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Tema 6: Interferencia y difracción de ondas * Diferencia de fase y coherencia. * Interferencia en películas delgadas. * Diagrama de interferencias de dos rendijas. * Diagrama de difracción de una rendija. * Suma de ondas armónicas mediante fasores. * Difracción de Fraunhofer y de Fresnel. * Difracción y resolución. * Redes de difracción. Tipler – Mosca: 33 Alonso – Finn: 34-35

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Page 1: Presentación de PowerPointmudarra.cpd.uva.es/goya/Intranet/pages/programas/fisica2/2013-2014/... · Otro fenómeno corriente que causa desfases es la reflexión bajo determinadas

Tema 6: Interferencia y difracción de ondas

* Diferencia de fase y coherencia.

* Interferencia en películas delgadas.

* Diagrama de interferencias de dos rendijas.

* Diagrama de difracción de una rendija.

* Suma de ondas armónicas mediante fasores.

* Difracción de Fraunhofer y de Fresnel.

* Difracción y resolución.

* Redes de difracción.Tipler – Mosca: 33Alonso – Finn: 34-35

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Diferencia de fase y coherencia

La combinación de dos ondas armónicas de la misma

frecuencia pero diferente fase, producirá una onda armónica

de la misma frecuencia, pero cuya amplitud dependerá del

desfase entre ambas:

Amplitud máxima: = 2n. Interferencia constructiva

Amplitud mínima: = (2n+1)Interferencia destructiva

La causa más habitual por la que dos ondas interfieren con

desfase es que hayan recorrido distintas distancias (caminos

ópticos) desde sus respectivas fuentes hasta alcanzar el

punto de interferencia.

La interferencia y la difracción son fenómenos genuinamente ondulatorios.

La interferencia es el resultado de la superposición de dos o más ondas que inciden en el

mismo punto del espacio en el mismo instante.

La difracción es la deformación del frente de ondas cuando este se encuentra con un

obstáculo.

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Otro fenómeno corriente que causa desfases es la

reflexión bajo determinadas condiciones. Estas se

resumen en una incidencia desde un medio de mayor

velocidad de propagación a otro de menor. En esta

situación la onda reflejada sufre un desfase de en el

mismo momento de su reflexión.

Este fenómeno es general para cualquier onda y se puede

encontrar también, por ejemplo, en ondas mecánicas que

se propagan por una cuerda.

Sólo cuando una diferencia de caminos ópticos equivale a

un número entero de longitudes de onda no se producen

desfases.

La relación entre diferencias de caminos y desfases se

puede calcular a partir de:

Diferencia de fase y coherencia

r

2

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Diferencia de fase y coherencia

Un requisito fundamental para la observación nítida de los fenómenos de interferencia es la

coherencia de las ondas que interfieren.

Los procesos estocásticos que generan OEMs en las fuentes de luz convencionales generan una

mezcla de ondas compleja, con diferencias de longitud de onda y de fase entre los componentes

individuales. Se dice que estas fuentes no son coherentes. La única fuente de luz que evita en

gran medida la presencia de esos procesos estocásticos es la luz láser.

Se pueden observar fenómenos de interferencia en fuentes no coherentes sólo cuando un haz de

luz proveniente de una única fuente se divide en dos y posteriormente se hacen confluir esos

dos «subhaces». A pesar de ser haces no coherentes en términos absolutos, estos presentan

coherencia relativa uno respecto del otro al ser virtualmente idénticos.

Las formas más habituales de dividir un haz en dos para este propósito son:•Reflexión en las dos superficies de una película delgada•Difracción en dos rendijas•Fuente e imagen reflejada en un espejo

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La luz ideal es una onda sinusoidal infinitamente larga. Sólo la luz láser se aproxima a este ideal.

En fuentes convencionales, incluso en las monocromáticas, las ondas se presentan en forma de

paquetes de onda en los que en el fenómeno ondulatorio de los componentes individuales se

identifica un principio y un fin.

Esos paquetes suelen tener la misma longitud («longitud de coherencia»). Las longitudes de

coherencia de una típica fuente de luz monocromática es de unos pocos milímetros. Por el

contrario algunos láseres llegan a longitudes de coherencia de varios kilómetros.

Diferencia de fase y coherencia

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Interferencia en películas delgadas

La interferencia en películas delgadas se observa en muchas situaciones cotidianas.

Los patrones coloreados de las figuras se producen por las distintas condiciones de

interferencia que se dan para los diversos colores que forman la luz blanca reflejada.

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Consideremos la observación a ángulos bajos (respecto a la normal) de una película de agua

en aire.

