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8/17/2019 Porticos planos CAP4.pdf

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 4

Joaquim Barros 4.1

4 - PÓRTICOS PLANOS

4.1 - INTRODUÇÃO

Os pórticos planos são estruturas reticuladas que podem ser discretizadas por elementos deviga com deformação axial. Assim, a simulação do comportamento de pórticos planosdepende da teoria adoptada para modelar o comportamento dos elementos de viga. As teoriascorrentemente utilizadas são, basicamente, a de Euler-Bernoulli e a de Timoshenko.

No elemento de viga de Euler-Bernoulli admite-se que as secções transversais, normais aoeixo da viga antes da deformação, mantêm-se planas e ortogonais ao referido eixo após adeformação. Esta hipótese resulta do facto de nesta teoria se admitir que a rotação de uma

secção transversal é igual à inclinação do eixo da viga (ver figura 4.1a). Neste caso adeformação por corte é ignorada, pelo que a aplicação desta teoria deve ser restrita a vigasdelgadas.

Na teoria de Timoshenko admite-se que as secções planas e normais ao eixo da viga antes dadeformação, permanecem planas mas não necessariamente ortogonais ao eixo da viga (verfigura 4.1b). Desta forma é possível simular o comportamento de vigas em que não édesprezável a deformação por corte.

l1

2l , ul2

1ll , u1

1ldu1dl

Normal à superfície médiaapós a deformação

Inclinação do eixo da viga (a)

1l

2ll , u2

1l

Inclinação do eixo da viga

Normal à superfície médiaapós a deformação

1l , u

Deformação admitida

Deformação real

(b)Figura 4.1 - Deformação de um elemento de viga segundo a teoria de Euler-Bernoulli (a) e de Timoshenko (b).




Joaquim Barros 4.2

Na figura (4.1) i é o referencial local da barra. Note-se que no caso dos pórticos as equaçõesde equilíbrio de cada barra são estabelecidas no referencial local da barra. A matriz de rigideze o vector das forças nodais equivalentes são obtidas no referencial local da barra, sendo emseguida convertidos para o referencial global xi da estrutura e assemblados na matriz derigidez e no vector das forças nodais equivalentes da estrutura, E K e E Q , respectivamente.

4.2 - ELEMENTO DE VIGA DE EULER-BERNOULLI COM DEFORMAÇÃOAXIAL

A teoria de Euler-Bernoulli admite as seguintes hipóteses:

i) Os deslocamentos verticais2

u de todos os pontos de uma secção transversal qualquersão pequenos, quando comparados com a altura da viga, e são iguais ao respectivodeslocamento do eixo da viga;

ii) O deslocamento lateral,3

u é nulo ( ver Figura 4.2 );

iii) Secções transversais planas e normais ao eixo da viga antes da deformação mantêm-se planas e ortogonais ao referido eixo após a deformação.

e i x o d a b a r r a

L

h

Ml3

2lf

F 2l

2u l

l2

1l , ul1

3l

l3θ

2l

l2u

1 1ll , uO ≡

3θ l

h

l2

1ll , u13l , θ l3

B

A

B'

A'1

ul

B''B'''

A''

B para B': deformação axialB' para B'' e B'' para B''': deformação por flexão e corte

Figura 4.2 - Deformação axial de um elemento de viga segundo a teoria de Euler-Bernoulli.




Joaquim Barros 4.3

4.2.1 - Campo de deslocamentos

Tendo em conta as hipóteses admitidas na teoria de Euler-Bernoulli, o campo dedeslocamentos de um ponto qualquer da viga define-se por intermédio das seguintes relações(ver também Figura 4.2),

)0,0,()0,0,(),,( 3212321321 311==−=== θ uu

)0,0,(),,( 321321 22=== uu (4.1a)

0),,( 3213=u ,

ou, mais simplesmente,

)()(),,( 121321 311 θ −=uu

)(),,( 1321 22 uu = (4.1b)

0),,( 3213 =u ,

em que1

u e2

u são os deslocamentos de um ponto do eixo da viga segundo as direcções de

1 e 2 , respectivamente. Devido à hipótese iii), a rotação3

θ de (4.1) é igual à inclinação datangente ao eixo da viga deformada (ver Figura 4.1a), pelo que,

1

2

3 d

du=θ (4.2)

12 2

11

d

duuu −= . (4.3)

4.2.2 - Extensões

A única componente não nula do tensor das extensões é a devida à variação de comprimentodas fibras paralelas ao eixo da viga, pelo que,

1

1

1 d

du=ε . (4.4)

Substituindo (4.3) em (4.4) resulta,

21

2

21

21

1 d

ud

d

ud −=ε (4.5)

ou




Joaquim Barros 4.4

f a ε ε ε +=1

(4.6a)

em que

11

d

ud a =ε (4.6b)

é a extensão por deformação axial e

21

2

222

d

ud f f −=−= ε ε (4.6c)

é a extensão por flexão.

4.2.3 - Tensões e esforços

Se a única componente não nula do tensor das extensões é1

ε , então1

σ será a únicacomponente não nula do tensor das tensões,

11 ε σ E = (4.7)

em que E é o módulo de elasticidade do material. Substituindo (4.5) em (4.7) resulta

21

2

21

21

1 d

ud E

d

ud E −=σ (4.8)

ou

f a σ σ σ +=1

(4.9a)

em que

1

1

d

ud E a =σ (4.9b)

é a tensão devida à variação de comprimento do eixo da viga e,

21

2

22

d

ud E f −=σ (4.9c)

é a tensão devida à flexão da viga.

O esforço axial resulta da integração de (4.9b) na área da secção transversal do elemento,




Joaquim Barros 4.5

a A

a EAd

ud EAdA N ε σ ===∫

1

1

1. (4.10a)

Por sua vez o momento flector obtém-se integrando, na secção transversal da viga, o

momento em relação à superfície média da viga, provocado pela tensão1σ ,

3

2

21

13

2

2/

2/

222

1

2

2

2/

2/21

2

21

2

2

I E

d bd

ud E

d bd

ud

d

ud E

dA M

h

h

h

h

A

χ

σ

−=

−=

−=

=

∫

∫

∫

−

− (4.10b)

em que

2

2/

2/

223

d b I h

h∫

−

= (4.11)

é a inércia da secção transversal da viga, em relação ao eixo3 , e b é a largura dessa secção,e

21

22

d ud

f == χ ε (4.12)

é a curvatura do eixo da viga.

Na figura 4.3 representa-se a convenção de sinais positivos para as tensões e esforços.

(l )3l1

2l

eixo da barra 3lM1 Nl

σa σf

+=

σf σa

Figura 4.3 – Convenção de sinais positivos para as tensões e esforços.




Joaquim Barros 4.7

=0

2

1

x

x

V g

g

Q ρ

ρ , (4.17)

sendo ρ a massa por unidade de volume do material que constitui o elemento e1 x g , 2 x g aaceleração da gravidade segundo os eixos x1 e x2 do referencial global (ver Figura 4.4).

2 l

x1g

g2x

32

1

(1) (3)

(2)

3ll1

2l

l3l 2l1

(x )3

2x

4

3 l

l 1

x1

Figura 4.4 – Componentes da aceleração da gravidade em pórticos planos.

Por sua vez

=3

2

1

m f

f

Q L (4.18)

é o vector das forças generalizadas distribuídas por unidade de comprimento em barras, sendo1

f e2

f as forças distribuídas por unidade de comprimento segundo os eixos1 e 2 , e3

m o momento distribuído por unidade de comprimento em torno do eixo3 (ver Figura 4.5).

lm3

f l2

1f l

4

32

1

(1) (3)

(2)

3 l

2 l

l 1 3l

l1

2l

l3l 2l1

(x )3

x1

2x

Figura 4.5 – Forças distribuídas por unidade de comprimento.




Joaquim Barros 4.8

O vector

P x

x

x

p

M

F

F

Q =

3

2

1

(4.19)

representa as forças generalizadas aplicadas num ponto P, sendo1 x F e

2 x F as forças segundoos eixos x1 e x2, e 3xM é o momento segundo x3 (Figura 4.6).

x 2

3(x )

(2)

(1)

1

2

1x4

(3)

32 xF1

B x1F B

A

2A xF23 xF

33 xM

MC x3C

Figura 4.6 – Forças generalizadas aplicadas em pontos da estrutura.

4.2.5 - Discretização em elementos finitos de dois nós

Analisando as parcelas da expressão (4.14) dos trabalhos virtuais verifica-se que o trabalhointerno de deformação é a adição do trabalho por deformação axial

( )∫

e L

d d

ud EA

d

ud 1

11

11δ

(4.20)

tratado nos capítulos anteriores, com o trabalho por flexão,

( )∫

e L

d d

ud EI

d

ud 12

1

2

21

222

δ . (4.21)

O comportamento por deformação axial é simulado pela formulação descrita nos capítulosanteriores, enquanto o comportamento à flexão será apresentado numa próxima secção.

Na parcela de trabalho interno por deformação de flexão, (4.21), existem segundas derivadasda flecha

2u . Por este facto, deve-se utilizar elementos de continuidade de classe C1 de forma

a garantir-se quer a continuidade dos deslocamentos quer da sua derivada (ver secções 3.2 e3.6.3).




Joaquim Barros 4.9

O elemento de viga mais simples de classe C1 é o dois nós representado na figura 4.7

2l

1l1 2 3 4 i j

i j

ui l2 2 j lu

3i lθ = 2i ldudl1 1dl

duθ =

3

2 j l j l

L(e)

Numeração

Local Global

1, 2 i, j

2l1u 2liu

1

l1

dl

du2

1

li

dl

du2

2l2u 2l ju

1

l2

dldu

2 1

l j

dldu

2

i j

l = 0i 1 l = L j 1

1l

(e)

-1 +1

1s

1 N11f (s )1

1(s )f 12 N

45º

1(s )f 21 N 1

22 45º Nf (s )

Figura 4.7 - Elemento de viga de Euler-Bernoulli de dois nós. Graus de liberdade e funções de forma hermitícasna simulação do comportamento à flexão.

A continuidade das primeiras derivadas obriga a tomar como grau de liberdade a rotação,12

d du . Assim, cada nó genéricoi tem dois graus de liberdade2iu e 12

d du i , pelo que,cada elemento tem quatro graus de liberdade. Desta forma, o campo de deslocamentos,

2u ,

fica perfeitamente definido pela função cúbica seguinte,




Joaquim Barros 4.10

314

2131211)(

2 s s s su α+α+α+α= (4.22a)

ou

[ ]αααα

=

4

3

21

31

2111 1)(

2 s s s su (4.22b)

ou aindaα= S su )( 12

. (4.22c)

Derivando (422a) obtém-se,

214132

1322 s s

ds

duα α α ++= . (4.23)

Na secção 3.3 verificou-se que no caso de um elemento de dois nós ou de um elemento de trêsnós, com nó intermédio ao centro,

1

11

2 ds

L

ds J dx

=

=. (4.24)

Além disto, verificou-se ainda que

1

1

1

1

1

1

dsdx

dxdu

dsdu = . (4.25)

Substituindo (4.24) em (4.25) e passandou1 para2

u e x1 para 1 obtém-se,

1

1

1

11

2

22

2 d

du L

dsd

d

du

ds

du

=

=

. (4.26)

As constantesα i de (4.22) calculam-se substituindo em (4.22) e (4.23) os valores de2

u e de

12dsdu nos nós do elemento, resultando:




Joaquim Barros 4.11

24322

1

2

11

3

4

2

32121

24321

1

1

11

34

232111

)1(3)1(222

)1()1()1()1(

)1(3)1(222

)1()1()1()1(

3

2

1

2

22

3

2

1

2

22

++++===++++++==+=

−+−+===

−+−+−+==−=

+=

−=

α α α θ

α α α α

α α α θ

α α α α

Ld

du Lds

duu su

Ld

du Lds

du

u su

s

s (4.27a)

ou

αααα

−−−

=

θ

θ

43

2

1

2

2

1

1

3210111132101111

2

2

3

2

3

2

Lu

Lu

(4.27b)

ou ainda

α C U e

f =)(ˆ (4.27c)

em que)(ˆ e

f U é um vector que inclui os graus de liberdade de flexão do elemento. De (4.27c)resulta,

)(1 ˆ e

f U C −=α (4.28a)

em que,

−

−−−−−

=−

4/14/14/14/1

4/104/104/14/34/14/34/12/14/12/1

1C . (4.28b)

Substituindo (4.28a) em (4.22c) obtém-se,




Joaquim Barros 4.12

[ ]

++−−−+

+−−+−=

−

−−−−−

=

= −

3

2

3

2

3

2

3

2

2

2

2

1

1

31

211

311

31

211

311

2

2

1

1

31

211

)(11

41

41

41

41

241

43

21

41

41

41

41

241

43

21

2

2

4/14/14/14/1

4/104/104/14/34/14/34/12/14/12/1

1

ˆ)(

θ

θ

θ

θ

u

u

s s s L

s s s s s L

s s

L

u

Lu

s s s

U C S sue

f

(4.29a)

ou

( )=

3

2

3

2

2

2

2

1

1

222112111 22θ

θ u

u

N L N N L N su f f f f (4.29b)

ou ainda

[ ]( ) )(2

e f

e f U N u = (4.29c)

em que [ ]( )e f N é a matriz das funções de forma do elemento de viga de dois nós,representadas na Figura 4.7, e designadas de funções de forma Hermitianas (ou do elementode viga Hermítico de dois nós).

