POTSIGRAMA

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Índice

Introducción

Resumen…………………………………………………………………………...………2

Marco teórico……………………………………………………………………………. 4

Objetivos…………………………………………………………………………………...8

Problemática……………………………………………………………………………....8

Hipótesis…………………………………………………………………………….……...8

Desarrollo…………………………………………………………………………………..9

Materiales…………………………………………………………………………………..9

Instructivo…………………………………………………………………………………10

Tabla de logaritmos……………………………………………………………………...11

Aplicación del juego “Potsigrama” ……………………………………...……………..19

Resultados………………………………………………………………………………..19

Análisis e interpretación de resultados………………………………………………..20

Conclusión ……………………………………………………………………………….20

Referencias……………………………………………………………………………….21

POTSIGRAMA

2

Resumen

Este proyecto fue realizado con el propósito de poder mejorar y reforzar el

conocimiento sobre los distintos temas que lo conforman, como lo son: leyes de

signos, leyes de exponentes y logaritmos.

El proyecto está bajo una investigación donde hacemos mención de John Napier

conocido por ser el primero en definir los logaritmos, incluyendo las aportaciones

que llevaron al desarrollo de los logaritmos, así como, la descripción y

propiedades de los mismos.

También nos planteamos el problema de aprendizaje de los alumnos desde el

punto de vista didáctico junto con los objetivos que persigue el juego “Potsigrama”.

Además de formular una hipótesis, la cual buscamos comprobar, en la cual el

mayor reto es provocar interés en el jugador por la adquisición del conocimiento, a

través de una actividad divertida y entretenida, como lo es el juego.

Conjuntamente para facilitar la comprensión del juego, así como la aplicación de

las reglas, se incluye el instructivo que muestra la manera en que el jugador va

poder realizar la actividad, incluyendo castigos con el fin de seguir motivando a los

participantes a seguir jugando y aprendido.

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Marco teórico

Historia de los logaritmos

A partir del siglo XVI, los cálculos que se precisaban hacer, debido principalmente

a la expansión comercial y al perfeccionamiento de las técnicas de navegación,

eran de tal magnitud que surgía la necesidad de encontrar algoritmos menos

laboriosos que los utilizados hasta entonces, es decir, algoritmos de la

multiplicación, de la división, etc.

El descubrimiento de los logaritmos no se produjo aisladamente, por un único

proceso. Dos caminos condujeron a su hallazgo: los cálculos trigonométricos para

las investigaciones astronómicas aplicables a la navegación, y el cálculo de las

riquezas acumuladas en lo que se refiere a las reglas de interés compuesto.

Ambos caminos inspiraron respectivamente a John Napier y a Jobst Bürgi en el

descubrimiento de los logaritmos.

Henry Briggs, quien fue el primero que hizo las tablas logarítmicas en base 10, en

el año 1631, en su obra Logarithmall Arithmetike, explica el objetivo de la

invención de los logaritmos: "Los logaritmos son números inventados para resolver

más fácilmente los problemas de aritmética y geometría”.

Con ellos se evitan todas las molestias de las multiplicaciones y de las divisiones;

de manera que, en lugar de multiplicaciones, se hacen solamente adiciones, y en

lugar de divisiones se hacen sustracciones. La laboriosa operación de extraer

raíces, tan poco grata, se efectúa con suma facilidad.

POTSIGRAMA

4

Napier y los logaritmos:

Durante la última parte del siglo XVI, Dinamarca llegó

a ser un importante centro de estudios sobre

problemas relacionados con la navegación. Dos

matemáticos daneses, Wittich y Clavius (cuya obra

De Astrolabio se publicó en 1593), sugirieron la

aplicación de las tablas trigonométricas para abreviar

los cálculos, mediante el uso de las fórmulas del seno

y del coseno de la suma de dos ángulos. Este recurso

de cálculo sirvió probablemente de inspiración al

escocés John Napier (1550-1617), cuyo nombre

latinizado es Neper, en la deducción de un método

sencillo para multiplicar senos de ángulos por un proceso de adición directa. El

descubrimiento de Napier fue ávidamente acogido por los astrónomos Tycho

Brahe y Johann Kepler. En el año 1614 en Edimburgo aparecen sus Mirifici

logarithmorum canonis descriptio, o “descripción de la maravillosa regla de los

logaritmos”, es decir, las primeras tablas de logaritmos; sin embargo, no se

describe aquí la forma en que fueron construidas.

