potencial eléctrico

Introducción.

Potencial Eléctrico. Gradiente.

Potencial de una Carga Puntual.

Potencial de un Sistema de Cargas Puntuales.

Cálculo del Potencial Eléctrico.

Superficies Equipotenciales.

Potencial creado por un Dipolo Eléctrico.

Movimiento de una partícula en un Campo Eléctrico.

Conductor en Equilibrio Electrostático.

Bibliografía- Alonso; Finn. "Física ". Cap. 21. Addison-Wesley Iberoamericana.

- Gettys; Keller; Skove. "Física clásica y moderna". Cap. 22. McGraw-Hill.

- Halliday; Resnick. "Fundamentos de física". Cap. 29. CECSA.

- Roller; Blum. "Física". Cap. 28. Reverté.

- Serway. "Física". Cap. 25. McGraw-Hill.

- Tipler. "Física". Cap. 20. Reverté.

Potencial Eléctrico

Introducción

Campo de fuerzas centrales: Caracterizadosporque la dirección de los vectores fuerza pasan por unpunto fijo llamado Centro o Polo del Campo y cuyomódulo sólo es función de la distancia r al centro.El campo eléctrico cumple estas condiciones, ya que

ru)r(EE =

Como además es un campo conservativo, se dice que derivade una función potencial escalar, de forma que se cumple

)A(U)B(UrdFWB

A

extAB −=⋅−= ∫

Se puede demostrar que todos los Campo de Fuerzas centrales son Conservativos:

Suponemos un desplazamiento infinitesimal . El trabajo desarrollado por esta fuerza cuando se desplaza del punto A al punto B será

rd

dr )r(Frdu )r(FdW crccAB =⋅=

El trabajo total será

)B(U)A(Udr )r(FW ccAB −==

A

B

ruF

rd

Energía Potencial: Es la Función Potencial asociada con el Campo Eléctrico.

Para comprender su significado, vamos a suponer unapartícula en un campo de fuerzas conservativo al que essensible. Para que se encuentre en

equilibrio es necesario aplicaruna fuerza externa quecompense la ejercida por elcampo

cext FF

−=

En cualquier desplazamiento infinitesimal, se realiza untrabajo en contra del campo.

A

B

F

extF

rd

rdFrdFdW cextext

AB

⋅−=⋅=

El Trabajo total realizado por la Fuerza Externa será

UWrdFW cBA c

extAB ∆=−=⋅−= ∫

Como el Trabajo realizado sobre una partícula libre seinvierte en aumentar su Energía cinética, en un campoconservativo debe disminuir su energía potencial. Por estarazón se identifica la función potencial con la EnergíaPotencial.

La Energía cinética se vincula al movimiento, mientras quela Energía Potencial se asocia con la posición.

Energía Potencial:

Gravitatoria

Elástica 2

21 xkE

hgmE

PE

PG

∆=∆

∆=∆

).(.).( propiasFzasWExtFzasWEP −==∆

∫= ldFW

.

∆hmg

-mgSi cae (acción espontánea que no requiere interven-ción externa) el sistema (masa-Tierra) pierde energíapotencial. Si sube (solo posible por acción de unagente externo) el sistema gana energía potencial

Como medir EP?. Solo por el trabajo realizado para crear la situación concreta sin el agrado de ningún otro tipo de energá (EC), o sea con F= - F(propia)

Energía Potencial Electrostática

q(+) q1 ∫∫∞∞

−==∆rr

extFext rdEqrdFW .. 1

EP

r

q1 +Fext

q1 - Fext

∫∞

−=∆r

Fext rdrqqW 21

041επ

rqqEW PFext

14 0

1

επ=∆=∆

++ o -- : (fuerzas repulsivas)la energía potencial aumentacuando acerco las cargas (soloposible por acción de unagente exterior)

+ - : fuerzas atractivas) la energía potencial disminuye cuando acerco las cargas (Espontáneo)

Si cargas van de r1 a r2

−==∆ ∫

120

12

0

1 1144

2

1 rrqq

rdrqqE

r

rP επεπ

∆E>0 si ++ o -- y acerco o si +- y alejo y <0 si ...

