TEMA II

Apuntes de Teoremas de Circuitos Elctricos

POTENCIA

El inters en conocer el valor de la potencia en un circuito, radica en que, a veces es necesario conocer que potencia que suministra un generador, la potencia con que emite una radiodifusora, que potencia es consumida por los aparatos elctricos, etc.La potencia en un circuito elctrico puede ser generada o consumida por el mismo.

POTENCIA INSTANTANEALa potencia instantnea de cualquier circuito elctrico esta dada por la expresin siguiente.

(1)

En un circuito puramente resistivo; la potencia que puede ser determinada o calculada, se conoce como potencia media, real o efectiva. Las expresiones que se van a emplear en este caso se obtienen de la manera siguiente. Se sabe que por ley de Ohm la corriente y el voltaje se determinan por las ecuaciones (2) y (3) respectivamente.

(2) (3)Sustituyendo las ecuaciones (2) y (3) en la ecuacin (1), se obtienen las siguientes expresiones.

Entonces.

(4)Adems. Entonces.

(5)

La potencia en un circuito resistivo cuando los valores del voltaje y la corriente son senoidales, es la siguiente. (6)

Entonces.

(6)

POTENCIA MEDIA

Por definicin el valor medio de una funcin esta dado por la siguiente ecuacin

(7)Aplicando esta expresin a una funcin peridica de voltaje y corriente se puede obtener el valor de la potencia media para una red puramente resistiva siendo esta de la siguiente manera.

(8)

Como ; se puede sustituir por grados quedando . Se tiene que:

.

Adems.

La expresin queda. (9)

POTENCIA COMPLEJA DE UNCIRCUITO ELCTRICO

Si se considera que el voltaje y la corriente en un circuito elctrico son funciones senoidales dadas por las expresiones siguientes.

(10)

(11)

Los complejos correspondientes de ambas funciones son los siguientes. (12) (13)Se sabe que por ley de Ohm la corriente y el voltaje cuando se tiene un circuito con impedancias se determinan por las ecuaciones (14) y (15) respectivamente.

(14) (15)Sustituyendo en la ecuacin (1) la ecuacin (14) se obtiene.

Por lo tanto.

(16)

Donde.

Entonces la ecuacin (16) de la potencia compleja queda.

(17)

Sustituyendo ahora en la ecuacin (1) la ecuacin (15) se obtiene.

Por lo tanto.

(18)

Donde.

Entonces la ecuacin (18) de la potencia compleja queda.

(19)

Se observa de la ecuacin (19) que el ngulo es positivo y de acuerdo a la ecuacin (17) este ngulo es negativo, por lo que en la ecuacin (18) para que esto se cumpla, debe ser.

(20)

Por lo tanto la ecuacin de la potencia compleja empleando a la corriente queda de la siguiente manera.

(21)

Entonces.

(22)

Empleando ahora ley de Ohm para determinar el valor de impedancia de un circuito elctrico, considerando a la corriente de la ecuacin (12) y el voltaje de la ecuacin (13); se tiene. (23)

Para simplificar la ecuacin (23) se puede considerar que : ; por lo que la ecuacin (23) queda de la manera siguiente.

(24)

Sustituyendo en la ecuacin (1) de la potencia instantnea los valores del voltaje de la ecuacin (13) y la corriente de la ecuacin (12); lo que se obtiene es el valor de la potencia compleja en un circuito elctrico, siendo esta.

Por lo tanto.

(25)

Se observa que el ngulo obtenido es: , pero de las ecuaciones (17) y (22) se establece que el ngulo de potencia es el ngulo de la impedancia; para que esto se cumpla el producto apropiado para el clculo de la potencia compleja debe ser.

(26)Por lo que se define a la potencia compleja, como el producto del voltaje por el conjugado de la corriente, entonces. (27)Lo que se obtuvo es la expresin de la potencia en forma polar, transformndola a su manera rectangular. (28)

La potencia compleja, por ser un nmero complejo puede expresarse con parte real y parte imaginaria esto es.

(29) Donde:

POTENCIA APARENTE

A la magnitud de la potencia compleja se le conoce como potencia aparente y esta determinada por la siguiente expresin.