Napier fue el inventor de la palabra logaritmo (del griego "logos", razón, y

"arithmos", número: número de razones), pues en el caso de ser el logaritmo un

número entero, es el número de factores que se toman de la razón dada (base)

para obtener el antilogaritmo. Además, introdujo los logaritmos mediante una

concepción cinemática, cuyo origen, según él se imaginaba, era un movimiento

sincrónico, una especie de fluctuación entre dos sucesiones.

Bürgi y los logaritmos

El descubrimiento de los logaritmos es un claro ejemplo de lo habituales que

resultan las duplicidades en las innovaciones. Hoy se sabe que el relojero y

Ilustración 1

Recuperado de

https://global.britannica.com/biogra

phy/John-Napier

POTSIGRAMA

5

constructor de instrumentos suizo Jobst Bürgi

(1552-1632), se hallaba en posesión de este

conocimiento antes que Napier, incluso se afirma

que concibió la idea del logaritmo ya en el año

1586, estimulado por las observaciones antes

mencionadas de Stifel, y en el Libro de cálculo de

Simón Jacob (1565). Pero, según se dice, fue por

falta material de tiempo que no lo dio a conocer,

motivo por el cual el astrónomo Kepler pudo

echarle en cara el hecho de "haber dejado en el

desamparo al hijo de su espíritu, en vez de

educarlo para la publicidad". Se dice que así

procedió, pues, como se le decía en latín, era un

"secretorum suorum custos" (guardián de sus secretos).

Hubo que esperar hasta el año 1620 para que Bürgi publicara en Praga sus tablas

logarítmicas bajo el título Arithmetische und geometrische Progress Tabulen.

Estas tablas se publicaron en circunstancias exteriores desfavorables, pues el 8

de noviembre de 1620 fue tomada Praga, y permanecieron desconocidas. Bürgi

vio que el valor práctico de las sucesiones de Stifel es aplicable con provecho en

el caso de que sus respectivos términos se aproximen uno al otro, lo más posible.

A la vez observó que las propiedades logarítmicas no se extendían solamente

sobre la sucesión de potencias de base dos, sino sobre sucesiones con cualquier

razón racional q.

Definición de logaritmo

El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe

elevar la base para obtener el número.

Ilustración 2

Recuperado de

http://www.maa.org/press/periodicals/c

onvergence/logarithms-the-early-

history-of-a-familiar-function-joost-b-

rgi-introduces-logarithms

POTSIGRAMA

6

Propiedades de los logaritmos

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los

factores:

( )

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el

logaritmo del divisor:

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el

logaritmo de la base:

( )

4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando

y el índice de la raíz:

(√ )

5. Cambio de base:

Leyes de los signos

Cuando se multiplican signos en las diferentes operaciones se deben seguir las

siguientes reglas:

(+) x (+) = (+)

POTSIGRAMA

7

(-) x (-) = (+)

(+) x (-) = (-)

(-) x (+) = (-)

Ejemplos

(5) x (100) = 500

98 –(-3) = 98 +3 = 101

(3) x ( -2) = -6

(-8) x (13) = -104

Leyes de los exponentes

Multiplicación: cuando se tiene la multiplicación de mismas bases los

exponentes se suman.

División: cuando se tiene división de las mismas bases los exponentes se

restan.

Potencia: cuando se tiene una potencia de exponentes se multiplican.

( )

Raíz: en la raíz los exponentes se dividen.

√

Potencia cero: cualquier expresión elevada a l acero es uno.

Potencia negativa: Los exponentes negativos en el numerador se

convierten positivos en el denominador.

POTSIGRAMA

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Objetivos

El objetivo principal es crear una actividad lúdico-recreativa que ayude a los

estudiantes a tener una mayor capacidad para comprender y resolver problemas

relacionados con logaritmos, generando así una estrategia de aprendizaje.

Otros objetivos son:

Proporcionar un momento de diversión a los participantes.

Que el participante practique ejercicios de logaritmos.

Que el jugador aprenda de una forma fácil y sencilla.

Problemática

Uno de los grandes problemas la actualidad, es que a los jóvenes nos ha dejado

de interesar las matemáticas por considerarlas aburridas o tediosas, y en algunos

casos puede llegar a ser así, por esa razón pensamos en una estrategia por medio

de la cual le proporcione al alumno una manera sencilla y divertida de adquirir el

conocimiento básico de las matemáticas.

El proyecto fue originalmente diseñado para los compañeros del salón de clases,

ya que identificamos que tenían muchas dificultades para comprender diversos,

entre los que destacan: leyes de los exponentes, leyes de los signos y logaritmos,

por lo cual elaboramos un juego que les ayudase de una manera diferente a

adquirir el conocimiento.

