Capıtulo 2

Control en espacio deestados

2.0.4. Modelado del motor en espacio de estados

Una alternativa distinta para estudiar el comportamiento del motor nosla presenta la aproximacion basada en espacio de estados.

De acuerdo a ella, se podrıa representar el comportamiento del motorde acuerdo con las siguientes ecuaciones matriciales:

[

ω

i

]

=

[

−BJ

KJ

−KL

−RL

] [

ω

i

]

+

[

01

L

]

Ue(t)

ω =[

1 0]

[

ω

i

]

Un conjunto de valores de los parametros validos para llevar a cabouna simulacion podrıan ser: J = 0, 01,b = 0, 1, K = 0, 01,R = 1,L = 0, 5

Crear en Matlab un modelo de espacio de estados apropiado parasimular el motor

Ejecutar la simulacion mediante el comando step(), usando como en-trada una tension de 10 Voltios

Obtener de la simulacion los parametros que determinan el compor-tamiento del sistema

2.0.5. Diseno del sistema de control

Para controlar el sistema, vamos inicialmente a especificar nuestrosobjetivos, que son: Lograr un tiempo de estabilizacion menor que 2 se-gundos; una sobreoscilacion menor del 5 %; y un error en regimen perma-nente menor del 1 %.

Para disenar un controlador de estado completo, tenemos que medirambos estados. Por lo tanto el sistema fısico tendrıa que disponer de unsensor para la corriente, y un sensor que mida la velocidad a la que gira elmotor. Suponiendo que ambos estan disponibles, no presentan dinamicay tienen ganancia unidad:

10 Control en espacio de estados

Figura 2.1: Esquema de control mediante el uso de realimentacion deestado.

Determinar la posicion en la que tienen que estar los polos del sis-tema para que se verifiquen las condiciones dinamicas impuestas alsistema.

Determinar la matriz de realimentacion de estado que situe ambospolos en dicha posicion.

Como se ve en la figura 2.1, las nuevas ecuaciones tras la aplicaciondel regulador de estado seran:

Ue = ωref − KX

X = AX + BUe

que se pueden simplificar como:

x = AX + B(ωref − KX) == (A − BK)X + Bωref

Simular el nuevo sistema resultante

Analizar el resultado. ¿Se cumplen los valores de tiempos y sobreos-cilacion?

¿Que ocurre con el error en regimen permanente?

El motivo de que la ganancia del sistema realimentado no se aproximea la unidad es que la referencia no se compara con la salida, sino con unacomposicion del vector de estados. Para corregir esta desviacion, se puedeincluir en el sistema una prealimentacion, que corrija la ganancia, de laforma que se muestra en la figura 2.2

Determinar la ganancia a aplicar para corregir el error en regimenpermanente

Simular el sistema con esa ganancia anadida

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Figura 2.2: Esquema de control mediante el uso de realimentacion deestado y una ganancia constante.

2.0.6. Modelado de la posicion del motor

Para estudiar el control de la posicion del motor respecto cuando loque nos interesa es su posicion angular, simplemente necesitamos anadiren el modelo un nuevo estado que represente dicho angulo:

θ

ω

i

=

0 1 00 −B

JKJ

0 −KL

−RL

θ

ω

i

+

001

L

Ue(t)

θ =[

1 0 0]

θ

ω

i

Repetir los pasoso llevados a cabo con el analisis de la velocidad delmotor, incluyendo:

Simulacion de la respuesta del sistema inicial

Ajuste de la realimentacion de estado para lograr: Tiempo de esta-blecimiento menor que 0,04s, sobreoscilacion menor que el 15 %.

Simulacion del sistema regulado y prealimentacion para lograr errorcero.

2.0.7. Modelado de una perturbacion y control integral

Para estudiar el efecto de una par de perturbacion sobre el sistema, sepuede estudiar este como una nueva entrada al sistema:

θ

ω

i

=

0 1 00 −B

JKJ

0 −KL

−RL

θ

ω

i

+

0 00 1

J1

L0

[

Ue(t)Tp(t)

]

12 Control en espacio de estados

Figura 2.3: Esquema de control mediante el uso de realimentacion deestado integral.

θ =[

1 0 0]

θ

ω

i

¿Como podemos simular la respuesta del sistema bajo control cuandose produce una perturbacion en el par? Para ello debemos simular unsistema, cuya matriz Ac sea la que se diseno en la etapa de control Ac =A − BuK. siendo Bu el vector correspondiente a la entrada de tension. Lamatriz Bc para la simulacion sera el vector correspondiente a la entrada

perturbacion: Bc =

01

J

0

y la matriz Cc la del sistema original Cc = C.

Calcular la respuesta del sistema ante una perturbacion unidad.

¿Es aceptable la respuesta del sistema?¿Tiene efecto en regimen per-manente dicha perturbacion?

Para implementar un regulador integral lo que hacemos es anadir unnuevo estado que sea la integral de la posicion, tal y como se muestraen la figura 2.3. Las ecuacioens del sistema ampliado en cadena abiertaseran:

θ

θ

ω

i

=

0 1 0 00 0 1 00 0 −B

JKJ

0 0 −KL

−RL

∫

θ

θ

ω

i

+

0 0 −10 0 00 1

J0

1

L0 0

Ue(t)Tp(t)r(t)

θ =[

0 1 0 0]

∫

θ

θ

ω

i

Para llevar a cabo el control de este sistema procedemos con los mis-mos pasos que siempre:

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Disenar la matriz de realimentacion. Para ellos se seleccionara laposicion de los 4 polos y se tendran en cuenta las matrices A y Bu

(vector de B correspondiente a la entrada Ue.

Simular la respuesta ante una entrada. Usando para ello las matricesAc = A− BuC, Bc = Br y Cc = C.

Simular la respuesta del sistema ante un par de perturbacion. Usarpara ello las matrices Ac = A− BuC, Bc = Bp y Cc = C