(30)FACTOR DE POTENCIA

El factor de potencia en un circuito elctrico con impedancia esta definido como el coseno del ngulo de la impedancia ((). El factor de potencia puede ser de atraso o de adelanto segn sea, el valor de la reactancia que tenga la impedancia del circuito o de la potencia reactiva que se obtenga. Este se obtiene de la siguiente manera: (31) (32)TRIANGULO DE POTENCIAS

La potencia activa, reactiva y aparente pueden ser representadas geomtricamente mediante los lados de un tringulo, llamado tringulo de potencias.

Si se tiene una carga inductiva el tringulo de potencias se muestra en la figura 1.

Figura 1. Triangulo de potencias para una carga inductiva.Si se tiene una carga capacitiva el tringulo de potencias se muestra en la figura 2.

Figura 1. Triangulo de potencias para una carga capacitiva.TEOREMA DE MXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA

Se considera que se tiene mxima transferencia de potencia cuando la corriente que circula a travs de un circuito hacia una carga es mxima por lo que el voltaje obtenido tambin ser mximo.

Para determinar el valor de la carga que nos permita obtener mxima transferencia de potencia nos vamos a auxiliar del circuito equivalente de Thevenin debido a que cualquier circuito elctrico en sus terminales de salida presenta un voltaje y una impedancia de acoplamiento se van a presentar dos casos para el valor de la carga los cuales son:

a) Cuando la carga de un circuito elctrico es una impedancia como se muestra en la figura 3.

Figura 3. Circuito elctrico con una impedancia como cargaDel circuito se observa que.

Donde.

Sustituyendo se tiene.

Para que la corriente del circuito sea mxima la reactancia del circuito debe ser cero; entonces.

Por lo tanto: (33)

La corriente mxima ser.

Entonces.

La ecuacin de la potencia queda:

Para obtener un valor mximo de que de la mxima potencia; se va a derivar la expresin de la potencia con respecto de e igualndola cero.

Entonces.

Despejando al numerador.

Desarrollando.

Por lo tanto. (34)

De las ecuaciones (33) y (34) se puede establecer.

Por lo tanto.

(35)

De la ecuacin (35), se puede establecer que para obtener mxima transferencia de potencia cuando la carga es una impedancia, que el valor de esta, debe ser el conjugado que la impedancia de Thevenin.

b) cuando la carga es puramente resistiva como se muestra en la figura 4.

Figura 4. Circuito elctrico con una resistencia como cargaPara determinar el valor de la corriente del circuito.

Donde.

Sustituyendo en la expresin de la corriente se tiene.

La potencia en la carga ser.

Entonces.

Para determinar el valor de con el cual se obtenga mxima transferencia de potencia, se va ha derivar a la potencia con respecto a y se va ha igualar a cero. Esto es.

Esto es.

Despejando el numerador se tiene.

Desarrollando.

Por lo tanto.

(36)

De la ecuacin (36) se puede establecer que para obtener mxima transferencia de potencia cuando la carga es una resistencia, que el valor de esta, es la magnitud de la impedancia de Thevenin.

ResonanciaDEPENDENCIA DE LA FRECUENCIALa impedancia de elementos generales tipo serie como los que se muestran en la figura 1, esta dada por las ecuaciones (1) y (2). Figura 1. Elementos generales tipo serie. (1) (2)

La admitancia de elementos generales tipo paralelo como los que se muestran en la figura 2, esta dada por las ecuaciones (3) y (4).

Figura 2. Elementos generales tipo paralelo. (3) (4)

Las frecuencias que se pueden manejar en este caso son dos. 1. = frecuencia angular [rad/s]

2. = frecuencia lineal [Hz]

Se debe considerar.

S vara la frecuencia lineal de un circuito varia tambin la frecuencia angular; cuando esto sucede varia el valor de la impedancia, por lo que tambin vara la corriente y con estos variar el voltaje, adems de la potencia del circuito.Por lo tanto se puede establecer que los valores de impedancia, admitancia, corriente, voltaje y potencia dependern de la variacin de la frecuencia.Con respecto a la dependencia de la frecuencia en un circuito el fenmeno de la resonancia y antirresonancia es lo ms importante y se refiere a los valores mximos y mnimos de la respuesta del circuito para ciertas frecuencias.

