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UNIVERSIDAD DE COSTA RICA ESCUELA DE MATEMÁTICA 2014 Prof. Thara Román H.

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UNIVERSIDAD DE COSTA RICA

ESCUELA DE MATEMÁTICA

2014

Prof. Thara Román H.

Dominio máximo.

Repaso de funciones lineales y cuadráticas.

Biyectividad.

Composición y función inversa.

Funciones exponenciales y logarítmicas.

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Thara R.MA1210 nivelación 2014

Definición

Una función exponencial con base a es una función f : ℝ→ℝ+ , tal que f (x) = ax , aεℝ+, a≠1

¿Qué pasa si…

a=1 ?

a<0 ?

Thara R.MA1210 nivelación 2014

2 casos

Thara R.MA1210 nivelación 2014

f : ℝ→ℝ+ , tal que

f (x) = ax , 0<a<1

f : ℝ→ℝ+ , tal que

f (x) = ax , a>1

Características de la función exponencial

f recorre todo ℝ, i.e. su dominio máximo es ℝ

El ámbito de f es ℝ+ ; i.e. a>0, ∀x ε ℝ

f interseca al eje y en 1… (0,1) pues a0=1 ∀a≠0

f no interseca al eje x

f posee asíntota horizontal y=0

a>1…f estrictamente creciente

0<a<1…f estrictamente decreciente

La gráfica de f es cóncava hacia arriba

Thara R.MA1210 nivelación 2014

Propiedades de la función exponencial

a>0 ⇨ ax >0 ∀x ε ℝ

Si a>1 y m>n ⇨ am > an

Si 0<a<1 y m>n ⇨ am < an

Thara R.MA1210 nivelación 2014

Thara R.MA1210 nivelación 2014

f(x) = ax + k

K<0◦ k unidades hacia abajo

K>0◦ k unidades hacia arriba

y=K es asíntota horizontal de f

El ámbito es ]k, +∞[

Thara R.MA1210 nivelación 2014

f(x) = ax+k

K<0◦ k unidades hacia la derecha

K>0◦ k unidades hacia la izquierda

Thara R.MA1210 nivelación 2014

f(x) = -ax

Se refleja con respecto al eje x

El ámbito es ]-∞,0[

a>1 ⇨ decreciente

0<a<1 ⇨ creciente

Thara R.MA1210 nivelación 2014

f(x) = a-x

Se refleja con respecto al eje y

a>1 ⇨ 0< a-x <1

0<a<1⇨ a-x >1

Thara R.MA1210 nivelación 2014

Conforme n crece…

Thara R.MA1210 nivelación 2014

Es creciente pues ℯ >1

f : ℝ→ℝ+ , f (x) = ℯ x

ℯ ≈ 2,71828182845

Thara R.MA1210 nivelación 2014

Definición

Una función logarítmica con base a, aεℝ+, a≠1 es una función f : ℝ+→ ℝ que se denota f (x) = loga

x

y está definida como

Como son inversas se cumple que

f : ℝ→ℝ+ , f (x) = ax

f -1: ℝ+→ℝ , f -1(x) = logax

(f -1of )(x) = loga(ax ) = x , xεℝ

(f of -1)(x) = alogax = x , xεℝ+

Thara R.MA1210 nivelación 2014

2 casos

Thara R.MA1210 nivelación 2014

f : ℝ+ →ℝ , tal que

f (x) = logax , 0<a<1

f : ℝ+ →ℝ , tal que

f (x) = logax , a>1

Características de la función logarítmica

f recorre eje x positivo, dominio máximo es ℝ+

El ámbito de f es ℝ ; i.e. logax εℝ , ∀x>0

f interseca al eje x en 1… (1,0) pues loga1 =0

f no interseca al eje y

f posee asíntota vertical x=0

a>1…f estrictamente creciente

0<a<1…f estrictamente decreciente

Thara R.MA1210 nivelación 2014

Propiedades de los logaritmos

a0 =1 ⇔ loga1 =0

a1 = a ⇔ logaa =1

loga(x•y) = loga

x + logay

loga(x/y) = loga

x - logay

loga(x ) = n loga

x

logwf =

Thara R.MA1210 nivelación 2014

n

logaf

logaw

Thara R.MA1210 nivelación 2014

f(x) = logax + k

K<0◦ k unidades hacia abajo

K>0◦ k unidades hacia arriba

Thara R.MA1210 nivelación 2014

f(x) = loga(x+k)

K<0◦ k unidades hacia la derecha

K>0◦ k unidades hacia la izquierda

x=K es asíntota vertical de f

El dominio es ]k, +∞[

Thara R.MA1210 nivelación 2014

f(x) = -logax

Se refleja con respecto al eje x

a>1 ⇨ decreciente

0<a<1 ⇨ creciente

Thara R.MA1210 nivelación 2014

f(x) = loga-x

Se refleja con respecto al eje y

El ámbito es ]-∞,0[

a>1 ⇨ 0< a-x <1

0<a<1⇨ a-x >1

Thara R.MA1210 nivelación 2014

f(x) = logℯx = ln x

Thara R.MA1210 nivelación 2014

Arias, F. & W. Poveda. (2011). Matemática

Elemental. San José, Costa Rica. Editorial

UCR.

Blanco, R. & L. Sancho. (2009). Matemática

para la enseñanza media. San José, Costa

Rica. SIEDIN.

Thara R.MA1210 nivelación 2014