As componentes de[ ]( )e f N definem-se por intermédio das relações seguintes,

++−−==

−+=

+−−==

+−=

)1(41

22

)32(41

1(41

22

)32(41

31

2112222

31121

31

2111212

31111

s s s L

N L

N

s s N

s s s L

N L

N

s s N

f f

f

f f

f

(4.30)

sendo f ij N a função de forma correspondente ao grau de liberdade j do nói, relativa ao campo

de deformação por flexão.

Repare-se que a derivada de f i N 1 com i=1,2 é nula no nói, que f

i N 1 com i=1,2 tem valor

unitário no nói e nulo no outro nó, que f i N 2 com i=1,2 tem valor nulo no nói e que a




Joaquim Barros 4.13

derivada de f i N 2 com i=1,2 tem valor unitário emi e nulo no outro nó (acompanhar esta

exposição analisando a forma as funções representadas na Figura 4.7).

A inclinação do eixo da viga obtém-se derivando (4.29),

++−−

+−−+−=

==

12

2

11

1

211

21

211

21

11

1

11

/

/43

21

41

243

43

43

21

41

243

432

2

2

2

2

2

222

d du

u

d du

u

s s L

s s s L

s L

Lds

du

d ds

ds

du

d

du

.(4.31)

Por sua vez, a curvatura da viga obtém-se derivando (4.31) resultando,

[ ]( )

+−

+−=

=

=

=

+

=

=

=

12

2

11

1

11112

)(21

2

2

21

2

2

2

1

121

2

1

1

1

1

11

1

1

1

1

11

1

1

1121

2

/

/23

21

223

23

21

2234

4

4

0

2

2

2

2

2

2

2

2

22

d du

u

d du

u

s L

s s L

s L

U ds N d

L

ds

ud

L

d

ds

ds

ud

d ds

d ds

ds

du

dsd

d ds

d ds

ds

du

dsd

d ds

d

du

dsd

d

ud

e f

e f

(4.32)

pelo que




Joaquim Barros 4.14

( ) ( )

( )

)(112112

21

222

221

212

221

122

221

112

2

21

2

316316

4444

2

e f

e f

f f f f

e f

e f

f

U s L L

s L

s L L

s L

U ds N d

Lds N d

Lds N d

Lds N d

L

U B

d

ud

+−+−=

=

=

=

= χ ε

(4.33)

em que ( )e f B é a matriz de deformação por flexão do elemento. Para se incluir o trabalho por

deformação axial verifique-se que,

( ) )(eeaa U B=ε (4.34)

em que

( ) [ ]

−=

=

=

001001

0020020000

1

2

1

1

21

L L

dsdN

LdsdN

L

B B Baa

aae

a

(4.35)

é a matriz de deformação axial, em quea N 1 e a N 2 são as funções de forma nos nós 1 e 2,representadas em (3.10). Por sua vez a extensão por flexão pode ser obtida por intermédio daseguinte relação

( ) )(ee f f U B=ε (4.36)

( ) +−+−= 11211231603160 s

L L s

L s

L L s

L B e

f (4.37)

é a matriz de deformação por flexão e

=1

222

1

111

)( 2

21

2

21 d

duuu

d

duuuU e (4.38)

são os graus de liberdade do elemento de dois nós.

Substituindo (4.34) e (4.36) em (4.14) resulta,

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )( )∫+− += 11

)(1)()(int 23ee

f T e

f e

aT e

aee U ds L B EI B B EA BU W

T

δ δ (4.39)




Joaquim Barros 4.17

ji

l2

l13(l )(e) 21

1

i

2

j

(e)

21 lu

θ1 l3

u2 l2

2 l3θ

(e)L

d l1

BA

(e)

1ld

Vl2 2V +l

3Ml M +3l+

l 2dVdl1 1dl

3ldM1dl

Figura 4.8 – Elemento de viga.

A solução para esta equação é um polinómio cúbico em1 .

( ) 314

21312112

aaaau +++= (4.45)

em que as constantes ia são obtidas por intermédio das condições fronteira:

( )

( )

( )3

)(1

2

22

3

1

2

22

21

2)(

1

101

1)(

1

)(

)0(

θ

θ

=

===

=

==

==

=

L L

ee

e

ee

e

d

du

u L Lu

d

du

uu

(4.46)

resultando o seguinte sistema de equações:




Joaquim Barros 4.18

=

=

=

4

3

2

1

2

32

1

22

2

1

11

1

3210

100100001

23

2

2

3

2

a

a

a

a

L L

L L L

d du

ud

duu

θ

θ . (4.47)

Resolvendo este sistema de equações obtém-se as constantesia , que substituídas em (4.45)resulta,

1

214213

1

1121111

2

2

2

22)()()()()(

d

du f u f

d

du f u f u +++= (4.48)

em que

2

31

31

14

31

21

13

2

31

21

112

31

21

11

2)(

23)(

2)(

231)(

L L f

L L f

L L f

L L f

+

−−=

−

=

+

−=

+

−=

. (4.49)

Transformando (4.49) em coordenadas normalizadas verifica-se que estas funções coincidemcom as funções de forma do elemento de viga Hermítico de dois nós (equações (4.30)).

Exemplo 2

Calcular os deslocamentos e as reacções da viga da figura 4.9 utilizando um elemento de vigahermítico de dois nós.

L

1l

2l , ul2

3(l ,θ )l3

f l2

f Ll2

2

122lf L2

12

2f Ll22lf L

2 Figura 4.9 – Consola submetida a carga uniformemente distribuída.




Joaquim Barros 4.19

Resolução

Na figura 4.9 representa-se as forças nodais equivalentes à carga,2

f , uniformementedistribuída na viga. O sistema de equações de equilíbrio da viga é o seguinte,

−

+−

+−

=

−−−−

−−

12

2

12

2

4626612612

2646612612

2

1

2

1

1

2

2

1

1

1

22

22

3

2

2

3

2

2

2

2

2

2

1

3

L f

L f

M L f

V L f

d

duud

duu

L L L L

L L

L L L L

L L

L

EI . (4.50)

Como

01

11

2

2==

d

duu , (4.51)

da resolução de (4.50) resulta

22

3

22

3

2

2 2;;

6;

8

2

3121

3

1

24

2 f L

M Lf V EI

L f

d

du

EI

L f u ==−=−= . (4.52)

Substituindo em (4.29b) obtém-se

)274(96

6)1(

41

28)32(

41

2)(

31

211

4

331

211

4311

1

2222211

3

2

3

2

3

2

2

22

s s s EI

L f

EI

L f s s s

L EI

L f s s

d

du N

Lu N su

l

f f

−++−=

−++−−+

−−+=

+=

. (4.53)

Verificar que para s1= -1 , 02

=u , e para s1= 1 ,3

2

2 8

4

EI

L f u −= , pelo que os deslocamentos

nos nós coincidem com os obtidos com a solução exacta. Contudo, no interior do elemento aflecha não é igual à exacta, dado que a flecha exacta traduz-se por um polinómio de quartograu, enquanto a prevista pelo MEF determina-se por intermédio de um polinómio de terceirograu.

No que se refere aos momentos flectores tem-se




Joaquim Barros 4.21

4.2.7 – Exercícios resolvidos

Exercício nº 1

Discretize com dois elementos de dois nós a barra representada na Figura er_4.1. Utilizando a

teoria de Euler-Bernoulli calcule:a) A matriz de rigidez da estrutura; b) O vector solicitação da estrutura;c) Os deslocamentos e as reacções;d) Os momentos nos pontos nodais;e) Constate que os momentos são exactos somente nos pontos de Gauss, s1 = 3

1± .

Dados: E c = 30 Gpa, secção com 0.3 m de largura e 0.5 m de altura.

(l ,θ )

l , u

3l3

50kN/m2l2

4m

1 l1l , u

S

S

S-S

0.3m

0.5m

Figura er_4.1 – Viga a ser analisada segundo a teoria de Euler-Bernoulli.

Resolução

A Figura er_4.2 representa a discretização da viga com dois elementos de dois nós.

1 2 3

(1) (2)

2m 2m

Figura er_4.2 – Viga discretizada com dois elementos de dois nós

a) Cálculo da matriz de rigidez da estrutura

• Matriz de rigidez de cada elemento

−

−−−

−

−

=

22

22)()(

4626

612612

2646

612612

)( 3

L L L L

L L

L L L L

L L

K e L EI e ( L(e) = 2 m )




Joaquim Barros 4.22

Efectuando o espalhamento das matrizes de rigidez dos elementos, na matriz de rigidez daestrutura obtém-se,

−−−−

−−−−

−−

=

−−−−

−−−−

−−

=

1612812001212121200812320812

12120241212

0081216120012121212

11719

462600612121200

268026612024612

00264600612612

22

222

22

)(3

L L L L

L

L L L L L L L

L L L L

L L

K L EI E

Vectores dos deslocamentos dos nós da estrutura:

sendo

321u1 l2 u2 l2 u3 l2

1dldu1 l2

1dldu2 l2 3 l2du

dl1

Figura er_4.3 – Graus de liberdade.

==3

2

1

21

2

1

111

θ u

uu

d du ==

3

2

1

22

2

2

222

θ u

uu

d du ==

3

2

1

23

2

3

333

θ u

uu

d du

os graus de liberdade dos nós 1, 2 e 3, respectivamente.

b) Cálculo do vector solicitação da estrutura

• Vector solicitação de cada elemento

(l )

l

3

50kN/m2

l1

2m

• M= 122 pl

e R= 2 pl




Joaquim Barros 4.23

NOTA: O cálculo resulta da aplicação:

1)(

1

1111

)2()1()( )()()(

Jdsq s N d q N QQQ eT

L

T e

e∫∫−

====

em que

−==

050

3

2)(

m

f q e

é o vector das forças distribuídas no elemento e

=

f f

f f

f f

f f

T

N N

N N N N

N N

N

'2222

'2121

'1212

'1111

é a matriz das funções de forma do elemento de viga de dois nós de Euler-Bernoulli. Assim,

−−

−

=

67.1650

67.1650

)1(Q −

−−

=

67.1650

67.1650

)2(Q .

Efectuando o espalhamento dos vectores solicitação do elemento no vector solicitação daestrutura obtém-se,

−

−−

−

=

67.16500100

67.1650

)( E Q

c) Cálculo dos deslocamentos:

RQU K E E E += )()()(




Joaquim Barros 4.24

+−

−

−

+−

=

−

−−−−

−−−

−

−

67.16

500

100

67.16

50

0

0

161281200

1212121200812320812

12120241212

008121612

0012121212

11719

2

1

3

2

2

1

3

3

2

3

R

R

u

θ

θ

θ

Para simplificar o cálculo,

)()()()( E f

E f

E E U K QU K −=

−

−

=−

−

67.16

0

100

67.16

168120

83208

1202412

081216

11719

33

2

2

1

3

2

3

θ

θ

θ

u.

Resolvendo este sistema de equações de equilíbrio obtém-se,

=

=

−=

−=

rad

rad

mu

rad

0014225.0

0

0017775.0

0014225.0

3

3

2

3

3

2

2

1

θ

θ

θ

d) Cálculo dos momentos nos pontos nodais

21

22

d

du EI M −=

⇔+++= 32322 2222211121111)1(

)( θ θ f f f f

N u N N u N su

232 2211121)1( )( u N N su f f += θ

• 221

212

321

122

21

22

21 ud

N d

d

N d

d

du f f

+= θ

• ( ) ( )123

21

123

21

2422

1

122

s s L Ld

N d f

+−=+−=

• ( ) 123

1234

221

212

s s Ld N d f

−=−=




Joaquim Barros 4.25

( )( ) ( )−−−+−= 0017775.01230014225.012

321)( 1 s s EI s M

Pontos nodais:

e) Constatar que os momentos são exactos somente nos pontos de Gauss, s1 = 31±

=⇒==⇒−=

m KN M s

m KN M s

/50.95/86.37

31

1

31

1

4.2.8 – Exercícios para resolver

1 - Na Figura epr_4.1 representa-se um elemento deviga de Euler-Bernoulli de três nós. Deduza as funçõesde forma deste elemento, em coordenadasnormalizadas, s1.

