práctica: práctica domiciliaria ciclo: repaso san marcos

Práctica: Práctica domiciliaria Curso: Álgebra Ciclo: Repaso San Marcos

1

Problema 1: Si se cumple que

24325𝑥−1= 3

5 53 𝑥+3

Halle el valor de 5𝑥 2.

Resolución:

En la ecuación, elevamos ambos miembros a la quinta,

es decir:

24325𝑥−1

5= 3

5 53 𝑥+3

5

→ 2435.25𝑥−1= 3

5 5 53 𝑥+3

→ 243 35

5.52(𝑥−1)= 3 5

3 𝑥+3

→ 35 5.52𝑥−2= 35

𝑥+33

Luego, operamos en el primer miembro nos queda:

→ 351+1+2𝑥−2= 35

𝑥+33

Comparando, tenemos:

1 + 1 + 2𝑥 − 2 =𝑥 + 3

3

→ 3 2𝑥 = 3 𝑥 + 3

3

6𝑥 = 𝑥 + 3 → 6𝑥 − 𝑥 = 3

De donde:

5𝑥 = 3

Finalmente, nos piden el valor de 5𝑥 2

∴ 5𝑥 2 = 9

Rpta: Clave B


𝑥𝑥𝑥

𝑥= 3

1−1

33

Calcule el valor de 𝑥−1

𝑥 .

Resolución:

Trabajando en el dato:

𝑥𝑥𝑥

𝑥= 3

1−1

33

→𝑥𝑥

𝑥

𝑥= 3

1− 13

33

→𝑥𝑥

𝑥

𝑥1 = 31− 1

33

→ 𝑥𝑥𝑥−1 = 3

1− 13

3

Operamos en el segundo miembro de manera

conveniente, tenemos:

𝑥𝑥𝑥−1 = 3

(−1) 13

3−1

→ 𝑥𝑥𝑥−1 = 3−1

13

3−1

→ 𝑥𝑥𝑥−1 =

1

3

13

13−1

Comparamos: 𝑥 =1

3 →

1

𝑥= 3

Finalmente, el valor de: 𝑥−1

𝑥 es:

𝑥−1𝑥 = 𝑥 −1 .

1𝑥 = 𝑥−1

1𝑥 → 𝑥

−1𝑥 =

1

𝑥

1𝑥

= 33

∴ 𝑥−1𝑥 = 27

Rpta: Clave A


2

Problema 3: Dado el polinomio completo y ordenado

𝑃(𝑥) = 𝑎 − 2 𝑥𝑐+2 + 𝑏 + 2 𝑥𝑏+3 + 2 − 𝑐 𝑥𝑎 + 2

Halle la suma de coeficientes del polinomio.

Resolución:

Recuerde que un polinomio es completo y ordenado, si

presenta todos sus términos, desde el término

principal hasta el término independiente.

Por ejemplo el polinomio

𝑃(𝑥) = 5𝑥3 + 6𝑥2 + −4 𝑥 + 1

es un polinomio completo y ordenado de grado 3.

Como el polinomio

𝑃(𝑥) = 𝑎 − 2 𝑥𝑐+2 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙

𝑜𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑜

+ 𝑏 + 2 𝑥𝑏+3 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜

𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟 á𝑡𝑖𝑐𝑜

+ 2 − 𝑐 𝑥𝑎 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙

+ 2 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜

𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

es completo y ordenado (decreciente), entonces

𝑎 = 1 ; 𝑏 + 3 = 2 ; 𝑐 + 2 = 3

→ 𝑎 = 1 ; 𝑏 = −1 ; 𝑐 = 1

Así el polinomio 𝑃(𝑥), es:

𝑃(𝑥) = 𝑎 − 2 𝑥𝑐+2 + 𝑏 + 2 𝑥𝑏+3 + 2 − 𝑐 𝑥𝑎 + 2

→ 𝑃(𝑥) = 1 − 2 𝑥1+2 + −1 + 2 𝑥−1+3 + 2 − 1 𝑥1 + 2

→ 𝑃(𝑥) = −1𝑥3 + 1𝑥2 + 1𝑥 + 2

Luego, la suma de coeficientes del polinomio es

𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 = −1 + 1 + 1 + 2

∴ 𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 = 3

Rpta: Clave B

Problema 4: Si 𝑃(𝑥) =𝑥+1

𝑥−1 , determine el valor de la

siguiente expresión

𝑃 𝑃(2) 2 + 𝑃

𝑃 3 2 + …… . . +𝑃(𝑃(10))

2

Resolución:

Analizamos el polinomio: 𝑃(𝑥) =𝑥+1

𝑥−1

Cambiamos la variable: 𝑥 <>𝑥+1

𝑥−1

Luego:

𝑃 𝑥+1𝑥−1

=

𝑥 + 1𝑥 − 1

+ 1

𝑥 + 1𝑥 − 1

− 1=

𝑥 + 1 + (𝑥 − 1)𝑥 − 1

𝑥 + 1 − (𝑥 − 1)𝑥 − 1

→ 𝑃 𝑥+1𝑥−1

=

𝑥 + 1 + 𝑥 − 1𝑥 − 1

𝑥 + 1 − 𝑥 + 1𝑥 − 1

=

2𝑥𝑥 − 1

2𝑥 − 1

→ 𝑃 𝑥+1𝑥−1

=2𝑥

2 → 𝑃

𝑥+1𝑥−1

= 𝑥

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑃(𝑥) =𝑥+1

𝑥−1 → 𝑃 𝑃(𝑥)

= 𝑥

Elevamos al cuadrado 𝑃 𝑃(𝑥) 2 = 𝑥2

→ 𝑃 𝑃(2) 2 = 22 ; 𝑃

𝑃(3) 2 = 32 ;…… 𝑃

𝑃(10) 2 = 102

Finalmente, el valor de S es:

𝑆 = 𝑃 𝑃(2) 2

22

+ 𝑃 𝑃(3) 2

32

+ ……… . +𝑃 𝑃(10) 2

102

→ 𝑆 = 1 + 22 + 32 + 42 + ……+ 102 − 1

𝑆 = 12 + 22 + 32 + ……… . . +102 − 12

→ 𝑆 =10 10 + 1 2 10 + 1

6− 1

∴ 𝑆 = 385 − 1 = 384

Rpta: Clave D


3


𝐴 𝐵 𝑥+2 +3𝑥 = 4𝑥 + 6 ….(*)

𝐴(2𝑥) = 4𝑥 + 4 ….(**)

Determine el valor de 𝐵(5).

Resolución:

En (*) hacemos 𝑥 = 3:

𝐴 𝐵 3+2 +3(3) = 4 3 + 6

→ 𝐴 𝐵 5 +9 = 12 + 6 → 𝐴 𝐵 5 +9 = 18

En (**) escribimos adecuadamente

𝐴(2𝑥) = 2(2𝑥) → 𝐴(𝑥) = 2𝑥 + 4

Luego: 𝐴 𝐵 5 +9 18

= 2 𝐵 5 + 9 + 4

→ 2 𝐵(5) + 9 + 4 = 18

→ 2𝐵(5) + 18 + 4 = 18 → 2𝐵(5) + 4 = 0

→ 2𝐵(5) = −4

∴ 𝐵(5) = −2

Rpta: Clave E

Problema 6: Sea 𝑃 una expresión matemática de modo

que

𝑃(𝑛) = 𝑎 + 𝑏 2𝑛 + −1 𝑛 . 𝑎 − 𝑏 2𝑛

Determine el valor de 𝑎

𝑏+

𝑏

𝑎 si se cumple que

𝑃(2) = 𝑃(1) 2

. Considere que 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 0.

