practica: modos de control sistemas de control y...

2008 Dic 04, UNET, 02 33 905L, Modos de Control, Sistemas de Control y Controladores 1 / 14

Universidad Nacional Experimental del Táchira. Departamento de Ingeniería Electrónica. Laboratorio de Instrumentación y Control, Código 02 33 905L. Profesor: Tito González. San Cristóbal, Jueves 04 de Diciembre del 2008.

PRACTICA: MODOS DE CONTROL

Sistemas de Control y Controladores

OBJETIVO GENERAL.

Colocar a disposición de los estudiantes que lo requieran los conocimientos teóricos básicos sobrediagramas de bloque y sistemas de control de lazo cerrado o realimentados, incluyendose la estructurafundamental de los controladores o reguladores.

CONTENIDO.

1. Sistemas de control

1.1. Terminología utilizada en los sistemas de control.

1.1.1. Ecuaciones del sistema.

1.1.2. Funciones de transferencia del sistema.

1.1.3. Valor final y Ganancia estática.

1.2. Clasificación de los sistemas realimentados.

1.3. Análisis y proyecto de los sistemas de control realimentados.

1.4. Estructuras fundamentales de los Controladores o Reguladores.

1.4.1. Acción Proporcional, Amplificadora, o Acción P.

1.4.2. Acción Integral, Integradora, o Acción I.

1.4.3. Acción Diferencial, Derivadora, o Acción D.

1.4.4. Acción combinada PID (Proporcional Integral Diferencial).


Figura 1.3. Punto derivador de señal

1. SISTEMAS DE CONTROL.

1.1. Terminología utilizada en los sistemas de control.

Con el término "diagrama de bloques" o "bloque" se entiende la representación gráfica de larelación causa-efecto, entre la entrada y la salida de un sistema físico en el que, como muestra la fig. 1.1,las flechas representan la dirección de la información, o señales del sistema.

Las operaciones de suma algebraica se representan de forma especial. El bloque se convierte en uncirculo, llamado sumador, con signos apropiados, + ó -, asociados a las flechas que entran y salen de dichocirculo, en algunos casos los signos se encuentran dentro de los segmento del circulo, vease la figura 1.2.En un sumador puede aplicarse cualquier número de entradas, en cuyo caso se transforma en un rectángulopara dar cabida al número de entradas, pero la salida es siempre una sola.

Para utilizar la misma señal como variable de entrada en más de un bloque o sumador se usa unpunto de derivación como se muestra en la figura 1.3.

El sistema de control retro alimentado o realimentado negativamente está representado en la figura1.4. Es importante que los términos usados en el diagrama de bloques de lazo cerrado, y que se enumerana continuación, se recuerden y se entiendan con claridad.

Figura 1.1. Diagramas de Bloque

Figura 1.2. Sumador de Señales


R(s): Señal de entrada, Set Point, Referencia,. Es una señal externa aplicada a un sistema de controlrealimentado utilizada para dar instrucciones al equipo a fin de que realice una acción específica.Dicha señal representa, muchas veces, el comportamiento ideal de salida del equipo.

B(s): Señal de realimentación. Señal de salida modificada por H(s). Es una señal, función de la salidacontrolada Y(s), que sumada algebraicamente a la referencia de entrada R(s) da lugar al error g(s).

g(s): Señal de error, también llamada señal activadora, acción de control, o ley de control. Es la sumaalgebraica entre la señal de referencia de entrada R(s) y la de realimentación B(s).

C(s): Regulador, también llamado controlador. Es el conjunto de componentes necesarios para generarla señal de control U(s) que se aplica al equipo.

U(s): Señal de control, también llamada variable manipulada. Es la señal de error modificada for C(s).Es la cantidad o condición que el controlador aplica a la planta o proceso G(s).

G(s): Planta, Proceso, Equipo, también llamado sistema controlado. Es el proceso o máquina del cual sedebe controlar una cierta cantidad o condición.

p(t): Perturbaciones o disturbio. Es una señal de entrada no deseada que condiciona el valor de la desalida controlada Y(s). Puede entrar en el equipo sumándose a la variable manipulada U(s), o, através de un punto intermedio cualquiera. Son aleatorias, esporádicas, impredecibles y puedenafectar al sistema en cualquier punto

Y(s): Señal de salida, Variable controlada. Es la cantidad o condición del equipo a la que hay quecontrolar.

