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U N I V E R S I D A D N A C I O N A L D E T R U J I L L O

ESCUELA DE POST GRADO

SECCIÓN DE MAESTRÍA EN EDUCACIÓN

PROPUESTA DE MODELO DE CONTENIDOS CURRICULARES DEL

CURSO DE RAZONAMIENTO LÓGICO DESTINADO AL 1º, 2º Y 3º DE

SECUNDARIA EN EL C.E.E. “RAFAEL NARVÁEZ CADENILLAS” U.N.T.

Investigador:

Bach. Jacinto E. Córdova Guimaray Profesor Principal UNT

Asesor de Tesis:

Dr. Gilberto E. Roldán Paredes Director de la Sección de Post

Grado de Educación UNT

UNT - 2008

Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación

Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/

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INDICE

RESUMEN 4

ABSTRACT 5

I. INTRODUCCIÓN

1. Antecedentes y Justificación 9

2. Formulación del Problema de Investigación 12

3. Formulación de objetivos 12

II. MARCO TEÓRICO

LÓGICA DE PROPOSICIONES CONECTADAS

1. OBJETO DE ESTUDIO 13

2. PROPOSICIONES 15

2.1ORACIONES QUE NO SON PROPOSICIONES 16

2.2 JUICIO Y PROPOSICION 18

2.3TIPOS DE PROPOSICIONES SIMPLES 21

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3. FORMALIZACIÓN 23

3.1EL NEGADOR 25

3.2EL CONJUNTOR 27

3.3EL DISYUNTOR 29

3.4EL CONDICIONADOR SUFICIENTE 31

3.5EL CONDICIONADOR NECESARIO 33

3.6EL BICONDICIONADOR 35

3.7EL DISYUNTOR EXCLUYENTE 37

4. VERDAD 39

4.1PROPOSICIÓN NEGATIVA 40

4.2PROPOSICIÓN CONJUNTIVA 41

4.3PROPOSICIÓN DISYUNTIVA 42

4.4PROPOSICIÓN CONDICIONAL SUFICIENTE 43

4.5PROPOSICIÓN CONDICIONAL NECESARIO 46

4.6PROPOSICIÓN BICONDICIONAL 49

4.7PROPOSICIÓN DISYUNTIVA EXCLUYENTE 50

5. EQUIVALENCIAS 55

5.1UN SISTEMA BÁSICO K 55

5.2LAS PROPOSICIONES CATEGÓRICAS 59

5.3TODAS LAS LEYES DE EQUIVALENCIA 63

5.4REDUCCIÓN DE FÓRMULAS 66

5.5CIRCUITOS LÓGICOS 68

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6. INFERENCIAS 73

6.1 CON UNA PREMISA 74

6.2 CON DOS PREMISAS 75

6.3 CON TRES PREMISAS 77

6.4 CON TRES FIGURAS 78

6.5 CON SILOGISMOS 80

7. VALIDEZ SINTÁCTICA 82

7.1 DEMOSTRACIÓN DIRECTA 82

7.2 PRUEBA CONDICIONAL 84

7.3 DEMOSTRACIÓN INDIRECTA 84

7.4 SILOGISMOS 85

7.5 SILOGISMOS A LA LUZ DE LA LÓGICA MATEMÁTICA 89

8. VALIDEZ SEMÁNTICA 91

8.1 TABLAS DE VERACIDAD 91

8.2 MÉTODO ABREVIADO 92

III. MATERIAL Y MÉTODOS 94

1. Método de Investigación 94

2. Diseño de Investigación 94

3. Población 95

4. Instrumentos de recolección y

procesamiento de datos 98

4



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IV. RESULTADOS 99

IV.1 Propuesta de modelo de contenidos curriculares del

1º año de secundaria 99





V. CONCLUSIONES 120

VI. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

6.1. DOCUMENTOS EN INTERNET 122

6.2. LIBROS SIGNIFICATIVOS 123

VII. ANEXO 126

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RESUMEN

La presente tesis de postgrado propone un modelo de contenidos

curriculares sistematizados del curso de Razonamiento Lógico destinados al 1º,

2º y 3º grado del nivel de educación secundaria, específicamente, del Centro

de Educación Experimental “Rafael Narvaez Cadenillas” de la Facultad de

Educación de la Universidad Nacional de Trujillo, durante el año 2007, con el

objetivo de optar el grado de Maestro en Educación, mención en Pedagogía

Universitaria.

El contenido del marco teórico de esta tesis es, principalmente, la

descripción y precisión lo más cuidadosa y minuciosa posible, de los diferentes

conceptos de la ciencia de la lógica formal, base filosófica del curso de

Razonamiento Lógico del nivel de educación secundaria, del nivel

preuniversitario y del nivel universitario.

Los resultados de la presente tesis, además del aporte del docente con

definiciones, ejercicios y problemas de cada tema, necesitan

insoslayablemente, ser validadas con sendas investigaciones de carácter

experimental, al menos por un año escolar.

EL AUTOR

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ABSTRACT

This postgraduate thesis proposes a model of curricula contains that are

systematized of the Logical Reasoning course for the 1st, 2nd and 3rd

grade in secondary education, specifically,in the Center for Experimental

Education "Rafael Narvaez Cadenillas" of the Faculty of Education

National University of Trujillo, in the year 2007, with the purpose of

getting the degree of Master in Education, mention in University

Pedagogy.

The content of the theoretical frame of this thesis, is, mainly, the result of

the description and possible the most careful and meticulous precision, of

the different concepts from the science of the formal logic, philosophical

bases of the course of Logical Reasoning of the level in secondary

education, preuniversity level and university level.

The results of the present thesis, in addition to the contribution of the

teacher of Logical Reasoning, with definitions, exercises and problems of

each subject, needs to be validated with individual investigations of

experimental character at least by a scholastic year

.

The Author

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PROPUESTA DE MODELO DE CONTENIDOS CURRICULARES PARA EL

CURSO DE RAZONAMIENTO LÓGICO DESTINADO AL 1º, 2º Y 3º DE

SECUNDARIA EN EL C.E.E. “RAFAEL NARVÁEZ CADENILLAS” U.N.T.

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I. INTRODUCCIÓN

1. Antecedentes y justificación

Como Profesor Principal de la cátedra de Lógica del Departamento de

Filosofía y Arte de la Facultad de Educación y Ciencias de la Comunicación de

la Universidad Nacional de Trujillo (UNT) y, como Directivo del Centro de

Educación Experimental “Rafael Narváez Cadenillas” de la UNT, he revisado

detalladamente los módulos de aprendizaje del sub-área Razonamiento Lógico

del área Lógico Matemático desde el 1º hasta el 3º grado del Nivel Secundario.

Esta tarea habría resultado rutinaria si no me hubiera percatado que

para elegir los temas y elaborar dichos módulos, todos los docentes solo han

tomado en cuenta, taxativamente, los temas que contienen el libro LÓGICA

(Raz. Lógico) o los cuadernillos del curso de Lógica y Razonamiento Lógico,

elaborado por docentes varios del Centro Pre universitario de la Universidad

Nacional de Trujillo (CEPUNT), soslayando la enorme diferencia didáctica que

hay entre un curso del nivel secundario de otro de nivel preuniversitario.

De esto se colige que era obligatorio y urgente, en lo que a mi me

compete, sistematizar un modelo de contenidos curriculares que tome en

cuenta al menos tan siquiera una estructura base de nivel progresivo –de lo

simple a lo complejo- para desarrollar satisfactoriamente el curso de

Razonamiento Lógico. Sin embargo, mi compromiso ha tenido que ver,

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fundamentalmente y por principio, solo con elegir los contenidos curriculares de

1º, 2º y 3º grado del nivel de Educación Secundaria, ya que, objetivamente, los

alumnos y docentes del 4º y 5º grado de secundaria ya usan justificadamente

los cuadernillos preuniversitarios del CEPUNT.

En esta tesis, como diagnóstico, he desarrollado un marco teórico

específico de la Lógica de Proposiciones Conectadas a base de la siguiente

estructura fundamental:

Objeto de estudio

Proposiciones

Formalización

Verdad formal

Equivalencias

Inferencias

Validez sintáctica

Validez semántica

Como tendencia, he elaborado un modelo de contenidos curriculares

novedoso que debe permitir actualizar, innovar y sistematizar los módulos de

aprendizaje del curso de Razonamiento Lógico del 1º al 3º grado del nivel

secundario. Me estoy basando en los más de 20 años de experiencia docente

del curso de lógica en la Escuela de Educación Secundaria de la Facultad de

Educación UNT desde 1982, a raíz de mi trabajo académico como docente y

coordinador del curso de Razonamiento lógico en el CEPUNT - Ciclo I desde

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1992 y, ahora recientemente, con la participación en el Concurso Nacional del

Libro Universitario organizado por la ANR.

Considero que esto debe colmar las expectativas de los docentes que

lean esta tesis, ya que el objetivo o interés prioritario de todo docente, que

enseña el curso de Razonamiento Lógico, es que sus alumnos inicien el

estudio de dicho curso, con una información rigurosa de esta parte fundamental

la ciencia de la Lógica Formal.

Además del estudio profundo de los métodos que han sido utilizados

históricamente, ha predominado el criterio juicioso de experto profesional para

la determinación y estructuración coherente del contenido del subárea

Razonamiento Lógico del área Lógico Matemático, estableciendo vínculos

entre los conocimientos antecedentes, concomitantes y prospectivos,

definiendo jerárquicamente su sistema conceptual desde lo más simple a lo

más complejo.

También es mi deseo evitar que se disipe la concepción filosófica del

razonamiento lógico, que junto al concepto lógico y el juicio lógico son los tres

tipos del pensamiento cualidad exclusiva del ser humano y objeto de estudio de

la Lógica, que es una disciplina filosófica con pleno sentido, principalmente, con

el paradigma aristotélico y no solo con el paradigma euclidiano o pitagórico; es

decir, no se debe obviar que Aristóteles, el creador de la lógica formalizada es

ante todo filósofo.

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2. Formulación del problema de investigación

¿Cómo mejorar el actual cartel de contenidos curriculares para el curso de

Razonamiento Lógico destinado al 1º, 2º y 3º grado de educación Secundaria

en el Centro Educativo Experimental “Rafael Narváez Cadenillas” 2007?.

3. Formulación de objetivos

(1) Analizar los actuales carteles de contenidos curriculares para el curso de

Razonamiento Lógico destinado al 1º, 2º y 3º grado de educación

Secundaria en el Centro Educativo Experimental “Rafael Narváez

Cadenillas” 2007?.

(2) Plantear una propuesta de mejora de los modelos de contenidos

curriculares para el curso de Razonamiento Lógico destinado al 1º, 2º y

3º grado de educación Secundaria en el Centro Educativo Experimental

“Rafael Narváez Cadenillas” 2007?.

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II. MARCO TEÓRICO

LÓGICA DE PROPOSICIONES CONECTADAS

1. OBJETO DE ESTUDIO

La lógica es una ciencia filosófica, cuyo objeto de estudio es el pensamiento

humano que es el que dirige la teoría de todo conocimiento y el método de todo

conocimiento. Esta teoría y método estudia el proceso de desarrollo de la

verdad de los pensamientos acerca de la realidad objetiva que también

objetivamente se desarrolla sin cesar. Si hace énfasis en el camino que

conduce a encontrar dicha verdad, se le llama Metodología del conocimiento

científico; y si hace énfasis en la teoría que ilumina ese camino se le llama

Teoría del conocimiento científico.

Desde la lógica formal de Aristóteles, la estructura de los pensamientos dista

mucho de los mismos pensamientos; por eso se destaca, releva, distingue,

deslinda, etc. ya bien el contenido cognoscitivo (ontológico - lógico -

gnoseológico) o imagen racional de un cierto fragmento del mundo objetivo en

lenguaje terminológico (lo cognoscitivo) ya bien la forma estructural o lenguaje

de la ciencia en fórmulas (lo formalizado). Luego, en cada ciencia, la lógica es

una teoría y un método que sirve a los intereses de la ciencia proceso

(actividad científica) como lógica cognoscitiva, elaborando los conceptos,

juicios y razonamientos científicos; y sirve a los intereses de la ciencia

resultado (saber) como lógica matemática, organizando los pensamientos

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científicos de acuerdo con leyes y reglas de la lógica conectativa que estudia

las proposiciones conectadas con los conectadores y de la lógica

cuantificativa que estudia las proposiciones cuantificadas con los

cuantificadores.

En lógica, a diferencia de la lingüística, la estructura de las proposiciones

hipotéticas o compuestas son más fáciles de analizar que la estructura de las

proposiciones categóricas o simples; a ello se debe que siempre primero, todos

estudiamos las proposiciones hipotéticas con la llamada lógica conectativa y

sólo después, estudiamos las proposiciones categóricas con la llamada lógica

cuantificativa.

La lógica cognoscitiva es la ciencia que siempre

estudia el mismo pensamiento (=contenido lógico del lenguaje verbal); es

decir, e

l sentido lógico de las palabras del lenguaje verbal: los tipos de pensamiento: el

concepto, el juicio y el razonamiento.

Es su objeto de estudio relevante, ante todo, la veracidad objetiva de los

pensamientos o significado lógico del lenguaje verbal.

Ejemplos:

El término “felino” incluye a “perro“, es falsa

La proposición: “Los trujillanos son ecuatorianos”, es falsa

La argumentación: Si: “Todo el que estudia, trabaja”, y:“Toledo estudia”, luego:

“Toledo trabaja” es válida

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LaLa lógica matemática lógica matemática es la ciencia que sólo es la ciencia que sólo

estudia la estudia la forma del pensamiento (=estructura lógica del lenguaje formal)forma del pensamiento (=estructura lógica del lenguaje formal);;

es decir, el ses decir, el sentido lógico de las fórmulas del lenguaje formal: entido lógico de las fórmulas del lenguaje formal: los tipos de

pensamiento estable y su estructura

Es su objeto de estudio relevante, ante todo, la solidez (verdad y validez)

formal o significado lógico del lenguaje formal.

Ejemplos:

S ⊂ P≡ - S ∪ P

Si A es verdadera, su negación es falsa

Si A y B son ambas verdaderas, entonces se infiere que A es verdadera

2. PROPOSICIONES LÓGICAS

Del universo de todas las oraciones solo podremos decir que son

proposiciones, aquellas en las cuales podremos afirmar con certeza que son

verdaderas o falsas pero no ambas a la vez.

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Oraciones = Juicios

Orac. Interrogativas

Orac. Exclamativas

Orac. Dubitativas

Orac. Desiderativas

Oraciones V o F pero no ambas a la vez

1PROPOSICIONES



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Ejemplos:

1. Eduardo es Ingeniero Industrial.

2. x + 3 = 11, si x = 8

3. ¿Qué hora es?

4. Batman vive en ciudad gótica (Personaje ficticio)

5. Superman es un personaje de tiras cómicas

6. Vino de Puerto Rico (¿quién vino de Puerto Rico?)

Nota: Los ejemplos 3, 4 y 6 NO SON PROPOSICIONES ya que no podemos

afirmar con certeza si son verdaderas o falsas.

(a) ORACIONES QUE NO REPRESENTAN PROPOSICIONES

1) Oraciones Interrogativas

- ¿Qué hay hoy de almuerzo?

- ¿Cómo llego a tu casa?

2) Oraciones Exclamativas

- ¡Gol de universitario!

- ¡Por fin ingresé a la UNT!

3) Oraciones Dubitativas(DUDAS)

- ¿Viajo a Lima o a Cajamarca?

- ¿Perderé mi empleo?

4) Oraciones Desiderativas(DESEOS)

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- Ojalá ingrese este año

- Quisiera casarme de blanco

5) Oraciones que utilizan Personajes Ficticios

- Batman es el hombre murciélago

- Ulises cegó a Polifemo

6) Oraciones donde no se hace uso correcto de los niveles de lenguaje

Cuando deben llevar comillas (“”) para identificar que se quiere definir

- Queso es bisilábico

- La nieve es blanca consta de 4 palabras

7) Enunciados Abiertos

Cuando el valor de la incógnita o variable no satisface un único valor de

verdad

- x + 4 = 15

- 1x;4yx2 ==+

- 1x2 −<

- Consiguió un empleo (¿Quién?)

- Fue un gran científico

- x + 1 = x (OJO , SI ES PROPOSICION)

8) Verbos en infinitivo

Terminaciones en AR, ER, IR

Amar

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Correr

Sonreír

9) Doxas o Juicios Valorativos

- Para mí Alan García fue un buen presidente

- Los mejores jugadores de básket son los Lakers

10) Refranes y/o Proverbios

- Al pan, pan y al vino, vino

- Agua pasada no mueve el molino

11) Creencias Populares

- El hombre lobo se transforma en las noches de luna llena

- Báñate con ruda para que tengas suerte todo el día

12) Sin Sentidos

- Los cerros son raíces cuadradas

- Si sumamos madera mas fierro obtenemos carpetas unipersonales

13) Oraciones que encierran ambigüedades

- Miguel perdió los papeles y agredió a la multitud

- Andrea lleva los pantalones en su hogar

(b) JUICIO Y PROPOSICIÓN

Los juicios dan sentidos lógicos a los diversos tipos de oraciones (sentences) o

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enunciados (statements) tales como las declarativas, interrogativas,

desiderativas, imperativas, exclamativas, etc. Luego una oración o enunciado

es la indicación verbal de un pensamiento llamado juicio con las palabras de

cualquier idioma. Es el significado o verdadero o falso de las oraciones

declarativas, aquello a lo que llamamos proposiciones (propositions); es decir,

no toda oración es una proposición sino sólo las oraciones declarativas o

verdaderas o falsas. Empero “ya que en toda lengua como fenómeno social

humano domina factores psíquicos y sociales diversos, en el lenguaje natural

opera una lógica polivalente. Es obvio que ninguno se deja convencer

encerrado en tan solo 2 valores verdadero o falso, sino en el carácter posible,

necesario, casual, real y sus negaciones por lo menos”. (Zierer,1981).