Resolución:

Como 𝑃 𝑛 = 𝑎 + 𝑏 2𝑛 + −1 𝑛 . 𝑎 − 𝑏 2𝑛

Entonces:

Si 𝑛 = 1 tenemos:

𝑃 1 = 𝑎 + 𝑏 2(1) + −1 1. 𝑎 − 𝑏 2(1)

→ 𝑃 1 = 𝑎 + 𝑏 2 − 𝑎 − 𝑏 2

→ 𝑃 1 = 4𝑎𝑏

Si 𝑛 = 2 tenemos:

𝑃(2) = 𝑎 + 𝑏 2 2 + −1 2 . 𝑎 − 𝑏 2 2

→ 𝑃 2 = 𝑎 + 𝑏 4 + 𝑎 − 𝑏 4

De la condición del problema: 𝑃 2 = 𝑃(1) 2

Luego: 𝑎 + 𝑏 4 + 𝑎 − 𝑏 4 = 4𝑎𝑏 2

→ 𝑎 + 𝑏 2 2 + 𝑎 − 𝑏 2 2 = 𝑎 + 𝑏 2 − 𝑎 − 𝑏 2 2

Hacemos 𝑎 + 𝑏 2 = 𝑚 𝑦 𝑎 − 𝑏 2 = 𝑛, entonces:

𝑚2 + 𝑛2 = 𝑚 − 𝑛 2

→ 𝑚2 + 𝑛2 = 𝑚2 − 2𝑚𝑛 + 𝑛2

→ 0 = −2𝑚𝑛 → 𝑚𝑛 = 0

Es decir: 𝑎 + 𝑏 2 𝑎 − 𝑏 2 = 0

→ 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 2 = 0 → 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 0

Como 𝑎 ≠ 𝑏 entonces 𝑎 − 𝑏 ≠ 0, luego:

𝑎 + 𝑏 = 0 → 𝑎 = −𝑏

Finalmente:

𝑎

𝑏+𝑏

𝑎=−𝑏

𝑏+

𝑏

−𝑏= −1 + −1

∴ 𝑎

𝑏+𝑏

𝑎= −2

Rpta: Clave C


4

Problema 7: Simplifique la expresión F donde

𝐹 𝑎 =1

1 + 𝑎+

2

1 + 𝑎2 +4

1 + 𝑎4 −8

1 − 𝑎8 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠

Resolución:

Reducimos la expresión 𝐹:

1

1 − 𝑎+ 𝐹 𝑎 =

1

1 − 𝑎+

1

1 + 𝑎 +

2

1 + 𝑎2+

4

1 + 𝑎4−

8

1 − 𝑎8

→1

1 − 𝑎+ 𝐹 𝑎 =

1 + 𝑎 + 1 − 𝑎

1 − 𝑎 1 + 𝑎 +

2

1 + 𝑎2+

4

1 + 𝑎4−

8

1 − 𝑎8

→1

1 − 𝑎+ 𝐹 𝑎 =

2

1 − 𝑎2 +2

1 + 𝑎2 +

4

1 + 𝑎4 −8

1 − 𝑎8

→1

1 − 𝑎+ 𝐹 𝑎 =

2 1 + 𝑎2 + 2 1 − 𝑎2

1 − 𝑎2 1 + 𝑎2 +

4

1 + 𝑎4−

8

1 − 𝑎8

→1

1 − 𝑎+ 𝐹 𝑎 =

2 + 2𝑎2 + 2 − 2𝑎2

1 − 𝑎2 1 + 𝑎2 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠

+4

1 + 𝑎4 −8

1 − 𝑎8

→1

1 − 𝑎+ 𝐹 𝑎 =

4

1 − 𝑎4+

4

1 + 𝑎4 −

8

1 − 𝑎8

→1

1 − 𝑎+ 𝐹 𝑎 =

4 1 + 𝑎4 + 4 1 − 𝑎4

1 − 𝑎4 1 + 𝑎4 −

8

1 − 𝑎8

→1

1 − 𝑎+ 𝐹 𝑎 =

4 + 4𝑎2 + 4 − 4𝑎2

1 − 𝑎4 1 + 𝑎4 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠

−8

1 − 𝑎8

→1

1 − 𝑎+ 𝐹 𝑎 =

8

1 − 𝑎8 −8

1 − 𝑎8 0

Finalmente:

1

1−𝑎+ 𝐹 𝑎 = 0 → 𝐹 𝑎 = −

1

1−𝑎

∴ 𝐹 𝑎 =1

𝑎−1

Rpta: Clave A


𝑥 = 4 + 15 + 4 − 15

Determine el valor de

𝑥 + 1 𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑥2 − 𝑥 + 1

De cómo respuesta la suma de cifras del resultado.

Resolución:

Como 𝑥 = 4 + 15 + 4 − 15

→ 𝑥2 = 4 + 15 + 4 − 15

2

→ 𝑥2 = 4 + 15

2

+ 2 4 + 15. 4 − 15 + 4 − 15

2

→ 𝑥2 = 4 + 15 + 2. 4 + 15. 4 − 15 + 4 − 15

→ 𝑥2 = 8 + 2. 42 − 152→ 𝑥2 = 8 + 2 16 − 15

→ 𝑥2 = 8 + 2 1 → 𝑥2 = 8 + 2(1) → 𝑥2 = 10

Finalmente:

𝐽 = 𝑥 + 1 𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑥2 − 𝑥 + 1

→ 𝐽 = 𝑥 + 1 𝑥2 − 𝑥 + 1 𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 + 1

→ 𝐽 = 𝑥3 + 1 𝑥3 − 1 → 𝐽 = 𝑥6 − 1

Entonces 𝐽 = 𝑥2 3 − 1 = 103 − 1

→ 𝐽 = 1000 − 1 → 𝐽 = 999

Por tanto la suma de cifras del resultado es:

9 + 9 + 9 = 27

Rpta: Clave B


5

Problema 9: Si el resto de la división

𝑥 + 2 18 + 𝑥 + 1 11 + 𝑎𝑥 + 𝑏

𝑥2 + 3𝑥 + 2

es 𝑅 𝑥 = 1, calcule el valor de 𝑎 𝑏 .

Resolución:

Por identidad fundamental de la división tenemos:

𝐷 𝑥 ≡ 𝑑 𝑥 𝑞 𝑥 + 𝑅 𝑥

Luego:

𝑥 + 2 18 + 𝑥 + 1 11 + 𝑎𝑥 + 𝑏 ≡ 𝑥2 + 3𝑥 + 2 𝑥+2 𝑥+1

𝑞 𝑥 + 1

→ 𝑥 + 2 18 + 𝑥 + 1 11 + 𝑎𝑥 + 𝑏 ≡ 𝑥 + 2 𝑥 + 1 𝑞 𝑥 + 1

Ahora damos valores a la variable x de manera adecuada.

𝑥 = −2 reemplazamos:

−2 + 2 18 + −2 + 1 11 + 𝑎 −2 + 𝑏 ≡

−2 + 2 −2 + 1 𝑞 −2 + 1

→ 018 + −1 11 − 2𝑎 + 𝑏 ≡ 0 −1 𝑞 −2 + 1

→ −1 − 2𝑎 + 𝑏 ≡ 0 + 1 → 𝑏 − 2𝑎 = 2… . ∗

𝑥 = −1 reemplazamos:

−1 + 2 18 + −1 + 1 11 + 𝑎 −1 + 𝑏 ≡

−1 + 2 −1 + 1 𝑞 −1 + 1

→ 118 + 011 − 𝑎 + 𝑏 ≡ 1 (0)𝑞 −1 + 1

→ 1 − 𝑎 + 𝑏 ≡ 1 → 𝑏 − 𝑎 = 0 … ∗∗

Luego, de las ecuaciones ∗ y ∗∗ , tenemos:

𝑏 − 2𝑎 = 2 𝑦 𝑏 − 𝑎 = 0 → 𝑏 = 𝑎

𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑎

𝑏=𝑎

𝑎= 1

Rpta: Clave C

Problema 10: Determine le término cuadrático de un

polinomio de tercer grado que sea divisible por 𝑥 + 1 y

que la suma de coeficientes sea 42; además, el termino

independiente es 10.

