pr 02 fiisca ii 2014 i

Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II PENDULO SIMPLE Optaciano Vásquez G. 2016

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Universidad nacional

“SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS

SECCIÓN DE FÍSICA

MANUAL DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO DE FISICA II

PRACTICA N° 02 “PENDULO SIMPLE”

AUTOR:

M.Sc. Optaciano L. Vásquez García

HUARAZ - PERÚ

2016


2

UNIVERSIDAD NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS

“SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO” DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

SECCIÓN DE FISICA

CURSO: FISICA II

PRACTICA DE LABORATORIO Nº 2.

PENDULO SIMPLE

I. OBJETIVO(S)

1.1. Objetivos Generales

Comprender el origen físico de la ecuación diferencial del oscilador armónico simple

Estudiar las oscilaciones del péndulo y determinar las simplificaciones que deben hacerse para que

dichas oscilaciones puedan ser descritas como un movimiento armónico simple

1.2. Objetivos Específicos

Investigar la dependencia del período T de un péndulo simple de su longitud L y la masa m de la masa

pendular.

Mostrar que el período T de un péndulo depende significativamente de la amplitud angular de la

oscilación para ángulos grandes, pero que la dependencia es insignificante para pequeñas amplitudes

angulares de oscilación.

Determinar experimentalmente el valor de la aceleración de la gravedad g en el laboratorio

comparando el período de un péndulo simple medido con la predicción teórica.

II. MARCO TEÓICO Y CONCEPTUAL

El péndulo simple o péndulo matemático es un sistema mecánico que exhibe movimiento periódico oscilatorio.

El péndulo simple consiste en una esfera considerada puntual de masa m suspendida de un punto fijo mediante

una cuerda larga, flexible e inextensible de longitud L y masa despreciable en comparación con la masa de la

esfera, como se muestra en la figura 2.1a.

(a) (b)

Figura 2.1. (a) Representación de un péndulo simple, (b) diagrama de cuerpo libre de m.

APELLIDO S Y NO MBRES................................................................................................ ……. CODIGO.......................... FECHA..................

FACULTAD................................................... ESCUELAPRO FESIO NAL............................................. ... GRUPO .......................

AÑO LECTIVO : ................................... SEMESTRE ACADEMICO .......................... ....... .NO TA................................

DO CENTE............................................................................................................ FIRMA.....................................


3

Si la masa m se desplaza un ángulo pequeño θ a partir de la posición vertical y se libera desde el reposo se

observa que la esfera describe un movimiento armónico simple siempre y cuando se desprecie la fricción entre

ella y el aire.

Del diagrama de cuerpo libre de la partícula de masa m se observa que sobre ésta actúan: la tensión �⃗� , a lo largo

del hilo y el peso �⃗⃗⃗� = 𝑚𝑔 de la masa pendular. La componente tangencial del peso 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 siempre se

encuentra dirigida hacia la posición de equilibrio, de dirección opuesta al desplazamiento 𝑠 . Por tanto, la fuerza

tangencial es una fuerza de restitución, de tal manera que cuando se aplica la segunda ley de Newton en

dirección tangencial, se tiene

t tF ma (2.1)

2

2

d smgsen m

dt (2.2)

Donde 𝑠 es el desplazamiento medido a lo largo del arco de circunferencia descrito por el péndulo y el signo

negativo (-) indica el hecho de que la componente tangencial 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 actúa en dirección opuesta al

desplazamiento (es decir está dirigida hacia la posición de equilibrio). Por otro lado la magnitud del

desplazamiento es 𝑠 = 𝐿𝜃 , siendo la longitud del péndulo L constante, la ecuación 2.1 se escribe

2 2

2 2

d L dm mL mgsen

dt dt

(2.3)

0g

senL

&& (2.4)

Esta es ecuación diferencial no lineal, cuya solución exacta es un desarrollo en serie de infinitos términos. Sin

embargo, si las oscilaciones son pequeñas, es decir el ángulo θ es pequeño, se puede utilizar la aproximación

𝑠𝑒𝑛𝜃 ≅ 𝜃 , donde el ángulo θ se expresa en radianes. Por lo tanto la ecuación diferencial (2.4) se escribe

0g

L && (2.5)

La ecuación (2.3) es la ecuación deferencial de un movimiento armónico simple, es decir, m describe un