Energía Electrostática de un Sistema de 2 Cargas

q1

q2

q3

00 =∆⇒=∆ PEWr1-2

+

+

=∆

−−− 320

32

310

31

210

21 14

14

14 r

qqr

qqr

qqEP επεπεπ

r1-3

r2-3

=∆

−210

21 14 r

qqEP επ

EP de un Sistema de Cargas Puntuales ∑≠ −

=∆ji ji

jiP r

qqE

041επ

Energía Electrostática de Cargas Distribuidas

∫∫∫ −=⇒=

'sen'

441 2

0

11

0 rRdddrrqE

rdVqdE PP

ϕθθεπρρ

επ

E igual al de Q en origen rqqEP

0

1

4 επ=

q1

ρ

Energía Electrostática de un Sistema de Cargas

Potencial Eléctrico. Gradiente

B

A

qod

F

E

Como la Fuerza Eléctricaestá dirigida hacia abajo,debemos ejercer sobre lacarga una fuerza externaF hacia arriba siqueremos que la partículase mueva con velocidadconstante

El trabajo desarrollado por esta fuerza será

d Eqd FW oextextAB −==

Potencial Eléctrico: Es el trabajo desarrollado por la Fuerza Externa por unidad de carga puntual

o

extAB

AB qWVV =−

Caso particular de un Campo Uniforme d EVV AB =−

Unidades del Potencial: Voltio (V)

Unidades del Campo Eléctrico: V/m o N/C


Caso general: Campo Eléctrico no uniforme y trayectoria no rectilínea

Debemos dividir la trayectoriaen pequeños desplazamientosinfinitesimales, de forma que

∫∫ ⋅−=⋅=B

AoB

A extextAB rdEqrdFW

∫ ⋅−==−B

Ao

extAB

AB rdEq

WVV El Potencial en este caso será

B

AE

F

rd

Eqo

qo


Para un desplazamiento curvilíneo k dzj dyi dxsd

++=

la variación de Potencial es dzEdyEdxEsd EdV zyx −−−=−=

Con esta expresión, podemos, conocido el Potencial Eléctrico, calcular el Campo Eléctrico asociado

Si dzzVdy

yVdx

xVdV

∂∂+

∂∂+

∂∂=

zVE ;

yVE ;

xVE zyx ∂

∂−=∂∂−=

∂∂−=

De esta forma

kzVj

yVi

xVkEjEiEE zyx

∂∂−

∂∂−

∂∂−=++= VE ∇−=

Si dejamos en libertad una carga de prueba en el senode un campo eléctrico, se acelerará en el sentido dedicho campo a lo largo de las líneas de fuerza. El hechode que se acelere hace que aumente su energíacinética, con lo cual, su energía potencial debedisminuir. Esto quiere decir que las Líneas de Camposeñalan en la dirección en la que disminuye elPotencial Eléctrico.

Visto en términos delgradiente, ya que susignificado físico es ladirección de máximavariación de la función, elsigno menos indica sentidodecreciente del Potencial.

qo V bajosV altos

Relación entre las Líneas de Campo y el Potencial Eléctrico

Potencial de una Carga Puntual

Se puede calcular el Potencial de una carga puntual apartir del Campo Eléctrico que produce.

I.- Calculemos el Trabajo realizadopor el Campo para desplazar lacarga desde el punto A al punto B

∫ ⋅−=−B

ArdE)A(V)B(V

Tomando como origen de potenciales el infinito, podemos identificar el punto B= ∞ y A= r

rkqdr

rqk)r(V

r

12 =−=− ∫

∞

rqkrV =)(

q

qo

A

B

0

II.- Un método alternativo es calcular el Trabajo quedebe realizar una Fuerza Exterior para traer una cargadesde el infinito hasta un punto r. En este caso el punto Acoincide con el infinito.

∫ ⋅=B

AextAB rdFW

drrqkrdEAVBV

B

A

r

∫ ∫∞−=⋅−=−2

)()(

rqkrV =)(

La Energía Potencial de una carga qo, situada a una distancia r de q, será r

qqkVqU oo ==

La Energía Potencial de un sistema de cargas puntualesserá el trabajo necesario para llevar cada una de ellasdesde el infinito hasta su posición final.