El concepto de dependencia de la frecuencia se puede escribir como una razn de polinomios como se muestra a continuacin:

(5)

Si los polinomios de la ecuacin (5) son racionales y tienen races, se pueden descomponer en una serie de binomios multiplicado por una constante, es decir:

(6) (6)

(7) (7)Sustituyendo a las ecuaciones (6) y (7) en la ecuacin (1) se tiene lo siguiente: (8)De la ecuacin (8) se tiene que: y son las races de los polinomios del numerador y denominador

y son las potencias de las frecuencias de los polinomios

Si en la ecuacin (8) se sustituye el valor de por cualquier valor de (raz del numerador), el polinomio Q se hace cero, esto es: , entonces.

Por lo tanto, a las constantes (races del numerador) se les llama ceros de la funcin.Si ahora en la ecuacin (8) se sustituye a por cualquier valor de (raz del denominador), el polinomio P se hace cero, esto es: , entonces.

Por lo tanto, a las constantes (races del denominador) se les llama polos de la funcin.

Resumiendo se tiene:

y .- son constantes diferentes de cero

.- son los ceros de la funcin

.- son los polos de la funcin

y .- son los exponentes de las frecuencias de los polinomios , es decir, son los grados a los cuales estn elevadas las frecuencias de los polinomios

Las frecuencias que hacen cero a la funcin (corriente, voltaje, potencia, impedancia y admitancia), reciben el nombre de frecuencias angulares singulares extremas de antirresonancia; esto debido a que con ello se obtiene un valor mnimo de la funcin.

A las frecuencias que indeterminan la funcin; es decir, dan como resultado un valor mximo de la funcin se les llama: frecuencias angulares singulares extremas de resonancia.

Es importante el estudio de los circuitos resonantes debido a que tienen una gran gama de aplicaciones en la electrnica, se les encuentra en circuitos sintonizadores, sistemas de alarmas, radares, etc.

Los circuitos resonantes ms importantes son:

a) Circuitos RLC serie

b) Circuitos RLC paralelo

c) Circuitos RLC serie paralelo

Circuitos serie RLC

Considerando el circuito mostrado en la figura 3 para su anlisis.

Figura 3. Circuito serie RLC.Por ser un circuito serie se va a determinar o a calcular un valor de corriente mximo. La corriente en este caso se determina por la ecuacin (9).

(9)

Entonces. (9)Como es de inters que la corriente sea mxima; se va a determinar el valor de la frecuencia a la cual esta trabajando el circuito ya que esta modifica el valor de la impedancia que se podra tener. Para obtener el valor de la frecuencia de resonancia . Se va a aplicar el mtodo de la derivada. Es decir; se va a calcular el valor de las races reales de la ecuacin para establecer si se tiene un valor mximo o mnimo de la funcin. En este caso se desea obtener una raz que de un valor mximo a la ecuacin; entonces.

(10)

Determinando primero el valor de la magnitud de la corriente de la ecuacin (9) para sustituirlo en la ecuacin (10).

Elevando al cuadrado el valor de la magnitud de la corriente, se obtiene la ecuacin (11).

(11)Sustituyendo el valor de la ecuacin (11) en la ecuacin (10) se tiene.

(12)

Realizando la derivada:

(13)

Como se desea conocer el valor de que haga mxima a la funcin de la corriente; esta se va a despejar de la ecuacin (13); se observa de la misma que si el denominador es igual a cero la funcin se indetermina, por lo tanto lo que se puede igualar a cero ser:

(14)De la ecuacin (14) se observa que se tienen dos posibilidades de determinar el valor de , las cuales son: (a) (b)Como no existen valores de frecuencia imaginarios; no se toma cuenta a la expresin (b) porque dara como resultado una frecuencia imaginaria. Considerando a la ecuacin (a), para despejar el valor de .

Entonces. (15)Sustituyendo la ecuacin (15) en la ecuacin (9) para determinar si el valor de la funcin es mximo o mnimo, se tiene.

(16)

Realizando operaciones solo con lo que esta dentro del parntesis de la ecuacin (16).

La corriente queda. (17)Como la parte imaginaria es cero resulta mximo el valor de la funcin corriente, la frecuencia corresponde a la Frecuencia de Resonancia, la cual se indicar como y esta dada por la ecuacin (18). (18)Curva Universal de ResonanciaSi se grafica la respuesta en corriente contra frecuencia, se obtiene una curva de respuesta en funcin de la frecuencia, llamada curva universal de resonancia. Se debe tener siempre en cuenta que no existen frecuencias negativas o imaginarias. Al realizar la grafica; el eje corresponder siempre a la frecuencia mientras que el eje ser la corriente. Cuando es diferente de , la ecuacin de la corriente esta dada por la ecuacin (19). (19)Proponiendo los valores de frecuencia angular diferentes al valor de la frecuencia de resonancia y sustituyndolos en la ecuacin (19), se obtienen las graficas mostradas en las figuras (4) y(5).

