práctica 1gecousb.com.ve/guias/geco/matemáticas 6 (ma-2113... · 2015-04-20 · práctica 1...

Práctica 1Superficies parametrizadas

yAreas

Caso (d): plana contenida en plano paralelo al o al o al respectivamente, el alumno debe deducir en-tonces, según lo visto anteriormente, que: con o o según

sea el caso.

Caso (e): plana contenida en plano , el cual forma ángulo con el plano o el o el respectivamen-

te. Para el caso con el plano , vimos que

Para el caso con el plano , será:


Por lo tanto se tendrá, respectivamente, según el caso: siendo

Superficie Esférica.Vamos a estudiar aquí una superficie muy común e interesante, la superficie esférica.

(i) Parametrización de la superficie de la esfera de ecuación cartesiana según Coordena-das Generales ver fig (En

MA ).

Obsérvese que toma el valor de en la parte positiva del eje y aumenta hacia la parte negativa del eje . De

Figura 1.4:

manera que si es un punto de la esfera, con coordenadas cartesianas , sus coordenadas en la Parametri-zación General serán:

(ii) Parametrización geográfica de la esfera dada por

(ver fig ), pero aquí comienza en la parte negativa del eje au-

menta hacia el plano , sigue aumentando hasta que lleguemos a la parte positiva del eje

Las curvas de ecuación constante son los meridianos; las de ecuación constante son los para-lelos. Es decir, mide el ángulo de longitud en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras mide el ángulo delatitud.

Es un ejercicio para el alumno, comprobar que tanto en (i) como en (ii) se cumple:De modo que en (i) se tiene la parametrización de la esfera:

8

Problema 1.


sea el caso.








MA ).


Figura 1.4:







8


sea el caso.








MA ).


Figura 1.4:







8


sea el caso.








MA ).


Figura 1.4:







8


sea el caso.








MA ).


Figura 1.4:







8

Determinamos las coordenadas del punto P(x,y,z) sobre la esfera, estas vendrán dadas por las

coordenadas generales.


sea el caso.








MA ).


Figura 1.4:







8


sea el caso.








MA ).


Figura 1.4:







8


sea el caso.








MA ).


Figura 1.4:







8

Parametrización en coordenadas

generales

Es sencillo comprobar, por sustitución (inténtelo), que la

parametrización dada satisface la ecuación de la esfera


sea el caso.








MA ).


Figura 1.4:







8


sea el caso.








MA ).


Figura 1.4:







8


sea el caso.








MA ).


Figura 1.4:







8


sea el caso.








MA ).


Figura 1.4:







8

Recordemos la no existe una única parametrización de una superficie


sea el caso.








MA ).


Figura 1.4:







8

Figura 1.5:

mientras que en (ii):

1.2 Ejercicios resueltos

Problema 1(a) ¿ Es diferenciable la superficie esférica de ecuación con "Parametrización General"

?

(b) ¿ Es suave la superficie descrita en (a) ?(c) ¿ Es uno a uno la paramtrización ?

Solución(a) La parametrización es diferenciable en su dominio puesto que las funciones com-ponentes de son diferenciables como funciones de y de (por ser funciones trigonométricas o producto de ellas).

(b) Observar que:

La superficie no es suave en los puntos puesto que en ellos, y respectiva-

mente. Por lo tanto, en esos dos puntos Luego, la superficie dada no es suave (Por no ser suaveen algún punto, en este caso en y en ).

(c) no es uno a uno, puesto que, por ejemplo: y

(puntos distintos con la misma imagen).

9


sea el caso.








MA ).


Figura 1.4:







8


sea el caso.








MA ).


Figura 1.4:







8


sea el caso.








MA ).


Figura 1.4:







8

Figura 1.5:




?



(b) Observar que:





9

Observe la forma en que se miden los ángulos en esta

parametrización

Figura 1.5:




?



(b) Observar que:





9

Figura 1.5:




?



(b) Observar que:





9

Figura 1.5:




?



(b) Observar que:





9

Figura 1.5:




?



(b) Observar que:





9

Figura 1.5:




?



(b) Observar que:





9

Figura 1.5:




?



(b) Observar que:





9

Figura 1.5:




?



