PRÁCTICA CALIFICADA

1. ∫( x2 lnxx

¿)dx ¿

∫ x2

x+∫ ln xx

∫ xdx+¿∫ ln xx ¿

12x+ ln

2 x2

+c

12x+ ln x+c

2. ∫ x23√1+2x

dx

1+2x = u3

x = u3−12

∫ x23√1+2x

dx = ∫( u

3−12

)2

3√u3. 3u

2du2

= 32∫u6−2u3+1

4u.u2du

2dx = 3u2du

dx = 3u2du2

38∫ (u7−2u4+u )du = 38 u

8-34. u5

5+38 . u

2

2 + C (debemos a la variable x)

= 38(1+2x )

83 - 320

(1+2x )53+ 316

(1+2x )23 + C

3. tan3 x sec xdx

u = secx du = secxtanx dx (sec(x¿¿2- 1) = tan(x2)

integral de tan3(x).sec(x)dx = integral de tan(x).(sec(x2- 1).sec(x)dx ay que integrar u2-1 du  u33- u + c reemplzar donde estaba u sec(x) 

y luego:

sec3x3 -secx +c

4. ∫ sen5 x cos2 xdx∫ sen5 xcos2xdx = ∫ sen4 x cos2 xsenxdx

= ∫(sen¿¿2 x )2cos2 xsenxdx ¿

= ∫¿¿xsenxdx

= ∫(1−2cos2 x+cos4 x )cos2 xsenxdx

= ∫cos2 xsenxdx−2∫ cos4 xsenxdx+∫cos6 xsenxdx….(I) Si hacemos: cosx = u −senxdx=du senxdx=−du

Reemplazamos en (I): = ∫u (−du )−2∫ u4 (−du )+∫ u6(−du) = −∫udu+2∫ u4du−∫ u6du = −12 u

2+ 25u5−1

7u7+C →Volvemosa la variable

∫ sen5 xcos2 xdx = −12 cos2 x+2

5cos5 x−1

7cos7x+C Rpta.

5. ∫cos5 xdx ∫cos4 xcosxdx =∫(cos¿¿2x )2 cosxdx=∫(1−sen2x)2 cosxdx ¿

= ∫(1−2 sen2¿x+sen4 x )cosxdx¿

= ∫ cosxdx−2∫ sen2 xcosxdx+∫ sen4 xcosxdx ∫cos5 xdx = senx−2

3sen3 x+ 1

5sen5 x+C Rpta.

6. ∫ sec5 xdx

∫ sec^5 x dx = ∫ sec3 sec2 x dx = tanx sec2 x - ∫ tan x (3 sec2 x sec x tan x) dx = tanx sec2 x - 3 ∫ tan^2 x sec3 x dx = tanx sec2 x - 3 ∫ (sec2 x -1) sec3 x dx = tanx sec2 x - 3 ∫ sec5 x dx + 3 ∫ sec3 x dx 

Resulta que

4 ∫ sec5x dx = tanx sec2 x + 3 ∫ sec3 x dx 

∫ sec2 x dx = ∫ sec x sec2 x dx = tan x sec x - ∫ tan x sec x tanx dx = tan x sec x - ∫ (sec2 x -1) sec x dx = tan x sec x - ∫ sec3 x dx + ∫ sec x dx 

Resulta que

2 ∫ sec3 x dx = tan x sec x + ln(sec x + tan x) 

∫ sec3x dx = 1/2(tan x sec x + ln(sec x + tan x)). 

Finalmente 

4 ∫ sec5 x dx = tanx sec2x + 3 ∫ sec^3 x dx 

∫ sec5 x dx = 1/4(tanx 2 x + 3 ∫ sec3x dx)

14 (tan x sec2 x + 3/2 (tan x sec x + ln(sec x + tan x)) + C. Rpta.

7. ∫3sin h (7 x )−8cos h (7 x )dx

∫ (3sinh (7 x )−8cosh(7x )dx )

3∫ sinh (7 x )dx−8∫ cosh (7 x)dx

3cosh (7 x)7−8 sinh(7 x)

7+C

8. ∫(x5¿+ x4+x3+x2−1)℮2 xdx ¿

∫(x5¿+ x4+x3+x2−1)℮2 x¿=℮2x

2 [ x5+ x4+x3+x2−1−5 x4+4 x3+3x2+2 x2+20x3+12x2+6 x+2

4−60x2+24 x+6

8+120 x+2416

+12032 ]

+C

∫(x5¿+ x4+x3+x2−1)℮2 x¿=℮2x

2 [ x5+ x4+x3+x2−1−5 x4+4 x3+3x2+2 x2+10 x3+6 x2+3 x+1

2−30x2+12x+3

4+15x+32

+154 ]

+C