practica estadistica 3-4 completo

8/6/2019 Practica estadistica 3-4 Completo

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TEMA 3. VARIABLES ALEATORIAS

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

1. Una caja contiene 6 fichas numeradas del uno al seis. Se extraen dos fichasal azar sin reemplazo y se define la variable X como la suma de los nmeros

obtenidos.a) Describir el dominio de X

=1,21,31,4(5,6)

b) Describir el recorrido de XRx = 3,4,5,6,7,8,9,10,11

c) Hallar la funcin de probabilidad de X# = 5*6=30

x 3 4 5 6 7 8 9 10 11Tot

alP(x

)

0.0

67

0.0

67

0.1

3

0.1

3

0.

2

0.1

3

0.1

3

0.0

67

0.0

671

Px=3= 230= 0.067Px=5= 430= 0.13Px=7= 630=0.2Px=9= 430= 0.13

i) Px0 x Rx ii) RxPx=1

3. El nmero de atrasos por semana en la universidad es una variable aleatoria con funcin deprobabilidad definida por:

P(x) = K(6 + 5x x2) , x = 0,1,2,...,5

a) Hallar el valor de la constante K.

x 0 1 2 3 4 5Tot

alP(x)

6K 10K 12K 12K 10K 6K 1

6/56

10/56

12/56

12/56

10/56

6/56

1

RxPx=16K+10K+12K+12K+10K+6K=156K=1K=156

b) Hallar la probabilidad de que un estudiante llegue al menos 3 veces tardeen la semana

Px3=Px=3+Px=4+P(x=5)Px3=1256+1056+656Px3=0.5


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5. La demanda semanal X de copias de un procesador de textos en una tienda de software tienela siguiente funcin de probabilidades:

X 3 4 5 6 7 8 9

P(X) 0,06 0,12 0,16 0,32 0,16 0,12 0,06

a) Cul es la probabilidad de que en la prxima semana se pidan al menos 7 copias?

Px7=Px=7+Px=8+P(x=9)

Px7=0.16+0.12+0.06

Px7=0.34

b) Cul es la probabilidad de que la solicitud sea por lo menos 5 pero no ms de 7 copias?

P5x7=Px=5+Px=6+P(x=7)

Px7=0.16+0.32+0.16

Px7=0.64

c) Cuntas copias se espera vender la prxima semana?

Ex=RxxPx Ex=3*0.06+4*0.12+5*0.16+6*0.32+7*0.16+8*0.12+9*0.06 Ex=6

Se espera vender 6 copias la proxima semana

7. Una variable aleatoria tiene una esperanza igual a 12 y varianza 8. Calcular: E [x2 +2x]

Ex=12 Vx=8

E x2 +2x=Ex2+2Ex 1

De la varianza despejamos E[x2]

Vx=Ex2-2

Ex2=Vx+2

Ex2=8+122

Ex2=152

Sustituimos en 1

E x2 +2x=152+2*12

E x2 +2x=176

9. En el ejemplo anterior, si X ahora es el nmero de Cds en buen estado, hallar su expectativa.


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x= #de cds en buen estado

#=153=455

Px=0= 10053153 Px=1= 10152153

Px=2= 10251153 Px=3= 10350153

X 0 1 2 3 Total

P(X) 0,02 0,22 0,49 0,26 1

0 0.22 0.99 0.79

Ex=RxxPx Ex=0+0.22+0.99+0.79

Ex=2

11.Una urna contiene 4 bolas numeradas 1, 2, 3, 4 respectivamente. Sea Y el nmero que ocurresi se saca a! azar 1 bola de la urna. Cul es la funcin de probabilidad para Y?

#=4X 1 2 3 4 Total

P(X) 1/4 1/4 1/4 1/4 1

i) Px0 x Rx ii) RxPx=1

13.Un fabricante de cereales desea cambiar el diseo de la caja de uno de sus productos, por loque se muestra individualmente cada una de las seis personas la caja anterior y la nueva, y sele pide que indique su preferencia. Suponiendo que cada una de las personas no tengaverdadera preferencia por ninguna, construir la distribucin de probabilidad.

#=26=64

Sea x el numero de personas que prefieren la caja nueva.

X 0 1 2 3 4 5 6 Total

P(X)1/646/6415/6420/6415/646/641/64 1

Px=0= 6064=164 Px=1= 6164=664

Px=2= 6264=1564 Px=3= 6364=2064

Px=4= 6464=1564 Px=5= 6564=664 Px=6= 6664=164

15.Un juego consiste en lanzar un dado, si sale 2 o 5 la persona gana 50Bs. por cada puntoobtenido; si sale 1 o 6, la persona gana 100Bs. por cada punto obtenido; en otro caso el

jugador tiene que pagar 150Bs. por cada punto obtenido.

a) Flallar el valor esperado de la ganancia del jugador el juego es honesto?

