portico equivalente - ejercicio
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Ejercicio del tema de Portico Equivalente.TRANSCRIPT
DISEÑO DE LOSA BIDIRECCIONAL, MÉTODO DE PÓRTICO
EQUIVALENTE
PROBLEMA:
Calcular los momentos de diseño por el método “Pórtico Equivalente” la
dirección achurada para una losa armada en dos sentidos ubicada en un piso
intermedio, el edificio tiene pantallas o muros de corte que toman la fuerza de
sismo y la losa no tiene vigas de borde.
Altura de piso = 2.70 m.
Columnas = 40cm x 40cm
Cargas por tabiquería = 100 kg/m2
Recubrimiento y acabados = 100 kg/m2
Sobrecargas = 200 kg/m2
fy = 4200
kg/cm2
f’c = 210 kg/cm2
Solución:
1. Pre dimensionamiento de la losa
a) Por deflexión:
Según el ACI-83, nos da la siguiente información:
Para losas sin vigas o ábacos:
h=ln(800+0.071 fy)
36000>12.5cm
h=500 (800+0.071 x 4200)
36000
h=15.25cm
Como 15.25 es mayor a 12.5 cm. Usar h = 15.25 cm.
Las normas en esa misma sección nos indican que para losas sin vigas de borde y para losas con bordes descontinuas deberán ser aumentadas un mínimo de 10% de su espesor.
∴15.25×1.10=16.78usar h=17 cm
b. Verificar esfuerzo de corte
Considerando ϕ=1 /2
d=h−recubrimiento−ϕ2=17−2−1.3
d=13.7cm
Cargamuerta=P .P+ tabiqueria+rec .acabados
W D=408+100+100=608k /m2
W L=200k /m 2
Cargas factorizadas (ultimas)
WU=W D×1.4+W L×1.7=851.2+340
WU=1191.2k /m 2
b.1) Corte flexión
Considerar una franja de 1m de ancho a la distancia “d” de la cara de la columna de apoyo.
V U=1.191×2.363=2.814Tn .
V C=0.53×√ f ´ c×bw×d=0.53√210×100=13.7Tn
V C=10.522Tn
ϕ V C=0.85×10.522=8.944Tn
V U<ϕV C
b.2) Corte por punzonado
A la distancia “d/2”
V U=1.191(5×4−0.5372)=23.477Tn
V C=0.27(2+4βC
)√ f ´C×bo×d Donde βc=C1C 2
V C=0.27(2+ 41 )√210×214.8×13.7=69.08Tn
Pero no mayor que
V C=1.1√ f ´C ×bo ×d Donde bo=Perimetro de la seccioncritica
V C=1.1√ f ´C ×214.8×13.7=46.9Tn
Luegousar β×V C=0.85×46.9=39.87Tn
V u<V C β
Por consiguiente h=17 cm cumpla por defleccion corte.
2.- Elementos para “El Portico Equivalente”
Encontrar las constantes para distribucion de momntos y los momentos de empotramiento, para esto se usara el procedimiento de distribucion de momentos en la estructura parcial. Los factores de rigidez (“k”), los factores de transporte (FT), y los factores de momentos de empotramiento (FME), los
C1
C2
cuales podran determinarse por cualquier procedimiento estructural, aquí se obtuvieron por viga conjugada.
a) Rigidez a Flexion para viga-Losa en ambos extremos “K sb”
K sb=KNF cosI s
L
Donde: I s=l2h
3
12=
400× (17 )3
12=163766.6cm4
Ecs=15100√210=218819.78Kg
cm2
l1=500cm
K NF=4.27 ( Interpolando en tabla1 )
FT ¿0.514 ( Interpolando en tabla1 )
FME=0.843×l2l12
K sb=(4.27×2.19×105 ×163766.6)/500
K sb=306.286×106
b) Columna: Rigidez a la flexión en ambos extremos “kc”
Kc=Kc Ecc ic/lc
Donde: C4
12=404
12=2.13 x105cm4
Kc=4.74 (interpolando de tabla 2)
Ecc=15100√210=218819.78 kg/cm 2
lc=270 cm
Kc=(4.74x218819.78x2.13x105)/270
C) Miembros a torsión, rigidez torsional “Kt”
Kt= 9 xEcsxc
l2(1−C 2l 2 )
3
Donde:
Ecs=218819.78 k/cm2.
C=∑ (1−0.63( xy )) x3 y /3
C=∑
(1−0.63( 1740 ))173 40
3=47967.25cm 4
C2=40cm , l2=400cm
k t=9 x218819.78 x 47967.25
400(1− 40400
)3
=323.96 x 106
d) Rigidez de columna equivalente “Kec”
Kec=∑ kc x∑ kt /(∑ kc+∑ kt)
Kec=2x 818.24 x106 x 2x 323.96 x106
106(2x 818.24+2x 323.96)
Kec=464.15x106
e) Factor de distribución (F.D) en el nodo viga-losa
En nodo exterior:
F.D =306.28/(306.28+464.15)=0.398
En modo interno
F.D =306.28/(306.28+306.28+ 464.15)=0.284
F.transporte para viga losa =0.514
3. Analisis parcial de la estructura en la estructura equivalente:
Encontrar los momentos máximos positivos y negativos para las vigas –losas usando el método de distribución de momentos .
