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Manual de prácticas del Laboratorio de Mecánica

Código: MADO-04

Versión: 03

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Sección ISO 8.3

Fecha de emisión

26 de julio de 2019

Facultad de Ingeniería Área/Departamento:

Laboratorio de Mecánica La impresión de este documento es una copia no controlada

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Práctica 1

Conceptos básicos

Peligro o Fuente de energía Riesgo asociado

1 Ninguno

Introducción

El estudio de cualquier disciplina científica requiere necesariamente del auxilio imprescindible de modelos conceptuales; la mecánica, como tal, además de considerar los diferentes modelos de cuerpos: partícula, cuerpo rígido y cuerpo deformable, también requiere del modelado de las diferentes acciones que se presentan entre ellos, es decir, de fuerzas.

En el ámbito de las diferentes ramas de la mecánica que estudia el ingeniero: mecánica de materiales, mecánica del medio continuo, teoría de la plasticidad, entre otras, se emplean modelos de fuerzas tales como las concentradas y las distribuidas.

En esta práctica se estudiará el modelado de las fuerzas concentradas, su representación vectorial analítica y algunos de los aspectos prácticos en la manipulación de vectores en el plano.

1 Objetivos

1.1 Comprender la idea de sistema de referencia coordenado, con el objeto de dar significado físico a las relaciones geométricas entre los elementos que conforman al modelo (posición de puntos, distancia entre puntos, ángulo entre rectas, etc.), así como asignar las direcciones y sentidos de las interacciones de los cuerpos y los efectos externos que éstas producen.

1.2 Realizar mediciones de longitudes mediante el auxilio de escuadras, flexómetros, niveles y plomadas, para representar analíticamente mediante vectores, las posiciones de diferentes puntos.

1.3 Representar vectorialmente las diferentes acciones entre algunos de los cuerpos que conforman al modelo mecánico.

2 Elementos conceptuales

Conceptos básicos de geometría analítica:

a) vector de posición


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b) producto escalar y vectorial

c) componentes escalares y vectoriales de un vector

d) punto y recta en el plano y sus relaciones geométricas.

Conceptos básicos de mecánica:

e) concepto físico de fuerza y su representación vectorial

f) principios de Stevinus y de transmisibilidad.

3 Equipo empleado 1 Sistema de varillas con accesorios

2 juego de masas (1 de 0.5 y 2 de 0.2 kg c/u)

3 flexómetro

4 hilo de cáñamo

5 nivel

6 poleas (2)

7 dinamómetro de 10 N

8 plomada

9 juego de escuadras (2)

10 balanza

4 Descripción y funcionamiento del primer modelo experimental La configuración física del modelo, previamente armado con todos sus componentes, se muestra en las Figuras 1 y 2.

El sistema mecánico está conformado por tres varillas de acero, dos de ellas atornilladas verticalmente en bases de hierro y la tercera, oblicua, unida a estas dos mediante abrazaderas. La barra de la polea se sujeta a uno de los extremos de un hilo, y el otro extremo se sujeta a la argolla en A, la cual está unida a un anillo deslizante que puede fijarse mediante un tornillo opresor.


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Figura 1 Vista frontal del primer modelo mecánico.

Figura 2 Indicaciones para la medición de longitudes y ángulos.


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El cilindro de bronce que se muestra suspendido en el modelo, está unido al extremo inferior de un hilo por medio de un gancho, y se hace pasar por la polea con centro en C. El otro extremo se sujeta a un anillo deslizante en B.

5 Actividades experimento 5.1 Medición de las alturas de algunos puntos

Estas mediciones deberán realizarse con el flexómetro y el auxilio de la plomada, para garantizar la verticalidad. Marque con un plumín sobre la mesa, el pie de la vertical al colocar la plomada justo en los puntos A, B y C para facilitar la medición.

Registro de alturas

hA = ________ cm hB = ________ cm hC = ________ cm 5.2 Medición de longitudes sobre la mesa

Estas mediciones se harán directamente con el flexómetro, entre las marcas del plumín trazadas en el punto anterior.

Registro de distancias horizontales

LA = ________ cm LB = ________ cm 5.3 Registro de las magnitudes de las fuerzas

Nota aclaratoria: el hilo que sostiene al cilindro, en uno de sus extremos (punto P), que pasa alrededor de la polea y se sujeta a la argolla en B, se le denominará hilo 1. El hilo que se sujeta a la argolla en A y a la barra de la polea, se le denominará hilo 2.

Las siguientes mediciones deberán realizarse directamente con el dinamómetro, y corresponden a las magnitudes de las fuerzas de tensión en los hilos 1 y 2.

Fuerza de tensión en el hilo 1, |𝑇1̅| o T1:

T1 = _________ N

Fuerza de tensión en el hilo 2, |𝑇2̅| o T2:

T2 = _________ N


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Figura 3 Forma de medir tensiones en un hilo. La forma de medir la tensión en los hilos con el dinamómetro se muestra en la Figura 3. Se desengancha el hilo de la argolla y se coloca en el extremo del dinamómetro, previamente calibrado. A continuación se hace coincidir este extremo en la posición de la argolla, cuidando que el dinamómetro sea colineal al hilo, es decir, que tanto el dinamómetro como el hilo estén contenidos en la misma recta que pasa por el hilo (es el soporte de su fuerza de tensión).

6 Desarrollo y cálculos vectoriales

6.1 Verificar que las expresiones de los ángulos A y B, en función de alturas y longitudes medidas, están dadas por:

𝜃𝐴 = 𝑎𝑟𝑐 tan (ℎ𝐴−ℎ𝐶

𝐿𝐴), y

𝜃𝐵 = 𝑎𝑟𝑐 tan (ℎ𝐵−ℎ𝐶

𝐿𝐵).


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6.2 Con los registros de los apartados 5.1 y 5.2, evalúe, en grados sexagesimales, las

expresiones de los ángulos A y B obtenidas en el apartado anterior.

A = _______° y B = _______° 6.3 Ubicar el origen y la orientación del marco de referencia en dos dimensiones, donde mejor juzgue conveniente. Después de haber realizado la selección, determinar los vectores de posición que se indican a continuación, con respecto al marco elegido.

𝑟𝐴⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗; 𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (_____, _____) 𝑐𝑚

𝑟𝐵⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗; 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (_____, _____) 𝑐𝑚

𝑟𝐶⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗; 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (_____, _____) 𝑐𝑚

𝑟𝐶𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗; 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (_____, _____) 𝑐𝑚

𝑟𝐶𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗; 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (_____, _____) 𝑐𝑚

6.4 Con los valores numéricos de los ángulos A y B, y de los registros de las magnitudes de las fuerzas obtenidas en el apartado 5.3, obtenga los siguientes vectores fuerza:

𝐹𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (_____, _____) 𝑁

𝐹𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (_____, _____) 𝑁

La notación 𝐹𝐵𝐶 significa la acción de la fuerza de tensión en el hilo 1, cuerpo 1, sobre la argolla B, cuerpo 2 (B hacia C), mientras que 𝐹𝐴𝐶 significa la acción de la fuerza de tensión en el hilo 2, cuerpo 3, sobre la argolla A, cuerpo 4 (A hacia C). Ver Figura 2. 6.5 De acuerdo con la notación sugerida en el apartado anterior, obtener los vectores de las siguientes fuerzas que a continuación se señalan, es decir, escribir en los corchetes correspondientes a los subíndices, las letras que indican la orientación de la fuerza, por ejemplo,

si a la notación de la fuerza 𝐹 [ ][ ] se le colocan las letras M y N, es decir, 𝐹 [𝑀][𝑁], significa que

la acción de esta fuerza está orientada desde el punto M hacia el punto N: a) del cilindro sobre el extremo inferior del hilo 1

𝐹 [𝐶][𝑃] = (_____, _____) 𝑁


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b) de la argolla B sobre el extremo superior del hilo 1

𝐹 [ ][ ] = (_____, _____) 𝑁

c) de la argolla A sobre el extremo superior del hilo 2

𝐹 [ ][ ] = (_____, _____) 𝑁

d) del hilo 2 sobre la barra de la polea

𝐹 [ ][ ] = (_____, _____) 𝑁

e) la atracción terrestre sobre el cilindro

𝐹 [ ][ ] = (_____, _____) 𝑁

Figura 4 Indicación de las fuerzas en los elementos.


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La representación de la siguiente fuerza requiere la aplicación del principio de Stevin. f) la acción total del hilo 1 sobre la polea

𝐹 [ ][ ] = 𝐹 [ ][ ] + 𝐹 [ ][ ]

𝐹 [ ][ ] = (_____, _____) 𝑁

Dibuje sobre la Figura 4, los seis segmentos dirigidos obtenidos en 6.5. Se sugiere que ubique cada una de estas representaciones vectoriales con flechas, considerando su punto de aplicación atendiendo al principio de transmisibilidad, el cual puede ser el extremo donde está la cabeza de la flecha o el extremo donde está la cola, tal como se muestra en la Figura 5. En ambos casos, el efecto externo sobre la partícula es el mismo.

Figura 5 Dos formas de representar el punto de aplicación de una fuerza sobre una partícula.

7 Descripción y funcionamiento del segundo modelo experimental La configuración física del modelo, previamente armado con todos sus componentes, se muestra en las Figuras 6 y 7.

El cilindro de la izquierda es de 0.5 kg y los dos cilindros de la derecha son de 0.2 kg, uno enganchado al otro, y se conectan por medio del hilo 1, que va del extremo P1 a la polea C, luego a la polea D y termina en el extremo P2. Los puntos C y D corresponden a los centros de las poleas respectivas. Las barras de las poleas se unen a los anillos A y B por medio de dos hilos, la primera al hilo 2 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ (se puede considerar que si se alargara el hilo 2, pasaría por C), y la segunda al hilo 3 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ (si se alargara el hilo 3, pasaría por D).


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Figura 6 Vista frontal del segundo modelo mecánico.

Figura 7 Indicaciones para la medición de longitudes.


