2.5 FACTORES DE GRADIENTE ARITMETICO

2.5 FACTORES DE GRADIENTE ARITMETICO (P/G y A/G) Un gradiente aritmético es una serie de flujos de efectivo que

aumenta o disminuye en una cantidad constante. Es decir, el flujo de efectivo, ya sea ingreso o desembolso, cambia por la misma cantidad aritmética cada periodo.

La cantidad del aumento o disminución es el gradiente.

El símbolo G para los gradientes se define como:G=Cambio aritmético constante en la magnitud de los ingresos o desembolsos de un periodo al siguiente; G puede ser positivo o negativo.

Ejemplo

Si un ingeniero industrial predice que el costo de mantenimiento de un robot aumentará en $500 hasta que la máquina se deseche, hay una serie gradiente relacionada y la cantidad es el gradiente.

Las formulas desarrolladas anteriormente para una serie A tenían cantidades de final de año de igual valor.

En el caso de gradiente, el flujo de efectivo de cada final de año es diferente por lo que es preciso derivar nuevas formulas.

Primero supongamos que el flujo de efectivo del primer año no forma parte de la serie del gradiente, sino que es una cantidad base.Esto es conveniente porque en las aplicaciones reales la cantidad base en general es mayor o menor que el aumento o disminución del gradiente.

Si una persona compra un automóvil usado con una garantía de un año, se podría esperar que durante el primer año de operación tuviera que pagar tan solo la gasolina y el seguro. Suponga que dicho costo es de $1500, que sería la cantidad base.

Después del primer año tendría que solventar el costo de las reparaciones, y razonablemente se esperaría que tales costos aumentaran cada año. Si se estima que aumentarán en $50 cada año, el 2 año seria $1550, el 3er $1600 y así hasta n. El diagrama de flujo de efectivo para esta operación se muestra a continuación:

Diagrama de una serie gradiente aritmético con una cantidad base de $1500 y un gradiente de $50.

0 1 2 3 4

n-1 n

$1500

$1550

$1650

$1600

$1500

$1500

+(n-1)50

+(n-2)50

Serie gradiente aritmético convencional sin la cantidad base. Se utiliza si se ignora la cantidad base.

0 1 2 3 4

n-1n

G

2G

3G

+(n-1)G

+(n-2)G

4G

El flujo de efectivo en el año n (CFn) se calculo comoCFn = cantidad base + (n-1) G

Ejemplo Una compañía de ropa deportiva ha iniciado

un programa para registrar su logo. Espera obtener ingresos de $80 000 por derechos el próximo año por la venta de su logo. Se espera que los ingresos por derechos se incrementen de manera uniforme hasta un nivel de $200 000 en 9 años. Determine el gradiente aritmético y construya el diagrama de flujo de efectivo.

Solución La cantidad base es $80,000 y el aumento

total de ingresos es

Aumento en 9 años= $200,000- $80,000=$120,000

Gradiente = aumento

n-1

=$120,000 = $15,000 por año

9-1

El diagrama de flujo de efectivo se muestra a continuación:

0 1 3 2 6 5 4 7 8 9

$80,000

$95,000

$110,000

$125,000

$140,000

$155,000

$170,000

$185,000

$200,000

Año

El valor presente PT para una serie gradiente debe considerar por separado la base gradiente. En consecuencia para series de gradientes que impliquen gradientes convencionales:

A. La cantidad base es la cantidad A de serie uniforme que empieza en el año 1 y se extiende hasta el año n. Su valor presente se simboliza PA.

B. Para un gradiente creciente, la cantidad gradiente debe agregarse a la cantidad de la serie uniforme. El valor presente es PG.

C. Para un gradiente decreciente, la cantidad gradiente debe restarse de la cantidad de la serie uniforme. El valor presente es –PG.

Las ecuaciones para calcular el valor presente PT de los gradientes aritméticos convencionales son:PT=PA+PG y PT=PA-PG

De manera similar, las series anuales totales equivalentes sonAT=AA+AG y AT=AA-AG

Donde AA es la cantidad base anual y AG es

la cantidad anual equivalente de la serie gradiente.

