3 MEDIDAS DESCRIPTIVAS

3.1 INTRODUCCIÓNSe presentaron los métodos tabulares y gráficos más usuales para destacar las

particularidades más importantes de un conjunto de datos. Sin embargo, tales métodos no

son suficientes para caracterizarlos en forma resumida. Por ejemplo, si deseamos

comparar dos conjuntos de datos, resulta difícil confrontarlos por simple inspección de sus

gráficos o de sus distribuciones de frecuencia: En tal caso, resulta conveniente obtener

medidas numéricas que describan resumidamente los conjuntos de datos.

Existen fundamentalmente dos tipos de medidas de interés para cualquier conjunto de

datos. Las de tendencia central y las de dispersión. Medidas que serán estudiadas en la

presente unidad.

3.2 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central resumen los datos en un valor central alrededor del cual

se distribuyen todos los datos del conjunto. Entre tales valores están la media aritmética,

la mediana, la moda y la media ponderada entre otras.

3.2.1 MEDIA ARITMÉTICA

LA MEDIA ARITMÉTICA, MEDIA O PROMEDIO DE UN CONJUNTO DE N OBSERVACIONES X1 , X2 ,...,

XN

SE REPRESENTA POR X Y SE DEFINE COMO :

La media es la más importante de las medidas de tendencia central. Su interpretación

corresponde geométricamente al punto de equilibrio de los datos. Posee propiedades

teóricas excelentes para su empleo en la inferencia estadística. La desventaja que tiene

es que es muy sensible a los valores extremos cuando éstos no están equilibrados entre

sí.

3.2.2 Propiedades de la media aritmética

La media aritmética posee las siguientes dos propiedades.

I.- La suma de las desviaciones con respecto a la media es igual a cero, esto es

II.-LA SUMA DE LAS DESVIACIONES AL CUADRADO CON RESPECTO A LA MEDIA ES MÍNIMA QUE

CON RESPECTO A CUALQUIER OTRO VALOR, ESTO ES

3.2.3 Mediana

La mediana de un conjunto de n observaciones se representa por Md y se define como el

valor central de los datos, previamente ordenados creciente o decrecientemente.

Otra forma de definir la mediana es la siguiente: es el valor a partir del cual el 50% de los

datos están por debajo y el otro 50% por arriba.

En un conjunto de datos originales la mediana puede determinarse aplicando uno de los

siguientes casos.

I.- Si n es impar, la mediana será el valor central del conjunto de datos ordenados.

II.-Si n es par, la mediana será el promedio de los dos valores centrales, previo

ordenamiento de los datos.

3.2.4 Moda

La moda de un conjunto de n observaciones se representa por Mo y es el valor de la

observación que se presenta con mayor frecuencia en un conjunto de datos.

La moda es una medida de tendencia central poco usual, las razones se deben a que

puede ocurrir que en un conjunto de datos no exista moda, como también puede suceder

que la moda no se un valor único; esto es, que este compartida por dos o más

observaciones.

3.2.5 Comparación de la media, mediana y moda

En secciones precedentes se hizo notar que la media es el punto de equilibrio de un

conjunto de datos. Que la mediana, divide al grupo de datos en dos partes iguales de tal

modo que la mitad de los datos quedan por debajo de ella y la otra mitad por arriba.

Finalmente, que la moda representa el valor de la observación que se presenta con mayor

frecuencia con el conjunto de datos. Estas medidas, son las medidas de tendencia central

más usuales por su fácil comprensión y su enorme utilidad. Sin embargo, de estas tres

medidas, la media es la más usual para representar la tendencia central de un conjunto

de datos. Esto se debe a que generalmente proporciona una mejor estimación de parámetro.

Además, la media posee propiedades teóricas excelentes que no tienen la mediana y la

moda, y que originan que la media sea ampliamente utilizada en la inferencia estadística.

No obstante, pueden presentarse también algunas situaciones en las que se opta por el

empleo de la mediana en lugar de la media para representar la tendencia central de un

conjunto de datos. Estas situaciones se presentan en aquellos grupos de observaciones

que contienen valores extremos que no están equilibrados en ambos lados del colectivo y

que a causa de la sensibilidad de la media, ésta proporciona una estimación errónea de la

tendencia central. En estas circunstancias, la mediana resulta ser la medida apropiada

para representar la tendencia central de un conjunto de datos. Por otro lado, la moda es

una medida adecuada siempre que se desee una estimación aproximada rápida de la

tendencia central, o cuando sólo estamos interesados en la ocurrencia del valor

característico.