Resolución:

Sea 𝑃 𝑥 un polinomio de tercer grado:

𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 ; 𝑎 ≠ 0

Se tiene:

𝑃 𝑥 es divisible por 𝑥 + 1 , es decir la

división de 𝑃 𝑥 entre 𝑥 + 1 es exacta,

luego: 𝑃 𝑥

𝑥 + 1 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎

Luego: 𝑟(𝑥) = 𝑃(−1) = 0

→ −𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 = 0……… ∗

La suma de coeficientes es 42: 𝑃(1) = 42

→ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 42…… . . ∗∗

El término independiente es 10: 𝑃(0) = 10

→ 𝑑 = 10 ……… . ∗∗∗

Luego, de las expresiones ∗ ; ∗∗ y ∗∗∗ tenemos:

−𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 = 0 → 𝑏 + 𝑑 = 𝑎 + 𝑐 … 𝛼

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 42…… . 𝛽

𝑑 = 10………… . 𝛾

Reemplazamos (𝛼) y (𝛾) en (𝛽):

𝑏 + 𝑑 + 𝑏 + 𝑑 = 42 → 2 𝑏 + 𝑑 = 42

→ 𝑏 + 10 = 21 → 𝑏 = 11

Luego, el término cuadrático de 𝑃(𝑥) es: 𝑏𝑥2 = 11𝑥2

Rpta: Clave C


6

Problema 11: Sea 𝑃(𝑥) un polinomio que verifica lo

siguiente:

𝑃(𝑥)

𝑥−1 deja resto 𝑅1(𝑥) = 6

𝑃(𝑥)

𝑥2+𝑥+1 deja resto 𝑅2(𝑥) = 2𝑥 + 1

Halle el resto de 𝑃(𝑥) ÷ 𝑥3 − 1 .

Resolución:

Del primer dato, por el teorema del resto:

𝑅1 𝑥 = 𝑃 1 → 6 = 𝑃 1

Del segundo dato, por el teorema del resto:

𝑅2 𝑥 = 𝑃 𝑉.𝐶 → 2𝑥 + 1 = 𝑃 𝑉.𝐶

Observación: Por el teorema del resto

𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0 → 𝑥2 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

= −𝑥 − 1

Ahora vamos a encontrar el resto de la división

𝑃 𝑥 ÷ 𝑥3 − 1 :

Por la identidad fundamental de la división:

𝐷 𝑥 ≡ 𝑑 𝑥 .𝑞 𝑥 + 𝑅 𝑥

→ 𝑃 𝑥 ≡ 𝑥3 − 1 .𝑞 𝑥 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

→ 𝑃 𝑥 ≡ 𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 + 1 .𝑞 𝑥 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Asignamos valores a la variable de manera adecuada:

𝑥 = 1: 𝑃 1 = 1 − 1 12 + 1 + 1 .𝑞 1 + 𝑎 1 2 + 𝑏 1 + 𝑐

→ 𝑃 1 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 → 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 6… . . 𝛼

𝑥 <> 𝑉.𝐶 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 , reemplazamos:

𝑃 𝑥2+𝑥+1 = 𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 + 1 0

. 𝑞 𝑥 + 𝑎 𝑥2 −𝑥−1

+ 𝑏𝑥 + 𝑐

→ 2𝑥 + 1 = 𝑎 −𝑥 − 1 + 𝑏𝑥 + 𝑐

→ 2𝑥 + 1 = −𝑎𝑥 − 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐

→ 2𝑥 + 1 = 𝑏 − 𝑎 𝑥 + 𝑐 − 𝑎

Comparando tenemos:

2 = 𝑏 − 𝑎……… . 𝛽

1 = 𝑐 − 𝑎……… . . 𝛾

De 𝛼 ; 𝛽 y 𝛾 :

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 6𝑏 − 𝑎 = 2𝑐 − 𝑎 = 1

De la segunda y tercera ecuación:

𝑏 = 𝑎 + 2 ∧ 𝑐 = 𝑎 + 1

Reemplazamos en la primera ecuación:

𝑎 + 𝑎 + 2 + 𝑎 + 1 = 6

→ 3𝑎 + 3 = 6 → 3𝑎 = 3 → 𝑎 = 1

Reemplazando en las ecuaciones anteriores:

𝑏 = 1 + 2 ∧ 𝑐 = 1 + 1

→ 𝑏 = 3 ∧ 𝑐 = 2

Finalmente nos piden el resto de la división

𝑃 𝑥 ÷ 𝑥3 − 1 el cual es: 𝑅 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

∴ 𝑅 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 + 2

Rpta: Clave D

Problema 12: Si el tercer término del cociente notable

generado por la división

𝑥6𝑎 − 𝑦21𝑎

𝑥2 − 𝑦7

tiene grado absoluto 44, halle el valor de 𝑎.

Resolución:

La división que genera cociente notable es:


7

𝑥6𝑎 − 𝑦21𝑎

𝑥2 − 𝑦7

Damos forma a la división:

𝑥2 3𝑎 − 𝑦7 3𝑎

𝑥2 − 𝑦7

Donde:

𝑥2 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒

𝑦7 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒

Ahora como el tercer término de este cociente notable

tiene grado absoluto 44, empleamos la propiedad:

𝑡𝑘 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑘

= 𝑥𝑛−𝑘𝑦𝑘−1

Donde:

𝑥 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒

𝑦 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒

Hacemos 𝑘 = 3, y tenemos:

𝑡3 = 𝑥2 3𝑎−3 𝑦7 3−1 → 𝑡3 = 𝑥6𝑎−6𝑦14

Como: 𝐺.𝐴 𝑡3 = 44𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜

→ 6𝑎 − 6 + 14 = 44

→ 6𝑎 + 8 = 44 → 6𝑎 = 36 → 𝑎 = 6

Finalmente, el valor de 𝑎 es 6.

Rpta: Clave C

Problema 13: Reduzca la siguiente expresión.

1 − 22 + 24 − 26 + …… . +220

3 + 2 + 22 + 23 + … . . +221

Resolución:

Nota: De los cocientes notables, sabemos que

𝑥4 − 𝑦4

𝑥 − 𝑦= 𝑥3 + 𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2 + 𝑦3

Si 𝑥 = 2 y 𝑦 = 1, tenemos:

24 − 14

2 − 1= 23 + 22 1 + 2 12 + 13

De donde:

1 + 2 + 22 + 23 =24 − 1

2 − 1

Calculemos por separado el numerador y el

denominador respectivamente.

Sea 𝑁 = 1 − 22 + 24 − 26 + …… . . +220

→ 𝑁 = 1 − 22 + 22 2 − 22 3 + …… . + 22 10

→ 𝑁 = 22 10+1 + 1

22 + 1 → 𝑁 =

22 11 + 1

5

→ 𝑁 =222 + 1

5

Sea 𝐷 = 3 + 2 + 22 + 23 + ……+ 221

→ 𝐷 = 2 + 1 + 2 + 22 + 23 + …… . +221 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

→ 𝐷 = 2 +221+1 − 1

2 − 1 → 𝐷 = 2 +

222 − 1

1

→ 𝐷 = 2 + 222 − 1 → 𝐷 = 222 + 1

Finalmente:

𝐽 =1 − 22 + 24 − 26 + …… . +220

3 + 2 + 22 + 23 + ……+ 221

𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜, 𝐽 =𝑁

𝐷 → 𝐽 =

222 + 15

222 + 1 → 𝐽 =

222 + 1

5 222 + 1

∴ 𝐽 =1

5

Rpta: Clave D


8

Problema 14: Si 𝑓(𝑥) es un factor primo del

polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑎 + 1 𝑥2 + 3𝑎 + 1 𝑥 + 2𝑎 − 2

tal que 𝑓(1) = 4, calcule el valor de 𝑎.

Resolución:

El polinomio es:

𝑃(𝑥) = 𝑎 + 1 𝑥2 + 3𝑎 + 1 𝑥 + 2𝑎 − 2

Factorizamos el polinomio cuadrático por aspa simple:

𝑎 + 1 𝑥2 + 3𝑎 + 1 𝑥 + 2 𝑎 − 1

→ 𝑃 𝑥 = 𝑎 + 1 𝑥 + 𝑎 − 1 𝑥 + 2 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠

𝑓 𝑥 es un factor primo del polinomio 𝑃 𝑥 ,

entonces 𝑓 𝑥 = 𝑎 + 1 𝑥 + 𝑎 − 1

Además, 𝑓 1 𝑎+1 1 + 𝑎−1

= 4

→ 𝑎 + 1 1 + 𝑎 − 1 = 4

→ 𝑎 + 1 + 𝑎 − 1 = 4 → 2𝑎 = 4 → 𝑎 = 2

Ó

𝑁ò𝑡𝑒𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 𝑛𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 pues :

𝑠𝑖 𝑓 1 1 +2

= 4 → 3 = 4 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜.