Consiguientemente un juicio tiene mayor amplitud que una proposición.

Una proposición verbal simple o atómica –que carece de al menos un

conectadores una oración declarativa o verdadera o falsa; por ejemplo, la

proposición: “RECORD, es una academia estatal”, es falsa, ya que el Centro de

Educación Preuniversitaria RECORD es una academia privada; “la lógica es la

ciencia del pensamiento”, es verdadera, aquello de lo cual se habla es “la

lógica” y lo que se dice sobre ella es “ciencia del pensamiento”; por ejemplo, la

verdad de “El ser social determina la conciencia social”, o “El río Amazonas se

encuentra en América del Sur”, etc., se determinan en los marcos de la filosofía

y de la geografía, respectivamente.

Sea A, una proposición simple que contiene lo siguiente: definiciones, ideas,

teorías, hipótesis, leyes, convicciones, creencias, conocimientos, posiciones,

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enfoques, puntos de vista, etc., ya sea cotidiana o ya sea ideológica (filosófica,

científica, ética, axiológica, religiosa, jurídica, política, etc.), expuesta, en un

discurso o exposición de un mismo autor o en un mismo libro. Luego, entonces

en todo A , se dan los dos siguientes tipos de relación o conexión lógica:

(a) Próxima. Es la relación entre el concepto sujeto y el concepto predicado

en una proposición. En este caso se da a conocer qué conceptos deben

unirse o deben separarse y cómo esos conceptos deben relacionarse

entre sí. Esta relación lógica, se determina según las reglas de la

gramática de cualquier idioma. La relación lógica próxima se refiere al

análisis de la proposición simple, cuya verdad, naturalmente, resulta de

constatar la existencia de al menos un referente objetivo tanto del

concepto de al menos un sujeto así como del concepto de al menos un

predicado; asimismo, verificar si la oración corresponde al menos a un

estado de cosas del mundo objetivamente real.

(b) Remota. Es la relación que aparece entre varias proposiciones

relacionadas entre sí de alguna manera, tal como entre premisa y

conclusión, entre causa y efecto, entre el género y la especie, entre las

partes y el todo, etc. Esta relación lógica se determina según el sentido y

el significado de los conectadores o de los cuantificadores. La relación

lógica remota se refiere al análisis de las proposiciones moleculares,

cuya verdad, artificialmente, resulta del convenio de los lógicos

matemáticos del mundo, acerca de la significación y el sentido de los

conectadores o de los cuantificadores.

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En las ciencias fácticas, la verdad de las proposiciones atómicas que carecen

de conectadores, constituyen el contenido y el objetivo de toda investigación

científica y son contrastables (confirmables o refutables), principalmente, con

los mismos hechos con métodos empíricos o teóricos, ya que su referente es

algún objeto de la realidad circundante; si estas proposiciones describen

(¿cómo es?) y explican (¿por qué es?) adecuadamente los hechos, son

verdaderas, sino son falsas. Por ejemplo, la proposición “Jacinto es docente de

Lógica en la UNT” es verdadera si y solo si, realmente, Jacinto es docente de

lógica en la UNT.

La división fundamental de las proposiciones es como sigue

*Proposiciones simples, tienen a lo más un objeto del sujeto y del predicado

*Proposiciones complejas, tienen aunque sólo sea (al menos) dos objetos del

sujeto o del predicado. Estas proposiciones moleculares, con al menos un

conectador, son objetos de estudio de la lógica simbólica.

(b) TIPOS DE PROPOSICIONES SIMPLES

1) Por su significado son:

• Proposiciones verdaderas: “El triángulo es un polígono”

• Proposiciones falsas: “Trujillo es la capital del Perú”

2) Por su estructura son:

• Proposición existencial: “Hay profesores principales en el departamento

de filosofía”, “Existe suficiente capacidad instalada en el frigider”

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• Proposición atributiva. Asigna propiedades, cualidades, rasgos,

características, propiedades, etc. a uno o más objetos (descripción

cualitativa) Ej. “Roy es responsable”, “El oro es un metal precioso”

• Proposición relacional. Es un pensamiento simple cuando relaciona,

compara, distingue, describe objetos. Ej. “José y María se aman”, “2 >

4”, "Roy y Karina son hermanos gemelos”.

3) Por su calidad (o modalidad) son:

• Proposición de realidad. Son denominadas asertóricas, sintéticas,

fácticas: "Trujillo es una ciudad peruana"

• Proposición de necesidad. Son denominadas necesarias, apodícticas,

analíticas o simbólicas: "Todo cuadrado es un polígono"

• Proposición de posibilidad. Son denominadas también probables: "Es

posible que Roy y José Luis viajen a Lima"

4) Por su cantidad son:

• Proposición singular: "Marte es un planeta"

• Proposición individual: “Marte es el planeta que posee luz roja”

• Proposición singular exclusivo: “Sólo hay un planeta cuyo satélite es la

Luna”

• Proposición particular indeterminado: "Algunos (en el sentido de al

menos un) planetas tienen satélites"

• Proposición particular determinado: "Algunos (en el sentido de solo

algunos) planetas tienen anillos"

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• Proposición universal registrador: Pequeño o reducido número de

elementos de una clase o conjunto: “Todo planeta gira alrededor del

sistema planetario solar”

• Proposición universal no registrador: "Todos los astros tienen

movimiento de traslación"

Basta que una proposición verbal atómica, que carece de al menos un

conectador, tenga al menos uno, para que se convierta en proposición

molecular, que tiene su correspondiente fórmula proposicional, los que son

objetos de estudio de la lógica simbólica o matemática.

Ejemplo:

- Mariela estudia Derecho y es natural de Chimbote.

- Luis estudia Medicina o Veterinaria.

- Si Trujillo es la capital de la primavera entonces el clima es bueno.

NOTA: Las palabras resaltadas con negrita son las explicitaciones de los

conectores lógicos.

3. FORMALIZACIÓN

Fórmula proposicional, es una representación simbólica convencional,

organizada de una determinada forma, constituida por una serie de símbolos

llamadas variables proposicionales, conectadores y signos auxiliares; todos

ellos se relacionan entre sí para construir una estructura abreviada de cada

proposición verbal compuesta

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Variables proposicionales, son letras a ser sustituidas por una proposición

simple

Conectadores proposicionales, son los símbolos de cada término de enlace

que determinan el nombre de cualquier fórmula proposicional

Sea la proposición verbal:

(1) “Siempre que la luna gira alrededor de la tierra, entonces la tierra gira

alrededor del sol” Su forma o estructura proposicional es el conectador

proposicional: “Siempre que... entonces...” y su símbolo es el implicador: →

La primera proposición verbal es: “La luna gira alrededor de la tierra” y su

símbolo es una letra llamada variable proposicional en lenguaje objeto: p o

en metalenguaje: A

La segunda proposición verbal es: “La tierra gira alrededor del sol” y su símbolo

es la variable proposicional q ó B.

La fórmula proposicional de la proposición condicional (1) es:

p → q ó A → B

Mientras que una proposición verbal simple carece de conectadores y siempre

es o verdadera o falsa objetivamente; las proposiciones compuestas, se

caracterizan por ser o verdaderas o falsas no solo objetivamente sino también

formalmente, de allí que se requieren formalizarlos en fórmulas que nos

permiten analizar dicha forma – estructura

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Las proposiciones verbales compuestas contienen al menos un conectador

verbal explícito: no, y, o, si...entonces..., solo si...entonces..., ...si y sólo si..., o

bien...o bien..., que conectan proposiciones verbales.

Las proposiciones formales moleculares, contiene al menos un conectador

formal o simbólico implícito: ¬, ∧,∨,→, ←,↔,⊕, que conectan proposiciones

formales.

Las fórmulas proposicionales o bien son atómicas si son fórmulas de una

proposición verbal simple o bien son moleculares si son fórmulas de una

proposición verbal compuesta.

3.1EL NEGADOR

El negador es un conectador unario que realiza la operación lógica de la

negación y da como resultado a una fórmula proposicional NEGATIVA

Símbolos: ¬, ~, A', -A

La proposición verbal: "no es así que Eduardo sea abogado" se FORMALIZA o

simboliza como: "¬E", donde el símbolo del negador: "¬" se verbaliza en

nuestro ejemplo en idioma castellano como: "no es así que" y la variable

proposicional "E" se traduce como: "Eduardo es abogado".

En otras palabras, la fórmula proposicional: "¬E" se TRADUCE o verbaliza

como: "no es así que Eduardo sea abogado"

Si A es una fórmula, con el negador, inversor, opositor o dualizador, se realiza

la operación de la negación, inversión, oposición o dualización formal,

obteniendo como resultado una fórmula negativa, inversa, opositora o dual: ¬A

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NEGADORES

es absurdo que A; es falso que A; es inconcebible que A; no ocurre (no acaece,

no se da el caso de, no es verdad, no es cierto) que A; es negable que A; es

inadmisible que A; es objetable que A; carece de todo sentido de que A; de

ninguna forma, modo, manera A; es refutable que A; A es insostenible; en

modo alguno se da que A; es incompatible que A; en absoluto se da que A; en

ningún caso se da A; nunca se da que A, etc.

PROPOSICIONES NEGATIVAS:

1. "Manuel Pinto no llegó temprano ayer"

2. "No es el caso de que La UNT es una institución estatal"

3. "No, no pude llegar más temprano con un terno más estilístico"

4. "Nunca aprenderás lo suficiente jamás"

5. "Nunca no enseñarás"

6. "Este edificio no es asísmico"

7. "No todos los hombres no son mortales"

SOLUCIÓN

1. ¬M, donde M= "Manuel Pinto llegó temprano ayer"

2. ¬U, donde U= "La UNT es una institución estatal"

3. ¬T, donde T= "Pude llegar más temprano con un terno estilístico" (no hay 2

negadores lógicos a pesar de que hay 2 adverbios de negación)

4. ¬A donde A= "Tú aprenderás lo suficiente" (nunca jamás = ¬)

5. ¬ ¬E, donde E= "Tú enseñarás"

6. ¬¬S, donde S= "Este edificio es sísmico"

7. ¬¬H, donde H= "Todos los hombres son mortales"

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3.2 EL CONJUNTOR

El conjuntor es un conectador binario que realiza la operación lógica de la

conjunción y da como resultado a una fórmula proposicional

CONJUNTIVA.

Símbolos: ∧ , &, pq, p.q

La proposición verbal: "Eduardo y Karina son profesionales" se FORMALIZA o

simboliza como: "E ∧ K", donde el símbolo del conjuntor: "∧" se verbaliza en

nuestro ejemplo en idioma castellano como: "y" mientras que la variable

proposicional: "E" se traduce como: "Eduardo es profesional" y la variable

proposicional: "K" se traduce como: "Karina es profesional".

En otras palabras, la fórmula proposicional: "E ∧ K" se TRADUCE o verbaliza

como: "Eduardo es profesional y Karina es profesional"

Si A y B son fórmulas, con el conjuntor, compatibilizador o juntor, se realiza la

operación de la conjunción, compatibilización o junción, obteniendo como

resultado una fórmula compatible, conjuntiva o juntora: A ∧ B, A ∧ ¬B, ¬A ∧ B y

¬ A ∧ ¬B

CONJUNTORES

A sino B; no solo A también B; A del mismo modo (forma, manera) B; A pero

(aunque, empero, sin embargo) B; A incluso, tal como, al igual que, también B;

tanto A como (cuanto) B; cierto es que A lo mismo que B; siempre ambos A con

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B; A a pesar de que B; A así como (al mismo tiempo, ambos a la vez) B; es

compatible que A y B; etc.

Son conjunciones negativas: Karina y José no estudian ¬ K ∧ ¬J

Son negaciones conjuntivas: No es cierto que Karina y José estudian ¬ (K

∧ J)

PROPOSICIONES CONJUNTIVAS:

1. "Carola ama a Roy pero Roy a Vivian"

2. "A Isabel, ni le gusta la música ni le gusta la pintura"

3. "Nicolás tiene vocación de lógico aunque desprecia la literatura"

4. "No solo Juan estudia sino que María también lo hace"

5. "No solamente Jacinto no enseña sino que tampoco Carlos lo hace"

SOLUCIÓN

1. C ∧ R, donde C = "Carola ama a Roy" y R = "Roy ama a Vivian"

2.¬M ∧ ¬P, donde M = "A Isabel le gusta la música" y P = "A Isabel le gusta la

pintura"

3. N ∧ L, donde N = "Nicolás tiene vocación de lógico" y L = "Nicolás desprecia

la literatura"

4. J ∧ M, donde J = "Juan estudia" y M = "María estudia"

5. ¬J ∧ ¬C, donde J = "Jacinto enseña" y C = "Carlos enseña"

3.3EL DISYUNTOR

El disyuntor es un conectador binario que realiza la operación lógica de la

disyunción y da como resultado a una fórmula proposicional DISYUNTIVA

Símbolos: ∨, +

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OSGRADO

La proposición verbal: "Eduardo es profesor a no ser que sea ingeniero" se

FORMALIZA o simboliza como: "P ∨ I", donde el símbolo del disyuntor: "∨" se

verbaliza en nuestro ejemplo en idioma castellano como: "a no ser que"

mientras que la variable proposicional: "P" se traduce como: "Eduardo es

profesor" y la variable proposicional: "I" se traduce como: "Eduardo es

ingeniero".

En otras palabras, la fórmula proposicional disyuntiva: "E ∨ K" se TRADUCE o

verbaliza como: "Eduardo es profesor o Eduardo es ingeniero"

Si A y B son fórmulas, con el disyuntor, alternador o disyuntor incluyente, se

realiza la operación de la disyunción, alternación o disyunción incluyente,

obteniendo como resultado una fórmula alternativa o disyuntiva incluyente: A ∨

B, A ∨ ¬B, ¬A ∨ B y ¬ A ∨ ¬B

DISYUNTORES

a menos que A, B; A a menos que B; A ya bien B; A o también B; A salvo que

B; A excepto que B; A o incluso B; A a no ser que B; salvo que A, B; A y bien o

también B; A y/o B; al menos uno de los dos A ó B; A o sinó B; A o en todo

caso B; A alternativamente B; etc.

Los conectadores lógicos A MENOS QUE, SALVO QUE, A NO SER QUE,

son disyuntores o bien al inicio de la proposición o bien entre las 2

proposiciones componentes de la proposición disyuntiva

A MENOS QUE A , B

A A MENOS QUE B

Son disyunciones negativas:

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Karina o José no estudian ¬ K ∨ ¬J

Son negaciones disyuntivas:

No es cierto que Karina o José estudian ¬ (K ∨ J)

PROPOSICIONES DISYUNTIVAS:

1. "A menos que Luis venga iremos al cine"

2. "Ingresaremos a la U a no ser que recesen el año"

3. "Estudiaré excepto que clausuren el CEPUNT"

4. "Roy es ingeniero de sistemas salvo que sea industrial"

5. "Jacinto sí enseña Razonamiento Lógico o bien Lógica"

SOLUCIÓN

1. L ∨ C, donde L = "Luis viene" y C = "Nosotros iremos al cine"

2. I ∨ R, donde I = "Nosotros ingresaremos a la U" y R = "Recesan el año"

3. E ∨ C, donde E= "Yo estudio" y C= "El CEPUNT se clausura"

4. S ∨ I, donde R="Roy es ingeniero de sistemas" e I="Roy es ingeniero

industrial"

5. R∨ L, donde R="Jacinto enseña Razonamiento Lógica" y L="Jacinto enseña

Lógica"

3.4EL CONDICIONADOR SUFICIENTE

El condicionador es un conectador binario que realiza la operación lógica

del condicionamiento y da como resultado a una fórmula proposicional

CONDICIONAL.

Símbolos: →, ⊃

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La proposición verbal: "Si Karina es profesora de lenguas extranjeras,

entonces ella enseña el idioma alemán" se FORMALIZA o simboliza como: "P

→ A", donde el símbolo del condicionador: "→" se verbaliza en nuestro ejemplo

en idioma castellano como: "si..., entonces..." mientras que la variable

proposicional: "P" se traduce como: "Karina es profesora de lenguas

extranjeras" y la variable proposicional: "A" se traduce como: "Karina enseña el

idioma alemán".

