portafolio de algebra 2

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI

FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS

AMBIENTALES

ESCUELA DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO

MÓDULO DE ÁLGEBRA

PORTAFOLIO ESTUDIANTIL

HADDY DANIELA JÁCOME LUCERO

PRIMERO A

ING. OSCAR LOMAS

MIÉRCOLES; 05 DE FEBRERO DEL 2014

MODULO DE ALGEBRA Página 1

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN..........................................................................................................3

OBJETIVOS...................................................................................................................4

OBJETIVO GENERAL..............................................................................................4

OBJETIVOS ESPECÍFICOS......................................................................................4

SILABO..........................................................................................................................5

CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES................................................................6

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES..........................................................7

EXPONENTES Y RADICALES....................................................................................8

EXPONENTES...........................................................................................................8

RADICALES...............................................................................................................9

EXPRESIONES ALGEBRAICAS...............................................................................10

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?..................................................................................11

PARTES DE UNA ECUACION...............................................................................12

¡Exponente!...............................................................................................................12

PRODUCTOS NOTABLES.........................................................................................13

Binomio de resta al cubo...........................................................................................14

Trinomio al cuadrado................................................................................................14

Diferencia de cubos...................................................................................................14

Producto de dos binomios que tienen un término común..........................................14

FACTORIZACIÓN.......................................................................................................15

Factorización por factor común.................................................................................15

Factorización de una diferencia de cuadros...............................................................15

Factorización de un cuadrado perfecto......................................................................15


Factorización de una suma o diferencia de cubos.....................................................15

Factorización de cubos perfectos de binomios..........................................................16

FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.............................................................16

ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO................................................17

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES................................................................17

TRANSFORMACIONES LINEALES.....................................................................19

ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO..................................21

INECUACIONES.........................................................................................................23

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.........................24

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA.....................26

PROGRAMACIÓN LINEAL.......................................................................................30

II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:.............................................35

III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL.....................................................................38

IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:...........................................41

V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO.....................................46

VII.BIBLIOGRAFÍA....................................................................................................51


INTRODUCCIÓN

El álgebra es el nombre que identifica a una rama de la Matemática que emplea

números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples operaciones

aritméticas. El término tiene su origen en el latín algebra, el cual, a su vez, proviene

de un vocablo árabe que se traduce al español como “reducción” o “cotejo”.

Hoy entendemos como álgebra al área matemática que se centra en las relaciones,

estructuras y cantidades. La disciplina que se conoce como álgebra elemental, en este

marco, sirve para llevar a cabo operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación,

división) pero que, a diferencia de la aritmética, se vale de símbolos (a, x, y) en lugar

de utilizar números. Esto permite formular leyes generales y hacer referencia a

números desconocidos (incógnitas), lo que posibilita el desarrollo de ecuaciones y el

análisis correspondiente a su resolución. El álgebra elemental postula distintas leyes

que permiten conocer las diferentes propiedades que poseen las operaciones

aritméticas.

Por ejemplo, la adición (a + b) es conmutativa (a + b = b + a), asociativa, tiene una

operación inversa (la sustracción) y posee un elemento neutro (0).

Algunas de estas propiedades son compartidas por distintas operaciones; la

multiplicación, por ejemplo, también es conmutativa y asociativa.


http://definicion.de/signos

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Recopilar la información otorgada por el docente referente al cronograma de

estudio en el módulo de algebra, para tener constancia del trabajo realizado en

el transcurso de todo el semestre y que esta información nos sirva como guía

de estudio.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Construir el portafolio estudiantil.

Comprender la información obtenida para adquirir nuevos conocimientos

referentes a cada uno de los temas.

Recolectar la información de manera grupal para que el trabajo sea productivo.


SILABO

I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO

UPEC – MISIÓN MISIÓN – ESCUELA

“Formar profesionales

humanistas, emprendedores y

competentes, poseedores de

conocimientos científicos y

tecnológicos; comprometida con

la investigación y la solución de

problemas del entorno para

contribuir con el desarrollo y la

integración fronteriza”

La Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario

contribuye al desarrollo Provincial, Regional y

Nacional, entregando profesionales que participan

en la producción, transformación, investigación y

dinamización del sector agropecuario y

agroindustrial, vinculados con la comunidad, todo

esto con criterios de eficiencia y calidad

UPEC – VISIÓN VISIÓN – ESCUELA

Ser una Universidad Politécnica

acreditada por su calidad y

posicionamiento regional

Liderar a nivel regional el proceso de formación y

lograr la excelencia académica generando

profesionales competentes en Desarrollo Integral

Agropecuario, con un sólido apoyo basado en el

profesionalismo y actualización de los docentes,

en la investigación, criticidad y creatividad de los

estudiantes, con una moderna infraestructura que

incorpore los últimos adelantos tecnológicos,

pedagógicos y que implique un ejercicio

profesional caracterizado por la explotación

racional de los recursos naturales, producción

limpia, principios de equidad, participación,

ancestralidad, que den seguridad y consigan la


soberanía alimentaria

CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES

Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1,2,3 y así

sucesivamente , forman el conjunto de los números enteros positivos o números

naturales.

Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3…)

Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3…… forman el

conjunto de los enteros.

Conjunto de enteros = (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…)

El conjunto de los números racionales consiste en números como 12

y 53

, que pueden

escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un numero racional es

aquél que puede escribirse como pq

donde p y q son enteros y q ≠ 0. El entero 2 es

racional puesto que 2 =21

. De hecho todo entero es racional.

Los números que se representan mediante decimales no periódicos que terminan se

conocen como números irracionales. Los números π y√2 son ejemplos de números

irracionales. Junto, los números racionales y los números irracionales forman el

conjunto de los números reales.

Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros se

selecciona un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a la derecha del

origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas


PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número son

iguales entre sí.

Sia=b y b=c ,entonces a=c

Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.- Dos números pueden

sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un número real.