0

F=>E=F/q EP =>V=EP/qDiferencia de Potencial Eléctrico entre dos puntos:cambio de la Energía Potencial cuando una carga de pruebase mueve entre esos dos puntos dividido el valor de la carga

∫∫−

===∆

=∆ −−

b

a

b

aext

abPba q

ldEqldFq

WqEV

.. ∫−=−=∆ −

b

aabba ldEVVV

.

EV1 V2

V1.> V2 E apunta en la dirección que V decrece

A BDe A a B el potencial decrece de B a A el potencial aumenta

[V]=J/c=Volt (V)

Diferencia de Potencial Eléctrico

Potencial de un Sistema de Cargas Puntuales

Para una distribución discreta de cargas

∑ ∑πε

==n n n

nn r

qVV04

1

Para una distribución continua de cargas

∫ ∫πε==

rdqdVV

o41

Cálculo del Potencial Eléctrico

Existen dos métodos para calcular el Potencial Eléctricoasociado a una distribución continua de cargas:

I Conocido el Campo Eléctrico creado por la distribución

∫ ⋅−=−B

ArdE)A(V)B(V

En este caso debemos tomar como origen de potenciales un puntode referencia arbitrario.

II Para el caso de distribuciones finitas de carga, para las cuales podemos suponer que V( ) = 0. En este caso podemos suponer conocido el V para la carga puntual y aplicar superposición

∞

∫ ∫πε==

rdqdVV

o41

Ejemplo 1.- Potencial Eléctrico sobre el eje de un anillo cargado.

Ejemplo 2.- Potencial Eléctrico sobre el eje de un disco uniformemente cargado.

Ejemplo 3.- Potencial Eléctrico en el interior y el exterior de un Cascarón (corteza) Esférico de carga.

Superficies Equipotenciales

Vamos a suponer una región del espacio en la que existe unCampo Eléctrico, representado por sus Líneas de Campo.El trabajo necesario para desplazar una carga de prueba,qo, una distancia infinitesimal a la largo de una de estaslíneas será

rdFdW ⋅−=

En términos de incrementos

rEV ∆⋅−=∆

E a larperpendicu r

∆ 0=∆V V constante

E a paralelo r

∆ Variación máxima de Potencial

Es el lugar geométrico de todos los puntos que seencuentran al mismo potencial. Cumplen la condición deencontrarse en un plano perpendicular al Campo Eléctrico

El trabajo desarrollado para mover una partícula de unpunto A a otro punto B a lo largo de una superficieequipotencial es nulo, ya que

o

ABAB q

WVV =−

A lo largo de una superficie

equipotencialBA VV = 0=ABW

Superficies Equipotenciales

Ejemplos de Superficies Equipotenciales

Potencial creado por un Dipolo Eléctrico

Vamos a calcular el Potencial Eléctrico que produce undipolo eléctrico en un punto del espacio.

+q

-q

2aα

1r

2rr

12 rr −

α

P

−

πε=−=

2121 4

1rq

rqVVV

o

Para puntos muy alejados del dipolo,tales que r>>2a, se pueden hacer lassiguientes aproximaciones

221

12 2rrr

Cos a rr≅

α≅−

Teniendo en cuenta estas dos aproximaciones, podemos escribir

22

4 r Cos a qV

o

απε

=

Recordando la definición de momento dipolar eléctrico

q a P 2=

241

r Cos PV

o

απε

=

V = 0 para a = 90º

No se requiere trabajo parallevar una carga de prueba desdeel infinito hasta el dipolo a lolargo de la línea perpendicular alpunto medio entre las doscargas.

Movimiento de una Partícula en un Campo Eléctrico

Cuando una Carga Eléctrica se coloca en el seno de un CampoEléctrico, experimenta una Fuerza que viene dada por

E qF

=

Si queremos calcular la aceleración que experimentadicha carga, bastará con aplicar la Segunda Ley deNewton

∑ =i

i a mF

Por ejemplo, en el caso de un Campo Eléctrico uniforme, latrayectoria de una partícula es una parábola. Sería el mismocaso del movimiento de un proyectil en el seno del campogravitatorio uniforme. La medida de la desviación de loselectrones en un Campo Eléctrico uniforme fue utilizada porThompson en 1897 para demostrar la existencia de dichaspartículas y calcular su relación carga/masa.