La Figura 3.1 muestra las posiciones de la media, la mediana y la moda. Si la distribución

es simétrica, como se aprecia en a), las tres mediadas de tendencia central coinciden, es

decir, se verificará la igualdad x=Md=Mo . Si la distribución es asimétrica positiva,

como se observa en b), las tres medidas de tendencia central divergen, de tal forma que

se cumple la relación x>Md >Mo . Finalmente, si la distribución es asimétrica negativa,

como se aprecia en c) las tres medidas de tendencia central divergen, verificandose en tal

caso la relación x<Md <Mo . Al respecto cabe mencionar, que si una distribución

presenta dos o más modas, la dirección de ésta se determina comparando únicamente la

media y la mediana.

Figura 3.1 Posición de la media, la mediana y la moda.

FIGURA 3.1 POSICIÓN DE LA MEDIA, LA

MEDIANA Y LA MODA.

3.3 MEDIDAS DE POSICIÓN

Las medidas de posición sirven para describir la localización de un dato específico en la

relación con el resto de la muestra. Dos de las medidas de posición más populares son

los llamados cuartiles y los centiles.

3.3.1 Cuartiles

Los cuartiles son números que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro partes

iguales. Estos se representan habitualmente por Q1, Q2, y Q3. El primer cuartil, Q1, es el

valor que tiene por debajo la cuarta parte de los datos. El segundo cuartil, Q2, tiene por

debajo la mitad de los datos. Nótese que Q2 tiene la misma ubicación que la mediana. El

tercer cuartil Q3, tiene por debajo las tres cuartas partes de los datos. En términos de

porcentaje, Q1 tiene por debajo el 25% de los datos, Q2 el 50% y Q3 el 75%.

El rango intercuartílico (R.I) mide aproximadamente la distancia de la mediana que

debemos recorrer en ambos lados antes de poder incluir una mitad de los valores del

conjunto de datos. R.I.=Q3-Q1

.

3.3.2 Centiles

Los centiles (o percentiles) son números que dividen al conjunto de datos ordenados en

100 partes iguales. Estos se representan por p1 , p2 ,..., p100. El centil ochenta, p80,

tiene por debajo el 80% de los datos. El centil cuarenta y cinco p45 tiene por debajo el

45% de los datos.

La Figura 3.2 muestra que una medida de tendencia central no es suficiente para

caracterizar dos conjuntos de datos, puesto que, es posible tener dos o más

distribuciones con la misma medida de tendencia central y pertenecer a distribuciones

muy diferentes. Por ejemplo, hay que apreciar en la Figura 2, la diferencia en la

interpretación de la observación 80. En a) se observa que la distribución tiene menor

dispersión, es decir, las observaciones están estrechamente distribuidas alrededor de la

media, tanto así, que la observación de 80 está situada casi en el extremo de la

distribución y puede por lo tanto considerarse como una observación muy alta. En b), por

el contrario, las observaciones están más dispersas alrededor de la media. En este caso,

la observación de 80 no se localiza tan al extremo de la distribución puesto que, tiene

encima de ella un buen número de observaciones, tal como lo indica el área situada a la

3.4 MEDIDAS DE DISPERSIÓN

En unidades anteriores se presentaron las medidas de tendencia central más comunes

para caracterizar conjuntos de datos. Sin embargo, tales medidas no son suficientes para

realizar de manera completa la caracterización de éstos, puesto que otro aspecto que se

debe considerar es la dispersión o variabilidad de los datos. Una dispersión pequeña,

denota gran homogeneidad de los datos. Por el contrario, una dispersión grande indica

heterogeneidad de los datos. La ausencia de dispersión significa que todos los datos

del conjunto son iguales.

La Figura 3.2 muestra que una medida de tendencia central no es suficiente para

caracterizar dos conjuntos de datos, puesto que, es posible tener dos o más

distribuciones con la misma medida de tendencia central y pertenecer a distribuciones

muy diferentes. Por ejemplo, hay que apreciar en la Figura 2, la diferencia en la

interpretación de la observación 80. En a) se observa que la distribución tiene menor

dispersión, es decir, las observaciones están estrechamente distribuidas alrededor de la

media, tanto así, que la observación de 80 está situada casi en el extremo de la

distribución y puede por lo tanto considerarse como una observación muy alta. En b), por

el contrario, las observaciones están más dispersas alrededor de la media. En este caso,

la observación de 80 no se localiza tan al extremo de la distribución puesto que, tiene

encima de ella un buen número de observaciones, tal como lo indica el área situada a la derecha de 80.