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8 Actividades experimentales 8.1 Medición de las alturas de los siguientes puntos

Registro de alturas

hA = _______ cm hB = _______ cm

hC = _______ cm hD = _______ cm 8.2 Medición de longitudes sobre la mesa

Registro de distancias horizontales

LA = _______ cm LB = _______ cm LC = _______ cm

8.3 Registro de las magnitudes de las fuerzas

Magnitudes de las fuerzas medidas directamente con el dinamómetro

Fuerza de tensión en el hilo 2, |𝑇2⃗⃗ ⃗| = 𝑇2

T2 = _________ N

Fuerza de tensión en el hilo 3, |𝑇3⃗⃗ ⃗| = 𝑇3

T3 = _________ N

Fuerza de tensión en el extremo P1 del hilo 1 (hacia abajo), |𝑇𝑃1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = 𝑇𝑃1

𝑇𝑃1 = _________ N

Medir la fuerza normal que ejerce la mesa sobre el cilindro de 0.5 kg, colocando el cilindro mencionado sobre el plato de una balanza.

𝑁𝑚𝑒𝑠𝑎/𝑐𝑖𝑙_0.5_𝑘𝑔 = _________ N

8.4 Ubicar el origen y la orientación del marco de referencia en dos dimensiones, donde mejor juzgue conveniente. Después de realizar la selección, determinar los vectores de posición que se indican a continuación, con respecto al marco elegido.

𝑟𝐴⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗; 𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (_____, _____) 𝑐𝑚


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𝑟𝐵⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗; 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (_____, _____) 𝑐𝑚

𝑟𝐶⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗; 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (_____, _____) 𝑐𝑚

𝑟𝐷⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (_____, _____) 𝑐𝑚

𝑟𝐶𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗; 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (_____, _____) 𝑐𝑚

𝑟𝐷𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (_____, _____) 𝑐𝑚 8.5 Obtener los vectores de las siguientes fuerzas que a continuación se señalan

a) de la argolla A sobre el extremo superior del hilo 2

𝐹 1 = (_____, _____) 𝑁

b) de la argolla B sobre el extremo superior del hilo 3

𝐹 2 = (_____, _____) 𝑁

c) del hilo 2 sobre la barra que sujeta a la polea con centro en C

𝐹 [𝐶][𝐴] = (_____, _____) 𝑁

d) del hilo 3 sobre la barra que sujeta a la polea con centro en D

𝐹 [ ][ ] = (_____, _____) 𝑁

e) la atracción terrestre sobre el cilindro de la izquierda

𝐹 [ ][ ] = (_____, _____) 𝑁

La representación de la fuerza siguiente requiere la aplicación del principio de Stevin.

f) la acción total del hilo 1 sobre la ranura de la polea de la derecha, con centro en D

𝐹 [ ][ ] = 𝐹 [ ][ ] + 𝐹 [ ][ ]

𝐹 [ ][ ] = (_____, _____) 𝑁

8.6 Efectuar la suma vectorial de las fuerzas expresadas en d) y f). ¿Cuál es la interpretación física de este resultado? ¿Qué resultado matemático debe esperarse?


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8.7 Del mismo modo, realizar la suma vectorial de las fuerzas expresadas en a) y b) ¿Cuál es la interpretación física de este resultado? ¿Qué resultado matemático debe esperarse? 8.8 De manera similar a la última actividad del apartado 6.5, dibujar sobre un esquema simplificado de la Figura 6, los seis segmentos dirigidos obtenidos en 8.5. Al igual que en el apartado mencionado, se sugiere que ubicar cada una de estas representaciones vectoriales con flechas, considerando su punto de aplicación atendiendo al principio de transmisibilidad, tal como se muestra en la Figura 5.

9 Informe En un documento, ya sea electrónico o en papel según lo solicite su profesor, escriba el identificador de la práctica, en este caso Práctica 1, su título, los nombres de los integrantes de la brigada iniciando con el apellido paterno, el nombre de la asignatura (Mecánica) y el grupo en el que están inscritos. No es necesaria una portada, a menos que se lo indique el profesor.

Luego, escriba los objetivos de la práctica. Posteriormente, incluya lo que se solicita a continuación.

9.1 Para el primer experimento, presente las mediciones realizadas en el punto 5, todo lo solicitado en el punto 6 incluyendo las características del marco de referencia seleccionado (qué punto se escogió como origen y cómo se establecieron los ejes coordenados), y la transcripción de la Figura 4 con la representación mediante segmentos dirigidos de las seis fuerzas solicitadas en el punto 6.5.

9.2 Para el segundo experimento, de forma similar al primer experimento, presente las mediciones realizadas en los puntos 8.1, 8.2 y 8.3, las características del marco de referencia seleccionado, todo lo solicitado en los puntos 8.4, 8.5, 8.6 y 8.7, y la transcripción de la Figura 6 con la representación mediante segmentos dirigidos de las fuerzas solicitadas en el punto 8.5.

9.3 Al final del informe, incluir las conclusiones, sugerencias y comentarios de cada uno de los integrantes de la brigada en el mismo documento y la fecha de realización.

10 Conclusiones, sugerencias y comentarios

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________


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11 Bibliografía 1 Beer F. P. Johnston Jr. E. R. & Mazurek D. F., Mecánica Vectorial para Ingenieros, Estática,

10ª edición, Editorial McGraw–Hill, México, 2013. 2 Hibbeler R. C., Ingeniería Mecánica, Estática, 12ª edición, Pearson Educación, México,

2010. Hugo Serrano Miranda

Yukihiro Minami Koyama


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Práctica 2

Determinación del coeficiente de fricción estática


1 Ninguno

Introducción

Las fuerzas de fricción o rozamiento siempre están presentes en cualquier problema mecánico, en algunos casos en menor grado y en otros de forma visible e importante, por ejemplo, en el caso de un eje que está en rotación, dicha fuerza hace que se detenga. En un automóvil, cerca del 20% de la potencia del motor se consume en contrarrestar estas fuerzas.

La causa física de la resistencia opuesta por la fricción al movimiento de superficies que se deslizan una sobre otra, puede ser explicada suponiendo un entrelazamiento de las rugosidades de las superficies, que no pueden ser separadas a menos que cedan o se rompan o sean levantadas sobre los extremos superiores de unas y otras, o suponiendo que las moléculas de las superficies de los dos planos en contacto están tan cercanas que desarrollan una cohesión que debe ser vencida para producir el movimiento. Solamente la experimentación puede capacitarnos para observar la realidad de estas diferentes causas.

El valor máximo de la fuerza de fricción estática entre un par cualquiera de superficies secas no lubricadas, obedece a las siguientes dos leyes empíricas. Primera: es aproximadamente independiente del área en contacto, dentro de muy amplios límites. Segunda: es proporcional a la fuerza normal.

Las dos leyes anteriores de fricción fueron descubiertas experimentalmente por Leonardo da Vinci (1452–1519), quien hizo estudios del movimiento de un bloque rectangular deslizando sobre una superficie plana.

La relación de la magnitud de la máxima fuerza de fricción estática a la magnitud de la fuerza normal se llama coeficiente de fricción estática para las superficies de que se trata. Si representamos por Frs la magnitud de la fuerza de fricción estática, podemos escribir:

Frs ≤ s N,

donde s es el coeficiente de fricción estática y N la magnitud de la fuerza normal.

La fuerza de fricción cinética Frk entre dos superficies secas no lubricadas, sigue las mismas leyes que la fricción estática, aunque en este caso se considera que su magnitud es constante que no cambia con la rapidez con la que se mueve una con respecto a la otra.


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Se les atribuye al matemático francés Jean Morin (1591–1659) y al científico francés Charles A Coulomb, (1736–1806), la realización de experimentos sobre las fuerzas de fricción. En particular Coulomb hizo un estudio sobre la diferencia entre fricción estática y fricción cinética, y publicó en su obra Théorie des machines simples (1779), algunos de los resultados más importantes de su trabajo.

1 Objetivo Determinar el valor numérico del coeficiente de fricción estática entre dos superficies en contacto secas, en condiciones de movimiento inminente, a partir de un modelo de cuerpos conectados y mediante el empleo de las ecuaciones de equilibrio.

2 Elementos conceptuales a) Diagrama de cuerpo libre

b) leyes empíricas de la fricción seca

c) estado de movimiento inminente de un cuerpo

d) modelos de cuerpos

e) condiciones de equilibrio de una partícula y modelos matemáticos.

3 Equipo empleado 1 bastidor con base de madera y accesorios

2 un bloque de madera

3 juego de masas (1 de 0.1 kg, 1 de 0.2 kg, 1 de 0.05 kg y 1 de 0.02 kg)

4 dos placas, una de madera y otra de acrílico

5 hilo de cáñamo

6 flexómetro

7 dos poleas con elementos de sujeción

8 dinamómetro de 10 N.


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4 Desarrollo 4.1 Con el equipo mencionado en el punto anterior, arme la configuración que se muestra en la Figura 1.

Figura 1 Configuración inicial de los elementos mecánicos para la práctica. El sistema mecánico está conformado por cuatro cuerpos señalados con las letras A, B, C y D, y tres elementos de sujeción auxiliares: dos poleas y una cuerda. El bloque de madera A se conecta con el cilindro B de 0.1 kg de masa mediante la cuerda que pasa por ambas poleas. A su vez, el bloque A descansa sobre la placa C y ésta sobre la superficie de una mesa. Un cilindro de 0.2 kg de masa se coloca encima del bloque A lo más cercano posible a la cuerda y del lado izquierdo. Para que el sistema esté en equilibrio, la suma de pesos del bloque A y del cilindro debe ser mayor al de B.

Figura 2 Configuración final de los elementos de la práctica.


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La forma en que se debe operar el modelo, con el objeto de realizar la lectura de datos, se describe a continuación.

A partir de la posición de equilibrio inicial, que se muestra en la Figura 1, se deberá mover lentamente la tabla C hacia la izquierda, tal como se observa en la Figura 2. Esta acción sobre la tabla, obliga a que el cuerpo B ascienda y la distancia x se incremente (la altura h permanece constante).

Sin embargo, este proceso mecánico debe ir acompañado de la cuidadosa observación correspondiente al momento en el que suceda el deslizamiento relativo entre las superficies en contacto del bloque A y la placa C. Justo cuando ocurre este deslizamiento, se debe suspender el movimiento de la placa, pero sin soltarla. En esta posición se deberá medir el valor x = xmax.