Figura 4. Frecuencias menores a la de Resonancia Figura 5. Frecuencias mayores a la de ResonanciaLa conclusin es que, cuando es diferente de , la respuesta de la corriente siempre es menor, graficando estos resultados la curva tiene la forma de la mostrada en la figura 6. Figura 6. Curva Universal de Resonancia.Ancho de banda

Cuando la corriente mxima , disminuye en un 70.7% de su valor, se determinan sobre la curva de resonancia dos puntos de inters. Para este valor de corriente se traza una lnea paralela al eje de la frecuencia, cortando a la curva en los puntos y , de estos puntos se trazan lneas perpendiculares al eje de la frecuencia, se determinan dos puntos los cuales corresponden a y , llamadas frecuencias de potencia media, esto se muestra en la figura 7. Figura 7. Grafica para determinar el valor del ancho de banda.De la grafica de la figura 7, se observa que el ancho de banda () se puede determinar por la ecuacin (20).

(20)

El ancho de banda tambin puede ser obtenido por l siguiente ecuacin. (21) Frecuencias de potencia media

La potencia en un circuito elctrico esta dada por: , si se esta trabajando a frecuencia de resonancia, se aplica la ecuacin (22). (22)En los puntos y la corriente tiene el valor de siguiente.

(23)

Al sustituir la ecuacin (23) en la ecuacin (22), se obtiene.

(24)Se sabe que a frecuencia de resonancia , al sustituir este valor en al ecuacin (24), se obtiene. (25)

Se observa de la ecuacin (25) que la potencia en los puntos y es la mitad de la potencia que hay a ; por esto se le conoce como puntos de potencia media y a las frecuencias y , se les conoce como frecuencias de potencia media.

En los puntos de potencia media la corriente esta dada por la ecuacin (26). (26)

Para cualquier valor de la corriente se determina por la ecuacin (27).

(27)Como las ecuaciones (27) y (28) determinan la magnitud de la corriente, igualndolas se tiene.

Por lo tanto, se obtiene la ecuacin (28).

(28)

Para la ecuacin (28) dependiendo del valor de la frecuencia, se presentan dos casos, que son los siguientes. Entonces.

(29)Adems. Se obtiene.

(30)

Despejando a de la ecuacin (29).

Se obtiene una ecuacin de segundo orden. (31)Determinando el .

Por lo tanto se obtiene a partir de la ecuacin siguiente. (32)

La ecuacin (32) sirve para obtener el valor de recordando que no se deben de considerar las frecuencias negativas o imaginarias. Para determinar el valor de la frecuencia se utiliza a la ecuacin (30), obtenindose la siguiente ecuacin. (33)Al sustituir los valores de las frecuencias de potencia media y en la ecuacin (21) se tiene.

Por lo tanto el ancho de banda tambin puede obtenerse a partir de la siguiente ecuacin. (34)Angulo de fase de la corriente

A frecuencia de resonancia la magnitud de la corriente esta dada por la ecuacin (35). (35)Se observa de la ecuacin (35) que el ngulo de la corriente es igual al ngulo del voltaje; si ahora se considera a una diferente de ; la ecuacin para la corriente tiene la siguiente forma. (36)

Donde.

Entonces.

Considerando que. (37)La ecuacin de la corriente cuando se la siguiente. (38)Si se considera a ; se esta haciendo referencia a la frecuencia ; partiendo de la ecuacin (29).

EMBED Equation.3 Se tiene que para .

Entonces.

Por lo tanto.

(39)Por lo tanto el ngulo de fase para el punto de frecuencia media ; ser de ; en este caso la corriente estar determinada por la ecuacin siguiente. (40)Si ahora se considera que ; se esta haciendo referencia a la frecuencia ; empleando la ecuacin (30).

Se tiene que para .

Entonces.

Por lo tanto.

