presentacion final de control
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Asignatura: Sistemas de Control
(0433)
Alumno: Romero, Daniel Germán
Índice Objetivos del trabajo.
¿Qué es un sistema de control?¿Para que sirve?
Desarrollo del modelo matemático de la planta.
Funciones de transferencia de la planta.
Variable de estado.
Determinación analítica y por simulación de la respuesta del motor.
Simplificación de los modelados.
Marco Teórico (Error en estado estable, orden del sistema, respuesta transitoria).
Lugar geométrico de raíces.
Compensadores P, I, D, PI,PD,PID.
Realimentación taquimétrica.
Efecto de las perturbaciones sobre el sistema.
Compensadores en adelanto y en atraso.
Respuesta en frecuencia
Diseño por medio de la respuesta en frecuencia.
Conclusiones.
Objetivo Diseño analítico de un sistema de control de
velocidad y de posición que cumpla con ciertas
especificaciones de diseño. Los parámetros
utilizados para el diseño se corresponden con los de
un sistema real perteneciente al laboratorio del GEA,
el cual se utilizara para la validación experimental de
las simulaciones.
¿Qué es un sistema de control?¿Para que sirve?
Un sistema de control es una serie de subsistemas y
procesos unidos con el fin de controlar las salidas de
los procesos, basados en los parámetros propios de
los mismos sistemas y procesos.
Tienen como finalidad controlar las salidas de los
procesos a partir de una entrada de referencia.
1er paso Modelado matemático Antes de poder diseñar cualquier sistema de control,
es necesario obtener un modelo matemático de la
planta o sistema que se desee compensar.
¿Cómo se logra?
Por medio de la aplicación de los principios físicos
que rigen el funcionamiento de cada subsistema que
componen la planta.
Modelado Matemático
La aplicación de los principios físicos se
realiza a cada uno de los subsistemas en
particular .
Subsistema eléctrico:
Aplicando la ley de tensiones de kirchoff
obtenemos:
Subsistema mecánico.
Aplicando sumatoria de torques sobre el eje
obtenemos.
Tensión de armadura.
Ecuación de la cupla eléctrica
Torque causado por la carga
Velocidad angular
Modelado Matemático
Reordenando la
ecuaciones obtenidas y
aplicando la
transformada de Laplace
para cada una de ellas,
se obtienen las
ecuaciones que se
encuentran a la derecha
de la pantalla.
Estas nuevas
ecuaciones nos permiten
obtener las funciones de
transferencia de cada
una de los subsistemas.
Modelado MatemáticoA continuación se muestran cada una de las diferentes funciones de transferencia que componen
nuestra planta de análisis.
En base a estas ecuaciones podemos armar el diagrama de bloque de nuestra planta.
Modelado Matemático
Función de transferencia de la
planta. Para poder armar las funciones de transferencia de la planta,
nos regimos por la siguiente formula:
Las condiciones que debe cumplir el sistema para poder representarlo a través de las funciones de transferencias:
Condiciones iníciales iguales a cero.
Sistema Lineal.
Sistema invariante en el tiempo.
Que el sistema posea una entrada y una salida.
Función de transferencia de la planta.
Función de transferencia 1: Entrada: Tensión de armadura Va (Par de carga nulo).
Salida: Velocidad del motor.
Función de transferencia de la planta. Función de transferencia 2: Entrada: Tensión de armadura Va (Par de carga nulo).
Salida: Posición angular del rotor,
Función de transferencia de la planta. Función de transferencia 3: Entrada: Par de carga Tl (Tensión
Va=0).
Salida: Posición angular del rotor,
Variables de Estado Las variables de estado de un sistema dinámico, son el conjunto más
pequeño de variables, que permiten determinar el estado del sistema a
partir de las condiciones iníciales del mismo, junto con sus entradas.
Estas variables deben ser linealmente independientes entre sí y podemos
identificarlas ya que son las variables derivadas.
Las variables del sistema son:
son linealmente independientes:
Variables de estado Ecuaciones de estado
Variables de estado Las ecuaciones de estado, se llevan a una forma normalizada para
poder trabajar con ellas.
x: Vector de estado.