Luego, el valor de 𝑎 es: 𝑎 = 2

Rpta: Clave B

Problema 15: Indique el número de factores primos

que presenta el siguiente polinomio:

𝑆(𝑥;𝑦) = 𝑥3 + 𝑦3 3 − 𝑥9 − 𝑦9

Resolución:

Recordar:

Tenemos:

𝑆 𝑥;𝑦 = 𝑥3 + 𝑦3 3 − 𝑥9 − 𝑦9

→ 𝑆 𝑥 ;𝑦 = 𝑥3 3 + 𝑦3 3 + 3𝑥3𝑦3 𝑥3 + 𝑦3 − 𝑥9 − 𝑦9

→ 𝑆 𝑥;𝑦 = 𝑥9 + 𝑦9 + 3𝑥3𝑦3 𝑥3 + 𝑦3 − 𝑥9 − 𝑦9

→ 𝑆 𝑥;𝑦 = 3𝑥3𝑦3 𝑥3 + 𝑦3 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑏𝑜𝑠

Luego de aplicar la suma de cubos, obtenemos:

𝑆 𝑥 ;𝑦 = 3𝑥3𝑦3 𝑥 + 𝑦 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2

→ 𝑆 𝑥;𝑦 = 3 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑥3𝑦3 𝑥 + 𝑦 𝑥3 − 𝑥𝑦 + 𝑦3 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠

Finalmente, 𝑆 𝑥 ;𝑦 presenta 4 factores primos.

Rpta: Clave B

Problema 16: Si -2 es una raíz del polinomio

𝑃(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 + 𝑚𝑥 + 2 𝑦 𝑆(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

es la suma de los factores primos, calcule el valor de

𝑆(2).

Resolución:

Como −2 es una raíz del polinomio 𝑃 𝑥 se cumple:

𝑎 + 1 𝑥

𝑥

𝑎 − 1

2

𝑎 + 𝑏 3 = 𝑎3 + 𝑏3 + 3𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏

Desarrollo de un binomio al cubo

𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎 + 𝑏 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2

Suma de cubos


9

𝑃 −2 = 0 → 2 −2 3 + −2 2 + 𝑚 −2 + 2 = 0

→ 2 −8 + 4 − 2𝑚 + 2 = 0

→ −16 + 4 − 2𝑚 + 2 = 0

→ −10 = 2𝑚 → 𝑚 = −5

Luego, el polinomio es:

𝑃 𝑥 = 2𝑥3 + 𝑥2 + 𝑚𝑥 + 2

→ 𝑃 𝑥 = 2𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥 + 2

Aplicamos el método de los divisores binómicos para

factorizar 𝑃 𝑥 . Por propiedad, 1 𝑦 − 1 siempre son

posibles raíces racionales es decir:

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1: 𝑃 1 = 2 1 3 + 1 2 − 5 1 + 2

→ 𝑃 1 = 0

Luego, 1 es una raíz del polinomio 𝑃 𝑥 , por el

teorema del factor tenemos que:

𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑄 𝑥 ……… . ∗

El polinomio no constante 𝑄 𝑥 se halla de la siguiente

división:

𝑄 𝑥 =𝑃 𝑥

𝑥 − 1

Hallamos el polinomio 𝑄 𝑥 empleando la regla de

Paolo Ruffini:

Luego, el polinomio 𝑄 𝑥 es: 𝑄 𝑥 = 2𝑥2 + 3𝑥 − 2

Reemplazando en la expresión ∗ :

𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑄 𝑥

→ 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1 2𝑥2 + 3𝑥 − 2

→ 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥 + 2 2𝑥 − 1

→ 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥 + 2 2𝑥 − 1 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠

Como 𝑆 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 representa la suma de factores

primos del polinomio 𝑃 𝑥 , entonces:

𝑆 𝑥 = 𝑥 − 1 + 𝑥 + 2 + 2𝑥 − 1

→ 𝑆 𝑥 = 4𝑥 + 0 𝑎𝑥+𝑏

Comparando: 𝑎 = 4 ∧ 𝑏 = 0

De donde: 𝑆 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏

→ 𝑆 𝑥 = 4𝑥 + 0 → 𝑆 𝑥 = 4𝑥

∴ 𝑆 2 = 8

Rpta: Clave D

Problema 17: Si la ecuación en 𝑥

𝑛2𝑥 + 1 = 𝑥 + 𝑛 , tiene conjunto soluciòn 𝐶.𝑆 = ∅,

calcule el valor de 𝑛.

Resolución:

Como la ecuación tiene incógnita 𝑥, escribimos:

𝑛2𝑥 − 𝑥 = 𝑛 − 1 → 𝑛2 − 1 𝑥 = 𝑛 − 1

Si el conjunto solución es: 𝐶𝑆 = ∅, debe cumplirse:

𝑛2 − 1 = 0 ∧ 𝑛 − 1 ≠ 0

→ 𝑛 + 1 𝑛 − 1 = 0 ∧ 𝑛 − 1 ≠ 0

→ 𝑛 + 1 = 0 → 𝑛 = −1

∴ 𝑛 = −1

Rpta: Clave A

1

2 1 −5 2

2

2

3

3

−2

−2

0

+


10

Problema 18: Al resolver la ecuación lineal

𝑚

𝑛𝑥 +

𝑛

𝑚𝑥 =

𝑚−𝑛 2

𝑚𝑛𝑥 − 2𝑥 + 12 ; 𝑚𝑛 ≠ 0

se obtiene conjunto solución 𝐶𝑆 = 𝛼 .

Calcule el valor de: 𝛼 + 1 𝛼2 − 𝛼 + 1

Resolución:

Tenemos: 𝑚

𝑛𝑥 +

𝑛

𝑚𝑥 =

𝑚−𝑛 2

𝑚𝑛𝑥 − 2𝑥 + 12

→ 𝑥 𝑚

𝑛+𝑛

𝑚 −

𝑚 − 𝑛 2

𝑚𝑛𝑥 + 2𝑥 = 12

→ 𝑥 𝑚2 + 𝑛2

𝑚𝑛 −

𝑚 − 𝑛 2

𝑚𝑛𝑥 + 2𝑥 = 12

→ 𝑥 𝑚2 + 𝑛2 − 𝑚 − 𝑛 2

𝑚𝑛+ 2 = 12

→ 𝑥 𝑚2 + 𝑛2 − 𝑚2 − 2𝑚𝑛 + 𝑛2

𝑚𝑛+ 2 = 12

→ 𝑥 𝑚2 + 𝑛2 −𝑚2 + 2𝑚𝑛 − 𝑛2

𝑚𝑛+ 2 = 12

→ 𝑥 2𝑚𝑛

𝑚𝑛+ 2 = 12 → 𝑥 2 + 2 = 12

→ 4𝑥 = 12 → 𝑥 = 3

→ 𝐶𝑆 = 3

Como 𝐶𝑆 = 𝛼 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝛼 = 3.

Finalmente: 𝛼 + 1 𝛼2 − 𝛼 + 1 = 𝛼3 + 1

→ 𝛼 + 1 𝛼2 − 𝛼 + 1 = 3 3 + 1

∴ 𝛼 + 1 𝛼2 − 𝛼 + 1 = 28

Rpta: Clave C

Problema 19: Un laboratorio de Matemática puede

ser utilizado por 38 alumnos al mismo tiempo. El

laboratorio tiene 16 mesas de trabajo, algunas

configuradas para 2 computadoras y otras para 3. Si

cada computadora es utilizada por un solo alumno,

¿cuántas mesas de trabajo existen de cada tipo, en ese

orden?

Resolución:

Sea: 𝒙, Cantidad de mesas configuradas para dos

computadoras.

Sea: 𝒚, Cantidad de mesas configuradas para tres

computadoras.

Como se tienen 16 mesas de trabajo, entonces:

𝑥 + 𝑦 = 16

Elaboramos un cuadro de doble entrada:

Cantidad de

mesas

Para 2 computadoras

Para 3 computadoras

Total

Por Unidad

X y 16

En total

2x 3y 38

Del cuadro deducimos que:

𝑥 + 𝑦 = 16

2𝑥 + 3𝑦 = 38 →

𝑥 = 16 − 𝑦… . . 𝛼

2𝑥 + 3𝑦 = 38 …… . 𝛽

Reemplazando 𝛼 en 𝛽 :

2 16 − 𝑦 + 3𝑦 = 38

→ 32 − 2𝑦 + 3𝑦 = 38 → 𝑦 = 6

Reemplazando en 𝛼 : 𝑥 = 16 − 6 → 𝑥 = 10

Finalmente, la cantidad de mesas de trabajo que

existen de cada tipo, es: 𝑥 = 10 ∧ 𝑦 = 6

Rpta: Clave B


11

Problema 20: Determine el menor valor de 𝑝 en la

ecuación 𝑥2 − 𝑝𝑥 + 8 = 0, para que la diferencia de

sus raíces sea 2.

