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PREGUNTA 6:
DISEÑO DE FILTROS POR VENTANAS:
Consiste en la elección de una ventana (hamming, hanning, blackman, rectangular, triangular, káiser, etc.) para multiplicarla con la función SINC, correspondiente a un filtro ideal una vez multiplicado la ventana hace que en el filtro real diseñado se tengan menos variaciones de transición o supresión y con esto se logre y filtrado más efectivo, se usa este método para truncar la secuencia infinita para producir una respuesta al impulso de duración infinita .
Ventana hamming:
La venta de haming esta dada por la siguiente ecuación
Puede observarse que los lóbulos laterales de estas ventanas son
más reducidos que los de la ventana rectangular, y por lo tanto el
ripple es menor. Considerando ωs=10 rad/s, el factor de ripple para
estas ventanas es:
El ancho del lóbulo principal puede demostrarse que es aproximadamente igual a 4ωs/N.
VENTANA RECTANGULAR:
La ventana rectangular esta dada por :
El espectro wR(NT) puede calcularse de la siguiente forma:
El ancho del lóbulo principal es igual a 2ωs/N.
Puede calcularse una relación de ripple, r, que nos da una idea de la
amplitud que tendrán las oscilaciones debidas al efecto Gibbs:
Para N=11, r = 22.34, mientras que si N=101, r se reduce a 21.70.
VENTANA BLACKMAN:
La ventana de Blackman es similar a la anterior, y está dada por la
siguienteexpresión:
El término coseno adicional produce una reducción adicional en la
amplitud de las oscilaciones por efecto Gibbs. El factor de ripple,
considerando ωs=10 rad/s es de 0.08 para N=11, y de 0.12 para
N=101.
Por su parte, el ancho del lóbulo principal se ve incrementado a
6 ωs /N.
VENTANA KAISER:
La ventana de Kaiser, al igual que la anterior, también permite
controlar independientemente la relación de ripple y el ancho del
lóbulo principal. La ventana de Kaiser está dada por:
Donde:
El espectro de wK(nT) está dado por:
Una característica muy importante de la ventana de Kaiser es que a
partir de las expresiones recién consideradas existen algunas fórmulas
empíricas para determinar los valores de α y N que permiten cumplir
con las especificaciones para un filtro dado.
EJEMPLOS EN MATLAB:
%primer ejemplo filtro Fir Pasa-Bajo con Fc=2 KHz, Fs = 10 KHz y una
ventana haming.
M = 66; %orden del filtro FIR
Fc = 2000; %frecuencia de corte
Fs = 10000; % frecuencia de muestreo
fcN = Fc / Fs; % frecuencia normalizada
wc = 2*pi*fcN;
for n=0:M/2;
if n==0
fi(n+1) = wc/pi;
else
fi(n+1) = (sin(wc*n))/(pi*n);
end
end
hi = [ fliplr( fi(2:M/2+1)) fi ]; % filtro ideal en el tiempo discreto
w = hamming( M+1 ); % ventana Hamming
h = (w').*hi; % filtro real tipo digital
stem( 0:length(h)-1 , h ) % filtro real en el dominio del tiempo
figure, xlabel('Tiempo discreto')
grid
freqz(h , 1 , 1024 ,'whole', Fs ) % filtro FIR en el dominio de la
% frecuencia. Desde 0 a Fs.
figure,
zplane( h , 1 )
Representación FIR en el tiempo
Representación en la frecuencia
Representación FIR en el plano Z
SEGUNDO EJEMPLO:
%segundo enjemplo filtro Fir Pasa-Alto con Fc=3 KHz, Fs = 10 KHz y
utilizando una ventana triangular
M = 86; %orden del filtro FIR
Fc = 3000;%frecuencia de corte
Fs = 10000; % frecuencia de muestreo
fcN = Fc / Fs; % frecuencia normalizada
wc = 2*pi*fcN;
for n=0:M/2;
if n==0
fi(n+1) = 1 - wc/pi;
else
fi(n+1) = -(sin(wc*n))/(pi*n);
end
end
hi = [ fliplr( fi(2:M/2+1)) fi ]; % filtro ideal en el tiempo discreto
w = triang( M+1 ); % ventana Triangular
h = (w').*hi; % filtro real tipo digital
stem( 0:length(h)-1 , h ) % filtro real en el dominio del tiempo
figure, xlabel('Tiempo discreto')
grid
freqz(h , 1 , 1024 , 'whole', Fs ) % filtro FIR en el dominio de la
frecuencia. Desde 0 a Fs.
figure,
zplane( h , 1 )
Representación FIR en el tiempo
Representación FIR en la frecuencia
Representación FIR en el plano Z