(b) Observar que:





9

Figura 1.5:




?



(b) Observar que:





9

Figura 1.5:




?



(b) Observar que:





9

Figura 1.5:




?



(b) Observar que:





9


sea el caso.








MA ).


Figura 1.4:







8

Problema 2

Dada la ecuación de una superficie esférica con parametrización geográfica

(a) Demuestre que es diferenciable.

(b) Demuestre que no es suave,(c) Demuestre que no es uno a uno,

Solución

Se deja al alumno como ejercicio, recordando que, en este caso:

y

Demuestre que

Problema 3

Sea fijo Consideremos la parametrización:

(a) Demuestre que en los puntos interiores del rectángulo es decir, todos los puntos

interiores de ese rectángulo son puntos regulares.

(b) Demuestre que la imagen de sobre el rectángulo dado es un cono de semi-ángulo cónico , con ecuacióncartesiana: (Cono con vértice en y eje el de la ).

(c) Hallar los puntos singulares de la superficie definida por

Solución

(a)

Ahora, y allí y son siempre para el interior del rectángulo varía en y en .

En la primera componente de aparece en la segunda aparece y en la tercera, y .Pero, no hay punto alguno en el interior del rectángulo en donde se anulen simultáneamente y .

Por lo tanto, interior del rectángulo.

(b) Sea luego y ya que

Así que Por lo tanto, y en MA

vimos que esa es la ecuación cartesiana de un cono de vértice en el origen, eje y semi-ángulo cónico (ver fig

).

fijo por ejemplo, si:

etc.

( Ahora bien, así como está planteado el ejercicio, con con

y fijo estamos trabajando sólo con una porción de superficie cónica. Si hacemos variar

entre y y entre y , tendremos una superficie cónica de ecuación con y

Recuérdese que se mide desde el eje . Ver fig ).

(c) Los puntos singulares de la superficie son los correspondientes a puesto que allícualquiera que sea el .

(Obsérvese que no es uno a uno, ya que ).

10

Problema 2




Solución


y

Demuestre que

Problema 3






Solución

(a)







).


etc.







10

Recuerde:

Ejercicio 1.

Se deja al alumno como ejercicio.

Problema 2.

Problema 2




Solución


y

Demuestre que

Problema 3






Solución

(a)







).


etc.







10

a) Comenzaremos por considerar puntos en el intervalo:

Problema 2




Solución


y

Demuestre que

Problema 3






Solución

(a)







).


etc.







10

y calculamos el vector

Problema 2




Solución


y

Demuestre que

Problema 3






Solución

(a)







).


etc.







10

Problema 2




Solución


y

Demuestre que

Problema 3






Solución

(a)







).


etc.







10

Problema 2




Solución


y

Demuestre que

Problema 3






Solución

(a)







).


etc.







10

Problema 2




Solución


y

Demuestre que

Problema 3






Solución

(a)







).


etc.







10

Problema 2




Solución


y

Demuestre que

Problema 3






Solución

(a)







).


etc.







10

donde:

Problema 2




Solución


y

Demuestre que

Problema 3






Solución

(a)







).


etc.







10

Es la ecuación de un cono

con semi-ángulo

Problema 2




Solución


y

Demuestre que

Problema 3






Solución

(a)







).


etc.







10

donde:

Problema 2




Solución


y

Demuestre que

Problema 3






Solución

(a)







).


etc.







10

Es la ecuación de un cono

con semi-ángulo

Problema 2




Solución


y

Demuestre que

Problema 3






Solución

(a)







).


etc.







10

Figura 1.6:

Figura 1.7:

Nota didáctica: en este ejercicio hemos estudiado la parametrización de una superficie cónica, de vértice en el ori-gen y semi-ángulo cónico

con ecuación cartesiana

Sin embargo, la parametrización de una superficie no es única por ejemplo, para el caso tendríamos

con

Pero, también podríamos parametrizarlo con

Aquí también es

También queremos resaltar, en el caso particular de la superficie cónica dada en el ejercicio , con fijo

la transformación del rectángulo en la porción de superficie cónica: (ver fig )

Aquí se observa claramente que no es uno a uno.