En caso de que no suceda el deslizamiento relativo entre las superficies agregué otro cilindro de las masas proporcionadas unido al cilindro B, hasta que se observe el movimiento.

4.2 Realice el experimento, acorde al procedimiento descrito en el punto 4.1, para una placa de madera y otra de acrílico, y obtenga la medición del valor x = xmax.

Repita cinco veces el experimento para cada una de las placas con el objeto de recabar los datos para x = xmax.

Anote los valores correspondientes a esta variable en la segunda columna de las tablas 1 y 2 que se proporcionan.

Observación: La altura vertical h debe medirse, desde el extremo de la cuerda que sujeta al cuerpo A al punto de tangencia de la cuerda con la polea de la izquierda.

Tabla 1 Mediciones para la placa de madera.

Evento/ posición

xmax, en cm s

1

2

3

4

5

h = cm


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Tabla 2 Mediciones para la placa de acrílico.

Evento/ posición

xmax, en cm s

1

2

3

4

5

h = cm

5 Informe En un documento, ya sea electrónico o en papel según lo solicite su profesor, escriba el identificador de la práctica, su título, los nombres de los integrantes de la brigada iniciando con el apellido paterno, el nombre de la asignatura (Mecánica) y el grupo en el que están inscritos. Luego, escriba los objetivos de la práctica. Posteriormente, incluya lo que se solicita a continuación.

Deducción de modelos matemáticos

5.1 En relación con la Figura 2, cuando el bloque A se encuentra en la condición de fricción límite (movimiento inminente), realice los diagramas de cuerpo libre:

a) del conjunto bloque A y cilindro, considerado como un solo cuerpo;

b) del cilindro B;

c) de la placa C;

d) de las dos poleas; y

e) del tramo de cuerda entre el bloque A y la polea E.

5.2 Mediante el empleo de las ecuaciones de equilibrio, verifique que la expresión correspondiente al valor del coeficiente de fricción estática, está dado por:

𝜇𝑠 =𝑊𝐵 𝑥𝑚𝑎𝑥

(𝑊𝐴 + 𝑊𝐷)√𝑥𝑚𝑎𝑥2 + ℎ2 − 𝑊𝐵 ℎ


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Para verificar esta expresión, encuentre en la situación de la Figura 2 la pendiente de la recta que contiene a la fuerza de tensión del tramo de cuerda que va del bloque A a la polea como un cociente que involucra a xmax y a h; el numerador de dicho cociente será el cateto opuesto al ángulo que forma dicha cuerda con la horizontal y el denominador será el cateto adyacente. Conocidos dichos valores es posible obtener la hipotenusa, con base en la cual es posible conocer los valores de las funciones trigonométricas del ángulo mencionado, y finalmente involucrando la magnitud de la tensión de la cuerda, se obtiene la magnitud de la fuerza de fricción estática entre el bloque de madera y la placa.

Con el empleo de este modelo matemático y con los datos experimentales registrados para x = xmax, obtenidos en las Tablas 1 y 2, registre los valores para μs, con el objeto de llenar la tercera columna de dichas tablas. A partir dichos valores obtenga el valor promedio μsp.

5.3 Suponga que en el momento de medir el valor x = xmax, se suelta de manera deliberada la placa. Demuestre que el valor de la fuerza de fricción estática entre las superficies en contacto de la mesa, y de la parte inferior de la placa, está dada por la expresión:

𝐹𝑟𝑠 =𝑊𝐵 𝑥

√𝑥2 + ℎ2

donde x ≤ xmax si la placa se movió hacia la derecha después de soltarla; y x = xmax, para el caso en que se mantiene en reposo.

Para demostrar lo anterior, dibuje el diagrama de cuerpo libre del conjunto bloque A, cilindro D y placa C como un solo cuerpo. Luego, empleé la misma idea del punto 5.2 para encontrar las componentes de la tensión de la cuerda, a partir de las cuales se obtiene la magnitud de la fuerza de fricción estática entre el bloque de madera y la placa.

5.4 Los siguientes casos suponen la lectura de x = xmax sosteniendo la placa. Demuestre que las magnitudes de las componentes horizontal y vertical de la fuerza de reacción en el eje de la polea E están dadas por las expresiones:

𝑅𝐸𝐻 = 𝑊𝐵 (1 −𝑥𝑚𝑎𝑥

√𝑥𝑚𝑎𝑥2 + ℎ2

)

𝑅𝐸𝑉 =𝑊𝐵 ℎ

√𝑥𝑚𝑎𝑥2 + ℎ2

en cambio, la magnitud de la reacción en la polea F está dada por la expresión:

𝑅𝐹 = √2 𝑊𝐵.


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Para la polea E, a partir de su diagrama de cuerpo libre en la situación de la Figura 2 y x = xmax, de manera similar al punto 5.2, obtenga el seno y del coseno del ángulo mencionado, y finalmente se obtienen las expresiones para las reacciones horizontal y vertical de la reacción solicitada.

5.5 Para la polea F es más fácil, pues interactúa con el tramo de cuerda horizontal hacia la izquierda y el tramo de cuerda vertical hacia abajo.

Sin sustituir valores numéricos ¿cuál de las dos poleas tiene mayor magnitud de reacción en su eje? Emplee el principio de Stevinus para encontrar la respuesta.

Presentación de resultados

5.6 El planteamiento de las ecuaciones de equilibrio, deberá realizarse con referencia a los diagramas de cuerpo libre planteados. La solución del sistema de ecuaciones puede resolverse con Mathematica, Maple Clásico o a mano.

5.7 Al final del informe, no olvide incluir las conclusiones, sugerencias y comentarios de cada uno de los integrantes de la brigada en el mismo documento y la fecha de realización.

6 Bibliografía 1 Spigel. M., Mecánica teórica, Serie Schaum’s, Editorial McGraw–Hill, México, 1990. 2 Beer F. P. Johnston Jr. E. R. & Mazurek D. F., Mecánica Vectorial para Ingenieros, Estática,

10ª edición, Editorial McGraw–Hill, México, 2013. Hugo Serrano Miranda



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Práctica 3

Descomposición de fuerzas


1 Ninguno

Introducción Si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, decimos que está en equilibrio.

A partir de la segunda ley de Newton, cuya expresión simplificada es �̅� = m �̅�, si �̅� es cero, la aceleración es cero y la partícula se movería a velocidad constante o permanecería en reposo con respecto al marco de referencia establecido; en el primer caso se dice que la partícula está en equilibrio dinámico, y en el segundo estamos hablando de equilibrio estático.

Si no nos interesan las dimensiones del cuerpo, y por tanto tampoco su posible movimiento de rotación, lo podemos considerar como partícula, y podemos establecer que en el punto geométrico que lo modela está concentrada la masa del cuerpo. La condición necesaria y suficiente para que una partícula esté en equilibrio, es que la resultante de todas las fuerzas que actúan en ella sea el vector nulo.

Para lograr la condición de equilibrio, es necesario recurrir a un diagrama de cuerpo libre (dcl), para facilitar la determinación de los valores de las fuerzas que permiten dicho equilibrio. En el caso del estudio del equilibrio de la partícula, el dcl es prácticamente el mismo que establece la geometría de la configuración que se pretende estudiar, y sólo habrá que completarlo con

algunas medidas o valores angulares que permitan resolver la ecuación de equilibrio �̅� = 0̅.

Recordemos que en el dcl se debe aislar al cuerpo en estudio, esquematizarlo y poner en él todas las fuerzas externas a las que está sometido, teniendo en cuenta la tercera ley de Newton, es decir, por cada fuerza colocada en el dcl, habrá que ver qué o quién la está produciendo, o por qué es que está reaccionando. Debemos tener presente que un dcl bien trazado es más de la mitad del proceso para la resolución del problema.

1 Objetivos a) Verificar la fuerza que actúa en una cuerda que une a un sistema de dos partículas que está en equilibrio.


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b) Observar, medir y resolver el sistema de tres cuerpos conectados por medio de cuerdas y poleas en el plano, problema conocido como de los tres cuerpos.

c) Observar, medir y resolver el problema de un cuerpo suspendido en el espacio por medio de tres cuerdas, el cual es una variante del problema conocido como el de los cuatro cuerpos.

2 Elementos conceptuales a) Modelo de partícula

b) diagrama de cuerpo libre

c) descomposición de fuerzas

d) condiciones de equilibrio de una partícula

e) consideraciones de una cuerda ideal

f) tensión en cuerdas.

3 Equipo empleado 1 marco metálico con accesorios

2 juego de 4 cuerdas con ganchos y una argolla


4 juego de masas (1 de 0.05 kg, 1 de 0.1 kg, 2 de 0.2 kg y 1 de 0.5 kg)

5 plomada

6 flexómetro

7 varilla de acero con accesorios

8 juego de escudras (2)

9 balanza (uso general)


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4 Primer experimento 4.1 Coloque una abrazadera universal en el borde de uno de los travesaños laterales de un bastidor metálico azul, y apriete el tornillo de manera que quede firmemente sujeto. Luego coloque una polea de plástico en el larguero de la abrazadera, sujetándolo firmemente a ella, como se ilustra en la Figura 1, de manera que la polea pueda soportar una fuerza hacia abajo de cuando menos 2 N.

Figura 1 Una abrazadera universal con una polea de plástico, sujeta al bastidor.

4.2 Luego coloque una mordaza doble en la varilla vertical con base, a la misma altura a la que sujetó la abrazadera universal en el punto anterior, y en la parte plana de la mordaza sujete firmemente la otra polea de plástico, tal como se muestra en la Figura 2.

4.3 Por cada una de las poleas pase una cuerda con ganchos, cuidando que la cuerda esté colocada en el canal de la polea. Entre las porciones horizontales de las cuerdas coloque un dinamómetro de 10 N, y en los extremos de las porciones verticales coloque en cada cuerda un cilindro de 0.2 kg, tal como se muestra en la Figura 3.

Figura 2 Mordaza doble con una polea de plástico, sujeta a la varilla vertical con base.


