presentación números enteros sonia paz
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Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.
NUMEROS ENTEROS
Prof.: Sonia Paz Oyarzún B.
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Los números enteros surgen de la necesidad de dar solución a problemas no resueltos en los naturales.
18 – 7 tiene solución en IN, pero 7 – 18 ¡ NO !
18 – 7 = 11
7 – 18 =
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El conjunto de los números enteros es la unión del conjunto de los números naturales o
enteros positivos, del conjunto formado sólo por el cero y el conjunto de los números
ubicados en el sentido contrario a los positivos, o sea, los enteros negativos.
Z Z+ {0} Z-U U=
IN es un subconjunto de Z, es decir todo natural es un número entero
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Estos números los podemos representar en una recta numérica. En la recta numérica un
número que se encuentre a la derecha de otro, será mayor que él.
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Números PositivosNúmeros Negativos
Z {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}=
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Se extiende la recta numérica de modo que cada punto representante de un Natural, le
corresponda un número simétrico respecto del cero, es decir su opuesto inverso aditivo.
-5 5
+ = 0
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a) -4 ___ Z
b) -8 ___ N
c) 7 ___ N
d) 6 ___ Z
e) -12 ___ N
f) -9 ___ N
g) -14 ___ N
h) 0 ___ Z
∈
¿∈ó∉?
∈
∉
∈
∉
∈∉
∉
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A los números enteros positivos se les puede omitir el signo.
Por ejemplo: +4 = 4
Si a es positivo : +a = a
Los números enteros se pueden ordenar de menor a mayor
…< -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < …
Por tanto un entero negativo, es menor que un positivo
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Valor absoluto de un entero, es el número de unidades que representa, y se puede interpretar como su distancia al cero en la recta numérica.
Valor absoluto de n se anota InI
Si n es positivo, entonces InI = nEj.: I 654 I = 654
Ej.: I 3 I = 3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
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Si n es negativo, entonces I - nI = nEj.: I - 305 I = 305
Ej.: I - 5 I = 5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
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a) -15 ___ -16
b) 23 ___ -23
c) 3 ___ 6
d) 54 ___ |-45|
e) |-41| ___ -34
f) -9 ___ 0
g) 70 ___ 71
h) 0 ___ -2
>
¿>ó<?
>
<
>
>
<>
<
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OPERATORIA EN ZOPERATORIA EN Z
Con la incorporación de los números negativos, la sustracción se define a partir de la suma.
a + (-b) = a - b
Es decir, sustraer un número es sumar su opuesto.Ej.: 30 + (-2) = 30 - 2
Como el opuesto de b es –b, se tiene que sustraer –b es sumar b
a - (-b) = a + b Ej.: 55 + (-12) = 55 - 12
∀∀
Si a = 0, se tiene que - (-b) =b, b Z ∀ ∈
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ADICION DE ENTEROSADICION DE ENTEROS
La adición se entiende como un desplazamiento en la recta numérica, hacia donde indique su signo
a) Al sumar dos enteros del mismo signo, se suman sus valores absolutos y se mantiene el signo.
Ejs.: -7 + (-3) = -10 ; 8 + 16 = 24
∀∀
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 + 5 = 6
b) Al sumar dos enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos y el resultado queda con el signo del entero
de mayor valor absoluto.Ejs.: 12 + (-5) = 12 – 5 = 7
4 + (-9) = 4 - 9 = -5
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Al igual que en la adición de naturales, la adición de enteros es cerrada, asociativa y conmutativa. Además surgen dos
nuevas propiedades
1) El cero es el elemento neutro para la adición, es decir:
∀∀
∀ a Z: ∈ a + 0 = a
Ejs.: 3 + 0 = 3 ; -15 + 0 = -15
2) Cada entero posee un único inverso aditivo, también llamado opuesto.
∀ a Z,∈ !∃ (-a) Z : a ∈ + (- a) = 0
Ejs.: 7 + (-7) = 0; 24 + (-24) = 0
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a) Retrocedes 4 pasos y avanzas 10 pasos. ¿ En qué punto te encuentras ?
f) Avanzas 2 pasos y retrocedes 5 pasos. ¿ En qué punto te encuentras ?
k) Si avanzas 12 pasos. ¿Cuántos pasos debes retroceder para llegar al punto –9 ?
Imagina que partes desde el cero
R. En el 6.
R. En el -3.
R. Debo retroceder 21 pasos. (-21)
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MULTIPLICACIÓN DE ENTEROSMULTIPLICACIÓN DE ENTEROS
La multiplicación de enteros mantiene las mismas propiedades que la multiplicación de naturales, es decir: es cerrada,
asociativa, conmutativa, el neutro es el 1 y la distributividad respecto de la suma.
El producto de dos enteros de distinto signo es negativo.
∀∀
(-a) · b = -ab a· (-b) = -ab
Ej.: 4 · (-5) = -20
Recordemos que la multiplicación es una suma abreviada, entonces:
4 · (-5) = (-5) + (-5) + (-5) + (-5) = -20
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El producto de dos enteros de igual signo es positivo.
a · b = ab (-a) · (-b) = ab
Ejs.: 7 · 8 = 56 ; (-5) · (-6)= 30
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a) Cristina asiste una vez a la semana al cine. La entrada cuesta $2.800. Cristina se enfermó, así que en las 4 semanas que tiene el mes, sólo vio una película. ¿Cuánto ahorró en el mes? .
f) Juan Pablo recibe de su Papá $5.000 semanales . El día lunes se compró un completo de $650 y una bebida de $120. Martes y Jueves sólo compro un completo. El miércoles dos completos y una bebida, y el viernes no asistió a clases. ¿Cuánto dinero gastó?
Resuelve
R. En el mes ahorró $ 8.400.
R. Gastó $ 3.490 (-3490)
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POTENCIAS EN ZPOTENCIAS EN Z
Si la base a es un número entero y el exponente n es un número natural, entonces:
∀∀
a) Si la base a es positiva, la potencia es un entero positivo, ya que, se trata de un producto reiterado de números positivos.
Ej.: 53 = 5 . 5 . 5 = 125
b) Si la base a es negativa y el exponente es par, la potencia es un entero positivo
Ej.: (-4)2 = (-4) . (-4) = 16
c) Si la base a es negativa y el exponente es impar, la potencia es un entero negativo
Ej.: (-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) = (-8)
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¿ Cuántos años transcurrieron desde la muerte de Julio César (año 44 A. de C.)
476 - (- 44)476 + 44
520
hasta la caída del Imperio Romano de Occidente (año 476 D. de C.) ?
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TAREATAREA
∀∀
X Y Z X + Y X – Z (Y + Z) - X (X + Z) . Y (X . Z) - Y (X . Y) - (Y . Z)
-3 4 1
2 -1 -2
5 -3 2
1 3 -5
3 -1 -4
-4 -2 -3
5 2 6
-1 5 -3