==

321

s1-1 +1 Figura epr_4.1

2 – Deduza o vector das forças nodais equivalentes de um elemento de viga de dois nós deEuler-Bernoulli sujeito a momentos uniformemente distribuídos segundo o eixo3 (ver Figura

epr_4.2).

1 2

m [FL-1]

1 s1

2

( )3L

Figura epr_4.2

3 - a) Determine as forças nodais no nó 2, equivalentes à acção que actua no elemento finitode dois nós de Euler-Bernoulli representado na Figura epr_4.3. b) Como procederia se a viga fosse de secção variável.

5.00 m

50 kN/m

1 2

Figura epr_4.3

=⇒+==⇒==⇒−=

m KN M s

m KN M sm KN M s

/6.1161/68.660/75.161

1

1

1




Joaquim Barros 4.26

4.3 - Elemento de viga de Timoshenko

A teoria de Timoshenko considera as duas primeiras hipóteses da teoria de Euler-Bernoulli mais a seguinte:

iii) Secções transversais planas e ortogonais ao eixo da viga indeformada permanecem planas mas não necessariamente ortogonais ao eixo da viga ( ver Figura 4.11).

Esta hipótese representa uma maior aproximação à deformação real de vigas de alturaconsiderável. À medida que a relação vão/altura da secção diminui as secções transversaisdeixam de se conservar planas após a deformação.

4.3.1 - Campo de deslocamentos

Os deslocamentos de um ponto qualquer da viga obtêm-se por intermédio das seguintesexpressões ( ver Figura 4.11)

0),,()0,0,(),,(

)0,0,()0,0,(),,(

321

321321

3212321321

3

22

311

====

==−===

u

uu

uu θ

(4.55)

em que1

u e2

u são os deslocamentos de um ponto do eixo da viga.

l , u1 l11lu

l , u2

l2

(l ,θ )3l3

θl3

φ3l

l θ3l2

2l

Figura 4.11 – Deslocamentos num elemento de Timoshenko.

4.3.2 - Campo de extensões

Devido à hipótese iii) desenvolvem-se extensões de corte na secção transversal da viga.Assim, o vector das extensões é constituído por duas componentes,




Joaquim Barros 4.27

+=γ

ε=ε

21

1

12

1

21

1

d

du

d

dud

du

. (4.56)

Derivando o campo de deslocamentos e substituindo em ( 4.56) obtém-se

+=

−+−

=

0

01

2

1

13

3

2

1

f

c

a

d

d

d

ud d

ud

ε

ε

ε

θ

θ ε

(4.57)

em que

1

1

d ud

a =ε (4.58a)

é a extensão por deformação axial,

χ ε θ

ε 221

23 −=−=−= f f

d

d (4.58b)

é a extensão por deformação de flexão e

3

2

1θ ε −=

d

ud c (4.58c)

é a extensão por deformação de corte. Na figura 4.12 representa-se a deformação de umelemento de viga deTimoshenko . Constata-se que

1

2

33 d ud −=θ φ (4.59)

é o angulo médio devido à deformação por corte.




Joaquim Barros 4.28

l , u1lu

l , u2l2

(l , θ )3l3

θl3

φ 3l

1 l1

2ldudl1

12l

dldu

Deformação admitida

Deformação real

Figura 4.12 – Deformação por corte.

4.3.3 - Tensões

O vector das tensões é composto por duas componentes,

[ ]T caf σ σ σ = (4.60)

em que

1σ=σaf (4.61a)

é a tensão devida à deformação axial mais a deformação por flexão e

21τ σ =c (4.61b)

é a tensão de corte que actua na secção transversal da viga (plano32 ).

4.3.4 - Lei constitutiva

O vector das tensões ( 4.60) relaciona-se com o vector das extensões (4.57) por intermédio daseguinte lei constitutiva,

εε

=σσ

=σ c

af

c

af

G

E 0

0 (4.62a)




Joaquim Barros 4.29

ou

γε

=τσ

=σ21

1

21

1

00G

E . (4.62b)

Se em (4.62b) a tensão1

σ e a extensão1

ε forem decompostas nas componentes devidas adeformação axial e deformação por flexão obtém-se,

=

==

c

f

a

c

f

a

c

f

a

G

E

E

G

E

E

ε

ε

ε

ε

ε

ε

σ

σ

σ

σ 00

0000

'

(4.63)

pelo que

−=

−=−=

=

3

2

1

1

22

1

θ σ

χ ε σ

σ

d

ud G

E E

d

ud E

c

f f

a

. (4.64)

4.3.5 - Esforços

Os esforços obtêm-se por integração das tensões na secção transversal da viga,

dbd

dbd

V

M

N

b

h

h

c

f

a

b

h

h

∫ ∫

∫ ∫

−

−

−=

−==

22/

2/ 2

22/

2/ 2'

21

1

1

2

3

1

τ

σ σ

τ

σ

σ

σ

. (4.65)

Substituindo (4.63) em (4.65) e tendo em conta (4.58b) obtém-se,




Joaquim Barros 4.30

( )

=

=

−=

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

∫ ∫

−

−

−

−

c

f

a

cb

h

h

f b

h

h

ab

h

h

b

h

h

c

f

Gbh

E hb

E hb

Gdbd

E dbd

E dbd

dbd

G

E

E a

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

σ

*

3

2/

2/ 2

22/

2/22

2/

2/ 2

22/

2/ 2

12

. (4.66)

Assim,

==c

f

a

AG

E I

E A

V

M

N

ε

ε

ε

σ *

2

3

2

3

1

(4.67)

em que( ) Ahb A α == **

2. (4.68)

é a área reduzida de corte eα é um factor correctivo introduzido de forma a que o trabalho por deformação de corte, admitindo tensões e distorções constantes na secção transversal, sejaigual ao trabalho real. Note-se que a distribuição real de tensões e extensões de corte numasecção rectangular não é constante, sendo parabólica para materiais isotrópicos. No anexo A1deduz-se a expressão que determina o factor correctivo de corte. Na Figura 4.13 apresenta-sevalores deα para algumas secções.

C=b/a

α=6/(7+20K )

K=C/(1+C )

2a

α =5/6 α =6/7

l 32b ht

2

2

α =0.69α =0.32

t

l2l3

l 2

Figura 4.13 - Factor correctivo de corte para várias secções transversais.




Joaquim Barros 4.31

Na figura (4.14a) e (4.14b) representam-se as tensões e os esforços que se podem desenvolvernum elemento de viga de Timoshenko.

aσ f σ

= +

f σaσ

l N 1 Ml3

l2

1l3(l )

(l )3

l2

l1

τ l l1 2 l l1 2τ

Distribuiçãoaproximada

Distribuiçãoreal

(l )3

l2

l1 3lM1 Nl Vl2 2lV

Distribuição

aproximada

Distribuição

real

Momento

flector

Esforço

axial

Esforçode corte

Figura 4.14 -Tensões (a) e esforços (b) num elemento de viga de Timoshenko

4.3.6 - Expressão do princípio dos trabalhos virtuais

A expressão do trabalho virtual é igual à estabelecida em (4.13). Substituindo as expressões(4.57) e (4.62) na parcela do trabalho interno de deformação virtual obtém-se,




Joaquim Barros 4.32

[ ]

( )∫∫

∫

∫

++++=

++=

+ +=

=

)(

)(

)(

)(

00

)(int

e

e

e

e

V

cT c f

T f a

T f f

T aa

T a

c

f a

V

T c

T f

T a

V c

f aT

c

f a

V

T e

dV G E E E E

dV G

E E

dV G

E

dV W

ε δε ε δε ε δε ε δε ε δε

ε ε ε

δε δε δε

ε

ε ε

δε

δε δε

σ ε δ δ

. (4.69)

Convertendo o integral de volume em integral de linha, tendo em atenção a relação (4.58b) eresolvendo o integral de área resulta,

( )∫ ++=)(

23 1*)(

inte

L

cT c f

T f a

T a

e d AG I E A E W ε δε ε ε δ ε δε δ . (4.70a)

Substituindo (4.58) na anterior expressão,

( ) ∫

−−++=

)(3

2

23

23

3

3111

1

*

11111int

e L

e d d

ud GA

d

ud

d

d EI

d

d

d

ud EA

d

ud W

θ δθ δ θ δθ δ

δ . (4.70b)

Note-se que em (4.69) são nulas as parcelas seguintes,

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

=

−=

=

−=

−

−

)( )(

13

)( )(

31

0

0

12/

2/ 211

2

1

2/

2/ 2112

e e

e e

V L

h

ha f

V L

h

h f

T

a

d d bd

ud E

d

d dV E

d d bd

d

E d

ud

dV E

δθ ε δε

θ δ

ε δε . (4.71)

Em (4.70) a parcela

∫∫ =)()(

1111

11 ee L

aT a

L

d A E d d

ud EA

d

ud ε δε

δ . (4.72a)

representa o trabalho por deformação axial, a parcela

∫ ∫=)( )(

3

3

3

311

11e e L L

f T

f d I E d d

d EI

d

d ε ε δ

θ δθ . (4.72b)

traduz o trabalho por deformação de flexão e a parcela

∫∫ =

−

−

)(2

)(3

2

23

21

*1

1

*

1 ee L

cT c

L

d AGd d

ud AG

d

ud ε δε θ δθ

δ . (4.72c)

representa o trabalho por deformação de corte.




Joaquim Barros 4.33

4.3.7 - Elemento finito de dois nós.4.3.7.1 - Deslocamentos

Contrariamente ao elemento finito de dois nós utilizado na teoria de Euler-Bernoulli, noelemento finito de dois nós da teoria deTimoshenko os campos de deslocamentos associadosaos três graus de liberdade 1u , 2u e 3θ são independentes e de continuidade C0. Assim,cada grau de liberdade pode ser interpolado com as mesmas funções de forma, pelo que

333

222

111

2121111

2121111

2121111

)()()()()()()()()(

θ θ θ s N s N s

u s N u s N su

u s N u s N su

+=+=+=

. (4.73)

em que )( 11 s N e )( 12 s N são as funções de forma do elemento de dois nós (ver Figura 4.15)definidas em (3.10 ) e

jiu é o deslocamento do nói segundo o eixo j e3iθ é a rotação do

nó i segundo o eixo 3 .

2 l3θθ1 l3

u2 l221 lu

ji

l , u2 2

3(θ , u )3 1l , u1

21

1 l1u

12 lu21

21

N (s ) = 1/2(1-s )1 1 1

1 12 N (s ) = 1/2(1+s )

Figura 4.15 - Elemento de viga de Timoshenko.

Em forma matricial (4.73) fica,

( ) )(

32

22

12

31

21

11

21

21

21

1

000000000000

)(

3

2

1

ee U N

u

u

u

u

N N

N N

N N

su

u

=

=

θ

θ

θ (4.74)




Joaquim Barros 4.34

em que ( )e N é a matriz das funções de forma do elemento.

4.3.7.2 - Matrizes de deformação

A extensão axial definida em (4.58a) pode ser reescrita da forma seguinte (ver (3.30))

1

11

1

1

1

11

2ds

ud

L

ds

ud

d ds

d

ud a

=

==ε

. (4.75)

Tendo em conta (4.74), a extensão axial passa a determinar-se pela seguinte relação,

( )

( ) )(32

22

12

31

21

11

1

2

1

11 002002

eea

a

U B

u

u

uu

dsdN

LdsdN

L s

=

=

θ

θ ε

(4.76)

em que (ver (3.21))

( )

−=

=

001001

0020021

2

1

1

L L

dsdN

LdsdN

L B e

a

(4.77)

é a matriz de deformação axial.

Por sua vez, a curvatura do eixo da viga,

1

11

1

1

3

33

2ds

d

L

ds

d

d ds

d

d f

θ

θ θ ε χ

=

===. (4.78)

Tendo em conta (4.74) resulta




Joaquim Barros 4.35

( )

( ) )(32

22

12

31

21

11

1

2

1

11

200200

ee f

f

U B

u

u

u

u

dsdN

LdsdN

L s

=

=

θ

θ ε

(4.79)

em que

( )

−=

=

L L

dsdN

LdsdN

L B e

f

100100

2002001

2

1

1

(4.80)

é a matriz de deformação por flexão.

Finalmente, a deformação por corte fica,

3

2

3

2

3

2

1

11

1

1

2θ

θ

θ ε

−=

−=

−=

d

ud

L

ds

ud

d ds

d

ud c

. (4.81)

Tendo em conta (4.74) resulta

( )

( ) )(32

22

12

31

21

11

21

21

1

11

20

20

eec

c

U B

u

u

u

u

N dsdN

L N dsdN

L s

=

−−=

θ

θ ε (4.82)

em que




Joaquim Barros 4.36

( )

( ) ( )+−−−−=

−−=

11

21

21

1

1

121101

2110

2020

s L

s L

N dsdN

L N

dsdN

L B e

c

(4.83)

é a matriz de deformação por corte.