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Figura 3 Dinamómetro colocado entre las poleas, con cuerdas y cilindros de 0.2 kg. 4.4 Mida la fuerza que se ejerce en el dinamómetro, así como la masa de cada uno de los cilindros, por medio de la balanza.

5 Segundo experimento 5.1 Ahora retire el dinamómetro, y enganche una de las cuerdas a un cilindro de 0.2 kg.

5.2 Coloque otro cilindro de 0.2 kg junto con otro de 0.05 kg, de manera que sumen 0.25 kg., en el gancho de una de las cuerdas laterales, y en el gancho de la otra cuerda coloque un cilindro de 0.1 kg. El arreglo de las dos cuerdas con un cilindro de 0.2 kg, uno de 0.1 kg y los otros dos de 0.2 y 0.05 kg se muestra en la Figura 4.

Figura 4 Arreglo de dos cuerdas con un cilindro de 0.2 kg, uno de 0.1 kg y los otros dos de 0.2 y 0.05 kg.


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En caso de que alguno de los ganchos de los cilindros tope con la polea, acerque el bastidor y la varilla, de manera que no lo hagan.

5.3 Con ayuda de una plomada y de un flexómetro, determine las coordenadas de los puntos extremos de cada una de las porciones inclinadas de ambas cuerdas en el plano que las contiene (plano vertical). Para este fin establezca como elemento principal del marco de referencia a la mesa, que puede considerarse como un plano horizontal, y con un lápiz o un plumín marque los puntos que coincidan con el extremo inferior de la plomada.

Para establecer las coordenadas del nodo central, procure colocar el hilo de la plomada justo debajo del centro de la pesa que cuelga de la cuerda central.

5.4 Verifique la masa de cada uno de los cilindros empleados con la balanza.

6 Tercer experimento 6.1 Coloque el bastidor metálico azul sobre la mesa de trabajo, y coloque frente a él la varilla vertical con base, en el cual fijará en su parte superior el bloque de sujeción, tal como se muestra en la Figura 5.

Figura 5 Bloque de sujeción colocado en la varilla vertical con base.

Figura 6 Configuración del tercer experimento.


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6.2 Tome el conjunto de cuerdas con argollas, y fije una de las argollas en uno de los tornillos del bloque de sujeción, e introduzca otras dos argollas del conjunto de cuerdas en dos agujeros laterales de cada uno de los largueros del bastidor metálico azul, de manera que queden a alturas diferentes. En la cuerda corta con argolla que queda colgando en el centro, coloque un cilindro de 0.5 kg, tal y como se muestra en la Figura 6.

6.3 Con ayuda de un dinamómetro de 10 N previamente calibrado en la dirección adecuada, mida la tensión en cada una de las cuerdas, enganchándolo en la argolla correspondiente y jalando justo en la dirección de la cuerda, hasta que el argolla se despegue ligeramente del tornillo del bloque de sujeción, tal como se muestra en la Figura 7, o del agujero del bastidor metálico azul, como se muestra en la Figura 8, sin que la cuerda toque el tornillo o el bastidor, respectivamente.

Figura 7 Medición de la tensión de la cuerda enganchada al bloque de sujeción.

6.4 Con ayuda de una plomada y de un flexómetro, determine las coordenadas de los puntos extremos de cada una de las porciones de las tres cuerdas, que coinciden con la posición de las argollas.

Para este fin establezca como elemento principal del marco de referencia a la mesa, que se puede considerar como un plano horizontal, y con un lápiz o un plumín marque los puntos que coincidan con el extremo inferior de la plomada. Para establecer las coordenadas del nodo central, procure colocar el hilo de la plomada justo debajo del centro de la pesa que cuelga de la cuerda central.


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Figura 8 Medición de la tensión de la cuerda colocada en el agujero del bastidor metálico. 6.5 Finalmente, verifique la masa de la pesa de 0.5 kg con la balanza.


7.1 Para el primer experimento, escriba su conclusión sobre la fuerza que se midió en el dinamómetro con respecto al peso de los cilindros colgados en las cuerdas.

7.2 Con respecto al segundo experimento, con base en las coordenadas medidas, obtenga los vectores unitarios asociados a las fuerzas de tensión de cada una de las cuerdas, con base en un marco de referencia cartesiano.

7.3 Considerando que los vectores unitarios calculados en el inciso anterior son correctos, resuelva analíticamente el problema de la determinación de las magnitudes de las tensiones en las cuerdas inclinadas, suponiendo conocida la tensión provocada por el cilindro colgado en la parte central.


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7.4 Calcule cada uno de los errores relativos porcentuales que se obtienen al comparar los resultados del inciso anterior con los pesos de los cilindros colgados en las cuerdas laterales.

7.5 Escriba las conclusiones del segundo experimento que considere importantes.

7.6 Para el tercer experimento, de forma similar al experimento anterior, obtenga los vectores unitarios correspondientes a cada una de las cuatro cuerdas, con respecto a un marco de referencia cartesiano.

7.7 De igual manera, suponiendo que las coordenadas medidas durante la práctica son correctas, resuelva el problema de la determinación de las magnitudes de las tensiones en cada una de las cuerdas oblicuas, considerando como único dato el peso del cilindro colgado.

7.8 Calcule los errores relativos porcentuales que se obtienen al comparar los resultados del inciso anterior con las fuerzas medidas con el dinamómetro en las cuerdas laterales.

7.9 Escriba las conclusiones del tercer experimento que considere importantes.

7.10 Incluya en el informe el cuestionario adjunto a esta práctica debidamente contestado.


8 Bibliografía 1 Beer F. P. Johnston Jr. E. R. & Mazurek D. F., Mecánica Vectorial para Ingenieros, Estática,





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Cuestionario de la Práctica 3 de Mecánica

1 Suponga que se tienen las tres posibles configuraciones que se muestran en la Figura 9.

Escriba en los cuadros debajo de la figura la letra que coincida con la relación entre los pesos a la que corresponde cada configuración.

A WA = WC B WA < WC C WA > WC

a) b) c)

Figura 9 Configuraciones de equilibrio de tres cuerpos. 2 ¿Qué sucede a la configuración geométrica del triángulo formado por los puntos P, Q y R? si se tiene:

a) WA >> WB, WA WC

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ b) WB = WA + WC, sin ninguna restricción

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________


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3 Si en cada una de las configuraciones de la Figura 9 se sustituye cada uno de los cuerpos por otro, de tal forma que se cumplan las proporciones WA’ = k WA, WB’ = k WB y WC’ = k WC, con k > 0 ¿cambiará la configuración geométrica de los triángulos P, Q y R?

si no 4 A partir de la configuración de la Figura 9 inciso a), bosqueje el triángulo de fuerzas en

función de los pesos WA, WB y WC, que determina el equilibrio de los tres cuerpos, y diga si el triángulo dibujado es semejante al triángulo formado por los puntos P, Q y R.

si no Fundamente su respuesta

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 5 En relación con la configuración de la Figura 1 inciso c), aplique el principio de Stevinus o

regla generalizada del paralelogramo, con el fin de bosquejar gráficamente las fuerzas que interactúan. Señale las características del sistema de fuerzas.

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________


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Práctica 4

Centro de gravedad de un cuerpo tabular


1 Ninguno

Introducción El centro de gravedad de un cuerpo es aquel punto teórico en el que se puede considerar que está concentrado el peso del mismo. Es el punto por el que pasa la fuerza resultante de las fuerzas gravitatorias que actúan sobre todas las partículas que constituyen al cuerpo.

Si se denota con G al centro de gravedad, su vector de posición con respecto a cualquier marco de referencia se puede determinar por medio de la expresión que establece la igualdad de los momentos que debe cumplirse para que dos sistemas de fuerzas sean equivalentes:

dVrgrrrgMrV

GG = )()()(

donde Gr es el vector de posición del centro de gravedad, M es la masa total del cuerpo, )( Grg

es el vector de la aceleración del campo gravitatorio de la Tierra en el centro de gravedad, r es el vector de posición de una partícula genérica del cuerpo, )(r es la densidad de dicha

partícula genérica, )(rg es el vector de la aceleración del campo gravitatorio de la Tierra en la

posición de la partícula genérica citada y el símbolo V indica la integral en la región de

volumen que ocupa el cuerpo.

Conviene mencionar que formalmente los conceptos de centro de gravedad, centro de masa y centroide o centro geométrico son diferentes. Si se considera que el campo gravitatorio de la Tierra es constante en la región de volumen que ocupa el cuerpo, el centro de gravedad y el centro de masa coinciden, y su posición se puede obtener por medio de la expresión simplificada:

dVrrMrV

G = )(

y si el cuerpo es homogéneo, entonces el centro de masa y el centroide del cuerpo son iguales, y dicha expresión se convierte en:

dVrVrV

G =

donde V es el volumen total del cuerpo.


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Finalmente, para el caso particular de cuerpos tabulares, que pueden definirse como aquéllos que tienen espesor constante, si la densidad también es constante, el centroide coincide con el centro de área de la figura plana que tiene el cuerpo, y su posición se puede determinar mediante la expresión:

dArArA

G =

donde A es el área total del cuerpo.

Esta última expresión usualmente se convierte en dos ecuaciones escalares, con objeto de obtener por separado la abscisa y la ordenada del centroide del cuerpo, xG e yG. Dichas expresiones son las siguientes:

A

dAxx A

G

=

A

dAyy A

G

= .

En esta práctica se emplearán estas últimas expresiones para verificar teóricamente la ubicación del centro de gravedad del cuerpo involucrado.

1 Objetivos a) Diseñar un cuerpo tabular con ciertas características geométricas que faciliten la obtención de su centro de gravedad tanto experimental, como teórica y gráficamente.

b) Fabricar con una tabla de madera de aproximadamente ¾” de espesor, 19 mm, el cuerpo diseñado.

c) Obtener el centro de gravedad de dicho cuerpo con base en dos métodos experimentales diferentes.

d) Calcular el centro de gravedad del mismo cuerpo a partir de su descomposición en figuras planas primitivas (triángulos, rectángulos, círculos completos, semicírculos y cuartos de círculo) y con base en las expresiones teóricas.

e) Realizar el modelo tridimensional del multicitado cuerpo con algún software gráfico, tal como AutoCad, Solid Edge o Katia, y determinar su centro de masa empleando los comandos adecuados.