(40)Por lo tanto el ngulo de fase para el punto de frecuencia media ; ser de ; en este caso la corriente estar determinada por la ecuacin siguiente. (41)Factor de calidad de un circuito RLC serie

El factor de calidad se indica con la letra Q, y expresa el grado de selectividad de un circuito, y se esta determinado por la ecuacin (42). (42)La energa mxima almacenada de un circuito serie RLC esta en la bobina y se expresa por la ecuacin siguiente.

(43)La energa disipada se manifiesta en la resistencia.

(44)Para obtener energa disipada por ciclo. (45)Al sustituir las ecuaciones (43) y (44) en la ecuacin (42) se obtiene.

(46)Partiendo de la ecuacin (46) a frecuencia de resonancia el factor de calidad se obtiene a partir de la siguiente ecuacin. (47)Se observa de la ecuacin (47) que la ecuacin del factor de calidad esta en funcin de la ovina. Si ahora se expresa al factor de calidad en funcin de la capacidad del circuito, se debe considerar que.

Entonces. (48)Sustituyendo la ecuacin (48) en la ecuacin (47).

Por lo tanto: (49)

Si ahora se despeja a el valor de de la ecuacin (47). (50)Sustituyendo la ecuacin (50) en al ecuacin (34).

(51)Si ahora se expresa a y en funcin de y se tiene. (52)

(53)Selectividad

Es la propiedad del circuito resonante para seleccionar una banda de frecuencias deseadas; entre ms pequeo sea el ancho de banda, mayor ser la selectividad del circuito. La forma de la curva esta en funcin de los valores de RLC, las figuras 8 y 9 muestran la curva de un circuito con alta selectividad y de un circuito de baja selectividad respectivamente. Figura 8. Circuito con alta selectividad Figura 9. Circuito con baja selectividadCircuitos paralelo RLCConsiderando el circuito mostrado en la figura 10 para su anlisis.

Figura 10. Circuito RLC paralelo.Por ser un circuito paralelo se va a determinar o a calcular un valor del voltaje mximo, en este caso se determina por la ecuacin (54).

(54)

Entonces. (54)Como es de inters que el voltaje sea mximo; se va a determinar el valor de la frecuencia a la cual esta trabajando el circuito; ya que esta modifica el valor de la admitancia que se podra tener. Para obtener el valor de la frecuencia de resonancia se va a aplicar el mtodo de la derivada. Es decir; se va a calcular el valor de las races reales de la ecuacin para establecer si se tiene un valor mximo o mnimo de la funcin. En este caso se desea obtener una raz que de un valor mximo a la ecuacin (54); entonces.

(55)

Determinando primero el valor de la magnitud del voltaje de la ecuacin (54) para sustituirlo en la ecuacin (55).

Elevando al cuadrado el valor de la magnitud del voltaje, se obtiene la ecuacin (56).

(56)Sustituyendo el valor de la ecuacin (56) en la ecuacin (55) se tiene.

(57)

Realizando la derivada:

(58)

Como se desea conocer el valor de que haga mxima a la funcin del voltaje; este se va a despejar de la ecuacin (58); se observa de la misma que si el denominador es igual a cero la funcin se indetermina, por lo tanto lo que se puede igualar a cero ser:

(59)De la ecuacin (59) se observa que se tienen dos posibilidades de determinar el valor de , las cuales son:

(a)

(b)Como no existen valores de frecuencia imaginarios; no se toma cuenta a la expresin (b) porque dara como resultado una frecuencia imaginaria. Considerando a la ecuacin (a), para despejar el valor de .

Entonces.

(60)Sustituyendo la ecuacin (60) en la ecuacin (54) para determinar si el valor de la funcin es mximo o mnimo, se tiene.

(61)

Realizando operaciones solo con lo que esta dentro del parntesis de la ecuacin (61).

El voltaje queda.

(62)Como la parte imaginaria es cero resulta mximo el valor del voltaje, la frecuencia corresponde a la Frecuencia de Resonancia, la cual se indicar como y esta dada por la ecuacin (62).

(63)Curva Universal de ResonanciaSi se grafica la respuesta del voltaje contra la frecuencia, se obtiene una curva de respuesta en funcin de la frecuencia, llamada curva universal de resonancia. Se debe tener siempre en cuenta que no existen frecuencias negativas o imaginarias. Al realizar la grafica; el eje corresponder siempre a la frecuencia mientras que el eje ser el voltaje. Cuando es diferente de , la ecuacin del voltaje esta dada por la ecuacin (64). (64)Proponiendo los valores de frecuencia angular diferentes al valor de la frecuencia de resonancia y sustituyndolos en la ecuacin (64), se obtienen las graficas mostradas en las figuras (11) y (12).