4.3.7.3 - Matriz de rigidez

Substituindo (4.76), (4.79) e (4.82) em (4.70a) resulta,

[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )∫ ++=)(

23 1)(*)()(

inte L

eec

T ec

e f

T e f

ea

T ea

T ee d U B AG B B I E B B A E BU W δ δ (4.84)

em que

( )[ ] ( )∫=)(

1)(

e L

ea

T ea

ea d B A E Bk , (4.85a)

( )[ ] ( )∫=)(

3 1)(

e L

e f

T e f

e f d B I E B K , (4.85b)

e

( )[ ] ( )∫=)(

2 1*)(e L

ec

T ecec d B AG Bk (4.85c)

são as matrizes de rigidez relativas à deformação axial, flexão e corte, respectivamente, peloque,

)()()()( ec

e f

ee k k k k a ++= . (4.86)

Efectuando os produtos matriciais nas expressões (4.85) e resolvendo os integrais obtém-se,

−

−

=

000000000000001001000000000000001001

)()(

ee

a L EA

k , (4.87a)




Joaquim Barros 4.37

−

−

=

100100000000

000000100100

000000000000

)()( 3

ee

L

EI k f , (4.87b)

e

−

−−−

−

−

=

320

620

210

210

00000062

032

02

102

10000000

22

22)(*

)( 2

L L L L

L L

L L L L

L L

L

GA

k

e

e

c . (4.87c)

Somando (4.87a) com (4.87b) e com (4.87c) resulta,

+−+−

−−−

−

+−−+

−

−

=

320

620

20

20

000062

032

0

20

20

0000

****

****

****

****

)(

232232

2222

232232

2222

LGA

L

EI GA LGA

L

EI GA

GA

L

GAGA

L

GA L

EA L

EA

LGA

L

EI GA LGA

L

EI GA

GA L

GAGA L

GA

L EA

L EA

k e . (4.88)

Se a matriz ( )e B agregar as submatrizes ( )ea B , ( )e

f B e ( )ec B ,

( ) ( ) ( ) ( )[ ]T ec

e f

ea

e BBBB = (4.89)

e a matriz constitutiva incluir as submatrizes associadas à deformação axial ( EA D a = ), àdeformação de flexão (

3 EI D f = ) e à deformação de corte ( *

2GA Dc = ),




Joaquim Barros 4.38

==*

2

3

000000

000000

GA

EI

EA

D

D

D

D

c

f

a

, (4.90)

então a matriz de rigidez de um elemento pode ser obtida por intermédio da seguinte relação,( )[ ] ( )

( )[ ] ( )∫

∫+

−=

=

1

1 1

1)(

2

)(

ds L

B D B

d B D Bk

eT e

L

eT ee

e . (4.91)

4. 3.8 - Efeito de "Locking"

Os integrandos de todos os termos da matriz de rigidez associada à deformação axial,a K , são polinómios de grau nulo. Por exemplo, a força necessária para aplicar um deslocamentounitário segundo o primeiro grau de liberdade da barra, quando os restantes são nulos,obtém-se de,

∫∫

+

−

+

−

=

=

1

1 1

1

1 1

2

21111

ds L

EA

ds L

B A E Bk aaa

(4.92)

em que o valor de1a B foi retirado de (4.77). O mesmo acontece com a matriz de rigidez

associada a deformação de flexão, dado que, por exemplo,

∫

∫+

−

+

−

=

=

1

1 1

1

1 1

2

23

33333

ds L

EI

ds L

B I E Bk f f f

. (4.93)

Contudo, no cálculo da matriz de rigidez associada a deformação de corte,c

k , surgemcoeficientes cujos integrandos são polinómios de segundo grau. É exemplo disto o coeficiente

33ck ,

∫

∫+

−

+

−

−=

=

1

1 12

1

*

1

1 1*

)1(41

2

2

2

32333

ds s AG L

ds L

B AG Bk ccc

. (4.94)

Assim, a aplicação da integração Numérica de Gauss-Legendre no cálculo de( )ek requer 1 ponto de Gauss (PG) para determinar( )e

ak e ( )e f k e 2 PG para calcular ( )e

ck (ver Quadro 3.1).




Joaquim Barros 4.39

Para se avaliar o efeito da integração numérica no comportamento em termos de rigidezapresentada por um elemento de viga de Timoshenko vai-se estudar a consola representada naFigura 4.16. Esta consola é discretizada com um único elemento de dois nós. Neste estudovai-se desprezar os termos associados a deformação axial, dado não existir deformação axial para o carregamento actuante.

S

S

h

1

S-S

(1)

31

l1

L

E, A

l2

3(l )F

u21 l

θ1 l3

u22 l

2 lθ3

Figura 4.16 - Consola discretizada com um elemento de viga de Timoshenko.

Desprezando-se a matriz de rigidez afecta à deformação axial, as equações de equilíbrio doelemento são

( ) ( )

[ ])1()1(11 QU k k

c f = . (4.95)

Utilizando 1 PG e 2 PG para calcular)1( f k e )1(

ck , respectivamente, (4.95) fica,

−=

+−+−

−−−

+−−+

−

03262

22

6232

22

2

1

2

2

1

1

****

****

****

****

3

2

3

2

232232

2222

232232

2222

F

R

R

u

u

LGA

L

EI GA LGA

L

EI GA

GA

L

GAGA

L

GA

LGA

L

EI GA LGA

L

EI GA

GA

L

GAGA

L

GA

θ

θ (4.96)

em que R1 e R2 são a força de reacção segundo2 e o momento de reacção segundo3 , no nó1. Como 0

32 11 =θ= u , resulta

−=θ

+−

−

032

23

2

232

22

2

2**

**

F u

LGA

L

EI GA

GA

L

GA

(4.97)




Joaquim Barros 4.40

pelo que

Q F

F

EI L

EI L

EI L

EI L

GA L

u

=

−+

+=

0

3

133

332

3

22

23

*

2

2

γ

γ

θ (4.98)

em que F é a matriz de flexibilidade. Da resolução de (4.98) obtém-se

( ) F EI L

GA L

u −

+

+γγ=

32

2 31

3

*2 (4.99)

em que

2

2 33λ

=

=γ

Lh (4.100)

sendo

h L=λ (4.101)

o parâmetro denominado de esbelteza da viga. No caso de viga de secção rectangular121 3

3h I ×= e ( )h A ×= 165*

2.

Se a consola fosse discretizada com um elemento de viga de Euler-Bernoulli a matriz deflexibilidade da estrutura seria,

=

33

33

2

232

23

EI

L

EI

L EI L

EI L

F (4.102)

em que não se considera a efeito do esforço transverso.

Utilizando a convencional teoria das estruturas, baseada na teoria de Euler-Bernoulli, econsiderando a deformação por corte, a matriz de flexibilidade da estrutura apresenta aconfiguração seguinte,




Joaquim Barros 4.41

+=

33

332

2

232

23

*

EI L

EI L

EI L

EI L

GA L

F . (4.103)

Assim, o deslocamento22u obtido em (4.102) e em (4.103) é

( ) F EI L

u EBsc

exacto3

2 3

3

2 −= (4.104)

no caso de se utilizar a formulação de Euler-Bernoulli sem inclusão da influência do corte, e

( ) F EI L

GA L

u EBcc

exacto

+−= 32

2 3

3

*2 (4.105)

no caso em que a deformação por corte foi tida em conta.

Efectuando o cociente entre (4.99) e (4.104) obtém-se,

( )

( )( )34

3433

31

22

2

3

3

*

2

2

3

32

2

2

++=

+

+==

λ λ λ

γ γ

ϕ

EI

L

EI L

GA L

u

u

exacto

E

. (4.106)

O valor deϕ deveria tender para a unidade com o aumento deλ (esbelteza da viga), dado quecom o aumento deλ a influência de deformação de corte diminui, pelo que

22u dever-se-ia

aproximar de( ) EBsc

exactou

22 . Contudo, tal não acontece, como se pode constatar na Figura 4.18.Verifica-se que para vigas muito esbeltas, isto é, quandoλ tende para infinito,ϕ tende parazero, dado que a solução obtida com o MEF, utilizando a integração exacta no cálculo damatriz de rigidez tende para o valor nulo. Isto significa que o elemento de viga deTimoshenko de dois nós é incapaz de reproduzir, no limite (vigas muito esbeltas), a soluçãoque se obtém com a convencional teoria das estruturas (teoria de Euler-Bernoulli semdeformação por corte). À medida que a esbelteza aumenta ocorre um fenómeno desobrerigidez numérica que vai aumentando comλ, até tornar a estrutura infinitamente rígida.

Assim, verifica-se que o elemento de viga de Timoshenko, com integração completa (ouexacta) permite obter resultados aceitáveis apenas para valores reduzidas deλ.

Um dos procedimentos para resolver este problema consiste em diminuir a influência da

rigidez de corte, por intermédio de uma subintegração dos termos de)(ec K , utilizando um




Joaquim Barros 4.42

número de pontos de integração inferior ao necessário para o seu cálculo exacto. Aosubintegrar-se determinada matriz de rigidez está-se a aumentar a flexibilidade do elemento.

Figura 4.18 – Influência do nº de PG utilizados na integração da matriz de rigidiz de uma viga discretizada comum elemento de Timoshenko.

Assim, ao subintegrarem-se os termos de )(eck está-se a compensar a excessiva rigidez

introduzida em )(eck pelos termos de corte.

Integrando )(eck com um ponto de Gauss obtém-se,

( )e

e

ec

L L L L

L L

L L L L

L L

L

GAk

−

−−−

−

−

=

4242

21

21

4242

21

21

22

22)(*

)( 2 . (4.107)

Utilizando (4.107) em vez de (4.87c) no anterior exemplo, as relações (4.97) e (4.98) passama apresentar a seguinte forma,




Joaquim Barros 4.43

−=θ

+−

−

042

23

2

232

22

2

2**

**

F u LGA

L

EI GA

GA

L

GA

(4.108a)

ou

)()()( eee QU k = (4.108b)

e

−

+

=0

2

24

33

332

3

2

2

23

*

2

2 F

EI L

EI L

EI L

EI L

GA L

u

θ (4.109a)

ou

)()()( eee Q F U = . (4.109b)

Verifique-se que F coincide agora com a expressão (4.103), excepto no coeficiente F 11.Calculando

22u por intermédio de (4.109) obtém-se,

( ) F EI L

GA L

F F u

+−=−=

32

2 4

3

*112 . (4.110)

A relação entre este valor e o exacto, obtido com um elemento de Euler-Bernoulli (semdeformação por corte) fica,

( ) 2

2

2

2

433

2

2

λ λ

ϕ +== EBsc

exactou

u. (4.111)

que se representa na Figura 4.18. Verifica-se queϕ tende para 0.75 quandoλ tende parainfinito, pelo que a sobrerigidez devida ao corte desapareceu com a subintegração de)(e

ck .

A excessiva rigidez introduzida pela integração exacta dos termos da rigidez de cortedenomina-se na nomenclatura Inglesa de "Locking".

Por sua vez, ao integrar-se exactamente os termos de)(eak e )(e

f k e subintegrar-se os termos de)(e

ck , está-se a aplicar a denominada integração selectiva, dado que é completa nos termos de)(e

ak e )(e f k e reduzida nos termos de )(e

ck .




Joaquim Barros 4.44

Da análise da Figura 4.18 e da expressão (4.111) verifica-se que, com um elemento adiscretizar a consola, o resultado obtido não é exacto. Contudo, se a consola for discretizadacom mais elementos a solução converge rapidamente para a exacta, conforme se podeconstatar no Quadro 4.1.

Quadro 4.1 - Evolução do erro com a discretização da consola

Valores deλ= /h→∝ Número deelementos 1 2 4 8 16

( ) EBsc

exacto

E u

u

2

2

2

2=ϕ 0.750 0.938 0.984 0.996 0.996

4.3.9 – Exercícios resolvidos

Exercício nº 1

Discretizando a consola representada na Figura er_4.3 em um elemento finito de três nós deTimoshenko:a) Calcule a matriz de rigidez desse elemento utilizando a integração selectiva; b) Considerando os resultados obtidos com a integração selectiva, determine osdeslocamentos e os esforços para a acção aplicada na consola. c) Traçar um gráfico que relacione a flecha na consola com o parâmetroϕ em que,

( ) EBscexactou

u

)(2

2

3

3=ϕ

sendo( )

3

2 3)(

3

3 EI FL

u EBscexacto −=

Dados: L=10 m; E= 30 GPa; F=100 kN; A= 1×1 m2

2 3 F

1 3

, I E L

Figura er_4.3 – Consola sujeita a uma força concentrada F na sua extremidade livre.