En otras palabras, la fórmula proposicional: "P → A" se TRADUCE o verbaliza

como: "Si Karina es profesora de lenguas extranjeras, entonces ella enseña el

idioma alemán".

El condicionador indica una afirmación condicionada del consecuente; es decir,

si el antecedente no se cumple, se actúa como si no hubiese la tal condición.

Si A y B son fórmulas, con el condicionador, condicionador suficiente,

implicador o hipotetizador, se realiza la operación de la condicionamiento,

implicación o hipótesis, obteniendo como resultado una fórmula implicativa,

condicional o hipotética: A → B, A → ¬B, ¬A → B y ¬ A → ¬B

CONDICIONADORES

si A entonces B; siempre que A por consiguiente B; con tal de que A es obvio

que B; cuando A así pues B; toda vez que A en consecuencia B; cada vez que

A consiguientemente B; en el caso de que A en este caso B; con la condición

de que A esto trae consigo B; bajo la condición de que A luego se puede decir

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B; dado que A por eso B; como quiera que A por lo cual B; en la medida que A

de allí que B; en cuanto A por tanto B; al (de, una vez que) A luego B; en el

supuesto caso de que A en tal sentido B; suponiendo que A con ello B; puesto

que A naturalmente B; ya que A es evidente B; desde el momento en que A

inmediatamente B; en virtud de que A es evidente que B; de A deviene B; de A,

derivamos (deducimos, concluimos en, llegamos a, inferimos en, imponemos)

B; B es porque A; A sólo si cumple B; B es condición necesaria (única) para A;

B es insuficiente (no es suficiente) para A, B no implica a A; A implica a B; B

está implicado por A; es necesario B pero es suficiente A; el que B depende de

A; A es innecesario y B es insuficiente; etc.

La implicación: A → B, indica que A es el antecedente (condición suficiente) y

B es el consecuente (condición necesaria) La condición suficiente está

indicada por la explicitación verbal del conectador lógico SI, o bien al inicio de

la proposición o bien entre las 2 proposiciones componentes de la proposición

condicional

“Si yo estudio, entonces trabajo” E→T

“Yo estudio, si trabajo” E← T

PROPOSICIONES CONDICIONALES:

1. "Si vienes temprano, compraremos boletos de ida"

2. "Si no es el caso de que estudias, entonces no triunfarás"

3. "No es el caso de que si estudias, entonces triunfas"

4. "No es el caso de que estudies y triunfes porque eres inteligente"

5. "No es bueno que fumes puesto que el cigarro es dañoso"

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SOLUCIÓN

1. V →B, donde V = "Tú vienes temprano" y B = "Compraremos boletos de ida"

2. ¬E → ¬T, donde E = "Tú estudias" y T = "Tú triunfas"

3. ¬ (E → T), donde E = "Tú estudias" y T = "Tú triunfas"

4. I → ¬(E ∧ T), donde I="Eres inteligente", E = "Tú estudias" y T = "Tú

triunfas".

Esta proposición se formaliza también así: ¬ (E∧T) ← I

5. D → ¬F, donde D = "El cigarro es dañoso" y F = "Tú fumas"

También esta proposición se formaliza así: ¬F ← D

3.5 EL CONDICIONADOR NECESARIO

EL REPLICADOR es decir es un conectador binario que realiza la

operación lógica de la replicación y da como resultado a una fórmula

proposicional REPLICATIVA o recíproca.

Símbolo: ←

La proposición verbal: "Sólo si José estudia portugués, entonces Luis estudia

quechua", se FORMALIZA o simboliza como: "J ← L", donde el símbolo del

replicador: "← " se verbaliza en nuestro ejemplo en idioma castellano como:

"sólo si..., entonces..." mientras que la variable proposicional: "J" se traduce

como: "José estudia portugués" y la variable proposicional: "L" se traduce

como: "Luis estudia quechua".

En otras palabras, la fórmula proposicional: "J ← L" se TRADUCE o verbaliza

como: "Sólo si José estudia portugués, entonces Luis estudia quechua".

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Si A y B son fórmulas, con el replicador, reciprocador o condicionador

necesario se realiza la operación de la replicación o reciprocación, obteniendo

como resultado una fórmula replicativa o recíproca:A ← B, A ← ¬B, ¬A ← B y

¬ A ← ¬B

REPLICADORES

Sólo si A entonces B; únicamente si A, entonces B; A porque B; porque B,

entonces A; el que A depende de que B; A es una condición necesaria para B;

A es insuficiente para B; B es suficiente para A; B es condición suficiente para

A; se cumple B sólo si A; es necesario A para B; es suficiente B para A; sólo

si A siempre que B; si solamente A cada vez que B; A si B; solamente

(únicamente, necesariamente) si A entonces B; etc.

El replicador ←, indica que B es el antecedente y A es el consecuente. La

condición necesaria está indicada por la explicitación verbal del conectador

lógico SOLO SI, o bien al inicio de la proposición o bien entre las 2

proposiciones componentes de la proposición condicional

“ SOLO SI yo estudio, trabajo” E ← T

“Yo estudio, SOLO SI trabajo” E→ T

En ningún caso las explicitaciones verbales como ENTONCES son

condicionadores lógicos

PROPOSICIONES REPLICATIVAS

1. "Sólo si yo ingreso, entonces yo estudiaré",

2. "Renunciaré sólo si me ausento por largo tiempo"

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3. "Violeta fue a Cajamarca únicamente porque Arístides viajó a Chimbote",

4. "El hecho de que yo triunfe depende solamente de que yo estudie mucho",

5. "El que yo viaje a Lima es insuficiente para que yo viaje a Miami"

SOLUCIÓN

1. I ← E, donde I="yo ingreso" y E="yo estudio"; o también E → I

2. A ← R, donde R="Yo renunciaré" y A="Yo me ausento por largo tiempo

3. A ← V, donde V="Violeta va a Cajamarca" y A="Arístides viaja a Chimbote"

4. E ← T, donde T="Yo triunfo" y E="Yo estudio mucho"

5. L ← M, donde L="Yo viajo a Lima" y M="Yo viajo a Miami"

3.6 EL BICONDICIONADOR

El bicondicionador es un conectador binario que realiza la operación

lógica del bicondicionamiento y da como resultado a una fórmula

proposicional bicondicional.

Símbolo: ↔

La proposición verbal: "Si y sólo si José estudia matemáticas, entonces él

estudia razonamiento matemático", se FORMALIZA o simboliza como: "M ↔

R", donde el símbolo del biimplicador: "↔" se verbaliza en nuestro ejemplo en

idioma castellano como: "si y sólo si..., entonces..." mientras que la variable

proposicional: "M" se traduce como: "José estudia matemáticas" y la variable

proposicional: "R" se traduce como: "Luis estudia razonamiento matemático".

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En otras palabras, la fórmula proposicional: "M ↔R" se TRADUCE o verbaliza

como: "Si y sólo si José estudia matemáticas, entonces él estudia

razonamiento matemático".

Si A y B son fórmulas, con el bicondicionador, biimplicador, coimplicador o

equivalorador, se realiza la operación de la biimplicación, coimplicación o

bicondicionamiento, obteniendo como resultado una fórmula bicondicional,

biimplicativa, coimplicativa o equivalente: A ↔ B, A ↔ ¬B, ¬A ↔ B y ¬ A ↔ ¬B

BICONDICIONADORES

A si y sólo si B; A siempre y cuando B; A se define lógicamente como B; A por

lo cual y según lo cual B; A siempre que y sólo cuando B; si y sólo si A,

entonces B; A implica y está implicado por B; A es la definición lógica de B; A

equivale a o es la equivalencia lógica de B; etc.

El biimplicador ↔, indica que A es el antecedente y consecuente

(condición suficiente y necesaria) y B es el consecuente y antecedente

(condición necesaria y suficiente)

El conectador lógico SI Y SOLO SI es un biimplicador o bien al inicio de

la proposición o bien entre las 2 proposiciones componentes de la proposición

bicondicional

Si y solo si yo estudio, trabajo

PROPOSICIONES BICONDICIONALES:

1. "Estudias cuando y siempre cuando triunfas"

2. "Triunfas siempre y solamente porque estudias"

3. "Si y sólo si estudias, entonces triunfas"

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4. "Estudias porque y solo porque triunfas"

5. "Necesariamente estudias y necesariamente triunfas"

SOLUCIÓN Sean E = "Tú estudias" y T = "Tú triunfas"

1. E ↔ T; 2. T ↔ E; 3. E ↔ T; 4. E ↔ T; 5. E ↔ T

3.7 EL DISYUNTOR EXCLUYENTE

El bidisyuntor es un conectador binario que realiza la operación lógica de

la bidisyunción y da como resultado a una fórmula proposicional

BIDISYUNTIVA, disyuntiva fuerte, disyuntiva excluyente.

Símbolos: ⊕, >----<

La proposición verbal: "O bien Eduardo estudia matemáticas o bien él estudia

razonamiento matemático", se FORMALIZA o simboliza como: "M ⊕ R", donde

el símbolo del bidisyuntor: "⊕" se verbaliza en nuestro ejemplo en idioma

castellano como: "o bien... o bien..." mientras que la variable proposicional: "M"

se traduce como: "Eduardo estudia matematicas" y la variable proposicional:

"R" se traduce como: "Eduardo estudia razonamiento matemático".

En otras palabras, la fórmula proposicional: "M ⊕ R" se TRADUCE o verbaliza

como:"O bien Eduardo estudia matemáticas o bien él estudia razonamiento

matemático".

Si A y B son fórmulas, con el bidisyuntor, bialternador, disyuntor fuerte,

contravalorador o exclusor, se realiza la operación de la bialternación,

bidisyunción, disyunción fuerte, contravaloración o exclusión, obteniendo como

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resultado una fórmula bidisyuntiva, bialterna, disyuntiva fuerte, contravalente o

excluyente: A ⊕ B

BIDISYUNTORES

A o solamente B, A o necesariamente B, A u obligatoriamente B, o bien A o

bien B, salvo que necesariamente A, B; a no ser que solamente A, B; excepto

que A necesariamente B. El bidisyuntor es la negación del bicondicionador; es

decir: no A si y solo si B, es una estructura bidisyuntiva.

PROPOSICIONES BIDISYUNTIVAS

1. "Tú estudias o bien sólamente trabajas"

2. "Salvo que necesariamente yo estudie, ya no trabajo"

3. "No estudio excepto que solo trabajo"

4. "O bien no estudias o bien no triunfas"

5. "O bien no es cierto que trabajas o bien es cierto que estudias"

SOLUCIÓN

Sean: E = "Tú estudias" y T = "Tú trabajas"

1. E ⊕ T,

2. E ⊕ ¬T

3. ¬E ⊕ T

4. ¬E ⊕ ¬T

5. ¬T ⊕ E

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4. VERDAD FORMAL

Las tablas de verdad, (de veracidad, veritativas o veritacionales) tienen la

siguiente figura:

Variables Proposicionales Fórmula Proposicional

Arreglos (casos) de valores de

verdad

Función de veracidad

Arreglos (casos) de valores de verdad, son todas las posibles combinaciones

entre valores de verdad

Valor de verdad, es el conjunto V = 1.0, donde 1 = valor de verdad

verdadero, y 0 = valor de verdad falso Cualquier variable proposicional es

verdadera con tal que su significado sea igual a "1" y es falsa si su significado

es igual a "0".

Función de verdad, es el resultado de una operación binaria al relacionar

todos los arreglos de variables con un conectador. Por ejemplo, la función de

verdad de ¬A → B, será = 1110

Si esta función de verdad es el resultado final de toda la fórmula (con el

conectador de más alta jerarquía) se llama matriz.

EJEMPLO

A B (B ∧ A) ↔ ( A ∧ B )

1 1 1 1 1

1 0 0 1 0

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0 1 0 1 0

0 0 0 1 0

Las letras A y B más a la izquierda son las variables, las dos primeras

columnas son los cuatro arreglos, la tercera columna es la función de verdad

de (B ∧ A), la última columna es la función de verdad de ( A ∧ B ) y la cuarta

columna en negrita, es la función de verdad principal o matriz de la fórmula (B

∧ A) ↔ ( A ∧ B )

4.1PROPOSICIÓN NEGATIVA

La fórmula proposicional:"¬A" significa lógico formalmente 0, si A significa 1 y

viceversa; es decir: si A significa 0, ¬A significa 1.

Y en una tabla de verdad:

A ¬A

1 0

0 1

Convenimos que A y B, simbolizan lógicamente a cualquier proposición.

Al añadir el negador “no” a una proposición simple obtenemos una nueva

proposición que se lee "no A". Su valor de verdad será exactamente el

contrario del valor de verdad de A. Lo expresaríamos en palabras diciendo que

si "p" es verdadera, entonces "no A" es falsa, y viceversa.

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La negación es una operación lógica que forma una proposición compuesta

invirtiendo una sola proposición con ayuda del negador.

Una proposición negativa es FALSA, siempre y cuando la proposición

negada es VERDADERA y viceversa.

4.2PROPOSICIÓN CONJUNTIVA

La fórmula proposicional conjuntiva o compatible: "A ∧ B" significa 1 siempre

que y solamente si (sii) A significa 1 y B significa 1 siendo 0 en el resto de los

casos (arreglos)

Los 4 casos son:

A=1 y B=1, A=1 y B=0,

A=0 y B=1, A=0 y B=0.


A B A ∧ B

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Relacionando dos proposiciones con el conectador “y” obtenemos una nueva

proposición molecular conjuntiva que se lee A y B. Su valor de verdad estará

en función de que ambas proposiciones sean verdaderas. Luego por ejemplo,

sería una proposición falsa: "La Tierra gira alrededor del Sol y el Sol no tiene

luz propia", por más que la primera proposición sea verdadera.

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La conjunción es una operación lógica que forma una proposición compuesta

uniendo dos proposiciones con ayuda del conjuntor. Una proposición

conjuntiva es VERDADERA, siempre y cuando las DOS proposiciones son

VERDADERAS.

Las proposiciones conjuntivas son auténticas, si todas sus proposiciones

conjuncionadas son verdaderas.

4.3PROPOSICIÓN DISYUNTIVA

La fórmula proposicional disyuntiva o alternativa: "A∨ B" significa 0 sii A

significa 0 y B significa 0 siendo 1 en el resto de los casos.


A B A ∨ B

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Debe tenerse gran cuidado con el término "o" del lenguaje natural, porque a

más del presente tiene otros sentidos. Aquí usamos "o" en el sentido de

"necesariamente uno u otro o ambos a la vez". Verbigracia, cuando decimos

"para ser secretario hay que saber inglés o hay que saber francés".

La disyunción débil es una operación lógica que forma una proposición

compuesta uniendo dos proposiciones con ayuda del disyuntor incluyente.

Una proposición disyuntiva inclusiva es FALSA, siempre y cuando las DOS

proposiciones son FALSAS

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Las proposiciones disyuntivas inclusivas son verdaderas, si al menos una de

ellas es verdadera; pueden ser todas verdaderas pero no todas falsas.

4.4PROPOSICIÓN CONDICIONAL SUFICIENTE

La fórmula proposicional implicativa: "A → B" significa 0 sii A significa 1 y B

significa 0 siendo 1 en el resto de los casos.


A B A → B

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

El condicionador suficiente indica una afirmación condicionada del

consecuente; es decir, si el antecedente no se cumple, se actúa como si no

hubiese la tal condición. La condición es suficiente pero no necesaria, pues el

efecto puede conseguirse por otras causas; por ejemplo “Si una persona

falsifica billetes de Banco, será condenado a prisión”, en este caso otras

condiciones pueden ser el homicido, el robo, etc. A la proposición condicional

suficiente que resulta de la operación lógica del condicionamiento A → B, se le

llama implicación extensiva, base lógica de las hipótesis de pronóstico. A

indica la condición suficiente y B indica la condición necesaria.

EJEMPLOS

(a) “Siempre que Jacinto tome jugo, entonces podrá aplacar la sed”

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(b) "Siempre que se aplica al paciente con la enfermedad A, el tratamiento T,

entonces él se sanará".

(c) ”Siempre que se varíe el color del salón, entonces aumenta el nivel de

actividad lúdica de los niños”

(d) “Siempre que los estudiantes universitarios carecen de medios económicos,

entonces abandonan sus estudios”

La inversión de estas proposiciones no es admisible. Por ejemplo (a) queda

invertida así: “Siempre que Jacinto no tome jugo, entonces no podrá aplacar la

sed”; obviamente Jacinto aplaca la sed si igualmente toma cerveza Brahma,

agua Cielo, gaseosa Oro, chicha de jora, etc.

El condicionador suficiente indica una afirmación condicionada del

consecuente; es decir, si el antecedente no se cumple, se actúa como si no

hubiese la tal condición. La condición es suficiente pero no necesaria, pues el

efecto puede conseguirse por otras causas; por ejemplo “Si una persona

falsifica billetes de Banco, será condenado a prisión” , en este caso otras

condiciones pueden ser el homicido, el robo, etc.

A la proposición condicional suficiente que resulta de la operación lógica del

condicionamiento A → B, se le llama implicación extensiva, base lógica de las

hipótesis de pronóstico A indica la condición suficiente y B indica la condición

necesaria.

