práctica3-señales2

Práctica 3: Transformada de Fourier

Javier Artiga Garijo

22/10/15

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Javier Artiga Garijo Señales y Sistemas II - Curso 2015/16

Tiempo continuo... (en un entornodiscreto)Ejercicio 3.1>> [x, t] = pulso_cuadrado(tau, t0, A, tmax)>> [x, t] = pulso_triangular(tau, t0, A, tmax)

• Obtén y representa un pulso cuadrado de amplitud unidad que comienceen t=0 y acabe en t=0.5, evaluado en el soporte -1 ≤ t ≤ 1. Cabe recordarque, aunque estas funciones nos devuelven vectores, trabajaremos como sifueran señales continuas y los representaremos mediante la función plot.

• Obtén y representa un pulso triangular de amplitud unidad con simetríapar y de anchura igual a 0.5, evaluado en el soporte -1 ≤ t ≤ 1.

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Ejercicio 3.2>> [X, f] = t_fourier(x, t)>> [x, t] = t_fourier_inv(X, f)

• Obtén la transformada de Fourier de las señales del ejercicio 3.1.

• Representa por separado el módulo y la fase de los espectros continuosobtenidos, rotulando los ejes de abscisas como “Frecuencia (Hz)” y los deordenadas como “Módulo de X(f)” y “Fase de X(f)” respectivamente.

• ¿Dónde se encuentran los ceros del módulo de ambos espectros? ¿Coincidecon lo esperado? Emplea para ello: Zoom In, Zoom Out y Data Cursor.

En la señal cuadrada, los ceros del módulo están en los múltiplos de 2. En laseñal triangular, se encuentran en los múltiplos de 4. Coincide con lo esperado,ya que el pulso cuadrado se ha creado con tau = 0.5 (f0 = 2) y el pulso triangular,con tau = 0.25 (f0 = 4)

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FuncionesEjercicio 3.3

• Implementa una función con el encabezado: function plot_f_spectrum(X, f)que no devuelva ningún argumento y que tome como entradas un vectorrepresentando a un espectro continuo, X, y el vector de frecuencias asoci-adas a dicho espectro, f. La función debe crear una nueva figura y generardos sub-figuras dentro de la misma, empleando el comando subplot. Enla sub-figura superior se representará de forma continua el módulo del es-pectro, y en inferior la fase. Se deben rotular los ejes como en el ejercicioanterior.

• Prueba la función creada con los espectros del ejercicio 3.2.

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Propiedades de la Transformada deFourierSuperposición

Ejercicio 3.4• Obtén una señal x1 que sea un pulso cuadrado de amplitud 1 entre t=0 y

t=2, evaluado para -5 ≤ t ≤ 5, y una señal x2 que sea un pulso cuadradode amplitud -1 entre t=2 y t=0, evaluado en el mismo soporte temporal.Representar por separado ambas señales.

• Obtén y representa los espectros X1 y X2 (a partir de ahora, representare-mos todos los espectros continuos asociados a señales tiempo continuo noperiódicas con la función creada previamente: plot_f_spectrum) corre-spondientes a las señales anteriores.

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• Obtén y representa una señal x similar a la de la figura 3.3, sumando lasseñales x1 y x2. Obtén y representa el espectro correspondiente, X.

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• Obtén y representa el espectro Xs sumando los espectros X1 y X2. ¿Esigual que X? ¿Por qué?

Sí, porque se cumple el principio de superposición de la transformada deFourier (una combinación lineal de señales tiene como transformada la mismacombinación lineal de sus espectros)

• Repite el ejercicio construyendo una señal compleja y=x1+j*x2, obte-niendo su espectro Y, y construyendo un espectro Ys a partir de X1 y X2.¿Son Y e Ys iguales? ¿Cómo has combinado X1 y X2?

Sí, porque se sigue cumpliendo el principio de superposición, ya que Ys =X1+j*X2 (combinación lineal de los espectros de x1 y x2).

• Observa las simetrías de Y y extrae adecuadas conclusiones.

El módulo de Y tiene simetría par y el argumento de Y tiene simetría impar, esdecir, el espectro posee simetría hermítica. Esto implica que la señal y es real.

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Simetrías de la señal y características de su espec-tro

Ejercicio 3.5• Obtén y representa la señal similar a la de la figura 3.4, empleando los

parámetros A=2, tau=3 y evaluada sobre el soporte temporal-5 ≤ t ≤ 5

• Obtén y representa su espectro. A la vista del espectro: ¿Se trata de unaseñal real? ¿Se trata de una señal par o impar?

Como el espectro posee simetría hermítica, podemos deducir que la señal esreal.

• Obtén y representa la señal similar a la de la figura 3.3 (del ejercicioanterior), empleando los parámetros A= 2, tau=3 y evaluada sobre elsoporte temporal -5 ≤ t ≤ 5

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• Obtén y representa su espectro. A la vista del espectro: ¿Se trata de unaseñal real? ¿Se trata de una señal par o impar?