Resolución:

Sean 𝑥1 y 𝑥2 raíces de la ecuación cuadrática

1 𝑎

𝑥2 + −𝑝 𝑏

𝑥 + 8 𝑐

= 0

Como la diferencia de raíces es 2, entonces:

𝑥1 − 𝑥2 = 2

Aplicamos el teorema de Cardano :

Suma de raíces: 𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏

𝑎

→ 𝑥1 + 𝑥2 = −−𝑝

1 → 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑝

Producto de raíces: 𝑥1𝑥2 =𝑐

𝑎

→ 𝑥1𝑥2 =8

1 → 𝑥1𝑥2 = 8

Aplicamos identidad de Legendre:

𝑥1 + 𝑥2 2 − 𝑥1 − 𝑥2

2 = 4𝑥1𝑥2

Luego: 𝑝 2 − 2 2 = 4 8

→ 𝑝2 − 36 = 0

→ 𝑝 + 6 𝑝 − 6 = 0

→ 𝑝 + 6 = 0 ∨ 𝑝 − 6 = 0

→ 𝑝 = −6 ∨ 𝑝 = 6

∴ 𝐸𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝 𝑒𝑠 − 6

Rpta: Clave E

Problema 21: Después de resolver la ecuación

𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐2 = 0 ; 𝑎; 𝑏; 𝑐 ⊂ 𝑅

podemos afirmar que las raíces son …

Resolución:

Como el polinomio cuadrático no es factorizable,

analizamos su discriminante, para ello trabajamos en la

ecuación:

1 𝑎

𝑥2 + −2𝑎 𝑏

𝑥 + 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐2 𝑐

= 0

El discriminante: ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐

Reemplazamos: ∆= −2𝑎 2 − 4 1 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐2

→ ∆= 4𝑎2 − 4𝑎2 + 4𝑏2 + 4𝑐2

→ ∆= 4𝑏2 + 4𝑐2 → ∆= 4 𝑏2 + 𝑐2 𝑛𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

Luego, ∆≥ 0 es decir:

∆> 0 𝑟𝑎 í𝑐𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠𝑦 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

∨ ∆= 0 𝑟𝑎 í𝑐𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠

Finalmente, concluimos que las raíces de la ecuación

cuadrática siempre son reales.

Rpta: Clave A

Problema 22: En la ecuación cuadrática

𝑎𝑥2 − 𝑎𝑥 + 𝑥 + 𝑏 = 0 , se sabe que la suma de la

suma de raíces y el producto de raíces es la unidad.

Halle la ecuación cuyo 𝐶.𝑆 = −𝑏 .

Resolución:

La ecuación cuadrática es:

𝑎𝑥2 − 𝑎𝑥 + 𝑥 + 𝑏 = 0

→ 𝑎 𝑎

𝑥2 + 1 − 𝑎 𝑏

𝑥 + 𝑏 𝑐

= 0


12

Sean 𝑥1; 𝑥2 raices de la ecuación cuadrática, por

teorema de Cardano se cumple:

Suma de raíces: 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏

𝑎

→ = − 1 − 𝑎

𝑎 → 𝑥1 + 𝑥2 =

𝑎 − 1

𝑎

𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑎ì𝑐𝑒𝑠: 𝑥1𝑥2 = 𝑐

𝑎

→ 𝑥1𝑥2 =𝑏

𝑎

Como la suma de la suma de raíces y el producto de

raíces es la unidad, entonces:

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥1𝑥2 = 1

→ 𝑎 − 1

𝑎+𝑏

𝑎= 1

→𝑎 − 1 + 𝑏

𝑎= 1

→ 𝑎 − 1 + 𝑏 = 𝑎

→ 𝑏 = 1

Finalmente, la ecuación cuadrática cuyo 𝐶. 𝑆 = −𝑏 ;

es decir, 𝐶. 𝑆 = −1 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖 ó𝑛 ú𝑛𝑖𝑐𝑎

es:

𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0.

Rpta: Clave C

Problema 23: Resuelva la ecuación fraccionaria

siguiente:

𝑥2

𝑥 + 2+

4

𝑥 − 2= 4

1

𝑥 + 2+

1

𝑥 − 2

Resolución:

Como la ecuación es fraccionaria, se cumple:

𝑥 + 2 ≠ 0 ∧ 𝑥 − 2 ≠ 0…… . . 𝛼

En la ecuación fraccionaria se tiene:

𝑥2

𝑥 + 2+

4

𝑥 − 2=

4

𝑥 + 2+

4

𝑥 − 2

→𝑥2

𝑥 + 2=

4

𝑥 + 2 → 𝑥2 = 4

→ 𝑥2 − 4 = 0 → 𝑥 + 2 𝑥 − 2 = 0

Por 𝛼 deducimos que:

𝑥 + 2 𝑥 − 2 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑜

= 0

∴ 𝐶.𝑆 = ∅

Rpta: Clave E

Problema 24: Resuelva la ecuación fraccionaria.

𝑥 + 8

𝑥 + 2=𝑥2 + 3𝑥 − 40

𝑥2 − 3𝑥 − 10

Resolución:

Como la ecuación es fraccionaria, se cumple:

𝑥 + 2 ≠ 0 ∧ 𝑥2 − 3𝑥 − 10 ≠ 0

→ 𝑥 + 2 ≠ 0 ∧ 𝑥 − 5 𝑥 + 2 ≠ 0

→ 𝑥 + 2 ≠ 0 ∧ 𝑥 − 5 ≠ 0…… . . 𝛼

En la ecuación fraccionaria se tiene:

𝑥 + 8

𝑥 + 2=𝑥2 + 3𝑥 − 40

𝑥2 − 3𝑥 − 10

Factorizamos los polinomios cuadráticos:

𝑥 + 8

𝑥 + 2= 𝑥 + 8 𝑥 − 5

𝑥 − 5 𝑥 + 2

Por 𝛼 , nos queda: 𝑥 + 8 = 𝑥 + 8

Lo cual es una igualdad que se cumple para cualquier

valor real de la incógnita excepto para 𝑥 = −2; 𝑥 = 5.

∴ 𝐶. 𝑆 = 𝑅 − −2; 5

Rpta: Clave E


13

Problema 25: Dado el sistema lineal

2𝑥 − 3𝑦 − 𝜆 = 0𝑥 + 3𝑦 − 14𝜆 = 0

𝜆 ≠ 0

Calcule el valor de 𝐽 =𝑥2+3𝑥𝑦

𝑦2+𝜆2 .

Resolución:

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

2𝑥 − 3𝑦 − 𝜆 = 0…… 𝛼

𝑥 + 3𝑦 − 14𝜆 = 0…… . . 𝛽

Sumamos miembro a miembro ambas ecuaciones

tenemos:

2𝑥 − 3𝑦 − 𝜆 + 𝑥 + 3𝑦 − 14𝜆 = 0 + 0

→ 3𝑥 − 15𝜆 = 0 → 3𝑥 = 15𝜆 → 𝑥 = 5𝜆

Reemplazamos en 𝛽 :

𝑥 + 3𝑦 − 14𝜆 = 0

→ 5𝜆 + 3𝑦 − 14𝜆 = 0 → 3𝑦 = 9𝜆

→ 𝑦 = 3𝜆

Como: 𝐽 =𝑥2+3𝑥𝑦

𝑦2+𝜆2

Reemplazamos los valores de 𝑥 e 𝑦 :

𝐽 = 5𝜆 2 + 3 5𝜆 3𝜆

3𝜆 2 + 𝜆2=

25𝜆2 + 45𝜆2

9𝜆2 + 𝜆2

𝐽 =70𝜆2

10𝜆2

Como 𝜆 ≠ 0 entonces 𝜆2 ≠ 0, luego:

𝐽 =70

10 ∴ 𝐽 = 7

Rpta: Clave E

Problema 26: Indique los valores del parámetro 𝑎

que hacen que el sistema lineal sea incompatible.