2 5 => +50Bs.1 6 => +100Bs.


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3 4 => -150Bs.

Sea x la ganancia del jugadorRx = {-150, 50, 100}

+50 +100 -150

X 2 5 1 6 3 4 Total

P(X) 2/6 2/6 2/6 1

X2*P(X) 5000/6 20000/ 45000/

Ex=RxxPx Ex=50*26+100*26+(-150*26)

Ex=0

Siendo la esperanza igual a cero el juego s es honesto

b) Calcule la desviacin estndar de la utilidad.

Vx=Ex2-[E(x)]2

Vx=700006-0

Vx=11666.67

=V(x)=11666.67=108

17.Completar la siguiente funcin deprobabilidad sabiendo que E(x) = 2 y adems calcular suvarianza.

X 0 1 2 3 TotalP(X) 1/12 1/4 1/4 5/12 1

RxPx=1 Ex=RxxPx=2

112+a+14+b=1 0*112+1*a+2*14+3*b=2

a+b=1-13 a+3b=2-12

a+b=23 1 a+3b=32 2

Sistema con 1 y 2

a+b=23 //(-1)a+3b=32

2b=32-23

b=512

Sustituyendo ben 1

a+512=23

0-108108


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a=14

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

19.Se supone que el dimetro de un cable elctrico, digamos X, es una v.a.c. con funcin:

(x)=6x(1x), 0


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21.Suponga que en un cierto sistema elctrico, el voltaje X es una variable continua con funcinde probabilidad tal que:

0xxdx=x4 ,0


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Ex=Rx1xxdx

Ex=89x(x-8)dx+910x(10-x)dx

Ex=89x2-8xdx+91010x-x2dx

=89x2 dx-889xdx+10910x dx-910x2dx

=x3389-8x2289+10x22910-x33910

=933-833-8922-822+101022-922-1033-933

=4213+143

=145

Vx=Rx1x2xdx-2

Vx89x2(x-8)dx+910x2(10-x)dx

Ex89x3-8x2dx+91010x2-x3dx

=89x3 dx-889x2dx+10910x2 dx-910x3dx

=x4489-8x3389+10x33910-x44910

=944-844-8933-833+101033-933-1044-944

=45112+52312

=97412

27. Una compaa de procesamiento de datos tiene una microcomputadora, a la cual se accede atravs de un gran nmero de terminales remotas. Se define la variable x = el tiempo (ensegundos) transcurrido para acceder al computador desde una terminal remota y cuya funcinde probabilidad es: (x) = 0,5e -0,5x, x > 0

Encuentre las probabilidades P(x < 0,75) y P(X 2 > 3)


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P(x3)=P(x>5)

P(x>5)=50,5e-0,5xdx

=-0.5e-0.5x-0.55

=-0.5e(-0.5*)-0.5-e(-0.5*5)-0.5

=0.08

29.

30. El tiempo de duracin de las llamadastelefnicas (en minutos) es una variablealeatoria continua con funcin dedensidad:

x=xe-x24, 0


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32. Demuestre que la siguiente funcin es unadensidad: (y)=20(y3 - y4), 0 < y < 1

.Haga un grfico de dicha funcin yencuentre su valor esperado.

i) (y)0 Si es mayor que 0

ii) 0120(y3 - y4)dy

2001y3 dy-2001y4dy

20y4401-20x5501

20144-044-20155-055

5 4

1

Ex=01y20(y3 - y4)dy

2001y4 dy-2001y5dy

20y5501-20x6601

20155-055-20166-066

4-206

E[x] = 0.67

33.El peso en kilogramos de un componente electrnico tiene la siguiente funcin de densidad:

(x)12 0x114 1x3

a) Grafique la funcin y verifique que es una densidad


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i) (y)0 Si es mayor que 0

ii) 0112dx+1314dx

1201x dx+1413xdx

12x01+14x13

121-0+143-1

12+12

1

a) Halle la varianza de dicha variable

Ex=01x12dx+13x14dx

E 1201x dx+1413xdx

12x2201+14x2213

12122-022+14322-122

14+1

54

Vx=Rx1x2xdx-2

1201x2 dx+1413x2dx

12x3301+14x3313

12133-033+14333-133

16+2712

2912

b) Cul es la probabilidad de que un componente pese menos de 2 pero ms de 1/2?


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