’ es la longitud de la onda dentro de la película, que se relaciona con la de la onda en aire

() a través del índice de refracción:

Interferencia en películas delgadas

Entre el rayo 1 (reflexión directa) y el rayo 2 (reflexión

interna) existirán diferencias de fase causadas por (1) la

diferencia de caminos ópticos y (2) la existencia de desfase de

reflex= por reflexión en la onda 1 (la luz se propaga más

despacio en el agua que en el aire – no hay desfase en la

reflexión interna de la onda 2).

En incidencia casi normal, la diferencia de camino óptico

corresponde a 2t que equivale a un desfase de:

adestructiv.Int'nt21n2si

vaconstructi.Int2

'1n2t2n2si

'

t22

'

t22 netar

22

1

1

2

2

1

n'

n

n

v

v'

'v

v

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Interferencia en películas delgadas

En el caso de una película de agua entre aire y

vidrio, el cálculo del desfase debe ajustarse pues en

esta caso tanto la onda 1 como la 2 sufrirán una

inversión de fase.

adestructiv.Int2

'1n2t21n2si

vaconstructi.Int'nt2n2si

'

t22neta

Una aplicación de este fenómeno se da en el control de calidad de lentes mediante

el estudio de los anillos de Newton. Cuando una lente descansa sobre una

superficie plana, entre la lente y esa superficie se produce una película de aire de

espesor variable que da lugar a un patrón de franjas claras y obscuras

(condiciones de interferencia constructiva y destructiva).

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Este experimento fue ideado por T. Young en 1801 para

probar la naturaleza ondulatoria de la luz.

La idea consiste en producir dos fuentes coherentes

mediante la iluminación de dos rendijas paralelas por

una única fuente de luz convencional.

En virtud del principio de Huygens, los puntos de esas

aperturas se convierten en fuentes secundarias de

radiación. La luz emergente tiene coherencia por

provenir realmente de una única fuente.

Diagrama de interferencia de dos rendijas

El diagrama de interferencia se observa sobre una pantalla suficientemente alejada de las

rendijas, y, como veremos a continuación, consiste en una sucesión de franjas claras y

oscuras equidistantes.

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Diagrama de interferencia de dos rendijas

A distancias suficientemente grandes los rayos que inciden en el punto P son prácticamente

paralelos, por lo que la diferencia de caminos que recorren es aproximadamente d sen, de

manera que se llega a las condiciones:

adestructiv.Int

21n2send1n2si

vaconstructi.Intnsendn2sisend

2

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La distancia de la n-ésima franja brillante respecto al centro de la pantalla, yn, será:

Y, por tanto, la distancia entre dos franjas consecutivas vendrá dada por:

Diagrama de interferencia de dos rendijas

d

Lny

nsendL

ysentg

n

n

nnn

d

Ly

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Diagrama de interferencia de dos rendijas

La intensidad en un punto cualquiera de la pantalla

corresponderá a la resultante de la combinación de las dos

ondas que en él inciden.

Dada la lejanía de la pantalla, podemos asumir que las dos

ondas son paralelas y por tanto sus magnitudes vectoriales se

suman como escalares.

Los caminos ópticos son muy parecidos y por tanto las

amplitudes (E0) serán prácticamente iguales:

)t(senEE

tsenEE

02

01

2

tsen2

cosE2)t(sentsenEEEE 0021

En caso de incoherencia de las fuentes, sobre la pantalla se observaría una iluminación

bastante uniforme cuya intensidad equivaldría a 2 I0.

2cosI4I 2

0

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Diagrama de difracción de una rendija

Cuando observamos la luz que atraviesa una rendija, bajo determinadas condiciones se

puede apreciar un patrón de franjas claras y oscuras.

La mayor parte de la intensidad lumínica se concentra en el área central aunque existen

máximos relativos (secundarios) a cada lado del máximo principal.

http://www.walter-fendt.de/ph14e/singleslit.htm

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Diagrama de difracción de una rendija

Los primeros ceros de intensidad aparecen en la posiciones:

donde a es la anchura de la rendija. Así, para a< no se producirá difracción y para valores

de a>>, la difracción es imperceptible pues las franjas claras y oscuras son muy estrechas.

Por tanto, el fenómeno de difracción será más discernible para rendijas cuyo tamaño sea del

orden de la longitud de onda lumínica, pero mayor que ésta.