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2 Elementos conceptuales a) Modelo de cuerpo rígido

b) fuerzas distribuidas

c) fuerza concentrada equivalente

d) centro de gravedad de un cuerpo

e) centro de masa de un cuerpo

f) centroide de un cuerpo.

3 Equipo y material empleado 1 bastidor con base de madera y accesorios

2 dos cuerdas con ganchos


4 plomada

5 flexómetro

6 juego de escuadras (2)

7 un lápiz o marcador.


Por parte del alumno: 1 una tabla de madera de 0.40 x 0.25 m y ¾” de espesor, aproximadamente

2 bloque de madera del mismo material que la anterior de 0.10 x 0.10 y ¾” de espesor, aproximadamente.

3 tres armellas cerradas


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4 Preparación del cuerpo tabular

Diseñe un cuerpo tabular (espesor constante) diferente a los mostrados en la Figura 1, que pueda fabricarse con una tabla de madera de aproximadamente 0.40 x 0.25 m y ¾” de espesor (19 mm), de manera que tenga, al menos, las siguientes características: que no sea simétrico, uno, o un número non, de agujeros, preferentemente circulares, ubicados cerca de los extremos de la tabla; un cuarto de círculo o un semicírculo, un rectángulo o cuadrado; un triángulo. Los agujeros pueden ser también poligonales. En la Figura 1 se muestra el perfil de dos formas de tabla que cumplen con las características mencionadas.

Figura 1 Perfil de dos formas de tabla con las características solicitadas. La figura plana que modela al cuerpo deberá poder subdividirse en figuras primitivas: círculos, triángulos, cuadrados, rectángulos, cuartos de círculo o semicírculos, y se establecerá el origen teórico en su esquina inferior izquierda, colocándola de forma que su mayor dimensión sea horizontal.

Para su fabricación, se recomienda emplear una caladora para los cortes rectos y de arcos de circunferencia con radio de 0.15 m o más, para los arcos de circunferencia menores se recomienda el empleo de un arco calador, y para los agujeros circulares herramientas especiales formados por una copa metálica cilíndrica y un mandril y que se operan mediante un taladro eléctrico. Se requerirá eliminar las imperfecciones de los cortes por medio de una lija para madera.

Luego de que ya esté fabricado el cuerpo tabular, mida el tamaño y la posición de todas las primitivas en las que se puede descomponer el mismo, y corrija las dimensiones de la tabla diseñada originalmente, con objeto de disponer de las medidas reales de este objeto de estudio.


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5 Determinación experimental del centro de gravedad del cuerpo 5.1 Coloque en la tabla dos armellas en el canto de uno de los lados largos, cerca de los extremos y a la mitad del espesor de esta tabla. Desde cada armella trace con un lápiz una perpendicular a dicho lado, y verifique que preferentemente no pase por huecos. Coloque una tercera armella centrada en el canto de uno de los lados cortos, también a la mitad del espesor. En la Figura 2 se muestra una posible colocación de las armellas a una tabla con el perfil de la que está a la izquierda de la Figura 1.

Figura 2 Colocación de las armellas en una tabla ya fabricada. 5.2 Cuelgue la tabla en uno de los ganchos del marco para experimentos con poleas, de la armella colocada en su lado corto, coloque el hilo de una plomada en el punto de sujeción con el gancho y dibuje el segmento de recta que corresponda a la porción de dicha cuerda sobre la superficie de la tabla. Para facilitar el trazo de dicho segmento, se sugiere dibujar sólo el punto extremo inferior debajo del hilo de la plomada, y posteriormente luego de descolgar la tabla, trazar dicho segmento de recta. Dado que en este caso se puede aplicar el principio de un cuerpo en equilibrio sujeto a dos fuerzas, se puede asegurar que el centro de gravedad del cuerpo deberá estar contenido en dicho segmento.

5.3 Después, cuelgue la tabla de dos ganchos del mismo marco aprovechando las dos armellas colocadas en el lado largo del cuerpo, empleando para ello las dos cuerdas con ganchos. Ajuste la longitud de las cuerdas de manera que al colocar el hilo de la plomada en cada uno de los puntos de sujeción con los ganchos, la cuerda de la plomada coincida con las líneas trazadas con lápiz, y por consiguiente, el lado más largo de la tabla sea horizontal. Asimismo, empleando el dinamómetro de 10 N, mida la tensión de cada una de las cuerdas sujetas en las armellas, teniendo cuidado de calibrar previamente el instrumento en la posición vertical en la que se colocará para realizar la medición.


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5.4 Con objeto de verificar las magnitudes de las tensiones medidas en el punto anterior, mida la masa de la tabla con la báscula, y verifique que su peso es aproximadamente igual a la suma de las citadas tensiones.

5.5 Con base en el método gráfico de obtención de la posición de la resultante de dos fuerzas paralelas explicado en el punto 6, haga los trazos necesarios en la tabla de manera de que pueda dibujar otra recta en la que debe encontrarse el centro de gravedad de la misma. Procure usar una escala tal que la magnitud de las tensiones de las cuerdas sean representadas por longitudes lo más grande posibles, con objeto de lograr una mejor resolución.

5.6 La intersección de la recta trazada en el inciso 5.2 con el de la trazada en el inciso 5.5 será la proyección sobre la superficie de la tabla del centro de gravedad, el cual se encontrará a la mitad del espesor del cuerpo.

5.7 Obtenga la masa por unidad de área (concepto similar al de densidad) del bloque de madera de 0.10 x 0.10 m, dividiendo su masa por su área (0.01 m2). Finalmente, determine el área “sólida” de la tabla a partir de su masa total y el valor obtenido de su masa por unidad de área.

6 Método gráfico para la obtención de la resultante de dos fuerzas paralelas 6.1 Problema a resolver

El cuerpo tabular de la Figura 2 se cuelga de las dos armellas mostradas, y las tensiones medidas fueron, en la armella de la izquierda T1 = 5.4 N y en la de la derecha T2 = 2.3 N. Determine la recta por la que pasa la resultante de dichas tensiones, en el que se debe encontrar el centro de gravedad de esta tabla, en la posición que se muestra en la Figura 3.

Figura 3 Ilustración del problema a resolver.


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6.2 Se traza un segmento dirigido que represente a T1 en el punto de aplicación B de T2, y otro que represente a T2 pero con sentido contrario, en el punto de aplicación A de T1, con una longitud proporcional a su magnitud. En este caso se escogerá una escala de 30 mm : 1 N, es decir, cada 30 mm representarán 1 N. Se une el extremo de la cabeza de flecha de T1 con el extremo de la cabeza de flecha de T2 con una recta, y su intersección C con la recta que une los puntos de aplicación considerados es un punto por donde debe pasar la resultante y ésta debe ser paralela a T1 y a T2. En el dibujo superior de la Figura 4 se muestran los trazos realizados.

Figura 4 Ilustración del método gráfico para la obtención de la resultante de dos fuerzas paralelas.

Este método gráfico se basa en que, considerando que el punto de apoyo de una palanca se encontrara en el punto por donde pasa la resultante, los brazos de palanca de cada una de las fuerzas involucradas deben ser inversamente proporcionales a las magnitudes de las fuerzas, de manera que se igualen los momentos con respecto al punto de apoyo y se dé el equilibrio.


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6.3 Si se escoge el punto superior de aplicación de T1, no se puede trazar el segmento dirigido de T2 dentro de la tabla. Por consiguiente, para que todos los trazos se hagan dentro de ella, se escoge el punto de aplicación inferior A, mostrada en el dibujo inferior de la Figura 4. Como se puede observar, el resultado es exactamente el mismo, sin importar cuáles puntos de aplicación se seleccionen, siempre y cuando éstos se encuentren en las líneas de acción, también llamadas soportes, de las fuerzas de tensión involucradas.

7 Cálculo teórico y con software gráfico del centro de gravedad 7.1 Con el empleo de Mathematica, algún otro software o “a mano” según las indicaciones de su profesor, y con base en las medidas reales del cuerpo tabular, calcule teóricamente el área y las coordenadas xG e yG de su centro de gravedad.

7.2 Con base en las medidas reales del cuerpo tabular, trace su modelo tridimensional empleando algún software gráfico, tal como AutoCad, Solid Edge, NX o Katia.

7.3 Emplee el comando idóneo para determinar las coordenadas de su centroide. En el caso de AutoCad el comando es massprop. Usualmente con este mismo comando también se puede determinar su volumen, los valores de sus momentos de inercia centroidales con respecto a los tres ejes coordenados, entre otras propiedades de interés.

7.4 Estas coordenadas así como la medida del área total deben coincidir con las obtenidas con el procedimiento teórico empleado en el punto 7.1. En caso de que no coincidieran, el probable que se haya incurrido en alguna equivocación; será necesario revisar tanto el procedimiento con el software gráfico como el teórico, con objeto de corregir dicha equivocación.

7.5 Compare los valores de las coordenadas del centro de gravedad y del área obtenidos de forma experimental, teórica y con software gráfico, y haga los comentarios que considere pertinentes. Para la obtención del área es probable que se requiera hacer uso de los valores de volumen y la medida del espesor de esta tabla.



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8.1 Trace el plano de la tabla diseñada, haga las subdivisiones en figuras primitivas con línea segmentada, e incluya el sistema cartesiano de referencia empleado, y las dimensiones reales de dichas primitivas luego de que ya haya sido fabricada: radios de las semicircunferencias o cuartos de circunferencia, diámetros de las perforaciones circulares, posición de los centros anteriores, tamaño de los triángulos y rectángulos o cuadrados, entre otras.

8.2 Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la tabla, colgada de las dos cuerdas tal como se solicitó en el punto 5.3. Asimismo, anote el valor de la masa de la tabla medida con la báscula, y marque claramente la ubicación su centro de gravedad, indicando sus coordenadas con respecto al marco de referencia establecido así como la magnitud de su peso, con base en las rectas trazadas en el punto 5.

8.3 Enseguida, muestre los cálculos realizados para determinar la masa por unidad de área de la tabla de madera empleada, así como su área “sólida”, con base en el punto 5.7.

