practica califica de antisismica

7/23/2019 Practica Califica de Antisismica

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PRACTICA CALIFICA DE ANTISISMICA

5.3.2.- Vibraciones libres con amortiguamiento.- Los movimientos oscilatorios

tienden a disminuir con el tiempo hasta desaparecer. Esto se debe al

amortiguamiento que se presenta, el cual hace que parte de la energ a se disipe.

Las causas de este amortiguamiento est n asociadas con diferentes fen menos dentro de los cuales se puede contar la fricci n de la masa sobre la superficie de

apoyo, el efecto del aire que rodea la masa, el cual tiende a impedir que ocurra el

movimiento, la no linealidad del material del resorte, entre otros. Existen

numerosas maneras de describir matem ticamente el efecto de fricci n. Dentro

de estos modelos, uno de los m s utilizados es el que se conoce como

amortiguamiento viscoso.

La ecuaci n diferencial para este tipo de movimiento ser : [5.3.2.0.0.1]

Siendo:

El par metro indica la intensidad del rozamiento y es la frecuencia que

tendr a el oscilador si no hubiera rozamiento y recibe el nombre de frecuencia

natural.

Soluci n de la ecuaci n diferencial.

La ecuaci n que determina el movimiento de la masa es la del oscilador arm nico

con un t rmino a adido proporcional a la velocidad, que representa el rozamiento

al que est sometida la masa. Es una ecuaci n diferencial de coeficientes

constantes. La t cnica para resolver este tipo de ecuaciones es buscar soluciones

de la forma:[5.3.2.0.0.2]

La idea es que al derivar esta funci n el resultado es ella misma multiplicada por

el par metro r.

Donde, ! es una constante arbitraria y "r" es un par metro o ra z caracter stica.

Derivando dos veces #.$.%.&.&.% respecto al tiempo, se tiene:[5.3.2.0.0.3]

Sustituyendo #.$.%.&.&.% y #.$.%.&.&.$ en #.$.%.&.&.':

(Ecuaci n caracter stica)

*esolviendo la ecuaci n caracter stica


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[5.3.2.0.0.4]

a).- +ara el caso en que , las ra ces son distintas y si llamamos r 'y

r%, la soluci n general de #.$.%.&.&.' ser : [5.3.2.0.0.5]

b).- +ara el caso en que , hay solo una ra z repetida r y la

sustituci n directa mostrar , que hay una soluci n de la ecuaci n #.$.%.&.&.': [5.3.2.0.0.6]

5.3.2.1.- o!imiento cr ticamente amortiguado "amortiguamiento

cr tico).- Se da cuando el discriminante se anula, haciendo que la constante reciba el nombre de coeficiente de amortiguamiento cr tico .

[5.3.2.1.0.1]

El coeficiente de amortiguamiento real "" y el cr tico " " est n relacionados por

el factor de amortiguamiento relativo (raz n de amortiguamiento o factoramplificador o ndice de amortiguamiento) " " (eta) o " " (zeta), de la

siguiente manera:[5.3.2.1.0.2]

#.$.%.'.&.' en #.$.%.'.&.%:[5.3.2.1.0.3]

#.$.%.'.&.$ en #.$.%.&.&.-:

[5.3.2.1.0.4]

+ara el movimiento cr ticamente amortiguado , que no pertenece a un

movimiento vibratorio. +ara este caso, el sistema retorna a su posici n de

equilibrio sin vibrar en el menor tiempo posible

+ara este caso la soluci n de #.$.%.&.&.' est dada por #.$.%.&.&.: [5.3.2.1.0.5]

*epresentaci n gr fica de los distintos movimientos:


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#igura #5-3.2.1

5.3.2.2.- o!imiento sobreamortiguado "amortiguamiento fuerte osu$ercr tico).- Se da cuando el discriminante tiene un valor real, luego y la

soluci n de #.$.%.'.&.' est dado por #.$.%.&.&.#

[5.3.2.2.0.1]

El sistema retorna a su posici n de equilibrio sin vibrar en un tiempo mayor, que el

que, se produce cuando el amortiguamiento es cr tico.