2𝑎 − 1 𝑥 + 2𝑦 = 2 𝑎 + 3 𝑥 + 3𝑎𝑦 = 9

Resolución:

El sistema lineal es incompatible si:

2𝑎 − 1

𝑎 + 3=

2

3𝑎≠

2

9

Trabajamos con los extremos:

2𝑎 − 1

𝑎 + 3≠

2

9 → 9 2𝑎 − 1 ≠ 2 𝑎 + 3

→ 18𝑎 − 9 ≠ 2𝑎 + 6 → 16𝑎 ≠ 15

→ 𝑎 ≠ 1615 ……… . . 𝛼

Trabajamos con las dos últimas razones:

2

3𝑎≠

2

9 →

1

3𝑎≠

1

9 →

1

𝑎≠

1

3

→ 𝑎 ≠ 3……… . . 𝛽

Trabajamos con la igualdad:

2𝑎 − 1

𝑎 + 3=

2

3𝑎 → 3𝑎 2𝑎 − 1 = 2 𝑎 + 3

→ 6𝑎2 − 3𝑎 = 2𝑎 + 6 → 6𝑎2 − 5𝑎 − 6 = 0

Factorizamos el polinomio cuadrático:

3𝑎 + 2 2𝑎 − 3 = 0

→ 3𝑎 + 2 = 0 ∨ 2𝑎 − 3 = 0

→ 𝑎 = −2

3 ∨ 𝑎 =

3

2


14

De 𝛼 y 𝛽 ; los valores que toma el parámetro 𝑎

son:

𝑎 = −2

3 ∨ 𝑎 =

3

2

∴ 𝑎 ∈ −2

3;3

2

Rpta: Clave D

Problema 27: Halle los valores del parámetro 𝜆 que

permiten que el sistema lineal no tenga solución.

𝜆 + 2 𝑥1 + 𝑥2 = 1

3𝑥1 + 𝜆 − 2 𝑥2 = 1

Resolución:

Como el sistema lineal no debe tener solución entonces

significa que el sistema lineal es incompatible.

Se cumple:

𝜆 + 2

3=

1

𝜆 − 2≠

1

1

Trabajamos con los extremos:

𝜆 + 2

3≠

1

1 → 𝜆 + 2 ≠ 3

→ 𝜆 ≠ 1 …… . . 𝛼

Trabajamos con las dos últimas razones:

1

𝜆 − 2≠

1

1 → 𝜆 − 2 ≠ 1

→ 𝜆 ≠ 3 ……… . 𝛽

Trabajando con la igualdad:

𝜆 + 2

3=

1

𝜆 − 2 → 𝜆 + 2 𝜆 − 2 = 3

→ 𝜆2 − 4 = 3 → 𝜆2 − 7 = 0

→ 𝜆2 − 72

= 0 → 𝜆 + 7 𝜆 − 7 = 0

→ 𝜆 + 7 = 0 ∨ 𝜆 − 7 = 0

→ 𝜆 = − 7 ∨ 𝜆 = 7

De 𝛼 y 𝛽 ; los valores que toma el parámetro 𝜆 son:

𝜆 = 7 ∨ 𝜆 = − 7

∴ 𝜆 ∈ 7;− 7

Rpta: Clave E

Problema 28: Se tiene el siguiente sistema

𝑥 − 𝑦 = 24 − 2𝑥 = 𝑦 − 4𝑥 + 1 = 4𝑦 + 1

Donde el grafico de cada ecuación es

Indique las proposiciones verdaderas.

I. Tiene tres soluciones.

II. Es incompatible.

III. Es compatible indeterminado.

Resolución:

Previamente, resolvamos el siguiente sistema de

ecuaciones lineales:

𝑥 − 𝑦 = 3𝑥 − 4𝑦 = 0

𝑌

𝑋

𝑦 = 𝑥 − 2

𝑥 = 4𝑦

8 − 2𝑥 = 𝑦


15

De la segunda ecuación:

𝑥 − 4𝑦 = 0 → 𝑥 = 4𝑦…… 𝛼

Reemplazando en la segunda ecuación:

𝑥 − 𝑦 = 3 → 4𝑦 − 𝑦 = 3

→ 3𝑦 = 3 → 𝑦 = 1

Reemplazando en 𝛼 :

𝑥 = 4𝑦 → 𝑥 = 4 1 → 𝑥 = 4

Luego el conjunto solución del sistema es:

𝐶.𝑆 = 4; 1

Es decir el sistema de ecuaciones es compatible

determinado.

Interpretación Geométrica: El sistema de ecuaciones

es:

𝑥 − 𝑦 = 3 → 𝑦 = 𝑥 − 3

𝑥 − 4𝑦 = 0 → 𝑦 =𝑥

4

Cada ecuación representa a una recta en el plano

cartesiano:

Observamos gráficamente que ambas rectas se cortan

en un solo punto es decir el sistema lineal de

ecuaciones presenta una solución.

Luego el sistema es compatible determinado.

En general, para que un sistema de dos ecuaciones

presente solución, gráficamente las dos rectas deben

cortarse en un solo punto. Análogamente, para que un

sistema de tres ecuaciones presente solución,

gráficamente las tres rectas se deben cortar en un solo

punto. Caso contrario se dice que el sistema es

incompatible.

Observación: Si la gráfica de las rectas coinciden, se

dice que el sistema lineal de ecuaciones es compatible

indeterminado.

En el gráfico del problema dado, observamos que las

rectas no se cortan en un sólo punto, por tanto

deducimos que el sistema es incompatible.

Finalmente nos piden indicar las proposiciones

verdaderas, por tanto solo la segunda proposición es

verdadera.

Rpta: Clave B

Problema 29: Luego de resolver el sistema de

ecuaciones lineales:

2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 115𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −10

2𝑦 + 3𝑧 = 6

la solución es 𝑎;𝑏; 𝑐 . Determine el valor de

𝑎2 − 𝑏2 + 𝑐2 𝑎+𝑏+𝑐 .

Resolución:

El sistema de ecuaciones lineales es:

2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 11…… 𝛼

5𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −10……… . . 𝛽

2𝑦 + 3𝑧 = 6………… . 𝛾

𝑋

𝑌

3

−3

.

4

1

𝑦 = 𝑥 − 3

𝑦 =𝑥

4


16

De las dos primeras ecuaciones, eliminamos la incógnita

𝑥, para ello trabajamos con 𝛼 y 𝛽 :

5 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 5 11

→ 10𝑥 − 15𝑦 + 5𝑧 = 55………… ∗

−2 5𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −2 −10

→ −10𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 20…… . . ∗∗

De ∗ y ∗∗ :

10𝑥 − 15𝑦 + 5𝑧 = 55−10𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 20

Sumamos miembro a miembro ambas ecuaciones:

(10𝑥 − 15𝑦 + 5𝑧) + −10𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 55 + 20

→ 9𝑧 − 13𝑦 = 75………… . 𝜃

De 𝛾 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 :

2𝑦 + 3𝑧 = 6 → −3 2𝑦 + 3𝑧 = −3 6

→ −6𝑦 − 9𝑧 = −18……… 𝛿

De 𝜃 y 𝛿 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 :

9𝑧 − 13𝑦 = 75−6𝑦 − 9𝑧 = −18

Sumamos miembro a miembro ambas ecuaciones:

9𝑧 − 13𝑦 + −6𝑦 − 9𝑧 = 75 − 18

→ −19𝑦 = 57 → 𝑦 = −3

Ahora reemplazamos éste valor encontrado en 𝜃 :

9𝑧 − 13𝑦 = 75 → 9𝑧 − 13 −3 = 75

→ 9𝑧 = 36 → 𝑧 = 4

Reemplazando este valor encontrado en 𝛼 :

2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 11 → 2𝑥 − 3 −3 + 4 = 11

→ 2𝑥 + 13 = 11 → 2𝑥 = −2 → 𝑥 = −1

Luego, los valores de las incógnitas son:

𝑥 = −1 ; 𝑦 = −3 ; 𝑧 = 4

Es decir, 𝐶𝑆 = −1:−3; 4 .