Los siguientes razonamientos son válidos.

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La condición suficiente es un presupuesto que en todos los casos da lugar a B

(pero no solo entonces) nada se dice de que B solo puede ser provocada

precisamente por A o también por otras condiciones.

Esto significa que B debe ocurrir siempre que ocurra A. Nada se dice sobre si B

puede ocurrir también cuando no ocurre A; es decir, B puede ocurrir también

cuando no ocurre A o cuando ocurre A.

De A se llega solo a B (pero nunca a no B); que ocurra A es suficiente (una

alternativa de dos o más igualmente aceptables) para B.

Sin embargo, también de no A se llega a B. Luego A no es necesario para

llegar a B; B también puede obtenerse a partir de no A.

Siempre que A, entonces B. Nada se dice de que B solo si A. Por lo tanto B

también ocurre con no A. Ahora bien, nada me obliga a B, ya que mi

compromiso A → B se refiere únicamente a B; sin A puede ocurrir B o no B.

El antecedente es una alternativa de otras condiciones. Pensemos A → B

como un compromiso condicionado suficientemente por A. Si no ocurre A,

quedo libre de todo compromiso; es decir, puedo B o no B. El compromiso A

→ B no se cumplirá únicamente en el caso de que ocurra A y no ocurra B. A es

una condición suficiente para B, pero no es necesaria para que B, puede

también ocurrir B sin A por otras condiciones.

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Todas las condiciones necesarias están incluidas en la condición suficiente, A

es una circunstancia con cuya presencia el acontecimiento B debe ocurrir

insoslayablemente.

4.5PROPOSICIÓN CONDICIONAL NECESARIO

La fórmula proposicional replicativa: "A ← B" significa 0 sii B significa 1 y A

significa 0 siendo 1 en el resto de los casos.

Una proposición condicional necesaria es FALSA, siempre y cuando el

antecedente es FALSO y el consecuente es VERDADERO


A B A ← B

1 1 1

1 0 1

0 1 0

0 0 1

“Las condiciones necesarias pero no suficientes, son requisitos indispensables,

pero que deben ir unidos a otras causas: la consecuencia no es segura, pero

se hace posible (“si llevas el pasaporte, podrás cruzar la frontera”)” (Sanguineti

p. 121)

A la proposición condicional necesaria que resulta de la operación lógica de la

replicación o reciprocación A ← B, se le llama también implicación intensiva,

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base lógica de las hipótesis de explicación. A indica la condición necesaria y B

indica la condición suficiente.

EJEMPLOS:

(a) “Sólo si Jacinto es docente universitario, entonces será llamado catedrático”

(b) "Sólo si el paciente tiene el microbio "leichamania donovani", entonces

presenta el cuadro sintomático observado de la uta".

(c) “Sólo si hay presencia de un cromosoma extra en el par 21, entonces se

produce el síndrome de Down”

(d) “Sólo si una persona ha cumplido 18 años, será condenado por delito”

La inversión de estas proposiciones sí es admisible. Por ejemplo (a) queda

invertida así: “Sólo si Jacinto no es docente universitario, entonces no será

llamado catedrático”

A la proposición condicional necesaria que resulta de la operación lógica de la

replicación o reciprocación A ← B, se le llama también implicación intensiva,

base lógica de las hipótesis de explicación. A indica la condición necesaria y B

indica la condición suficiente.

Los siguientes razonamientos son válidos.

La condición necesaria es un presupuesto sin el cual en ningún caso puede

darse B (pero no es así siempre) nada se dice de que B siempre puede ser

provocada precisamente por A, de A también puede llegarse a no B.

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Esto significa que B debe ocurrir solo si es que ocurre A; es decir puede ocurrir

A y no siempre ocurre B.

Solo de A se llega siempre a B (pero nunca de no A); que ocurra A es

necesario (una sola alternativa) para B.

Sin embargo, también a no B se llega de A. Luego A, no es suficiente para

llegar a B; no B también puede obtenerse a partir de A.

Solo si A, entonces B. Nada se dice de que B siempre que A. Por lo tanto no

B también ocurre con A. Ahora bien, puede ocurrir perfectamente A, y, sin

embargo, no ocurre B, ya que mi compromiso A ← B no me obliga a que B. Se

refiere únicamente a que en ningún caso solo ocurrirá B cuando ocurra A, con

A puede ocurrir B o no B.

El antecedente es una sola alternativa. Pensemos A ← B como un

compromiso condicionado necesariamente por A. Si ocurre A, quedo libre de

todo compromiso; es decir, puedo B o no B.

El compromiso A ← B no se cumplirá únicamente en el caso de que ocurra B y

no ocurra A. A es una condición necesaria para B, pero no es suficiente para

que B,; es decir no tiene porqué ocurrir necesariamente B cuando A. Puede

haber varias condiciones necesarias para producir B, la cual es una

circunstancia en cuya ausencia es absurdo que deba ocurrir un acontecimiento.

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4.6PROPOSICIÓN BICONDICIONAL

La fórmula proposicional biimplicativa "A ↔ B" significa 1 sii A y B tienen

significados iguales.

Una proposición bicondicional es VERDADERA, siempre y cuando las dos

proposiciones son ambas FALSAS o ambas VERDADERAS


A B A ↔ B

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Se trata, pues, no de una mera condición suficiente tal como la condicional, ni

de una mera condición necesaria tal como la réplica sino de una condición

suficiente y necesaria.

EJEMPLOS

(a) “Si y solo si se aprueba el examen de Admisión UNT, se ingresa a los

estudios universitarios UNT”

(b) “Si y solo si se ejerce la autoridad conforme a la ley, entonces el que

depende de ella está obligado a acatarla”

La inversión de estas proposiciones sí es admisible. Por ejemplo (b) queda

invertida así: “Si y solo si no se ejerce la autoridad conforme a la ley, entonces

el que depende de ella no está obligado a acatarla”

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El sentido filosófico del razonamiento lógico consiste en que estamos en la

obligación forzosa, como científicos, de usar proposiciones verdaderas. Por

ejemplo: “6=4+2 o 3+4=8” es verdadera aunque la proposición categórica

“3+4=8” sea falsa.

No es que estemos prohibidos usar por ejemplo ni la proposición disyuntiva

inclusiva falsa “9=4+2 o 3+4=8” ni la proposición conjuntiva falsa: “Los

animales y los seres humanos tienen pensamiento”; lo que quiero decir es que

no conviene a ninguna persona y menos a científico alguno, razonar a partir de

premisas (proposiciones) falsas.

4.7PROPOSICIÓN DISYUNTIVA EXCLUYENTE

La fórmula proposicional bialternativa o bidisyuntiva: " A ⊕ B " significa 1 sii A y

B tienen significados distintos.


A B A ⊕ B

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

En castellano "o' se usa también con sentido exclusivo, cuando puede

sustituirse por una expresión como "lo uno o lo otro, pero no las dos cosas a la

vez". Por ejemplo, "José Luis es huaracino o trujillano". En otras ocasiones, se

usa también este término para expresar una alternativa necesaria en el sentido

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de "necesariamente lo uno o lo otro, pero no los dos a la vez". Por ejemplo,

cuando decimos "Roy Eduardo es rubio o no lo es".

La disyunción fuerte es una operación lógica que forma una proposición

compuesta uniendo dos proposiciones con ayuda del disyuntor excluyente.

Una proposición disyuntiva exclusiva es VERDADERA, siempre y cuando

una proposición es FALSA y la otra VERDADERA y viceversa. Las

proposiciones disyuntivas exclusivas son auténticas, si a lo más una de ellas es

verdadera; no pueden ser todas verdaderas ni todas falsas.

La fórmula proposicional incompatible: "A / B" significa 0 siempre que y

solamente si (sii) A significa 1 y B significa 1 siendo 1 en el resto de los casos.

Esta fórmula es la negación de la tabla de veracidad del conjuntor.

La fórmula proposicional inalternativa: "A ↓ B" significa 1 sii A significa 0 y B

significa 0 siendo 0 en el resto de los casos. Esta fórmula es la negación de la

tabla de veracidad del disyuntor.

La verdad formal es una propiedad de las proposiciones moleculares. En

resúmen, la semántica lógica de los conectadores y su sentido convencional

es como sigue:

A es verdadera sii A=1

A ∧ B es verdadera sii tanto A=1 como B=1

A ∨ B es verdadera sii cuando menos A=1 ó B=1

A → B es verdadera sii no es el caso de que A=1 y B=0

A ← B es verdadera sii no es el caso de que B=1 y A=0

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A ↔ B es verdadera sii A y B tienen valores iguales

A ⊕ B es verdadera sii A y B tienen valores desiguales

A ↓ B es verdadera sii tanto A=0 como B=0

A / B es verdadera sii cuando menos A=0 ó B=0

La falsedad formal es una propiedad de las fórmulas proposicionales o

proposiciones formales cuyo sentido convencional es el siguiente:

A es falsa sii A=0

A ∧ B es falsa sii al menos A=0 ó B=0

A ∨ B es falsa sii A=0 y B=0

A → B es falsa sii A=1 y B=0

A ← B es falsa sii A=0 y B=1

A ↔ B es falsa sii A y B tienen valores desiguales

A ⊕ B es falsa sii tanto A como B tienen valores iguales

A ↓ B es falsa sii al menos A=1 ó B=1

A / B es falsa sii tanto A=1 como B=1

Una fórmula proposicional atómica no es que sea verdadera formalmente sino

que tiene asignada un valor de veracidad: verdadero, o tiene asignada un valor

de veracidad: falso. Una fórmula proposicional molecular es verdadera

formalmente, cuando y siempre cuando la función de verdad de su estructura,

determinada por el conectador de más alta jerarquía, es una tautología; siendo

falsa formalmente de otro modo, es decir, es contradictoria.

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En la lógica de conectadores proposicionales una proposición formal debe

indicar de modo explícito la función de verdad de las variables que entran en

ellas. Por ejemplo la proposición formal "A→ B" es falsa, siendo A = 1 (función

de verdad verdadero) y B = 0 (función de verdad falso). En la semántica de la

lógica conectativa bivalente, tanto la verdad como la falsedad formal de los

distintos conectadores se definen como una función de verdad.

Para establecer la verdad o falsedad de las fórmulas proposicionales

moleculares, que están determinadas por los conectadores lógicos, éstos se

definen de modo convencional (todos los lógico - matemáticos del mundo se

han puesto de acuerdo) como función de verdad de cada variable atómica o

molecular; por ejemplo la fórmula disyuntiva, tiene la función de verdad

siguiente: 1110

(a) Cuando la función de verdad se compone tan solo de 1s., solo de verdades,

es una tautología (proposiciones universalmente verdaderas o idéntico

verídicas)

(b) Cuando la función de verdad se compone tan solo de 0s., solo de

falsedades, es una contradicción (proposiciones universalmente falsas o

idéntico falsas)

(c) Cuando la función de verdad se compone de al menos una verdad es una

consistencia (proposiciones no contradictorias) o de al menos una falsedad

es una contingencia

Todas las funciones de verdad con 2 variables son: *

1111 tautología

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1110 disyunción

1101 replicación

1100 1ra. variable A

1011 implicación

1010 2da. variable B

1001 biimplicación

1000 conjunción

0111 función NAND:¬(A∧B)≡A / B

0110 bidisyunción

0101 negación de variable B

0100 negación de implicación

0011 negación de variable A

0010 negación de replicación

0001 función NOR:¬(A ∨ B) ≡ A↓B

0000 contradicción

* Esta tabla aparece en Schönig, p. 27.

EJEMPLO:

Arreglos A B ( B ∧ A ) → ( A → B )1° 1 1 1 1 12° 1 0 0 1 03° 0 1 0 1 14° 0 0 0 1 1

Verticalmente, la función de verdad de B ∧ A es 1000, la función de verdad de

(A → B) es 1011, y la función de verdad principal o matriz de la fórmula

proposicional: (B ∧ A) → (A → B) es 1111.

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5. EQUIVALENCIAS

Las equivalencias lógicas, son las fórmulas bicondicionales tautológicas; es

decir, sólamente algunas bicondicionales son equivalencias. También se les

llama leyes de definición, leyes de producción, leyes de reducción.

5.1 UN SISTEMA BÁSICO K

Siempre que in latu sensu: Fi ≡ Gn, entonces in strictu sensu Fk ≡ G5

donde F = una fórmula proposicional cualquiera y G = otra fórmula

proposicional cualquiera.

La lectura de "Fi ≡ Gn " es: una fórmula i = n variables y m conectadores

equivale a n = número exacto de otras fórmulas.

y la lectura de "Fk ≡ G5 " es:

Una fórmula F del sistema K = {{A,B},{¬, ∧,∨,→ }} equivale a 5 otras fórmulas.

(a) TODAS LAS FÓRMULAS de K

El subsistema K1, con ¬ y conjuntor ∧, tiene 8 fórmulas diferentes:

A ∧ B, ¬(A ∧ B),

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¬A ∧ B, ¬(¬A ∧ B),

A ∧ ¬B, ¬(A ∧ ¬B),

¬A ∧ ¬B, ¬(¬A∧¬B).

El subsistema K2, con ¬ y disyuntor ∨, tiene 8 fórmulas diferentes:

A ∧ B, ¬(A ∨ B),

¬A ∧ B, ¬(¬A ∨ B),

A ∧ ¬B, ¬(A ∨ ¬B),

¬A ∧ ¬B, ¬(¬A ∨ ¬B).

El subsistema K3, con ¬ y condicionador →, tiene 8 fórmulas diferentes:

A → B, ¬(A → B),

¬A → B, ¬(¬A → B),

A → ¬B, ¬(A → ¬B),

¬A → ¬B, ¬(¬A → ¬B).

Como estas 24 fórmulas tienen tan solo 8 tablas de verdad distintas, entonces

podemos formar 8 grupos de 3 fórmulas equivalentes.

LEYES - la lectura de =df. es: "...se define lógico formalmente como..."

(Ng.¬) NEGACIÓN DE NEGADOR: ¬(¬A) =df. A

Una proposición simple, por ejemplo, "Carlos ama a Karina" por Ng.¬ equivale

a: "No es cierto que sea absurdo que Carlos ame a Karina".

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(Ng.∧) NEGACIÓN DE CONJUNTOR:

¬(A ∧ B) =df. ¬A ∨ ¬B

La negación de una proposición conjuntiva, por ejemplo, "No es cierto que

Eduardo ama a Mariela y asimismo a Gina", por Ng.∧ equivale a: "Eduardo no

ama a Mariela o bien no ama a Gina"

(Ng.∨) NEGACIÓN DE DISYUNTOR:

¬(A ∨ B) =df. ¬A ∧ ¬B

La negación de una proposición disyuntiva, por ejemplo, "No es cierto que

Eduardo ama a Ana o a Karla", por Ng.∨ equivale a: "Ni Eduardo ama a Ana ni

Eduardo ama a Karla"

(Df.→) DEFINICIÓN DE IMPLICADOR:

A → B =df. ¬A ∨ B

Una proposición implicativa, por ejemplo, "Siempre que haya Sol hoy,

entonces nosotros iremos a la playa" por Df.→ equivale a: "Hoy no habrá Sol o

nosotros iremos a la playa"

(Ng.→) NEGACIÓN DE IMPLICADOR:

¬(A → B) =df. A ∧¬ B

La negación de una proposición implicativa, por ejemplo "No es cierto que si

Juana estudia triunfará en la vida" por Ng.→ equivale a: "Juana estudia y no

triunfa en la vida"

(Cp.) CONTRAPOSICIÓN:

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A → B =df. ¬B → ¬A

Una proposición implicativa, por ejemplo, "Siempre que haya Sol hoy,

entonces nosotros vamos a la playa" por Cp. equivale a: "Siempre que hoy no

vayamos a la playa, entonces hoy no habrá sol"

(Conm.) CONMUTACIÓN:

A ∧ B =df. B ∧ A también A ∧ B =df. B ∧ A

Usando estas leyes, podemos producir lógico formalmente cinco (5)

fórmulas proposicionales equivalentes lógicamente a cualquiera de las 24

fórmulas de este sistema.

Como en K hay 3 conectadores binarios y el negador, entonces a cada una de

las 24 fómulas del sistema K le encontramos las otras 2 fórmulas con los otros

conectadores binarios, así:

A → B ≡ ¬A ∨ B ≡ ¬(A ∧ ¬B)

A continuación basta aplicar conmutación a las fórmulas con conjuntor y

disyuntor; y aplicar contraposición a las que tienen implicador, ya sea de modo

directo o al interior de los paréntesis.

Las 5 fórmulas equivalentes a: ¬A∧¬B son:

(1) ¬(A ∨ B) Ng. ∨

(2) ¬(¬A → B) Df. al interior del paréntesis de 1 ó Ng. →

(3) ¬B ∧ ¬A Conm.

(4) ¬(B ∨ A) Ng. ∨ ó conm. al int. de 1

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(5) ¬(¬B → A) Ng. → de 3;Df. → al int. de 4 ó Cp. al int. de 2

Donde a la derecha de cada una de las fórmulas equivalentes, se encuentra la

abreviatura de la ley que se ha aplicado y el número de la fórmula a la que se

ha aplicado dicha ley. Si no aparece un número, se entiende que se ha

aplicado la ley a la fórmula original base objeto de análisis lógico formal.