Resolução:




Joaquim Barros 4.45

a) Cálculo da matriz de rigidez de um elemento de três nós utilizando a integração selectiva

• Graus de liberdade do elemento de Timoshenko de três nós:

2

21u 31θ

22u 32θ

23u 33θ

11u 12u

13u 1

Campo de deslocamentos:

3333

2222

1111

3132121111

3132121111

3132121111

)()()()(

)()()()(

)()()()(

θ θ θ θ s N s N s N s

u s N u s N u s N su

u s N u s N u s N su

++=

++=

++=

Sob a forma matricial:

=

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

3

3

2

2

2

1

1

1

321

321

321

1

000000

000000

000000

)(

θ

θ

θ

θ

u

u

u

u

u

u

N N N

N N N

N N N

su

u

Matriz de rigidez correspondente a deformação axial:

= 0020020021

3

1

2

1

1dsdN

LdsdN

LdsdN

L B a




Joaquim Barros 4.46

+−−= 00)21(200)2(200)

21(2

111 s L

s L

s L

B a

1

1

11

)(

2)(ds

L B EA Bd B EA B K a

T aa

L

T a

ea

E ∫∫ −==

Calculando os termos não nulos:

L EA

ds s L

EALds

L B EA B K a

T aa 3

7)21(4

22 12

1

1

121

1

1111,1

=−== ∫∫−−

L EA

ds s L

s L

EALds

L B EA B K a

T aa 3

8)2(2)21(2

22 111

1

11

1

1414,1

−=−−== ∫∫−−

L EA

ds s L

s L

EALds

L B EA B K a

T aa 3

1)21(2)

21(2

22 111

1

11

1

1717,1

=+−== ∫∫−−

L EA

s L

EALds

L B EA B K a

T aa 3

164422

21

1

121

1

1444,4

=== ∫∫−−

L EA

ds s L

s L

EALds

L B EA B K a

T aa 3

8)21(2)2(2

22 111

1

11

1

1747,4

−=+−== ∫∫−−

L EA

ds s s L EA

ds L

B EA B K aT aa 3

7)21)(

21(2

2 111

1

11

1

1777,7

=++== ∫∫−−

Então:

−

−−

−

=

000000000

000000000

007008001

000000000

000000000

0080016008000000000

000000000

001008007

3 L EA

K a

Matriz de rigidez correspondente a deformação flexão:




Joaquim Barros 4.47

=1

3

1

2

1

1 200200200dsdN

LdsdN

LdsdN

L B f

+−−= )21(200)2(200)

21(200 111 s

L s

L s

L B f

1

1

11

)(

233)(

ds L

B EI Bd B EI B K f T f f

L

T f

e f

e

∫∫−

==

Efectuando procedimento similar ao anterior obtém-se a matriz de rigidez relativa à flexão:

−

−−

−

=

700800100

000000000

000000000

8001600800

000000000

000000000100800700

000000000

000000000

33)(

L

EI K e

f

Matriz de rigidez correspondente a deformação corte:

−−−= 31

32

1

21

1

1 202020 N dsdN

L N

dsdN

L N

dsdN

L B c

+−+−−−−−−= )1(21)

21(20)1()2(20)1(

21)

21(20 111

211111 s s s

L s s

L s s s

L B c

1

1

1

*

1

*)(

22)( 2ds

L BGA Bd BGA B K

c

T

cc L

T

c

e

c e ∫∫ −

==

Elementos não nulos resultantes do produto cT c B B :




Joaquim Barros 4.48

9,9

9,88,89,68,66,6

9,58,56,55,5

9,38,36,35,33,3

9,28,26,25,23,22,2

L

GAds s

L s

L

LGAds

L BGA B K c

T cc

*

111

1

1

*

1*

1

1

22

2222,2 37)

21(2)

21(2

22 =−−== ∫∫

−−

Seguindo o mesmo raciocínio obtém-se:

6;

3;

32;

38;

2

***

**2

9,2

2

8,226,2

2

5,2

2

3,2

GA K

L

GA K GA K

L

GA K

GA K ccccc −===−==

**

***29,3

2

8,326,325,323,3 301;

6;

151;

32;

152

GA K GA

K LGA K GA K LGA K ccccc −===−==

***

29,5

2

8,56,5

2

5,5 32;

38;0;

316

GA K L

GA K K

L

GA K cccc =−===

*** 29,628,626,6 15;32;158 GA L K GA K LGA K ccc =−==

2;

37 **

2

9,8

2

8,8

GA K

L

GA K cc −==

*29,9 15

2GA K c =

Somando as submatrizes de rigidez associadas a deformação axial, de flexão e corte, obtém-sea matriz de rigidez de um elemento de três nós de Timoshenko:




Joaquim Barros 4.49

+

−

+−−+

−

−

−+−−+

−−

−

*

**

***

***

*****

**

****

2

3

2

2

2

3

22

3

2

22

2

3

22

3

22

3

2

2

2

222

152

37

21

37

37

151

38

32

158

316

32

380

316

38

316

301

31

61

151

38

32

152

37

61

31

32

38

21

37

31

38

37

GA L

EI

GA L

GA L

EA

LGA L

EI GA LGA

L

EI

GA L

GA

L

GA L

EA L

EA

GA L

EI GA LGA

L

EI GA LGA

L

EI

GA L

GAGA

L

GA

L

GA

L

GA L

EA L

EA L

EA

b) Cálculo dos deslocamentos:

)()()()( ec

e f

ea

E K K K K ++=

)()()( E E E QU K =

−=

+−+−

−−−

+−−+

−

0

00

152

37

21

1538

32

21

37

32

38

1538321583160

32

380

316

3

2

3

2

2

3

22

3

2

2

2

2

2

23

223

2

22

3

3

2

2

****

**

**

***

***

F u

u

GA L

EI GAGA

L L

EI GA

GA L

GAGA

L

GA

GA L L

EI GAGA L L

EI

GA L

GA

L

GA

θ

θ

Cálculo das características mecânicas da estrutura:

4

2*

2

08333.0

15)1(2

8333.065

111

3m I

GPa E

G

m A A

m A

=

=+

=

==

=×=

ν

Resolvendo o sistema de equações de equilíbrio obtém-se:




Joaquim Barros 4.50

−=

−=

−=

−=

m

mu

m

mu

0020.0

0104.0

0011.0

0027.0

3

2

3

2

3

3

2

2

θ

θ

b) Traçar um gráfico que relacione a flecha com o parâmetroϕ :

m EI FL

u exacto E 00111.0

3)(

32

3)(

2 −=−=

Calculo do parâmetroϕ :

4545.20011.00027.0

)( )(2

2

2

2 =−−==

exacto E u

uϕ (com L=10 m)

364.00011.00004.0

)( )(2

2

2

2 =−−==

exacto E u

uϕ (com L=5 m)

0

10

20

30

40

5 10 15 20 25

L/h

F I




Joaquim Barros 4.51

Exercício nº 2

Discretize o pórtico plano representado na Figura 4.24 por dois elementos de Timoshenko dedois nós. Utilizando a integração selectiva no cálculo da matriz de rigidez dos elementos da

estrutura e a integração exacta no cálculo dos esforços, determine:

a) A matriz de rigidez da estrutura; b) O vector solicitação da estrutura;c) Os deslocamentos e reacções;d) Os esforços.

Dados:

• EC = 30 GPa

• ν = 0.0• Km = 500000 KN/m

100kN/m200kN

km

45º0.6m

0.3m

0.005m

4m 6m

3m

Figura 4.24 – Pórtico plano (teoria de Timoshenko).

Resolução:

a) Cálculo da matriz de rigidez da estrutura• Cálculo das características mecânicas da estrutura:

A = 0.3×0.6 = 0.18 m2 I = 0054.012

6.03.0 3 =× m4 G = 6

)1(2 1015 ×=+ν E KPa

A* = 15.065 = A m2 (área reduzida de corte)

Deslocamentos na estrutura em cada nó:Matriz de rigidez para cada elemento incluindo a rigidez por deformação axial, flexão e corte:




Joaquim Barros 4.52

(2)

g 2

3(g )

(1)

1

2

1g

3

3θ1 g

11 gu21 gu

1u2 g

32 gθ22 gu

3 g

3 g3 g

3θ

1uu 2

Cálculo da matriz de transformação, g T :

2

1

31 g 1 g

u1 g

uu1

(1)

(g )3

2 l

1 l 3 l

36.87º

Então:

−

=

3

2

1

3

2

1

100

0cossen

0sencos

α α

α α

g

g

g

−

−

=−

−

=

100000

08.06.0000

06.08.0000

000100

00008.06.0

00006.08.0

100000

0cossen000

0sencos000

000100

0000cossen

0000sencos

α α

α α

α α

α α

g T

Rigidez da mola no referencial global:




Joaquim Barros 4.53

[ ]T m g m

m g

g m T K T K =

em que

−=

β β

β β

cossen

sencosm g T

−

−==

5.05.0

5.05.0

sensencos

sencoscos2

2

mm g m K K K

β β β

β β β ( β = - 45º )

Cálculo da matriz de rigidez do elemento 1, 2 e da mola:

[ ]T g g g T K T K ××= )1()1(

)2()2( K K g = (α=0º)

−−

−−−−

−−

−−

−−

−−−−

=

28449009000006750002780100900000675000

900000676800302400900000676800302400

675000302400853200675000302400853200

27801009000006750002844900900000675000

900000676800302400900000676800302400

675000302400853200675000302400853200

)1( g K




Joaquim Barros 4.54

−

−−−

−

−

−

−

=

340200011250000334800011250000

1125000375000011250003750000

0090000000900000

334800011250000340200011250000

1125000375000011250003750000

0090000000900000

)2( g K

−

−=

250000250000

250000250000m K

Efectuando o espalhamento das matrizes de rigidez dos elementos na matriz de rigidez daestrutura obtém-se:

−

−−−−

−−

−−

−−−−

−−−

−−

−−

−−−−

=

340200011250000334800011250000000

112500062500025000011250003750000000

0250000115000000900000000

33480001125000062469002250006750002780100900000675000

112500037500002250001051800302400900000676800302400

009000006750003024001753200675000302400853200

00027801009000006750002844900900000675000

000900000676800302400900000676800302400

000675000302400853200675000302400853200

)( g g K

b) Cálculo do vector solicitação:

2

6m

l

l3

1l100kN/m

• M= 122 pl e R= 2

pl




Joaquim Barros 4.55

−

−

−=

300

300

0

300

300

200

0

0

0

)( E g Q

(mal calculado ??????)

c) Cálculo dos deslocamentos e reacções:

RQu K E E E

+=×)()()(

−

−

−=

−

−

−−−−

−−

−−

−−−−

−−−

−−

−−

−−−−

300

300

0

300

300

200

0

005.0

0

340200011250000334800011250000000

112500062500025000011250003750000000

0250000115000000900000000

33480001125000062469002250006750002780100900000675000

112500037500002250001051800302400900000676800302400

009000006750003024001753200675000302400853200

00027801009000006750002844900900000675000

000900000676800302400900000676800302400

000675000302400853200675000302400853200

3

2

1

3

3

3

2

2

2

3

2

1

3

2

1

R

R

R

u

u

u

u

u

u

Para simplificar o calculo:

)()()()( E f

E f

E E u K Qu K ×−=×

Resolvendo este sistema de equações de equilíbrio obtém-se:




Joaquim Barros 4.56

=

=

=

−=

−=

=

=

=

=

rad u

mu

mu

rad u

mu

mu

m KN R

KN R

KN R

01047012.0

00470304.0

006034101.0

00428163.0

013949.0

0064038.0

.3.473

7.266

55.132

3

2

1

3

2

1

3

3

3

2

2

2

3

2

1

d) Cálculo dos esforços

Para um elemento de dois nós só existe 1 ponto de Gauss (s1 = 0):

• Momento flector:

m KN u L

EI u L

EI M

udsdN EI EI M

m KN u L

EI u L

EI M

udsdN

EI EI M

d e

f

s

L f

d e

f

s

L f

.3.39801047012.027000)00428163.0(27000)21)(2()

21)(2(

)(

.7.138)00428163.0(32400032400)21)(2()

21)(2(

)(

)2(

0112)2(

)1(

01

12)1(

1

1

=×+−×−=+−=

⇔==

−=−×+×−=+−=

⇔==

=

=

ε

ε

• Esforço axial:




Joaquim Barros 4.57

KN u L

EAu L

EA N

udsdN

EA EA N

KN u

L

EAu

L

EA N

udsdN

EA EA N

d e

f

s La

d e

f

s La

7.332006034101.09000000064038.0900000)21)(2()

21)(2(

)(

2.263)00324376.0(1080000)003.0(1080000)

2

1)(2()

2

1)(2(

)(

)2(

01

12)2(

)1(

01

12)1(

1

1

−=×+×−=+−=

⇔==

−=−×+−×−=+−=

⇔==

=

=

ε

ε

4.3.10 – Exercícios para resolver

1- A altura da viga biencastrada representada na Figura 1 varia de forma parabólica de 2metros em x1=0 até 1 metro em x1=10 metros. Na viga actua uma carga distribuída parabolicamente, cujos valores se representam na figura 2. Discretizando a estrutura em doiselementos de 3 nós e utilizando a teoria de Tismoshenko determine:a) a matriz de rigidez de um elemento aplicando a integração reduzida de Gauss-Legendre; b) o vector das forças nodais equivalentes à acção que actua no elemento;

Dados: largura da viga=0.5 m; módulo de elasticidade do material=30 GPa.