Como 𝐶𝑆 = 𝑎; 𝑏; 𝑐 , entonces:

𝑎 = −1 ; 𝑏 = −3 ; 𝑐 = 4

Finalmente: 𝐽 = 𝑎2 − 𝑏2 + 𝑐2 𝑎+𝑏+𝑐

→ 𝐽 = −1 2 − −3 2 + 4 2 −1+ −3 +4

→ 𝐽 = 1 − 9 + 16 0

∴ 𝐽 = 1

Rpta: Clave D

Problema 30: Sea el sistema no lineal tiene conjunto

solución 𝑆 = 𝑥0 ; 𝑦0

3

𝑥+ 5𝑦 = 11

1

𝑥+ 2𝑦 = 4

Calcule el valor de 𝑥0 + 𝑦0.

Resolución:

Para el sistema no lineal dado, las incògnitas son 𝑥; 𝑦.

Eliminamos la incógnita 𝑥.

De la segunda ecuación tenemos:

1

𝑥+ 2𝑦 = 4 → −3

1

𝑥+ 2𝑦 = −3 4

→ −3

𝑥− 6𝑦 = −12……… 𝛼

De la primera ecuación y 𝛼 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:

3

𝑥+ 5𝑦 = 11

−3

𝑥− 6𝑦 = −12


17

Sumamos miembro a miembro:

3

𝑥+ 5𝑦 + −

3

𝑥− 6𝑦 = 11 + −12

→ 5𝑦 − 6𝑦 = −1 → −𝑦 = −1

→ 𝑦 = 1

Reemplazando éste valor en la segunda ecuación:

1

𝑥+ 2𝑦 = 4 →

1

𝑥+ 2 1 = 4

→1

𝑥= 2 → 𝑥 =

1

2

Luego, los valores de las incógnitas son:

𝑥 =1

2 ; 𝑦 = 1

Es decir: 𝑆 = 1

2; 1 .

Como 𝑆 = 𝑥0; 𝑦0 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑥0 =1

2 ∧ 𝑦0 = 1

Finalmente, 𝑥0 + 𝑦0 =1

2+ 1

∴ 𝑥0 + 𝑦0 =3

2

Rpta: Clave C

Problema 31: Indique cuántas soluciones tiene el

sistema de grado superior.

𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 7

𝑥3 + 𝑦3 = 28

Resolución:

De la segunda ecuación:

𝑥3 + 𝑦3 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑏𝑜𝑠

= 28 → 𝑥 + 𝑦 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 28

Reemplazamos la primera ecuación en esta ultima:

𝑥 + 𝑦 7 = 28 → 𝑥 + 𝑦 = 4

Ahora, recordemos que:

𝑥 + 𝑦 3 = 𝑥3 + 𝑦3 + 3𝑥𝑦 𝑥 + 𝑦

→ 4 3 = 28 + 3 𝑥𝑦 4

→ 64 = 28 + 12𝑥𝑦 → 36 = 12𝑥𝑦

→ 𝑥𝑦 = 3

Ahora, hagamos el siguiente cambio de variable:

𝑥 <> 𝛼 ∧ 𝑦 <> 𝛽

Es decir: 𝛼 + 𝛽 = 4 ∧ 𝛼𝛽 = 3

Por teorema de Cardano, las expresiones anteriores

representan la suma y el producto de raíces de la

ecuación cuadrática:

𝑥2 − 𝛼 + 𝛽 𝑥 + 𝛼𝛽 = 0

Luego, recordemos que toda ecuación cuadrática

siempre presenta dos raíces (soluciones).

∴ 𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠.

Rpta: Clave C

Problema 32: Dado el sistema de ecuaciones

𝑥 𝑦 + 𝑧 = 5

𝑧 𝑥 + 𝑦 = 4

𝑦 𝑥 + 𝑧 = 3

Calcule el valor de 𝑥 𝑦 .

Resolución:

De la primera y segunda ecuación se tienen:

𝑥 𝑦 + 𝑧 = 5

𝑧 𝑥 + 𝑦 = 4 →

𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 = 5𝑧𝑥 + 𝑧𝑦 = 4

Restamos miembro a miembro:

𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 − 𝑧𝑥 + 𝑧𝑦 = 5 − 4

→ 𝑥𝑦 − 𝑧𝑦 = 1…… . 𝛼


18

De la segunda y tercera ecuación se tienen:

𝑧 𝑥 + 𝑦 = 4

𝑦 𝑥 + 𝑧 = 3 →

𝑧𝑥 + 𝑧𝑦 = 4𝑦𝑥 + 𝑦𝑧 = 3

Restamos miembro a miembro:

𝑧𝑥 + 𝑧𝑦 − 𝑦𝑥 + 𝑦𝑧 = 4 − 3 → 𝑧𝑥 − 𝑦𝑥 = 1

→ 𝑧𝑥 − 𝑦𝑥 = 1…… 𝛽

De 𝛼 y 𝛽 :

𝑥𝑦 − 𝑧𝑦 = 1𝑧𝑥 − 𝑦𝑥 = 1

… … . . 𝛾

entonces:

𝑥𝑦 − 𝑧𝑦 = 𝑧𝑥 − 𝑦𝑥

→ 𝑥𝑦 + 𝑦𝑥 = 𝑧𝑥 + 𝑧𝑦 → 2𝑥𝑦 = 𝑧 𝑥 + 𝑦 4

→ 2𝑥𝑦 = 4 → 𝑥𝑦 = 2

Reemplazamos en 𝛾 :

𝑥𝑦 − 𝑧𝑦 = 1 → 2 − 𝑧𝑦 = 1𝑧𝑥 − 𝑥𝑦 = 1 → 𝑧𝑥 − 2 = 1

→ 𝑧𝑦 = 1 → 𝑦 =

1

𝑧

𝑧𝑥 = 3 → 𝑥 =3

𝑧

Finalmente:

𝑥

𝑦=

1𝑧3𝑧

=𝑧

3𝑧 →

𝑥

𝑦=

1

3

Rpta: Clave D

Problema 33: Dado el conjunto S.

𝑆 = 1 − 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ∉< −1; +∞ >

Halle 𝑆 − 𝑅+.

Resolución:

Los elementos del conjunto 𝑆 son de la forma 1 − 𝑥 ,

Entonces vamos a forma dicha expresión.

Por dato del problema: 𝑥 ∉< −1; +∞ >

Gráficamente:

De la gráfica se deduce que:

𝑥 ∈< −∞;−1 ⊐ → 𝑥 ≤ −1

Multiplicando por −1 : −𝑥 ≥ 1

Sumando una unidad: 1 − 𝑥 ≥ 1 + 1

→ 1 − 𝑥 ∈𝑆

≥ 2 → 𝑆 =⊏ 2; +∞ >

Propiedad:

Finalmente: 𝑆 − 𝑅+ = 𝑆 ∩ 𝑅+ 𝑐

Como 𝑅+ =< 0; +∞ > entonces:

𝑅+ 𝑐 =< −∞; 0 ⊐

Gráficamente:

De la gráfica:

𝑆 ∩ 𝑅+ + 𝑆−𝑅+

= ∅ → 𝑆 − 𝑅+ = ∅

Rpta: Clave E

+∞ −∞ −1

. 𝑥

𝐴 − 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵𝑐

0 2 −∞ +∞

𝑅+ 𝑐 𝑆 . .


19

Problema 34: De las siguientes proposiciones, indique

el valor de verdad.

I. 1 < 2 < 33

II. 65

> 66

III. 2𝑛−2 > 2𝑛−1 ;∀ 𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 > 2

Resolución:

Analicemos cada proposición:

I. Suponemos que es correcta, eliminamos los

radicales, para ello elevamos a la sexta:

1 < 2 < 33

→ 1 6 < 2 6

< 33

6

→ 1 < 23 < 32 → 1 < 8 < 9 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎

Por lo tanto, la proposición es verdadera.

II. Suponemos que es correcta, eliminamos los

radicales, para ello elevamos a la treinta:

65

> 66

→ 65

30

> 66

30

→ 66 > 65 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎

Por lo tanto, la proposición es verdadera.

III. Suponemos que es correcta, como la

desigualdad se cumple para cualquier número

natural mayor a 2 entonces:

2𝑛−2 > 2𝑛−1

Para 𝑛 = 3 ; reemplazando tenemos:

23−2 > 23−1 → 21 > 22 → 2 > 4 𝑎𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜

Por lo tanto, la proposición es falsa.

