practica 3

ESCUELA POLITECNICA NACIONALFACULTAD DE INGENIERIA MECANICA

LABORATORIO DE AUTOMATIZACION INDUSTRIALDE PROCESOS MECANICOS

LABORATORIO DE DINAMICA DE SISTEMASINFORME 3

INTEGRANTES:

Rodrıguez Lugmana Luis Ivan

Jacome Soria Diego Fernando

HORARIO: Jueves 12-14

1. TEMA:

ANALISIS DE LOS METODOS NUMERICOS PARA EL ESTUDIO DE LA DINAMICA DESISTEMAS

2. OBJETIVOS

Entender el concepto de metodo numerico.

Conocer la base teorica del metodo de Euler.

Implementar el metodo de Euler en Matlab.

Simular la dinamica de un sistema en Matlab mediante el metodo de Euler.

3. PREGUNTAS

El metodo de Euler se ve limitado por el orden o el grado de la ecuacion diferencial?

Permite resolver una EDO de primer orden de la forma:

dy/dx= f(x,y)

El metodo de Euler se ve limitado por el orden o el grado de la ecuacion diferencial?

El Metodo de Euler o de las Tangentes constituye el primer y mas sencillo ejemplo de metodonumerico para la resolucion de un problema de valor inicial:

y = f(x, y), y(0) = y0

Donde suponemos ademas que se verifican las hipotesis del Teorema de Picard 1. Y en conse-cuencia existe solucion unica para el problema.

1Consideraremos en general que la funcion f(x; y) es diferenciable en un entorno del punto (x0, y0). Si bien es ciertoque se trata de una condicion mas restrictiva de lo estrictamente necesario, en la practica trabajaremos siempre confunciones de ese tipo.

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Interpretando la ecuacion diferencial ordinaria y como un campo de direcciones en el plano xyy la condicion inicial y(x0) = y0 como un punto (x0, y0) de dicho plano, podemos aproximar lafuncion solucion y(x) por medio de la recta tangente a la misma que pasa por ese punto:

En que casos no es fiable el metodo de Euler?

Desde el punto de vista geometrico, tenemos en definitiva que el Metodo de Euler aproxima ala funcion solucion por medio de una lınea poligonal, la aproximacion sera tanto peor cuantomayor sea en nuumero de pasos, es decir, cuanto mas lejos nos encontremos del punto inicial(x0, y0). Por otro lado, el error sera evidentemente tanto mayor cuanto mas grande sea el pasodel metodo.

En que forma varıan los datos de la variable independiente de la solucion de la ecuaciondiferencial?

Se llama Ecuacion Diferencial Ordinaria a una ecuacion del tipo:

F (x, y, y, y, .....yn) (1)

Que relaciona la variable independiente x, la funcion buscada y=y(x) y las derivadas de estafuncion:

y(x), y(x), ...., yn(x) (2)y la ecuacion diferencial es de primer orden si tiene la derivada de orden 1

Enumere y explique RESUMIDAMENTE otros metodos numericos para resolver ecuacio-nes diferenciales.

1. METODO DE TAYLOREl Metodo de Euler que se describio no es mas que un caso particular de los metodos de Taylor,que consisten de manera general en aproximar la solucion por su polinomio de Taylor de unorden determinado. Partiendo por tanto del P.V.I.

y = f(x, y) (3)y(x0) = y0 (4)

Tal que presenta solucion unica y(x) en un entorno de x0 (solucion que suponemos ademasderivable n veces en dicho entorno), aproximaremos dicha funcion por su polinomio de Taylorde orden N:

2. METODO DE RUNGE KUTTALa idea general de los Metodos de Runge-Kutta es sustituir el Problema de Valor Inicial:

y = f(x, y) (5)y(x0) = y0 (6)

Por la ecuacion diferencial equivalente∫ x1

x0y(x) dx =

∫ x1

x0f(x, y(x)) dx

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y = y0 +∫ x1

x0f(x, y(x)) dx

yn+1 = yn +∫ xn+1

xn

f(x, y(x)) dx

3.METODO DE EULER MODIFICADOSe observa a continuacion una variante del Metodo de euler, llamado habitualmente Metodo deEuler Modificado. Se trata de un metodo mas preciso que el de Euler y ademas mas estable.La idea fundamental del metodo modificado es usar el metodo de los trapecios para integrar laecuacion y = f(x, y).

yn+1 = yn + h/2(f(xn+1, yn+1 + f(xn, yn))f(x, y(x)) dx

4. EJERCICIO 1

Para el sistema electrico de la figura:

a. Modelar el sistema a traves de sus ecuaciones diferenciales.

