poynting
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Teoría ElectromagnéticaTRANSCRIPT
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Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Energa. Teorema de Poynting 1
Ecuaciones generalesModelo de Maxwell
Introduccin
Fuentes de campo:
Carga elctrica. Corriente elctrica.
Ecuacin de continuidad.
Definicin del campo electromagntico.
Ecuaciones de Maxwell.
Forma Integral. Forma diferencial.
Ecuaciones de estado.
Influencia sobre los materiales.
Clasificacin de medios.
Ley de Ohm. Constante de relajacin.
Condiciones en las interfases.
Linealidad de las ecuaciones de Maxwell.
Balance energtico: Teorema de Poynting
J.L. Fernndez JambrinaEyM 2c-1
Linealidad de las ecuaciones de MaxwellPrincipio de Superposicin
En el caso de medios lineales, , y independientes del valor de los campos, las ecuaciones de Maxwell son lineales:
Todas las operaciones implicadas son lineales: sumas, productos y derivadas.
Esto quiere decir que si:
dan lugar a unos campos
dan lugar a unos campos
Entonces, dan lugar a
Este hecho recibe el nombre de principio de superposicin.
Permite descomponer una situacin en varias ms simples.
11, Jr
22 , Jr
11,BErr
22 ,BErr
2121 , JJJrrr
+=+=
2121 , BBBEEErrrrrr
+=+=
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Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Energa. Teorema de Poynting 2
En una regin existe un campo electromagntico:
Si en ella se mueve una carga q con una velocidad , sobre ella aparecer una fuerza de origen electromagntico:
Puesto que la carga se mueve, esta fuerzadesarrolla un trabajo:
Considerando un desplazamiento infinitesimal:
La potencia asociada:
Este trabajo se hace a costa de la energa almacenada en forma electromagntica por el sistema:
vr
Energa: Introduccin.
BErr
,
( )BvEqFEMrrrr
+=
( )ldEqldF
ldBvldv
ldBvEqldFEM
EMrrrr
rrrrr
rrrrrr
=
+=
||
( ) ( ) vEqdt
ldEqldEq
dt
dldF
dt
dEM
rrr
rrrrr===
vEqdt
dWEM rr
=
rv
rE
qEr
rB
qv Br r
q dlr
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Energa: Introduccin. (2)
Si se tratase de una distribucin volumtrica de carga (y de corriente), la cantidad de energa electromagntica que en un dV se transforma en otro tipo de energa es:
Y en un volumen V:
Conclusiones:
La expresin es el incremento de energa en forma electromagntica del sistema por unidad de tiempo y volumen debido a conversin de tipo de energa.
Si , entonces el sistema pierde energa en forma electromagntica: se transformar en otro tipo de energa, por ejemplo energa mecnica o trmica.
Si , entonces el sistema gana energa en forma electromagntica: algn tipo de energa se transformar en energa electromagntica. Es el caso de los generadores.
vEqdt
dWEM rr
=
dVJEdVvEdqvEdVdtdV
dWEMrrrrrr
===
0> EJrr
0
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Energa. Teorema de Poynting 3
En un conductor:
La variacin de energa por unidad de tiempo y volumen:
Puesto que esta energa se transforma en calor, la potencia disipada por unidad de volumen ser:
Adelantando un poco,
si se tratase de una corriente estacionaria:
Y si el conductor tuviese dos electrodos a potenciales constantes y slo circula corriente a travs de ellos:
Resultado conocido.
