Tema IVFACILITADOR: Thais HernndezMateria: MatemticasEl Tigre, Mayo de 2012Instituto Universitario de TecnologaJos Antonio AnzoteguiIngeniera en InformticaNcleo: El TigreClase 1

ContenidoPreposicionesClasificacin de las preposicionesValor de la verdadOperacin lgica y Diagrama de la operacin binariaLa conjuncin y los valores de la verdadSimbolizacin de las preposicionesLa disjuncin y los valores de la verdadLa negacin y los valores de la verdadLa implicacinLa equivalencia

PreposicionesLa preposicin en una oracin con sujeto, verbo y predicado que puede ser calificada de Verdadera o Falsa, pero no las dos cosas a la vez.

Definicin:Ejemplo: Hoy es Martes Las Flores son rojas El perro tiene colmillos Jos no ha llegado demasiado tarde

PreposicionesLas preposiciones se pueden clasificar en:

Clasificacin: Atmicas Moleculares

PreposicionesSon las proposiciones de forma ms simple (o ms bsicas).

Atmicas:Ejemplo: Hoy es Lunes Las Flores son rojas El perro tiene colmillos Maana hay clases Las Flores son blancas

PreposicionesSon un conjunto de dos o ms proposiciones atmicas con un trmino de enlace.

Moleculares:Son aquellos trminos que enlazan preposiciones y permiten formar proposiciones moleculares a partir de las atmicas. Entre ellas tenemos:

Trminos de Enlace: Y O Si . , entonces No

PreposicionesEjemplo 1: : Hoy es Lunes y Maana hay clases Hoy es Lunes Maana hay clasesResultado:Ejemplo 2: : Las flores son rojas Las flores son blancas Las flores son rojas o las flores son blancas Resultado: Las flores son (rojas o blancas) Las flores son rojas o blancas

PreposicionesEjemplo 3: : Si Hoy es Lunes, entonces Maana hay clases Hoy es Lunes Maana hay clasesResultado:Ejemplo 4: : Las flores son rojas Las flores No son rojasResultado:

PreposicionesEjercicios: Este no es mi da feliz Ha llegado el invierno y los das son ms cortosMuchos grmenes no son bacterias Este no es mi da feliz Ha llegado el invierno y los das son ms cortosMuchos grmenes no son bacterias Los anfibios se encuentran en el agua fresca o se encuentran en la tierra cerca de sitios hmedos Los anfibios se encuentran en el agua fresca o se encuentran en la tierra cerca de sitios hmedos Si hay fallas en las grandes masas rocosas, entonces es posible que ocurran terremotos Si hay fallas en las grandes masas rocosas, entonces es posible que ocurran terremotos Si es un nmero positivo entonces es mayor que cero Si es un nmero positivo entonces es mayor que cero Este chico es mi hermano y yo soy su hermana Este chico es mi hermano y yo soy su hermanaMi puntuacin es alta o recibir una calificacin bajaMi puntuacin es alta o recibir una calificacin baja

PreposicionesLa forma de las proposiciones moleculares construidas dependen del trmino de enlace seguido, no del contenido de la proposicin o proposiciones atmicas.La Forma de las Proposiciones Moleculares:Es decir, si en una proposicin molecular se sustituyen las proposiciones atmicas por otras proposiciones atmicas cualesquiera, la forma de la proposicin molecular se conserva.

PreposicionesSe puede dar cuenta fcilmente de la forma de la preposicin molecular, no escribiendo las proposiciones atmicas de que consta y slo indicando el lugar que ocupan.Forma de la >yy( )( )

PreposicionesSe pueden sustituir los espacios por cualquier proposicin y la forma es la misma.y( )( )Ejemplo:y( )( )y( Ha llegado el invierno)( Los das son ms cortos)y( Este chico es mi hermano)( yo soy su hermana)y( El pregunta por su pipa)( pregunta por su escudilla)

PreposicionesO( )( )Ejemplo:O( )( )O(Mi puntuacin es alta)( recibir una calificacin baja)O( X = 0)( X = 1)O(Esta proposicin es atmica)( es molecular)O(Luis es un buen jugador)(es muy afortunado)