Problema 4

Una parametrización del paraboloide elíptico podría ser

(a) Hallar la ecuación cartesiana.

(b) Hallar(c) Demuestre que

(d) Hallar la ecuación del plano tangente a en

11

Entonces estamos describiendo una familia de conos, para cada ángulo fijo, tenemos un cono, siendo este

finito por la restricción puesta sobre el resto de variables.

Figura 1.8:

Solución

(a)

(b)

(c) Basta con evaluar para demostrar que

(d) Tenemos que hallar el punto correspondiente al

Por lo tanto, Porlo tanto,

Así que

Problema 5

Compruebe que con define también un paraboloide elíptico

de ecuación cartesiana

Solución

Queda como ejercicio para el alumno.

Problema 6

Hallar el área del subconjunto del plano de ecuación dentro del cilindro dado por

Solución

superficie cilíndrica y al cortar por el plano de

ecuación este plano pasa por el eje de coordenadas y por el punto de la superficie cilíndrica (ver

fig ). Ahora, por ser Plano dado, el cual forma un ángulo con el plano recurrimos al estudiohecho al referirnos al caso correspondiente.

Por lo tanto, y

Pero, con

12

Figura 1.8:

Solución

(a)

(b)




Así que

Problema 5



Solución


Problema 6


Solución




Por lo tanto, y

Pero, con

12

Figura 1.8:

Solución

(a)

(b)




Así que

Problema 5



Solución


Problema 6


Solución




Por lo tanto, y

Pero, con

12

Problema 2




Solución


y

Demuestre que

Problema 3






Solución

(a)







).


etc.







10

Figura 1.8:

Solución

(a)

(b)




Así que

Problema 5



Solución


Problema 6


Solución




Por lo tanto, y

Pero, con

12

Figura 1.6:

Figura 1.7:




con


Aquí también es




Problema 4





11

Problema 2




Solución


y

Demuestre que

Problema 3






Solución

(a)







).


etc.







10

Problema 3.

Figura 1.6:

Figura 1.7:




con


Aquí también es




Problema 4





11

Figura 1.8:

Solución

(a)

(b)




Así que

Problema 5



Solución


Problema 6


Solución




Por lo tanto, y

Pero, con

12

Figura 1.8:

Solución

(a)

(b)




Así que

Problema 5



Solución


Problema 6


Solución




Por lo tanto, y

Pero, con

12

Figura 1.8:

Solución

(a)

(b)




Así que

Problema 5



Solución


Problema 6


Solución




Por lo tanto, y

Pero, con

12

Figura 1.8:

Solución

(a)

(b)




Así que

Problema 5



Solución


Problema 6


Solución




Por lo tanto, y

Pero, con

12

Figura 1.8:

Solución

(a)

(b)




Así que

Problema 5



Solución


Problema 6


Solución




Por lo tanto, y

Pero, con

12

Problema 4.

Figura 1.8:

Solución

(a)

(b)




Así que

Problema 5



Solución


Problema 6


Solución




Por lo tanto, y

Pero, con

12

Figura 1.8:

Solución

(a)

(b)




Así que

Problema 5



Solución


Problema 6


Solución




Por lo tanto, y

Pero, con

12

Figura 1.8:

Solución

(a)

(b)




Así que

Problema 5



Solución


Problema 6


Solución




Por lo tanto, y

Pero, con

12

Figura 1.9:

Problema 7

(a) Parametrizar la porción de hiperboloide dada por entre los planos de ecuaciones y

respectivamente, de tres formas diferentes.(b) Hallar también en cada caso,

Solución

(a)

Construir con

Es fácil comprobar que es satisfecha por (Ve fig )

Otra parametrización puede ser con

Figura 1.10:

Compruebe que también es satisfecha por

Finalmente, con compruebe que las componen-

tes de satisfacen la ecuación del hiperboloide.

13

Recordemos:

ción del plano tangente a en

Pero, es interesante observar que, en este caso, (Resultado que aprovecharemos más adelante para

calcular el área de . Si el plano P forma un ángulo con plano , entonces será

etc.)