FIGURA 3.2 DOS DISTRIBUCIONES CON LA MISMA MEDIDA DE

TENDENCIA CENTRAL PERO CON

DIFERENTE DISPERSIÓN.

La dispersión de un conjunto de datos normalmente se expresa cuantitativamente. De

esta manera, con el propósito de medir la dispersión de un conjunto de datos, se estudian

en la presente sección las medidas siguientes: amplitud, varianza, desviación estándar y

coeficiente de variación.

3.4.1 Amplitud o Rango

La amplitud (A) de un conjunto de datos es la diferencia entre las observaciones de mayor

y menor valor numérico en el mismo. La amplitud es poco usual por su evidente

inestabilidad. Esto se debe a que únicamente considera para su cálculo, los valores

extremos del conjunto de datos.

3.4.2 Varianza

La varianza de un conjunto de n observaciones x1, x2,..., xn; se representa por S2 y se

define como la suma de los cuadrados de las desviaciones con respecto a su media,

dividida por el número de observaciones menos uno, simbólicamente

La varianza es una medida de dispersión de gran

importancia en la estadística, debido a

que constituye la base de algunas distribuciones que

se estudian en la inferencia

estadística.

3.4.3 Desviación Estándar

La desviación estándar se representa por S y se define

como la raíz cuadrada de la

varianza esto es

Debido a las propiedades teóricas que posee la desviación estándar es la más importante

y la más usual de las medidas de dispersión. Se opta por el uso de la desviación estándar

en la relación con la varianza, porque la varianza expresa las unidades al cuadrado,

mientras que la desviación estándar presenta las unidades de su forma original.

3.4.4 Coeficiente de Variación

El coeficiente de variación se representa por C.V., y se define como la medida de

dispersión relativa de un conjunto de datos, que se obtiene dividiendo la desviación

estándar del conjunto entre su media, esto es

LA FORMA MÁS USUAL DEL COEFICIENTE DE

VARIACIÓN ES COMO SE INDICA A CONTINUACIÓN

Se multiplica por l00 con el propósito de expresar la dispersión de un conjunto de datos en

términos de porcentaje.

El coeficiente de variación cobra mayor importancia cuando se desea comparar la

dispersión de dos o más conjuntos de datos que tienen diferente unidad de medida. Esto

se debe a que la unidad de medida utilizada en los grupos que se comparan se elimina, y

la dispersión de los datos, se da en términos de porcentaje.

3.4.5 Comparación de las medidas de dispersión

Por la rapidez y facilidad con que se obtiene, la amplitud se considera simplemente como

un índice preliminar o aproximado de la variación existente entre las observaciones de un

conjunto de datos. Como medida de dispersión debe emplearse con precaución, puesto

que su valor depende únicamente de los dos valores extremos del conjunto.

La varianza resulta ser una medida razonablemente buena de la dispersión debido a que

si las desviaciones son grandes entonces el valor de la varianza será grande, por el

contrario, si éstos son pequeños entonces el valor de la varianza será pequeño. La

varianza puede sufrir un cambio bastante desproporcionado, aun más que la media, por la

existencia de valores extremos en el conjunto. La varianza es una medida de dispersión

en la que los resultados que se obtienen representan unidades al cuadrado, para superar

éste inconveniente de la varianza y disponer de otra medida de dispersión que exprese

las unidades en su forma original como fueron obtenidos, se extrae la raíz cuadrada de la

varianza, obteniéndose, lo que se conoce como desviación estándar.

La desviación estándar es la más utilizada e importante de las medidas de dispersión,

esto se debe a las propiedades teóricas que posee, razón por la cual, se constituye en la

base de los métodos inferenciales.

El coeficiente de variación es una medida de dispersión independiente de la unidad de

medida, puesto que la dispersión de un conjunto de datos se obtiene en términos de

porcentaje.

3.4.6 Significado de la desviación estándar

El resultado obtenido al calcular la desviación estándar de un conjunto de datos, nos lleva

a preguntar ¿Qué significa realmente ese número?. El significado completo de la

desviación estándar se comprende cuando se estudia la distribución normal puesto que el

significado depende del entendimiento de la relación que existe entre la desviación

estándar y la distribución normal. Sin embargo, a manera de ilustrar el significado de la

desviación estándar consideremos el aspecto que se presenta a continuación.