Es una señal real porque su espectro posee simetría hermítica (módulo pary fase impar), y es una señal par porque su espectro es real y par.

• Repite el ejercicio con un pulso cuadrado de amplitud 2, anchura 2 ycentrado en t=-1, evaluado sobre el soporte temporal -5 ≤ t ≤ 5. A lavista del espectro: ¿Se trata de una señal real? ¿Se trata de una señal paro impar?

Es una señal real porque su espectro posee simetría hermítica (módulo pary fase impar), y es una señal impar porque su espectro es real e impar.

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Relación entre duración temporal y ancho de banda

Ejercicio 3.6• Obtén y representa dos señales, x1 y x2, similares a la de la figura 3.4,

evaluadas sobre el soporte temporal -5 ≤ t ≤ 5, de amplitud A=2, y contau = 1 y 3 respectivamente.

• Obtén y representa sus respectivos espectros, X1 y X2. Identifica lasfrecuencias de los pasos por cero. ¿En qué factor se han modificado losanchos de banda de los espectros? ¿Cómo se relaciona con el factor decambio de la duración de las señales? ¿En cuál de las dos señales (la anchao la estrecha) son más relevantes las componentes de mayores frecuencias?¿Por qué?

Como x2(t)=x1(t/3), X2(f)=3*X1(3f). Al multiplicar por 3 el ancho debanda, la señal x2 dura 3 veces más. En la señal x2 (la ancha) las componentesde mayor frecuencia son menos relevantes porque su módulo se reduce másrápidamente a medida que tomamos frecuencias mayores.

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Traslación temporal y traslación frecuencial

Ejercicio 3.7• Obtén tres señales que sean pulsos rectangulares de anchura 3, evalua-

dos en el soporte temporal-5 ≤ t ≤ 5, y centrados en to=0, 0.1 y 0.2respectivamente. Representa los tres en una misma figura con distintoscolores.

• Obtén y representa los espectros correspondientes por separado. ¿Cómoafecta el desplazamiento temporal al espectro? ¿Cambia el módulo? ¿Cam-bia la fase?

No cambia el módulo, pero la fase se modifica en un término de fase linealadicional (se multiplica por una exponencial compleja en frecuencia).

• Estima el retardo temporal introducido a partir de la pendiente del espec-tro en fase en cada caso. Emplea para ello: Zoom In, Zoom Out y DataCursor.

Se retarda 0.1 y 0.2 segundos respectivamente.

• Crea la siguiente señal evaluada en el soporte temporal -5 ≤ t ≤ 5x(t) = exp(j2πt)Π( t

5 )

• Representa las partes real e imaginaria de la señal. ¿Se trata de una señalreal? ¿Por qué? Obtén y representa el espectro de la señal anterior. ¿Setrata del espectro de una señal real? ¿Cómo se justifica esta respuesta ala vista del espectro?

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x(t) no es real porque su espectro no posee simetría hermítica. X(f) es unaseñal real e impar porque el espectro es real e impar.

• Relaciona el espectro obtenido con el de un pulso rectangular par de an-chura igual a 5. ¿Cómo afecta multiplicar el pulso por una exponencialcompleja?

El espectro se desplaza y se centra en f0=1

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Multiplicación y convolución

Ejercicio 3.8• Crea una función que siga el prototipo: functionz = convolucion(x, y, t)

donde x e y son dos vectores correspondientes a dos señales de entradade igual longitud, y z es el vector de salida correspondiente a la señalconvolución de las señales de entrada. Para ello, emplea las propiedadesde la transformada de Fourier, obtén los espectros X e Y, obtén a partirde ellos el espectro Z, y de ahí la señal z.

• Comprueba el correcto funcionamiento de la función convolucionando dospulsos cuadrados idénticos de amplitud 2, anchura 1 y simetría par, ambosevaluados en el soporte temporal -5 ≤ t ≤ 5. Para ello, compara el espectrode las señales convolucionadas con el espectro que se obtiene de multiplicarlos espectros de las señales individuales.

• Empleando las diversas funciones disponibles, comprueba la propiedad demultiplicación con las siguientes señales:z(t) = cos(4t)Π(t)z(t) = sin(4t)Π(t)z(t) = cos(4t)Λ( t

2 )z(t) = sin(4t)Λ( t

2 )Para ello, esboza previamente el resultado esperado, teniendo en cuentaque:

cos(2πf0t) ⇀↽1

2j(δ(f − f0) + δ(f − f0)

sin(2πf0t) ⇀↽1

2j(δ(f − f0) − δ(f − f0)

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• Interpreta las diferencias entre las cuatro señales expresadas en los espec-tros, tanto en la información del módulo como en la de la fase.

El módulo de las dos primeras coincide, así como el módulo de las dos segundas,pero se diferencian en la fase, ya que el espectro de un seno es el de un cosenomultiplicado por una exponencial compleja de forma exp(−j2πt)

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