1

Tema 2 TRANSMISIÓN ACÚSTICA A TRAVÉS DE VARIOS MEDIOS

1 10.09 Repaso: reflexión, ondas estacionarias. Formula de la línea

2 15.09 Coeficiente de transmisión. Multicapa. Dos y tres medios

3 17.09 Extremo abierto. Rama lateral.

4 22.09 Bifurcación. Método matricial

5 24.09 Incidencia oblicua. Refracción acústica.

Tema 3 DIFRACCIÓN ACÚSTICA. BARRERAS CONTRA EL RUIDO

6 29.09 Array. Espiral de fasores. Zonas de Fresnel

7 01.10 Orificio circular. Espiral Cornú. Fórmula de Maekawa. Barreras

8 06.10 Resolución de los problemas de difracción

9 08.10 Repaso

2

PROPAGACIÓN DE LA IMPEDANCIA: FÓRMULA DE LA LÍNEA

( ) ( )( )

=⇒

++

= kL,zzlinzz

ytgxj1ytgjxy,xlin

0

201

En adelante para escribir esta fórmula utilizaremos función “lin(x,y)”:

==

⇒−+

== −

−

)F,x(zz)F,x(zz

FeeFeez)F,x(z

)x(v)x(p

22

11jkxjkx

jkxjkx

0

Excluyendo F de este sistema, obtenemos la fórmula de la línea, que expresa la impedancia de entrada de un tramo a través de la de salida:

1x1z

2x2z

L

( )( )kLtgzjzkLtgzjzzz

20

0201 +

+=

( )kLtgjzzz 0

12 =⇒∞→

( )kLtgzjz0z 012 =⇒→

0102 zzzz =⇒→

Algunos casos interesantes:

Aquí los tubos se suponen ESTRECHOS: diam < longitud de onda

3

Impedancia específica Z0de una línea infinitamente larga

MEDIO Z Z0

espacio libre

tubos

barras longitudinales

cuerdas

vp

vSp

vF

cρ

Scρ

Scρ

vF cµ

COEFICIENTE DE

TRANSMISION

5

Rigidez de la pared Resonancias

masa de la pared

Ley de 6 dB/octAmortiguamiento

amortiguamiento menor

amortiguamiento mayor

frecuencia crítica(efecto de coincidencia)

frecuencia

Pérdidas por transmisión a través de una pared, dB

Modo fundamental es el más importante

En las primeras 4 clases de Ingeniería acústica

hablaremos solo del caso “masa de la pared”.

Otros casos se comentarán de el capítulo “Aislamiento” de “Acústica

arquitectónica” (cuatrimestre 6)

aireλ

paredλ

p

airesenλλ

=θ

Por ejemploLibro de R.Barron, cap.4, fig. 4-10

6

TRANSMISIÓN A TRAVÉS DE DOS MEDIOS

Al incidir normalmente una onda plana armónica y progresiva con la amplitud p0idesde un medio con la impedancia z0 sobre una superficie con la impedancia de entrada z, se cumplen las condiciones de continuidad de la presión y velocidad :

Coeficientes de reflexión y de transmisión de la potencia acústica :

( )2

0

02

0

02

0

0

zzzzRe4

zzzz,

zzzz

1r1t

2

i0pr0p̂

ir

r +=

+−

+−

−=α−=α===αII

Podemos escribirlo en términos de la función “transm”:

i0p

r0p̂

===∞==

0zz,1Imz;,0z,0

⇒

=α

0zztransmt

t0p̂0z

z

( )2

1x1x1xtransm

+−

−=

𝐩𝐩𝟎𝟎𝟎𝟎 + �𝐩𝐩𝟎𝟎𝐫𝐫 = �𝐩𝐩𝟎𝟎𝐭𝐭𝐩𝐩𝟎𝟎𝟎𝟎𝒛𝒛𝟎𝟎

−�𝐩𝐩𝟎𝟎𝐫𝐫𝒛𝒛𝟎𝟎

=�𝐩𝐩𝟎𝟎𝐭𝐭𝐳𝐳

⟹�𝐩𝐩𝟎𝟎𝐫𝐫𝐩𝐩𝟎𝟎𝟎𝟎

=𝐳𝐳 − 𝒛𝒛𝟎𝟎𝐳𝐳 + 𝒛𝒛𝟎𝟎

�𝐩𝐩𝟎𝟎𝐭𝐭𝐩𝐩𝟎𝟎𝟎𝟎

=𝟐𝟐 𝐳𝐳

𝐳𝐳 + 𝒛𝒛𝟎𝟎

7

[ ] [ ]

[ ] ( )zRez2

Uz(z)Re

z2Ucos

z2UeRe

z2U

ezUURe

21eIeURe

21UIRe

21UIW

2

2222j

j)t(ωjtωj

==ϕ==

=

====

ϕ−

ϕ−ϕ+−∗

deducimos que la potencia eléctrica disipada en una impedancia z al aplicar la tención alterna U:

Por tanto esta potencia es nula en tres casos:z=0, U = 0, “cortocircuito”z=∞, pared absolutamente rígidaRe (z) = 0, impedancia puramente reactiva

Si al final de una línea (sin bifurcación ni atenuación) la transmisión es nula lo es también al principio, es decir a través de la línea.