Hipótesis

Con la aplicación del proyecto “Potsigrama” el participante podrá aprender temas

que se le dificultan en el proceso de la adquisición del conocimiento, de una forma

sencilla, al mismo tiempo que juega y se divierte, despertando en el estudiante

interés por las matemáticas.

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Desarrollo

Este proyecto inició con la creación de un equipo de estudiantes, cuyo objetivo era

crear un juego como una estrategia de aprendizaje.

El siguiente paso fue idear un juego que provoque en el estudiante interés por

algún tema de matemáticas, para ello, realizamos una lluvia de ideas en donde

decidimos hacer un juego que costará de tres etapas diferentes.

Ya teniendo en mente lo que íbamos a hacer, comenzamos por la repartición del

trabajo, a uno le toco hacer la ruleta a otro las tarjetas, de manera que fuera

equitativo para cada uno de los integrantes del equipo.

Al final conjuntamos todos los materiales para obtener el jugo ya elaborado.

Materiales

Memorama de Leyes de los signos

Memorama de Leyes de los exponentes

6 dados (dodecaedros)

1 ruleta

80 tarjetas con reactivos

Tarjetas de castigos

1 pizarrón

1 plumón

1 reloj de arena

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Instructivo

Primera etapa

1. Se necesitará de 2 a 4 jugadores.

2. El participante podrá decidir si quiere

empezar con los dodecaedros de las leyes

de los signos o de las leyes de los

exponentes.

3. En cada turno el jugador tendrá la oportunidad de lanzar los 3 dodecaedros

4. Los dodecaedros se acomodarán se la siguiente manera: número – signo -

número

5. Dependiendo del lado en que caigan los dodecaedros tendrá que realizar la

operación con ayuda de unas plantillas.

6. El objetivo es obtener el puntaje máximo, el jugador que tenga el máximo

puntaje podrá escoger un castigo de la caja de penalizaciones para que los

demás participantes lo realicen.

7. Después de realizar todo esto podrá pasar a la siguiente etapa.

Segunda etapa:

1. De igual forma el jugador va poder escoger el tema del Memorama que

desea jugar

2. El jugador deberá encontrar los pares de las tarjetas correspondientes de

acuerdo a la operación y resultado

POTSIGRAMA

11

3. Por cada turno el jugador tendrá la oportunidad de levantar solamente 2

tarjetas y en caso de no ser los pares tendrá que dejar las tarjetas en su

lugar.

4. El jugador que encuentre primero un par podrá sacar de la caja de

penalizaciones un castigo que deberán realizar los demás participantes.

5. Después de esto podrá pasar a la siguiente etapa.

Tercera etapa:

1. Cada jugador tendrá la oportunidad de lanzar un dardo

2. Dependiendo del color donde detenga la ruleta, podrá tomar una tarjeta con

reactivo (logaritmo o cultura general). El color naranja es castigo.

3. El jugador deberá contestar correctamente el reactivo, de lo contrario será

acreedor a un castigo.

4. El jugador que acumule más de 4 castigos

será eliminado de inmediato.

5. El último jugador en salir ganará.

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Ejemplos con leyes de exponentes

Tabla de logaritmos:

Reactivo Solución

Amarillo: Escribir en forma logarítmica la expresión

1.

2.

LEY EJEMPLO

1.- x1=x 41=4

2.- x0=1 50=1

3.- x-1=1/x 8-1=1/8

4.- xmxn=xm+n x3x4=x3+4=x7

5.- xm/xn=xm-n X6/x2=x6-2=x4

6.- (xm)n=xmn (x5)4=x5x4=x20

7.- (xy)n=xnyn (xy)7=x7y7

8.- (x/y)n=xn/yn (x/y)2=x2/y2

9.- x-n=1/xn x-4=1/x4

10.- xm/n=n√xm X5/6=6

√x5

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13

3.

4.

5.

6. (

)

7.

8. (

)

9.

10.

11.

12.

Verde: Escribir de forma exponencial el logaritmo.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

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14

20. √ √

21.

(

)

22.

23.

24.

Rosa: Determina el valor de la incógnita

25.

26. √

( )

27.

√

28.

4

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15

29. √

√

30. √ √

√ √

(

)( )

31. √ √

√ √

33.

32.

√

√

34.

√

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16

√

3

35. √

√

36. √

√

( )

Rojo: Exprese el algoritmo dado en términos de los logaritmos de x, y o z.

37.

+ -

38. √

39. √

40. √ √

41.

42. √

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17

Expresa a los logaritmos de x, y o z en un solo logaritmo que contenga términos

correspondientes.

43.

