

Una vez conocidos estos teoremas importantsimos, estamos en condiciones de definir (y tambin dedemostrar) el rea de las principales figuras geomtricas. Empezaremos por los cuadrilteros.

Los cuadrilteros son figuras geomtricas que poseen cuatro lados. Los cuadrilteros pueden ser:

* Rectngulo. * Cuadrado * Rombo * Paralelogramo * Trapecio

A continuacin, pasaremos a detallar (y en algunos casos demostrar) el rea de cada uno de estoscuadrilteros.

1. rea del rectnguloUn rectngulo es una figura geomtrica que posee 4 lados paralelos dos a dos, e interceptados

bajo un ngulo de 90. Los lados paralelos tienen igual longitud. El rea de cualquier rectngulo seobtiene multiplicando la longitud de su base por la longitud de su altura.

A = B hXRECTNGULOH

B

Demostracin: AABCD = h x b?

B

A

C

DA

h

M

N P

Q

H

B

A1

b

Para realizar la demostracin de que el rea del rectngulo ABCD es A = h x b, haremos unaconstruccin auxiliar: dibujaremos un rectngulo MNPQ de altura H y base B, donde H = B = 1; esdecir, tenemos un rectngulo de lado unitario. Este rectngulo ser la unidad de rea, es decir A1 = 1.(Ntese que como la base y altura son iguales, este rectngulo recibe el nombre de cuadrado).

Sabemos, por el Cuarto Teorema, que las reas de 2 rectngulos son proporcionales al producto de su

base por su altura respectiva. Entonces:

BxH

bxh

A

A

1= . (1)

Pero sabemos que A1 es uno, y que H = B = 1.Entonces reemplazando estos valores en la ecuacin (1).

bxhA = : rea del rectngulo

Por lo que queda demostrada la frmula para hallar el rea del rectngulo.2. rea del Cuadrado

Un cuadrado es un tipo particular de rectngulo, donde la longitud del la base es igual a la longitudde la altura. El rea del cuadrado se obtiene elevando al cuadrado la longitud de la base, oelevando al cuadrado la longitud de la altura. Es decir, multiplicando h x h b x b.


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Geometra 95

L D

L

Demostracin:Puesto que conocemos que el rea del rectngulo es:

A = h x b

Y como hemos dicho, en un cuadrado: h = b = L

2LLxLA == rea del Cuadrado

Obs.El rea del cuadrado tambin puede obtenerse as:

Donde D es la diagonal del cuadrado2

DA

2

=

3. rea del ParalelogramoUn paralelogramo es una figura de 4 lados, donde sus lados son paralelos dos a dos, pero donde elngulo de interseccin de los lados es distinto a 90.

El rea de un paralelogramo se obtiene multiplicando la longitud de su base por la longitud de su

altura; es decir, igual que el rea del rectngulo, puesto que el paralelogramo es un tipo de rectnguloal cual se le han inclinado dos lados.

Demostracin:

hxbAABCD =

A

h

C

DE Fb

B

Primero, debemos notar que tanto los segmentos BCyAD tienen la misma longitud, as como los

segmentos .CDyAB Para demostrar que el rea del paralelogramo es A = b x h haremos una

construccin auxiliar: prolongaremos el segmento AB y trazaremos las perpendiculares BEyCF .Entonces se formarn los tringulos rectngulos ABE y CDF y el cuadriltero EBCF.Ahora, hallaremos el rea del paralelogramo ABCD mediante el uso de suma y diferencia de reas.

Entonces: AABCD = AEBCF + AABE ACDF (1)

Ahora, analicemos el cuadriltero EBCF: observamos que los segmentos CFyEB son paralelos y

sabamos que los segmentos ADyBC eran paralelos, y como el ngulo de interseccin de loslados es 90, entonces el cuadriltero EBCF es un rectngulo.


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Geometra 96

Entonces: AEBCF = EBxBC = b x h (2)

Ahora, analicemos los tringulos rectngulos ABE y CDF: como los segmentos CDyAB soniguales y los ngulos interiores de los tringulos son iguales, entonces los dos tringulos sonidnticos, (figuras equivalentes), por lo que tendrn la misma rea.

Entonces: AABE = ACDF (3)

Si reemplazamos las ecuaciones (2) y (3) en la ecuacin (1), obtendremos:

hxbAABCD = rea del Paralelogramo

Por lo que queda demostrada la frmula para hallar el rea del paralelogramo.

Notas:a. Un tringulo rectngulo es aquel que tiene un ngulo de 90 como ngulo interior.b. Se dice que dos rectas o segmentos que pertenecen a un mismo plano son PARALELOS si,

por ms que extendamos dichas rectas o segmentos, estas dos nunca, se cortarn. Un

ejemplo de rectas paralelas son las lneas horizontales de un cuaderno cuadriculado.c. Se dice que dos rectas o segmentos que pertenecen a un mismo plano sonPERPENDICULARES si dichas rectas o segmentos se cortan en un ngulo de 90. Unejemplo de rectas o segmentos se cortan en un ngulo de 90. Un ejemplo d

preuniversitario - geometria 1°

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