8.4 Incluya en el informe el código de Mathematica, de algún otro software matemático o el desarrollo “a mano” de los cálculos del área “sólida” de la tabla, así como del centro de gravedad de la tabla.

8.5 Asimismo, obtenga una impresión del modelo tridimensional de la tabla obtenida con algún software gráfico junto con el resultado del comando para la determinación del centro de masa.


9 Bibliografía 1 Wikipedia. Centro de gravedad. http://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_gravedad.

Consultado en enero de 2015. 2 Beer F. P. Johnston Jr. E. R. & Mazurek D. F., Mecánica Vectorial para Ingenieros, Estática,




http://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_gravedad


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Práctica 5

Movimiento rectilíneo uniformemente variado


1 Ninguno

Introducción

Se llama movimiento rectilíneo uniformemente variado a aquel movimiento rectilíneo de una partícula en el cual el valor de la aceleración es constante.

Este tipo de movimiento se presenta en la caída libre, el tiro vertical y en el movimiento de cuerpos bajando por un plano inclinado.

Es relativamente fácil de reproducir en el laboratorio, y es por ello que frecuentemente se le escoge para verificar el comportamiento cinemático de los cuerpos con dicho movimiento.

La fuerza de fricción seca es una fuerza tangencial entre dos superficies que tiende a oponerse al movimiento relativo de dichas superficies.

El comportamiento de esta fuerza lo establecen relaciones empíricas determinadas por las leyes de Coulomb-Morin, las cuales no constituyen leyes físicas científicas fundamentales como las leyes de Newton.

El coeficiente de fricción cinética depende principalmente de la naturaleza de las superficies en contacto, es relativamente grande cuando son muy ásperas y pequeño cuando están razonablemente pulidas; además, varía algo con la velocidad relativa y es más o menos independiente del área en contacto, aunque para efectos prácticos se le considera invariante con respecto a la rapidez de movimiento.

La determinación del coeficiente de fricción cinética de manera experimental es muy importante para la comprensión y el análisis de los fenómenos en los que se presenta.

1 Objetivos

1 Determinar la magnitud de la aceleración de un carro que se desplaza de forma rectilínea sobre un plano inclinado, mediante la caracterización de la variación de su posición con respecto al tiempo, con el empleo de Mathematica.

2 Calcular a partir del valor de la aceleración, la constante g del campo gravitatorio terrestre, conocido el ángulo de inclinación del plano de movimiento.


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3 Con base en la caracterización de la variación de la posición de un bloque con respecto al tiempo que se mueve sobre un plano inclinado con dos coeficientes de fricción diferentes, obtener el valor del coeficiente de fricción cinética que se establece entre las superficies en contacto.

4 Trazar con Mathematica o algún otro software preferentemente matemático, las gráficas posición vs. tiempo, rapidez vs. tiempo, aceleración vs. tiempo y rapidez vs. posición, que representan el comportamiento de los movimientos estudiados en esta práctica.

2 Elementos conceptuales a) Segunda ley de Newton

b) diagrama de cuerpo libre

c) coeficiente de fricción cinética

d) ecuaciones de movimiento

e) movimiento rectilíneo uniformemente variado

f) gráficas de las variables cinemáticas.

3 Equipo empleado 1 rampa de aluminio

2 carro dinámico

3 interfaz Science Workshop 750

4 sensor de movimiento (sonar) con accesorios

5 goniómetro (medidor de ángulo)

6 software Data Studio

7 computadora personal (PC)

8 riel de aire con accesorios

9 carro para riel de aire

10 cronómetro digital

11 flexómetro


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Por parte del alumno:

1 memoria USB

4 Primer experimento Coloque la rampa de aluminio de manera que forme un ángulo menor de 10°, tal como se muestra en la Figura 1, y verifique dicho valor con el goniómetro.

Figura 1 Rampa de aluminio con sensor de movimiento conectado a la interfaz Science Workshop 750.

Encienda la PC, así como la interfaz, y ejecute la aplicación Data Studio. Seleccione la opción Crear experimento, posteriormente seleccione el canal 1 de la interfaz para la cual se deberá habilitar la opción Motion sensor o sensor de movimiento, como se puede observar en la Figura 2.

Asimismo, en la ceja de mediciones o Measurements seleccione los cuadros que corresponden a medición de tiempo o Motion time y posición o Position, deshabilitando los de velocidad o


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Velocity y de aceleración o Acceleration, y en el cuadro de texto razón de muestreo o Sample rate establezca un valor de 50 Hz, tal como se muestra en la Figura 3.

Figura 2 Pantalla de Data Studio en el que se selecciona el canal 1 y la opción Motion sensor.

Figura 3 Pantalla de Data Studio en el que se seleccionan las mediciones y la razón de muestreo.


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Posteriormente, en la ceja de opciones de muestreo o Sampling options, ver Figura 3, establezca en la opción Tiempo retardado o Delayed time un tiempo de 0 s, y en la opción de Paro automático o Automatic stop un tiempo de 2 s.

Finalmente, en la ventana del ángulo superior izquierdo de datos o Data, seleccione Medición de posición o Position, y habilite en la ventana inferior de despliegue o Display la opción que abre la ventana de gráfica o Graph, tal como se indica en la Figura 4.

Figura 4 Pantalla de Data Studio en el que se selecciona el dato de posición y el despliegue de la gráfica.

Luego de todos los preparativos mencionados, el equipo está listo para realizar las mediciones.

Uno de los integrantes del equipo se hará cargo de oprimir con el ratón el botón de inicio o Start, ver Figura 4, y un momento después, un segundo integrante, quien estará manteniendo al carro inmóvil sobre la rampa de aluminio a una distancia del sonar de cuando menos 0.2 m, lo suelte desde el reposo. Es muy importante que se suelte después de que se escuchen los chasquidos de funcionamiento del sonar, para que pueda ser detectado sin lugar a duda el inicio del movimiento.

Finalmente, un tercer integrante se encargará de recibir al carro en la parte inferior de la rampa, evitando que choque con el tope o se caiga de la mesa de trabajo.


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Se realizarán, cuando menos, cinco mediciones de las posiciones del carro, cuidando que la posición inicial donde se suelte el carro sea el mismo, cuando mucho con una discrepancia de

1 mm.

Guarde los datos válidos en archivos con extensión *.txt, para reconocerlos como archivo ASCII. Para ello se requiere seleccionar del menú de cortina Archivo o File, la opción de exportar datos o Export data, luego seleccionar cuál conjunto de datos se desea guardar (sólo se puede guardar un conjunto cada vez), en dónde se desea guardar el archivo, ya sea en una memoria USB o en el escritorio de la PC, y finalmente escribir el nombre del archivo. Se sugiere que sea, por ejemplo, p5_1_datos_#.txt, de manera que indiquen archivos de datos de la Práctica 5, primer experimento, con identificador # (algún número del 0 a 9).

5 Segundo experimento

Figura 5 Disposición del equipo necesario para el segundo experimento. Ahora coloque el riel de aire sobre la base de altura ajustable, de manera que el tubo de la compresora quede arriba, que el ángulo del riel con la horizontal sea de unos 15° y que el extremo inferior del riel esté tocando la mesa. Luego se medirá su ángulo con la horizontal.

Con el empleo de cinta canela, tape los orificios de este riel por ambos lados, unos 0.80 m desde su parte inferior.


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Enseguida coloque el contenedor en el que recibió el material para la práctica boca abajo cerca de la parte más alta del riel de aire, y sobre él coloque una compuerta optoelectrónica o photogate, y ajuste su altura de manera que la parte delantera del carro interrumpa de forma adecuada al haz de la compuerta, lo cual se puede verificar por medio del encendido y apagado del led que se encuentra en su parte superior.

Luego, ponga la otra compuerta optoelectrónica justo donde empieza la cinta canela. Mida, con el flexómetro pegado al riel, la distancia entre las compuertas. La disposición de todo el equipo para este experimento se muestra en la Figura 5.

Ya que haya hecho todos los preparativos indicados, coloque el carro justo en donde se encuentra la compuerta optoelectrónica superior, de manera que el led indicador esté a punto de encenderse, tal como se muestra en la Figura 6. Verifique varias veces que si mueve el carro un poco más abajo, el led se enciende. Con esto, se pretende que el carro inicie su movimiento con una rapidez inicial prácticamente nula.

Figura 6 Compuerta electrónica con el carro en la posición en que el led indicador está a punto de encenderse.

Antes de soltar el carro, asegure que el cronómetro digital está encendido y que haya oprimido el botón de reinicio o reset, de manera que despliegue puros ceros.


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Posteriormente, coloque la perilla de la compresora entre el 2 y el 3, enciéndala, espere un par de segundos, y suelte con cuidado el carro, el cual, tan pronto inicie su movimiento deberá provocar que en el cronómetro empiece a correr el tiempo.

Podrá observar que el carro adquiere cada vez más rapidez, hasta el punto en el que los orificios del riel están tapados, y a partir de este punto, el carro empieza a disminuir su rapidez hasta detenerse por completo.

Mida la distancia recorrida por el carro, desde el punto en el que se encuentra la compuerta inferior, donde inicia la cinta canela, hasta el punto en el que se detuvo, así como el tiempo transcurrido en su primera etapa de movimiento. Repita el experimento unas cinco veces, con objeto de mejorar la estimación de los valores medidos.

Finalmente, mida la altura con respecto al plano de la mesa de la parte inferior de la cara en el que se conecta el tubo de la compresora del riel de aire, con objeto de estimar el ángulo que forma éste con respecto a la horizontal. Como se puede notar, se puede construir un triángulo rectángulo con dicha altura, el riel de aire y su proyección sobre la mesa; la altura corresponde al cateto opuesto del ángulo mencionado, siendo la longitud de su hipotenusa de 2 m, que es lo que mide el riel de aire.