PreposicionesSi ( ),Entonces ( )Ejemplo:Si ( ),Entonces ( )Si ( Mara canta),Entonces ( es feliz )Si ( los deseos fueran caballos),Entonces ( los mendigos cabalgaran)Si ( yo estudio),Entonces ( apruebo la materia)

PreposicionesLa palabra en castellano, se encuentra muy frecuentemente dentro de las proposiciones atmicas.Ejemplo:La lgica no es difcilEs una proposicin molecular puesto que contiene el . Es posible escribir ste trmino de enlace utilizando la frase .No ocurre que (La lgica sea difcil)No (La lgica sea difcil)

PreposicionesEn la lgica Aristotlica, las proposiciones pueden ser solamente Verdaderas o Falsas. Valor de la VerdadCada uno de estos valores de la proposicin lgica se llama Valor de la Verdad de la proposicin y se representa por: V de Verdadero F de Falso

Hoy es Martes La flor es roja El perro tiene colmillos(F)(V)L M I J V S D(V)(F) La puerta es negraPreposicionesEjemplo:

PreposicionesGeneralmente se cree que las proposiciones atmicas son proposiciones cortas, pero tambin algunas de las proposiciones atmicas del lenguaje corriente son largas, resultando por ello pesadas y de difcil manejo.Simbolizacin de las Preposiciones:En lgica se afronta este problema utilizando smbolos en lugar de las preposiciones completas.

PreposicionesLos smbolos que usaremos en lgica para representar proposiciones, son letra maysculas tales como , , , ., entre otras. Conjuncin: ; se denota Disjuncin: ; se denota Negacin: ; se denota Implicacin: ; se denota De acuerdo a los tipos de enlaces, podemos tener: Equivalencia: ; se denota >

PreposicionesEjemplo: La nieve es profunda El tiempo es fro (La nieve es profunda) y (el tiempo es fro)Resultado:PQ ( P ) y ( Q ) P y Q P ^ QConjuncin

PreposicionesEjemplo: Se puede elegir sopa Se puede elegir ensalada (Se puede elegir sopa) o (se puede elegir ensalada)Resultado:RS ( R ) o ( S ) R o S R v SDisjuncin

PreposicionesEjemplo: Usted se da prisa el pblico es numeroso O (usted no se da prisa), o (el pblico no es numeroso)Resultado:LM ( L ), o ( M ) ( L ) v ( M )Disjuncin

PreposicionesEjemplo: Usted se da prisa Como no ocurre que (usted se da prisa)Resultado:P No ( P ) No P Usted no se da prisa PNegacin

PreposicionesEjemplo: Usted se da prisa llegar a tiempo Si (usted se da prisa), entonces (llegar a tiempo)Resultado:LM Si ( L ), entonces ( M ) Si L , entonces M L M Implicacin

PreposicionesSi p, q son dos proposiciones, entonces al combinarlas por medio de un conectivo lgico se obtiene una nueva proposicin.Operacin Lgica Binaria:Esta combinacin de dos proposiciones para formar una tercera proposicin se llama operacin binaria lgica.

PreposicionesPara representar una operacin lgica binaria usamos un diagrama, formado por dos flechas, una por cada proposicin componente, un crculo en el que se da el smbolo del conectivo, y una tercera flecha que representa a la proposicin construida.Diagrama de la operacin binaria:Pq^p ^ qConjuncinBinaria

PreposicionesP-- pNegacinUnariaPqvp v qDisjuncinBinaria

PreposicionesSi p, q son dos proposiciones, entonces la construccin de la proposicin conjuntiva de p y q, se le llama operacin lgica de la conjuncin de p y q, o simplemente conjuncin de p y q.La conjuncin y sus valores de la verdadEsta operacin tambin es conocida en las aplicaciones por el nombre de multiplicacin lgica.El smbolo de la conjuncin, es el conectivo lgico, ^, que se lee: y.