H(s): Elementos de realimentación. Es el conjunto de componentes necesarios para establecer la relaciónfuncional entre la señal de realimentación B(s) y la señal de salida controlada Y(s).

Gf(s): Función de Transferencia, del sistema, en Lazo Cerrado.

Figura 1.4. Diagrama de bloques en lazo cerrado. Forma general.


( ) ( ) ( )ε s R s B s= − (1)

( ) ( ) ( )B s Y s H s= ⋅ (2)

( ) ( ) ( ) ( )ε s R s Y s H s= − ⋅ (3)

( ) ( ) ( )U s s C s= ⋅ε (4)

( ) ( ) ( )Y s U s G s= ⋅ (5)

( ) ( ) ( ) ( )Y s s C s G s= ⋅ ⋅ε (6)

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )Y s R s Y s H s C s G s= − ⋅ ⋅ ⋅ (7)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s R s C s G s Y s C s G s H s= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ (8)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s Y s C s G s H s R s C s G s+ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (9)

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )Y s C s G s H s R s C s G s1+ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (10)

gf(s): Función de Transferencia del Error, del sistema, en Lazo Cerrado.

1.1.1. Ecuaciones del sistema.

A continuación determinaremos las ecuaciones del sistema para al final establecer las relacionesmás importantes de los sistemas de lazo cerrado.

La señal de error del sistema es:

La señal de realimentación del sistema es:

Sustituyendo (2) en (1), tenemos:

La señal de control del sistema es:

La señal de salida del sistema es:

Sustituyendo (4) en (5), tenemos:

Las ecuaciones (3) y (6) son las que describen el comportamiento del sistema realimentadonegativamente.

1.1.2. Funciones de transferencia del sistema.

Sustituyendo (3) en (6), se determina la ecuación de la señal de salida en función de la señal deentrada aplicada al sistema.

Desarrollando, tenemos:

Despejando:

Factorizando:

Despejando para determinar la ecuación de la señal de salida del sistema:


( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]Y s

R s C s G sC s G s H s

=⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅1(11)

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]

Y sR s

G sC s G s

C s G s H sf= =

⋅+ ⋅ ⋅1

(12)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )ε εs R s s C s G s H s= − ⋅ ⋅ ⋅ (13)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ε εs s C s G s H s R s+ ⋅ ⋅ ⋅ = (14)

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )ε s C s G s H s R s1+ ⋅ ⋅ = (15)

( )( )

( ) ( ) ( )[ ]ε sR s

C s G s H s=

+ ⋅ ⋅1(16)

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]ε εsR s

sC s G s H s

f= =+ ⋅ ⋅

11

(17)

( ) ( )lim limt s

f t s F s→∞ →

= ⋅0

(18)

( )lim ,t

f t Existe→∞

(19)

Despejando para determinar la relación entre: Señal de Salida - Señal de Entrada, o función detransferencia del sistema en lazo cerrado:

Sustituyendo, ahora, (6) en (3) se determina la ecuación de la señal de error en función de la señalde entrada aplicada al sistema.

Despejando:

Factorizando:

Despejando para determinar la ecuación de la señal de error del sistema:

Despejando para determinar la relación entre: Señal de Error - Señal de Entrada, o función detransferencia del error (del sistema) en lazo cerrado:

1.1.3. Valor final y Ganancia estática.

Si se desea saber cual es el valor final que tomará las respuesta del sistema en lazo abierto o lazocerrado ante una entrada escalón de amplitud A, es imprescindible la utilización del teorema del valor finalel cual relaciona el comportamiento en estado estable de f(t) con el comportamiento de s@F(s) en lavecindad de s = 0 (s = 0+), es decir:

sin embargo, este teorema solo es aplicable si y solo si:

lo que significa que f(t) se estaciona o permanece en un valor finito o definido para t 6 4 si todos los polosde s@F(s) se encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo s.

Si s@F(s) tiene polos en el origen o sobre el eje imaginario, f(t) contendrá términos o funciones de


( )lim ,t

f t No existe→∞

(20)

( ){ } ( ) ( )Si f t F s F ss

, , lim= =→∞

Entonces 0 (21)

( )lim ,s

F s Pero un numero finito→

≠0

0 (22)

( )( )

F con RF s

0 = ∈γ γsin polos en eje imaginario

(23)

tiempo no acotadas o términos oscilantes no amortiguados, respectivamente y por lo tanto:

Para el caso en el cual s@F(s) posee polos en el semiplano derecho del plano complejo S, F(s) esinestable por naturaleza y f(t) contendrá términos exponencialmente crecientes (funciones de tiempo noacotadas) y por lo tanto el limite de f(t) no existe.