Supóngase que se desea medir la distancia que hay entre las plantas de un jardín. Se

podría efectuar la medición de éstos, ya sea en metros o en centímetros. Por ejemplo,

que el rosal esta a una distancia de 3 metros del tulipán o que la gardenia esta a 95

centímetros de la noche buena. Pero, ¿cómo medir la anchura del eje horizontal de un

polígono de frecuencias?. Del mismo modo en que se midieron las plantas del jardín en

metros o en centímetros, se puede medir también el eje horizontal de un polígono de

frecuencias en unidades de desviación estándar. Desde este punto de vista, la desviación

estándar se constituye en una especie de "vara de medir", que nos permite comparar

datos de dos o más conjuntos.

Con el propósito de ilustrar lo anterior considérese la distribución de frecuencias que se

presento en la Tabla 2.5, perteneciente al peso de 60 alumnos elegidos al azar de una

escuela. Tal característica tiene un peso promedio igual a x = 67.63 kg. y una desviación

estándar igual a S = l l.02. Se podría sumar la desviación estándar al valor de la media

para determinar el peso de un alumno que esta situada a una desviación estándar por

encima de la media, o bien, restar la desviación estándar al valor de la media y encontrar

el alumno que esta ubicado a la misma distancia pero por debajo de la media. Si se

realiza lo antes indicado se obtiene que el peso aproximado de ambos alumnos es 78.65

y 56.61 kg. respectivamente. La Figura 3.3 muestra el peso de los alumnos que están

situados a una y dos desviaciones estándar por encima y por abajo de la media.

FIGURA 3.3 MEDICIÓN DE OBSERVACIONES EN UN POLÍGONO DE

FRECUENCIAS EN UNIDADES DE

DESVIACIÓN ESTÁNDAR.

en unidades de desviación estándar, es en muchos aspectos, similar al medir en metros o

en centímetros las plantas de un jardín. Sin embargo, la similitud se divide en por lo

menos un aspecto importante: mientras que los metros o los centímetros son de

dimensión constante, es decir, un metro siempre tendrá 100 centímetros y un centímetro

iempre será la centésima parte de un metro, el valor de la desviación estándar variará de

una distribución a otra. Por tal razón, se debe de calcular la desviación estándar de

cualquier grupo de datos con el que se esté trabajando para efectuar las mediciones

correspondientes.

3.5 COEFICIENTE DE ASIMETRÍA Y CURTOSIS

En este apartado se estudian dos medidas que proporcionan información útil con respecto

a la forma de la distribución de un conjunto de datos.

3.5.1 Coeficiente de asimetría

El coeficiente de asimetría (ax) se utiliza para conocer si la distribución de un conjunto de

datos es asimétrica o no. Este se calcula utilizando la expresión

Para las distribuciones que presentan un solo pico, si a x < 0, se dice que la

distribución

es asimétrica negativa; si a x > 0, la distribución es asimétrica positiva; y si a x

=0, la

distribución recibe el nombre de simétrica, los tres tipos de distribución se

ilustran en la

Figura 3.4.

FIGURA 3.4 SIMETRÍA Y ASIMETRÍA DE UN CONJUNTO DE DATOS A)

ASIMÉTRICA NEGATIVA, B)

SIMÉTRICA C)ASIMÉTRICA POSITIVA.

3.5.2 Curtosis

La curtosis es una medida que indica qué

tan puntiaguda es la distribución de un

conjunto

de datos. Esta se calcula utilizando la

expresión

Para las distribuciones que presentan un solo pico, si a * x > 3, la distribución de los datos

presenta un solo pico relativamente alto y recibe el nombre de leptocúrtica; si a * x < 3, la

distribución es relativamente plana y recibe el nombre de platicúrtica; y si a * x = 3 la

distribución presenta un pico ni muy alto ni muy bajo y recibe el nombre de mesocúrtica.

Los tres tipos de distribuciones se ilustra en la Figura 3.5

FIGURA 3.5 DIFERENTES TIPOS DE DISTRIBUCIÓN DE UN CONJUNTO DE DATOS. A)

LEPTOCÚRTICA B)PLATICÚRTICA, C) MESOCÚRTICA

Es importante anotar que en la mayoría de paquetes estadísticos para determinar la

curtosis no se realiza el corte en 3, s por facilidad se utiliza el cero, es decir:

Si a * x < 0 entonces se dice que la curva es platicúrtica.

Si a * x =0 entonces se dice que la curva es mesocúrtica.

Si a * x > 0 entonces se dice que la curva es leptocúrtica.