6 Procesamiento de los archivos de datos exportados, primer experimento Con el empleo del Bloc de notas de Windows, o algún programa similar, abra cada uno de los archivos de datos exportados por el software Data Studio, y realice los siguientes pasos:

6.1 Elimine el encabezado, que son por lo regular las dos primeras líneas que no son datos, y que está marcado con fondo amarillo en la Figura 6. Posición-canales 1 y 2, Ensayo #1 Tiempo ( s ) Posición ( m ) 0.0000 0.221 0.0198 0.220

Figura 6 Encabezado de los datos exportados a eliminar. 6.2 En todos los archivos se tendrán dos columnas de números; la primera corresponde a medidas de tiempo, en segundos, y la segunda columna establece las posiciones, en metros. Verifique que en la segunda columna los primeros datos son iguales (o con una pequeña


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0.4356 0.220 0.4554 0.220 0.4752 0.220 0.4950 0.220 0.5148 0.220 0.5347 0.222 0.5545 0.223

Figura 7 Datos iniciales a eliminar. discrepancia). Encuentre en dicha columna la posición en la que empieza a incrementarse su valor. Elimine todos los datos, incluyendo los valores de tiempo correspondientes, anteriores a dicha posición menos la inmediata anterior. Los datos a eliminar tienen el fondo amarillo en la Figura 7.

6.3 De forma similar, encuentre en la segunda columna la medida de posición en la que empieza a disminuir el valor, o a mantenerse constante. Retroceda y determine las diferencias con los valores precedentes. Determine el último valor para el cual su diferencia con el anterior sea igual o mayor que el precedente. Elimine todos los demás datos posteriores, incluyendo los datos de tiempo. Por ejemplo, en el caso de los datos de la Figura 8, se puede observar que del valor de posición 0.836 a 0.876 la diferencia es de 0.040, de 0.876 a 0.918 la diferencia es de 0.042, pero de 0.918 a 0.949 la diferencia es de 0.031. Entonces, se eliminan todos los datos de 0.949 en adelante. 1.1718 0.836 1.1919 0.876 1.2119 0.918 1.2319 0.949 1.2518 0.974 1.2717 0.984

Figura 8 Datos finales a eliminar. 6.4 Asimismo, detecte todos los renglones en los que el valor de la posición es completamente diferente a la inmediata anterior e inmediata posterior, y elimínelos incluyendo el valor de tiempo.

6.5 Guarde el archivo de preferencia con otro nombre, por ejemplo p5_1d#.txt, y colóquelo en la raíz de alguna unidad de disco o memoria USB; tenga el cuidado de no asignar el mismo nombre a dos archivos diferentes.


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7 Procesamiento de los datos con Mathematica

Ahora, abra Mathematica y realice las operaciones indicadas.

a) Limpie la memoria de variables seleccionando en el menú de cortina Evaluación, opción Salir del kernel, seleccionar Local, finalmente oprimir el botón Salir.

b) Importe el archivo de datos previamente depurado, asignándolo a la variable Datos, suponiendo que se encuentra en la unidad de memoria USB E:, directorio Mecánica, y tiene el

nombre y la extensión p5_1d1.txt, escribiendo la siguiente línea:

Datos1 = Import[“E:/Mecánica/p5_1d1.txt”,”Data”]

c) Asigne a la variable NumDat1 el número de parejas de datos válidos, con la siguiente línea:

NumDat1 = Length[Datos1]

d) Traslade todos los puntos de Datos1 de manera que el primer punto quede en el origen, restando el primer vector de coordenadas Datos1[[1]] a todos los demás, y asígnelo a la variable DatAj1, escribiendo la línea:

DatAj1 = Table[Datos1[[n]] – Datos1[[1]], {n, 1, NumDat1, 1}]

e) Dibuje la gráfica de los puntos experimentales obtenidos trasladados al origen, y asígnelo a la variable Graf11 con la siguiente línea:

Graf11 = ListPlot[DatAj1]

f) Asigne a la variable FunX1 el polinomio cuadrático que mejor se ajuste a los datos obtenidos ya ajustados, con la línea que se muestra:

FunX1 = Fit[DatAj1, {1, t, t2}, t]

g) Dibuje la gráfica del polinomio cuadrático obtenido en el punto anterior, y asígnelo a la variable Graf12, escribiendo la siguiente línea:

Graf12 = Plot[FunX1, {t, 0, 0.7}]

Nota: el valor 0.7 se obtuvo observando valor del tiempo (primera coordenada) del último vector de DatAj1.

h) Muestre la gráfica de los puntos experimentales Graf11 y del polinomio cuadrático al que se ajustó Graf12, con la línea:

Show[Graf11, Graf12]

i) Obtenga los parámetros de la función FunX1, escribiendo las siguientes líneas:


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c1 = FunX1 /. t -> 0 FunV1 = D[FunX1, t] b1 = FunV1 /. t -> 0 a1 = D[FunV1, t]

donde a1, es el valor estimado de la aceleración del carro, b1 es la rapidez inicial y c1 la posición inicial del mismo.

j) Con objeto de determinar qué tanto se asemejan los datos experimentales al polinomio

cuadrático, se calculará el error conocido como r, por las siglas en inglés root mean square o raíz medio cuadrático, de los conjuntos de datos obtenidos, que para efecto de este experimento se puede establecer como:

𝑒𝑟𝑚𝑠,1 = √1

𝑁𝑢𝑚𝐷𝑎𝑡1 ∑ (𝐹𝑢𝑛𝑋1(𝑡𝑖) − 𝑥𝐸𝑥𝑝1(𝑡𝑖))

2𝑁𝑢𝑚𝐷𝑎𝑡1𝑖 = 1

k) Como se puede verificar, para el cálculo de este error rms, es necesario determinar los valores de FunX1 para cada uno de los valores de tiempo experimentales, ti, es decir, el valor del primer elemento de los vectores que conforman DatAj1. Esto se puede lograr escribiendo:

tExp1 = Table[DatAj1[[n]][[1]], {n, 1, NumDat1, 1}]

FunX1t = Table[FunX1 /. t -> tExp1[[n]], {n, 1, NumDat1, 1}]

l) Asimismo, se requiere obtener los valores de posición experimentales, xi, que corresponden al segundo elemento de los vectores del conjunto de datos DatAj1, escribiendo la línea:

xExp1 = Table[DatAj1[[n]][[2]], {n, 1, NumDat1, 1}]

m) Determine el error medio cuadrático para el ajuste a la función cuadrática, y asígnelo en la variable eRms1. Para lograrlo, se requiere escribir la línea:

eRms1 = √1

𝑁𝑢𝑚𝐷𝑎𝑡1 𝑆𝑢𝑚[(𝐹𝑢𝑛𝑋1𝑡[[𝑛]] − 𝑥𝐸𝑥𝑝1[[𝑛]])

2, {𝑛, 𝑁𝑢𝑚𝐷𝑎𝑡1}

n) Repita todos los pasos de la a a la m con todos los conjuntos de datos que haya obtenido durante el primer experimento; si tiene cinco o más conjuntos de datos válidos, descarte los conjuntos que tengan el máximo y el mínimo valor de error medio cuadrático. Si cuenta con cuatro conjuntos de datos válidos, sólo descarte el que tenga el mayor valor de dicho error.

o) Posteriormente, obtenga el promedio de los coeficientes ai, bi y ci de las funciones cuadráticas de ajuste; suponiendo que se hayan seleccionado tres conjuntos de datos, se escribirán las líneas:


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aProm = Mean[{a1, a2, a3}]

bProm = Mean[{b1, b2, b3}]

cProm = Mean[{c1, c2, c3}]

p) Establezca la función de posición que representa a todo el experimento, con la línea:

𝑭𝒖𝒏𝑿𝒑𝒓𝒐𝒎 = 1

2 𝑎𝑃𝑟𝑜𝑚 𝑡2 + 𝑏𝑃𝑟𝑜𝑚 𝑡 + 𝑐𝑃𝑟𝑜𝑚

q) Ahora dibuje la gráfica de la rapidez, FunVprom vs. tiempo, con base en la derivada de FunXprom con respecto al tiempo, para lo cual se requiere escribir las líneas:

FunVprom = D[FunXprom, t]

Plot[FunVprom, {t, 0, 0.7}]

r) De manera similar, obtenga la gráfica de aceleración, AcelProm vs. tiempo, que se puede obtener derivando la expresión FunVprom con respecto al tiempo, con las líneas:

AcelProm = D[FunVprom, t]

Plot[AcelProm, {t, 0, 0.7}]

s) Establezca una ecuación de FunVprom igualado o la variable Vel, y despeje la variable tiempo, escribiendo las líneas:

ecuación1 = FunVprom == Vel

solución1 = Solve[ecuación1, t]

tSol = t /. solución1[[1]]

t) Sustituya tSol obtenida en lugar de la variable tiempo en la ecuación de FunXprom igualado a X, y obtenga Vel en función de X. Dibuje la gráfica de la expresión de la rapidez, Vel, en función de la posición, X, la cual se conoce como “plano de fase”, con base en las siguientes líneas:

ecuación2 = (FunXprom /. t->tSol) == X

solución2 = Solve[ecuación2, Vel]

VelSol = Vel /. solución2[[2]]

Plot[VelSol, {X, 0, 0.85}

u) Guarde el archivo con el nombre MEC_P05_E1_???, en lugar de ??? escriba la primera letra del nombre, y de los apellidos paterno y materno, del integrante de la brigada encargado de integrar los parámetros obtenidos del primer experimento.


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8 Desarrollo teórico del segundo experimento Los siguientes incisos los puede desarrollar de forma manuscrita.

8.1 Considere el carro dinámico sobre la rampa de aire que se suelta desde el reposo. Dicha

rampa tiene una inclinación con respecto a la horizontal, considerándola desconocida, y puede considerarse que no existe fricción entre las superficies en contacto. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de dicho móvil, mientras se encuentra en la parte donde los orificios del riel de aire están descubiertos.

8.2 Con base en el diagrama de cuerpo libre, establezca las expresiones para la aceleración,

constante, así como la rapidez y la posición en función del tiempo y del ángulo de inclinación .

8.3 A partir de las expresiones anteriores, calcule el ángulo de inclinación del riel, , con base en la distancia entre las compuertas optoelectrónicas medida durante la realización del experimento y el tiempo promedio de los medidos con el cronómetro digital, considerando conocida la aceleración de la gravedad, g = 9.78 m/s2. Compare el valor obtenido con el estimado al final del punto 5.