Debido a que WL <3/4 NO, se usará el caso (1) de estado de carga ,vale decir que los momentos de diseño se producirán en todas las secciones críticas con cargas vivas factorizadas en todos los tramos.
WL/WD=200608
=0.33< 34=0.75
a)Cargas factorizadas y momentos de empotramiento
Wd=1.4(608)=851.2 k/m3 ¿
WL=1.7(200)=340.0 k/m2¿
Wd+WL=851.2 +340.0 =1191.2 k/m2¿
Momento de empotramiento para vigas-losas
ME=0.0843 W L2 L12
ME=0.0843(1191.2)(4)(52)=10041.82 Kg-m
ME=10.04 Tn-m
b) La distribución de momentos se muestra en la tabla 11º3,es en base a los resultados previos a ella ver (a), la continuación de b) será con valores de la tabla ,Nº3 .
TABLA N° 3, DISTRIBUCION DE UN PORTICO PARCIAL
NODO 1 2 3 4
ELEMENTO 1-2 2-1 2-3 3-2 3-4 4-3
F.D
F.T
0.398
0.514
0.284
0.514
0.284
0.514
0.284
0.514
0.284
0.514
0.398
0.514
M.E.F
M.T.
M.T.
M.T.
10.04
0.0
0.29
0.03
-10.04
-2.05
0.0
-0.06
-10.04
0.0
-0.29
-0.03
-10.04
0.0
0.29
0.03
-10.04
2.05
0.0
0.06
-10.04
0.0
-0.29
-0.03
∑
M.D
10.36
-4.12
-12.15
0.81
9.72
0.81
-9.72
-0.81
12.15
-0.81
-10.36
4.12
M(-) 6.24 -11.34 10.53 -10.53 11.34 -6.24
Ma CL
(viene de
6.1 4.36
(b))
M.T. = Momento de transporte = F.D x F.T x (momento balanceado en el nodo
transportado al otro extremo).
M.D. = Momento de distribución = - (F.D x Momento desbalanceado en el nodo)
Ma CL = Momento que se encontrará más adelante en el punto (b)
DIAGRAMA DE MOMENTO Y CORTE
W = 1191.2 X 4 = 4764.8 t/m
{b} {A continuación}
Se encontraran los momentos positivos con la siguiente ecuación:
M φ=M S−12(M L+MR)
M S = momento en el centro de la viga, se cumple con exactitud cuando los momentos de extremos son iguales. Cuando no sucede esto el valor es bastante aproximado.
M 1−2¿¿
M 1−2¿¿
M 2−3¿¿
M 2−3¿¿
4. Momentos de Diseño
El siguiente grafico muestra la distribución de momentos (+) y (-).
Los momentos (-) se tomaran en la cara del apoyo recto menor o igual a 0.175l1 del centro de los apoyos, 40 cm < 0.175 x 500 = 87.5 cm. (usar la cara de la columna)
5. Momentos factorizados totales por tramo. De acuerdo a las limitaciones
de la sección 13.6.1 del ACI-83, los momentos obtenidos en las losas
deben tener sus reducciones tal que la suma del momento positivo y del
negativo promedio necesitan ser mayor que:
MO=W u l2ln
2
8=
1191.2x 4 x(4.60)2
8=12602.9K−m
Tramo Extremo: 6.1+ 4.34+9.042
=9.74<12.6 OK!
Tramo Interno: 4.36+ 8.37+8.372
=10.55<12.6 OK!
6. Distribución del momento de diseño a través de la franja viga-losa.
Los momentos factorizados negativos y positivos en las secciones
críticas, deben ser distribuidos en la franja de columna y dos medias
franjas centrales de la viga-losa de acuerdo a los porcentajes
especificados en la sección 13.6.4 y 13.6.6 se verá en la Tabla (4).