0.5m

100 kN100 kN

200 kN

10m 10m

1.0m

1 x

2 x

Figura 1

2 – Admita que as barras 2 e 3 do pórtico plano representado na Figura 2 são discretizadas por umelemento finito de 3 nós e a barra 1 é discretizada por um elemento finito de 3 nós de barra biarticulada. Utilizando a formulação de Timoshenko e adoptando a integração reduzida:a) calcule a submatriz de rigidez relativa ao nó C; b) calcule as forças nodais no nó C, no referencial global, equivalentes às acções que actuam na

estrutura;c) calcule os esforços de flexão nos pontos de Gauss do elemento que discretiza a barra 2, admitindo

que os deslocamentos do nó B, C e E , no referencial global, são os seguintes:

Nó B: mu x 0.01

= ; meu x 046919.22

−−= ; .041632.23

rad e x −−=θ Nó E meu x 049258.1

1−= ; meu x 0623.6

2−−= ; .044807.2

3rad e x −=θ

Nó C meu x 057424.51

−= ; meu x 048049.12

−−= ; .047355.63

rad e x −−=θ




Joaquim Barros 4.58

d) com base nos momentos flectores obtidos nos pontos de Gauss, determinados na alínea anterior,calcule os momentos no nó B. Comente os resultados obtidos.Dados: barras 2 e 3: b=1.0 m, h=0.3 m; E=30 GPa, 0.0=υ

Barra 1: área=0.1 m2, E=200GPa, 0.0=υ

4.00m 3.00m

3.00m

3.00m

30kN/m

30kN/m

A

C D

B

1

3

2

1 x

( )3 x

2 x

E

Figura 2

3 – O eixo da estrutura representada na Figura 1 é descrito pela equação

( ) 12

12 1005

x x x +−=

e a espessura da estrutura determina-se segundo a equação

( ) 5.110025

10025.1

12

1 +−= x xh .

Discretizando a estrutura com um elemento de 3 nós e utilizando a formulação deTimoshenko, calcule o deslocamento vertical do nó 3 devido à actuação do peso próprio daestrutura. Despreze a deformabilidade axial da estrutura e utilize a integração reduzida no

cálculo da matriz de rigidez do elemento.

Dados:Peso específico do material constituinte da estrutura=25 kN/m3;Largura da estrutura = 1.0 m;Módulo de elasticidade longitudinal do material constituinte da estrutura = 30 GPa;

Coeficiente de Poisson=0.0.

5.00 m

0.25m

5.00 m

x1

2x

1.50 m

3

2

1

5.00 m




Joaquim Barros 4.59

Figura 3

1 – O pórtico plano representado na Figura 1 foi discretizado em 3 elementos de 3 nós. Utilizando aformulação de Timoshenko e a integração reduzida obtiveram-se os deslocamentos nos nós daestrutura apresentados no Quadro 1.a) Calcule o esforço axial num ponto de Gauss do elemento que discretiza a barra 1; b) Calcule o momento flector num ponto de Gauss do elemento que discretiza a barra 2;c) Calcule o esforço de corte num ponto de Gauss do elemento que discretiza a barra 3;d) Com base nos esforços indicados no Quadro 2, extrapole os momentos flectores para o nó 2 e os

esforços de corte para o nó 7.

Dados:Módulo de elasticidade longitudinal do material constituinte da estrutura = 30 GPa;Coeficiente de Poisson=0.0;Largura das barras = 0.7 m;A variação da altura das barras é a representada na Figura 2.

100 kN/m

1

2

3

4 5 6 7

3

1

2

5.00m

8.00 m5.00 m

Variação da altura da secção dos elementos finitos

- Elementos e1 2

h = 0.50 m h = 0.75 m h = 1.00 m

i i+1 i+2

3- Elemento

h = 0.50 m

i+2

h = 0.75 mh = 1.00 m

i+1i

b = 0.70 mE = 30 GPa

Figura 1

Quadro 1*** Nodal displacements:

(global coordinate system)

Point number (ipoin)X1 displacement (delta-x1)X2 displacement (delta-x2)Theta-x3 rotation (delta-tx3)

ipoin delta-x1 delta-x2 delta-tx31 0.00000000 0.00000000 0.001499952 0.00081408 0.00000000 0.000593383 -0.00200657 0.00121595 -0.000288154 0.00081408 0.00066868 -0.000302535 0.00081408 -0.00216944 -0.002258086 0.00047488 -0.02106080 -0.005556927 0.00000000 -0.03526722 0.00000000

(unidades: deslocamentos em metros e rotações em radianos)




Joaquim Barros 4.60

Quadro 2*** Resultant stresses in the Gauss points:

(local coordinate system)(same sign convention for any Gauss point)

Element number (ielem)Gauss point number for axial forces (igsta)Gauss point number for bending moments (igstb)Gauss point number for shear forces (igsts)Gauss point global coordinates for axial forces (gpcot_a)Gauss point global coordinates for bending moments (gpcot_b)Gauss point global coordinates for shear forces (gpcot_s)L1 axial force (Nl1)L2 shear force (Nl2)L3 bending moment (Ml3)

ielem igsta Nl1 gpcot_aigsts Nl2 gpcot_sigstb Ml3 gpcot_b

1 1 -2055.62134239 1.05662433 1.056624331 2 -2055.62134239 3.94337567 3.943375671 1 127.02127549 1.05662433 1.056624331 2 127.02127549 3.94337567 3.943375671 1 189.80693341 1.05662433 1.056624331 2 708.36911911 3.94337567 3.94337567

2 1 0.00000000 1.05662433 5.000000002 2 0.00000000 3.94337567 5.000000002 1 169.38861820 1.05662433 5.000000002 2 458.06375280 3.94337567 5.000000002 1 123.15738629 1.05662433 5.00000000

2 2 1028.80687455 3.94337567 5.000000003 1 -1543.36139601 6.69059892 5.000000003 2 -1543.36139601 11.30940108 5.000000003 1 -630.94010768 6.69059892 5.000000003 2 -169.05989232 11.30940108 5.000000003 1 1257.23407740 6.69059892 5.000000003 2 -590.28678401 11.30940108 5.00000000

(unidades: kN, kN.m, m)

1 – A estrutura representada na Figura 1 está descretizada em 4 elementos de 3 nós de Timoshenko.a) Desprezando a deformabilidade axial das barras e utilizando a integração reduzida, calcule os

coeficientes de rigidez relativos ao nó B. b) Calcule as forças nodais equivalentes no nó B.




Joaquim Barros 4.61

c) Considerando dois pontos de Gauss por elemento, calcule os esforços de flexão e de corte noelemento nº 1, sabendo que os deslocamentos dos nós deste elemento, no referencial global, são osseguintes :

Nó deslocamento segundo x1 deslocamento segundo x2 rotação segundo x31 0.00000000 0.00000000 -0.00084618

2 -0.00000000 -0.00091344 -0.000563193 -0.00000000 -0.00127759 0.00003270

d) Com base nos esforços do elemento nº 1 , determine o momento no nó A. Se os resultados não lhe parecem aceitáveis, explique como procederia para melhorar os resultados obtidos.

Dados: b=0.3 m, h=0.7 m; E=30 GPa, 0.0=υ Mola: mkN k m /000500=

100 kN

3.00m

5.00 m 4.00 m

km = 500 000kN/m

x31

x

2x

1 2 3 4 5

6

7

8

9

50 kN/m

1 2

3

4

A B

C

Figura 1

1 – Discretizando a consola representada na Figura 1 em dois elementos de 3 nós deTismoshenko, de igual comprimento, calcule:

a) A matriz de rigidez da estrutura; b) O vector das forças nodais equivalentes, admitindo que a barra está submetida ao seu peso próprio, a forças distribuídas por unidade de comprimento de valor igual a 50kN/m e a uma força concentrada de 100 kN aplicada na extremidade livre da consola;

c) O deslocamento vertical da extremidade livre da consola;d) As reacções;e) O momento flector e o esforço transverso no ponto de Gauss mais próximo da secção

de encastramento. Admita que os deslocamentos dos nós 2 e 3, no referencial global,são os seguintes:

Nó Deslocamento segundo x2 (m) Rotação segundo x3 (rad.)2 -0.00820588 -0.00735665

3 -0.04257247 -0.02090955




Joaquim Barros 4.62

f) Determine os momentos flectores nos pontos nodais do elemento nº 2,. sabendo que osesforços nos pontos de Gauss deste elementos são os apresentados no Quadroseguinte. Comente os resultados obtidos.

Element number (ielem)Gauss point number for axial stresses (igstm)Gauss point number for bending stresses (igstb)Gauss point number for shear stresses (igsts)Gauss point global coordinates (gpcot_m)Gauss point global coordinates (gpcot_b)Gauss point global coordinates (gpcot_s)X axial force (Nx)XY shear force (Nxy)Y bending moment (My)

ielem igstm Nx gpcot_m

igsts Nxy gpcot_s

igstb My gpcot_b

2 1 0.00000000 6.05662433 0.000000002 2 0.00000000 8.94337567 0.000000002 1 -328.74848110 6.05662433 0.000000002 2 -159.58485223 8.94337567 0.000000002 1 840.75756015 6.05662433 0.00000000

2 2 135.90910652 8.94337567 0.00000000 NOTA: No cálculo da matriz de rigidez, do vector das forças nodais equivalentes e dos esforços utilize aintegração reduzida.Dados:Peso específico do material constituinte da estrutura=25 kN/m3;Largura da estrutura = 0.4 m;Módulo de elasticidade longitudinal do material constituinte da estrutura = 30 GPa;

Coeficiente de Poisson=0.0.

0.40m x 1

2x

1

10.0m

1.2m

50.0 kN/m

100 kN

12

2 3 4 5h

2.116.0008.0 121 +−= x xh

Figura 1




Joaquim Barros 4.63

1 - O elemento de quatro nós representado na Figura 1 pertence a um pórtico plano. Utilizando a teoria deTimoshenko e a formulação isoparamétrica doselementos finitos:a) determine a matriz de deformação, B , deste

elemento, em coordenadas normalizadas, s1. b) calcule os valores da matriz de deformação relativaao corte, B c , em s1 0= .

== =

4321

s1-1 +1 x1 8.07.57.0 (m)8.5

Figura 1 - Elemento finito de quatro

nós.

2 - Na folha em anexo apresenta-se um ficheiro de dados do programa de cálculo automático femixnd .a) Desenhe a estrutura e as condições de ligação da estrutura ao exterior. b) Represente as acções que actuam na estrutura.c) Calcule o coeficiente de rigidez( ) K E

8 8, da matriz de rigidez da estrutura.d) Admitindo que os deslocamentos dos nós da estrutura em análise, no referencial global, sãoos seguintes (obtidos por intermédio do femixnd ):*** Nodal displacements:

(global coordinate system)

Point number (ipoin)X displacement (delta-x)Y displacement (delta-y)Theta-Y rotation (delta-ty)

ipoin delta-x delta-y delta-ty1 0.00000000 0.00000000 0.000645872 0.00112211 0.00115465 0.000175383 -0.00038725 -0.00119933 -0.002902754 -0.00019362 -0.01095866 -0.003951385 0.00000000 -0.01698954 0.00000000

determine os momentos flectores nos pontos de Gauss do elemento nº 2.