( )2

0

02

0

02

0

0

zzzzRe4

zzzz,

zzzz

1r1t

2

i0pr0p̂

ir

r +=

+−

+−

−=α−=α===αII

Otra manera de demostrarlo en el caso acústico:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]φ+ω−ω=φ

=φ+ωω∫ tjtjT

0

eeRe21

2cosdttcostcos

T1

Utilizando la relación :

En el caso acústico :

( )zRez2

pW 2

2

=

8

De la fórmula de línea se deduce fácilmente que si la impedancia final de un tramo uniforme de una línea es infinita, nula o reactiva, su impedancia de entrada siempre será reactiva. Retrocediendo así hasta la entrada principal deducimos que la transmisión a través de toda la línea es nula.

Por tanto en aquellos problemas de transmisión sin bifurcaciones, donde la impedancia final de la línea es infinita o nula o reactiva, para demostrar que el coeficiente de transmisión a través de la línea es nulo NO ES NECESARIO ir calculando la impedancia de entrada de cada tramo.En estos casos consecuencia en cada tramo se forma una onda estacionaria pura.

Ejemplos:

1 2

3

MULTICAPA

10

TRANSMISIÓN A TRAVÉS DE “MULTICAPA”

i0p

r0p̂....

=α

0zztransmt

t0p̂1 2 3 1n − n

finz

= nkL,

n0zfinz

linn0znz

( ) ( )

−

−−=− 1nkL,

1n0znz

lin1n0z1nz

= 2kL,

02z3z

lin02z2z

== 1kL,

01z2z

lin01z1zz

Impedancia z de entrada al“multicapa”

0z

1. Intensidad acústica es la misma en todas las capas2. Principio de reciprocidad: ←→ α=α

tt

11

05.06.07Una onda acústica armónica plana y progresiva se propaga en el aire verticalmente e incide sobre una placa que flota en el agua:El espesor de la placa L es igual a un cuarto de la longitud de onda en la placa. Las impedancias acústicas específicas son (rayls) : aire 400, placa 10000, agua 1500000. Calcular el coeficiente de transmisión acústica del aire al agua. Solución:

( )

( )( ) 3

2003R2R

kL·tan3R·j2RkL·tan2R·j3R2Rimp

kLtan2

kL15000003R100002R4001R2

==++

=

∞→π

====

001.0400

1500000transm:placasin49.04924

161

161

161transm

2

t =

==

+

−−=

=α→

→==61

1R·3R2R

1Rimp 2

2Sc2R,

1Sc1R,

ScR ρ

=ρ

=ρ

=

S

Solución:

05.02.00 En un conducto muy largo se insertan dos cámaras de expansión. Calcular el coeficiente de transmisión.

= 2Lk,

2RRlin2R2z

1L,1S SL,S 2L,2S

z 2z R1z

= Lk,

R2zlinRz

= 1Lk,

1Rzlin1R1z

=α

R1ztransmt

12

TRES MEDIOS

14

TRANSMISIÓN A TRAVÉS DE TRES MEDIOS

1R01z = 3R03z =

2R02z =

L

==

→kL,

RRlin

RRtransm

II

31α

2

3

1

2t

1eldesdeincidente

3alatransmitid

( ) ( ) ( )kLsenR

RRRkLcosRR

RR4

31 22

2

312

2231

31t

+++

=→α

( ) 2

1

2

2

12

31

t

RR

RR

4kLsen1

1

RR

−+

==

α

El primer y el tercer medios son semiinfinitos

tα

10RR

1

2 =

5.1RR

1

2 =

kL0

0π π2

5.0

1

Ley de masa Ancho de banda Espesor mínimo =

4λ

k =k0 - jα atenuación

αt =1 (!), adaptación entre los medios ⇒312 RR=Ry4λ

=Lsimétodo de “rebotes”el mismo resultado

En cada encuentro con una de las dos paredes parte de la energía de la onda se transmite y el resto se refleja (de acuerdo con las fórmulas para αt y αr en el caso de dos medios, pag. 6).Es un proceso infinito. Sumando todos los fasores transmitidos al tercer medio (color verde) tenemos el coeficiente de transmisión resultante. Los fasores forman una progresión geométrica. Lo mismo con la reflexión resultante.

El resultado coincide con las fórmulas de la página anterior .