8.4 Con base en las expresiones de posición y rapidez del móvil, así como el ángulo de inclinación con respecto a la horizontal estimado del riel de aire, obtenido al final del punto 5, y la distancia entre las compuertas optoelectrónicas, determine la rapidez final en dicho intervalo de movimiento,

8.5 Ahora dibuje el diagrama de cuerpo libre del carro sobre el riel en donde los orificios están tapados, y por consiguiente se generará una fuerza de fricción cinética, la cual provoca que dicho carro se detenga.

8.6 Luego, establezca las ecuaciones de movimiento del carro en el intervalo anterior, en

función del tiempo, considerando el ángulo conocido igual al que se estimó con base en trigonometría, considerando como condición inicial de rapidez, la rapidez final del intervalo de movimiento anterior, calculada en el punto 8.4.

8.7 Con base en el valor de g mencionado, y la distancia recorrida promedio de las cinco que se midieron durante la realización del experimento, obtenga el valor del coeficiente de fricción

cinética, k, al sustituir los valores de posición y rapidez finales en las expresiones cinemáticas en este intervalo de movimiento.


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9 Informe

En un documento, ya sea electrónico o en papel según lo solicite su profesor, escriba el identificador de la práctica, su título, los nombres de los integrantes de la brigada iniciando con el apellido paterno, el nombre de la asignatura (Mecánica) y el grupo en el que están inscritos. Luego, escriba los objetivos de la práctica. Posteriormente, incluya lo que se solicita a continuación.

9.1 Para el primer experimento, se puede considerar que la fuerza de fricción entre el carro dinámico y el riel de aluminio es despreciable. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de dicho

carro, y demuestre que bajo estas condiciones, su aceleración es a = g sin , donde g es la

aceleración del campo gravitatorio de la Tierra en su superficie y es el ángulo del plano

inclinado con respecto a la horizontal. Sustituya el valor medido del ángulo así como el valor de g = 9.78 m/s2 en la expresión anterior, y compare el valor con la aceleración promedio obtenida en el punto 7 inciso r. Escriba cuál considera que son las causas por la que se presenta la diferencia entre dichos resultados.

9.2 Imprima los conjuntos de datos ajustados DatAj#, las expresiones de ajuste a un polinomio cuadrático de cada uno de ellos FunX#, las gráficas de cada conjunto de datos ajustados DatAj# y de la correspondiente función de ajuste FunX# con respecto al tiempo, el valor del error rms, eRms#, de cada conjunto de datos, y el desarrollo de los incisos de la o a la u que sintetizan al primer experimento.

9.3 Agregue todo lo solicitado en el punto 8 Desarrollo teórico del segundo experimento.


10 Bibliografía 1 Hibbeler, R. C., Ingeniería Mecánica, Dinámica, 12ª edición, Pearson Prentice Hall, México,

2010. 2 Abel, M. L. & Braselton J. P., “The Mathematica Handbook”, AP Professional, EUA, 1992. Hugo Serrano Miranda



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Práctica 8

Trabajo y energía


1 Ninguno

Introducción Los estudios de mayor interés que se realizan en el análisis de la resistencia de materiales requieren, de manera inevitable, un riguroso tratamiento experimental; tal es el caso de la determinación de las relaciones entre las fuerzas y las deformaciones, propiedades que poseen los materiales y las cuales pueden ser obtenidas, exclusivamente, mediante ensayos en el laboratorio.

A la relación lineal entre fuerzas y deformaciones, o bien, entre esfuerzos y deformaciones, se le conoce como ley de Hooke y constituye un aspecto fundamental la aplicación de esta ley en el estudio de los fenómenos mecánicos donde se involucra el uso de resortes lineales.

En esta práctica se obtendrá la ley de Hooke experimentalmente para un resorte lineal, con el objeto de propiciar en el alumno el empleo de procedimientos prácticos que permitan evitar el uso de ciertas consideraciones teóricas no deseables, acerca de las relaciones que tienen las propiedades de un resorte lineal, a saber: tipo de material, estructura interna y composición, número de espiras, longitud, etc.

1 Objetivos 1.1 Determinar experimentalmente el comportamiento de la fuerza de un resorte, Fk, en función de su deformación, x, con base en el ajuste por el método de mínimos cuadrados de la pareja de datos (x, Fk) a una recta Fk = F0 + kx, donde x está en metros y Fk en newtons.

1.2 Obtener experimentalmente el valor numérico del coeficiente de fricción cinética k entre dos superficies secas, mediante la aplicación del método del trabajo y la energía, así como cuantificar las pérdidas de energía mecánica que se producen por efecto de la fuerza de fricción.

1.3 Calcular la rapidez instantánea de un bloque durante su movimiento, en función de la posición.

1.4 Obtener la gráfica de la rapidez en función de la posición.


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2 Elementos conceptuales a) Ley de Hooke

b) método de mínimos cuadrados

c) coeficiente de fricción cinética

d) método del trabajo y la energía

e) energías cinética y potencial.

3 Equipo empleado 1 riel de aluminio

2 resorte


4 bloque de madera con hilo

5 flexómetro


4 Desarrollo

Figura 1 Caracterización de un resorte.


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4.1 Para obtener la pareja de valores (x, Fk) de un resorte, se procede de la siguiente forma:

se coloca el extremo A del resorte en la placa de sujeción y se unen los extremos B del resorte y C del dinamómetro, tal como se muestra en la Figura 1. Sujete el extremo D del dinamómetro y desplácelo horizontalmente; este efecto produce una deformación x en el resorte, debido a la fuerza aplicada en el dinamómetro y que es la misma fuerza que se transmite al resorte; el valor de su módulo queda registrado en el vástago de lectura de dicho instrumento, tal como se muestra en la Figura 1, en la que:

xi = deformación del resorte, en metros

Fi = fuerza del resorte, en newtons.

Con base en el procedimiento anterior, registre experimentalmente 10 parejas diferentes de datos (xi, Fi) y anote los valores en la Tabla 1.

Tabla 1 Fuerza vs. deformación de un resorte.

4.2 Después de obtener las parejas (xi, Fi), arme el arreglo que se muestra en la Figura 2.

Figura 2 Configuración del experimento.

A continuación, desplace el bloque una distancia x cualquiera, no necesariamente igual a las registradas en la Tabla 1, con el objeto de deformar el resorte esa misma distancia, tal como se indica en la Figura 3.


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Figura 3 Posición del bloque con el resorte deformado una longitud x.

Por último, suelte el bloque, y déjelo mover hasta que se detenga, y registre el alcance máximo, L, medido a partir de la posición desde la cual se soltó, tal como se indica en la Figura 4.

Figura 4 Posición final del bloque.

4.3 Con base en el procedimiento presentado en el punto anterior, reproduzca el experimento 10 veces para una misma distancia x, hasta llenar la Tabla 2.

Tabla 2 Alcance máximo del bloque.

x = _______ m m = _______ kg.


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5.1 Con las parejas de valores (xi, Fi) registrados en la Tabla 1, con la función Fit de Mathematica determine el modelo matemático lineal:

Fk = F0 + kx (1)

de la ley de Hooke para el resorte, y dibuje en una misma gráfica, los datos experimentales obtenidos indicados con un asterisco, y la ecuación de la recta de la ley de Hooke.

5.2 Con el empleo de la ecuación 1 y mediante la aplicación del concepto de trabajo de una fuerza, demuestre que el trabajo total desarrollado por la fuerza del resorte, Uk, al moverse el cuerpo desde la posición inicial 1 hasta la posición intermedia 2 de la Figura 2, está dada por la expresión:

xFxk2

1U 0

2

k += (2)

5.3 Con el empleo del modelo matemático del trabajo y la energía, aplicado desde la posición inicial 1 hasta la posición intermedia 2 de la Figura 2, demuestre que, la rapidez del bloque en la posición 2 está dada por:

xgm

xFxkv k2

)2( 0

2

2 −+

= (3)

donde k y F0 son las constantes del modelo matemático dadas por la ecuación 1, m es la masa

del cuerpo, k el coeficiente de fricción, x la deformación del resorte y g el valor de la aceleración del campo gravitatorio.

5.4 De la misma forma que en el punto anterior, pero aplicando el principio del trabajo y la energía desde la posición intermedia 2 hasta la posición final 3, demuestre que, la rapidez del bloque en la posición 2 está dada por:

)(2'2 xLgv k −= (4)


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5.5 Con el empleo de las ecuaciones 3 y 4, verifique que la ecuación que determina el coeficiente de fricción cinética es:

mgL2

)xF2xk( 0

2

k

+= (5)

5.6 Con el valor promedio de L, el cual deberá obtenerse en la Tabla 2, y los valores de k, F0, x, g y m, obtenga el valor numérico del coeficiente de fricción cinética, dada por la ecuación 5:

k = _____________

5.7 Con el empleo de las ecuaciones 3 y 4 obtenga la rapidez del bloque con la ecuación 3:

v2 = ___________ m/s

y con la ecuación 4, considerando el mayor valor de L medido en el laboratorio:

v’2 =___________ m/s

5.8 Determine el porcentaje de diferencia entre los dos valores obtenidos en el punto 4.7, a partir de la expresión:

%_____100||

%2

22 =−

= xv

vvD

5.9 Calcule las pérdidas UFr en el sistema mecánico debido al efecto de la fuerza de fricción:

UFr = ______ J

5.10 Con el uso de Mathematica, obtenga la gráfica de la rapidez v del cuerpo en función de su posición s, teniendo como rango del dominio 0 ≤ s ≤ L, que corresponde a las posiciones 1 y 3 de la Figura 4.



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6 Bibliografía 1 Meriam, J. L. y Kraige, L, G., Mecánica para Ingenieros, Dinámica, 3ª edición, Editorial

Reverté, España, 2000. 2 Beer F. P. Johnston Jr. E. R. & Cornwell, Phillip, Mecánica Vectorial para Ingenieros,

Dinámica, 10ª edición, Editorial McGraw–Hill, México, 2013. 3 Hibbeler R. C., Ingeniería Mecánica, Dinámica, 12ª edición, Pearson Educación, México,



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