Movimiento armónico simple (M.A.S. y la solución de la ecuación (2.5) es de la forma

0sen t (2.6)

Donde θ0 es el máximo desplazamiento angular, φ es el desfasaje y ω es la frecuencia natural circular, la misma

que queda expresada como

2 g

T L

(2.7)

El período del movimiento pendular está dado por


4

2L

Tg

(2.8)*

Donde L es la longitud medida desde el punto de suspensión hasta el centro de masa de la esfera y g es la

aceleración de la gravedad local. Debe observarse además que la masa m de la esfera y la amplitud máxima de

las oscilaciones θ0, no aparecen en esta expresión. El período de un péndulo (dada nuestra hipótesis) no es

dependiente de m y θ0 al menos de acuerdo a la teoría. Sin embargo, si nuestras hipótesis no se aplican al estudio

del péndulo (el cable es pesado, la esfera tiene una gran y complicada forma, la amplitud es grande, etc), podría

esperarse que esta fórmula no predice correctamente el período del péndulo.

Una investigación científica correcta trata de incluir todos menos uno de los factores que influyen

constantemente. Los factores que permanecen constantes son llamados controles. El único factor que cambia

durante la experimentación se llama variable independiente. La propiedad del sistema físico que se mide para

determinar el efecto de cambio de la variable independiente es llamada variable dependiente. Si logramos

mantener todos los demás factores constantes, cualquier cambio en el resultado de un e xperimento debería

provenir de la variable independiente. De este modo, tratamos de dejar fuera los efectos individuales que cada

uno de los factores ejerce sobre el fenómeno que estamos estudiando. Así por ejemplo si la amplitud de

oscilación es grande, el período queda expresada por la ecuación

2 41 92 1 .................

4 2 64 2

LT sen sen

g

(2.9)

En este experimento, Ud. podrá determinar experimentalmente la validez de las fórmulas teórica para el período

(T) de un péndulo simple. Va a estudiar la forma en que el período de un péndulo simple (la variable

dependiente) es afectada cuando se varía tanto la masa m de la esfera, así como la amplitud θ0 de las

oscilaciones, o la longitud L del péndulo (la variable independiente) y manteniendo los otros factores (los

controles) constantes. También se utilizará los resultados de estos experimentos para medir el valor de la

aceleración de la gravedad g experimentalmente.

III. MATERIAL A UTILIZAR

3.1. Un soporte universal con dos varillas de acero y una nuez.

3.2. Una prensa.

3.3. Una regla graduada en mm.

3.4. Un kit del péndulo simple.

3.5. Un cronómetro.

3.6. Un nivel de burbujas.

3.7. Un vernier

3.8. Una balanza

IV. METODOLOGÍA

4.1 EXPERIMENTO 1. Investigación de la dependencia del período (T) de la amplitud de la

oscilación (θ0).

En este experimento se trata de medir los períodos (Ti) del péndulo para diversas amplitudes θi,0,

manteniendo una longitud (L) fija así como una masa también constante m1 durante el experimento y

representar en una gráfica la relación entre ambos. Para ello se sigue el siguiente procedimiento.

a) Utilizando la esfera de acero, realice la instalación mostrada en la figura 2.2b. En la parte superior,

el hilo debe amarrarse de tal manera que se pueda cambiar la longitud con facilidad.


5

b) Fije la longitud L del péndulo a un valor de 1 m aproximadamente midiendo la longitud del hilo con

la regla y con el vernier el diámetro de la esfera (𝐿 = 𝐿ℎ𝑖𝑙𝑜 + 𝑅𝐸). Registre dicho valor con su

respectivo error.

c) Con la balanza mida la masa m de la esfera. Registre dicho valor con su respectivo error

d) Desplace lateralmente a la masa pendular m un ángulo de 5° a partir de la posición de equilibrio y

libérela desde el reposo, midiendo el ángulo con un transportador.

(a) (b)

Figura 2.2. (a) Péndulo simple del laboratorio, (b) Instalación del péndulo simple

e) Con el cronómetro mida el tiempo requerido para 10 oscilaciones. Repita este paso por tres veces y

registre sus datos en la tabla I.

f) Determine el período del péndulo para dicho ángulo usando la ecuación (𝑇 = 𝑡 𝑛⁄ ), donde t es el

tiempo y n el número de oscilaciones.

g) Repita los pasos (d), (e) y (f) para ángulos de 10°, 15°, 20°, 25° y 30°. Ordene los datos en la tabla I

y haga una gráfica representando el período en función de la amplitud.