Para todonúmero realayb , existennumerosreales unicos a+b y ab

Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.- Dos números pueden

sumarse y multiplicarse en cualquier orden.

a+b=b+a y ab=ba

Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.- En la suma o en la

multiplicación, los números pueden agruparse en cualquier orden.

a+ (b+c )= (a+b )+c y a (bc )=( ab ) c

Propiedad de la identidad.- Existen números reales denotados 0 y 1 tales que para

todo número real a.

0+a=a y1a=a

Propiedad del inverso.- Para cada número real a, existe un único número real

denotado poa –a

a+ (−a )=0

Propiedad distributiva.- Establece que multiplicar una suma por un número da el

mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y después sumar todos

los productos.


a ( a+c )=ab+ac y (b+c ) a=ab=ac


EXPONENTES Y RADICALES

EXPONENTES

Un exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va a

multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a la

derecha del valor base. Por ejemplo:

b−5b es el valor base y -5 es el exponente

−27-2 es el valor base y 7 es el exponente

Leyes de los exponentes

( xn ) ( xm )=xn+m

xn

xm=xn−m

x0=1

x−n= 1

xn

xm

xm=1

( xm )n=xmn

( xy )

n

= xn

yn

( xy )

−n

=( yx )


RADICALES

La radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima de un

número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado “x”.n√ x= y

n = índice

x = radicando

y = raíz

√❑ =signo radical

Leyes radicales

x1/2=n√ x

x−1 /2= 1

x1/2= 1

n√ x

n√ x m√ y= n√xy

n√ xn√ y

= n√ xy

m√ n√x=mn√x

x ,/n=n√ xm

(m√ x )m=x


EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las operaciones

aritméticas.

Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo término.

Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:

Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.

Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:

Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.

Ejemplo:

Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se llaman Polinomios.


Suma o adición.- Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones

algebraicas en una sola expresión algebraica.

Resta o sustracción.- Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación

el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes.

Multiplicación.- Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del

polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se separan los

productos parciales con sus propios signos.

División.- Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio

separando los cocientes parciales con sus propios signos.

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?

Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=", por

ejemplo:

X + 2 = 6

Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo que está

en la derecha (6)

Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"


PARTES DE UNA ECUACION

Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las diferentes partes

(¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!) Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual

a 5, y todas sus partes:

Una variable es un símbolo para un número que

todavía no conocemos. Normalmente es una letra

como x o y.

Un número solo se llama una constante.

Un coeficiente es un número que está

multiplicando a una variable (4x significa 4 por x,

así que 4 es un coeficiente)

Un operador es un símbolo (como +, ×, etc) que

representa una operación (es decir, algo que

quieres hacer con los valores).

Un término es o bien un número o variable solo,

o números y variables multiplicados juntos.

Una expresión es un grupo de términos (los

términos están separados por signos + o -)


Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o "el

segundo término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el coeficiente es 4?"

¡Exponente!

Elexponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces usar el valor en

una multiplicación.

Ejemplos:

82 = 8 × 8 = 64

y3 = y × y × y

y2z = y × y × z

PRODUCTOS NOTABLES

Binomio de suma al cuadrado

Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer

término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.

(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2

(X + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

Binomio de resta al cuadrado

Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer

término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado

segundo.

(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2


(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9

Suma por diferencia

Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

(a + b) · (a − b) = a2 − b2

(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25

Binomio al cubo

Binomio de suma al cubo

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado

del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del

segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3

(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =

= x 3 + 9x2 + 27x + 27

Binomio de resta al cubo

Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado

del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del

segundo, menos el cubo del segundo.

(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3

(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 =

= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27


Trinomio al cuadrado

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno,

más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del

primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

(x2 − x + 1)2 =

= (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 =

= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x =

= x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1

Suma de cubos

a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)

8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)

Diferencia de cubos

a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)

8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x2 + 5x + 6


FACTORIZACIÓN

Con frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el producto

de dos o más polinomios de menor grado .este proceso se llama factorización y nos

permite transformar polinomios complejos en el producto de polinomios simples.

Factorización por factor común.

Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se dice

que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e inmediatamente, después,

dentro de un paréntesis se anotan los cocientes que resulten de dividir cada uno de los

términos del polinomio entre el factor común.

a2+2 a=a (a+2 )

10 b+30 ab=10 b (1+3 a)

Factorización de una diferencia de cuadros.

Se sabe que:a2−b2= (a+b ) ( a−b ); por lo tanto una diferencia de cuadrados, es igual al

producto de dos binomios conjugados.

9 x2−4 y2=(3 x+2 y )(3 x−2 y )

Factorización de un cuadrado perfecto

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado como

tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al primero y tercer

término del trinomio separándose estas raíces por medio del signo del segundo término

y elevando este binomio al cuadrado:

9 x2−12 xy+4 y2= (3 x−2 y )(3 x−2 y )

Factorización de una suma o diferencia de cubos

Se sabe que: a3+b3=(a+b ) (a2−ab+b2 ) y a3−b3=(a−b ) ( a2+ab+b2 )


Factorización de cubos perfectos de binomios.

(a+b )3=a3+3 a2 b+3 a b2+b3 yque : (a−b )3=a3−3a2 b+3a b2−b3

FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.

Algunas veces en un polinomio os términos no contienen ningún factor común, pero

pueden ser separados en grupos de términos con factor común.

Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar

Comenzamos con la siguiente situación:

Cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización total

de la expresión.

x2+ax+bx+ab=x ( x+a )+b ( x+a )=( x+a ) ( x+b )

FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA a x2+bx+c

9 x2+6 x−3= (3 x−1 ) (3 x+3 )

4 x2−24 x+11= (3 x−1 ) (3 x+3 )


ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

El objetivo de esta unidad es repasar las ecuaciones lineales o de primer grado y

resuelve ecuaciones lineales por medio de propiedades. También resolveremos

problemas donde se plantean ecuaciones lineales con una incógnita. Para ello veremos

ejemplos de ecuaciones, cómo resolverlas y cómo traducirlas al lenguaje simbólico.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos

escribir de forma tradicional así:

Un sistema así expresado tiene "m" ecuaciones y "n" incógnitas, donde aij son

números reales, llamados coeficientes del sistema, los valores bm son números reales,

llamados términos independientes del sistema, las incógnitas xj son las variables del

sistema, y la solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, ...,

sn) tales que al sustituir las incógnitas x1, x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se

verifican a la vez las "m" ecuaciones del sistema.

Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma:


Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensión m×n formada por los

coeficientes del sistema, y la designamos por A.

Designamos por X a la matriz columna formada por las incógnitas.

Denotamos por B a la matriz columna formada por los términos

independientes.

y llamamos matriz ampliada de dimensión m×(n+1) a la matriz que se obtiene al

añadir a la matriz del sistema (= matriz de coeficientes) la columna de los términos

independientes, y la denotamos por A*, es decir

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

Ax = b,

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro

vector columna de longitud m. El sistema anteriormente mencionado de eliminación

de Gauss-Jordán se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que

provengan los coeficientes.


http://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)

Si el cuerpo es infinito (como es el caso de los números reales o complejos), entonces

solo puede darse una de las tres siguientes situaciones:

el sistema no tiene solución (en dicho caso decimos que el sistema está sobre

determinado o que es incompatible)

el sistema tiene una única solución (el sistema es compatible determinado)

el sistema tiene un número infinito de soluciones (el sistema es compatible

indeterminado).

La ecuación 2x - 3 = 0 se llama ecuación lineal de una variable. Obviamente sólo

tiene una solución.

La ecuación -3x + 2y = 7 se llama ecuación lineal de dos variables. Sus soluciones

son pares ordenados de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen

despejando una variable y dando valores cualesquiera a la otra.

La ecuación x - 2y + 5z = 1 se llama ecuación lineal de tres variables. Sus

soluciones son ternas ordenadas de números. Tiene infinitas soluciones que se

obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a las otras dos.

En general, una ecuación lineal de "n" variables es del tipo :

Las soluciones son las secuencias de números s1, s2, s3, ..., sn que hacen

verdadera la igualdad.


http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

http://es.wikipedia.org/wiki/Infinito

Si los coeficientes valen 0 y el término independiente no, la ecuación se llama

incompatible. No tiene solución y también se denomina ecuación imposible,

proposición falsa o igualdad absurda.

Si los coeficientes y el término independiente son nulos, se dice que la

ecuación es una identidad.

TRANSFORMACIONES LINEALES

Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un

vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con vectores es muy

sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto gráfico,

lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para

poderlos trabajar más fácilmente.

Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas

no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual

simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés

demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede

lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación

cuyo dominio y condominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes

condiciones:

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K, y T una función de V en W.

T es una transformación lineal si para cada par de vectores de u y v pertenecientes a V

y para cada escalar k perteneciente a K, se satisface que:


http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_(f%C3%ADsica)

Los sistemas de ecuaciones lineales son ecuaciones que tienen n incógnitas, las cuales

podemos representar en una notación matricial, se puede utilizar una técnica llamada

superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que

es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo

cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una

transformación lineal.

A partir de una ecuación lineal podemos hacerle las transformaciones lineales para

tener como resultado escalares.


ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica

donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso

en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:

donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el

coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.

Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:

con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde

n = 2 se conoce como ecuación cuadrática

Las ecuaciones de segundo grado aquellas en las que la incógnita aparece al menos

una vez elevada al cuadrado (x2). Por ejemplo: 3x2 - 3x = x - 1.

Pasemos al primer miembro de la ecuación todos los términos de forma que en el

segundo miembro quede 0. Obtenemos:

3x2 - 4x + 1 = 0, que es la forma en que deberemos expresar todas las ecuaciones de

segundo grado para resolverlas.

En muchos casos, una vez conseguida esta forma, la ecuación se puede simplificar, lo

cual es muy conveniente.


http://3.bp.blogspot.com/_GHnh3ILnSo4/StBJleWv7hI/AAAAAAAACas/VTO1f_7cL0c/s1600-h/0.1.JPG

http://4.bp.blogspot.com/_GHnh3ILnSo4/StBJxYFwdVI/AAAAAAAACa0/LFFrtoso3m8/s1600-h/0.2.JPG

Ejemplos:

1.

2.

3.

Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).


INECUACIONES

Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se

relacionan por uno de estos signos:

< menor que2x − 1 <

7

≤ menor o igual que2x − 1 ≤

7

> mayor que2x − 1 >

7

≥ mayor o igual que2x − 1 ≥

7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la

verifica.

La solución de la inecuación se expresa mediante:

1. Una representación gráfica.

2. Un intervalo.

2x − 1 < 7

2x < 8 x < 4

(-∞, 4)


INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Para resolverlas se siguen los mismos pasos que en las ecuaciones de primer

grado con una incógnita:

Quitar paréntesis.

Quitar denominadores.

Agrupar términos semejantes a ambos lados de la desigualdad.

Despejar la incógnita.

En este último paso hay que tener en cuenta una propiedad de las desigualdades:

“Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un número negativo

cambia el sentido de la misma”.

La solución de una inecuación de este tipo puede ser:

Un conjunto de números reales que se suele expresar en forma de intervalo.

Cualquier número real.

Ningún número real. Entonces se dice que no tiene solución.

La solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación resultante,

que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.

2x + y ≤ 3

1º Transformamos la desigualdad en igualdad.

2x + y = 3

2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.

x = 0; 2 · 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)


x = 1; 2 · 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)

3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad. Si

se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la

solución será el otro semiplano.

2x + y ≤ 3

2 · 0 + 0 ≤ 3 0 ≤ 3 Sí

2x + y > 3


2 · 0 + 0 > 3 0 > 3 No

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA

Una inecuación de segundo grado se expresa de forma general de una de las siguientes

formas:

ax 2 + bx + c > 0

ax 2 + bx + c ≥ 0

ax 2 + bx + c < 0

ax 2 + bx + c ≤ 0

Una inecuación de segundo grado es una inecuación en donde encontramos números,

una variable (que llamaremos x) que esta vez la podemos encontrar multiplicándose a

ella misma, y un símbolo de desigualdad.