: Derivada del vector estado con respecto al tiempo.
Vector de salida.
U: Vector de entradas.
A: Matriz del sistema.
B: Matriz de entradas.
C: Matriz de salidas.
D: Matriz de la pre alimentación.
Variables de estado Para el caso de nuestro sistema las ecuaciones normalizadas de
estado, son las siguientes:
Determinación analítica y por simulación de la respuesta de la planta.
Lo que se hace es determinar la respuesta de la
planta a lazo abierto.
Determinación analítica y por simulación de la respuesta de la planta.
Para poder hacer los análisis, es necesario conocer
las velocidades finales que el sistema tendrá para
cada uno de los casos.
Para poder obtener estos valores se emplea el
teorema de valor final.
Determinación analítica y por simulación de la respuesta de la planta.
Sistema sin carga:
Entrada :
Salida:
Determinación analítica y por simulación de la respuesta de la planta.
Para conocer la tensión para la cual se obtiene la
mitad de la velocidad procedemos de igual manera:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Tiempo
Velo
cid
ad
Determinación analítica y por simulación de la respuesta de la planta.
Con carga: Para este caso debemos utilizar el teorema de súper
posición para poder hallar el valor de tensión con el cual alcanzar la
mitad de la velocidad nominal.
De aplicar teorema de calor final obtenemos.
Determinación analítica y por simulación de la respuesta de la planta.
Resultado de la simulación
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
50
100
150
200
250
Tiempo
Velo
cid
ad
Simplificación de los modelados
Simplificación de los modelados
Constantes de tiempo de cada subsistema:
La planta eléctrica posee una respuesta mucho mas
rápida que que la planta mecánica.
Ubicación de los polos
Simplificación de los modelados
Pole-Zero Map
Real Axis
Imagin
ary
Axis
-3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
11
1
1
111111
1
1
5001e+0031.5e+0032e+0032.5e+0033e+003
System: sys
Pole : -2.29
Damping: 1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/sec): 2.29
System: sys
Pole : -2.6e+003
Damping: 1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/sec): 2.6e+003
1111
Simplificación de los modelados
Se puede despreciar la parte transitoria de la planta
eléctrica, pero no así su ganancia estacionaria.
Nueva función de transferencia del sistema y
sistema simplificado.
Simplificación de los modelados
Respuesta del sistemaRespuesta del sistema ampliada
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
50
100
150
200
250
300
350
400
tiempo
Velocidad W
m
7.922 7.922 7.922 7.922 7.922 7.922 7.922
307.934
307.9345
307.935
307.9355
307.936
307.9365
307.937
tiempo
Velocidad W
m
Marco Teórico
La respuesta de un sistema consta de dos partes:
Respuesta Transitoria : Variaciacion de la respuesta
del sistema desde un estado hasta el próximo.
Respuesta en régimen permanente: Respuesta final
del sistema, no presenta variaciones.
Marco Teórico (sistemas de segundo orden)
Un sistema de
segundo orden
puede ser
representado por
la ecuación
mostrada.
De acuerdo a la
ubicación de los
polos, podemos
obtener diferentes
tipos de
respuestas.
Ecuación característica
Marco Teórico (sistemas de segundo orden)
A la hora de diseñar un sistema de control, hay ciertas características que deseamos mejorar en la respuesta de un sistema.
Para un sistema de segundo orden, las características de respuesta con las que podemos trabajar son :
1. Tiempo de pico, Tp.
2. Sobrepaso en porcentaje, %OS.
3. Tiempo de asentamiento, Ts.
4. Tiempo de levantamiento, Tr.
Marco Teórico (sistemas de segundo orden)
Tiempo de pico (Tp): Es el tiempo para el cual obtendremos el pico
máximo de la respuesta.
Sobrepaso ( %OS): Valor de sobrepaso entre la respuesta del
sistema y la respuesta deseada.
Tiempo de asentamiento (Ts): Es el tiempo que tarda el sistema para
que su respuesta en estado estable no varíe mas de un porcentaje
de sobrepaso de la respuesta deseada.