Como corolario se puede indicar que el teorema del valor final plantea que el comportamiento enestado estable de f(t) es igual al comportamiento de s@F(s) alrededor de s = 0, y por tanto es posible obtenerf(t) en t = 4 directamente de F(s), consideración que es muy útil para el análisis y diseño de sistemas decontrol en régimen permanente.

Otra consideración que se puede establecer de lo anteriormente planteado es el hecho de que pordefinición el comportamiento de F(s) cuando s 6 4 es cero, es decir:

lo cual nos permite deducir que:

y para que esto sea cierto es necesario que F(s) no posea polos sobre el eje imaginario como ya seconsidero previamente, es decir, la expresión anterior nos permite establecer desde el punto de vista de laTeoría de Control que:

siendo F(s) cualquier función de transferencia que cumpla con las condiciones de estrictamente propia y

mónica como: C(s), G(s), H(s), ..., donde ( es la ganancia estática de sistemas absolutamente estables.


Figura 1.6. Sistema con Realimentación Negativa Unitaria

1.2. Clasificación de los sistemas realimentados

Consideremos el sistema de control realimentado cuyo esquema de bloques se representó en la fig.1.4. Esta configuración se llama “Forma General” de un sistema de control. Cualquier sistema realimentadocon un diagrama de bloques, por muy complejo que sea, puede reducirse a la forma general, la cual a suves lo podemos llevar a su “Forma Canónica” si consideramos que C(s)=1, ó matemáticamente fusionamosC(s) con G(s), expresión que seguimos llamando en cualquier caso como G(s), vease la figura 1.5.

Para el caso particular en que H(s)=1, la forma canónica se transforma en “Sistema conRealimentación Unitaria”, vease la figura 1.6, y es aquella en que la realimentación primaria coincide conla salida controlada Y(s).

Debe hacerse notar que la función de transferencia en lazo abierto de un sistema de controlrealimentado canónico está dada por el producto de G(s) por H(s), que en el caso de realimentaciónnegativa unitaria es G(s).

Por otra parte, se dice que un sistema es de tipo 0 “cero” si en el denominador de su función detransferencia en lazo abierto no hay polos en el origen. Que es de tipo 1 “uno” si en el denominador de sufunción de transferencia en lazo abierto hay un solo polo en el origen. Que es de tipo 2 “dos” si en eldenominador de su función de transferencia en lazo abierto hay dos polos en el origen.

Figura 1.5. Forma Canónica


1.3. Análisis y proyecto de los sistemas de control realimantados.

El objetivo principal en el análisis de un sistema de control realimentado es la determinación delas siguientes características:

1. El grado de estabilidad, o tipo de estabilidad.2. La respuesta en régimen permanente.3. La respuesta transitoria.

Saber si un sistema es estable, la mayor parte de las veces no basta; por ello, normalmente se debedeterminar la estabilidad relativa, que está bien vinculada a la respuesta transitoria del sistema.

El procedimiento para analizar un sistema de control es el siguiente:

1. Determinar la función de transferencia para cada componente del sistema.2. Elegir un modelo para representar el sistema (por ejemplo, el diagrama de bloques).3. Formular el modelo del sistema conectando sus componentes de manera adecuada.4. Determinar las características del sistema.

Teniendo en cuenta que en el dominio del tiempo es bastante difícil estudiar sistemas de ordensuperior al segundo (es decir, resolver directamente la ecuación diferencial), existen cinco métodosgráficos que permiten el análisis de los sistemas de control realimentados. Dichos métodos son:

1. El lugar de las raíces (estudio en el dominio de la variable compleja “S”).2. Diagrama de Bode (estudio en el dominio de T).3. Diagrama de Nyquist (estudio en el dominio de T).4. Mapas de Nichols (estudio en el dominio de T).5. Gráfico plano-fase para analizar los sistemas no lineales.