Tabla I. Relación período (T) – amplitud de oscilación (θ0) para el movimiento pendular.

Experimento I: L =L0 ± ΔL =…………..± ………….; m = mo ± Δm =……………..±…………

Amplitud Tiempo (s) Período promedio

t1 t2 t3 T1 T2 T3 Tpromedio

5°

10°

15°

20°

25°

30°

4.2 Experimento II. Investigación de la dependencia del período (T) de la masa (m) del péndulo.

En este experimento se trata de medir los períodos (Ti) del péndulo para diversas masa mi manteniendo

constantes la amplitud θ0 y la longitud (L) durante todo el experimento y representar en una gráfica la

relación que aparece entre el período y la mas a del péndulo. Para ello se sigue el siguiente

procedimiento.

a) Utilizando la esfera de acero, realice la instalación mostrada en la figura 2.2b.


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b) Fije la longitud L del péndulo a un valor de 1 m aproximadamente midiendo la longitud del hilo con

la regla y con el vernier el diámetro de la esfera (𝐿 = 𝐿ℎ𝑖𝑙𝑜 + 𝑅𝐸). Registre dicho valor con su

respectivo error.

c) Con la balanza mida la masa m de la esfera. Ristre su valor con su respectivo error en la Tabla II.

d) Considere una amplitud constante midiendo con el transportador un ángulo entre 𝜃 ≅ 5° − 10°.

Registre el valor escogido en la Tabla II.

e) Desplace lateralmente a la esfera hasta el ángulo escogido y déjela oscilar libremente.

f) Mida el tiempo que demora la esfera en dar 10 oscilaciones. Registre sus valores en la Tabla II.

g) Determine el período del péndulo para dicho ángulo usando la ecuación (𝑇 = 𝑡 𝑛⁄ ), donde t es el

tiempo y n el número de oscilaciones

h) Repita los pasos desde (a) hasta (g) para las demás esferas. Registre sus valores en la Tabla II.

Tabla II: Relación período (T) – masa (m) para el movimiento pendular

Experimento II: L = L0 ± ΔL =…………..± ………….; 𝜽𝟎 = 𝜽o ± Δ𝜽𝟎 =……………..±…………

Masa (g)

Tiempo (s) Período promedio


4.3 Experimento III. Investigación de la dependencia del período (T) de la longitud (L) del péndulo.

En este experimento se trata de medir los períodos (Ti) del péndulo para diversas masa Li manteniendo

constantes la amplitud θ0 y la masa del péndulo m durante todo el experimento y representar en una

gráfica la relación que aparece entre el período y la longitud del péndulo. Para ello se sigue el siguiente

procedimiento.

a) Utilizando la esfera de acero de mayor diámetro, realice la instalación mostrada en la figura 2.2b.

b) Con la balanza mida la masa m de la esfera. Ristre su valor con su respectivo error en la Tabla III.

c) Considere una amplitud constante midiendo con el transportador un ángulo entre 𝜃 ≅ 5° − 10°.

Registre el valor escogido en la Tabla III.

d) Fije la longitud L del péndulo a un valor de 1,20 m aproximadamente midiendo la longitud del hilo

con la regla y con el vernier el diámetro de la esfera (𝐿 = 𝐿ℎ𝑖𝑙𝑜 + 𝑅𝐸). Registre dicho valor con su

respectivo error en la tabla III.

e) Desplace lateralmente a la esfera hasta el ángulo escogido y déjela os cilar libremente.

f) Mida el tiempo que demora la esfera en dar 10 oscilaciones. Registre sus valores en la Tabla III.

g) Determine el período del péndulo para dicho ángulo usando la ecuación (𝑇 = 𝑡 𝑛⁄ ), donde t es el

tiempo y n el número de oscilaciones

h) Repita los pasos desde (a) hasta (g) para las demás longitudes. Registre sus valores en la Tabla III.