ER = RiR(t) (7)

Ec = 1CD

ic(t) (8)

El = LDil(t) (9)

E(t) = ER + Ec + El (10)Tambien equivale a lo siguiente:

V (t) = VR + Vc + Vl (11)

Ecuacion diferencial

V (t) = Li + Ri + 1C

(12)

b. Simular en Vensim con los siguientes datos: R = 10ohmios, C = 0, 1F ,L = 0, 01H, V = 10V, h = 0, 1 (paso de integracion), iL = 0yvC = 0. Mostrar las gra?cas de como varıa el voltaje yla corriente en el circuito.

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Comportamiento del sistema ante una entrada de 10 V

c. Simular en Matlab, utilizando el metodo de Euler. Mostrar las graficas de como varıa elvoltaje y la corriente.

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d. Realizar un analisis comparativo entre las simulaciones obtenidas en Vensim y Matlab.

VENSIM

Se observa que el tiempo de estabilizacin es corto, debido a que la carga establecida es unamedida de la velocidad.

MATLAB

Se observa que la estabilidad se encuentra al principio del grafico.

Las dos graficas son distintas, ya que al realizar el vensim se analizo la corriente y la carga(voltaje). En el matlab se realizo el analisis por medio del metodo de Euler tomando en cuentala ecuacion de segundo grado con la resistencia en paralelo a la capacitancia.e. En Matlab, variar la capacitancia con un valor mayor al original. Comentar como influye estecambio en el sistema con respecto al voltaje y la corriente. Agregar las graficas respectivas.

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El valor de intensidad y de voltaje disminuyen considerablemente al ubicar una capacitor deC = 0,8F . El cual es de mayor capacidad que el anterior quiere decir que existe un mejorrendimiento.

f. En Matlab, variar la capacitancia con un valor menor al original. Comentar como influye estecambio en el sistema con respecto al voltaje y la corriente. Agregar las graficas respectivas.

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El valor de intensidad y de voltaje aumenta al ubicar una capacitor de C = 0,001F . El cualtiene menor capacidad que el anterior quiere decir que existe un rendimiento reducido.

g. En Matlab, variar la inductancia con un valor menor al original. Comentar como influye estecambio en el sistema con respecto al voltaje y la corriente. Agregar las gra?cas respectivas.

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Al tener una inductancia de L = 0,0001H los valores no varıan de manera significativa, dandocomo conclusion que la inductancia no opone mucha resistencia a la intensidad de corriente.h. En Matlab, variar la resistencia con un valor mayor al original. Comentar como influye estecambio en el sistema con respecto al voltaje y la corriente. Agregar las graficas respectivas.

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Al presentar una resistencia de R=80 ohmios no existe paso de corriente por el circuito, a mayorresistencia menor intensidad de corriente por el circuito.

i. Cambiar el valor de paso de integracion por h = 0,01 en Matlab. Como influye este cambioen el sistema?(presentar los graficos que justifıquen su respuesta)

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Al presentar un paso de integracion de h=0.01 se obtiene una sinusoidal la cual arroja conclu-siones, como son. No alcanzan la estabilidad, se presenta una variacion de picos y valles la cualrepresenta a una corriente alterna.

5. CONCLUSIONES

Diego Jacome

Al considerar valores no adecuados en un sistema electrico, los resultados que arrojan sonerroneos necesitando tambien una atencion en las unidades de medida ya que se podrıanutilizar diferentes sistemas.

Con valores de resistencia mas altos la intensidad de corriente no es la adecuada.

En sistemas electricos la estabilidad que presenten, dependen de las conexiones que tengan,si no se consideran los parametros adecuados salen valores alejados de la verdad sin larespuesta al problema que se necesite resolver.Ivan Rodrıguez

Al reducir el valor de h se obtiene un menor error en las graficas de la intensidad decorriente.

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Aparentemente el cambio en el valor de la inductancia o capacitancia no es considerableen los resultados finales.

6. RECOMENDACIONES

Ofrecer un horario de consultas, ya que se necesita preguntar cosas referentes al informe

Configurar el software Vensim de manera correcta ya que si no se lo hace se podrıa tenererrores.

7. BIBLIOGRAFIA

http..es.wikipedia.org,Metodo de euler

es.wikipedia.org,wiki,Metodo de Runge Kutta

http://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/metodos/ode/

Dinamica de Sistemas, Katsuhiko Ogata, 4ta edicion

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