3 - Na Figura 2 representa-se um edifício habitacional de três andares situado em Guimarães enum terreno tipo II.Utilizando o método de Rayleigh, determine as forças máximas ao nível de cada andardevidas às acções sísmicas regulamentares segundo a direcção x1 (no cálculo dosdeslocamentos considere as vigas de rigidez infinita).

x1(m)

6.0

(0.45x0.45)(0.45x0.45)

(0.4x0.4) (0.4x0.4)

(0.5x0.5)(0.5x0.5)

6.0

6.0

3.0

3.0

4.0

6.06.0 6.0

(0.45x0.45)

(0.4x0.4)

(0.5x0.5)




Joaquim Barros 4.64

Dados:- módulo de elasticidade longitudinal do betão = 30 GPa; coeficiente deamortecimento=5%- vigas de secção 0.3x0.7 m2;- peso próprio das lajes, com 0.3 m de espessura = 3 kN/m2;

- peso de revestimentos e paredes de alvenaria = 2.5 kN/m2;### Main title of the problem

### Elementos de tres nos### (kN,m)Teste Comp. Est. - Fevereiro 1998 ;

### Main parameters2 ; # nelem (n. of elements in the mesh)5 ; # npoin (n. of points in the mesh)2 ; # nvfix (n. of points with fixed degrees of freedom)1 ; # ncase (n. of load cases)1 ; # nmats (n. of sets of material properties) (only in linear regime)1 ; # nspen (n. of sets of element nodal properties) (only in linear regime)

10 ; # ntype (problem type)1 ; # ntyan (type of analysis)3 ; # nnode (n. of nodes per element)2 ; # ngaum (n. of Gauss points for axial rigidity)2 ; # ngaub (n. of Gauss points for bending rigidity)

2 ; # ngaus (n. of Gauss points for shear rigidity)2 ; # ngstm (n. of Gauss points for axial forces)2 ; # ngstb (n. of Gauss points for bending moments)2 ; # ngsts (n. of Gauss points for shear forces)2 ; # ndime (n. of geometric dimensions)3 ; # ndofn (n. of degrees of freedom per node)4 ; # nprop (n. of material properties used in the formulation)2 ; # npren (n. of element nodal properties used in the formulation)0 ; # npscs (n. of points with specified coordinate system)0 ; # nsscs (n. of sets of specified coordinate system)0 ; # npspr (n. of springs)0 ; # nsspv (n. of sets of spring vectors)

### Material properties index, element nodal properties index and### list of the nodes of each element# ielem matno ielnp lnods ...

1 1 1 1 2 3 ;2 1 1 3 4 5 ;

### Coordinates of the points# ipoin coord-g1 coord-g21 0.00000000 3.00000000 ;2 2.00000000 1.50000000 ;3 4.00000000 0.00000000 ;4 6.50000000 0.00000000 ;5 9.00000000 0.00000000 ;

### Points with fixed degrees of freedom and fixity codes (1-fixed;0-free)# ivfix nofix ifpre

1 1 1 1 0 ;2 5 1 0 1 ;

### Points wiyh specified coordinate system (index, point number and type### of coordinate system)# ipscs npspe itycs

### Specified coordinate system# isscs

### Transformation matrix from specified to global coordinate system (coscs)### (Each row of coscs includes the components of a specified### coordinate system vector in the global coordinate system)# ivect coscs...

# isscs

### Transformation matrix from specified to global coordinate system (coscs)### (Each row of coscs includes the components of a specified### coordinate system vector in the global coordinate system)# ivect coscs...

### Spring index, point number, type of spring vector, rigidity value,### and flag to choice between displacement rigidity (d) or### rotational rigidity (r) (only when npspr > 0)# ipspr nsprp ityvs sprva drrif

### Index set of spring vector. Components in the global coordinate system### of the sets of spring vectors (only when nsspv > 0)# isspv




Joaquim Barros 4.65

# cgspv...

### Sets of material properties### (Young modulus, Poisson ratio, mass per unit volume and thermic coeff.)# imats young poiss dense alpha

1 30e+06 0.00 1.0 1e-5 ;

### Sets of element nodal properties### (Cross section area, tortional and flexural inertia and

### local coordinate system definition angle in degrees)# ispen1 ;

# inode barea bin2l1 0.15 0.003125 ;2 0.15 0.003125 ;3 0.15 0.003125 ;

# ===================================================================

### Title of the first load caseAccoes ;

### Load parameters0 ; # nplod (n. of point loads in nodal points)0 ; # ngrav (gravity load flag: 1-yes;0-no)2 ; # nedge (n. of edge loads)0 ; # ntemp (n. of elements with temperature variation)0 ; # nepoi (n. of element point loads)0 ; # nprva (n. of prescribed and non zero degrees of freedom)

### Point loads in nodal points (loaded point and load value)### (global coordinate system)# iplod lopop pload-g1 pload-g2 pload-g3

### Gravity load (gravity acceleration)### (global coordinate system)# gravi-g1 gravi-g2

### Edge load (loaded element, loaded points and load value)### (local coordinate system)# iedge loele

1 1 ;# lopoe q_l1 q_l2 q_l3

1 0.0 0.0 0.0 ;2 0.0 -15.0 0.0 ;3 0.0 -30.0 0.0 ;

# iedge loele2 2 ;# lopoe q_l1 q_l2 q_l3

3 0.0 -30.0 0.0 ;4 0.0 -30.0 0.0 ;5 0.0 -30.0 0.0 ;

### Thermal load (loaded set temperature variation, n. of elements,### loaded bar, uniform temperature, l2 variation, l3 sectional thick.)# itemp loelt# ilopo teuni tevab_l2 secth_l3

### Element point load (loaded element, distance to the left### end and load value) (global coordinate system)# il1le loelp l1lep epoil_g1 epoil_g2 epoil_g3

### Prescribed variables (point, degree of freedom and prescribed value)### (global coordinate system)# iprva nnodp ndofp prval

END_OF_FILE ;

2 - Na folha em anexo apresenta-se um ficheiro de dados do programa de cálculo automático femixnd .a) Desenhe a estrutura, as condições de ligação da estrutura ao exterior e as característicasgeométricas das secções das barras. b) Represente as acções que actuam na estrutura.c) Calcule a submatriz de rigidez associada aos graus de liberdade do nó 3.d) Determine os esforços de corte no(s) ponto(s) de Gauss do elemento nº 3, admitindo que os

deslocamentos dos nós da estrutura em análise, no referencial global, são os seguintes(obtidos por intermédio do femixnd ):




Joaquim Barros 4.66


ipoin delta-x delta-y delta-ty1 0.00000000 0.00000000 0.00000000

2 0.00236404 -0.00012215 -0.003063163 0.00515614 -0.00024431 -0.000570764 0.00515614 -0.00111798 -0.000061925 0.00515614 0.00000000 0.000911456 0.00542503 0.00007585 0.000177897 0.00536218 0.00000000 -0.00008697

e) Obtenha os momentos flectores nos pontos nodais dos elementos nº 3 e 4, admitindo que osesforços no(s) ponto(s) de Gauss dos elementos são os seguintes (obtidos por intermédio do

femixnd ):

Element number (ielem)Gauss point number for axial force (igstm)Gauss point number for shear force (igsts)

Gauss point number for bending moment (igstb)Gauss point global coordinates (gpcot_m)Gauss point global coordinates (gpcot_b)Gauss point global coordinates (gpcot_s)X axial force (Nx)XY shear force (Nxy)Y bending moment (My)

ielem igstm Nx gpcot_migsts Nxy gpcot_sigstb My gpcot_b

1 1 -219.87798778 4.00000000 0.750000001 1 -50.00000000 4.00000000 0.750000001 1 41.35264524 4.00000000 0.75000000

2 1 -219.87798778 4.00000000 2.250000002 1 -50.00000000 4.00000000 2.250000002 1 -33.64735476 4.00000000 2.25000000

3 1 0.00000000 5.25000000 3.000000003 1 -74.54051071 5.25000000 3.000000003 1 -32.97308485 5.25000000 3.00000000

4 1 0.00000000 7.75000000 3.000000004 1 50.45948929 7.75000000 3.000000004 1 -63.07436162 7.75000000 3.00000000

5 1 -49.70248624 3.00000000 3.750000005 1 66.26998166 3.00000000 3.750000005 1 -48.51243122 3.00000000 3.75000000

6 1 10.29751376 1.00000000 5.250000006 1 -13.73001834 1.00000000 5.250000006 1 17.16252293 1.00000000 5.25000000

Comente os resultados obtidos.

ANEXO

### Main title of the problem### (kN,m)Exame de Complementos de Estruturas - Fevereiro 1998 ;

### Main parameters6 ; # nelem (n. of elements in the mesh)7 ; # npoin (n. of points in the mesh)3 ; # nvfix (n. of points with fixed degrees of freedom)1 ; # ncase (n. of load cases)

1 ; # nmats (n. of sets of material properties) (only in linear regime)2 ; # nspen (n. of sets of element nodal properties) (only in linear regime)10 ; # ntype (problem type)

1 ; # ntyan (type of analysis)




Joaquim Barros 4.67

2 ; # nnode (n. of nodes per element)1 ; # ngaum (n. of Gauss points for axial rigidity)1 ; # ngaub (n. of Gauss points for bending rigidity)1 ; # ngaus (n. of Gauss points for shear rigidity)1 ; # ngstm (n. of Gauss points for axial forces)1 ; # ngstb (n. of Gauss points for bending moments)1 ; # ngsts (n. of Gauss points for shear forces)2 ; # ndime (n. of geometric dimensions)3 ; # ndofn (n. of degrees of freedom per node)

4 ; # nprop (n. of material properties used in the formulation)2 ; # npren (n. of element nodal properties used in the formulation)0 ; # npscs (n. of points with specified coordinate system)0 ; # nsscs (n. of sets of specified coordinate system)0 ; # npspr (n. of springs)0 ; # nsspv (n. of sets of spring vectors)


1 1 1 1 2 ;2 1 1 2 3 ;3 1 2 3 4 ;4 1 2 4 5 ;5 1 2 3 6 ;6 1 2 6 7 ;

### Coordinates of the points# ipoin coord-g1 coord-g2

1 4.00000000 0.00000000 ;2 4.00000000 1.50000000 ;3 4.00000000 3.00000000 ;4 6.50000000 3.00000000 ;5 9.00000000 3.00000000 ;6 2.00000000 4.50000000 ;7 0.00000000 6.00000000 ;


1 1 1 1 1 ;2 5 0 1 0 ;3 7 0 1 0 ;


1 30e+06 0.00 1.0 1e-5 ;

### Sets of element nodal properties### (Cross section area, tortional and flexural inertia and### local coordinate system definition angle in degrees)# ispen

1 ;# inode barea bin2l

1 0.09 0.000675 ;2 0.09 0.000675 ;

# ispen2 ;

# inode barea bin2l1 0.18 0.0054 ;2 0.18 0.0054 ;

# ===================================================================### Title of the first load case

Accoes ;


### Point loads in nodal points (loaded point and load value)### (global coordinate system)# iplod lopop pload-g1 pload-g2 pload-g3

1 3 50.0 0.0 0.0 ;2 6 0.0 -100.0 0.0 ;



3 0.0 -50.0 0.0 ;

4 0.0 -50.0 0.0 ;# iedge loele2 4 ;

# lopoe q_l1 q_l2 q_l3




Joaquim Barros 4.68

4 0.0 -50.0 0.0 ;5 0.0 -50.0 0.0 ;

END_OF_FILE ;

4 – A viga representada na Figura 1 está discretizada por um elemento de 3 nós deTimoshenko. Deduza o vector das forças nodais equivalentes à acção actuante.

5.00 m

50 kN/m

Figura 11 – No Quadro 1 apresenta-se um ficheiro de dados do programa de cálculo automático

femixnd .a) Calcule a submatriz de rigidez associada aos graus de liberdade do nó 6. b) Determine os esforços de flexão no(s) ponto(s) de Gauss do elemento nº 1, admitindo queos deslocamentos dos nós deste elemento, no referencial global, são os seguintes (obtidos porintermédio do femixnd ):


ipoin delta-x delta-y delta-ty1 0.00000000 0.00000000 -0.000000002 -0.00004607 -0.00010529 0.000051576 -0.00003950 -0.00017111 -0.00005264

2 - Na Figura 1 representa-se um edifício habitacional detrês andares situado em Lisboa e num terreno do tipo II.a) Calcule as forças de massa que actuam ao nível decada piso. b) Distribua essas forças pelos pórticos que discretizam aestrutura.c) Utilizando o método de Rayleigh, determine as forças

máximas ao nível de cada andar, no pórtico12 x P , devidasàs acções sísmicas regulamentares (no cálculo dos

deslocamentos considere as vigas de rigidez infinita).