Figura 11. Frecuencias menores a la de Resonancia Figura 12. Frecuencias mayores a la de ResonanciaLa conclusin es que, cuando es diferente de , la respuesta de la corriente siempre es menor, graficando estos resultados la curva tiene la forma de la mostrada en la figura 13. Figura 13. Curva Universal de Resonancia.

Ancho de banda

Cuando el voltaje mximo , disminuye en un 70.7% de su valor, se determinan sobre la curva de resonancia dos puntos de inters. Para este valor de voltaje se traza una lnea paralela al eje de la frecuencia, cortando a la curva en los puntos y , de estos puntos se trazan lneas perpendiculares al eje de la frecuencia, se determinan dos puntos los cuales corresponden a y , llamadas frecuencias de potencia media esto se muestra en la figura 14. Figura 14. Grafica para determinar el valor del ancho de banda.De la grafica de la figura 14, se observa que el ancho de banda () se puede determinar por la ecuacin (20).

(65)

El ancho de banda tambin puede ser obtenido por l siguiente ecuacin.

(66) La potencia en los puntos y es la mitad de la potencia que hay a ; por esto se le conoce como puntos de potencia media y a las frecuencias y , se les conoce como frecuencias de potencia media.

En los puntos de potencia media:

Frecuencias de potencia media

La potencia en un circuito elctrico esta dada por: , si se esta trabajando a frecuencia de resonancia, se aplica la ecuacin (67).

(67)En los puntos y la corriente tiene el valor de siguiente.

(68)

Al sustituir la ecuacin (68) en la ecuacin (67), se obtiene.

(69)Se sabe que a frecuencia de resonancia , al sustituir este valor en al ecuacin (69), se obtiene. (70)

Se observa de la ecuacin (70) que la potencia en los puntos y es la mitad de la potencia que hay a ; por esto se le conoce como puntos de potencia media y a las frecuencias y , se les conoce como frecuencias de potencia media.

En los puntos de potencia media el voltaje esta dado por la ecuacin (71). (71)

Para cualquier valor de el voltaje se determina por la ecuacin (72).

(72)Como las ecuaciones (71) y (72) determinan la magnitud del voltaje, igualndolas se tiene.

Por lo tanto, se obtiene la ecuacin (73).

(73)

Para la ecuacin (73) dependiendo del valor de la frecuencia, se presentan dos casos, que son los siguientes.

Entonces.

(74)Adems.

Se obtiene.

(75)

Despejando a de la ecuacin (74).

Se obtiene una ecuacin de segundo orden.

(76)Determinando el .

Por lo tanto se obtiene a partir de la ecuacin siguiente.

(77)

La ecuacin (77) sirve para obtener el valor de recordando que no se deben de considerar las frecuencias negativas o imaginarias.

Determinando el valor de en funcin de R. (78)Para determinar el valor de la frecuencia se utiliza a la ecuacin (76), obtenindose la siguiente ecuacin.

(79)Determinando el valor de en funcin de R. (80)Al sustituir los valores de las frecuencias de potencia media y en la ecuacin (65) se tiene.

Por lo tanto el ancho de banda tambin puede obtenerse a partir de la siguiente ecuacin. (81)Determinando el valor del ancho de banda en funcin de R. (82)Angulo de fase del voltaje.A frecuencia de resonancia la magnitud del voltaje esta dado por la ecuacin (83). (83)Se observa de la ecuacin (83) que el ngulo del voltaje es igual al ngulo de la corriente; si ahora se considera a una diferente de ; la ecuacin para el voltaje tiene la siguiente forma.

(84)

Donde.

Entonces.

Considerando que. (85)

La ecuacin de la corriente cuando se la siguiente. (86)Si se considera a ; se esta haciendo referencia a la frecuencia ; partiendo de la ecuacin (74).

Se tiene que para .

Entonces.

Por lo tanto.

(87)Por lo tanto el ngulo de fase para el punto de frecuencia media ; ser de ; en este caso el voltaje estar determinado por la ecuacin siguiente. (88)Si ahora se considera que ; se esta haciendo referencia a la frecuencia ; empleando la ecuacin (75).