Por lo que respecta al proyecto, el objetivo principal es el de obtener los datos deseados decomportamiento. Estos últimos pueden enunciarse de dos modos diferentes y que en concreto son :

1. Datos en el dominio del tiempo (Respuesta en tiempo).2. Datos en el dominio de la frecuencia (Respuesta en frecuencia).

En general, éstos definen tres importantes propiedades dinámicas de los sistemas, es decir:

1. La velocidad de respuesta.2. La estabilidad relativa.3. La precisión del sistema.

Los datos en el dominio de la frecuencia normalmente se presentan en los términos siguientes:

1. Margen de ganancia.2. Margen de fase.3. Tiempo de retardo.4. Ancho de banda.5. Velocidad de corte ("Cutoff Rate").


Figura 1.7. Sistema con realimentación negativa unitaria y controlador

6. Pico de resonancia.7. Frecuencia de resonancia.

Los datos en el dominio del tiempo se definen normalmente en términos de respuesta al escalónunitario. Esta última tendrá una componente de régimen permanente y otra de régimen transitorio. La derégimen permanente es un índice de la precisión del sistema, mientras que el comportamiento transitorioda una indicación de la velocidad de respuesta y de la estabilidad relativa. Los datos típicos son:

1. Sobre impulso ó Sobrepaso (Overshoot).2. Tiempo de retardo.3. Tiempo de subida.4. Tiempo de ajuste.5. Constante de tiempo predominante.

Con el fin de obtener los datos deseados y teniendo en cuenta que el equipo, planta o procesorepresentado en G(s) posee una función de transferencia difícil de modificar, o que no es modificable enlo absoluto, hay que recurrir entonces a la utilización de redes compensadoras adecuadas, es decir, unregulador o controlador representado en C(s). Vease la figura 1.7.

Recuérdese que las redes compensadoras pueden ser de tipo activo (amplificador, integrador odiferenciador) o bien pasivo (red anticipadora-"lead" o red retardadora-"lag"). El proyecto de las redescompensadoras, como ya se ha visto anteriormente (Punto 1.3) se puede hacer con los métodos del análisiso de la síntesis.

En las prácticas de laboratorio se trabajará solamente el proyecto por análisis, es decir, el que serealiza modificando las características de un sistema standard, o ya existente (Configuración delcontrolador), analizando después su comportamiento por la respuesta en tiempo del sistema o Y(s) ante unaentrada R(s) del tipo escalón unitario o no.


Figura 1.8. Acción Proporcional

Figura 1.9. Acción Integral

1.4. Estructuras fundamentales de los Controladores o Reguladores.

Hemos visto en párrafos anteriores que el proyecto por análisis de los sistemas de controlrealimentados consiste en modificar los parámetros de un regulador o controlador hasta obtener losresultados deseados en la variable controlada (Verificados con el análisis sucesivo del sistema).

Los controladores empleados normalmente son de varios tipos, pero todos incluyen una o másfunciones que dan lugar a acciones de los tipos que se mencionan a continuación.

1.4.1. Acción Proporcional, Amplificadora, o Acción P.

Es la acción introducida por un amplificador/atenuador. La característica principal de la acción Pes que el coeficiente de ganancia Kp solo afecta la amplitud de la señal de salida más no su forma de onda,esto es debido a que la salida es una copia perfecta de la de entrada con distinta amplitud. En la figura 1.8se muestra como se representan de manera usual el bloque de acción proporcional.

Normalmente se suele utilizar un cuadrado o rectángulo como se hace en funciones detransferencia, sin embargo, Simulink utiliza un triangulo para indicar la acción proporcional y distinguirlade los bloque de función de transferencia, que sí afectan la forma de onda de la señal de entrada por efectode los polos y ceros. Se habla de Amplificación si Kp>1, atenuación si 0 < Kp <1, y seguimiento si Kp= 1.

1.4.2. Acción Integral, Integradora, o Acción I.

Es la acción introducida por un integrador puro. la señal de salida es la integral en tiempo de laseñal de entrada. Vease la figura 1.9. La constante J i toma el nombre de “Tiempo de la AcciónIntegradora”, debe observarse que a mayor tiempo en la acción integradora menor será la ganancia deintegración Ki.