PreposicionesTabla de la Verdad de la Conjuncin:Smbolos LgicosSmbolos DigitalesPq^p ^ qConjuncinBinaria

PQP ^ QVVVVFFFVFFFF

PQP ^ Q111100010000

PreposicionesTabla de la Verdad de la Conjuncin:Pq^p ^ q ^ rConjuncinr

PQP ^ QRP ^ Q^ RVVVVVVVVFFVFFVFVFFFFFVFVFFVFFFFFFVFFFFFF

PreposicionesSi p, q son dos proposiciones, entonces la construccin de la proposicin disjuntiva de p y q, se le llama operacin lgica de la disjuncin de p y q, o simplemente disjuncin de p y q.La disjuncin y sus valores de la verdadEsta operacin tambin es conocida en las aplicaciones por el nombre de suma lgica.El smbolo de la conjuncin, es el conectivo lgico, v, que se lee: o.

PreposicionesTabla de la Verdad de la Disjuncin:Smbolos LgicosSmbolos DigitalesPqvp v qDisjuncinBinaria

PQP v QVVVVFVFVVFFF

PQP v Q111101011000

PreposicionesTabla de la Verdad de la Disjuncin:Pqvp v q v rDisjuncinr

PQP v QRP v Qv RVVVVVVVVFVVFVVVVFVFVFVVVVFVVFVFFFVVFFFFF

PreposicionesLa negacin es una operacin unaria en el sentido de que se aplica a una sola proposicin, en contraposicin a la conjuncin y la disjuncin que son operaciones binarias, aplicada a dos proposiciones.La Negacin y sus valores de la verdadSi p es una proposicin, la proposicin no p, que se denota por: -p, se denomina negacin de p.Al smbolo colocado delante del smbolo p, ledo no, se le denomina smbolo de la operacin de la negacin, o conectivo de la negacin.

PreposicionesTabla de la Verdad de la negacin:Smbolos LgicosSmbolos DigitalesP-- pNegacinUnaria

P- PVFFV

P- P1001

PreposicionesLa implicacin es una operacin binaria que se representa por el smbolo de la flecha que se lee implica.La implicacinPara construir una implicacin se conectan dos proposiciones p, q, por el smbolo en la forma: p q, que se lee: p implica q.Las proposiciones componentes de la implicacin pueden ser verdaderas o falsas, iguales o distintas.

PreposicionesLas proposiciones componentes de la implicacin reciben en los textos matemticos diferentes nombres, que el estudiante debe conocer por cuanto se usan indistintamente en los textos matemticos. Terminologa de la implicacinAsimismo, la implicacin puede ser enunciada con diferentes formas.

PreposicionesLas siguientes tablas recogen estas modalidades:Pqp qImplicacin

Lectura de la implicacinSi p entonces QP implica QP es condicin suficiente de QQ es condicin necesaria de PQ solamente si PQ si PQ se sigue de PQ cuando PDada P entonces QDada P entonces se sigue Q

PreposicionesSi p, q son dos proposiciones, entonces a la proposicin denotada por p q, se le llama implicacin o condicional.Implicacin, CondicionalEs el smbolo que se lee por una de las formas indicadas anteriormenteConectivo Lgico de la Implicacin:

PreposicionesTabla de la Verdad de la Implicacin:Smbolos LgicosSmbolos DigitalesPqp qImplicacinBinaria

PQP QVVVVFFFVVFFV

PQP Q111100011001

PreposicionesDadas dos proposiciones p, q, se puede construir una nueva proposicin por medio de la conjuncin de dos implicaciones, formadas con las mismas proposiciones, en la forma siguiente:La equivalencia(pq)^(qp)Esta proposicin as formada se llama equivalencia entre p y q, o tambin proposicin bicondicional, por estar formada por dos implicaciones o condicionales.

PreposicionesPara representar la equivalencia se usa el smbolo de la , escrito en la forma siguiente: , que se lee por p equivale a q.Smbolo de la equivalenciaPor lo tanto, la equivalencia entre p y q, escrita con este smbolo, toma la forma siguiente:pq=(pq)^(qp)

PreposicionesTerminologa de la equivalencia:Pqp qEquivalencia

Lectura de la implicacinP si y solo si QP es condicin necesaria y suficiente para Q(P implica Q) y (Q implica P)P es equivalente a QQ es equivalente a PP si Q, y recprocamenteQ si P, y recprocamenteP es bicondicional con QQ es bicondicional conP

PreposicionesTabla de la Verdad de la Equivalencia:Smbolos LgicosSmbolos DigitalesPQp qEquivalenciaBinariaQP

PQP QVVVVFFFVFFFV

PQP Q111100010001

Sesin de preguntas