( )

( )

( )

( )

( )

( ) =

√( )

( )

44.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

= ( )

√( )

45. ( ) √

( ) ( √

)

(

)

( )( )

( √ )

46.

( )

( )

47.

(

)

√

(

) √

48.

(

)

√

(

) √

Azul: Con los siguientes datos y aplicando las propiedades de los logaritmos

determine el valor de la expresión.

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49.

( )

(0.301030)

+

50.

( )

Apoyo

= 0.301030

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19

51.

( )

( )

( )

52. √

( )

( )

( )

( )

53.

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

54.

( )

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20

Hallar la suma de los logaritmos

55.

56.

57.

58.

59.

( ) ( )

60.

3

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21

Aplicación del juego “Potsigrama”

El juego fue mostrada frente a un grupo de aproximadamente 20 personas en

cuatro rondas diferentes, el juego fue evaluado en diferentes aspectos con el

objetivo de identificar las deficiencias del juego

Resultados

Cada uno de los equipos nos evaluó varios aspectos teniendo como rango de 1 al

5, sabiendo que 1 era deficientes y 5 excelente. La evaluación consistió en cuatro

aspectos importantes: Originalidad, Dinámico, Creatividad y Reactivos correctos.

Dificultad

Reactivos

Equipo1

Equipo2

Equipo3

Equipo4

3 5 4 3

5 4 5 5 5 5 5 5

5 4 4

EVALUACIÓN DEL MEMORAMA

Dificultad Calidad Reactivos Variedad

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0 1 2 3 4 5 6

Creatividad

Dinámico

Reactivoscorrectos

Originalidad

Evaluación Potsigrama

Ronda 4 Ronda 3 Ronda 2 Ronda 1

Posteriormente decidimos agregar la tercera etapa, recibiendo la siguiente

evaluación

Dificultad

Reactivos

0

2

4

6

Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3 Equipo 4

EVALUACIÓN DE DODECAEDROS

Dificultad Calidad Reactivos Variedad

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Análisis e interpretación de resultados:

Al observar las evaluaciones de las cuatro rondas realizadas, y de las tres etapas,

podemos interpretar los resultados de la siguiente manera:

El juego es Original en un 80, debido a que combinamos algunos juegos de azar

En cuanto al aspecto de Reactivos correctos obtuvimos un 100, esto fue debido

a que, gracias a las investigaciones realizadas, así como, los ejercicios resueltos

en clase pudimos realizar los reactivos de manera eficiente.

En Dinámico obtuvimos un porcentaje de 80%, esto se debe que a algunos de

nuestros compañeros se les hizo algo aburrida o tediosa la actividad por no

considerarla importante.

En el último aspecto conseguimos un 75%, con lo que nuestros compañeros

consideraron un juego interesante.

Conclusión

Gracias a las evaluaciones pudimos darnos cuenta que nuestro proyecto

necesitaba algunas mejoras principalmente en la parte dinámica, de modo que el

proyecto sea más interesante para el jugador. Algunas modificaciones sugeridas y

tomadas en cuenta fueron: hacer las tarjetitas más grandes, poner límite de tiempo

Originalidad Reactivos Correctos

Dinámico Creatividad

Ronda 1 4 5 3 4

Ronda 2 3 5 3 4

Ronda 3 5 5 4 3

Ronda 4 4 5 3 4

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para contestar los reactivos, poner castigos más interesantes, etc. Por lo cual

decidimos integrar una tercera etapa al juego.

Al final podemos concluir que nuestra hipótesis fue aprobada ya que la aplicación

del proyecto, logró que el jugador aprendiera de una forma fácil y sencilla a través

de la diversión, provocando en el interés en las matemáticas.

El costo fue de aproximadamente $300 entre pintura, madera, papel e

impresiones, lo que es inferior al costo de un juego comercial de esas

dimensiones, ya que por características no encontramos algo similar con

contenido algebraico.

También se cumplieron todos los objetivos planteados, creando una actividad

lúdica recreativa que permite al estudiante comprender y entender las

matemáticas de una forma diferente a la que está acostumbrado.

Referencias:

Gregorio Topalián Dakessián, 2009, Matemáticas IV, México, pp. 214

Francisco Javier Tapia Moreno, mayo 2003,Historia de los logaritmos,

recuperado de http://euler.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/2-

2-1-logaritmos.pdf

Propiedades de los logaritmos, recuperado de

https://lookaside.fbsbx.com/file/IMPERMATH-completo-

1.pdf?token=AWyubr7g27jtjbIPiXYRS2ctib2bKnumqmrqFlm7ukvB

GiyeX15L

Exponentes y signos, recuperado de

http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/exponentes-leyes.html