5.2 LAS 4 PROPOSICIONES CATEGÓRICAS

Las 4 proposiciones categóricas de Aristóteles son las siguientes:

Universal afirmativa A: Todo S es P

Universal negativa E: Ningún S es P

Particular afirmativa I: Algún S es P

Particular negativa O: Algún S no es P

Las fórmulas de las proposiciones categóricas, con los símbolos del Cuadrado

de Oposición, de la lógica cuantificativa, de las formas típicas, de la lógica

conectativa, y de la lógica clasial, respectivamente, son:

A ∀x(Sx → Px), SaP, S → P, S⊂ P

E ∀x(Sx ¬Px), SeP, S→¬P, S⊄ P

I ∃x(Sx ∧ Px) SiP, S ∧ P, S ∩ P

O ∃x(Sx ∧ ¬Px) SoP, S ∧ ¬P, S ∩ - P

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Donde S, es el símbolo del término sujeto y P, es el símbolo del término

predicado.

Si usamos sólo lógica conectativa, es decir sin cuantificadores, el secreto de

la lectura es como sigue:

• Fórmulas con los conectores: →, ∨, se lee como una cuantificada

universalmente; algunas explicitaciones verbales son: `todo, cada uno,

cualquier, los, etc.

• Fórmulas con el conector: ∧, se lee como una cuantificada

existencialmente; algunas explicitaciones verbales son: `algunos',

`existe (hay) al menos un x', `pocos', `muchos', `la mayoría`, `la

minoría', `varios', `ciertos', `bastantes', “determinados”, "casi todos", etc.

En lo siguiente hacemos abstracción del valor de veracidad (concepto

semántico) de cada proposición categórica, destacando tan sólo su estructura

formal (concepto sintáctico)

Siendo P = "político" y H = "honesto", ejemplos verbales de las 4 proposiciones

categóricas y sus fórmulas son:

"Todo político es honesto" = P → H

"Ningún político es honesto (el político no es honesto"=P→¬H

"Algún (hay o existe) político es honesto" = P ∧ H

"Algún político no es honesto" = P ∧ ¬H

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Las equivalencias de las 4 proposiciones categóricas son como sigue

La proposición categórica universal afirmativa: "Todo abogado es bueno" se

formaliza como: A → B, donde A = "abogado" y B = "bueno" y sus equivalentes

lógicos son:

(1) ¬ A ∨ B Df. → "Todo profesional no es abogado o es bueno"

(2) B ∨ ¬ A Conm. de (1) "Todo profesional es bueno o no es abogado"

(3) ¬ B → ¬ A Cp. "Ningún profesional que no es bueno es abogado"

(4) ¬ (A ∧ ¬ B) Ng. ∧ de (1) "No es verdad que algún abogado no sea

bueno"

(5) ¬ ( ¬ B ∧ A) Ng. ∧ de (2) "Es falso que algún profesional que no es bueno

sea abogado"

Donde la palabra profesional es el universo del discurso y se considera para

una buena redacción verbal pero no se formaliza. Un universo del discurso es

una clase cuyas subclases entran en una determinada consideración. En

nuestro caso las clases "abogado" y "bueno" están incluídas en la clase

"profesionales".

La proposición categórica universal negativa:

"Ningún político es honesto" o "Todo político es deshonesto" se formaliza

como: P → ¬Q, donde P = "político" y H = "honesto" y sus equivalentes lógicos

son:

(1) ¬P ∨ ¬H Df. → "toda persona no es política o no es honesta"

(2) ¬H ∨ ¬P Conm. (1) "toda persona no es honesta o no es política"

(3) ¬(P ∧ H) Ng. ∧ (1) "No es cierto que haya políticos honestos"

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(4) ¬(H ∧ P) Ng. ∧ (2) "Es absurdo que algunas personas sean honestas y a

la vez sean políticas"

(5) H → ¬P Cp. "ninguna persona honesta es política" o también "toda

persona honesta no es política"

OTRO EJEMPLO: “Ningún perro es gato” = P → ¬G, equivale a:

“Todo animal no es perro o bien no es gato”= ¬ P∨¬G df.→

“Es falso que haya al menos un animal que sea a la vez perro y sea gato” =

¬(P ∧ G) Ng.∧

Luego se aplica Cp. A la fórmula base, y conm, directa a 1 y al interior de los

paréntesis a 2

La proposición categórica particular afirmativa:

"Algún P es Q" se formaliza como: P ∧ Q y sus equivalentes lógicos son:

(1) Q ∧ P Conm. "Algún Q es P"

(2) ¬(¬P ∨ ¬Q) Ng. ∨

"Es falso que todo x no es P o no es Q"

(3) ¬(¬Q ∨ ¬P) Ng. ∨ (1)

"Es falso que todo x no es Q o no es P"

(4) ¬(P →¬Q) Df. al int. (2)

"Es falso que ningún P es Q"

(5) ¬(Q → ¬P) Cp. al int. (4)

"Es falso que ningún Q es P"

Donde las x son los elementos del universo del discurso.

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La proposición categórica particular negativa:

"Algún P no es Q" se formaliza como: P ∧ ¬Q y sus equivalentes lógicos son:

(1) ¬Q ∧ P Conm. "Algún x que no es Q es P"

(2) ¬(¬P ∨ Q) Ng. ∨ "Es falso que todo x no es P o es Q"

(3) ¬(Q ∨ ¬P) Conm. al int. (2) "Es falso que todo x es Q o no es P"

(4) ¬(P → Q) Df. → (2) "Es falso que todo P es Q"

(5) ¬(¬Q → ¬P) Cp. al int. (4) "Es falso que ningún x que no es Q es P"

5.3TODAS LAS LEYES DE EQUIVALENCIA

Tautología (T) P∧P =df. Py P ∨ P =df. P

Negación (Ng.) ¬P =df. P / P ó P↓ P

Negación de Negador (Ng.¬)

¬ ( ¬P) = df. P,

¬ ( ¬P↔S) = df. P↔S,

¬ ( ¬P⊕S) = df. P ⊕ S

Negación de Conjuntor (Ng.∧) ¬(P ∧ S) =df. ¬ P ∨ ¬ S

Negación de Disyuntor (Ng.∨) ¬(P ∨ S) =df.¬ P ∧ ¬ S

Negación de Inalternador (Ng.↓) ¬(P ↓ S) =df. ¬P / ¬S

Neg. de Incompatibilizador (Ng./) ¬(P / S) =df.¬P ↓ ¬S

Negación de Implicador (Ng.→) ¬(P → S) =df. P ∧ ¬ S

Negación de Biimplicador (Ng.↔)

¬ (P ↔ S) =df. P ⊕ S,

¬(P →S) ∨ ¬(S → P),

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(P ∧ ¬S) ∨ (S ∧ ¬P) ,

(P ∨ S) ∧ (¬P ∨ ¬S),

(¬P ↔ S) ∧ (P ↔ ¬S),

¬P ↔ S, P ↔ ¬S.

Definición de Conjuntor (Df.∧) P ∧ S =df. ¬ (P/S)

Definición de Disyuntor (Df.∨) P ∨ S =df. ¬ (P ↓ S)

Definición de Inalternador (Df.↓) P ↓ S =df. ¬ (P ∨ S)

Definición de Incompatibilizador (Df./) P / S =df. ¬ (P ∧ S)

Definición de Implicador (Df.→) P → S =df. ¬ P ∨ S

Definición de Biimplicador (Df.↔)

P ↔ S =df.

(P → S) ∧ (S → P),

(¬P ∨ S) ∧ (¬S ∨ P),

(P ∧ S) ∨ (¬P ∧ ¬S),

¬(P ⊕ S),

¬P ⊕ S,

P ⊕ ¬S

Contraposición (Cp) P → S =df. ¬S → ¬P,

Transposición (Tp)

P ⊕ S =df. ¬P ⊕ ¬S, ¬S ⊕ ¬P y

P ↔ S =df. ¬P ↔ ¬S, ¬S ↔ ¬P

Conmutación (Conm) P ∧ ∨ ↔ ⊕ / ↓ S =df. S ∧ ∨ ↔ ⊕ / ↓ P

Absorción (Abs)

P ∧ (P ∨ S) =df. P P ∨ (P ∧ S) =df. P,

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Complemento (Compl)

P ∨ ¬P =df. 1, P∧ 1 =df. P,

P ∧ 0 =df. 0, 0 → P =df. 1,

P → 1 =df. 1, P ∧ ¬P =df. 0,

P ∨ 1 =df. 1, P ∨ 0 =df. P

Mutación (Mut) P → (S → T) =df. S → (P → T)

Exportación (Exp) P ∧ S → T =df. P → (S → T)

Asociación (Asoc)

P ∧ (S ∧ T) =df. (P ∧ S) ∧ T,

P ∨ (S ∨ T) =df. (P ∨ S) ∨ T

Distribución (dist.)

P ∧ (S ∨ T) =df. (P ∧ S)∨ (P∧ T),

P → S ∨ T =df. (P → S) ∨ (P→ T),

P → S ∧ T =df. (P → S) ∧ (P → T),

P ∨ (S ∧ T) =df. (P ∨ S) ∧ (P ∨ T)

5.4 REDUCCIÓN DE FÓRMULAS

Aplicando cualquiera de las leyes de equivalencia lógica, se trata de reducir

una fórmula muy extensa.

EJEMPLO 1 ¬(C ∧ L) → ¬(R ∧ L)

Traduciendo:

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"Cada vez que sea falso que haya crisis universitaria y libertad de cátedra, sólo

entonces es absurdo que haya reforma universitaria y libertad de cátedra"

(b) (C ∧ L) ∨ ¬(R∧L) Df. →

(c) (C ∧ L) ∨ (¬R ∨ ¬L) Ng. ∧

(d) (C ∨ ¬R ∨ ¬L) ∧ (L ∨ ¬R ∨ ¬L) Dist.

(e)(¬R∨C∨¬L) ∧(L∨¬L∨¬R) Asoc.

(f) (¬R ∨ C ∨ ¬L) ∧ (1 ∨ ¬R) Tercio Excluido: A ∨ ¬A ≡ 1

(g) (¬R ∨ C ∨ ¬L) ∧ 1 1 ∨ A ≡ 1

(h) ¬R ∨ C ∨ ¬L A ∧ 1 ≡A

(i) (¬R ∨ ¬L) ∨ C Asoc.

(j) ¬(¬R ∨ ¬L) → C Df. →

(k) R ∧ L → C Ng. ∨

Verbalizando la proposición formal reducida (k): "Siempre que haya reforma

universitaria y libertad de cátedra, hay crisis universitaria"

EJEMPLO 2 [(p ↔p) ∧ (r ∨ ¬r)] → [(t ∧ s) ∨ s]

Traduciendo: “Siempre que yo publico si y solo publico y a la vez río o no río,

entonces trabajo y sonrío o bien sonrío”

[(p ↔p) ∧ (r ∨ ¬r)] → s absorción

[(p ↔ p) ∧ 1] → s A∨¬A≡ 1

¬[(p ↔ p) ∧ 1] ∨ s Df. →

[(p ⊕ p) ∨ 0] ∨ s Ng. ∧

(p ⊕ p) ∨ s A ∨ 0 ≡ A

[(p ∨ p) ∧ (¬p ∨ ¬p)] ∨ s Df. ⊕

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(p ∧ ¬ p) ∨ s A ∨ A ≡ A

0 ∨ s A∧¬A ≡ A

s 0 ∨ A ≡ A

Luego:

[(p ↔p) ∧ (r∨¬r)] → [(t ∧ s) ∨ s] ≡ s

Verbalizando la proposición formal reducida: “Yo sonrío”

En las siguientes fórmulas: de izquierda a derecha, son cada vez más

complejas para la computadora; mientras que de derecha a izquierda, lo son

cada vez más complejas para el lector humano.

A / B ≡ ¬A ∨ ¬B ≡ ¬(A ∧ B) ≡ A → ¬B

Por ejemplo:

(A ↔ B) ⊕ A ≡ ¬B ≡ B ⁄ B ≡ B ↓ B

COMPLEJA BREVE MONOTONAS

SENCILLAS

Fórmulas sencillas para el humano (brevedad) son complejas para la

computadora y viceversa; es decir, fórmulas complejas para el humano, son

sencillas para la computadora (monotonicidad). La fórmula en lenguaje

monótono para las tautologías es: A / (A/A), y en lenguaje muy monótono es:

(A↓(A↓A)) ↓ (A(A↓A)). La fórmula en lenguaje monótono para las

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contradicciones es A↓(A↓A), y en lenguaje muy monótono es: (A/(A/A)) /

(A(A/A))

5.5 CIRCUITOS LÓGICOS

Son dispositivos electrónicos utilizados por la informática con fines de toma de

decisiones, es decir, para ejecutar tareas ordenadas por un computador.

Una aplicación de todo lo que hasta aquí hemos aprendido se da a través del

diseño de circuitos eléctricos. Ya que la función de verdad de las fórmulas

proposicionales es verdadero o falso, vamos asociando la función de verdad

verdadera a un conmutador cerrado, encendido o que circula corriente; y la

función de verdad falsa a un conmutador abierto, apagado o que no circula

corriente.

En general a los circuitos los podemos clasificar en:

(a) CIRCUITOS A CONMUTADORES

Un conmutador es un dispositivo que permite o no el paso de corriente.

Pueden estar en:

SERIE: Representan a fórmulas conjuntivas.

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Ejemplo:

Representar la proposición: ¬A ∧ B mediante un circuito a

conmutadores

Solución: ¬A B

Existe relación de los circuitos lógicos con las leyes lógicas de veracidad. La

función de verdad del conjuntor es análogo al diseño de un circuito eléctrico

en serie que enciende (es verdadero) un foco si y sólo si en ambos

interruptores pasa luz o corriente eléctrica; y la función de verdad del disyuntor

incluyente es análogo al diseño de un circuito eléctrico en paralelo que

enciende un foco si y sólo si en al menos un interruptor pasa luz o corriente

eléctrica.

Circuito en Serie

A∧B = 1 si y solo si A=1 y B=1, de otro modo = 0

1 = foco encendido 0 = foco apagado

Todos los conmutadores cerrados ( pasa corriente )

A B

Al menos un conmutador abierto (no pasa corriente)

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Circuito en Paralelo

A ∨ B = 0, si y solo si A = 0 y B = 0, de otro modo = 1

Al menos un conmutador cerrado (pasa corriente)

Todos los conmutadores abiertos (no pasa corriente)

(b) CIRCUITOS A COMPUERTAS

Fórmula Lógica

Sistema

ASA

Sistema ISO

Función u Operador

¬A NOT

A ∧ BAND

A ∨ B

70

≥1



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OR

A ∨ BXOR

A ↔ B

NXOR

A / BNOTAND

A ↓ BNOTOR

¬(A∧B)NOTAND

¬(A∨B)NOTOR

Las compuertas lógicas son dispositivos que procesan la entrada de datos (que

están dados por las variables del esquema) y permiten una sola salida.

71

=1

=

≥1

&

≥1

V&



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Ejemplo:

Dado el siguiente esquema molecular:

¬(¬A ∨ B) ∨ (A↔B)

representarlo mediante un circuito a compuertas en el sistema ASA.

Solución:

El siguiente Circuito diseñado a compuertas ASA, se puede simplificar usando

la técnica de reductibilidad de fórmulas complejas.

La fórmula que corresponde a este circuito es:

¬(¬A ∨ B) ∧ ¬ ¬(A ∨ B)

Aplicando:

Ng.∧ y DN (A ∧¬B) ∧ (A ∨ B)

Distribución: (A ∧¬B ∧A) ∨ (A ∧¬B ∧B)

Tautología y complemento: (A ∧¬B) ∨ (A ∧ 0)

Complemento: (A ∧ ¬B) ∨ 0 ≡ A ∧ ¬B

Luego, su diseño asi simplificado es:

72

AB

A ∧ ¬B



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6. INFERENCIAS

Las inferencias lógicas, son las fórmulas condicionales tautológicas; es decir,

sólamente algunas condicionales son inferencias. También se les llama reglas

de implicancia, reglas de derivación, reglas de deducción, reglas de inferencia.

En general Pn ⇒ C donde: P = premisa, C = conclusión y ⇒ =se deduce

(infiere, concluye, colige o deriva). La lectura es: “Una conclusión

necesariamente verdadera se deduce de un número n (1 ó +) de premisas

suficientemente verdaderas” o bien también: “Es suficiente que al menos una

premisa sea verdadera para que necesariamente la conclusión sea verdadera”.

