1. 2.
   • Es la parte de las Matemticas que estudia los nmeros enteros y sus propiedades
   • QU ES LA TEORA DE LOS NMEROS?
   • Figuras
   • Nmeros
   • Geometra
   • Teora de los Nmeros
   • Matemtica Antigua
   • Matemtica Actual
2. 3.
   • La Matemtica es la reina de las ciencias y la Teora de los Nmeros es la reina de las Matemticas
   • Gauss, 1801
   • 2004
   • No!
   • No!
   • No!
   • No!
   • Bilogos
   • Qumicos
   • Fsicos
   • Matemticos
3. 4.
   • NMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIN
   • Aqul divisible slo por l mismo y por 1 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ...
   • ?
   • Qu es un nmero primo?
   • ?
   • Cuntos nmeros primos hay?
   • EUCLIDES (c.300 a.d.C.) : Infinitos
   • Ms que cualquier cantidad de primos dada.
4. 5.
   • NMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIN
   • ?
   • Cuntos nmeros primos hay?
   • ?
   • En qu proporcin?
   • CHEBYSHEV (1848) :A la larga, la proporcin se hace tan pequea como se quiera pero decrece menos rpidamente que K/logx.
   • EULER (1737) : La infinitud se puede demostrar utilizando series infinitas. Hay ms primos que cuadrados.
5. 6.
   • NMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIN
   • ?
   • Se puede aproximar bien la proporcin con funciones normales?
   • 10 cifras 40 cifras 70 cifras 100 cifras
   • < uno de cada 20 < uno de cada 90 < uno de cada 160 < uno de cada 230
   • Hadamard, de la Valle-Poussin (Riemann) : Proporcin de primos menores que N ~
6. 7.
   • (s)= producto sobre sus ceros (n complejos)
   • c=Re(cero ms a la derecha)
   • Prueba buena
   • Funcin rara= frmula complicada con primos
   • Riemann
   • Funcin con primos = frmula complicada con
   • 0
   • 1
   • 1/2
   • c
7. 9.
   • -2
   • -4
   • MINI GUA DE LA FUNCIN
   • 1
   • Ceros en cautividad (no son peligrosos)
   • Carril exclusivo para los prximos 10 9ceros (RIEMANN)
   • Al infinito
   • No se admiten ceros
   • 1/2
   • !
8. 10.
   • Hiptesis de Riemann (1859): Todos los ceros
   • no triviales de la funcin estn en fila india.
   • Teorema de los nmeros primos
   • El error en el teorema de los nmeros primos es lo menor posible (algo ms que la raz cuadrada de N).
   • HR
9. 11.
   • A los matemticos les es habitual pretender que las ideas de que se ocupan son de naturaleza tan refinada y espiritual que no son dominio de la fantasa, sino que deben ser comprendidas por una visin pura e intelectual de la que slo las facultades del alma son capaces.
   • Hume, 1736
   • EMPIRISMO: FILOSOFA OFICIAL DE LA CIENCIA
   • Hume: Las ideas son impresionesdebilitadas
   • Abstraccin, Matemticas
   • Realidad
10. 12.
    • Gracias a los nmeros primos y sus propiedades se pueden hacer conexiones seguras por canales inseguros, acreditar identidades , etc.
    • Noes propaganda. Las conexiones seguras eninternet funcionan ashoy(protocolos SSH, SSL, firmas electrnicas) de maneracotidiana .
    • La mayora de los matemticos consideran que el valor esttico de la teora de nmeros y de las Matemticas en general, supera suhipottico valor utilitario.
    • Pero ...
11. 13.
    • Es posible transmitir pblicamente sin comprometer la seguridad?
    • Se puede jugar a las cartas por correo o por telfono?(I. Stewart)
    • A
    • B
    • na
    • lanca
    • ...
12. 14.
    • Cmo construir candados con los primos?
    • RSA (Rivest, Shamir, Adleman 1978) Diffie-Hellman (1976)
    • Cosas fciles (con ordenador):
    • Multiplicar dos primos grandes Calcular el resto r de a bal dividir por p
    • Cosas difciles (incluso con ordenador):
    • Factorizar Tomar logaritmos: hallar b a partir de a, r y p
13. 15.
    • La aritmtica del reloj
    • 2=14=122
    • 8=20=-4
    • Suma 11+4=3
    • Resta 2-3=-1=11
    • Multiplicacin 77=1
    • Divisin 2algo=5, no existe 5/2.
    • Notacin:
    • Significa queaybson la misma hora
    • Lo mismo para un reloj conp(primo) nmeros
14. 16.
    • La aritmtica del reloj (primo)
    • En los relojes primos se puede dividir, salvo por 0. Siempre hay horas generadoras: multiplicadas por s mismas dan todas las horas no nulas.
    • (China, comienzos de nuestra era) 22 pveces 2 son siempre las 2 en un reloj primo. (Fermat, siglo XVII)aa pveces a son siempre lasaen un reloj primo.
    • p =3
    • p =5
15. 17.
    • a
    • p=primogrande (cientos de cifras), g= generador
    • g b
    • g a
    • b
    • x= mensaje
    • (p)
    • Clave= g ab
    • Clave= g ab
    • x
    • Cx
    • Cx
    • x
    • A na
    • B lanca
    • g a, g bg ab?
16. 18.
    • NMEROS + ANLISIS
    • Cmo contar con ondas?
    • Cuntos enteros hay entre 08 y 103?
    • 9
    • 10
    • 1
    • 3
    • 2
    • 10
    • .....
    • enrollar
    • analizar
    • Mtodo mejor
17. 19.
    • Ejemplo no trivial:
18. 20.
    • Tambor hiperblico (no eucldeo):
    • Ondas de Maass (formas modulares)
    • Un muestrario de ondas
    • Tambor rectangular:
    • Tambor circular, esfrico:
19. 21.
    • Dos ideas:
    • Con ondas de frecuencia n no se pueden apreciar objetos de tamao menor que 1/n. ( P. Incertidumbre )
    • Estadsticamente, las ondas independientes no tienen resonancia.
    • Contar bienestudiar interferencias
20. 22.
    • Teorema de Vinogradov:
    • Todo nmero impar suficientemente grande se puede escribir como suma de tres primos.
    • Tiene resonancias enyen otros valores, que podemos estudiar, e interferencias destructivas en el resto.
21. 23.
    • Esta presentacin est disponible en:
    • http://www.uam.es/fernando.chamizo