A pesar de tener una única fuente, la difracción tiene evidentes reminiscencias de un

fenómeno interferencial:•Patrón en franjas claras y oscuras.•Coincidencia de las expresiones de los mínimos con condiciones de interferencia

destructiva. •Aplicabilidad del principio de Huygens a cada punto de la rendija.

asen

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Diagrama de difracción de una rendija

2sena

2

1

asen

La expresión ½ a sencoincide con la diferencia de caminos

de dos rayos para los cuales la distancia entre sus fuentes

secundarias en la rendija es a/2. Puesto que esta diferencia

de caminos ópticos corresponde a un desfase de /2, se tiene

interferencia destructiva. El mínimo obtenido a ese ángulo se

asocia a todas las parejas de rayos cuyas fuentes distan a/2.

El segundo mínimo aparece para:

2sen

4

a

a

2sen

caso en que las fuentes secundarias distan a/4. Por iteración,

para el resto de los mínimos de difracción se obtiene:

2sen

m2

a

a

msen

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Diagrama de interferencia-difracción de dos rendijas

Cuando tenemos 2 rendijas de las dimensiones

adecuadas, la difracción en cada una de ellas junto

con la interferencia del conjunto dan lugar a la

aparición de un patrón más complejo que los

anteriores.

Los dos fenómenos de superponen de forma clara. La

interferencia de las dos rendijas da lugar a una

distribución uniforme de franjas claras y obscuras. La

difracción en las rendijas modula la intensidad de las

franjas según el patrón de difracción. Así en aquellos

puntos en los que se de un mínimo de difracción la

intensidad en la pantalla será cero aunque esa

posición corresponda a un máximo de interferencia y,

al revés, si un máximo de difracción coincide con un

mínimo de interferencia, tendremos un valor nulo de

intensidad.

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Obviamente la distancia entre rendijas (d) siempre será mayor que su anchura (a). Puesto

que el primer mínimo de interferencia está en:

Diagrama de interferencia-difracción de dos rendijas

dsen i1

y el primer mínimo de difracción en:

asen d1

se tendrá que dentro del máximo central de difracción se observarán varios órdenes

interferenciales, tantos más cuanto mayor sea la relación d/a.

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Suma de ondas armónicas mediante fasores

La determinación del resultado de un proceso

interferencial implica la suma de funciones

armónicas de la misma frecuencia pero desfasadas.

El cálculo directo mediante sumas de las

funciones seno o coseno puede llegar a ser tedioso

en el caso de múltiples fuentes. Para solventar esta

circunstancia se puede recurrir a la representación

fasorial de las ondas.

Sean dos ondas E1 y E2 que interfieren, en

términos generales podemos poner:

senAsenAEE 2121

Las funciones E1 y E2 equivalen a las proyecciones sobre el eje Y de dos vectores

(“fasores”) A1 y A2 que forman ángulos y con el eje X, respectivamente.

Geométricamente, la suma de E1 y E2 coincide con la proyección sobre el eje Y del fasor

A=A1+A2.

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Suma de ondas armónicas mediante fasores

De forma general los fasores se consideran elementos que

giran en torno al eje a una velocidad angular que coincide

con la frecuencia angular . Cuando se calcula la amplitud

de la onda resultante, esta circunstancia adquiere especial

relevancia en el caso de que las ondas tengan distinta

frecuencia. En el caso contrario, la amplitud resultante es

independiente del tiempo.

Utilizaremos este procedimiento a continuación para

analizar fenómenos de interferencia y difracción.

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Como ilustra la figura, la diferencia

de caminos entre la 1ª y 2ª fuentes

es de d sen, al igual que en el caso

de dos fuentes. Esta diferencia de

caminos coincide con la que existe

entre la 2ª y la 3ª. Analíticamente

podemos escribir:

Para =0 tendremos =0 y A=3A0. (I=9I0). Esta posición

corresponde a un máximo. Recurrimos a la representación

mediante fasores para analizar la variación de la amplitud

en función del desfase.

Patrón interferencial de tres fuentes sincrónicas equiespaciadas

L

yd2send

2

2senAE

senAE

senAE

03

02

01

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Patrón interferencial de tres fuentes sincrónicas equiespaciadas

Estas observaciones se pueden generalizar. Para un

número N de fuentes equiespaciadas, entre dos máximos

principales existen N-2 máximos secundarios y N-1

mínimos

Cuando aumenta la amplitud resultante se va reduciendo

hasta que se anula para =120º. A partir de 120º la amplitud

vuelve a aumentar de nuevo hasta =180º, desfase para el

cual aparece un máximo secundario. De nuevo decrece

hasta alcanzar un nuevo mínimo para =240º. Tras este

crece y se alcanza un nuevo máximo principal para

=360º.