Un ejemplo de inecuación de segundo grado podría ser:

2x2−x<2x−1

Donde podemos observar que el término 2x2 es el término cuadrático, característico de

las inecuaciones de segundo grado, ya que si éste no estuviera, tendríamos una

inecuación de primer grado.

Para resolver una inecuación de segundo grado usaremos un método compuesto por

una serie de pasos a seguir.


Una de las cosas que se nos hará falta para este método es la fórmula de resolución de

ecuaciones de segundo grado que recordamos a continuación:

Dada la ecuación de segundo grado: ax2+bx+c=0, las soluciones vienen dadas por la

fórmula:

x+=−b+b2−4ª √2ax−=−b−b2−4ac √2a

Puede ser que tengamos dos, una o ninguna solución en función del valor de b2−4ac

√ (para más información consultar el tema de ecuaciones de segundo grado).

Método a seguir para la resolución:

Dada la inecuación, hacerle los cambios adecuados hasta dejar un cero en uno de los

lados de la inecuación, consiguiendo una expresión del

tipo: ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0 donde los valores b y c son números reales que

pueden ser positivos o negativos e incluso cero y a es un valor positivo. En caso de

encontrar un valor de a negativo, multiplicaremos por (−1) toda la inecuación,

cambiando así el signo de a (y en consecuencia, el signo de los demás términos y el

orden de la desigualdad).

Buscaremos las soluciones de la ecuación ax2+bx+c=0, inducida por la

inecuación ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0.

Puede ser que tengamos tres opciones:

Si no tenemos soluciones de la ecuación, debemos separar dos casos:

Si ax2+bx+c>0: La solución es cualquier valor real: todos los números cumplen la

inecuación.

Si ax2+bx+c<0: Ningún valor de x cumple la inecuación, por lo tanto, la inecuación no

tiene solución.

Si nos dibujamos la gráfica de y=ax2+bx+c observaremos que no corta el eje X, ya que

la ecuación no tiene soluciones. Al ser además el valor de a positivo, toda la gráfica se

encuentra por encima del eje X, con valores y positivos, por lo tanto, si la inecuación


tiene signo mayor que (o mayor o igual que), cualquier punto es solución de la

inecuación, y si tiene signo menor que (o menor o igual que), ningún punto será

solución.

Si teníamos la inecuación ax2+bx+c>0, y realizamos el procedimiento:

ax2+bx+c>0⇒(x−x1)2>0⇒(x−x1)(x−x1)>0

⇒{(x−x1)<0⇒x<x1(x−x1)>0⇒x>x1

Hemos de considerar los dos últimos casos válidos ya que un producto de dos números

es positivo si éstos dos son a la vez positivos o negativos.

Así que la solución de la inecuación serán los x que

Cumplan x<x1 y x>x1 donde x1 es la solución de la ecuación ax2+bx+c=0.

En caso que tuviéramos una desigualdad del tipo ax2+bx+c⩾0, aparte de las mismas

soluciones que considerábamos antes, añadiríamos la solución x1 y el resultado sería

tener como región solución toda la recta real.

Si teníamos la inecuación ax2+bx+c<0, haremos:

ax2+bx+c<0⇒(x−x1)2<0⇒ No tenemos solución

Ya que un número elevado al cuadrado siempre será positivo, y estamos exigiendo que

sea negativo.

En caso que tuviéramos una desigualdad del tipo ax2+bx+c⩽0, sí tendríamos una

solución: justamente la solución de la ecuación x1.

Si tenemos dos soluciones, x1 y x2, considerando además que x1<x2, haremos el

siguiente procedimiento:

(Recordemos que el valor de a siempre es positivo)

Si ax2+bx+c>0:

ax2+bx+c>0⇒(x−x1)(x−x2)>0⇒MODULO DE ALGEBRA Página 34

⇒{a) (x−x1)>0 y (x−x2)>0b) (x−x1)<0 y (x−x2)<0

⇒{a) x>x1 y x>x2b) x<x1 y x<x2

Y como hemos supuesto que x1<x2, nos quedamos con las desigualdades x<x2 y x<x1.

Si ax2+bx+c<0:

ax2+bx+c<0⇒(x−x1)(x−x2)<0⇒⇒{a) (x−x1)>0 y (x−x2)<0b) (x−x1)<0 y (x−x2)>0

⇒{a) x>x1 y x<x2b) x<x1 y x>x2

y como hemos supuesto que x1<x2, nos quedamos con las desigualdades x<x2 y x<x1.

Una vez hayamos encontrado la región donde se cumple la inecuación, ya hemos

terminado.

Recordad que en el algoritmo de resolución solo hemos empleado desigualdades

estrictas (menor que, mayor que), pero el mismo razonamiento sirve para

desigualdades del tipo mayor o igual que y menor o igual que.

Ejemplos:

x2+x+2>−1−x

Resolución:

x2+x+2>−1−x⇒x2+2x+1>0

Encontramos las soluciones de la ecuación x2+2x+1=0:

x=−2±4−4 √2=−1

Hay una única solución.

Siguiendo el esquema que hemos dado, la solución es x<−1 y x>−1, es decir, todos los

puntos menos −1.


x2+2<−1−2x

Resolución:

x2+2<−1−2x⇒x2+2x+1<0

Encontramos las soluciones de la ecuación x2+2x+1=0:

x=−2±4−4 √2=−1

Hay una única solución.

Siguiendo el esquema que hemos dado, no tenemos soluciones posibles.

−x (x−1)− x<−1

Resolución:

−x (x−1)− x<−1⇒−x2+x−x+1<0⇒−x2+1<0⇒x2−1>0

Encontramos las soluciones de la ecuación x2−1=0: x=±1

Como tenemos dos soluciones, la solución del problema (siguiendo las indicaciones)

es x<−1 y x>1.


PROGRAMACIÓN LINEAL

La programación lineal es un conjunto de técnicas racionales de análisis y de

resolución de problemas que tiene por objeto ayudar a los responsables en las

decisiones sobre asuntos en los que interviene un gran número de variables.

El nombre de programación lineal no procede de la creación de programas de

ordenador, sino de un término militar, programar, que significa 'realizar planes o

propuestas de tiempo para el entrenamiento, la logística o el despliegue de las


unidades de combate'.