Tabla III: Relación período (T) – longitud (L) para el movimiento pendular

Experimento I: 𝜽𝟎 = 𝜽o ± Δ𝜽𝟎 =…………..± ………….; m = mo ± Δm =……………..±…………

Longitud (m)

Tiempo (s) Período promedio


1,20

1,10

1,00

0,90


7

0,80

0,70

0,60

0,50

4.4 Modelo matemático

En las secciones anteriores pudimos encontrar que el período de un péndulo depende de su longitud

pero no de su masa. Ahora vamos a tratar de determinar de qué manera el período depende de la

longitud de péndulo. Para entender detalladamente como el período y la longitud están relacionados

necesitamos construir un modelo matemático. En esta ecuación nuestro modelo sería una ecuación que

exprese la relación detallada entre el período del péndulo y la longitud del mismo. Tendremos en cuenta

dos modelos para evaluar cómo el período del péndulo está relacionado con su longitud.

Modelo lineal: 𝑇 = 𝐴𝐿 + 𝐵, donde A y B son constantes .

Modelo cuadrático: 𝑇2 = 𝐶𝐿 + 𝐷 , donde C y D son constantes.

Nuestro objetivo es determinar dos cosas

Primero: ¿Ninguno de los dos modelos describen correctamente los datos (dentro de las

incertidumbres)?

Segundo: en caso afirmativo, ¿cuáles son los valores de las constantes en el modelo?

Para evaluar la situación presentada construimos dos gráficas usando el programa Excel. Una será una

gráfica de T (en el eje de las y) frente a L (en el eje de las x). El modelo lineal predice que los datos se

encuentran a lo largo de una línea recta en un gráfico T vs L. El segundo gráfico corresponde a una

relación T2 vs L. El modelo cuadrático predice que los datos podrían fijarse sobre una línea recta en el

gráfico T2 vs L. Para construir estos gráficos abra el programa Excel y construya una tabla de datos con

columnas para L, T y T2. Graficando los puntos cada vez que midió el período (tal que para cada

longitud podría graficar tres valores del período). A continuación puede crear las gráficas T vs L y T2 vs

L y usando el Excel construir la “mejor línea recta” (la recta que mejor se ajusta a los datos

experimentales). Debe estar seguro además que las unidades han sido utilizadas adecuadamente y que

la línea recta es graficada adecuadamente y a partir de ella s e obtiene el coeficiente de regresión lineal

así como la ecuación de la recta de ajuste que no permita determinar la pendiente y las intersecciones

con los ejes coordenados.

4.5 Cálculo de la aceleración de la gravedad

Lo más inmediato sería aplicar la ecuación (2.8)* del período de un péndulo en función de su longitud L

para hallar 𝑔 = 4𝜋2𝐿/𝑇2. Sin embargo, aunque el período puede medirse con bastante precisión, su

longitud (distancia desde el centro de masa de la masa pendular hasta el punto de suspensión ) no es bien

determinada. Por el contrario, los incrementos en la longitud del péndulo se miden con un error tan

pequeño como la sensibilidad de la escala graduada de la que se dispone, ya que en esta medida no

influye la posición del centro de masas de la esfera.

Para eliminar estas discrepancias uno de los métodos es construir una gráfica T2 (eje Y) en función de la

longitud L (eje X) y determinar la pendiente (T2/L) de la recta obtenida y a partir de la pendiente de la

recta obtener la aceleración de la gravedad. Es decir

2 2

2 2 44

L TT

g L g

(2.10)


8

24g

Pendiente

(2.11)*

Un modelo ideal sería el mostrado en la figura 2.3

Figura 2.3. Modelo teórico para encontrar la aceleración de la gravedad usando el péndulo simple

Como la constante K se puede expresar con tanta precisión como se requiera, el error relativo de la

aceleración de la gravedad g es el mismo de la pendiente A

g K

g K

(2.12)

Debe observarse así mismo que debido a los errores experimentales la recta de la gráfica T2 – L

mostrada en la figura 2.3, no necesariamente pasa por el origen de coordenadas para ello debe usarse la

ecuación

2T B KL (2.13)

Donde los parámetros K y B se determinan utilizando el análisis de regresión lineal.

V. CALCULOS Y RESULTADOS.

5.1. ¿Por qué es necesario que las amplitudes de las oscilaciones deben ser pequeñas?