Finalmente, el valor de verdad es: 𝑉 𝑉 𝐹

Rpta: Clave C

Problema 35: Si 𝑚 ∈< −1; 1 > − 0 , además ,

𝑥; 𝑦 ∈< 2; 5 >, determine en qué intervalo se

encuentra la expresión 𝐴.

𝐴 = 𝑚2𝑥 + 1 −𝑚2 𝑦

Resolución:

Observamos que las variables que participan son 𝑥; 𝑦

entonces 𝑚2; 1 −𝑚2 2 son números reales.

Del dato: 𝑚 ∈< −1; 1 > − 0

Es decir: 𝑚 ∈< −1; 0 >∪< 0; 1 >

→ −1 < 𝑚 < 0 ∨ 0 < 𝑚 < 1

Elevamos al cuadrado:

−1 2 > 𝑚2 > 0 2 ∨ 0 2 < 𝑚2 < 1 2

→ 1 > 𝑚2 > 0 ∨ 0 < 𝑚2 < 1

→ 0 < 𝑚2 < 1 ∨ 0 < 𝑚2 < 1

→ 0 < 𝑚2 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜

< 1

Además: 0 < 𝑚2 < 1

Multiplicamos por −1: 0 > −𝑚2 > −1

Sumamos uno: 1 + 0 > 1 −𝑚2 > −1 + 1

→ 1 > 1 −𝑚2 > 0 → 0 < 1 −𝑚2 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜

< 1

Ahora construimos la variación de la expresión 𝐴:

Como 𝑥;𝑦 ∈< 2; 5 > entonces: 2 < 𝑥 < 5

Multiplicamos por 𝑚2: 2𝑚2 < 𝑚2𝑥 < 5𝑚2 …… . . 𝛼

Análogamente: 2 < 𝑦 < 5

Multiplicamos por 1 −𝑚2:

2 1 −𝑚2 < 1 −𝑚2 𝑦 < 5 1 −𝑚2


20

→ 2 − 2𝑚2 < 1 −𝑚2 𝑦 < 5 − 5𝑚2 ……… . 𝛽

De 𝛼 y 𝛽 :

2𝑚2 < 𝑚2𝑥 < 5𝑚2

2 − 2𝑚2 < 1 −𝑚2 𝑦 < 5 − 5𝑚2


2𝑚2 + 2 − 2𝑚2 < 𝑚2𝑥 + 1 −𝑚2 𝑦 𝐴

< 5𝑚2 + 5 − 5𝑚2

→ 2 < 𝐴 < 5

Rpta: Clave B

Problema 36: Sean 𝑥;𝑦 números reales tales que

𝑥 ∈⊏ 2; 5 ⊐ ; 𝑦 ∈< −2,1 ⊐ .

Halle el intervalo de variación de −7

𝑥−𝑦 .

Resolución:

Debemos hallar la variación de:

𝐽 = −7

𝑥−𝑦

Vamos a formar la expresión 𝐽 para ello recordemos

que: 𝑥 − 𝑦 = 𝑥 + −𝑦

Como 𝑥 ∈⊏ 2; 5 ⊐ → 2 ≤ 𝑥 ≤ 5…… 𝛼

𝑦 ∈< −2; 1 ⊐ → −2 < 𝑦 ≤ 1

Multiplicando por −1 :

−1 −2 > −1 𝑦 ≥ −1 1

→ 2 > −𝑦 ≥ −1

→ −1 ≤ −𝑦 < 2……… . 𝛽

De 𝛼 y 𝛽 :

2 ≤ 𝑥 ≤ 5

−1 ≤ −𝑦 < 2


2 + −1 ≤ 𝑥 + −𝑦 < 5 + 2

→ 1 ≤ 𝑥 − 𝑦 < 7

Invertimos:

1

1≥

1

𝑥 − 𝑦>

1

7

Multiplicamos por 7:

7 1 ≥ 7 1

𝑥 − 𝑦 > 7

1

7

→ 7 ≥7

𝑥 − 𝑦> 1

Multiplicamos por −1 :

−7 ≤ −7

𝑥 − 𝑦 < −1

𝐽

→ −7 ≤ 𝐽 < −1

∴ 𝐽 ∈⊏ −7;−1 >

Rpta: Clave C

Problema 37: Sea 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 tal que

𝑓 𝑥 ∈< 5; +∞ >. Indique el intervalo de variación de

𝐽 =16

𝑥

Resolución:

Como 𝑓 𝑥 ∈< 5; +∞ > entonces 𝑓 𝑥 > 5

Pero 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 , reemplazando tenemos:

𝑓 𝑥 > 5 → 𝑥 + 1 > 5


21

→ 𝑥 > 4 → 𝑥2

> 42

→ 𝑥 > 16 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠

Luego, formamos la expresión 𝐽:

Invertimos:

1

𝑥<

1

16 → 0 <

1

𝑥<

1

16

Multiplicamos por 16:

16 0 < 16 1

𝑥 < 16

1

16

→ 0 <16

𝑥 𝐽

< 1 → 0 < 𝐽 < 1

∴ 𝐽 ∈< 0; 1 >

Rpta: Clave D

Problema 38: Determine el mayor valor de 𝑀.

𝑀 =𝑎 + 𝑏 + 𝑐

𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ; 𝑎; 𝑏; 𝑐 ⊂ 𝑅+

Resolución:

Formamos la expresión 𝑀, por propiedad:

𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 ∀ 𝑎; 𝑏; 𝑐 ⊂ 𝑅

Multiplicamos por2:

2 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≥ 2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐

Sumamos 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2:

𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

≥ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 𝐷𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛

𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜

→ 3 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≥ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2

Luego: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 ≤ 3 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

Extraemos raíz cuadrada:

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 ≤ 3 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

→ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≤ 3 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

Por dato 𝑎; 𝑏; 𝑐 ⊂ 𝑅+ entonces:

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 > 0 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

→ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≤ 3 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

→𝑎 + 𝑏 + 𝑐

𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 𝑀

≤ 3 → 𝑀 ≤ 3

∴ 𝐸𝑙 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑀 𝑒𝑠 3

Rpta: Clave B

Problema 39: Resuelva la siguiente inecuación lineal.

𝑥 + 2

3−

2𝑥 + 1

4<

1

2

Resolución:

Para evitar trabajar con fracciones, multiplicamos a la

inecuación por 12, es decir:

12 𝑥 + 2

3−

2𝑥 + 1

4 < 12

1

2

→ 12 𝑥 + 2

3 − 12

2𝑥 + 1

4 < 6

→ 4 𝑥 + 2 − 3 2𝑥 + 1 < 6

→ 4𝑥 + 8 − 6𝑥 − 3 < 6

Agrupamos variable y constantes, tenemos:

4𝑥 − 6𝑥 < 6 + 3 − 8 → −2𝑥 < 1 → 𝑥 > −1

2

∴ 𝐶. 𝑆 =< −1

2; +∞ >

Rpta: Clave D


22

Problema 40: Resuelva la siguiente inecuación

4𝑥 − 1

3− 2 <

7𝑥 − 1

2−

19

3

e indique el menor valor entero que pertenece al

conjunto solución.

Resolución:

Para evitar trabajar con fracciones, multiplicamos a la

inecuación por 6, es decir:

6 4𝑥 − 1

3− 2 < 6

7𝑥 − 1

2−

19

3

→ 6 4𝑥 − 1

3 − 6 2 < 6

7𝑥 − 1

2 − 6

19

3

→ 2 4𝑥 − 1 − 12 < 3 7𝑥 − 1 − 2 19

→ 8𝑥 − 2 − 12 < 21𝑥 − 3 − 38

→ 8𝑥 − 14 < 21𝑥 − 41

→ 41 − 14 < 21𝑥 − 8𝑥

→ 27 < 13𝑥 →27

13< 𝑥 → 𝑥 >

27

13

→ 𝐶.𝑆 =< 2713

2,076……..

; +∞ >

Finalmente el problema nos pide el menor valor entero

que pertenece al conjunto solución el cual es 3.

Rpta: Clave D

práctica: práctica domiciliaria ciclo: repaso san marcos

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