Aunque parece ser que la programación lineal fue utilizada por G. Monge en 1776, se

considera a L. V. Kantoróvich uno de sus creadores. La presentó en su libro Métodos

matemáticos para la organización y la producción (1939) y la desarrolló en su trabajo

Sobre la transferencia de masas (1942). Kantoróvich recibió el premio Nobel de

economía en 1975 por sus aportaciones al problema de la asignación óptima de

recursos humanos.

La investigación de operaciones en general y la programación lineal en particular

recibieron un gran impulso gracias a los ordenadores. Uno de momentos más

importantes fue la aparición del método del simplex. Este método, desarrollado por G.

B. Dantzig en 1947, consiste en la utilización de un algoritmo para optimizar el valor

de la función objetivo teniendo en cuenta las restricciones planteadas. Partiendo de

uno de los vértices de la región factible, por ejemplo el vértice A, y aplicando la

propiedad: si la función objetivo no toma su valor máximo en el vértice A, entonces

existe una arista que parte del vértice A y a lo largo de la cual la función objetivo

aumenta. Se llega a otro vértice.

El procedimiento es iterativo, pues mejora los resultados de la función objetivo en

cada etapa hasta alcanzar la solución buscada. Ésta se encuentra en un vértice del que

no parta ninguna arista a lo largo de la cual la función objetivo aumente.

Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente usados para

abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias

sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones importantes beneficios y

ahorros asociados a su utilización.

La programación lineal estudia las situaciones en las que se exige maximizar o

minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que

llamaremos restricciones.


Función objetivo

La programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función

objetivo, que es una función lineal de varias variables:

f (x,y) = ax + by.

Restricciones

La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas

por inecuaciones lineales:

a1x + b1y ≤ c1

a2x + b2y ≤c2

... ... ...

anx + bny ≤cn

Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.

Solución factible


El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones,

determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona

de soluciones factibles.

Solución óptima

El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles

básicas y el vértice donde se presenta lasolución óptima se llama solución

máxima (o mínima según el caso).

Valor del programa lineal


El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor

del programa lineal.

Pasos para resolver un problema de programación lineal

1. Elegir las incógnitas.

2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.

3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.

4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las

restricciones.

5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son

pocos).

6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál

de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener

en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado).

Ejemplo de programación lineal

Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas.

El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de

tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada

chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster.

El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €.

3 .Restricciones

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:


pantalones chaquetas Disponible

Algodón 1 1,5 750

poliéster 2 1 1000

x + 1.5y ≤ 750 2x+3y≤1500

2x + y ≤ 1000

Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos

restricciones más:

x ≥ 0

y ≥ 0


II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:

CÓDIG

O

NIVEL PRIME

RO

DOCENTE: Oscar René Lomas Reyes Ing.

TELEFONO: 0986054587 062-932310 e-mail: [email protected]

[email protected]

CRÉDITOS T 1 CRÉDITOS P 2 TOTAL

CRÉDITOS

3

HORAS T 16 HORAS P 32 TOTAL HORAS 48


mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

PRE-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados

antes de éste módulo)

CÓDIGOS

1. Nivelación Aprobada

CO-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en

paralelo a éste módulo)

CÓDIGOS

1. Física Aplicada 1

EJE DE FORMACIÓN:(En la malla ubicado en

un eje con un nombre)

PROFESIONAL

ÁREA DE FORMACIÓN:(En la malla agrupado Agrícola


con un color y un nombre)

LIBRO(S)BASE DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio )

Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México

LIBRO(S)REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible

en la UPEC para estudio)

Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España.

Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia

Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.

Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador.


http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.

Sectormatematica.cl, Programas Gratis.

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado : Septiembre 2012

Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO:(Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la

ESCUELA y, a los logros de aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas

El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del entorno a través del

conocimiento matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos, análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los

finanzas, la economía, al campo empresarial de manera preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así

fortalecer el aprendizaje académico pedagógico de los educandos.


http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado

http://www.sectormatematica.cl/

III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL

Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA).

Escaso razonamiento lógico matemático

Competencia GENÉRICA - UPEC:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO)

Desarrollar el pensamiento lógico

Competencia GLOBAL - ESCUELA:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS

GENÉRICA)

Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural

Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO:(Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS

GENÉRICA y GLOBAL)

Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas para plantear y resolver problemas

del entorno.


NIVELES

DE LOGRO

PROCESO

CO

G NITIVO

LOGROS DE APRENDIZAJE

(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE

COMPETENCIA, SUB -

COMPETENCIAS)

Seleccione de los sugeridos por la Escuela

para perfil de Ingenierías

El estudiante es capaz de:

DIMENSIÓN

(Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el

logro)

1. TEÓRIC

O

BÁSICO

RECORD

AR

MLP

Identificar los términos básicos utilizados

durante el desarrollo del pensamiento

lógico matemático.

FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o

ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de

una disciplina o resolver problemas en ella.

2. TEÓRIC

O

AVANZ

Diferenciar los conceptos básicos

utilizados para el desarrollo de

CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el

VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER

dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR


ADO

ENTEND

ER

pensamiento lógico matemático. JUNTOS los vocablos.

PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de

investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas

y métodos.

3. PRÁCTI

CO

BÁSICO

APLICA

R

Demostrar la utilidad de las matemáticas

para el desarrollo del razonamiento lógico

matemático.



y métodos.

4. PRÁCTI

CO

AVANZ

ADO

ANALIZ

AR

Plantear alternativas mediante la aplicación

de la matemática que permitan dar

solución a los problemas planteados



y métodos.

5. TEÓRIC

O

PRÁCTI

CO

Argumentar el planteamiento que dará

solución a los problemas planteados.

CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el




BÁSICO

EVALUA

R

JUNTOS los vocablos.



y métodos.

6. TEÓRIC

O

PRÁCTI

CO

AVANZ

ADO

CREAR

Construir expresiones algebraicas que

contribuyan a la solución de problemas del

entorno.

1. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o

ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de

una disciplina o resolver problemas en ella.

2. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el



JUNTOS los vocablos.

3. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de


y métodos.

4. METACOGNITIVO.-Si el estudiante llega a adquirir EL

CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN GENERAL, así como la

sensibilización y el conocimiento del propio conocimiento.


Trabajo interdisciplinar:(Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la

COMPETENCIA ESPECÍFICA).

Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas discretas.


IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:

LOGROS DE

APR

END

IZAJ

E

CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE

LOS LOGROS ESPERADOSESTRATEGIAS

DIDÁCTICAS

Estrategias, métodos y

técnicas

HO

RA

S

CL

AS

E


(Acciones sistémicas,

ELEMENTOS DE

COMPETENCIA, SUB -

COMPETENCIAS)

El estudiante será capaz de

COGNITIVOS

¿Qué TIENEque

saber?

PROCEDIMENTALES

¿Saber cómo TIENE

queaplicar el

conocimiento?

AFECTIVO

MOTIVACIONALES

¿Saber qué y cómo

TIENEactuar

axiológicamente?

T P

Identificar los términos

básicos utilizados durante el

desarrollo del pensamiento


Sistema de Números

Reales

Recta de números

Reales

Operaciones Binarias

Potenciación y

Radicación

Propiedades

fundamentales

Utilizar organizadores

gráficos para identificar las

clases de números reales

que existe

Utilizar organizadores

gráficos para ubicar los

elementos

Relacionar en la uve

heurística

Identificar los diferentes

propiedades en potenciación

Demostrar comprensión sobre

los tipos de números reales

Disposición para trabajar en

equipo

Utilizar una actitud reflexiva y

critica sobre la importancia de la

matemática básica

Aceptar opiniones diferentes

Potenciar el clima positivo

Aceptar errores y elevar el

DEMOSTRAR.

1. Caracterizar los

números reales

para la

demostración

2. Seleccionar los

argumentos y

hechos que

corroboraron los

números reales.

CONVERSACIÓN

2 4


Aplicaciones y radicación

Hacer síntesis gráfica

Repasar los conocimientos

adquiridos y aplicarlos a la

vida del profesional

Turístico

autoestima para que pueda

actuar de manera autónoma y

eficiente

HEURISTICA

1. Determinación del

problema.

2. Dialogo mediante

preguntas.

3. Debatir, discutir,

intercambiar

criterios, hurgar la

ciencia, discutir la

ciencia, búsqueda

individual de la

solución,

socializar la

solución.

Diferenciar los conceptos

básicos utilizados para el

desarrollo de pensamiento

Expresiones

algebraicas:

nomenclatura y

Aplicar operaciones

mentales


tipos polinomios

Aceptar opiniones divergentes

Destacar la solidaridad en los

ambientes de trabajo

INDUCTIVO-

DEDUCTIVO

INDUCTIVO

2 4


lógico matemático. clasificación.

Polinomios

clasificación.

Operaciones con

Polinomios: adición,

resta, multiplicación y

división.

Productos notables.

Descomposición

Factorial

Aplicar operaciones

mentales en la resolución de

un sistema de ecuaciones.


tipos de productos notables

Resolver ejercicios

Potenciar la resolución de

problemas

Valorar las participaciones de

los demás

Demostrar grado por lo que

hacemos

1.Observación

2. Experimentación.

3. Información (oral,

escrita, gráfica, etc.)

4. Dramatización.

5. Resolución de

problemas.

6. comprobación.

7. Asociación

(especial temporal y

casual)

8. Abstracción.

9. Generalización.

10. Resúmenes.

11. Ejercicios de


fijación.

CONVERSACIÓN

HEURISTICA

1. Determinación del

problema.

2. Dialogo mediante

preguntas.

3. Debatir, discutir,

intercambiar

criterios, hurgar la

ciencia, discutir la

ciencia, búsqueda

individual de la

solución,

socializar la

solución.

Demostrar la utilidad de las

matemáticas para el

Máximo común divisor

de polinomios.

Mínimo común

Resolver ejercicios con

polinomios sencillos y

Utilizar una actitud crítica y

reflexiva sobre el tema.

Cooperar en el desarrollo del

RAZONAR

1. Determinar las

3 6


desarrollo del razonamiento


múltiplos de

polinomios.

Operaciones con

fracciones.

Aplicaciones

complejos

Aplicar procesos de

resolución adecuados para

resolver problemas.

Resolver ejercicios

aplicando en forma conjunta

los máximos y los mínimos

Distinguir los componentes

de las expresiones

racionales

conocimiento.

Demostrar confianza en el

desarrollo del proceso.

Cooperar con el grupo en la

resolución de funciones.

premisas.

2. Encontrar la

relación de

inferencia entre las

premisas a través

del término medio.

3. Elaborar las

conclusiones.

RELACIONAR.

1. Analizar de

manera

independiente los

objetos a

relacionar.

2. Determinar los

criterios de

relación entre los

objetos

Plantear alternativas

mediante la aplicación de la

Plantear ecuaciones lineales. Trabajar con eficiencia y

eficacia respetando los criterios

EXPOSICION

PROBLEMICA.

3 6


matemática que permitan

dar solución a los

problemas planteados

Ecuaciones lineales,

resolución

Sistemas lineales y

clasificación.

Resolución de

ecuaciones lineales.

Aplicaciones

Identificar los sistemas

líneas y su clasificación

Elaborar modelos

matemáticos en la solución

de problemas de la carrera

Implementar procesos de

resolución adecuados en

problemas reales.

en la resolución de problemas.

Demostrar interés en el trabajo

individual y de equipo

Respetar las opiniones del grupo

y fuera de él.

Expresar coherencia en las

soluciones propuestas valorando

las iniciativas de cada

participante.

1. Determinar el

problema.

2. Realizar el

encuadre del

problema.

3. Comunicar el

conocimiento.

4. Formulación de la

hipótesis.

5. Determinar los

procedimientos

para resolver

problemas.

