UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIERÍA CIVILDEPARTAMENTO DE HIDRÁULICA E HIDROLOGÍA

INTRODUCCIÓNMecánica de Fluidos Avanzada

1. DEFINICIÓN DE FLUIDO (1)

1. DEFINICIÓN DE FLUIDO (2)

• Sustancia que cambia de forma en tanto este sometida a un esfuerzo cortante, sin

importar cuan pequeño sea ese esfuerzo.

• Una fuerza cortante es la componente de una fuerza tangente a la superficie, y esta

fuerza dividida por el área de la superficie es la fuerza cortante cortante promedio

sobre el área.

• El esfuerzo cortante (t) en un punto es el valor límite de la fuerza cortante al área

cuando esta se reduce al punto.

1. DEFINICIÓN DE FLUIDO (3)

• El esfuerzo de corte será:

• En un fluido se verifica que:

• La velocidad de deformación puede escribirse usando elementos diferenciales de la

siguiente manera:

donde “m“ es llamada “viscosidad” y la expresión completa es la “Ley de viscosidad de

Newton”.

A

Ft

y

AUF m

y

Umt

dy

dumt

2. FLUIDOS NEWTONIANOS Y NO NEWTONIANOS (1)

• La ley de viscosidad de Newton muestra una relación lineal entre el esfuerzo cortante

y la velocidad de deformación; es decir, si graficamos ambas variables, el resultado

será una recta de pendiente “m”.

• Aquellos fluidos que cumplen esta ley se denominan “fluidos newtonianos”.

2. FLUIDOS NEWTONIANOS Y NO NEWTONIANOS (2)

• Aquellos fluidos que muestran una relación no lineal (es decir, su viscosidad no es

constante) entre estas variables son llamados “fluidos no newtonianos”. Ej. agua con

maizena (ver video).

2. FLUIDOS NEWTONIANOS Y NO NEWTONIANOS (3)

• Cada tipo de fluido tiene sus propias relaciones constitutivas, que definen los

esfuerzos de corte.

• Por ejemplo, Para la formulación matemática de un fluido pseudoplástico en

movimiento simple suele utilizarse la Ley de potencia (Ostwald):

siendo: t : el esfuerzo cortante [mPa].

D: la velocidad de deformación [s-1]

K: índice de consistencia; sus dimensiones dependen del valor de n.

n: índice de comportamiento de flujo (entero menor que uno).

• Esta ecuación también es válida para fluidos dilatantes.

2. FLUIDOS NEWTONIANOS Y NO NEWTONIANOS (3)

• Las ecuaciones que modelan el comportamiento de los fluidos plásticos son:

1) Ecuación generalizada de Bingham (para fluidos plásticos de Bingham):

con t: esfuerzo cortante (Pa)

ty: esfuerzo de cedencia (Pa).

: viscosidad aparente (Pa·s)

D: velocidad de deformación (s-1)

n: índice de comportamiento de flujo (entero)

2) Ecuación de Casson (para fluidos plásticos):

siendo t : esfuerzo cortante (Pa)

ty : esfuerzo de cedencia (Pa)

D : velocidad de deformación (s-1)

: viscosidad plástica definida por Casson

3. MEDIO CONTINUO (1)

• El comportamiento macroscópico de un fluido puede ser descrito suponiendo la

materia repartida sobre todo el dominio de interés y no en forma discreta como es

en realidad.

• Las magnitudes físicas asociadas con la materia contenida dentro de un pequeño

volumen serán consideradas como uniformemente repartidas

• "La materia se distribuye de forma continua a través de toda región prevista

con un gran número de moléculas, incluso en los más pequeños volúmenes

(microscópica)“.

• La hipótesis del continuo es rigurosamente falsa a niveles microscópicos, pero es

extraordinariamente eficaz y ajustada a escalas macroscópicas (longitudes

mayores que 10−5 cm).

3. MEDIO CONTINUO (2)

• La consideración del fluido como un medio continuo se basa en que éste consiste

en un agregado de partículas en movimiento caótico y que la distancia

característica de este “recorrido libre medio entre colisiones”, λ, es mucho menor

que las longitudes experimentales, que tomamos típicamente como mayores de

10−5 cm, de forma que sólo percibimos un cierto promedio de los procesos

individuales entre partículas.

• En ocasiones el recorrido libre medio puede ser mucho mayor y la hipótesis del

continuo deja de ser válida; entonces se debe recurrir a “teorías más detalladas”

que tengan en cuenta los movimientos moleculares (como la teoría cinética de

gases).

4. CONCEPTOS FUNDAMENTALES, DEFINICIONES Y LEYES

• Un concepto fundamental, como masa, energía o fuerza, es difícil de definir: son

ideas confusas. Podemos describir sus características, estado de cómo actúan, y

expresar su relación con otras ideas, pero cuando se trata de decir lo que son, hay

que recurrir a ideas vagas; sin embargo, con el tiempo, llegamos a entender su rol

en los procesos físicos y aprendemos la esencia de la idea.

• Las definiciones, son muy precisas. Por ejemplo, la presión puede ser definida

con precisión después que tengamos las ideas de fuerza y área. Una vez que

hemos hecho una definición de una cierta cantidad física, podemos explorar sus

características y deducir su relación exacta con otras magnitudes físicas. No hay

duda de cómo la presión está relacionada con la fuerza, pero hay una cierta

confusión acerca de lo que es una fuerza.