(f)Definición. Area de una Superficie Parametrizada. Sea una superficie suave a trozos que sea unión de imáge-nes de superficies parametrizadas , con con las condiciones siguientes:

(i) Cada es una región elemental en (Vistas en MA ).(ii) Cada es de clase y además uno a uno (una función es uno a uno en si para cada dos puntos,

y en , y esto quiere decir, que dos puntos distintos no dan

imágenes iguales), excepto, si es el caso en ,(iii) es suave, excepto, puede ser en un número finito de puntos.

Se define entonces, el área de una superficie parametrizada por Obsér-

vese que no se deben poner los diferenciales d y d a priori, como explicamos en MA , hay que esperar aconocer si es de tipo I ó II ó III. En general, como mencionamos al comienzo de esta definición, si

entonces

Ahora, como en el caso del , habrá diferentes expresiones para las fórmulas de según la forma que

se tenga de :

Caso (a):

Caso (b): dada por aquí sabemos que (PVF)

Si dada por y

finalmente, si está dada por:

y

Caso (c): dada por con función implícita y diferenciable respecto de e :

y

Aquí el alumno debe capacitarse para deducir las fórmulas en los casos, o en el

7


sea el caso.








MA ).


Figura 1.4:







8

Universidad Simón BolívarDepartamento de Matemáticas

Puras y AplicadasSep

Nombre:

Carnet: Sección:

Preguntas teoricas — primero%—solo teoria preliminar

1. Diga cual de las siguientes funciones corresponde a la siguiente grafica

A(Si) =

! !Di

!PV F! =

! !Di

!Tu " Tv!

D!

i = !"1

i (Si)

!PV F! =1

cos(!)

2. Sea la superficie definida mediante

X2 + y2 # z2 = 1

cual de las siguientes es una parametrizacion correcta para esta superficie:

a x = rcos(u), y = rcosh(u), z = senh(u)

b z = senh(u)

c x = cosh(u)cos("), y = cosh(u)sen("), z = senh(u)

d x = cos(u)cos("), y = cos(u)sen("), z = sen(u)

3. Suponga la siguiente parametrizacion

(rcos("), rsen("), ")

diga cual de las siguientes es la ecuacion catersiana asociada:

a X‘2 + y2 + z2 = r

b poner

c poner

d poner

4. Use la parametrizacion anterior y diga cual de las siguientes formulas d area es la correcta:

a poner

b"

2!

0

"1

0

$r2 + 1drd"

Universidad Simón BolívarDepartamento de Matemáticas

Puras y AplicadasSep

Nombre:

Carnet: Sección:

Preguntas teoricas — primero%—solo teoria preliminar

1. Diga cual de las siguientes funciones corresponde a la siguiente grafica

A(Si) =

! !Di

!PV F! =

! !Di

!Tu " Tv!

D!

i = !"1

i (Si)

!PV F! =1

cos(!)

2. Sea la superficie definida mediante

X2 + y2 # z2 = 1

cual de las siguientes es una parametrizacion correcta para esta superficie:

a x = rcos(u), y = rcosh(u), z = senh(u)

b z = senh(u)

c x = cosh(u)cos("), y = cosh(u)sen("), z = senh(u)

d x = cos(u)cos("), y = cos(u)sen("), z = sen(u)

3. Suponga la siguiente parametrizacion

(rcos("), rsen("), ")

diga cual de las siguientes es la ecuacion catersiana asociada:

a X‘2 + y2 + z2 = r

b poner

c poner

d poner

4. Use la parametrizacion anterior y diga cual de las siguientes formulas d area es la correcta:

a poner

b"

2!

0

"1

0

$r2 + 1drd"

n γ

Figura 1.9:

Problema 7



Solución

(a)

Construir con



Figura 1.10:




13

Figura 1.8:

Solución

(a)

(b)




Así que

Problema 5



Solución


Problema 6


Solución




Por lo tanto, y

Pero, con

12

Figura 1.8:

Solución

(a)

(b)




Así que

Problema 5



Solución


Problema 6


Solución




Por lo tanto, y

Pero, con

12

Figura 1.8:

Solución

(a)

(b)




Así que

Problema 5



Solución


Problema 6


Solución




Por lo tanto, y

Pero, con

12

Figura 1.8:

Solución

(a)

(b)