6. Encontrar solución

(fuentes,

argumentos,

búsqueda,

contradicciones)

Argumentar el

planteamiento que dará

Definición y Nombrar la definición de Utilizar creatividad y capacidad

de análisis y síntesis respetando

EXPOSICIÓN 3 6


solución a los problemas

planteados.

clasificación.

Ecuaciones reducibles a

cuadráticas

Resolución de

ecuaciones cuadráticas

por factoreo.

Resolución por

completación de un

trinomio cuadrado.


Reducir a expresiones

sencillas las expresiones

cuadráticas

Resolver ejercicios sobre

expresiones cuadráticas

Ejercitar las operaciones

con polinomios

incompletos.

los criterios del grupo.

Demostrar razonamiento crítico

y reflexivo cooperando en la

obtención de resultados

PROBLEMICA

1. Determinar el

problema

2. Realizar el

encuadre del

problema

3. Comunicar el

conocimiento

(conferencia ,video

)

4. Formulación de la

hipótesis

( interacción de las

partes)

Construir expresiones

algebraicas que contribuyan

a la solución de problemas

del entorno.

Fórmula general para

resolver ecuaciones

cuadráticas.

Aplicaciones de la

ecuación cuadrática.

Aplicar la fórmula general

para la resolución de


Distinguir los componentes

de las expresiones

Valorar la creatividad de los

demás

Respetar el criterio del grupo.

1. Determinar los

procedimientos

para resolver

problemas.

3 6


racionales 2. Encontrar la

solución ( fuentes

,argumentos,

búsqueda ,contradi

cciones)


V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO



ELEMENTOS DE

COMPETENCIA, SUB -

COMPETENCIAS)

FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE

indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados

DIMENSIÓN

(Elija el grado de

complejidad que

UD. EXIGIRÁ

para alcanzar el

logro)

INDICADORES DE

LOGRO DE

INGENIERIA

descripción

TÉCNICAS e

INSTRUMENTOS de

EVALUACIÓN

1°

PAR

CIAL

2°

PAR

CIAL

3°

PAR

CIAL

SUPLE

TORIO

Identificar los términos básicos

utilizados durante el desarrollo del

pensamiento lógico matemático.

FACTUAL. Interpretar

información.

Deberes

Trabajos

Consultas

Participación

virtual

Document

o

Document

o

Document

o

10%

10%

10%

10%

50%


Pruebas

Portafolio

Chat-Foro

Reactivos

Document

o

10%




CONCEPTUAL. Interpretar la

información.

Deberes

Trabajos

Consultas

Participación

virtual

Pruebas

Portafolio

Document

o

Document

o

Document

o

Chat-Foro

Reactivos

Document

o

10%

10%

10%

10%

50%

10%

CONCEPTUAL. Modelar, simular Deberes Document

o

10%



matemáticas para el desarrollo del

razonamiento lógico matemático.

sistemas complejos. Trabajos

Consultas

Participación

virtual

Pruebas

Portafolio

Document

o

Document

o

Chat-Foro

Reactivos

Document

o

10%

10%

10%

50%

10% 100%

Plantear alternativas mediante la

aplicación de la matemática que

permitan dar solución a los


PROCESAL Analizar problemas y

sistemas complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas

Participación

virtual

Pruebas

Document

o

Document

o

Document

o

Chat-Foro

10%

10%

10%

10%

50%

10% 100%


Portafolio Reactivos

Document

o

Argumentar el planteamiento que

dará solución a los problemas

planteados.

CONCEPTUAL Desarrollar una

estrategia para el

diseño.

Deberes

Trabajos

Consultas

Participación

virtual

Pruebas

Portafolio

Document

o

Document

o

Document

o

Chat-Foro

Reactivos

Document

o

5%

5%

5%

5%

25%

5%

Construir expresiones algebraicas

que contribuyan a la solución de

FACTUAL.

CONCEPTUAL.

Interpretar

información.

Modelar, simular

Deberes

Trabajos

Document

o

Document

5%

5%


problemas del entorno. PROCESAL

METACOGNITIV

O

sistemas complejos.

Analizar problemas y

sistemas complejos.

Consultas

Participación

virtual

Pruebas

Portafolio

o

Document

o

Chat-Foro

Reactivos

Document

o

5%

5%

25%

5% 100%

ESCALA DE VALORACIÓN

Nivel ponderado de aspiración y

alcance

9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio 7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable

8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio 4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable


VI. GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS



ELEMENTOS DE

COMPETENCIA, SUB -

COMPETENCIAS)

APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE

HORAS

AUTÓN

OMAS

INSTRUCCIONES RECURSOS PRODUCTO

T P

Identificar los términos básicos

utilizados durante el desarrollo

del pensamiento lógico

matemático.

Consulte información en

el internet y textos

especializados los

conceptos de números

reales, presentar en

organizadores gráficos.

Prueba

Libros.

Copias

Documentos en pdf.

Descarga de

documentos de la web.

Diferencia los diferentes tipos de sistemas de

números reales.

2 4




Consulta sobre la

definición de un

Libros. Identifica los tipos de polinomios 2 4


monomio y polinomio.

Grado de un polinomio y

su ordenamiento

Copias

Documentos en pdf.

Descarga de



matemáticas para el desarrollo del

Distinguir plenamente

entre expresiones

racionales e irracionales

Libros.

Copias

Distinguir plenamente entre expresiones racionales

e irracionales

3 6

Plantear alternativas mediante la

aplicación de la matemática que

permitan dar solución a los


Dar solución a

ecuaciones de primer

grado

Libros.

Copias

Documentos en pdf.

Descarga de


Dar solución a ecuaciones de primer grado 3 6

Argumentar el planteamiento que

dará solución a los problemas

planteados.

Identificar los tipos de

soluciones que pueden

presentarse en la solución

de expresiones

cuadráticas.

Libros.

Copias

Documentos en pdf.

Descarga de

Identificar los tipos de soluciones que pueden

presentarse en la solución de expresiones

cuadráticas

3 6



Construir expresiones algebraicas

que contribuyan a la solución de

problemas del entorno.