Tiempo de levantamiento (Tr): Es el tiempo que le toma a la
respuesta del sistema en variar del 10% al 90% de la respuesta en
régimen estable.
Lugar Geométrico de Raíces
El lugar de raíces o lugar de las raíces es el lugar
geométrico de los polos y ceros de una función de
transferencia, de un sistema a lazo cerrado, a
medida que se varía la ganancia del sistema K en
un determinado intervalo.
Propiedades
Criterio de Modulo
Criterio de ángulo
Compensador Proporcional (P) Compensador de velocidad.
Criterios de diseño:
1. E= 5%
2. Constante de tiempo menor a 5 seg.
Compensador Proporcional (P)
A partir de la los criterios de diseño y de la ecuación de la función de
transferencia obtenemos el valor de la ganancia del compensador.
Grafica de tiempo velocidad. Referencia 1500 rpm.
Compensador Proporcional (P)La curva roja representa el
sistema compensado y la curva
azul el sistema sin compensar.
Podemos apreciar que se reduce
de manera notable el tiempo de la
respuesta transitoria del sistema y
ante variaciones externas,
debidas a la variación de la carga
del servomotor, el compensador
actúa instantáneamente
permitiendo que la velocidad no
decaiga en gran medida.
Podemos concluir que el
compensador cumple su función
de manera aceptable, ya que si
apreciamos el segundo grafico,
este nos muestra como varia el
error y podemos apreciar que
este se mantiene por debajo de
0,5 todo el tiempo de la
simulación.
Compensador Proporcional (P) Control de posición.
Criterios de diseño:
1. Sobrepaso menor al 20%.
2. Tiempo de asentamiento menor a 2 seg (criterio
del 2%).
Compensador Proporcional (P) En base a los criterios de diseño obtenemos el valor de
amortiguamiento y de la comparación entre la función de
transferencia del sistema y la función de transferencia típica para un
sistema de segundo orden.
Entonces:
Calculando el tiempo de asentamiento para verificar:
No se cumplió con el
criterio del tiempo de
asentamiento
Compensador Proporcional (P) En el grafico superior se ve la
respuesta del sistema, en el podemos ver que no se cumple con el requerimiento de tiempo de asentamiento.
En el grafico inferior podemos apreciar el lugar de raíces del sistema, marcado por las líneas en rojo y los polos del sistema con la ganancia Kp calculada, mientras que en verde se pueden ver los polos del sistema deseado.
Vemos que el lugar de raíces de nuestro sistema, para ninguna ganancia en particular podrá cumplir con la condición de tiempo de asentamiento, pero si podremos cumplir con el requerimiento de sobrepaso.
Compensador Proporcional (P) Desventaja del compensador proporcional.
Si se desea disminuir aun mas el porcentaje de sobrepaso, se debería aumentar la ganancia de nuestro controlador.
Esto produciría un aumento en la tensión que alimenta el servomotor, tal aumento podría llegar a ser mucho mas grande a la tensión nominal que soporta el motor, por lo tanto podría dañarlo, para evitar esto se puede colocar un saturador que regule la tensión de alimentación para no producir daños.
Conclusión, se pueden tener cualquier criterio de diseño, pero a la hora de implementar los compensadores hay que tener en cuenta todas las características del sistema, para no producir daños sobre el mismo cuando estemos en busca de una mejora.
Criterios de diseño Sobrepaso menor o igual al 20%
Tiempo de asentamiento menor a 2 seg.
.
Polos del sistema deseado:
función de
transferencia a lazo
abierto
Compensador integrador (I)Función de
transferencia Función del sistema a lazo
cerrado
Polos del sistema
Lugar de Raíces
Compensador integrador (I)
Este compensador
permite disminuir el
error en régimen
permanente al agregar
un polo en el origen.
La desventaja del
compensador integrador
es que vuelve al
sistema inestable.
Respuesta ante una entrada escalón
Compensador Derivador (D)Función de transferencia Función del sistema a lazo cerrado
Lugar de Raíces
Reduce el orden del sistema
a un sistema de primer
orden, por lo tanto su
respuesta no tendrá sobre
pasamiento y podría cumplir
con las condiciones de
diseño.