Por tanto, los máximos principales se producen para los

mismos ángulos que en un sistema de dos fuentes.

msend m

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Patrón interferencial de fuentes sincrónicas equiespaciadas

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Determinación del patrón de difracción de una rendija mediante fasores

En virtud del principio de Huygens, se puede considerar la rendija

como un conjunto muy grande (infinito en el límite) de fuentes

sincronizadas e idénticas. La aplicación del método fasorial resulta

especialmente útil en esta situación.

La separación, d, entre cada una de esas N fuentes de la rendija se

puede poner como d=a/N con un diferencia de caminos entre dos

consecutivas de valor d sen.

Amax es la amplitud en el punto central de la pantalla, =0. A partir de

ese ángulo la amplitud empieza a disminuir hasta que se hace cero

cuando los N fasores dibujan un polígono cerrado. Esto se producirá

la primera vez cuando

asen

N

2sen

N

a2send

2

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Para un punto cualquiera sobre la pantalla, tendremos

que, en el límite, la figura de fasores correspondientes a

infinitas fuentes infinitesimales dibuja un arco de

circunferencia. La amplitud se corresponderá con la

cuerda de ese arco y su valor será función del desfase

entre las fuentes de los extremos de la rendija. Según

se ve en la figura:

Determinación del patrón de difracción de una rendija mediante fasores

2senr2A

r

2/A

2sen

La longitud del arco es Amax=NA0, luego el ángulo que subtiende es:

r

Amax

Si sustituimos en la expresión anterior, se obtiene:

2

2max

2

0max

max

2/

2/sen

A

A

I

I

2/

2/senA

2sen

A2A

sena2

N

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Conocida ya la forma analítica de la difracción de una rendija, podemos escribir la

expresión que da cuenta de la intensidad de la onda sobre la pantalla como el producto de

las intensidades de difracción e interferencia (interferencia modulada por la intensidad de

la difracción).

Determinación del patrón de interferencia-difracción de dos rendijas

2

cos2/

2/senI4I 2

2

0

donde, como en el apartado anterior,

sena2

es la diferencia de fase entre los rayos extremos una misma rendija, y

send2

la diferencia de fase entre dos rayos equivalentes de cada rendija.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/mulslid.html#c3

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Difracción y resolución

La difracción causa una importante

limitación en la resolución de los

instrumentos ópticos. En éstos, la

forma de las rendijas suele ser

circular, y el ángulo subtendido

por el primer mínimo de difracción

se relaciona con el diámetro D

según:

Si la luz procedente de dos ondas separadas un ángulo atraviesan simultáneamente

la rendija, sus patrones de difracción se solapan en la pantalla. Si la separación no es

muy grande, las figuras solapadas pueden ser difíciles de identificar como causadas

como dos fuentes y no una sola.

D22,1sen

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Se conoce como «Criterio de resolución de Rayleigh» al

valor de la separación angular crítica que permite la

resolución de las dos fuentes. Se estima que dos fuentes se

pueden considerar claramente distinguibles a partir del

momento en que el máximo de una cae sobre el primer

mínimo de la otra.

Difracción y resolución

D22,1c

Así, el poder de resolución puede aumentarse bien

incrementando el diámetro de las rendijas, bien

disminuyendo la longitud de onda de operación.

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Redes de difracción

Una red de difracción es un sistema formado por N

rendijas paralelas de igual ancho b, espaciadas

regularmente una distancia a. Estos dispositivos tienen

una importancia fundamental en el análisis de espectros.

En transmisión tendremos la interferencia debida a N

fuentes sincrónicas modulada por el diagrama de

difracción de una rendija.

22

0

sena

sen

senaN

sen

senb

senb

senII

DIFRACCIÓN INTERFERENCIA

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Redes de difracción

Si N es grande, el diagrama consistirá en una serie de franjas brillantes angostas

correspondientes a los máximos principales del diagrama de interferencia:

ansen

Este patrón corresponde a una configuración tipo transmisión, si bien las redes pueden

operar también en modo reflexión.

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Así, cuanto mayor es el orden de difracción, mayor es la dispersión.

Cuando sobre una red incide luz de diversas longitudes de onda, éstas producen máximos

de difracción a ángulos diferentes, excepto para el orden cero, que es el mismo para

todas. El conjunto de máximos de un orden dado para todas las longitudes de onda

constituye un espectro. Cuanto mayor es la longitud de onda, mayor es la desviación para

un orden dado del espectro.

La dispersión de una red se define como:

Redes de difracción

d

dD

Recordemos que para N grande

cosa

nD

a

n

d

dcos

ansen