Energa: Introduccin (3)Efecto Joule
2
EJEdtdV
dWEMrrr
==
JEdtdV
dW CEMrr
=
= 0
=VA =VB
IA B
SASB
( )IVVdSJdVJEdt
dWBA
SV
CEM === rrr
EJrr
=
( ) ( ) JEJJE
JJJ rrrrr
rrr
=
==
+=
0
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Energa: Teorema de Poynting
Manipulando ecuaciones:
Si el medio es lineal:
Entonces:
Integrando a un volumen V constante en el tiempo:
( ) ( ) ( )( )
t
DEJE
t
BHHE
t
DJH
t
BE
HEEHHE
=
+=
=
= rrrrr
rrrrrr
rr
rrrrrr
t
DEDE
tt
BH
t
HHBH
t
=
=
=
rrrr
rr
rrrr
2;22
( ) JEDEt
BHt
HErrrrrrrr
+
+
+=2
1
2
10
( ) +
+
+=VVVS
dVEJdVDEt
dVBHt
SdHErrrrrrrrr
2
1
2
10
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Energa. Teorema de Poynting 4
Energa: T. de Poynting. Interpretacin
Puesto que la potencia disipada es
todos los trminos de la expresin pueden ser interpretados como potencias (variacin de energa en la unidad de tiempo) y teniendo en cuenta el principio de conservacin de la energa:
= VCEM dVEJ
dt
dW rr
( ) +
+
+=VVVS
dVEJdVDEt
dVBHt
SdHErrrrrrrrr
2
1
2
10
Slo depende del campo magntico:
Es el incremento por unidad de tiempo de la energa asociada al campo magntico.
VdVBH
t
rr
2
1
Slo depende del campo elctrico:
Es el incremento por unidad de tiempo de la energa asociada al campo elctrico.
dVDEt V
rr
2
1
Es un flujo a travs de la superficie que limita el
volumen:
Es la cantidad de energa que sale del volumen por unidad de tiempo en forma electromagntica.
( ) S SdHErrr
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Energa: Teorema de Poynting. Resumen
Esta expresin recibe el nombre de Teorema de Poynting:
( )
+
+==
energia de tipootro
en datransforma
EM Potencia
superficie la de
travesa saliente
EM Potencia
=
magnetica
energia de
n Disminucio
+
electrica
energia de
nDisminucio
=
2
1
2
1
t
W
dVEJSdHEdVBHt
dVDEtt
W
EM
VSVV
EM
rrrrrrrrr
DEdV
dWErr
=2
1 es la densidad volumtrica de energa asociada al campo elctrico.
BHdV
dWBrr
=2
1 es la densidad volumtrica de energa asociada al campo magntico.
EJrr
es la densidad volumtrica de potencia transformada en otro tipo.
HESPrrrr
==Es el vector de Poynting.Su componente en una direccin representa la densidad de flujo de energa electromagntica por unidad de rea en esa direccin.
Su direccin y sentido coinciden con los del transporte de energa electromagntica.
( ) +
+
+=VVVS
dVEJdVDEt
dVBHt
SdHErrrrrrrrr
2
1
2
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Energa. Teorema de Poynting 5
Transporte de energa en un cable coaxial.
Se ha escogido el cable coaxial para ilustrar el transporte de energa electromagntica porque es un ejemplo realista en el que se pueden calcular los campos de forma simple.
Si por el cable circula una corriente I0y en una seccin del mismo la diferencia de potencial es V0 , entonces es conocido que la potencia transmitida ser V0 I0.
Se va a llegar a este resultado aplicando el teorema de Poynting.
Si los conductores son perfectos:
Z
I0
ab
c
I0
( ) ( )
=
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Energa. Teorema de Poynting 6
Transporte de energa en un cable coaxial.(3)
Si los conductores son reales, conductividad finita, habr campo elctrico en su interior:
De forma aproximada:
es una distancia mucho menor que los radios a y b.
La componente segn z del vector de Poynting es como la de conductores perfectos, salvo que la diferencia de potencial entre conductores vara como consecuencia de su resistencia :
( ) ( )
( )
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Energa. Teorema de Poynting 7
Transporte de energa en un cable coaxial.(5)
Resumen:
La energa se transmite fundamentalmente por el exterior de los conductores.
Donde existen componentes ortogonales de los campos elctrico y magntico.
Por el interior de los conductores prcticamente no se transmite energa ya que el campo elctrico es muy dbil.
La energa que entra en un conductor se disipa es forma de calor
Salvo que el conductor sea muy fino y pueda atravesarlo.
Los conductores simplemente guan los campos.
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