La desventaja es que
elimina el polo en el origen,
por lo que aumenta el error
en régimen estable.
Compensador proporcional integral (PI)Función de transferencia Función del sistema a lazo cerrado
La posición del cero es sobre el
semieje real positivo, lo cual nos
indicaría que deberá ser negativo,
lo cual no es posible, ya que
implica que una de las dos
ganancias sea negativa.
Cálculos
Compensador proporcional integral (PI) Se concluye que el
sistema será inestable, debido a que para cualquier valor de ganancia siempre habrá un polo en el semiplano derecho, debido a la acción del cero.
Lugar de raíces
Respuesta al escalón
Compensador proporcional derivador (PD)
Función de transferencia Función del sistema a lazo cerrado
Cálculos
Compensador proporcional derivador (PD)
El compensador
proporcional
derivador permite
mejorar la respuesta
en régimen
transitorio.
Lugar de raíces
Respuesta al escalón
Compensador proporcional derivador (PD)
Como podemos
apreciar en la grafica a
la izquierda, el
compensador
proporcional derivador
posee una gran
desventaja frente a
perturbaciones en el
sistema, y el
compensador no permite corregirlas.
Respuesta ante perturbaciones en el sistema
Compensador proporcional integrador derivador (PID)Función de transferencia
Función del sistema a lazo cerrado
Cálculos
Compensador proporcional integrador derivador (PID)
Podemos apreciar que con el correcto diseño, este
compensador permite cumplir con las especificaciones
y puede mejorar tanto la respuesta transitoria como el
error en régimen estable.
Lugar de raíces Respuesta al escalón
Compensador proporcional integrador derivador (PID)
Este compensador
además tiene una
muy buena
respuesta, ya que
permite corregir de
manera rápida la
respuesta del
sistema ante una
perturbación.
Respuesta ante perturbaciones en el sistema
CompensadoresPD PI
Permite mejorar la respuesta transitoria ya que disminuye el orden del sistema cancelando el polo en el origen.
Puede producir un empeoramiento del error y tiene una mala compensación frente a perturbaciones en el sistema.
Permite mejorar el
error en régimen
estable ya que
agrega un polo en
el origen lo cual
aumenta el tipo
del sistema.
Puede provocar
que el sistema se
torne inestable
para variaciones
en la ganancia.
PID
Permite mejorar tanto
el error en régimen
estable y la respuesta
transitoria del sistema.
Es una aplicación que
combina las acciones
de los controles
proporcional,
derivador e integrador.
Buena respuesta ante
perturbaciones
Realimentación Taquimétrica
Función del sistema a lazo cerrado
Cálculos
Realimentación Taquimétrica
Lugar de raíces Respuesta al escalón
Comparación
Compensador PD Compensación Taquimétrica
Mas económico en cuanto a
la aplicación si se compara
con la realimentación
taquimétrica, pero posee
una falla en la etapa
derivador, la cual hace que
el sistema no responda de
manera adecuada ante
perturbaciones.
Mas costosa ya que emplea
dos sensores para medir la
respuesta de velocidad y la
respuesta de posición para
controlar el sistema.
Mejor calidad de resultado
ya que no es afectado por
perturbaciones externas al
sistema.
Perturbaciones sobre el sistema
Para poder
realizar los
cálculos y las
simulaciones nos
apoyamos en una
propiedad de los
sistemas lineales,
la superposición.
Esquema del sistema para análisis de perturbaciones en régimen estable con entrada de posición nula.
Función de transferencia.
Perturbaciones sobre el sistema
Acc es la función de
transferencia del
controlador evaluada
en régimen estable
por medio del teorema
de valor final.
Perturbaciones sobre el sistema
Mientras más grande es la constante de proporción Kp mas chico será el error en estado de régimen, lo cual para llevar el error sea cero este tiene que tender a infinito.
Perturbaciones sobre el sistemaCompensador proporcional
Grafica de Posición
Los valores de Kp y Ki no influyen en la determinación del error, porque el error no depende de los mismos, entonces cualquiera sea estos valores el error en estado de régimen es cero. Pero Kp y Ki no pueden tener cualquier valor porque el polo agregado puede estar del lado derecho de JW por lo cual el sistema se torna inestable.