Ejemplo

Tres condados adyacentes en Florida acordaron emplear recursos fiscales ya destinados para remodelar los puentes mantenidos por el condado. En una junta reciente, los ingenieros de los condados estimaron que, al final del próximo año, se depositará un total de $500,000 en una cuenta para la reparación de los viejos puentes de seguridad dudosa que se encuentran en los tres condados.

Además, se estiman que los depósitos aumentaran en $100,000 por año durante nueve años a partir de ese momento y luego cesarán.

Determine cantidades equivalentes de a) valor presente y de b) serie anual, si los fondos del condado ganan interés a una tasa del 5%

Serie de flujo de efectivo de un gradiente aritmético convencional.

0 3 41

$500

$600

$700

$800

$1100

$1200

$1000

$900

9 10

$1300

$1400

2 5 6 7 8

Valor presente P/A

PT=PA+PG y PT=PA-PG

PT= 500(P/A,5%,10) + 100(P/G,5%,10)

= 500(7.7217)+100(31.6520)

= $3,860.85+ 3165.2

= $7,026.05 ($7,026,050)

La serie anual total AT

AT=AA+AG y AT=AA-AG

AT=500+100(A/G,5%,10)

=500+100(4.0991)

=500+409.91

=$909.91 por año ($909,910)

y AT ocurre desde el año 1 hasta el año 10.

Si el valor presente PT ya esta calculado puede multiplicarse por el factor A/P apropiado para obtener AT.

AT= PT(A/P,5%,10)

=7026.05 (.12950)

=$909.87 ($909 870)

2.6 FACTORES PARA SERIES GRADIENTE GEOMÉTRICO Es común que las series de flujo de efectivo, tales

como los costos de operación, los costos de construcción y los ingresos, aumenten o disminuyan de un periodo a otro mediante un porcentaje constante, por ejemplo 5% anual.

Esta tasa de cambio uniforme define una serie gradiente geométrico de flujos de efectivo. Ahora necesitaremos el termino g.

g = tasa de cambio constante, en forma decimal, mediante la cual las cantidades aumentan o disminuyen de un periodo al siguiente.

2.6 FACTORES PARA SERIES GRADIENTE GEOMÉTRICO La serie empieza en el año 1 a una cantidad inicial

A1 , la cual no se considera una cantidad base como en el gradiente aritmético

Ejemplo Los ingenieros de Sea World, una división de Busch

Gardens, Inc. Desarrollaron una innovación en el deporte acuático existente para hacerlo más excitante. La modificación solo cuesta $8,000 y se espera que dure 6 años con un valor de salvamento de $1,300 para el mecanismo solenoide. Se espera que el costo de mantenimiento sea de $1,700 el primer año, y que aumente 11% anual en lo sucesivo. Determine el valor presente equivalente de la modificación y el costo de mantenimiento. La tasa de interes anual es de 8%.

Diagrama de flujo de efectivo

Pg=?

PT=?

i=8%

g=11%

1 3 4 5 62

$1700

$1700(1.11)

$1700(1.11)2

$1700(1.11)3

$1700(1.11)4

$1700(1.11)5

2.7 CALCULO DE TASA DE INTERES DESCONOCIDAS

En algunos casos se conoce la cantidad de dinero depositado y la cantidad de dinero recibido luego de un número especificado de años, pero se desconoce la tasa de interés o la tasa de rendimiento.

Cuando hay involucrados una cantidad única, una serie uniforme, o un gradiente convencional uniforme, la tasa desconocida puede determinarse para i por una solución directa de la ecuación del valor del dinero en el tiempo.

Ejemplo Si Laurel puede hacer una inversión n de negocios

que requiere un gastos de $3000 ahora con el objetivo de recibir $5000 dentro de cinco años, ¿cuál sería la tasa de rendimiento sobre la inversión? Si Laurel puede recibir 7% anual de intereses de un certificado de depósito, ¿Qué inversión debe realizarse?

Como solo hay formulas de pago único en este problema, la i puede determinarse directamente partir del factor P/F.