Conductor en Equilibrio Electrostático

Conductor: Material que se caracteriza por tener cargaslibres que pueden moverse en su interior.

Si sometemos un conductor a un Campo Eléctrico externo, sucarga libre se redistribuye hasta anular el Campo Eléctrico en suinterior. En estas condiciones se dice que el conductor está enEquilibrio Electrostático (E’ = Eo).

+++++++++++++ oE

'E

Cualquier exceso de carga se colocará enla superficie del conductor, ya que elCampo Eléctrico externo no es losuficientemente intenso como paravencer las fuerzas de ligadura.

Condiciones que se deben cumplir en todo conductor

I Toda la carga libre de un conductor se coloca en su superficie.

Dado un conductor, supongamos unasuperficie gaussiana justo en el interiorde la superficie del conductor. Como E=0 dentro del conductor, también seránulo en todos los puntos de la superficiegaussiana. Por lo tanto el flujo a travésde la superficie del conductor es cero.

Por el Teorema de Gausso

qε

=Φ intComo 0=Φ 0int =q

Por lo tanto si existe carga debe estar en la superficie del conductor


II

El Campo Eléctrico en la superficie del conductores perpendicular a dicha superficie y vale

oεσ

Para hallar el Campo Eléctrico en lasuperficie del conductor consideremosun elemento infinitesimal plano, condensidad superficial de Carga σ. ComoSuperficie Gaussiana tomamos uncilindro con una cara en el exterior yotra en el interior del conductor

Si el conductor está en equilibrio electrostático, el E en lasuperficie debe ser perpendicular a dicha superficie. Así, sólo hayflujo a través de la cara superior.

o

intqs EsdEε

==⋅=Φ ∫

s q σ=into

Eεσ=

E


Conductores en contactoCuando se ponen en contacto dos conductores, la carga de ambosse redistribuye hasta que el Campo Eléctrico en el interior deambos conductores se anula y se restituye el equilibrioElectrostático. En estas condiciones, el Potencial de ambosconductores debe ser el mismo.

Supongamos un conductor con carga +q al cual se aproxima unconductor descargado. En éste último aparecerán cargas inducidas.

++++++++++++++

Como el Potencial disminuye a lo largode las Líneas de Campo, en principio, elconductor cargado está a un Potencialmás alto que el neutro. Cuando se ponenen contacto ambos conductores, lacarga positiva fluye hacia el neutrohasta que ambos quedan al mismoPotencial.


qr1

r2

V2

V1r

qq

EVVV P

00

)2(22 4 επ

=∆

=−= −∞∞

−=−=∆ −

1201221

114 rr

qVVVεπ

0000

12

21

12

21

<∆→>∆→⇒−>∆→<∆→⇒+

VrrVrrqVrrVrrq

a

b 0=−=∆ − abba VVV

Superficies equipotenciales

Sistema de cargas puntuales q1

q2

q3

r1

r2

r3

∑=−= ∞i i

i

rqVVV

041επ

Carga Puntual

r

Idem pared infinita con carga σ [C/m2]

∫−=−=∆2

1

.12

r

r

rdEVVV r

rE

02 επλ

=

1

2

012 ln

2 rrV

επλ

=∆ − ?0 dondeV =

)(10 arbitrariorenV ==

∫−=−=∆2

1

.12

r

r

rdEVVV

02 εσ

=E

)(2 12

012 rrV −=∆ − ε

σ?0 dondeV =

)(10 arbitrariorenV ==

r

equipotenciales

Potencial de una Línea Infinita con Carga λ [C/m]