Perturbaciones sobre el sistemaCompensador proporcional integrador
Grafica de posición
En este caso sucede lo mismo que cuando analizamos para el compensador proporcional, pero también tenemos que tener en cuenta que el polo que agregamos limita los valores que pueden valer Kp y Kd, para que el sistema no sea inestable.
Perturbaciones sobre el sistemaCompensador proporcional derivador
Grafica de posición
Al igual que para el compensador proporcional integrador Kp, Ki y Kd pueden variar mucho en valor pero no pueden hacer que el error en estado de régimen sea cero.
También tenemos la limitante de Kp, Ki y Kd no pueden adquirir cualquier valor ya que para cierto valores pueden tornar el sistema inestable.
Perturbaciones sobre el sistemaCompensador proporcional integrador derivador
Grafica de posición
Criterio de diseño
Sobrepaso
menor al 10%.
Tiempo de
asentamiento
menor a 1 seg
(criterio del
2%).
Polos del sistema deseado
Compensador en adelanto
El polo agregado por el compensador se agrega a la izquierda del cero también agregado por el mismo.
Mientras mas alejado el polo, mayor será el ángulo entre ellos y el parámetro beta se achica.
Para la ubicación del polo y cero del compensador se utiliza el método de la bisectriz, marcado por las líneas en color rojo.
De acuerdo con esto el polo se ubicaría en -11,38 y el cero en -4,009.
Ecuación del compensador
Compensador en adelanto
Lugar geométrico Respuesta al escalón
Salida del sistema
Podemos ver que el error alcanzado es:
E=6,947
Pero este error es elevado por lo tanto debemos reducirlo 10 veces.
E=0,6947
Esta necesidad esta establecida por los criterios de diseño.
Para lograrlo se agrega un compensador en atraso.
Compensador en adelanto
Error del sistema
Para los cálculos de la ubicación de los polos y ceros se busca cumplir con una serie de requisitos:
1. Kat =1 para que solamente tenga efecto la ganancia del compensador en adelanto.
2. El cero se debe ubicar a 10 veces menos el valor real del polo deseado, el polo debe ubicarse a 100 veces la parte real de sx del origen.
3. Para que la adición del polo y el cero del compensador no afecte el lugar de raíces, el ángulo entre ellos tiene que ser menor a 2 .
Compensador en atraso
Ecuación del compensador
Podemos ver que no se cumplen los criterios de diseño por lo tanto se recalcula la ganancia del compensador para mejorar la respuesta.
Compensador en atraso
Respuesta del sistema con compensador en atraso y adelanto
El error obtenido por
simulación para el
régimen estable es de
0,6997, mientras que
el error deseado es de
0,6947.
Por lo tanto podemos
decir que con ambos
compensadores
logramos cumplir los
criterios de diseño.
Respuesta al escalón
Error
Método de Respuesta en Frecuencia
Este método consiste en evaluar
los transitorios, régimen
permanente y estabilidad de un
sistema a través de su respuesta
en frecuencia, por medio de la
utilización de las trazas de bode.
Las herramientas que utiliza son:
Margen de fase: Es la distancia entre
el cero y la curva. Positivo para
arriba.
Margen de ganancia: Es la distancia
entre el cero y la curva. Positivo hacia
abajo.
Frecuencia de corte por cero: Es la
frecuencia donde la curva de
ganancia pasa por cero
Ancho de banda: Es la frecuencia
para la cual la ganancia máxima del
sistema cae 3 db.
Criterios de diseño
Sobrepaso menor
igual al 20%.
Tiempo de
asentamiento menor
igual a 2 seg (criterio
del 2%.
Función de transferencia del sistema A lazo abierto.
Para hacer el análisis, suponemos respuestas con variaciones senoidales que no se atenúan en el tiempo
Respuesta en frecuencia
Podemos ver que el sistema es estable, ya que en el diagrama de fase, el sistema en ningún momento supera los 180 .