Método de “rebote”

16

DEDUCCIÓN DE LA LEY DE MASA

( )≈

−+

=α 2

1

2

2

12t

RR

RR

4kLsen1

1

1kL,RR 12 <<>>

( )( )

2

paredm1

aire2

1

22 2M

c2

RR

4kL

1

ωρ

≈

( ) dBc2

Mlog201log10AISL

aire

paredm1

t

2

ρ

ω=

α

=

Pared de 1 ladrillo de espesor: ρ=1700 kg/m3, L=0.27 m, f=2000 HzdB77AISL =

Otro ejemplo: agua acero de espesor 2.5 cm, agua, f=1000 Hz, datos de acero: ρ=7800 kg/m3, c=5000 m/s

857'0

26126025'0

500010002sen

411

12

2t =

−

π

+

=α

26=Mrayls5.1Mrayls39

=RR

agua

acero

17

ANCHO DE BANDAS DE PASOVeamos el principio de la gráfica ( )kLtα

( )5'0

RR

RR

4kLsen1

12

1

2

2

12t =

−+

=α

1

0 kL

5'0

2f∆

( )kLtα

1f

Lc

RR

2ff1

RR

2kL

2

11

1

2π

=∆

=⇒=

1kL,RR 12 <<>>

Ejemplo: Pared de acero de 2.5 m (!!!) de espesor:rayls400RR,Mrayls40R aire12 === 5

2

1 10RR −=

dB31=fΔlog10+50=BLHz013.0=fΔ ⇒

Un tono de1 kHz no pasa a pesar de que para 1 kHz: sen2 (kL) = 0 ( ) .1=kLαt

de la transmisión a través de tres medios:

18

Se puede comprobar experimentalmente que la transmisión de un tono puro de 1 kHz a través de una pared de acero de 2’5 m de espesor (!) , situada en el aire, es prácticamente nula. Sin embargo, al sustituir en la fórmula

( ) 22t

1R2R

2R1R

4kLsen1

13R1R

−+

==

α

¿Cómo se explica esta contradicción ?

(R1 y R2 las impedancias acústicas específicas,respectivamente, del aire y de la pared )

( ) )!!(!1,0kLsen,1000/50005.22L2kL t =α=π=

π=

λπ

=

L = 2.5 m, c = 5000 m/s, f = 1000 Hz, tenemos:

Por otro lado Δf que es proporcional a la proporción entre las impedancias del aire y de la pared (ver la transpar. de teoría) y en el caso “aire-acero-aire” se hace muy pequeño:

El nivel del sonido transmitido a través de la pared es proporcional al ancho de banda del espectro:

flog10SLBL ∆+=

Hz013.0=40000000400

=RR

~fΔ2

1

Es decir, los máximos del espectro son tan estrechos que el nivel transmitido es despreciable.

π π2 π3

19

21.02.05 Una onda plana armónica y progresiva incide normalmente sobre una pared que separa dos habitaciones muy grandes. La longitud de onda dentro del material de la pared = 10 cm, el espesor de la pared = 13 cm. Luego aumentamos el espesor de la pared en 10 %.

¿Qué es lo que ocurre con el coeficiente de transmisión a través de la pared: sube o baja ?

( ) 22t

1R2R

2R1R

4kLsen1

13R1R

−+

==

α

La única magnitud que se cambia es el espesor de la pared L. Veamoscómo se modifica :

Solución :En este caso el coeficiente de transmisión a través de tres medios secalcula de acuerdo con la fórmula:

( )kLsen

43.01.1·13102sen,95.013

102sen =

π

=

π

Por tanto el denominador baja y el coeficiente de transmisión sube.

Aquí R1 y R2 son las impedancias específicas de los medios 1 y 2respectivamente.

20

R

L

r

02.02.10 Para reducir el coeficiente detransmisión acústica a través de untubo muy largo al valor 0.25 para 100Hz insertamos al tubo una cámara deexpansión. R = 11 cm, r = 5 cm.

Calcular la longitud mínima de lacámara L.

( ) 22t

1R2R

2R1R

4kLsen1

13R1R

−+

==

α

La proporción entre las impedancias específicas de los tubos R1 y R2 esinversa a la proporción entre los cuadrados de sus radios. Por tanto

( )( )

( ) m457.01002

340·844.0k844.0L844.0748.0senarckL

748.0

115

511

12kLsen

115

511

4kLsen1

125.02

2

2

22

2

2

2

22

=π

==→==

→=−

=→

−+

=

Solución:

21

02.09.09 Un tubo está compuesto por tres tramos, con secciones transversales son 1, 2, y 3 m2 , respectivamente. Los tramos 1 y 3 son semiinfinitos. Desde el tramo 1 incide una onda progresiva. La longitud de onda es ocho veces mayor que la longitud del segundo tramo. Calcular el coeficiente de transmisión a través del tubo.

03z3z =2z

3Sc03z,

2Sc02z,

1Sc01z ρ=ρ=ρ=

π=

=

4,

3S2Slin02zkL,

02z3zlin02z2z

85.011396

1j46j32

1j46j32

1j46j32transm

4tan

32j1

4tanj

32

21transm

4,

32lin

21transm

4,

3S2Slin

2S1Stransm

01z2ztransm

2

t

==+

++

−++

−=

++=

π+

π+

=

=

π=

π=

=α