Así que

Problema 5



Solución


Problema 6


Solución




Por lo tanto, y

Pero, con

12

Problema 5

Figura 1.9:

Problema 7



Solución

(a)

Construir con



Figura 1.10:




13

Figura 1.9:

Problema 7



Solución

(a)

Construir con



Figura 1.10:




13

Problema 5

Figura 1.9:

Problema 7



Solución

(a)

Construir con



Figura 1.10:




13

Figura 1.9:

Problema 7



Solución

(a)

Construir con



Figura 1.10:




13

Recordar que no existe una única parametrización, en especial

recuerde que la parametrización obtenida debería facilitar su trabajo

Considere el caso en que a=1

Figura 1.9:

Problema 7



Solución

(a)

Construir con



Figura 1.10:




13

Figura 1.9:

Problema 7



Solución

(a)

Construir con



Figura 1.10:




13

Figura 1.9:

Problema 7



Solución

(a)

Construir con



Figura 1.10:




13

(b) Para compruebe que

Para compruebe que

Para compruebe que

Así que

Observación: Las parametrizaciones y definen al parabuloide si o , la no.

Problema 8

Demostrar que el área de la porción de hiperboloide del ejercicio anterior viene dada por

(No calcular la integral).

Solución

Utilizando por ejemplo, vimos que

ya que viene a ser el

rectángulo dado en la figura .

Figura 1.11:

Problema 9

(a) Parametrizar la superficie descrita como la porción de superficie cilíndrica dada por interior a laesfera dada por ,

(b) Hallar el área de ,

14

Observe que la ultima parametrización no define correctamente al paraboloide.

Problema 6.


Para compruebe que

Para compruebe que

Así que


Problema 8



Solución




Figura 1.11:

Problema 9



14


Para compruebe que

Para compruebe que

Así que


Problema 8



Solución




Figura 1.11:

Problema 9



14


Para compruebe que

Para compruebe que

Así que


Problema 8



Solución




Figura 1.11:

Problema 9



14

Problema 6


Para compruebe que

Para compruebe que

Así que


Problema 8



Solución




Figura 1.11:

Problema 9



14(c) Hallar la ecuación del plano tangente a en el punto

Solución

Se giran los ejes y para visualizar mejor la figura (fig. )

(a) parametriza a toda la superficie cilíndrica dada, ya que y está indefinida,

Figura 1.12:

tenemos entonces que limitar los valores de para que parametrice a la superficie en cuestión.Para ello, despejamos de la ecuación de la esfera:

y como

(b) Se calcula

Ahora, la contraimagen (o imagen inversa) por de se muestra en la fig. : y es

Figura 1.13:

función continua de .

Por lo tanto,

15

(c) Hallar la ecuación del plano tangente a en el punto

Solución



Figura 1.12:


y como

(b) Se calcula


Figura 1.13:


Por lo tanto,

15

Preste atencion a los ejes de la figura, por

comodidad fueron rotados.


Solución



Figura 1.12:


y como

(b) Se calcula


Figura 1.13:


Por lo tanto,

15


Solución



Figura 1.12:


y como

(b) Se calcula


Figura 1.13:


Por lo tanto,

15


Para compruebe que

Para compruebe que

Así que


Problema 8



Solución




Figura 1.11:

Problema 9



14


Para compruebe que

Para compruebe que

Así que


Problema 8



Solución




Figura 1.11:

Problema 9



14


Solución



Figura 1.12:


y como

(b) Se calcula


Figura 1.13:


Por lo tanto,

15


Solución



Figura 1.12:


y como

(b) Se calcula


Figura 1.13:


Por lo tanto,

15


Solución



Figura 1.12:


y como

(b) Se calcula


Figura 1.13:


Por lo tanto,

15


Solución



Figura 1.12:


y como

(b) Se calcula


Figura 1.13:


Por lo tanto,

15


Solución



Figura 1.12:


y como

(b) Se calcula


Figura 1.13:


Por lo tanto,

15

Las coordenadas para la integral son:

Nota: También vale la misma parametrización con (Ver fig ).