3 6

PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel )

TOTAL

16 32

CRÉDI

TOS

1 2

3


VII. BIBLIOGRAFÍA.

BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA)

Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México

COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA)

Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España.

Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia

Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.

Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador.

http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.

Sectormatematica.cl, Programas Gratis.

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado : Septiembre 2012

Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DOCENTES:


http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado

http://www.sectormatematica.cl/

Firma:

Nombres y Apellidos Oscar Rene Lomas Reyes


CÁLCULO DE DEPRECIACIONES

% DE DEPR.

12/1/2013 4/15/2023 3422 9.38 VEHÍCULO 50000 2500 5 20% 9500 89065.75 10000 93753.42 -41565.75 -43753.42

11/1/2000 4/15/2023 8200 22.47 EDIFICIOS 320000 16000 20 5% 15200 341479.45 16000 359452.05 -37479.45 -39452.05

8/1/2010 4/15/2023 4640 12.71 MAQUINARIA 8000 400 10 10% 760 9661.37 800 10169.86 -2061.37 -2169.86

2/1/2011 4/15/2023 4456 12.21 VEHÍCULO 3400 170 5 20% 646 7886.51 680 8301.59 -4656.51 -4901.59

4/1/2012 4/15/2023 4031 11.04 EQUIPOS DE C 5000 250 3 33.33% 1583.33 17486.07 1666.5 18404.55 -12736.07 -13404.55

10/1/2006 4/15/2023 6040 16.55 MUEBLES DE 25000 1250 10 10% 2375 39301.37 2500 41369.86 -15551.37 -16369.86

5/1/2013 4/15/2023 3636 9.96 VEHÍCULO 17000 850 5 20% 3230 32176.11 3400 33869.59 -16026.11 -16869.59

6/1/2007 4/15/2023 5797 15.88 MUEBLES DE 30000 1500 10 10% 2850 45264.25 3000 47646.58 -16764.25 -17646.58

3/1/2002 4/15/2023 7715 21.14 EDIFICIOS 10000 500 20 5% 475 10040.07 500 10568.49 -540.07 -568.49

11/1/2013 4/15/2023 3452 9.46 EQUIPOS DE C 40000 2000 3 33.33% 12666.67 119795.43 13332 126087.85 -81795.43 -86087.85

12/1/2003 4/15/2023 7075 19.38 VEHÍCULO 9000 450 5 20% 1710 33145.89 1800 34890.41 -24595.89 -25890.41

2/1/2004 4/15/2023 7013 19.21 MAQUINARIA 55000 2750 10 10% 5225 100391.58 5500 105675.34 -48141.58 -50675.34

4/1/2005 4/15/2023 6588 18.05 EDIFICIOS 200000 10000 20 5% 9500 171468.49 10000 180493.15 18531.51 19506.85

9/1/2008 4/15/2023 5339 14.63 EQUIPOS DE C 8000 400 3 33.33% 2533.33 37056.07 2666.4 39002.49 -29456.07 -31002.49

10/1/2009 4/15/2023 4944 13.55 MUEBLES DE 1000 50 10 10% 95 1286.79 100 1354.52 -336.79 -354.52

Fecha: Miércoles; 27 de noviembre del 2013

FECHA DE COMPRA

FECHA ACTUAL

Nº DE DÍAS TRANSCURRIDOS

Nº DE AÑOS TRANSCURRIDOS ACTIVO FIJO

VALOR DEL BIEN

VALOR RESIDUAL

Nº DE AÑOS DEPR.

DEPR. CON VALOR RESIDUAL ANUAL

DEPR. CON VALOR RESIDUAL ANUAL DÍAS TRANSCURRIDOS

DEPR. SIN VALOR RESIDUAL

DEPR. SIN VALOR RESIDUAL ANUAL DÍAS TRANCURRIDOS

VALOR POR DEP. CON VR.

VALOR POR DEP. SIN VR.


Grado medio 3000 2000 ≥ 14000 14000Grado alto 1000 1000 ≥ 5000 5000

Utilidad 25000 20000 Z MIN= 120000

Variables 4 1Se tiene que operar 4 días en la refinería I y 1 día en la refinería II para satisfacer los requerimientos de producción a un costo mínimo de $120000

SÉPTIMOCámara A Cámara B

Polímero I 10 4 ≥ 100 100Polímero II 20 30 ≥ 420 420

Utilidad 600000 300000 Z MIN= 6600000

Variables 6 10Se debe incluir 6 unidades del polímero I y 10 unidades del polímero II para minimizar el costo de construcción en $ 6600000 para así satisfacer el programa de producción requerido.


CUARTOMezcla I Mezcla II Requerimientos

Nutriente A 2 2 ≥ 80 80Nutriente B 6 2 ≥ 120 200Nutriente C 4 12 ≥ 240 240

Utilidad 8 10 Z MIN= 340

Variables 30 10Se debe comprar 30 bolsas de mezcla I y 10 bolsas de mezcla II para minimizar el costo en $340 para satisfacer los requerimientos de nutrientes

QUINTOMina I Mina II Producción

Mineral A 100 200 ≥ 3000 3000Mineral B 200 50 ≥ 2500 2500

Utilidad 50 60 Z MIN= 1100

Variables 10 10Se debe procesar 10 toneladas de la mina I y 10 toneladas de la mina II con el fin de minimizar el costo de producción a $1100

SEXTORefinería I Refinería II

Grado bajo 2000 1000 ≥ 8000 9000Grado medio 3000 2000 ≥ 14000 14000Grado alto 1000 1000 ≥ 5000 5000

Utilidad 25000 20000 Z MIN= 120000

Variables 4 1Se tiene que operar 4 días en la refinería I y 1 día en la refinería II para satisfacer los requerimientos de producción a un costo mínimo de $120000

SÉPTIMOCámara A Cámara B

Polímero I 10 4 ≥ 100 100Polímero II 20 30 ≥ 420 420

Utilidad 600000 300000 Z MIN= 6600000


Variables 6 10Se debe incluir 6 unidades del polímero I y 10 unidades del polímero II para minimizar el costo de construcción en $ 6600000 para así satisfacer el programa de producción requerido.



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