Se tiene que para .

Entonces.

Por lo tanto.

(89)Por lo tanto el ngulo de fase para el punto de frecuencia media ; ser de ; en este caso el voltaje estar determinada por la ecuacin siguiente. (90)Factor de calidad de un circuito RLC paralelo.El factor de calidad se indica con la letra Q, y expresa el grado de selectividad de un circuito, y se esta determinado por la ecuacin (42). (91)La energa mxima almacenada de un circuito paralelo RLC esta en el capacitor y se expresa por la ecuacin siguiente.

(92)La energa disipada se manifiesta en la conductancia, pero en funcin de la resistencia se tiene:

(93)

Para obtener energa disipada por ciclo.

(94)Al sustituir las ecuaciones (93) y (94) en la ecuacin (91) se obtiene.

(95)Partiendo de la ecuacin (95) a frecuencia de resonancia el factor de calidad se obtiene a partir de la siguiente ecuacin.

(96)

Se observa de la ecuacin (96) que la ecuacin del factor de calidad esta en funcin del capacitor. Si ahora se expresa al factor de calidad en funcin de la bobina, se debe considerar que.

Entonces. (97)

Sustituyendo la ecuacin (97) en la ecuacin (96).

Por lo tanto:

(98)Si ahora se despeja a el valor de de la ecuacin (96).

(99)Sustituyendo la ecuacin (99) en al ecuacin (82).

(100)Si ahora se expresa a y en funcin de y se tiene.

(101)

Adems. (102)Selectividad

Es la propiedad del circuito resonante para seleccionar una banda de frecuencias deseadas; entre ms pequeo sea el ancho de banda, mayor ser la selectividad del circuito. La forma de la curva esta en funcin de los valores de RLC, las figuras 15 y 16 muestran la curva de un circuito con alta selectividad y de un circuito de baja selectividad respectivamente.

Figura 15. Circuito con alta selectividad Figura 16. Circuito con baja selectividadEn un circuito resonante, la frecuencia de resonancia es el lugar geomtrico de las frecuencias de corte. Esto se cumple en un circuito serie o un circuito paralelo. Se puede demostrar partiendo de la ecuaciones (74) y (75) del circuito serie o de las ecuaciones (29) y (30) del circuito paralelo. En este caso consideraremos las expresiones (74) y (75); entonces:

(74)

(75)

Igualando las expresiones (74) y (75), se tiene:

Entonces.

(103) Se sabe que:

Por lo tanto:

(104)

Circuitos serie-paralelo RLCEste tipo de circuitos es muy empleado como sintonizador de frecuencias y se muestra en la figura 17.

Figura 17. Circuito Serie Paralelo RLCEl voltaje del circuito se obtiene de la ecuacin siguiente. (105) Donde. (106)De la ecuacin (106) separando parte real de imaginaria.

Por lo tanto. (107)Sustituyendo la ecuacin (107) en la ecuacin (105). (108)De la ecuacin (108) se observa que para que el voltaje sea mximo, el valor de la admitancia debe ser mnimo; esto es posible si la parte imaginaria es cero. Entonces:

(109)Despejando el valor de de la ecuacin (109).

(110)A frecuencia de resonancia:

(111)Entonces.

Por lo tanto:

(112)Otro tipo de circuito RLC serie-paralelo es el que se muestra en la figura 18. Figura 17. Circuito Serie Paralelo RLCEl voltaje del circuito se obtiene de la ecuacin siguiente. (113) Donde. (114)

Separando parte real de imaginaria.

(115)Sustituyendo la ecuacin (115) en la ecuacin (113). (116)De la expresin (116) se observa que para que el voltaje sea mximo, el valor de la admitancia debe ser mnimo; esto es posible si la parte imaginaria es cero. Entonces:

Por lo tanto.

(117)Se sabe que. (118) (119)Al sustituir las ecuaciones (118) y (119) en la ecuacin (117). (120)Eliminando las fracciones de la ecuacin (120) y ordenando trminos se obtiene. (A)De la expresin (A) se puede determinar las siguientes expresiones: (121)

(122) (123)De la expresin (121) se puede determinar a la Frecuencia de Resonancia

De la expresin (122) se determina el valor de la Bobina para que el circuito entre en resonancia.