(c) Ahora, la ecuación del plano tangente a en es

Figura 1.14:

Así que,

Por lo tanto,

son las ecuaciones del plano pedido (obvio que tal plano es paralelo al eje y su intersección con el plano es la

recta de ecuación )

Problema 10

Parametrizar la superficie

Solución

Se trata de un disco de centro y radio contenido en el plano de ecuación Por lo tanto,con (ver fig ).

Nota didáctica: Compare esta parametrización (que es la de un disco de radio ) con la del ejercicio anterior (que

es la de un cilindro con circunferencia generatriz de radio ). Observe que allá no figuró , mientras que aquí sí, parapoder recorrer todo el disco desde hasta El alumno debe asimilar que no estamos haciendo cambio devariables sino construyendo una prametrización.

16

Nota: También vale la misma parametrización con (Ver fig ).

(c) Ahora, la ecuación del plano tangente a en es

Figura 1.14:

Así que,

Por lo tanto,

son las ecuaciones del plano pedido (obvio que tal plano es paralelo al eje y su intersección con el plano es la

recta de ecuación )

Problema 10

Parametrizar la superficie

Solución

Se trata de un disco de centro y radio contenido en el plano de ecuación Por lo tanto,con (ver fig ).

Nota didáctica: Compare esta parametrización (que es la de un disco de radio ) con la del ejercicio anterior (que

es la de un cilindro con circunferencia generatriz de radio ). Observe que allá no figuró , mientras que aquí sí, parapoder recorrer todo el disco desde hasta El alumno debe asimilar que no estamos haciendo cambio devariables sino construyendo una prametrización.

16

Problema 7

Figura 1.15:

Problema 11

Calcular el área de la porción de superficie esférica dada por interior al sólido descrito por

Solución

Estudiemos el borde del sólido dado por el cual está representado por com-

pletando cuadrados obtenemos: lo cual en el espacio representa la superficie de un cilindro.

Su circunferencia generatriz tiene centro en el punto y radio La superficie cuya área queremos calcular

está demarcada en la figura .

Se observa que hay una porción de en el hemisferio superior y otra igual en el inferior, y como además

Figura 1.16:

hay simetría respecto del plano podemos calcular del área y simplificar el problema en cartesianas con

Se tiene entonces,

y

Así,

17

Figura 1.15:

Problema 11


Solución






Figura 1.16:


Se tiene entonces,

y

Así,

17

Figura 1.15:

Problema 11


Solución






Figura 1.16:


Se tiene entonces,

y

Así,

17

Figura 1.15:

Problema 11


Solución






Figura 1.16:


Se tiene entonces,

y

Así,

17

Figura 1.15:

Problema 11


Solución






Figura 1.16:


Se tiene entonces,

y

Así,

17

Figura 1.15:

Problema 11


Solución






Figura 1.16:


Se tiene entonces,

y

Así,

17

Recuérdese que (Jacobiano en polares) y que siendo

así que T

Ahora, como es el disco de la figura ,

construimos la nueva zona de integración: (ver fig. )

Figura 1.17:

en polares y es función continua y

Figura 1.18:

creciente respecto de

Problema 12

Hallar el área de la superficie cortada de la superficie cilíndrica de ecuación por la de ecuación

18


así que T



Figura 1.17:


Figura 1.18:


Problema 12


18


así que T



Figura 1.17:


Figura 1.18:


Problema 12


18


así que T



Figura 1.17:


Figura 1.18:


Problema 12


18


así que T



Figura 1.17:


Figura 1.18:


Problema 12


18

Ejerciccio 8


así que T



Figura 1.17:


Figura 1.18:


Problema 12


18

Solución

La porción de superficie es un octavo de la superficie total 1.19

Ahora, podemos representar por una ecuación implícita de la forma con función

Figura 1.19:

implícita y difderenciable respecto de y de .Aquí el alumno debe reconstriur teóricamente el razonamiento hecho en la oportunidad correspondiente para llegar

a y (puesto que

al considerar la octava parte trabajamos en el primer octante donde ). Ahora,

Por lo tanto,

Problema 13

Calcular el área de la parte de la superficie cónica dada por que está dentro de la esfera sólidadada por

Solución

con

Ahora, para hallar el borde superior de (fig. ), intersectemos

donde corresponde a una circunferencia de

centro en el eje en el punto y radio .

Parametrizando ya que así, con y

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