Figura 1.10. Respuesta en tiempo de un integrador

Figura 1.11. Acción Diferencial

La señal de salida correspondiente a una señal de entrada de tipo escalón no unitario de valor A,cuando se introduce a un integrador, es una rampa de pendiente A que presenta un retardo de tipo linealen la igualación del valor de salida con la entrada, es decir, después de un período igual al tiempo de laacción integradora, el valor de la señal de salida alcanza el valor de la señal de entrada. El significadofísico de J i se muestra en la figura 1.10.

Debe tenerse presente que una vez alcanzado el valor de la entrada (después de un tiempo igual aJ i ), la salida continua creciendo con la misma inclinación hasta que la señal de entrada toma el valor decero en tx, en cuyo momento el valor de la señal de salida se mantiene constante. Una interpretación deeste comportamiento puede darse si se considera que el operador matemático equivalente a la funciónintegral es la sumatoria de Riemman ( E ), y a partir de tx ya no hay nada que adicionar a la señal de salidaY(t) y por tanto mantiene su último valor.

1.4.3. Acción Diferencial, Derivadora, o Acción D.

Es la acción introducida por un derivador puro. la señal de salida es la derivada en tiempode la señal de entrada. Vease la figura 1.11. La constante Jd toma el nombre de “Tiempo de la AcciónDerivadora”, debe observarse que a mayor tiempo en la acción derivadora mayor será la ganancia dederivación Kd.

La señal de salida correspondiente a una señal de entrada de tipo rampa no unitaria de pendienteA, cuando se introduce a un derivador, es un escalón no unitario de valor A que presenta un retardo de tipo


Figura 1.12. Respuesta en tiempo de un derivador

Figura 1.13. Controlador PID

lineal en la igualación del valor de salida con la entrada, es decir, después de un período igual al tiempode la acción derivadora, el valor de la señal de entrada alcanza el valor de la señal de salida. El significadofísico de Jd se muestra en la figura 1.12.

Debe tenerse presente que una vez alcanzado el valor de la entrada (después de un tiempo = Jd ),la señal de salida y(t) se mantiene constante hasta que cambia la inclinación o pendiente de la señal deentrada en tx.

1.4.4. Acción combinada PID (Proporcional - Integral - Diferencial).

Consideremos el efecto combinado de la acción proporcional, integradora y derivadora, comomuestra la figura 1.13.

La función de transferencia del regulador o controlador, que reúne las tres acciones, es de la forma:


( )C s KK

K SK S

KK

SSp

i

p

d

Pp

id= ⋅ +

⋅+

⋅⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥= ⋅ +

⋅+ ⋅

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥1 1

1τ τ

( )( )( )C s

U ss

KKS

K Spi

d= = + + ⋅ε

Figura 1.14. Controlador PID

BMU

UM

% = ⋅ ⋅∆∆

100

Poniendo a Kp como factor común en la ecuación de C(s), se obtiene:

Donde:

J i = tiempo de la acción integradora

Jd = tiempo de la acción derivadora

Por lo que el esquema de la figura 1.13 será equivalente al esquema de la figura 1.14, en el cual,la suma de la acción proporcional unitaria, de la acción integradora y de la acción derivadora se multiplica,se amplifica, por el factor Kp.

Kp, en vez de expresarse como valor de la amplificación se define, a menudo, en términos de bandaproporcional B, ya que M(s) y U(s) podrían ser cantidades físicas diferentes con distintos campos devariación.

B%, se define como la banda proporcional expresada en porcentaje, y la cual tiene la siguienteexpresión:

en donde:

M = Señal de entrada al amplificador Kp.U = Señal de salida del amplificador Kp, o acción de control.


Figura 1.15. Controladores PI, y PD

BKp

% =100

( )

( ) [ ]

C s KKS

KK

K SK

S

C s K K S KK S

KK S

PI pi

pi

pp

i

PD p d pd

pp d

= + = ⋅ +⋅

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥= ⋅ +

⋅⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= + ⋅ = ⋅ +⋅⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥= ⋅ + ⋅

1 11

1 1

τ

τ

)U = Campo de variación de la acción de control.)M = Campo de variación de la señal de entrada al amplificador Kp.) = (Valor Final) - (Valor Inicial)

Si U y M tienen los mismos campos de variación (como en el emulador circuital de procesos, G26,que estamos estudiando) y dado que U / M = Kp, se puede afirmar que:

Consideraciones análogas se pueden hacer para la combinación PI y PD, como muestra la fig. 1.15,en donde las funciones de transferencia valen:

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