−=−=∆>

1012

114

2rr

qVVVRrεπ

V

0)( =∞=rV

∫−=−=∆2

1

.12

r

r

rdEVVV

RqRV

041)(επ

=

rqrV

041)(επ

=

04

12

0

=<

=>

ERr

rrqERr

επ

)(0 cteVVRr ==∆<

r

R

Superficie equipotencial

Potencial generado por Esfera Conductora (Carga en Superficie)

r

R∫−=−=∆2

1

.12

r

r

rdEVVV rrqERr

204

1επ

=>

03ερ rERr =<

−=−=∆>

1012

114

2rr

qVVVRrεπ 0)( =∞=rV

RqRV

041)(επ

=

rqrV

041)(επ

=

∫∫ <−>−=<∞

r

R

R

rdRrErdRrErVRr ).().()(

)(64

1)( 22

00

RrRqrV −−=

ερ

επ

ρπ 3

34 Rq =

)(RVRr ⇒=

)]1(211[

4)( 2

2

0

−−=Rr

RqrVεπ 2

)(30 RVVr =⇒=

V

Potencial de Esfera Cargada Uniformemente en V

∫−=−=∆2

1

.12

r

r

rdEVVV rrqERr

204

1επ

=>

−=−=∆>

1012

114

2rr

qVVVRrεπ

0)( =∞=rV rqrV

041)(επ

=

∫∫∫ −−−=<∞

r

a

a

b

b

ldEldEldEVRr

...

+q ab

-q+q

−+=

arq

bqV 11

441

00 επεπ

V

Potencial: Carga dentro de un cascarón Conductor

kzVj

yVi

xVV

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

VE −∇=

rdEdVrdEVr

r

..

2

1

−=−=∆ ∫

r

V∆V

∆r

Cartesianas

Cilíndricas

Esféricas

02 =∇ V

0

.ερ

=∇ E

0

2

ερ

−=∇ V Ec.Poisson

Ec.Laplace2

2

2

2

2

22

zV

yV

xVV

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

Relación entre E y V

Ejemplo Dentro Ec. Poisson y fuera Ec. Laplace

02

0

2 =∇−=∇ VVερ

0

.ερ

=∇ E

cxbVxVaE

xEDx +=⇒=

∂∂

=⇒=∂∂

> 002 2

2

fxexVxV

dxExEDxD

++−=⇒−=∂∂

+=⇒=∂∂

<<−

2

002

2

00

2

22

ερ

ερ

ερ

ερ

ixhVxVgE

xEDx +=⇒=

∂∂

=⇒=∂∂

−< 002 2

2

Condiciones de borde para E

02)

2(00)0(

ερ DDEdE =⇒=⇒=

⇒=−−= )2

()2

()2

( DEDEDE inexex

xEin0ερ

=

02 ερ DEex ±=

ρ

D

00)0( =⇒= fV

ixhVDx

fxexVDxD

cxbVDx

+=−<

++−=<<−

+=>

2

222

22

0ερ

0242242

)2

()2

(2

0

2

0

=⇒

+−=−−

⇒=−

e

DeDDeD

DVDV inin

ερ

ερ

2

02xVin ε

ρ−=

0

2

0

2

0 82242)

2()

2(

ερ

ερ

ερ DccDDDDVDV exin =⇒+−=−⇒=

0

2

0 82 ερ

ερ DxDVex +=

cxDVbDDxendxdVE +−=⇒−==⇒−=

00 222 ερ

ερ

+

+

+

-

--

+

+

+

--

----

+

++

En conductor cargas en superficie, sino repeliéndose y en movimiento

Superficie de un conductor nece-sariamente debe ser equipotencialsino las cargas se estarían mo-viendo

00 εσ

εσ

=⇒= ESSE

SE ⊥

Conductor en un Campo Eléctrico

Si E dentro ≠ 0

∫−=−B

AAB rdEVV

.

Si A-B se toma de forma que camino paralelo a E

BA VVrdE >⇒> 0.

contradiciendo hipótesis

Dentro de los conductores, seanmacizos o huecos, E es nulo,independientemente de las car-gas externas y su distribución

Apantallamiento

Lugar más seguro?