De la expresin (123) se determina el valor del Capacitor para que el circuito entre en resonancia.

Multifrecuencia.El objetivo de este tema es aplicar un sistema por medio del cual se puedan resolver circuitos excitados con fuentes de corriente o voltaje senoidales o con funciones no senoidales llamadas funciones peridicas. Las funciones peridicas pueden representarse como la suma de un nmero infinito de funciones senoidales cuyas frecuencias son mltiplos enteros de la frecuencia fundamental. A la suma de estas funciones senoidales de diferente frecuencia que son armnicas de una frecuencia fundamental se le llama Serie de Fourier.

Existen dos tipos de funciones importantes, utilizadas para alimentar circuitos, las cuales son:

Funciones peridicas.- Son todas aquellas funciones que se repiten en un intervalo de tiempo y satisfacen las siguientes expresiones.

Por ejemplo:

Existen funciones peridicas que no pueden ser representadas como una funcin sencilla, sin embargo esto puede lograrse por medio de intervalos de tiempo. Como la siguiente funcin.

Funciones no peridicas.- Son todas aquellas funciones que varan en un intervalo de tiempo y son cero para cualquier otro valor.

Por ejemplo:

Las funciones peridicas no senoidales pueden ser representadas por una Serie de Fourier; para que la funcin se pueda representar como una suma de senoides; es decir, una Serie de Fourier, es estrictamente necesario que cumplan con las condiciones de Dirichlet las cuales son:

1) Que la funcin tenga un valor medio finito en un periodo de tiempo

2) Que la funcin tenga un numero finito de mximos positivos y negativos en un periodo de tiempo

3) Que la funcin en caso de ser discontinua tenga un numero finito de discontinuidades en un periodo de tiempo

Si la funcin cumple con las condiciones anteriores, entonces puede ser representada como una suma de senoides a diferente frecuencia, es decir, una serie de Fourier.

Para una funcin de tiempo que es peridica y satisface las condiciones de Dirichlet la serie de Fourier ser la siguiente manera:

en donde cada coeficiente de la serie de Fourier se determina a partir de las expresiones siguientes:

Si se conoce la simetra de la forma de onda de las funciones peridicas, se reduce el clculo de los coeficientes de la Serie de Fourier. Los tipos de simetra que se reconocen fcilmente son: la simetra de funciones pares, impares y de media onda.

SIMETRIA PAR

Una funcin se dice que tiene simetra par, si cumple con la condicin siguiente: . Este tipo de simetra se reconoce fcilmente, porque en su grafica hay simetra con respecto al eje .

Si la funcin es par, la Serie de Fourier contiene solo un trmino constante y trminos csenos, en este tipo de funciones .

SIMETRIA IMPAR

Una funcin se dice que tiene simetra impar, si cumple con la condicin siguiente: . Este tipo de simetra se reconoce grficamente, porque hay simetra con respecto al origen. Si la funcin es impar, la Serie de Fourier contiene solo trminos senoidales, en este tipo de funciones .

SIMETRIA DE MEDIA ONDA

Una funcin se dice que tiene simetra impar, si cumple con la condicin siguiente: . Este tipo de simetra se reconoce grficamente, porque cada medio ciclo es igual a los medios ciclos adyacentes, los medios ciclos positivos y negativos, son idnticos.

Si la funcin es de media onda, la Serie de Fourier contiene nicamente armnicos impares, esta serie contiene trminos seno y coseno a menos que la funcin sea par o impar, en cualquier caso para .

VALOR EFICAZ DE VOLTAJE Y CORRIENTE. El valor eficaz, efectivo o RMS de cualquier funcin esta determinado por la siguiente expresin.

para una funcin senoidal al aplicar la expresin anterior se encontr que el valor efectivo era:

Donde A es la amplitud de la seal senoidal o tambin se le conoce como voltaje pico de la seal senoidal.

Para una funcin peridica, el voltaje efectivo, eficaz o RMS es:

(1)

El valor efectivo, eficaz o RMS para la corriente de una funcin peridica es:

(2)POTENCIA MEDIA. La potencia media consumida por un circuito elctrico, o suministrada por el generador es: ; se tiene:

como el valor medio de una funcin es:

La potencia media del circuito ser:

(3)PAGE Ing. Alejandro Garca HernndezPgina 40

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