P= F(P/F,i,n) = F _ 1__ (1+i)n 3000=5000 1__ (1+i)5

0.600= 1__ (1+i)5

i = (1/0.6) 0.2 -1 = 0.1076 (10.76%)

Alternativamente la tasa de interés puede encontrarse estableciendo la relación P/F en notación estándar, resolviendo para el valor del factor e interpolando tablas.P=F(P/F,i,n)$3000=5000(P/F,i,5)(P/F,i,5) =3000=0.60 5000De acuerdo con las tablas de interés, un factor P/F de 0.6000 para n=5 se encuentra entre 10 y 11%. Interpolando entre estos dos valores, se obtiene i=10.76%.

.6209 10

a c

.600 X b d

.5935 11

C= _a_ (d) =.6209-.600_(10-11) = .0209 (1)=.76277 b .6209-5935 .0274 = 10+.76277 = 10.76

2.8 CÁLCULO DE AÑOS DESCONOCIDOS

Para que una serie de flujos de efectivo proporcione una tasa de rendimiento establecida, algunas veces es necesario determinar el número de años (periodos requeridos).

Otras veces se desea saber cuando determinadas cantidades de dinero estarán disponibles a partir de una inversión propuesta. En ambos casos la incógnita es n.

Algunos problemas se resuelven directamente para n con una manipulación de las fórmulas de pago único y de serie uniforme. En otros casos, n se calcula usando interpolación en las tablas de interés como se verá más adelante.

La función NPER (i%,A,P,F) en la hoja de calculo es útil para encontrar rápidamente el número de años.

Ejemplo

¿Cuánto tiempo tomará duplicar $1,000 si la tasa de interés es del 5% anual?

Solución

El valor n se determina ya sea mediante el factor F/P. Utilizando el factor P/F.

P= F(P/F,i,n)

1000=2000 (P/F,5%,n)

(P/F,5%,n) = 0.500

Según la tabla de interés, en 5% el valor 0.500 se encuentra entre 14 y 15 años. Por

interpolación, n=14.2 años.

.5051 14

a c

.500 X b d

.4810 15

C= _a_ (d) =.5051-.500_(14-15) =.2116 b .5051-4810 = 14+.2116 = 14.21

2.9 APLICACIÓN DE LAS HOJAS DE CÁLCULO- ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

Se han realizado cálculos de ingeniería económica con las funciones de la hoja de cálculo VP, VF, PAGO, TIR Y NPER.

EL ejemplo siguiente ilustra como resolver un problema ligeramente mas complejo, que implica análisis de sensibilidad; es decir, ayuda a responder preguntas de tipo “ y que pasa si…?

Ejemplo:

Un ingeniero y un medico se asociaron para desarrollar una importante mejora en cirugía laparoscópica para operaciones de la vesícula biliar. Formaron una pequeña compañía para manejar los aspectos financieros de su asociación. La compañía ya ha invertido $500 000 en el proyecto este año (t=0) y espera gastar $500 000 anualmente durante los siguientes 4 años, y posiblemente durante más años. Desarrolle una hoja de cálculo que le ayude a responder las siguientes preguntas:

Suponga que se gastan $500 000 sólo durante 4 años adicionales. Si la compañía vende en $5 millones los derechos para usar la nueva tecnología al final del año 5, ¿cuál es la tasa de rendimiento anticipada?

El ingeniero y el medico estiman necesitarán $500000 por año durante más de 4 años adicionales.¿Cuantos años a partir de ahora, tienen para finalizar su trabajo de desarrollo y recibir los $5 millones por derechos de patente para obtener al menos 10% por año? Suponga que los $500 000 por años se gastan a lo largo del año inmediatamente anterior a la recepción de los $5 millones.

Solución

La función TIR se emplea como solución. Advierta q existe un flujo de efectivo de -500 desde el año 0. Quiere decir que gastaremos $500,000 ahora y durante 4 años mas equivale a recibir 5 millones al final del año 5 cuando la tasa de interés es de 24.07% anual. Las columnas de B presentan rendimientos sobre lados opuestos a 10%