A

B

Superficie interior es un Equipotencial

R1q’1σ’1

R2q’1 σ’1

R1q1 σ1

R2q2 σ2

Todos los conductores forman un equipotencial

20

2

22

10

2

11

44

44

RR

RR

επσπ

επσπ

=

1

2

2

1

RR

=σσ

En los conductores las cargas se concentran en las zonas de menor radio de curvatura => pararrayos

Influencia de la forma del Conductor

00 ε

σ SSE =

∫ =−=∆0

0 εσ drdEV

0εσ dV =∆

-q+q

E0

d

00 ε

σ=E

VqC∆

=d

SC 0ε=capacidad Capacitor plano

00

1122ελ

εσππ llrlrE ==

r1r2

rr

rE

0

11

02 εσ

επλ

==

1

2

0

11

1

2

0

lnln2

.rrr

rrrdEV ∫ ==−=∆

εσ

επλ

1

2

0

1

2

0

ln

2

ln

2

rrl

rr

lC επεπ==[ ] )(FFaraday

VcC == Capacitor

cilíndrico

C depende solo de parámetros geométricos

Capacitores

dqCqdqVdEP == ∫=

q

P dqqC

E0

1

VqVCC

qEP 21

21

22

2

===

C mide la capacidad de almacenar energía de un capacitor

Faraday: unidad muy grande

28

0

101,1 mdCS ==ε

C en µF (10-6) a pF (10-12)

q

V

FCymmd 11 ==en condensador plano si

)( hgmnEP =

Significado de la Capacidad

Sd

dEd

S

Sd

VC

VolEu P

2202

212

1

.

ε

===

202

1 EEP ε=Densidad de Energía Potencial en vacío

Donde hay E hay Energía¿Vacío absoluto? 2cmEnergía =

Deducida para Condensador plano pero vale en generalEj. Capacitor cilíndrico

∫

=

2

1

222

12

00

r

rP drrl

rE π

επλε

1

2

0

2

ln4 r

rlEP επλ

=

202

1 EdVoldEP ε= 2

21 VCEP =

2

1

2

0

1

2

0 ln2ln

221

=

rr

rr

lEP επλεπ

1

2

0

2

ln4 r

rlEP επλ

=

Energía del Campo Eléctrico

202

1 EdVdEu P ε==

∫ ∫ ∫ ∫

+

=

∞π π

επερϕθθε

0

2

0 0

2

2

20

2

2

00 43

sen21 R

RP drr

rqdrrrddE

( ) ∫∫∞

−+=R

R

P drrqdrrE 22

0

2

00

4

0

2

44

2122

18 εππεπ

ερ

Rq

RqREP

0

2

0

2

0

52

406

85.184

επεπερπ

=+=

∫= dVEEP2

021ε en todo el espacio

00

3

2

334

4ερ

ε

πρπ rE

rrE =⇒=dentro

Energía de una Esfera cargada en Volumen: ¡Complejo!

SerieC1 C2

V1 V2

-q

V

+q -q+qisla

Cq

Cq

CqVVV =+=+=

2121

∑=iCC

11

Paralelo

C2

C1

V

q1q2

C

q

)( 2121 CCVqqVCq +=+==

∑= iCC

Conexión de Capacitores

cuando se conecta las cargas se redis-tribuyen

021 qqq =+q0

C2

C1

1

00 C

qV =1

2

0000 2

121

CqVqEP ==

y el conjunto equivale a tener un C = C1+C2

21

0

CCqV+

= VCqVCq 2211 ==

021

2

0021 2

121

21

21

PP ECC

qVqVqVqE <+

==+=

En el caso real (no en este modelo), una parte de la energía sedisipa en los conductores cuando las cargas se distribuyen y otrase emite como radiación electromagnética

Capacitor Originalmente Cargado

Moléculas Polares

Agua H2O OHH +

-

Amoníaco NH3

N

H +

-Moléculas No Polares se polarizan en presencia de E

+- --

-+-

E

Dipolo Eléctrico

E

F=q E

α

+q

-q

αατ sen2sen2 aEqaF ==

definimos +−= aaqp 2

pdipolo tiende a rotar alineándose con E

Ep ×=τ

αdads =

dsdα

αα sen. daEqsdFdWdEP ===

ds

)cos(cossen2 12

2

1

ααααα

α

−−==∆ ∫ EpdEaqEP

Si EP=0 cuando α = 90° αcosEpEP −=

I +

+

–

+ I

EP min

EP=0

EP max

E

EpEP

.−=

Dipolo en E

potencial eléctrico

Documents