Por lo tanto, el margen de fase y de ganancia son ambos positivos.
Las frecuencias M1 y F son medidas a partir de los diagramas de bode.
Respuesta en frecuencia
En los diagramas anteriores podemos medir que no cumplimos con las especificaciones de tiempo de asentamiento por lo tanto se recalcula la ganancia Kp para levantar la curva de magnitud y así obtener el diagrama de bode del sistema deseado.
Respuesta en frecuencia
Respuesta en frecuencia: Calculo de compensadores en adelanto y en atraso
Adelanto Genérico Atraso Genérico
Compensador en adelantofunción de transferencia
Valores medidos de la grafica de bode para Un sistema genérico.
Calculo de polos y ceros del compensador
Ganancia del compensador
Compensador en adelanto
Compensador en adelantoDiagrama de bode Respuesta al escalón
Respuesta al aplicar la carga Error del sistema
Al igual que en el caso de
modelado por lugar de raíces,
el compensador en adelanto
no es suficiente para cumplir
con los requerimientos de
diseño, por ende debemos
recurrir a un compensador en
atraso que opere junto al
compensador en adelanto.
Compensador en atraso El compensador en atraso permite amplificar la señal a baja frecuencia, pero no a alta. El error del
sistema se determina a baja frecuencia, para poder corregir esto es necesario incrementar la
ganancia en el rango de baja frecuencia.
Se debe posicionar el pico de fase de modo que no altere lo conseguido con el compensador en
adelanto. Por lo tanto, este polo no debe de estar cerca de la frecuencia de cruce, porque
disminuiría el margen de fase.
Calculo del cero Calculo del polo
Para no modificar el lugar de raícesCompensador en atraso
Para poder lograr
cumplir con los
requerimientos fue
necesario realizar un
ajuste de la ganancia
del compensador en
atraso.
Podemos además
apreciar que
necesitamos de ambos
controladores, atraso y
adelanto, para poder
llegar a cumplir con los
requisitos de diseño
Compensador en atrasoRespuesta al escalón unitario Respuesta con carga Error
Planta sin compensar Planta compensada adelanto-atraso
Respuesta en frecuencia compensador PID
Respuesta en frecuencia compensador PID
Φ1=18° M1=4,4 db
Calculo de ceros
De la grafica, una década antes
Calculo del Kpid Compensador PID
Función de transferencia compensada
Podemos ver en la comparación que el sistema compensado tiene un fuerte aporte en aumento de la fase de la respuesta en comparación con la entrada, es decir se mejora el desfasamiento de la acción, lo cual mejoramos la respuesta transitoria del sistema, a la vez que disminuimos el error cuan corregimos el cruce por cero media el ajuste de la ganancia de amplitud. En conclusión vemos que el compensador es eficiente y de fácil implementación a la hora de cumplir con las especificaciones que se han impuesto.
Respuesta en frecuencia compensador PIDBode del sistema compensado Respuesta ante una entrada escalón
Conclusiones Por medio de esta trabajo se pudo observar que no hay una única manera de diseñar
un sistema de control (diseño por lugar de raíces, diseño en frecuencia, diseño por variables de estado). La elección por uno u otro depende de la experiencia del diseñador y delos medio que posea a su alcance.
A la hora de diseñar un sistema de control es de vital importancia conocer a la perfección el proceso que deseamos controlar, para que todo diseño sea valido y nos permita tener resultados cercanos a la realidad y así evitar utilizar el tradicional método de prueba y error y dañar los equipos con los que se trabaje.
De la mano con el conocimiento del equipo, podemos agregar que con un correcto diseño podemos llegar a controlar la respuesta de nuestro proceso en base a cualquier criterio que deseemos, sin sobre exigir los limites de los componentes del proceso.
La elección de los compensadores va de la mano al presupuesto que se posea y de la calidad de respuesta que desea.
Junto con el conocimiento del sistema en si, también es necesario tener un buen conocimiento de las entradas que pueda tener el sistema, para de esta manera poder diseñar un control estable que pueda responder de manera satisfactoria a veces en sistemas donde puedan existir perturbaciones.