Medidas de dispersión

Las medias de tendencia central o posición nos indican donde se sitúa un dato dentro de una distribución de datos. Las

medidas de dispersión, variabilidad o variación nos indican si esos datos están próximos entre sí o sí están dispersos, es decir, nos indican cuán esparcidos se encuentran los datos.

Estas medidas de dispersión nos permiten apreciar la distancia que existe entre los datos a un cierto valor central e identificar

la concentración de los mismos en un cierto sector de la distribución, es decir, permiten estimar cuán dispersas están

dos o más distribuciones de datos.Estas medidas permiten evaluar la confiabilidad del valor del

dato central de un conjunto de datos, siendo la media aritmética el dato central más utilizado. Cuando existe una dispersión pequeña se dice que los datos están dispersos o

acumulados cercanamente respecto a un valor central, en este caso el dato central es un valor muy representativo. En el caso

que la dispersión sea grande el valor central no es muy confiable. Cuando una distribución de datos tiene poca

dispersión toma el nombre de distribución homogénea y si su dispersión es alta se llama heterogénea.

medidas de dispersión

característicasLa Dispersión permite analizar cómo se dispersan los valores de una variable de tipo intervalo/razón de menor a mayor y la forma gráfica que estos valores presentan. Si se conoce la media e una población hay distintas posibles formas de distribuir los valores, e posible que todos estén alrededor de la media o podrán estar sesgados hacia un lado. Estudiar la dispersión es revisar el eje horizontal y observar donde están alojados los datos.Entonces los Estadísticos de Dispersión o Medidas de Dispersión describen como se dispersan los datos de una variable a lo largo de su distribución. Las Medidas de Dispersión son: el Rango, la Desviación Estándar y la Varianza. El Rango es una Medida de Dispersión que indica cómo los datos de una variable se distribuyen de menor a mayor, es decir la distancia entre el valor mínimo y máximo, es fácil de calcular porque solo deberá restar el valor máximo menos el valor mínimo. El Rango se ve afectado cuando exista valores muy aislados del grupo, la información que suministra no dice nada de la distribución de puntuacionesLa Desviación Estándar es una Medida de Dispersión que describe la forma en que los valores de la variable se dispersan a lo largo de la distribución en relación a la media. El cálculo de la Desviación Estándar involucra cuanta separación existe entre el valor y la media, así como el número de datos, por lo tanto es una medida que involucra a todos los datos de la muestra o población.

usosLas medidas de tendencia central no son suficientes para describir una distribución o conjunto de datos. Una buena descripción de una distribución requiere, además de un valor ‘promedio’ de las observaciones (es decir, una medida de tendencia central), alguna medida de la dispersión o variabilidad de los valores observados. Esta información es proporcionada por indicadores que se conocen como ‘medidas de dispersión`. los descriptores o indicadores de dispersión o variabilidad más comunes son la desviación estándar y la varianza

1. Su información permite juzgar la confiabilidad de la medida de tendencia central.2. Nos permite determinar cuan dispersos están lo datos y por lo tanto solucionar o explicar los problemas que se puedan presentar por este hecho.3. Se pueden comparar las dispersiones de varias muestras, con la cual el riesgo de que exista un espectro de valores lejos del centro se puede evitar.

El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.

Rango o recorrido

La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética.Di = x - xLa desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.La desviación media se representa por 

Desviación media

ejemploCalcular la desviación media de la distribución: 

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 

 

 

Desviación media para datos agrupados

  xi fi xi · fi |x - x| |x - x| · fi

[10, 15) 12.5 3 37.5 9.286 27.858[15, 20) 17.5 5 87.5 4.286 21.43[20, 25) 22.5 7 157.5 0.714 4.998[25, 30) 27.5 4 110 5.714 22.856[30, 35) 32.5 2 65 10.174 21.428    21 457.5   98.57

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:

Calcular la desviación media de la distribución:

Desviación media para datos agrupados

Ejemplo

VarianzaLa varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.La varianza se representa por .

Varianza

Varianza para datos agrupados

Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Ejercicios de varianza

Calcular la varianza de la distribución: 

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 

 

 

  

Calcular la varianza de la distribución de la tabla: 

xi fi xi · fi xi2 · fi

[10, 20) 15 1 15 225

[20, 30) 25 8 200 5000

[30,40) 35 10 350 12 250

[40, 50) 45 9 405 18 225

[50, 60 55 8 440 24 200

[60,70) 65 4 260 16 900

[70, 80) 75 2 150 11 250

42 1 820 88 050

 

 

  

Propiedades de la varianza1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número.4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.

Desviación típicaLa desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.La desviación típica se representa por σ.

Desviación típica

Desviación típica para datos agrupados

Ejercicios de desviación típica

Calcular la desviación típica de la distribución:9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla  xi fi xi · fi xi

2 · fi

[10, 20) 15 1 15 225[20, 30) 25 8 200 5000[30,40) 35 10 350 12 250[40, 50) 45 9 405 18 225[50, 60) 55 8 440 24 200[60,70) 65 4 260 16 900[70, 80) 75 2 150 11 250    42 1 820 88 050

Propiedades de la desviación típica1 La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación típica queda multiplicada por dicho número.4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total.