Dados:- módulo de elasticidade longitudinal do betão = 35 GPa;- coeficiente de amortecimento=5%- vigas de secção 0.3x0.6 m2;- peso próprio das lajes, com 0.25 m de espessura = 3.0kN/m2;- peso de revestimentos e paredes de alvenaria = 2.0kN/m2;

x1

(m)

5.0

5.0

5.0

x2 P x2

1 P x2

2

P x1

1

P x1

2

P x1

3

Figura 1a




Joaquim Barros 4.69

(m)

(0.40x0.40)(0.40x0.40)

(0.35x0.35)3.0

3.0

4.0

5.0 5.0

(0.40x0.40)

3.0

3.0

4.0

5.0

11 x P , 2

1 x P , 31 x P

(0.35x0.35) (0.35x0.35)

(0.45x0.45) (0.45x0.45) (0.45x0.45)

(0.35x0.35) (0.35x0.35)

(0.40x0.40) (0.40x0.40)

(0.45x0.45) (0.45x0.45)

P x2

1 , P x2

2

Figura 1b

Quadro 1 – Ficheiro de dados do programa femixnd (continua)### Main title of the problem (kN,m)Exame de Complementos de Estruturas - Setembro de 1998 ;

### Main parameters5 ; # nelem (n. of elements in the mesh)

10 ; # npoin (n. of points in the mesh)3 ; # nvfix (n. of points with fixed degrees of freedom)1 ; # ncase (n. of load cases)1 ; # nmats (n. of sets of material properties) (only in linear regime)2 ; # nspen (n. of sets of element nodal properties) (only in linear regime)

10 ; # ntype (problem type)1 ; # ntyan (type of analysis)3 ; # nnode (n. of nodes per element)2 ; # ngaum (n. of Gauss points for axial rigidity)2 ; # ngaub (n. of Gauss points for bending rigidity)2 ; # ngaus (n. of Gauss points for shear rigidity)2 ; # ngstm (n. of Gauss points for axial forces)2 ; # ngstb (n. of Gauss points for bending moments)2 ; # ngsts (n. of Gauss points for shear forces)2 ; # ndime (n. of geometric dimensions)3 ; # ndofn (n. of degrees of freedom per node)4 ; # nprop (n. of material properties used in the formulation)2 ; # npren (n. of element nodal properties used in the formulation)0 ; # npscs (n. of points with specified coordinate system)0 ; # nsscs (n. of sets of specified coordinate system)0 ; # npspr (n. of springs)0 ; # nsspv (n. of sets of spring vectors)


1 1 1 1 2 6 ;2 1 1 1 3 8 ;3 1 2 4 5 6 ;4 1 2 6 7 8 ;5 1 2 8 9 10 ;


1 7.0 0.0 ;2 5.5 2.0 ;3 8.5 2.0 ;4 0.0 4.0 ;5 2.0 4.0 ;6 4.0 4.0 ;7 7.0 4.0 ;8 10.0 4.0 ;9 12.0 4.0 ;

10 14.0 4.0 ;


1 1 1 1 0 ;2 4 0 1 0 ;3 10 0 1 0 ;


1 30e+06 0.00 1.0 1e-5 ;

### Sets of element nodal properties### (Cross section area, tortional and flexural inertia and### local coordinate system definition angle in degrees)# ispen


1 0.5 0.01042 ;2 0.5 0.01042 ;3 0.5 0.01042 ;

# ispen




Joaquim Barros 4.70


1 0.5 0.04167 ;2 0.5 0.04167 ;3 0.5 0.04167 ;

# ===================================================================

### Title of the first load caseAccoes ;




4 0.0 -50.0 0.0 ;5 0.0 -50.0 0.0 ;6 0.0 -50.0 0.0 ;

# iedge loele2 4 ;

# lopoe q_l1 q_l2 q_l36 0.0 -50.0 0.0 ;7 0.0 -50.0 0.0 ;8 0.0 -50.0 0.0 ;

# iedge loele3 5 ;

# lopoe q_l1 q_l2 q_l38 0.0 -50.0 0.0 ;9 0.0 -50.0 0.0 ;

10 0.0 -50.0 0.0 ;

END_OF_FILE ;

1 – Na Figura 1 representa-se umelemento de viga de Timoshenkode 3 nós. Determine as forçasnodais equivalentes à força de100 kN aplicada ortogonalmenteao eixo da viga, a 0.5 m da suaextremidade esquerda.

1 3

F=100 kN

1 s

0.5 m

1.5 m 1.5 m 1

2

( )32

Figura 1

2 – A estrutura representada na Figura 2 está descretizada em 4 elementos de 3 nós de Timoshenko.e) Desprezando a deformabilidade axial das barras e utilizando a integração reduzida, calcule os

coeficientes de rigidez relativos ao nó B.f) Calcule as forças nodais equivalentes no nó B.g) Considerando dois pontos de Gauss por elemento, calcule os esforços de flexão e de corte no

elemento nº 1, sabendo que os deslocamentos dos nós deste elemento, no referencial global, são os

seguintes :Nó deslocamento segundo x1 deslocamento segundo x2 rotação segundo x31 0.00000000 0.00000000 -0.000846182 -0.00000000 -0.00091344 -0.000563193 -0.00000000 -0.00127759 0.00003270

h) Com base nos esforços do elemento nº 1 , determine o momento no nó A. Se os resultados não lhe parecem aceitáveis, explique como procederia para melhorar os resultados obtidos.

Dados: b=0.3 m, h=0.7 m; E=30 GPa, 0.0=υ Mola: mkN k m /000500=




Joaquim Barros 4.71

100 kN

3.00m

5.00 m 4.00 m

km = 500 000kN/m

x3

1x

2x

1 2 3 4 5

6

7

8

9

50 kN/m

1 2

3

4

A B

C

Figura 2

1 – No Quadro 1 apresenta-se um ficheiro de dados do programa de cálculo automático femixnd .a) Desenhe a estrutura, as condições de ligação da estrutura ao exterior e as característicasgeométricas das secções das barras. b) Represente as acções que actuam na estrutura.c) Calcule a submatriz de rigidez associada aos graus de liberdade do nó 5.d) Calcule as forças nodais equivalentes correspondentes aos graus de liberdade do nó 5.d) Determine o momento flector e o esforço de corte no ponto de Gauss nº 1 do elemento nº 2,admitindo que os deslocamentos dos nós da estrutura em análise, no referencial global, são osseguintes (obtidos por intermédio do femixnd ):


ipoin delta-x delta-y delta-ty1 0.00000000 0.00000000 -0.000164672 0.00000000 -0.00030491 -0.000844883 0.00017332 -0.00028604 -0.000070054 -0.00037563 -0.00079193 0.000191405 0.00006277 -0.00019359 0.000213826 0.00003138 -0.00015256 -0.000031997 0.00000000 0.00000000 0.00033052




Joaquim Barros 4.72

Quadro 1 – Ficheiro de dados### Main title of the problem## Linear analysisComplementos de Estruturas: 1a. chamada de Novembro de 1999 ;

### Main parameters3 ; # nelem (n. of elements in the mesh)

7 ; # npoin (n. of points in the mesh)3 ; # nvfix (n. of points with fixed degrees of freedom)1 ; # ncase (n. of load cases)2 ; # nmats (n. of sets of material properties) (only in linear regime)2 ; # nspen (n. of sets of element nodal properties) (only in linear regime)

10 ; # ntype (problem type: 10-2D Timoshenko beam; 11-3D Timoshenko beam)1 ; # ntyan (type of analysis:1-lin.;2-mat. nlin.;3-dyn. lin.;4-dyn. mat. nlin.)3 ; # nnode (n. of nodes per element)2 ; # ngaum (n. of Gauss points for the axial stiffness matrix)2 ; # ngaub (n. of Gauss points for the bending stiffness matrix)2 ; # ngaus (n. of Gauss points for shear stiffness matrix)2 ; # ngstm (n. of Gauss points for the axial forces)2 ; # ngstb (n. of Gauss points for the bending moments)2 ; # ngsts (n. of Gauss points for the shear forces)2 ; # ndime (n. of geometric dimensions)3 ; # ndofn (n. of degrees of freedom per node)4 ; # nprop (n. of material properties used in the formulation)2 ; # npren (n. of element nodal properties used in the formulation)0 ; # npscs (n. of points with specified coordinate system)0 ; # nsscs (n. of sets of specified coordinate system)0 ; # npspr (n. of springs)0 ; # nsspv (n. of sets of spring vectors)


1 2 2 1 3 5 ;2 1 1 2 4 5 ;3 1 1 5 6 7 ;


1 0.0 0.0 ;

2 0.0 6.0 ;3 2.0 1.5 ;4 2.0 4.5 ;5 4.0 3.0 ;6 5.5 3.0 ;7 7.0 3.0 ;


1 1 1 1 0 ;2 2 1 0 0 ;3 7 1 1 0 ;


1 30e+06 0.0 0.0 0.0 ;2 200e+06 0.0 0.0 0.0 ;

### Sets of element nodal properties### (Cross section area, tortional and flexural inertias,### local coordinate system definition angle in degrees and### position of the shear center at the section)# ispen


1 0.3 2.25e-03 ;2 0.3 2.25e-03 ;3 0.3 2.25e-03 ;

# ispen2 ;

# inode barea bin2l1 0.1 1e-09 ;

2 0.1 1e-09 ;3 0.1 1e-09 ;




Joaquim Barros 4.73

# ===================================================================

### Title of the first load caseLoad case title (1) ;

### Load parameters0 ; # nplod (n. of point loads in nodal points)0 ; # ngrav (gravity load flag: 1-yes;0-no)

2 ; # nedge (n. of edge loads)0 ; # ntemp (n. of elements with temperature variation)0 ; # nepoi (n. of element point loads)0 ; # nprva (n. of prescribed and non zero degrees of freedom)


1 2 ;# lopoe f_l1 f_l2 m_l3

2 0.0 0.0 0.0 ;4 0.0 -20.0 0.0 ;5 0.0 -40.0 0.0 ;

# iedge loele2 3 ;

# lopoe f_l1 f_l2 m_l35 0.0 -40.0 0.0 ;6 0.0 -40.0 0.0 ;7 0.0 -40.0 0.0 ;

END_OF_FILE ;

2 – A secção da viga DE da estrutura representada na Figura 2 varia parabolicamente ao longodo seu desenvolvimento longitudinal. Para analisar esta estrutura, as barras biarticuladasforam discretizadas por um elemento finito de 3 nós e a viga DE foi discretizada por 10elementos de 3 nós de Timoshenko de igual comprimento (2 metros cada).a) Adoptando a integração selectiva no cálculo da matriz de rigidez dos elementos finitos da viga DE,

calcule os coeficientes da matriz de rigidez global da estrutura, correspondentes aos graus deliberdade do nó D.

b) Considerando a ordem de integração que julgue adequada (justifique), calcule as forças nonó D, equivalentes à acção do peso próprio da viga.c) Sabendo que os deslocamentos, no referencial global, dos nós do 1º elemento da viga (verFigura 2) são os seguintes (unidade de deslocamento em metros e de rotação em radianos):

*** Nodal displacements:(global coordinate system)


ipoin delta-x delta-y delta-ty7 (1º nó do elemento 1) 0.00036459 -0.00036458 -0.002340748 (2º nó do elemento 1) 0.00036459 -0.00268326 -0.002219779 (3º nó do elemento 1) 0.00036459 -0.00482145 -0.00199181

calcule os esforços de corte e de flexão, no ponto de Gauss mais próximo da secção D daviga. Comente os resultados obtidos.d) Se a viga DE estivesse submetida a uma de variação diferencial de temperatura∆td,descreva os procedimentos necessários para calcular as forças nodais equivalente a esta acção,num elemento finito de Timoshenko de 3 nós.

Dados:Barras biarticuladas: As = 100.0 cm2; Es = 200.0 GPa

Viga DE: largura = 0.5 m; Ec = 30.0 GPa,νc=0.0;α = 1.0×10-5/oC; γc = 25.0 kN/m

3




7.010014

1007.0 2 ++−= x xh

20m5m

5 m10m

x 1

, 4 m

0 , 7

m

1

A

D

B

E

C

h

Figura 2

1 - a) Admita que a viga simplesmente apoiada, representada na Figura 1 é discretizada porum único elemento finito de quatro nós de Timosenko.

a) Deduza a matriz de rigidez exacta deste elemento, apenas considerando a deformação por flexão e corte;

b) Quantos pontos de integração de Gauss-Legendre serão necessários para calcularexactamente as forças nodais equivalentes à acção actuante no elemento. Justifique.c) Admitindo para p o valor de 100 kN/m, determine as forças nodais equivalentes à

acção actuante;d) Calcule os deslocamentos dos nós do elemento;e) Utilizando três pontos de Gauss por elemento, determine os esforços de flexão e de

corte nesses pontos de Gauss;f) Extrapole os esforços obtidos na alínea anterior para os nós do elemento finito.

Comente os resultados obtidos.

Dados:

Secção rectangular com largura de 0.5 m e altura de 0.7 m.Ec = 30.0 GPa,νc=0.0.

3.00 m

p kN/m 1 4

= = =2 3

Figura 1

porticos planos cap4.pdf

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