AXIOMA : Pn ⇒ C donde:

P = premisas siempre verdaderas

C = conclusión sólo verdadera

⇒ es el signo de la implicancia

Dado que Pn → C es una tautología, luego: Pn ⇒ C. Es decir es una

Implicancia Logica o Inferencia Deductiva

Una regla de implicancia, como fórmula proposicional implicativa se tiene:

[(P1 ∧ P2) ∧ P3] ∧ ... ∧ Pn → C

Como forma de argumentación o fórmula argumentativa, tenemos

73

P1P2..___C

Esta relación de tránsito, paso o movimiento desde las premisas hasta la conclusión, es la inferencia



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6.1 CON UNA PREMISA

(S) SIMPLIFICACIÓN

Como implicancia: A ∧ B ⇒ A, B

Y como fórmula argumentativa

A ∧ B

A

B

Dada la siguiente premisa: P1 “La célula vegetal posee pared celular y la célula

animal posee mitocondrias”, se infiere lógicamente en la siguiente proposición:

(1) “La célula animal posee mitocondrias”

(2) “La célula vegetal posee pared celular”

(C) CONJUNCIÓN

Como implicancia: A, B ⇒ A ∧ B


A

B

A ∧ B

(NF) NUEVO FACTOR O ADICIÓN

Como implicancia: A ⇒ A ∨ B


A_

A ∨ B

74



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Dada la siguiente premisa: P1 “Las palabras agudas llevan tilde en la última

sílaba” se infiere lógicamente en la siguiente proposición:

(1) “Las palabras graves no llevan tilde o las agudas llevan tilde en la última

sílaba”

(2) “Las palabras agudas llevan tilde en la última sílaba a no ser que en la

penúltima"

6.2CON DOS PREMISAS

AFIRMANDO AFIRMO (AA) O PONENDO PONENS

Como implicancia: A → B , A ⇒ B


A → B

A

B

Asimismo, como implicancias: A ↔ B, A ⇒ B y A ↔ B, B ⇒ A

NEGANDO AFIRMO (NA) O TOLLENDO PONENS

Como implicancia: A ∨ B, ¬A ⇒ B


A ∨ B

¬ A

B

Asimismo, como implicancias: A ∨ B, ¬B ⇒ A, A ⊕ B, ¬A ⇒ B y

A ⊕ B, ¬B ⇒ A

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AFIRMANDO NIEGO (AN) O PONENDO TOLLENS

Como implicancia: A ⊕ B, A ⇒ ¬B


A ⊕ B

A

¬B

Asimismo como implicancia: A / B, A ⇒ ¬B

NEGANDO NIEGO (NN) O TOLLENDO TOLLENS

Como implicancia: A → B, ¬B ⇒ ¬A


A → B

¬ B

¬A

Asimismo, como implicancias: A ↔ B, ¬B ⇒ ¬A y A ↔ B, ¬A ⇒ ¬B

SILOGISMO HIPOTÉTICO (sh) o regla de transitividad

Y como implicancia: A → B, C → A ⇒ C → B

*Dadas las siguientes premisas: P1 “Si toda ecuación es una igualdad, luego

2+5=8, es una ecuación” y P2 “Si 2+5=8 es una ecuación, entonces tiene 2

miembros”, se infiere lógicamente en la siguiente proposición:

76

A → B o también B → CB → C A → B_____ ______A → C A → C



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(1) “Siempre que toda ecuación es una igualdad, luego tiene 2 miembros”

(2) “Basta que toda ecuación sea una igualdad, sólo así luego tiene 2

miembros”

6.3CON TRES PREMISAS

Un método J de resolución dilemática desde 3 premisas es como sigue. Un

dilema es un razonamiento lógico a partir de 3 premisas cuya estructura lógico

matemática es la siguiente: Las 2 primeras premisas pueden usar los

conectores: bicondicionador ↔, bidisyuntor ⊕, condicionador → o disyuntor ∨;

pero la tercera premisa, así como la conclusión, usan el disyuntor ∨. Es con

las variables de la tercera premisa que se aplica una de las reglas de inferencia

apropiadas al caso tan solo al observar la variable que se repite.

Veamos este hecho tan interesante en un ejemplo.

Premisa 1: A ⊕ P,

Premisa 2: V ↔ S,

Premisa 3: A ∨ ¬ V

Aplicando la regla de inferencia del AN a A ⊕ P (premisa 1) y A (parte de

premisa 3) deducimos ¬P; y aplicando NN a V ↔ S y ¬V derivamos ¬S; luego

la conclusión es: ¬P ∨ ¬S

6.4 CON 3 FIGURAS

77



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De otro modo, podemos formular las reglas de inferencia usando las 3 figuras

de todo razonamiento, que se distinguen por la colocación del término medio

en las premisas.

Vamos a realizar una convención o a ponernos de acuerdo en un convenio: De

ahora en adelante, en todas las figuras usaremos las variables A, B y C. Queda

claro que la variable B que se repite en las premisas es el término medio, la

variable A que aparece como antecedente (si se trata de una implicación) o en

primer lugar (si se trata de una conjunción) en la conclusión es el sujeto,

siendo la otra variable C el predicado.

FIGURA I FIGURA II FIGURA III

A B C B B C

B C A B B A

A C A C A C

En la figura I el término medio está en diagonal sea inclinada a la derecha o ya

sea a la izquierda; es decir la figura I puede ser formulada correctamente de

este otro modo:

B C

A B

A C

En la figura II el término medio está como predicado en las dos premisas y en

la figura III lo está como sujeto.

FIGURA I

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(SH) Silogismo hipotético o categórico

Si: A ↔ B y B ↔ C, entonces: A ↔ C

"Si y solo si estudio, triunfaré" y "Si y solo si triunfo, seré feliz" llego

necesariamente a la conclusión:"Si y solo si estudio seré feliz"

Si: A → B y B → C, entonces: A → C

Si:"Si Maruja viaja a Otuzco, entonces visitará a su hermana", y:"Si visita a su

hermana, entonces pasará buenas vacaciones". Por lo tanto: "Si Maruja viaja a

Otuzco, entonces pasará buenas vacaciones"

Un ejemplo formal con equivalentes de las premisas.

De: ¬F ∨ L ≡ F → L y de: ¬L ∨ M ≡ L → M,

se deduce: ¬F ∨ M ≡ F → M

y en palabras: De las premisas: "Jacinto no enseña Filosofía o enseña Lógica

en la UNT" y "Jacinto no enseña lógica o enseña Metodología" deducimos

lógico formalmente que: "Jacinto no enseña Filosofía o enseña Metodología"

FIGURA II

Modus Tollendo Tollens o regla que negando niega Si: A→ B y ¬B, luego: ¬A

Modus Ponendo Ponens o regla que afirmando afirma Si: A↔ B y B, luego: A

Modus Tollendo Ponens o regla que negando afirma

Si: A ∨ B y ¬B, luego: A Si: A ⊕ B y ¬B, luego: A

Modus Ponendo Tollens o regla que afirmando niega Si: A ⊕ B y B, luego: ¬A

FIGURA III

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Modus Ponendo Ponens o regla que afirmando afirma

Si: A → B y A, luego: B

Si: A ↔ B y A, entonces: B

Modus Tollendo Ponens o regla que negando afirma

Si: A ∨ B y ¬A, entonces: B

Si: A ⊕ B y ¬A, entonces: B

Modus Ponendo Tollens o regla que afirmando niega

Si: A ⊕ B y A, entonces ¬B

Modus Tollendo Tollens o regla que negando niega

Si: A ↔ B y: ¬A, luego: ¬B

Ejemplo: Si: "Si y sólo si María va a la playa, tomará helados" y "En este caso

María no toma helados", deducimos lógicamente que: "En este caso María no

va a la playa"

6.5CON SILOGISMOS *

SILOGISMO CONJUNTIVO

A no puede ser B y C a la vez.

Es B, luego no es C.

Es C, luego no es B

SILOGISMO DISYUNTIVO

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Ponendo tollens

A, o es B o es C.

Es B, luego no es C.

Es C, luego no es B.

Tollendo ponens

A, o es B o es C.

No es B, luego es C.

No es C, luego es B.

SILOGISMO HIPOTÉTICO

Condición solo necesaria

Si es A, puede ser B

Es B, luego es A

No es A, luego B no será

Condición siempre suficiente

Si es A, es B

Es A, luego es B

No es B, luego no es A

Condición necesaria y suficiente

Si y solo si es A, es B

Es A, es B; no es A, no es B

Es B, es A; No es B, no es A

*((2002) Sanguineti pp. 142-143

7. VALIDEZ SINTÁCTICA

81



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Una fórmula conclusión de una argumentación es la deducción, conclusión o

consecuencia lógica que se deriva de una o más premisas, en cuya forma se

encuentra encubierta, mediante la aplicación ingeniosa y creativa de las reglas

de inferencia o de las leyes de definición lógica. La validez de las fórmulas

conectadas, se demuestra por diversos métodos.

7.1 DEMOSTRACIÓN DIRECTA

La demostración directa, es el conjunto de operaciones (transformaciones

formales) lógicas con las que derivamos, inferimos deductivamente o

imponemos la forma lógica de la conclusión o tesis a ser demostrada. Otros

nombres son: Derivación formal, inferencia lógica, deducción o cálculo

proposicional. La inferencia formal o consecuencia lógica es uno de los

conceptos fundamentales de la lógica matemática, que expresa la relación

entre las proposiciones, la que a su vez depende de la estructura lógico

matemático de dichas proposiciones. “El concepto de consecuencia lógica no

del todo se corresponde con el uso intuitivo de este término en la práctica del

conocimiento científico. Esta falta de correspondencia se manifiesta en las

llamadas “paradojas” de la ilación (de un enunciado contradictorio se

desprende cualquier otro y lo lógicamente verdadero se desprende de cualquier

enunciado)”.(DF p.84)

82



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En una argumentación formalizada, dada la forma lógica de una conclusión que

se quiere demostrar que es una consecuencia de una o más premisas, se

procede a analizar la forma lógica de cada una de las premisas y se aplican las

reglas y leyes en un punto determinado y en el momento oportunamente

adecuado, tan sólo con el objeto de llegar hasta la forma lógica de dicha

conclusión. Por ejemplo:

Demostrar: B ∧ C

{1} (1) A → B premisa

{2} (2) A ∧ B premisa

{3} (3) B → C premisa

{2} (4) A S 2

{1,2} (5) B AA 1,4

{1,2,3} (6) C AA 3,5

{1,2,3} (7) B ∧ C C.5,6

Donde "B ∧ C" es la conclusión que se debe demostrar que se deriva, deduce,

infiere deductivamente, concluye o es la consecuencia lógica de las premisas

(1), (2) y (3). Asimismo (4), (5) y (6) son las nuevas premisas, con indicaciones

a la derecha de cada una de ellas, de las abreviaturas de la regla o ley a las

que se ha aplicado, seguidas del número de la premisa o premisas a las que se

ha aplicado dicha regla o ley. Los números más a la izquierda entre llaves,

indican la dependencia de las premisas y de las nuevas premisas, la última de

las cuales debe depender del conjunto de las premisas DESDE las que se ha

partido.

83



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7.2 PRUEBA CONDICIONAL

La llamada prueba condicional (PC) se requiere cuando la conclusión de una

argumentación es una fórmula condicional; si éste es el caso estamos

permitidos y nos es posible introducir el antecedente de dicha conclusión como

una nueva premisa adicional (NP); con tal de que con esta ayuda logremos con

nuestro método de demostración directa deducir la conclusión, queda

demostrada la validez o correccion de toda la argumentación. Por ejemplo:

(SH) Demostrar por PC: A → C

{1} (1) A → B P

{2} (2) B → C P

{3} (3) A NP (nueva premisa-antecedente de conclusión)

{1,3} (4) B AA, 1, 3

{1,2,3} (5) C AA,2,4

(1,2} (6) A → C PC, 3, 5

Aquí (6) depende sólo de las 2 premisas originales.

7.3 DEMOSTRACION INDIRECTA

La PC se necesita para las demostraciones indirectas o por reducción al

absurdo (RAA). Introducimos la negación de la FCE conclusión; con tal de que

logremos una FCE de la forma: A ∧ ¬A, en alguna de las premisas nuevas de

la cadena de premisas queda demostrada la validez de la forma de la

argumentación objeto de análisis.

84



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Por ejemplo: Demostrar: w→ ¬r

{1} (1) p → t Premisa

{2} (2) t → ¬w Premisa

{3} (3) p ∧ ¬s Premisa

{4} (4) ¬(w → ¬r) Ng. conclusión

{4} (5) w ∧ r Ng.→, 4

{4} (6) w S. 5

{4} (7) r S. 5

{2,4} (8) ¬t NN. 2,6

{1,2,4} (9) ¬p NN. 1,8

{3} (10) p S. 3

{3} (11) ¬s S. 3

{1,2,3,4} (12) p ∧ ¬p C. 9,10

{1,2,3,4} (13) ¬(w → ¬r) → p ∧ ¬p PC. 4,12

{1,2,3} (14) w → ¬r RAA. 4,12,13

7.4 SILOGISMOS

Estas inferencias son los razonamientos lógicos a partir de 2 premisas cuyas

estructuras lógico matemáticas son como en las 2 siguientes situaciones

formales:

85



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1º Caso ALFA. O bien las 2 premisas son universales afirmativas, o bien de las

2 premisas, una es universal afirmativa y la otra es universal negativa. Se

aplica la regla del silogismo hipotético (SH).

Ejemplo.

Si:“Toda deducción es una operación apodíctica”

Y:“Ninguna operación apodíctica es una observación inductiva”

Luego “Ninguna deducción lógica es una observación inductiva”

Luego de formalizarlo tenemos

Si: D → A y A → ¬O luego: D →¬ O

Esta estructura, de acuerdo a la simbolización de proposiciones categóricas sin

cuantificadores, tiene la siguiente lectura:

Si: Todo D es A y: Ningún A es O Luego: Ningún D es O

En este caso ALFA, luego de formalizar las dos premisas hay que buscar que

su estructura corresponda a la regla de inferencia lógica del silogismo

hipotético puro, silogismo categórico o ley de transitividad (SH).

A → B

B → C

A → C

Obsérva la posición del término medio B, el cual también puede estar como:

B → C

A → B

A → C

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Esta situación es completamente lógica porque entre premisa y premisa hay un

conjuntor y ésta es susceptible de conmutarse.

La primera estructura, de acuerdo a la simbolización de proposiciones

categóricas sin cuantificadores, tiene la siguiente lectura:

Si: Todo A es B

y: Todo B es C

Luego: Todo A es C

Ahora bien, la estructura formal de las premisas de un razonamiento silogístico

no siempre coincide con las estructuras standard de las reglas de inferencia,

por eso ya sabemos que cada premisa proposicional categórica tiene a lo más

5 equivalentes lógico formales.

Resuelve el siguiente razonamiento lógico silogístico.

Si: "Toda persona no es cariñosa o bien es sincera"

y: "Es falso que exista una persona sincera que no es respetuosa"

Luego: "Todos los cariñosos son respetuosos".

Formalizando los términos: C = "cariñoso", S = "sincero" y R = "respetuoso"

Si: "Todo persona no es C o bien es S"

y: "Es falso que exista una persona S que no es R"

Luego: "Todos los C son R"

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2º Caso BETA. De las 2 premisas, no solo una de ellas es universal afirmativa

o es universal negativa, sino también la otra es particular afirmativa o es

particular negativa. Se aplica la regla del AA o del NN según sea la forma de la

argumentación.

Ejemplo (x)

Si: "todo abogado es bachiller"

y: "algunos científicos no son bachilleres",

luego: "algún científico no es abogado"

Formalizándolo tenemos: P1 A → B P2 C ∧ ¬B

Observamos que

• una de ellas es universal afirmativa y, asimismo, la otra premisa es

particular negativa.

• B es la variable que se repite, tal variable simboliza al llamado término

medio.

Para obtener la conclusión, hacemos abstracción de una parte de la fórmula

conjuntiva: C ∧ y aplicamos negando niego (NN) a las fórmulas A → B y ¬B,

por ser B la variable que se repite. Es así como obtenemos: ¬A; és ésta

fórmula la que con C ∧ configura la conclusión que buscamos; es decir: C ∧

¬A

Ahora sea el ejemplo (y)

Si: "todo abogado no es bachiller" = ("ningún abogado es bachiller"),

88



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y: "algunos abogados son científicos"

Luego: "algunos científicos no son bachilleres"

Formalizándolo, tenemos P1 A → ¬B P2 A ∧ C

Para obtener la conclusión, hacemos abstracción de una parte de la fórmula

conjuntiva: ∧C, le aplicamos afirmando afirmo (AA) a las fórmulas A →¬B y A,

por ser A la variable que se repite. Es así como obtenemos: ¬B, es ésta

fórmula, la que con ∧C, configura la conclusión; es decir: ¬B ∧ C ≡ C ∧ ¬B por

Conm.

7.5 SILOGISMOS A LA LUZ DE LA LÓGICA MATEMÁTICA

FIGURA I

S → M S → M

M → P M → ¬ P

S → P S → ¬P

FIGURA II

M → P M → P

M ∧ S M ∧¬ S

S ∧ P ¬S ∧ P

FIGURA III

P → M P → ¬M

S ∧ ¬ M S ∧ M

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S ∧ ¬ P S ∧ ¬ P

A estos 6 modos válidos demostrables posibles se puede hacer las

permutaciones entre las 2 premisas y asimismo aplicar conmutación a las

proposiciones particulares y contraposición a las proposiciones universales.