• Las reglas matemáticas, que utilizamos para predecir y explicar fenómenos se

llaman leyes. Algunas leyes se aplican a situaciones especiales (leyes

restringidas), como la ecuación de estado para un gas perfecto y la ley de

elasticidad de Hooke. Las leyes que se aplican a todas las sustancias son

llamadas leyes básicas.

5. CANTIDADES EXTENSIVAS E INTENSIVAS

• Las cantidades extensivas son aditivas; por ejemplo volumen, masa, energía

• Las cantidades intensivas son cantidades específicas, que no son aditivos; por

ejemplo temperatura, densidad

• La integración de una cantidad intensiva sobre un volumen produce la cantidad

extensiva

Esto equivale a decir que “una propiedad extensiva dividida entre su

correspondiente propiedad intensiva es igual a la masa”.

m d

• Densidad: masa por unidad de volumen.

V

m

volumen

masa

6. DENSIDAD, VELOCIDAD Y ENERGÍA INTERNA (1)

• La densidad de un liquido varía con la presión y la temperatura. Asi:

=f(P;T)

• Derivando la expresión, obtenemos la variación de la densidad:

y la variación porcentual:

• Las inversas de los dos términos de la derecha son conocidos como “módulo volumétrico E” y “coeficiente de dilatación térmica b”.

6. DENSIDAD, VELOCIDAD Y ENERGÍA INTERNA (2)

• De esta manera:

• El módulo volumétrico o de compresibilidad del agua en condiciones normales es de aproximadamente 2100 MPa (310,000 psi), o 21 000 veces la presión atmosférica.

• Para hacer que un cambio del 1% en la densidad del agua a una presión de 21

MPa (210 atm) se requiere. Por ello se asume incompresible.

• Para el aire a condiciones estándar, B es igual a 1 atm. En general, para un gas

B es igual a la presión del gas.

6. DENSIDAD, VELOCIDAD Y ENERGÍA INTERNA (3)

EJERCICIO

• Hay dos maneras de definir la velocidad del fluido: la velocidad molar promedio y la velocidad de masa promedio. Ellos pueden tener valores diferentes si el líquido es una mezcla de sustancias químicas.

• La velocidad de masa promedio está formada por la suma vectorial de todas velocidades de las partículas con la masa utilizado como factor de ponderación:

• La velocidad de masa promedio es natural para los problemas de flujo de fluidos, donde la ecuación de momento es importante. El producto ρv da el impulso por unidad de volumen como media de todas las partículas. Si el líquido es una mezcla química, el movimiento promedio de una especie química puede no estar en la dirección de v.

• La velocidad molar promedio de la especie química “k” sumando sólo las moléculas de dicha especie:

6. DENSIDAD, VELOCIDAD Y ENERGÍA INTERNA (4)

• La velocidad molar media de la totalidad de la mezcla es la suma vectorial sobre todas las moléculas dividido por el número total de moléculas:

• Si el líquido es uniforme, V = v.

• Si hay difusión de masa o reacciones químicas, es más conveniente emplear una velocidad molar media.

6. DENSIDAD, VELOCIDAD Y ENERGÍA INTERNA (5)

• Por otro lado, la energía cinética por unidad de masa, se puede definir en base a la velocidad antes descrita:

• Esta energía no toma en cuenta toda la energía de movimiento traslacional de las moléculas. Debemos añadir:

• Ambas energías son diferentes porque la segunda incluye la energía interna: SI estimamos la diferencia de velocidades:

podemos encontrar dicha energía interna:

6. DENSIDAD, VELOCIDAD Y ENERGÍA INTERNA (6)

• Un vector A se define en términos de sus tres componentes:

donde ix, iy e iz son los vectores unitarios en las direcciones x, y, z

• El producto escalar entre los vectores A y B:

• La magnitud o modulo de un vector:

• La magnitud del producto escalar:

que representa la proyección de uno sobre el otro.

8. ALGEBRA VECTORIAL (1)

• El vector de posición R es la distancia desde el origen a un punto en el espacio:

• El producto vectorial entre los vectores A y B:

• Su magnitud es:

que representa el área subtendida entre ambos vectores.

8. ALGEBRA VECTORIAL (2)

• El operador diferencial “NABLA”:

• El operador permite estimar la gradiente de cualquier magnitud vectorial:

• La divergencia:

• La inversa de la divergencia es otro operador:

9. CALCULO VECTORIAL (1)

por ejemplo:

• El producto escalar de nabla por si mismo es llamado laplaciano:

• Rizo:

9. CALCULO VECTORIAL (2)

• Algunas propiedades importantes:

9. CALCULO VECTORIAL (3)

• Usualmente relacionan el volumen de control con la superficie de control.

• Teorema de Gauss: es una ecuación vectorial

10. INTEGRALES VECTORIALES (1)

• Teorema de la divergencia: ecuación escalar

• Teorema de Stokes:

10. INTEGRALES VECTORIALES (2)

• Si el vector a integrar en el Teorema de Stokes es una gradiente:

10. INTEGRALES VECTORIALES (3)