7. Momentos de columna.
El momento desbalanceado de las vigas-losas en el apoyo de la
estructura equivalente se distribuye a las columnas reales de arriba y
debajo de la viga-losa, en proporción a la rigideces relativas de las
columnas reales de la Tabla (3) tenemos:
Nodo 1 = 6.24 T-m
Nodo 2= -11.34+10.53= 0.81 T-m
Las rigideces y factores de transporte de las columnas reales y la
distribución de momento desbalanceado en las columnas interiores y
exteriores se muestran en la figura siguiente:
Los momentos de diseño para las columnas deben ser tomadas en la
unión de la columna y la losa
Momento de diseño en columnas exteriores: 2.97 tn .m
Momentos de diseño en columnas interiores : 0.39 tn .m
MOMENTOS EN COLUMNA
TABLA N4 : Distribución de momentos factorizados
Momentos
factorizados
Franja de columna
X momento
* 2 mitades de
franjas centrales
Tramo final
Negativo exterior
Positivo
Negativo interior
4.34
6.10
9.04
100 4.34
60 3.66
75 6.78
0
2.44
2.26
Tramo interior
Negativo
positivo
8.37
4.36
75 6.28
60 2.62
2.09
1.74
X= es un porcentaje del reglamento para losas sin vigas
* = esta porción de momento no resistido por la franja de columna será
resistido por dos mitades de la franja central .
8. Transferencia de cargos de gravedad y momentos en columnas exteriores.
- Verificar corte en la losa y esfuerzo por flexión en cara de la columna, debido a corte directo y transferencia de momento desbalanceado.
a) Esfuerzo de corte factorizado, transferido a una columna exterior.
Vu=W u l1l2
2=1491.2 x 4 x
2=1192kg
Vu=11.9Tn
b) Momento desbalanceado transferido a la columna exterior.
Cuando se analiza la estructura por métodos más exactos como el análisis como pórtico equivalente, se considera la rigidez real, pudiendo así obtenerse el momento de transferencia y mediante el análisis estructural el momento desbalanceado de la columna exterior.
Mu = 4.34 Tn
Considerando que el “Mu” está ubicado en el centroide de la sección crítica de transferencia.
c) Esfuerzo de corte combinado en la cara interna de la sección crítica de transferencia.
Cuando se analiza la estructura por métodos más exactos como el análisis como pórtico equivalente, se considera la rigidez real, pudiendo así obtenerse el momento de transferencia y mediante el análisis estructural el momento desbalanceado de la columna exterior.
Vu=V u
Ac+(γV Mn)/(d /c)
a=C 1+ d2=40+ 13.7
2=46.85cm
b=C 2+d=40+13.7=53.7cm
C= a2
2a+b= 46.852
2 (46.85 )+53.7=14.89cm
Ac=(2a+b ) d= (2x 46.85+53.7 ) x 13.7=2019.4 cm2
Jc=
(2ad (a+2b )+d3 (2a+b ) )6
Jc=¿¿
Jc=34349.87cm3
γ y=1− 1
1+2/3
√ c1+d
c2+d
=1− 1
1+2/3
3√ 40+13.740+13.7
=0.40
γ y=119002019.4
+( 0.4 x 43400034349.87 )=10.95 k /cm2
d. Calculo del esfuerzo de corte combinado en la cara exterior de la sección critica de transferencia.
Vu =119002019.4
−0.40 x 43400016003.43
=5.90−10.85
Vu= 119002019.4
−0.40 x 43400016003.43
=5.90−10.85
Vu = 4.95 k/cm2
C’ = a-c = 46.85-14.89 = 31.96 cm
J/c1’= (J/c)(c/c’) = (34349.87)(14.89/31.96)
J/c’ = 16003.43 cm3
e. Verificación del esfuerzo permisible
∅Vn=∅ x1.10√210
∅Vn=0.85 x1.10√210=13.55
13.55 k/cm2 > 10.95 k/cm2………. Esta bien
f) Diseño para momento desbalanceado transferido pro flexión para franja central y franja de columna
As(min)=0.0018∗200∗17=6.12cm2
Usar 6.121.29
=4.8→5ϕ1/2
Para Smáx=2h=2∗17=34cm
# Barras requeridas 200/34 = 6 ϕ ½”
Usar 6ϕ 1/2
Hallar “As” para franja de columna
M u¿¿
As=9cm2→Usar 7ϕ 1/2
Usar 6ϕ 1/2 @ 34 c de espaciamiento en la franja central y una porción de la franja de columna fuera de la sección de transferencia del momento.
c+2 (1.5h )=40+2 (1.5∗1.7 )=91cm
Se requiere refuerzo adicional sobre la columna con un ancho efectivo de 91 cm para tomar la fracción de momento desbalanceado transferido por flexión en caso de columna cuadrada se tiene:
γ f =1
1+2/3√ c1+dc2+d
= 1
1+23∗√1
=60 %
γ f Mu=0.6 ( 4.34 )=2.6T−mque debe ser tomado por la losa de ancho efectivo de 91 cm.
Probar 3ϕ ½” + 2 ϕ ½” (existente= 5 ϕ ½”
5*1.29=6.45 cm2
Mu=Asϕ∗fy(d−a2 )=6.45∗0.9∗4200 (0.9∗13.7 )=3T−m
Probar 4 ϕ ½”
4 * 1.29 = 5.16 cm2
Mu= 2.4 T-m ∴3T−m>2.6T−m
Usar 3ϕ ½” adicionales