El silogismo es un razonamiento típico de la lógica tradicional aristotélica o

clásica. Aristóteles creía que el razonamiento humano inteligente consiste en la

combinatoria de las 4 proposiciones categóricas, de allí su indiscutibilidad;

estas combinaciones son 4 figuras y 256 modos posibles. Con los

procedimientos de la lógica formal solo es posible demostrar la validez de 15

de esos modos.

Los quince modos demostrables con el intrumental de la lógica formal como

válidos son:

AAA-1 EAE-2 AII-3 AEE-4

EAE-1 AEE-2 IAI-3 IAI-4

AII-1 EIO-2 OAO-3 EIO-4

EIO-1 AOO-2 EIO-3

Los 4 modos tradicionales invalidados, que son los que tienen las dos premisas

universales y particular la conclusión, son:

AAI-3 AII-4 EAO-3 EAO-4

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La lógica formal valida estos modos mediante la llamada “premisa

existencial” (PE) y reivindican la validez para 5 modos más; de manera que a

los 15 modos válidos se agregan estos 9 con los que suman 24 modos validos

en la lógica moderna. Estos nueve modos son:

Agregando la premisa existencial S:

AAI-1 EAO-1 AEO-2 EAO-2 AEO-4

Agregando la premisa existencial P: AAI-4

Agregando la premisa existencial M: AAI-3 EAO-3 EAO-4

8. VALIDEZ SEMÁNTICA

8.1 TABLAS DE VERACIDAD

El método de las tablas de veracidad sirve para demostrar la validez de una

argumentación formal, al probar que su matriz resulta ser una TAUTOLOGÍA.

Si consideramos a las reglas de verdad formal en las tablas de verdad, ellas

nos van a permitir calcular en forma ALGORÍTMICA o mecánica, la validez de

cualquier argumentación, al que se le ha construido su FPI asociada, por más

complicada que ésta sea, con tal que sólo se conozca que el número de filas

de arreglos, casos o combinaciones de valores de veracidad resulta de la

fórmula 2n donde 2 es el número de valores de veracidad que permanece

constante en la lógica conectativa bivalente y "n" es el número de variables con

que cuenta la FPI asociada a la argumentación cuya validez estamos

91



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demostrando. Obviamente con argumentaciones que contienen varias

variables, las tablas suelen ser cada vez más difíciles de manejar.

¿Cómo se elabora una FPI?. El antecedente de dicha FPI es la premisa o la

conjunción de las fórmulas premisas de la forma de una argumentación, siendo

el consecuente, la fórmula conclusión. Cuando la argumentación formal tiene

más de dos premisas, ante todo se pone en conjunción las dos primeras

premisas, éstas a su vez se conjuncionan con la tercera premisa y, así

sucesivamente, asociándolas de izquierda a derecha.

8.2 MÉTODO ABREVIADO

El método abreviado sirve para demostrar la validez de una FPI, al probar que

suponiéndola falsa encontramos al menos una CONTRADICCIÓN.

Dada una argumentación se formaliza como una FPI asociada a la misma.

Suponemos que la conjunción de las premisas de la argumentación, que

figuran en el antecedente de la FPI, son verdaderas y que la conclusión es

falsa como en el siguiente esquema, donde los valores de veracidad de los

conectadores van encima y los de las variables van debajo.

1 1 1 0

P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ P4 ∧ ........∧.Pn → C

1 1 1 1 1 0

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Si NO logramos probar esta única posibilidad que falsifica la FPI, entonces la

argumentación formalizada es válida.

Por ejemplo:

1 1 1 0

[(A ∧ B) ∧ ¬B] → ¬A

1 1 0 1

Como en la premisa aparece que la fórmula B=1 y ¬B=1, lo cual es

contradictorio, luego la argumentación es válida ya que NO hemos logrado

confirmar nuestro supuesto de que el antecedente de la FPI es verdadero y el

consecuente es falso.

93



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III. MATERIAL Y MÉTODOS

1. Método de investigación

En el desarrollo de la presente investigación se ha empleado principalmente el

método de la descripción, además del análisis (descubrimiento de la estructura

lógica de una proposición) y la deducción.

2. Diseño de investigación

Descriptivo, es decir, se enumeran las características de los contenidos

curriculares de los actuales módulos de aprendizaje para el curso de

Razonamiento Lógico destinado al 1º, 2º y 3º grado de Educación

Secundaria en el Centro Educativo Experimental “Rafael Narváez

Cadenillas” 2007?.

Donde:

P = Población

O = Observación

94

P - O



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3. Población

Está constituida por el conjunto de los actuales carteles de contenidos

curriculares de los módulos de aprendizaje para el curso de Razonamiento

Lógico destinado al 1º, 2º y 3º grado de Educación Secundaria en el Centro

Educativo Experimental “Rafael Narváez Cadenillas” 2007.

ACTUAL CARTEL DE CONTENIDOS CURRICULARES DEL 1º AÑO

TRIMESTRE I

• Introducción a la lógica: objeto de estudio, importancia

• Principios Lógicos, ejemplos

• Proceso del conocimiento

• La realidad: clases, ejemplos

• El Lenguaje: definición, clases, características

• Formas del pensamiento: concepto, juicio y razonamiento, ejemplos en

forma general

• El concepto: definición, características, clases: por su contenido,

cantidad, por su naturaleza

TRIMESTRE II

• Relaciones: definición, clases: inclusión, exclusión e intersección

• Relación entre intensión y extensión. Ordenación por intensión creciente

y por extensión creciente y decreciente

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• Operaciones con conceptos: Limitación: definición, características,

clases. Generalización: definición, características, clases. Definición:

definición, clases. Clasificación: definición, clases. La división: definición,

características.

TRIMESTRE III

• El juicio, características, clases

• El razonamiento: definición, características, clases: por el número de

premisas (mediatos e inmediatos), por su forma de derivar (inducción y

deducción)

• Inferencia inductiva: definición, características, clases.


TRIMESTRE I

• El juicio y la proposición. La proposición: definición, características,

enunciados que no son proposiciones. Clases: por las propiedades

intrínsecas (apodícticas, problemáticas y asertóricas), por la conectiva

(simples y moleculares)

• Formas lingüísticas de las conectivas lógicas (20 de cada conectiva

lógica) construcción de proposiciones con las formas lingüísticas de las

conectivas

TRIMESTRE II

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OSGRADO

• Formalización de proposiciones. Definición, características, elementos

para la formalización. Formalización con dos variables proposicionales.

Formalización con tres variables proposicionales. Formalización con

cuatro variables proposicionales.

TRIMESTRE III

• Verdad formal: tablas de verdad. Tablas de verdad de fórmulas lógicas

con dos y tres variables proposicionales

• Valor de verdad de estructuras y variables proposicionales usando los

criterios de las conectivas lógicas

• Equivalencias con tablas de verdad


TRIMESTRE I:

RAZONAMOS CON PROPOSICIONES LÓGICAS

1. La proposición. Definición, características y clasificación

2. Conectores lógicos. Nombres, símbolos y formas linguísticas

3. Formalización. Copncepto de formalización y formalización de

proposiciones.

TRIMESTRE II

RAZONAMOS CON EQUIVALENCIAS LÓGICAS

1. Deducciones inmediatas con propiedades de los conectores

97



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La conmutación

La contraposición

La ley de “De Morgan”

Asociación

Idempotencia

Distribución

Absorción

Mutación

Exportación

Expansión

TRIMESTRE III

RAZONAMOS CON CIRCUITOS LÓGICOS

1. Reducción de proposiciones. Concepto y ejercicios

2. Circuitos lógicos. Definición, simbolización, diseño y reducción

4. Instrumentos de recolección y procesamiento de datos

Se hará en forma directa a través de la descripción de la población mediante el

registro de las características observables, realizadas profesionalmente, sin la

influencia de opiniones o emociones y con juicio de experto, de los carteles de

contenidos curriculares de cada uno de los tres trimestres (unidades didácticas)

en los que se ha dividido el curso de Razonamiento Lógico del 1º, del 2º y del

3º de secundaria.

98



BIBLIO

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OSGRADO

IV. RESULTADOS

(1) Propuesta de Modelo de Contenidos Curriculares del Primer

año de Educación Secundaria

INTRODUCCIÓN

1. Lógica formal. Tipos de oraciones. Imperativas, desiderativas,

exclamativas, interrogativas y declarativas. Definición de Proposición.

Oraciones Declarativas. Ejercicios. Proposiciones y oraciones.

Proposiciones y no proposiciones

FORMALIZACIÓN

2. Proposiciones atómicas y negativas. Formalización (simbolización) y

verbalización (traducción)

¬A

3. Proposiciones conjuntivas con a lo más 2 variables: Formalización y

verbalización

Α∧Β

¬Α∧Β

Α∧¬Β

¬Α∧¬Β

99



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OSGRADO

4. Proposiciones disyuntivas con a lo más 2 variables: Formalización y

verbalización

Α∨Β

¬Α∨Β

Α∨¬Β

¬Α∨¬Β

5. Proposiciones condicionales con a lo más 2 variables: Formalización y

verbalización

Α→Β

¬Α→Β

Α→¬Β

¬Α→¬Β

6. Proposiciones conjuntivas negadas con a lo más 2 variables:

Formalización y verbalización

¬(Α∧Β)

¬(¬Α∧Β)

¬(Α∧¬Β)

¬ (¬Α∧¬Β)

7. Proposiciones disyuntivas negadas con a lo más 2 variables:


¬(Α∨Β)

100



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¬(¬Α∨Β)

¬(Α∨¬Β)

¬(¬Α∨¬Β)

8. Proposiciones condicionales negadas con a lo más 2 variables:


¬(Α→Β)

¬(¬Α→Β)

¬(Α→¬Β)

¬ (¬Α→¬Β)

VERDAD FORMAL

9. Proposiciones conjuntivas con a lo más 2 variables: tablas de verdad

10. Proposiciones disyuntivas con a lo más 2 variables: tablas de verdad

11.Proposiciones condicionales con a lo más 2 variables: tablas de verdad

12.Proposiciones negativas. Negación de conjuntor, disyuntor o implicador

13.Proposiciones conjuntivas negadas con a lo más 2 variables: tablas de

verdad

14.Proposiciones disyuntivas negadas con a lo más 2 variables: tablas de

verdad

15.Proposiciones condicionales negadas con a lo más 2 variables: tablas

de verdad

EQUIVALENCIAS

16.Definición de equivalencia: Fórmulas bicondicionales tautológicas

101



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A ↔ B A ≡ B

17. Doble negación y tautología. Formalización y verbalización

¬¬A≡Α

A∧A≡A

¬A∧¬A≡¬A

A∨A ≡A

¬A∨¬A≡¬A

18.Definición de condicionador. Formalización y verbalización

A→Β≡¬Α∨Β

¬A→Β≡Α∨Β

A→¬Β≡¬Α∨¬Β

¬A→¬Β≡Α∨¬Β

y viceversa

19. Definición de conjuntor con disyuntor. Formalización y verbalización

A∧B≡¬(¬A∨¬B)

¬A∧B≡¬(A∨¬B)

A∧¬B≡¬(¬A∨B)

¬A∧¬B≡¬(A∨B)

y viceversa

20.Definición de conjuntor con condicionador. Formalización y verbalización

A∧B≡¬(A→¬B)

102



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¬A∧B≡¬(¬A→¬B)

A∧¬B≡¬(A→B)

¬A∧¬B≡¬(¬A→B)

y viceversa

21. Negación de conjuntor con disyuntor. Formalización y verbalización

¬(A∧B)≡¬A∨¬B

¬(¬A∧B)≡ A∨¬B

¬(A∧¬B)≡¬A∨B

¬(¬A∧¬B)≡ A∨B

y viceversa

22.Negación de conjuntor con condicionador. Formalización y verbalización

¬(A∧B)≡A→¬B

¬(¬A∧B)≡ ¬A→¬B

¬(A∧¬B)≡A→B

¬(¬A∧¬B)≡ ¬A→B

y viceversa

23. Conmutación de conjunciones. Formalización y verbalización

A∧B≡B∧A

¬A∧B≡B∧¬A

A∧¬B≡¬B∧A

¬A∧¬B≡¬B∧¬A

103



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24.Conmutación de disyunciones. Formalización y verbalización

A∨B≡B∨A

¬A∨B≡B∨¬A

A∨¬B≡¬B∨A

¬A∨¬B≡¬B∨¬A

25.Contraposición de condicionales. Formalización y verbalización

A→B≡¬B→¬A

¬A→B≡¬B→A

A→¬B≡B→¬A

¬A→¬B≡B→A

INFERENCIAS

26.Definición de inferencia: Fórmulas condicionales tautológicas

A → B A⇒B

27.Simplificación. Formalización y verbalización

A∧B⇒ ó A ó B

¬A∧B⇒ ó ¬A ó B

A∧¬B⇒ ó A ó ¬B

¬A∧¬B⇒ ó ¬A ó ¬B

28. Nuevo factor o adición. Formalización y verbalización

A ⇒ A ∨ B

104



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A ⇒ A ∨ ¬B

¬A ⇒ ¬A ∨ B

¬A ⇒ ¬A ∨ ¬B

29.Afirmando afirmo. Formalización y verbalización

(Α→Β) ∧ Α ⇒ Β

(Α→¬Β) ∧ Α ⇒ ¬Β

(¬Α→Β) ∧ ¬Α ⇒ Β

(¬Α→¬Β) ∧ ¬Α ⇒ ¬Β

30.Negando niego. Formalización y verbalización

(Α→Β) ∧ ¬B ⇒ ¬A

(¬Α→Β) ∧ ¬B ⇒ A

(Α→¬Β) ∧ B ⇒ ¬A

(¬Α→¬Β) ∧ B ⇒ A

31.Negando afirmo. Formalización y verbalización

(Α∨Β) ∧ ¬A ⇒ B

(¬Α∨Β) ∧ A ⇒ B

(Α∨¬Β) ∧ ¬A ⇒ ¬B

(¬Α∨¬Β) ∧ A ⇒ ¬B

(Α∨Β) ∧ ¬B ⇒ A

(¬Α∨Β) ∧ ¬B ⇒ ¬A

(Α∨¬Β) ∧ B ⇒ A

105



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(¬Α∨¬Β) ∧ B ⇒ ¬A

VALIDEZ SEMANTICA

32. Demostrar con el método de las tablas de verdad las leyes del sistema

K.

HORARIO

Curso anual: 8 MESES, 32 semanas con 2 horas semanales, son 64 horas

pedagógicas de 45 minutos.

Como el total de temas son 32, tenemos entonces 2 horas para cada tema.