5.3.2.3.- o!imiento subamortiguado o mo!imiento !ibratorio

amortiguado "amortiguamiento d bil o sub cr tico).- Se da cuando el

amortiguamiento es peque o, haciendo que el discriminante tenga ra ces comple/as con/ugadas, luego (sub cr tico):

(i 0 1 ' unidad imaginaria)

En #.%.%.%.&.#:

[5.3.2.3.0.1]

onsiderando las relaciones de Euler:[5.3.2.3.0.2]

2er: 3asor

Se anula las ra ces de las cantidades imaginarias: #.$.%.$.&.% en #.$.%.$.&.':

[5.3.2.3.0.3]
http://www.unasam.edu.pe/cursodinamica/Curso/www/lecciones/tem05/lec05_9.htmlhttp://www.unasam.edu.pe/cursodinamica/Curso/www/lecciones/tem05/lec05_9.html


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En #.$.%.$.&.' llamamos a la frecuencia angular del sistema "frecuencia

de las oscilaciones amortiguadas o $ulsaci n $ro$ia amortiguada)% definido

por la siguiente relaci n:

donde:

[5.3.2.3.0.4]

El valor del coeficiente de amortiguamiento en estructuras reales es

considerablemente menor que el coeficiente cr tico de amortiguamiento

generalmente fluct an entre el %4 y el %&4 del valor cr tico. Sustituyendo este valor m ximo, 0 &.%& en la ecuaci n #.$.%.$.&.- da:

De este resultado se puede observar que la frecuencia de vibraci n de un sistema

con un coeficiente de amortiguamiento alto como del %&4 del amortiguamiento

cr tico, es pr cticamente igual, a la frecuencia natural de un sistema sin

amortiguamiento, +or esta raz n, en la pr ctica, la frecuencia natural de un

sistema con amortiguamiento se considera igual a la frecuencia calculada en elsistema sin amortiguamiento. 5+ara peque os (usado mucho en la

ingenier a)6.

La ecuaci n #.$.%.$.&.$, tambi n se pude expresar de la siguiente manera: [5.3.2.3.0.5]

Donde :

on una amplitud decreciente limitada por las curvas , como se ve en la

representaci n gr fica:

#igura #5-3.2.2

(periodo amortiguado), (frecuencia amortiguada) y son constantes

(independientes del tiempo), a n cuando no lo sea la amplitud, ya que, la amplitudm xima del movimiento disminuye con el tiempo debido al factor .


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&ecremento logar tmico "&').-

El amortiguamiento viscoso lineal no es un elemento f sico real, en muchos

sistemas f sicos, sino un concepto matem tico que se utiliza para explicar la

disipaci n de energ a. +or esta y otras razones, suele ser necesario determinar experimentalmente el valor de (raz n de amortiguamiento). Esto se logra

f cilmente midiendo el desplazamiento en dos "picos" sucesivos del movimiento,por e/emplo, si se tiene con (la intersecci n de las curvas no se

dan en el mismo punto en sus valores m ximos, al desvi se le considera

insignificante):[5.3.2.3.0.6]

7omando logaritmos neperianos de uno y otro miembro y llam ndole decrementologar tmico , que viene a ser la cantidad de amortiguamiento presente en un

sistema que, consiste en medir la raz n de ca da: [5.3.2.3.0.(]

Donde :

(+eriodo de la vibraci n libre amortiguada)

uando el amortiguamiento del sistema es peque o, los desplazamientos

ser n casi iguales , con lo que ser muy peque o,

entonces , con lo que o sea .

ota.- Si los valores de 8'y 8%son tan pr ximos que es pr cticamente imposible

distinguirlos experimentalmente, las f rmulas anteriores pueden modificarse parautilizarse con dos amplitudes separadas nciclos.

*+em$lo ilustrati!o.-

9na plataforma que pesa 0 %& ;< est soportada por cuatro columnas

empotradas en los cimientos y en la plataforma. Se ha determinado,

experimentalmente, que una fuerza est tica horizontal, 3 0 # ;


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Soluci n

').1 El modelo discretizado de la plataforma, es:

%).1 D..L.:

$).1 lculo del coeficiente de rigidez equivalente.1 El coeficiente de rigidez que

viene a ser la fuerza por unidad de desplazamiento, se obtiene de la siguiente

manera:

-).1 lculo de la frecuencia natural:

#).1 lculo del coeficiente de amortiguamiento:Si:

Luego, el coeficiente de amortiguamiento es:

).1 lculo del decremento logar tmico.1 Es aproximadamente (el coeficiente de

amortiguamiento es peque o con respecto al cr tico) a:

y la raz n de dos amplitudes consecutivas m ximas, es:

=).1 lculo del n mero de ciclos y el tiempo correspondiente:


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Si, la raz n entre la primera amplitud 8 &y la amplitud 8;, despu s de ; ciclos,

puede expresarse como:

7omando logaritmos naturales:

La frecuencia con amortiguamiento, est dado por:

y el periodo 7>, por:

+or lo tanto, el tiempo para ? ciclos es:

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