5.2. Con los datos de la Tabla I y utilizando el programa EXCEL trace una gráfica período en función de la

amplitud 𝑇 = 𝑓(𝜃0). ¿Qué tipo de gráfica obtuvo? Discuta a partir de la gráfica si existe dependencia

entre estas magnitudes. Explique su razonamiento

5.3. Con los datos de la Tabla II y utilizando el programa EXCEL trace una gráfica período en función de la

masa 𝑇 = 𝑓(𝑚). ¿Qué tipo de gráfica obtuvo? Discuta a partir de esta gráfica si existe dependencia entre

estas magnitudes. Explique su razonamiento

5.4. Con los datos de la Tabla III y utilizando el programa EXCEL trace una gráfica período en función de la

longitud 𝑇 = 𝑓(𝐿). ¿Qué tipo de gráfica obtuvo? Discuta a partir de esta grafica si existe dependencia

entre estas magnitudes. Explique su razonamiento

5.5. Con los datos de la Tabla III, construya una tabla con los valores medidos, errores y unidades de

T2 (período al cuadrado) y la longitud del péndulo 𝐿 = 𝐿0 + 𝑅𝐸

5.6 Con los datos de la Tabla construida en el acápite 5.5, y usando el programa EXCEL trace una gráfica

𝑇2 = 𝑓(𝐿), utilice el análisis de regresión lineal. ¿Qué tipo de gráfica obtuvo? A partir de esta gráfica

determine la aceleración de la gravedad de la ciudad de Huaraz con su respectivo error absoluto y

porcentual


9

5.6 Con los datos de la Tabla III, trace una gráfica 𝑙𝑜𝑔𝑇 = 𝑓(𝑙𝑜𝑔𝐿). ¿Qué tipo de gráfica obtuvo? A partir de

esta gráfica determine la aceleración de la gravedad de la ciudad de Huaraz con su respectivo error

absoluto y porcentual

5.7. ¿Cuál (s) de las variable ensayadas tienen una mayor significancia en el período del péndulo?

5.7. ¿Cuáles son las posibles fuentes de error de su experimento?

5.8 ¿En qué puntos durante la oscilación de la masa pendular, la esfera tendrá su mayor velocidad? ¿Su

mayor aceleración?

5.9. Si la amplitud de la oscilación fuere mucho mayor que los ángulos recomendados, ¿Qué clase de

movimiento describiría el péndulo? ¿Puede encontrarse el período? ¿Qué ecuación utilizaría?

5.10. Discuta las transformaciones de energía que ocurren durante el movimiento del péndulo simple

5.11 Se llama péndulo que bate segundos a aquel que pasa por su posición de equilibrio, una vez cada

segundo. (a) ¿Cuál es el período de este péndulo? (b) Determine la longitud del péndulo que bate

segundos utilizando la gráfica 𝑇2 = 𝑓(𝐿).

VI. RECOMENDACIONES

6.1. Asegúrese que la amplitud de la oscilación para los experimentos II y III sean pequeñas, en caso de no

disponer de un transportador esta situación se consigue desplazando la masa una distancia horizontal de tal

manera que dicha distancia sea un décimo de la longitud del péndulo.

Figura 2.3. Mecanismo como se puede determinar la medida del ángulo

6.2. Durante la experimentación mantener las ventanas y puertas cerradas y los operadores no deben caminar

cerca del dispositivo, debido a que se generan corrientes de aire que afectarían la precisión en las

mediciones.

6.3. Conviene computar el tiempo a partir de una posición que no sea el extremo de la trayectoria de la masa

pendular.

VII. BIBLIOGRAFÍA

1. GOLDEMBERG, J. Física General y Experimental. Vol I. Edit. Interamericana. México 1972.

2. MEINERS, H. W, EPPENSTEIN. Experimentos de Física. Edit. Limusa. México 1980

3. SEARS, ZEMANSKY, YOUNG. Física Universitaria. Vol I. Edit. Addison – Wesley Ibe. USA – 2005

4. HALLIDAY, RESNICK, WALKER. Fundamentos de Física Vol I. Edit CECSA. México- 2006

5. SERWAY RAYMOND. Física.. Vol. II. Edit. Mc Graw-Hill Mexico – 2005.

6. TIPLER A. PAUL. Física para la Ciencia y la Tecnología. Vol I. Edit. Reverte, S.A. España – 2000.

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Education