106



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(2) Propuesta de Modelo de C ontenidos Curriculares del

Segundo año de Educación Secundaria

INTRODUCCIÓN

1. Tipos de oraciones. Imperativas, desiderativas, exclamativas,

interrogativas y declarativas. Definición de Proposición. Oraciones

Declarativas. Ejercicios. Proposiciones y oraciones. Proposiciones y no

proposiciones

FORMALIZACIÓN

2. Proposiciones conjuntivas y sus negaciones. Formalización y

verbalización

Α∧Β

¬Α∧Β

Α∧¬Β

¬Α∧¬Β

¬(Α∧Β)

¬(¬Α∧Β)

¬(Α∧¬Β)

¬(¬Α∧¬Β)

107



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3. Proposiciones disyuntivas y sus negaciones. Formalización y

verbalización

Α∨Β

¬Α∨Β

Α∨¬Β

¬Α∨¬Β

¬(Α∨Β)

¬(¬Α∨Β)

¬(Α∨¬Β)

¬(¬Α∨¬Β)

4. Proposiciones condicionales y sus negaciones. Formalización y

verbalización

Α→Β

¬Α→Β

Α→¬Β

¬Α→¬Β

¬(Α→Β)

¬(¬Α→Β)

¬(Α→¬Β)

¬(¬Α→¬Β)

108



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5. Proposiciones bicondicionales y sus negaciones. Formalización y

verbalización

Α↔Β

¬Α↔Β

Α↔¬Β

¬Α↔¬Β

¬(Α↔Β)

¬(¬Α↔Β)

¬(Α↔¬Β)

¬(¬Α↔¬Β)

6. Proposiciones bidisyuntivas y sus negaciones. Formalización y

verbalización

Α ⊕ Β

¬Α ⊕ Β

Α ⊕ ¬Β

¬Α ⊕ ¬Β

¬(Α ⊕ Β)

¬(¬Α ⊕ Β)

¬(Α ⊕ ¬Β)

¬(¬Α ⊕ ¬Β)

109



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7. Proposiciones complejas. Formalización y verbalización

(Α↔Β) ∧ (¬Α→¬Β)

(¬Α∧Β)→¬ (Α∨Β)

¬ (¬Α∧¬Β) ∨ (Α→Β)

(¬Α∨Β) → (Α→¬Β)

(Α∨¬Β) ⊕ (¬Α∨¬Β)

:

:

8. Proposiciones complejas negadas. Formalización y verbalización

¬[ (Α↔Β) ∧ (¬Α→¬Β)]

¬[ (¬Α∧Β)→¬ (Α∨Β)]

¬[¬ (¬Α∧¬Β) ∨ (Α→Β)]

¬[ (¬Α∨Β) → (Α→¬Β)]

¬[ (Α∨¬Β) ⊕ (¬Α∨¬Β)]

VERDAD FORMAL

9. Proposiciones negativas o conjuntivas, disyuntivas o condicionales y sus

negaciones. Tablas de verdad

10. Proposiciones bidisyuntivas o bicondicionales y sus negaciones. Tablas

de verdad

EQUIVALENCIAS

11. Definiciones del condicionador, disyuntor y conjuntor. Formalización y

verbalización

(Df. →) Definición de condicionador

110



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A→Β =df ¬Α∨Β

A→Β =df ¬(Α∧¬Β)

(Df. ∨) Definición de disyuntor

A∨B =df ¬(¬A∧¬B)

A∨B =df ¬A→B

(Df. ∧) Definición de conjuntor

A∧B =df ¬(¬A∨¬B)

A∧B =df ¬(A→¬B)

12. (Df. ↔)Definiciones del biimplicador. Formalización y verbalización

A ↔ B =df. ¬(A ⊕ B)

A ↔ B =df. ¬A ⊕ B

A ↔ B =df. A ⊕ ¬B

A ↔ B =df. (A→B) ∧ (B→A)

A ↔ B =df. (¬A∨B) ∧ ( ¬B∨ A)

A ↔ B =df. (A∧B) ∨ (¬A ∧ ¬B)

13. (Df. ⊕) Definiciones del bidisyuntor. Formalización y verbalización

A ⊕ B =df. ¬(A ↔ B)

A ⊕ B =df. ¬A ↔ B

A ⊕ B =df. A ↔ ¬B

A ⊕ B =df.¬[(A→B) ∧ (B→A)]

111



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A ⊕ B =df. (A∨B) ∧ ( ¬A∨ ¬B)

A ⊕ B =df. (A∧¬B) ∨ (B∧¬A)

14. Negaciones. Formalización y verbalización

(Ng. ¬) Negación de negador

¬(¬A) =df. A

(Ng. ∧) Negación de conjuntor

¬(A∧B) =df. ¬A∨¬B

¬(A∧B) =df. A→¬B

(Ng. ∨) Negación de disyuntor

¬(A∨B) =df. ¬A∧¬B

¬(A∨B) =df. ¬(¬A→B)

(Ng. →) Negación de condicionador

¬(A→B) =df. ¬(¬A∨B)

¬(A→B) =df. A∧¬B

15.Conmutación. Formalización y verbalización

(Conm.) Conmutación

A∧B =df B∧A

A∨B =df B∨A

A ↔ B =df . B ↔ A y

112



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A ⊕ B =df. B ⊕ A

16. Contraposición. Formalización y verbalización

(Cp.) Contraposición

A→B =df ¬B→¬A

A ↔ B =df. ¬A ↔ ¬B y ¬B ↔ ¬A

A ⊕ B, =df. ¬A ⊕ ¬B y ¬B ⊕ ¬A

17.Binegaciones. Formalización y verbalización

(BNg. ↔) Binegación de biimplicador

¬(¬A ↔ B) =df.A ↔ B

¬(A ↔ ¬B) =df.A ↔ B

(BNg. ⊕) Binegación del exclusor

¬(¬A ⊕ B) =df. A ⊕ B

¬(A ⊕ ¬B) =df. A ⊕ B

INFERENCIAS

18. Afirmando afirmo. Formalización y verbalización

(Α→Β) ∧ Α ⇒ Β

(Α↔Β) ∧ Α ⇒ Β

(Α↔¬Β) ∧ Α ⇒ ¬Β

(¬Α↔Β) ∧ ¬Α ⇒ Β

(¬Α↔¬Β) ∧ ¬Α ⇒ ¬Β

113



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19. Afirmando afirmo. Formalización y verbalización

(Α↔Β) ∧ B ⇒ A

(Α↔¬Β) ∧ ¬B ⇒ A

(¬Α↔Β) ∧ B ⇒ ¬A

(¬Α↔¬Β) ∧ ¬B ⇒ ¬A


(Α→Β) ∧ ¬B ⇒ ¬A

(Α↔Β) ∧ ¬B ⇒ ¬A

(¬Α↔Β) ∧ ¬B ⇒ A

(Α↔¬Β) ∧ B ⇒ ¬A

(¬Α↔¬Β) ∧ B ⇒ A


(Α↔Β) ∧ ¬A ⇒ ¬B

(¬Α↔Β) ∧ A ⇒ ¬B

(Α↔¬Β) ∧ ¬A ⇒ B

(¬Α↔¬Β) ∧ A ⇒ B

22.Negando afirmo. Formalización y verbalización

(Α∨Β) ∧ ¬A ⇒ B

(Α ⊕ Β) ∧ ¬A ⇒ B

(¬Α ⊕ Β) ∧ A ⇒ B

114



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(Α ⊕ ¬Β) ∧ ¬A ⇒ ¬B

(¬Α ⊕ ¬Β) ∧ A ⇒ ¬B

23. Negando afirmo. Formalización y verbalización

(Α ∨ Β) ∧ ¬B ⇒ A

(Α ⊕ Β) ∧ ¬B ⇒ A

(¬Α⊕Β) ∧ ¬B ⇒ ¬A

(Α⊕¬Β) ∧ B ⇒ A

(¬Α⊕¬Β) ∧ B ⇒ ¬A

24. Afirmando niego. Formalización y verbalización

(Α ⊕ Β) ∧ A ⇒ ¬B

(¬Α ⊕ Β) ∧ ¬A ⇒ ¬B

(Α ⊕ ¬Β) ∧ A ⇒ ¬B

(¬Α ⊕ ¬Β) ∧ ¬A ⇒ B

25. Afirmando niego. Formalización y verbalización

(Α ⊕ Β) ∧ B ⇒ ¬A

(¬Α ⊕ Β) ∧ B ⇒ A

(Α ⊕ ¬Β) ∧ ¬B ⇒ ¬A

(¬Α ⊕ ¬Β) ∧ ¬B ⇒ A

VALIDEZ SEMÁNTICA

115



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26. Demostrar con el método de las tablas de verdad algunas leyes de

equivalencia y algunas reglas de inferencia

27.Demostrar con el método abreviado algunas leyes de equivalencia y

algunas reglas de inferencia

PROPOSICIONES CATEGÓRICAS

28.Formalización de las cuatro (4) proposiciones categóricas

29.Equivalencias de la proposición universal afirmativa. Formalización y

verbalización

30.Equivalencias de la proposición universal negativa. Formalización y

verbalización

31.Equivalencias de la proposición particular afirmativa. Formalización y

verbalización

32.Equivalencias de la proposición universal negativa. Formalización y

verbalización

HORARIO




116



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(3) Propuesta de Modelo de C ontenidos Curriculares del Tercer

año de Educación Secundaria

INTRODUCCIÓN

1. Lógica cognoscitiva y matemática. Tipos de Pensamiento. El

lenguaje formal y verbal

FORMALIZACIÓN

2. Formalización y verbalización de proposiciones negativas,

proposiciones conjuntivas, proposiciones disyuntivas incluyentes

3. Formalización y verbalización de proposiciones condicionales

suficientes y necesarias

4. Formalización y verbalización de proposiciones bicondicionales y

proposiciones disyuntivas excluyentes.

VERDAD FORMAL

5. Proposiciones negativas o conjuntivas y sus negaciones. Tablas de

verdad

6. Proposiciones disyuntivas o condicionales y sus negaciones. Tablas

de verdad

7. Proposiciones bidisyuntivas o bicondicionales y sus negaciones.

Tablas de verdad

EQUIVALENCIAS

117



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8. Todas las equivalencias con implicador, conjuntor y disyuntor, de

una fórmula bicondicional: Formalización y verbalización

9. Todas las equivalencias implicador, conjuntor y disyuntor, de una

fórmula bidisyuntiva: Formalización y verbalización

10.Todas las equivalencias de las fórmulas proposicionales del sistema

R con el bicondicionador y con el bidisyuntor: Formalización y

verbalización

11. Todas las Leyes de Equivalencia con dos variables. Formalización y

verbalización

12. Todas las Leyes de Equivalencia con tres variables. Formalización y

verbalización

13. Reducción o minimización de fórmulas complejas.

14.Reducir una fórmula proposicional compleja a una sencilla, a una

breve y a una monótona

15.Leyes de equivalencia con el incompatibilizador y con el inalternador

16. Convertir una fórmula proposicional al sistema de Post y Frege

17. Convertir una fórmula proposicional al sistema de Nicod y Sheffer

CIRCUITOS LÓGICOS

18. Circuitos a conmutadores.

19. Circuitos a compuertas ASA.

20. Circuitos a compuertas ISO.

21.Circuitos lógicos equivalentes a una fórmula proposicional

22.Circuitos lógicos equivalentes a otro circuito

118



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INFERENCIAS

23. Inferencias a partir de una premisa. Formalización y verbalización

24. Inferencias a partir de dos premisas. Formalización y verbalización

25. Inferencias a partir de tres premisas. Formalización y verbalización

26. Todas las Reglas de Inferencia. Formalización y verbalización

VALIDEZ SINTÁCTICA

27.Demostración Directa a lo más desde 2 premisas.

28. Demostración con la prueba condicional.

29. Demostración Indirecta = reducción al absurdo a lo más desde 2

premisas.

PROPOSICIONES CATEGÓRICAS

30. Equivalencias de las cuatro proposiciones categóricas

31.Silogismos Caso ALFA

32.Silogismos Caso BETA

HORARIO




119



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V. CONCLUSIONES

1. El modelo de contenidos curriculares del primer año de educación

secundaria se basan en el siguiente esquema didáctico:

Introducción

Formalización

Verdad Formal

Equivalencias

Inferencias

Validez Semántica

2. El modelo de contenidos curriculares del segundo año de educación


Introducción

Formalización

Verdad Formal

Equivalencias

Inferencias

Validez semántica

Proposiciones Categóricas

120



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3. El modelo de contenidos curriculares del tercer año de educación


Introducción

Formalización

Verdad Formal

Equivalencias

Circuitos Lógicos

Inferencias

Validez ssintáctica

Proposiciones Categóricas

4. El marco teórico apropiado de la parte de la Lógica proposicional, existente,

actualmente, en el Departamento de Filosofía y Arte – UNT, considero que

ha sido necesario aunque aún no suficiente para elegir los distintos temas o

contenidos del modelo de contenidos curriculares del curso de

Razonamiento Lógico del 1º al 3º año de Secundaria en el CEE “Rafael

Narváez Cadenillas”.

5. La selección minuciosa de conceptos apropiados a cada grado del nivel de

educación secundaria, se ha elaborado para que los docentes del curso de

Razonamiento Lógico, desde el 1º al 3º grado del nivel secundario, lo

puedan desarrollar creativamente con:

121



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• Definiciones (teoría y procedimientos didácticos de cada tema)

• Ejercicios (ítems de prueba, de complemento único o múltiple,

desarrollados) y

• Problemas (ítems de prueba propuestos con claves).

VI. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

6.1 DOCUMENTOS EN INTERNET

* PROPUESTA DE MODELO DE CONTENIDOS CURRICULARES PARA UN CURSO GENERAL DE GEOGRAFÍA HUMANA DESTINADO AL PRIMER CICLO DE ENSEÑANZA UNIVERSITARIA. Autora: Carmen Carranza Ruiz Localización: El profesor y la experimentación curricular: actas VI Jornadas de Estudio sobre la Investigación en la Escuela, año 1988 / coord. por Rafael Porlán Ariza, Pedro Cañal de León, 1988, ISBN 84-404-3485-5 , pags. 199-204

* LA LÓGICA DIALÉCTICA EN EL PROCESO DE LA INVESTIGACIÓN

CIENTÍFICA. Autor: Miguel Martínez Miguélez

* EL MATERIALISMO DIALÉCTICO Y EL CÁLCULO. Autores: Dr. C. Héctor

Manuel Pupo Sintras, Dr. C. Angel Luis Romero Romero, Universidad de

Holguín. Cuba.

* LAS INFERENCIAS LÓGICAS: UNA VÍA PARA DESARROLLAR EL

APRENDIZAJE DEL ESCOLAR DE SECUNDARIA BÁSICA.. Autores: Lic.

Osmany Carmenates Barrios, MsC: Mauricio Amat Abreu, Lic. Michel Enrique

Gamboa Grau. Universidad Pedagógica “Pepito Tey”, Las Tunas. Cuba.

122



BIBLIO

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http://dialnet.unirioja.es/servlet/autor?codigo=114077



http://dialnet.unirioja.es/servlet/monografia?clave_monografia=9182

http://dialnet.unirioja.es/servlet/monografia?clave_monografia=9182


* ESTRUCTURAS, SISTEMAS Y MODELOS (REFLEXIONES SOBRE UNA

BASE LÓGICA EN INVESTIGACIÓN EDUCATIVA). Autor: José Padrón Guillén

* EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO DE LOS ESTUDIANTES A TRAVÉS

DE LA ENSEÑANZA. Autores: Miguel E. Zaldívar Carrillo y Yamilka Sosa Oliva

Instituto Superior Pedagógico “José de la Luz y Caballero”, Cuba

* LA ELABORACION DE CONCEPTOS EN LA ESCUELA Y EL DESARROLLO

DE LOS PROCESOS LÓGICOS DEL PENSAMIENTO. Autores: Dr.C. Raúl

Hernández Heredia y Ms.C. Teresa Velázquez Garrido.

6. 2 LIBROS SIGNIFICATIVOS

• 1979: Benson Mates, LÓGICA MATEMÁTICA ELEMENTAL, Edit. Tecnos,

Madrid, 250 pp.

• 1985: Copi Irving, LÓGICA SIMBÓLICA, Edit. Continental, México, 407 pp.

• 2000: Córdova Jacinto, Lógica (Matemática Bivalente y Objetiva Dialéctica)

UNT, 147 pp.

• 2005: -------------- LÓGICA para la Investigación Científica, UNT 127 pp.

• 2006: -------------- RAZONAMIENTO LÓGICO, UNT, 62 pp.

• 2005: Córdova Roy, LÓGICA - Raz. Lógico (2da. Edición) RECORD, 165

pp.

• 1981: Dynnik M, HISTORIA DE LA FILOSOFIA, Edit. Grijalbo, México,

Tomos I, II, III, IV, V, VI y VII

123



BIBLIO

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• 1978: Fedoséev P. y otros, METODOLOGIA DEL CONOCIMIENTO

CIENTIFICO, Edit. CCSS, La Habana, 445 pp.

• 1984: Garrido Manuel, LOGICA SIMBOLICA, Ed. Tecnos, Madrid, 424 pp.

• 1966: Kursanov G., EL MATERIALISMO DIALECTICO Y EL CONCEPTO,

Edit. Grijalbo 293 pp

• 1997: Martinez L., DICCIONARIO DE FILOSOFIA, Edit. Panamericana, 604

pp

• 1980: Miró Quesada Francisco, LOGICA (filosofía de las matemáticas), Edit.

I.Prado, Lima, pp.3-296

• 1981: Moreno Alberto, LÓGICA MATEMÁTICA (antecedentes y

fundamentos) Eudeba, Bs.As. pp 73-135

• 2004: Obando & Solís, FILOSOFÍA: INICIO Y CAMINO, Fondo Editorial del

Pedagógico San Marcos, 297 pp.

• 2003: Rea Ravello Bernardo, INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA, Edit.

Mantaro, Lima 200 pp.

• 1984: Razinkov O. (traductor) DICCIONARIO DE FILOSOFIA (DF), Edit.

Progreso, 371 pp.

• 1980: Rossental M., DICCIONARIO FILOSOFICO, Edit. Pueblos Unidos,

Lima, 637 pp.

• 2002: Sanguinetti J., LÓGICA, Ediciones Universidad de Navarra S.A.

Pamplona

• 1973: Vetrov A., LA SEMIÓTICA Y SUS PROBLEMAS FUNDAMENTALES,

Edic. Pueblos U. 185 pp.

• 1981: Zierer Ernesto, LA LÓGICA FORMAL EN LA LINGÜÍSTICA, UNT

Trujillo, 85 pp.

124



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• 2007 OEI-Revista Iberoamericana de Educación (en CD)

INFLUENCIA DE LOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN EL

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO

OTONIEL RIVERÓN PORTELA

JUAN ANTONIO MARTÍN ALFONSO

IDALIA GONZÁLEZ COMPANIONIS

ÁNGEL GÓMEZ ARGÜELLES

Universidad de Ciego de Ávila, Cuba /CD Temas pedagógicos,

DERRAMA MAGISTERIAL, PERÚ

___________________________

Bach. Jacinto E. Córdova Guimaray

Profesor Principal D.E. del DepartamentoAcadémico de Filosofía y Arte

MAESTRISTA

_________________________________

Dr. Gilberto Roldán Paredes

Director de la Sección de Post Grado de EducaciónASESOR DE TESIS

125



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posgrado de digital biblioteca - dspace.unitru.edu.pe

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